解直角三角形的知识点总结

的比叫做角 A 的余弦，记作 cosA，即 cos A = b ,
c
（3）正切的定义：在直角三角形 ABC 中，锐角 A 的对边与
邻边的比叫做角 A 的正切，记作 tanA，即
tan A = a ，
b
(4)锐角 A 的邻边与对边的比叫做∠A 的余切, 记作 cotA 即
cotA
A的邻边 A的对边
b a
1
解直角三角形
一、锐角三角函数
（一）、锐角三角函数定义
在直角三角形 ABC 中，∠C=900，设 BC=a，CA=b，AB=c，
锐角 A 的四个三角函数是：
(1) 正弦定义：在直角三角形中 ABC，锐角 A 的对边与斜边
的比叫做角 A 的正弦，记作 sinA，即 sin A = a ,
c
（2）余弦的定义：在直角三角行 ABC，锐角 A 的邻边与斜边
c
cos A =
b , tan A = a
c
b
， cotA
b a
S 4.面积关系：
△ABC
1 ab 2
1 ch 2
（四）直角三角形的可解条件
1.已知两边可解直角三角形
2.已知一边及一锐角可解直角三角形
说明：已知两个角不能接直角三角形，因为有两个角对应相等的两个
三角形相似，不一定全等，因此起边的大小不确定。
4
3.遇到求锐角余切值时，可利用关系式 cotA=tan(90°-A)
或 tanａ cota=1
二、解直角三角形
（一）三角函数的概念 RT△ABC 中，
sin A = a ,
c
cotA
A的邻边 A的对边
b a
cos A = b , tan A = a ，
c
b
（二）解直角三角形
在直角三角形中，除直角外，一共有 5 个元素，即 3 条边和 2 个
b c
，a，b
ba
四个比值
的大小同△ ABC 的三边的大小无关，只与锐角的大小有关，即当锐
角 A 取固定值时，它的四个三角函数也是固定的； （2）sinA 不是 sinA 的乘积，它是一个比值，是三角函数记号，是
一个整体，其他三个三角函数记号也是一样；
（3）利用三角函数定义可推导出三角函数的性质，如同角三角函数
关系，互余两角的三角函数关系、特殊角的三角函数值等；
（二）、同角三角函数的关系
（1）平方关系： sin2 COS 2 1
(2)倒数关系：tanａ cota=1
(3)商数关系： tan
sin cos
,cot
cos sin
注意：（1）这些关系式都是恒等式，正反均可运用，同事还要注
意它们的变形公式。
锐角 A 的正弦、余弦，正切、余切都叫做角 A 的锐角三角函
数。
这种对锐角三角函数的定义方法，有两个前提条件：
（1）锐角∠A 必须在直角三角形中，且∠C=900；
（2）在直角三角形 ABC 中，每条边均用所对角的相应的小写字
母表示。 否则，不存在上述关系
2
注意:锐角三角函数的定义应明确(1)
a，
c
B
已知两个直角边啊 a, b
A
b
C= a 2 b 2
由 tanA= a 求∠A
b
∠B=90°-∠A
备注
（ 1 ） Rt △ ABC 中 ， ∠ C=90°， ∠A，∠B，∠C 所对的边分别是 a,b,c
（2）方法要灵 活，选择关系式 时，尽量考虑能 用原始数据，减 少误差
Ca
B
6
已知斜边和一条直角边（如 a b= c2 a2
1 ，而
sin2 cos2 1就不一定成立。
（4）同角三角函数关系用于化简三角函数式。
（三）余角的函数关系式
任意锐角的正弦值等于它的余角的余弦值，任意锐角的余弦值等于它
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的余角的正弦值，任意锐角的正切值等于它的余角的余切值，任意锐 角的余切值等于它的余角的正切值。即
sinA=cos(90°-A) cosA=sin(90°-A) tanA=cot（90°-A） cotA=tan(90°-A)
锐角，由直角三角形中除直角外的已知元素求出所有未知元素的过
程，叫做解直角三角形
（三）解直角三角形的依据
在 Rt△ABC 中，∠C=90°，∠A，∠B，∠C 所对的边分别是 a,b,c
1. 三边之间的关系： a2 b2 c2
2. 锐角之间的关系：∠A+∠B=90°
3.边角关系：sin A = a ,
注意：此关系涉及的两角必须互余，左右两边的函数名称不同，
其主要作用就是改变函数名称。
（四）特殊角的三角函数值
00
sin
0
α
cosα
1
α
tanα
0
αcoαtα 不存在
300
450
1
2
2
2
3
2
2
2
3
1
3
3
1
600 90°
3
1
2
1 2
0
3 不存在
3
在在 0
3
（五）三角函数值的变化规律及范围 1.当角度在 0°~90°之间变化时： 正弦值岁角度的增大（或减小）而增大（或减小）； 余弦值随角度的增大（或减小）而减小（或增大）； 正切值随着角度的增大（或减小）而增大（或减小）； 余切值随角度的增大（或减小）而减小（或增大）； 2、当 0°≤a≤90°时，0≤sina≤1，0≤cona≤1，
和 c） A
由 sinA= a
c
求∠A,
C
∠B=90°-∠A
Ca B
三、坡角与坡度 坡面与水平面的夹角称为坡角，坡面的铅直高度与水平宽度的比
为坡度（或坡比），即坡度等于坡角的正切。
(2) sin2 是 sin 2 的 简 写 ， 读 作 “ sin 的 平 方 ” ， 不 能 将
sin2
写成
sin
2
前者是
a
的正弦值的平方，后者无意义；
（3）这里应充分理解“同角”二字，上述关系式成立的前提是所涉及
的 角 必 须 相 同 ， 如 sin2
2
cos2
2
1,tan 30 • cot 30
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（五）解直角三角形的基本类型
已知
求解
已知
一条
A
直角边
和一
个锐角
∠B=90°-∠
A,C=
a sin
A
,
b=acosA
b c2
2
(或 a= )
（如
Ca B
a,∠A）
已 知 斜 边 和 一 个 锐 角 （ 如 ∠B=90°-∠A
c,A） A
a=csinA,
b=CconAຫໍສະໝຸດ ab c22
(或 a= )
C