解直角三角形知识点

一、直角三角形的性质：
1、两个锐角互余 ∵∠C=90°∴∠A+∠B=90°
2、在直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半。

∵∠C=90°∠A=30°∴ BC=
2
1
AB 3、直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半 ∵∠ACB=90° D 为AB 的中点 ∴ CD=
2
1
AB=BD=AD 4、勾股定理：222c b a =+ ：22
2
a b c +=还可以变形为2
2
2
a c
b =-，2
2
2
b c a =-． 5、射影定理：在直角三角形中，斜边上的高线是两直角边在斜边上的射影的比例中项，每条直角边是它们在斜边上的射影和斜边的比例中项
∵∠ACB=90°CD ⊥AB ∴ BD AD CD •=2
AB AD AC •=2 AB BD BC •=2
6、常用关系式
由三角形面积公式可得：AB •CD=AC •BC
二、锐角三角函数
1、锐角三角函数定义：在RT ABC ∆中，∠C=90°，a 、b 、c 分别是∠A 、∠B 、∠C 的对边，则：
sin A a A c ∠=
=的对边斜边 cos A b
A c ∠==的邻边斜边
tan A a A A b ∠=
=∠的对边的邻边 cot A b
A A a
∠==∠的邻边的对边
常用变形：sin a c A =；sin a
c A
=等，由同学们自行归纳 2、锐角三角函数的有关性质：
（1）当0°<∠A<90°时，0sin 1A <<；0cos 1A <<；tan 0A >；cot 0A >
（2）在0°90°之间，正弦、正切（sin 、tan ）的值，随角度的增大而增大；余弦、余切（cos 、cot ）的值，随角度的增大而减小。

3、同角三角函数的关系：
A
C
B
D
22sin cos 1A A += tan cot 1A A = sin tan cos A A A =
cos cot sin A
A A
=
常用变形：sin A =
cos A = （用定义证明，易得，同学自行完成）
4、正弦与余弦，正切与余切的转换关系：
如图1，由定义可得：sin cos cos(90)a
A B A c
=
==︒- 同理可得： sin cos(90)A A =︒-
cos sin(90)
A A =︒-tan cot(90)A A =︒-
cot tan(90)A A =︒-
5、特殊角的三角函数值：
二、有关三角函数计算（计算器、特殊角） 三、解直角三角形
已知的一些边、角
求 另一些边、角 1、解直角三角形的基本类型及其解法总结：
sin A
cos c A
例1：①在Rt △ABC 中,∠C=Rt ∠,a,b,c 是△ABC 的三边,a=6,∠B=30°求∠A,b,c.
②在Rt △ABC 中,∠C=Rt ∠,a,b,c 是∠A,∠B,∠C 的对边,a=5,b=35,求c,∠A,∠B.
2
例2:①在Rt ΔABC 中,∠C=Rt ∠,a,b,c 是三边,且8
3
=
ctgA ,a=6.求c. ②在Rt ΔABC 中,∠C=Rt ∠,∠B=30°,a-b=2.求c.
③在Rt ΔABC 中,∠B=45°,∠C=60°,BC=326+.求S ΔABC 及ΔABC 的周长.
④在Rt ΔABC 中,∠C=Rt ∠,58=AC ,∠A 的平分线AD 的长是3
15
16解直角三角形. ⑤在Rt ΔABC 中,∠C=90°,310=AB ,5
3
cos =ABC .D 是AC 上一点∠DBC=30°.求BC,AD.
2、解直角三角形的实际运用
(1)仰角：视线在水平线上方的角；俯角：视线在水平线下方的角。

仰角铅垂线
水平线
视线
视线俯角
(2)坡面的铅直高度h 和水平宽度l 的比叫做坡度(坡比)。

用字母i 表示，即h
i l
=。

坡度一般写成1:m 的形式，如1:5i =等。

把坡面与水平面的夹角记作α(叫做坡角)，那么
tan h
i l
α=
=。

(3)从某点的指北方向按顺时针转到目标方向的水平角，叫做方位角。

如图3，OA 、OB 、OC 、OD 的方向角分别是：45°、135°、225°。

(4)指北或指南方向线与目标方向线所成的小于90°的水平角，叫做方向角。

如图4,OA 、OB 、OC 、OD 的方向角分别是：北偏东30°（东北方向） ， 南偏东45°（东南方向）， 南偏西60°（西南方向）， 北偏西60°（西北方向）。

补充：在两个直角三角形中，都缺解直角三角形的条件时，可用列方程的办法解决。

有关公式 （1）1sin 2S ab C ∆=
=1sin 2bc A =1
sin 2
ac B :i h l =h
l
α
（2）Rt △面积公式：1122
S ab ch =
= （3）结论：直角三角形斜边上的高ab
h c
=
（4）测底部不可到达物体的高度．如右图， 在Rt △ABP 中， BP=xcot α 在Rt △AQB 中， BQ=xcot β BQ —BP=a ，
即xcot β-xcot α=a ．
解直角三角形的知识的应用，可以解决： (1)测量物体高度． (2)有关航行问题．
(3)计算坝体或边路的坡度等问题 3、三角形的面积公式：
已知ABC ∆中，∠A 、∠B 、∠C 的对应边分别是a 、b 、c ，如图2，过点A 作AD ⊥BC
于点D 。

在RT ABD ∆中，sin AD
B AB
=，即：sin AD AB B =（sin AD c B =） 111
sin sin 222
ABC S BC AD a c B ac B ∆===（其中：∠B 为a 、c 的夹角）
同理可得：111
sin sin sin 222ABC S ac B bc A ab C ∆===（三角形的面积公式）
由面积公式可得：11
sin sin 22ac B bc A =
两边同时除于12c 得： sin sin sin sin a b
a B
b A A B
=⇔=
同理可得，正弦公式：sin sin sin a b c
A B C
==
余弦定理
如图2：sin AD b C =， cos BD BC CD a b C =-=-，在直角三角形ABD 中，由勾股定理得：
2
22222(sin )(cos )AB AD BD c b C a b C =+⇔=+- 整理得：
2222222222sin 2cos cos (sin cos )2cos c b C a ab C b C b C C a ab C =+-+⇔++- 2222cos c b a ab C ⇔=+- 整理得到余弦定理：2222cos c a b ab C =+-（∠C 为
a 、
b 的夹角）
A B
x
αβ
D
A
B
C
同理可得：（余弦定理及其变形）
2
2
2
2cos a b c bc A =+- 222
cos 2b c a A bc
+-=
2
2
2
2cos b a c ac B =+-
222
cos 2a c b B ac
+-=
2
2
2
2cos c a b ab C =+- 222
cos 2a b c C ab
+-=
四、三角函数与相似：
如图5，可以利用相似进行求解，也可以利用三角函数进行求解：
3.2cos 610AD AB x x A AE AC +=
=⇔= sin DE BC
A AE AC
==
如图6，6
tan 48DE BC x A AE AB ==⇔=
备注：三角函数，在解决直角三角形的一些问题中，有时候会比相似书写更简洁一些
五、三角函数与一次函数
设一次函数y kx b =+经过点11(,)A x y 与22(,)B x y 那么我们可以列出方程组：
1122
y kx b y kx b =+⎧⎨
=+⎩则可以得到：21
21y y k x x -=- 如下图所示：tan k α=。