高一数学：1.3.1 辗转相除法与更相减损术、秦九韶算法1 课件(人教A版必修3)
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辗转相除法与更相减损术、秦九韶算法 课件
求多项式的值时，首先计算最内层括号内一次多项式的值，即 v1=anx+an-1， 然后由内向外逐层计算一次多项式的值，即 v2=v1x+an-2， v3=v2x+an-3， … vn=vn-1x+a0， 这样，求n次多项式f（x）的值就转化为求n个一次多项式的值.
（2）程序如下： v*x0+a（n-i）
（2）算法步骤 第一步：输入两个正整数m,n（m>n）. 第二步：计算m除以n所得的余数r. 第三步：m=n,n=r. 第四步：若r＝0,则m,n的最大公约数等于m； 否则，返回第二步. 第五步：输出最大公约数m.
【典例训练】 1.378与90的最大公约数为_______． 2.用辗转相除法求225和135的最大公约数. 【解析】1.辗转相除法： 378＝90×4＋18， 90＝18×5＋0， 所以378与90的最大公约数是18. 答案：18
1.实际应用更相减损术时要做的第一步工作是什么？ 提示：先判断a,b是否为偶数，若是都除以2再进行. 2.当所给的多项式按x的降幂排列“缺项”时，用秦九韶算法 改写多项式时，应注意什么？ 提示：所缺的项写成系数为零的形式，即写成0·xn的形式.
3.25与35的最大公约数为_______. 【解析】35=1×25+10， 25=2×10+5， 10=2×5， 所以25与35的最大公约数为5. 答案：5
4.用秦九韶算法计算多项式f（x）=3x6+4x5+5x4+6x3+7x2+ 8x+1， 当x=0.4时,需要做乘法的次数是__________. 【解析】多项式变形为 f（x）=3x6+4x5+5x4+6x3+7x2+8x+1 =（（（（（3x+4）x+5）x+6）x+7）x+8）x+1， 其中乘法的次数为6. 答案：6
1.3 第1课时 辗转相除法与更相减损术、秦九韶算法
（2）求49和63的最大公约数
（1） 5 25 5 35 7
所以，25和35的最大公 约数为5.
所以，49和63的最大公 约数为7.
7
9
思考2：算出8251和6105的最大公约数. 第一步：用两数中较大的数除以较小的数，求得商和余 数8251=6105×1+2146
结论：8251和6105的公约数就是6105和2146的公约数，
例4
阅读下列程序，说明它解决的实际问题是什么？ INPUT “x=”；a n=0 y=0 WHILE n<5 y=y+(n+1)*a∧n n=n+1 WEND PRINT y END
求多项式 f(x)=1+2x+3x2+4x3+5x4在x=a时的值.
1.利用辗转相除法求两数4081与20723的最大公约数.
8251=6105×1+2146
r=m MOD n
m = n n = r
6105=2146×2+1813
2146=1813×1+333 1813=333×5+148
r=0? 是
否
333=148×2+37
148=37×4+0
辗转相除法（欧几里得算法） （1）算理：所谓辗转相除法，就是对于给定的两个数，
第五步：输出最大公约数m.
（4）程序 INPUT DO r=m m=n MOD n “m,n=”;m,n
（3）程序框图
开始 输入m，n
求m除以n的余数r
m=n n=r
n=r
LOOP UNTIL PRINT END m r=0
r=0？ 是
输出m 结束
否
（1） 5 25 5 35 7
所以，25和35的最大公 约数为5.
所以，49和63的最大公 约数为7.
7
9
思考2：算出8251和6105的最大公约数. 第一步：用两数中较大的数除以较小的数，求得商和余 数8251=6105×1+2146
结论：8251和6105的公约数就是6105和2146的公约数，
例4
阅读下列程序，说明它解决的实际问题是什么？ INPUT “x=”；a n=0 y=0 WHILE n<5 y=y+(n+1)*a∧n n=n+1 WEND PRINT y END
求多项式 f(x)=1+2x+3x2+4x3+5x4在x=a时的值.
1.利用辗转相除法求两数4081与20723的最大公约数.
8251=6105×1+2146
r=m MOD n
m = n n = r
6105=2146×2+1813
2146=1813×1+333 1813=333×5+148
r=0? 是
否
333=148×2+37
148=37×4+0
辗转相除法（欧几里得算法） （1）算理：所谓辗转相除法，就是对于给定的两个数，
第五步：输出最大公约数m.
（4）程序 INPUT DO r=m m=n MOD n “m,n=”;m,n
（3）程序框图
开始 输入m，n
求m除以n的余数r
m=n n=r
n=r
LOOP UNTIL PRINT END m r=0
r=0？ 是
输出m 结束
否
高中数学人教版A必修3课件：1.3 算法案例(1)
同样6 105与2 146的公约数也必是 8 251的约数，所以8 251与6 105的最大公约数也是6 105与2 146的最大公约数．
探要点、究所然
探究点一：辗转相除法
思考3 又6 105＝2 146×2＋1 813，同理，6 105与2 146的公约数和2 146与1 813的公 约数相等．重复上述操作，你能得到8 251与6 105这两个数的最大公约数吗？
填要点、记疑点
3．秦九韶算法 把一个n次多项式f(x)＝anxn＋an－1xn－1＋…＋a1x＋a0改写成如下形式： (…((anx＋an－1)x＋an－2)x＋…＋a1)x＋a0， 求多项式的值时，首先计算 最内层括号内 一次多项式的值，即v1＝ anx＋an－1 ， 然后由内向外逐层计算一次多项式的值，即 v ＝ v1x＋an－2 ，
探要点、究所然
探究点二：更相减损术
思考 1 设两个正整数 m>n，若 m－n＝k，则 m 与 n 的最大公约数和 n 与 k 的最大公
约数相等．反复利用这个原理，可求得 98 与 63 的最大公约数为多少？
答 由于 63 不是偶数，把 98 和 63 以大数减小数，并辗转相减，得 98－63＝35，
填要点、记疑点
2．更相减损术的运算步骤 第一步，任意给定两个正整数，判断它们是否都是 偶数 是，执行 第二步 ． 第二步，以 较大 的数减去 较小 的数，接着把所得的差与 较小 的数比较，并以大数 减小数，继续这个操作，直到所得的数 相等 为止，则这个数(等数)或这个数与约简 的数的乘积就是所求的最大公约数． ．若是，用 2 约简；若不
探要点、究所然
探究点一：辗转相除法
思考4 (1)用辗转相除法可以求两个正整数m，n的最大公约数，那么用什么逻辑结 构来设计算法？其算法步骤如何设计？ (2)该算法的程序框图如何表示？该程序框图对应的程序如何表述？ (3)如果用当型循环结构设计算法，正整数m，n的最大公约数的程序框图和程序分 别如何表示？
探要点、究所然
探究点一：辗转相除法
思考3 又6 105＝2 146×2＋1 813，同理，6 105与2 146的公约数和2 146与1 813的公 约数相等．重复上述操作，你能得到8 251与6 105这两个数的最大公约数吗？
填要点、记疑点
3．秦九韶算法 把一个n次多项式f(x)＝anxn＋an－1xn－1＋…＋a1x＋a0改写成如下形式： (…((anx＋an－1)x＋an－2)x＋…＋a1)x＋a0， 求多项式的值时，首先计算 最内层括号内 一次多项式的值，即v1＝ anx＋an－1 ， 然后由内向外逐层计算一次多项式的值，即 v ＝ v1x＋an－2 ，
探要点、究所然
探究点二：更相减损术
思考 1 设两个正整数 m>n，若 m－n＝k，则 m 与 n 的最大公约数和 n 与 k 的最大公
约数相等．反复利用这个原理，可求得 98 与 63 的最大公约数为多少？
答 由于 63 不是偶数，把 98 和 63 以大数减小数，并辗转相减，得 98－63＝35，
填要点、记疑点
2．更相减损术的运算步骤 第一步，任意给定两个正整数，判断它们是否都是 偶数 是，执行 第二步 ． 第二步，以 较大 的数减去 较小 的数，接着把所得的差与 较小 的数比较，并以大数 减小数，继续这个操作，直到所得的数 相等 为止，则这个数(等数)或这个数与约简 的数的乘积就是所求的最大公约数． ．若是，用 2 约简；若不
探要点、究所然
探究点一：辗转相除法
思考4 (1)用辗转相除法可以求两个正整数m，n的最大公约数，那么用什么逻辑结 构来设计算法？其算法步骤如何设计？ (2)该算法的程序框图如何表示？该程序框图对应的程序如何表述？ (3)如果用当型循环结构设计算法，正整数m，n的最大公约数的程序框图和程序分 别如何表示？
高中数学人教A版必修3 1.3 算法案例 课件(30张)
改写后 f(x)＝anxn＋an－1xn－1＋…＋a1x＋a0＝(…((anx＋an－1)x＋an 的形式 －2)x＋…＋a1)x＋a0
从括号最内层开始，由内向外逐层计算
计算 方法
v1＝anx＋an－1，v2＝v1x＋an－2， v3＝v2x＋an－3， …
vn＝vn－1x＋a0， 这样，求n次多项式f(x)的值就转化为求_n_个__一__次__多__项__式__
课前预习
课堂互动
课堂反馈
3.1 037和425的最大公约数是( )
A.51
B.17
C.9
D.3
解析 ∵1 037＝425×2＋187，
425＝187×2＋51，
187＝51×3＋34，
51＝34×1＋17，
34＝17×2.
即1 037和425的最大公约数是17.
答案 B
课前预习
课堂互动
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4.16化为二进制数是________. 解析
的值
课前预习
课堂互动
课堂反馈
【预习评价】
已知f(x)＝x5＋2x3＋3x2＋x＋1，应用秦九韶算法计算x＝3时的值 时，v3的值为________. 解析 将函数式化成如下形式：f(x)＝((((x＋0)x＋2)x＋3)x＋1)x ＋1，由内向外依次计算：v0＝1，v1＝1×3＋0＝3，v2＝3×3＋ 2＝11，v3＝11×3＋3＝36. 答案 36
1.辗转相除法
(1) 辗 转 相 除 法 ： 又 叫 欧 几 里 得 算 法 ， 是 一 种 求 两 个 正 整 数 的
_最__大__公__约__数___的古老而有效的算法.
(2)辗转相除法的算法步骤
第一步，给定两个正整数m，n.
算法案例 辗转相除法与更相减损术秦九韶算法与进位制第一课时课件-数学高一必修3第一章算法初步1.3人教A版
【问题导思】 1．如何求18与54的最大公约数？ 【提示】 短除法．
2．要求6 750与3 492的最大公约数，上述法还好用吗？
【提示】
数值太大，短除法不方便用．
(1)更相减损之术(等值算法)
用两个数中较大的数减去较小的数，再用 差数 较小的数 大 数 到产生 减 和
构成新的一对数，对这一对数再用 小数 ，以同样的操作一直做下去，直 ，这个数就是最大公约数．
v0＝an 则递推公式为 其中 vk＝ vk－1x＋an－k
k＝1，2，„，n.
(2)计算P(x0)的方法 先计算 最内层括号 ，然后 由内向外 常数项 直到 最外层括号 ，然后加上 逐层计算， ．
知识3
进位制
进位制是一种记数方式，用有限的数字在不同的位置表示
不同的数值.使用数字符号的个数称为基数，基数为 n，即称为
1．用更相减损之术可求得78与36的最大公约数是( A．24 【解析】 B．18 C．12 D． 6
)
78－36＝42，42－36＝6，36－6＝30，30－
6＝24，24－6＝18，18－6＝12，12－6＝6，∴6为78与36的
最大公约数．
【答案】 D
2．用秦九韶算法计算f(x)＝6x5－4x4＋x3－2x2＋x3－2x2 －9x，需要加法(或减法)与乘法运算的次数分别为( A．5，4 【解析】 B．5，5 C．4，4 )
【解析】 (1)101 111 011(2)＝1×28＋0×27＋1×26＋1×25
＋1×24＋1×23＋0×22＋1×21＋1×20＝379(10).
(2)1231(5)＝1×53＋2×52＋3×5＋1＝191(10)，
∴1231(5)＝362(7).
高中数学 第1章 第1课时 辗转相除法与更相减损术、秦九韶算法配套课件 新人教版必修3
2．过程与方法 (1)在辗转相除法与更相减损术求最大公约数的学习过程 中对比我们常见的约分求公因式的方法，比较它们在算法上 的区别，并从程序的学习中体会数学的严谨，领会数学算法 计算机处理的结合方式，初步掌握把数学算法转化成计算机 语言的一般步骤． (2)模仿秦九韶算法，体会古人计算构思的巧妙． (3)通过对秦九韶算法的学习，了解中国古代数学家对数 学的贡献，充分认识到我国文化历史的悠久．通过对排序法 的学习，领会数学计算与计算机计算的区别，充分认识信息 技术对数学的促进．
最大公约数．由于
，故 36 与 60 的最大公约数为
2×2×3＝12. 2．观察下列等式 8 251＝6 105×1＋2 146，那么 8 251
与 6 105 这两个数的公约数和 6 105 与 2 146 的公约数有什么 关系？
【提示】 8 251 的最大约数是 2 146 的约数，同样 6 105 与 2 146 的公约数也是 8 251 的约数，故 8 251 与 6 105 的最 大公约数也是 6 105 与 2 146 的最大公约数．
●教学建议 在学生学习了算法的初步知识，理解了表示算法的算法 步骤、程序框图和程序三种不同方式以后，再结合典型算法 案例，让学生经历设计算法解决问题的全过程，体验算法在 解决问题中的重要作用，体会算法的基本思想，提高逻辑思 维能力，发展有条理地思考与数学表达能力．
建议充分发挥学生的主体作用和教师的主导作用，采用 启发式，并遵循循序渐进的教学原则．这有利于学生掌握从 现象到本质，从已知到未知逐步形成概念的学习方法，有利 于发展学生抽象思维能力和逻辑推理能力．
利用辗转相除法求给定的两个数的最大公约数，即利用 带余除法，用数对中较大的数除以较小的数，若余数不为零， 则将余数和较小的数构成新的数对，再利用带余除法，直到 大数被小数除尽，则这时的较小数就是原来两个数的最大公 约数．