2021河北保定高三摸底考数学试卷及答案
河北省保定市2021届高三上学期摸底考试数学(理)试题
河北省保定市2018届高三上学期摸底考试数学（理）试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．已知命题 p ：∀x ∈R ，cosx≤1，则（ ） A ．￢p ：∃x 0∈R ，cosx 0≥1 B ．￢p ：∀x ∈R ，cosx≥1 C ．￢p ：∀x ∈R ，cosx ＞1 D ．￢p ：∃x 0∈R ，cosx 0＞12．在复平面内，52ii+对应的点的坐标为（ ）. A ．(1,2)iB ．(1,2)C ．(2,1)D ．(1,2)-3．已知集合{||1|2}M x Z x =∈-≤，{}2|log 2N x Z x =∈<，则M N ⋂的真子集的个数为（ ）. A ．7B ．8C ．6D ．94．若定义域为R 的函数()f x 不是奇函数，则下列命题中一定为真命题的是（ ）. A ．x R ∀∈，()()f x f x -≠- B ．x R ∀∈，()()f x f x -= C ．0x R ∃∈，()()00f x f x -=D ．0x R ∃∈，()()00f x f x -≠-5．数列{}n a 中，若11a =，()*123n n a a n N +=-∈，则1210a a a +++=（ ）.A ．2018B ．2017C ．2016D ．20156．已知1OA =，3OB =，56AOB π∠=，若OB OC ⊥且OC mOA nOB =+，则mn（ ）. A ．5B ．4C ．2D ．17．设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若281130a a a ++=，则13S 的值是（ ）. A ．130B ．65C ．70D ．758．ABC ∆的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知2b =，6B π=，4Cπ，则ABC ∆的面积为（ ）A ．2+B 1C ．2D 19．已知对数函数()log a f x x =是增函数，则函数()1fx +的图象大致是（ ）.A ．B ．C ．D ．10．已知2tan()5αβ+=，1tan 3β=，则tan 4πα⎛⎫+ ⎪⎝⎭的值为（ ）.A ．12 BC ．98D ．7911．设ABC a b c ，，分别是内角A B C ，，的对边，若A B C ，，依次成等差数列，则a c +的最大值是（ ）.A ．6B ．8C ．9D ．1112．本学期开学前后，国务院下发了《新一代人工智能发展规划》，要求从小学教育，中学教育，到大学院校，逐步新增人工智能课程，建设全国人才梯队，凸显了我国抢占人工智能新高地的决心和信心.如图，三台机器人1M 、2M 、3M 和检测台J （位置待定）（J 与1M 、2M 、3M 共线但互不重合），三台机器人需把各自生产的零件送交J 处进行检测，送检程序如下：当1M 把零件送达J 处时，2M 即刻自动出发送检；当2M 把零件送达J 处时，3M 即刻自动出发送检.设2M 、3M 的送检速度的大小为2，1M 的送检速度大小为1.则三台机器人1M 、2M 、3M 送检时间之和的最小值为（ ）.A ．8B ．6C ．5D ．4二、填空题13．曲线y ＝x 3－2x ＋1在点()()11f ，处的切线方程为_______． 14．长江两岸之间没有大桥的地方，常常通过轮渡进行运输.假设一艘船从长江南岸A 点出发，以5/km h 的速度向垂直于对岸的方向行驶，同时江水的速度为向东2/km h .若这一段江面的宽度为25km ，则该船航行到对岸实际航行的距离为____________.15．设x 、y 满足约束条件20170x y x x y -+≤⎧⎪≥⎨⎪+-≤⎩，，，则x yx +的取值范围是____________.16．若定义()f n 为21n +的各位数字之和（*n N ∈），如2131170+=，则()013178f =++=，则20181((((9))))i i ff f f f ==∑个____________.三、解答题17．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且12a =，312S =.（1）若数列{}n a 中存在连续三项的和为54，求这三项的中间项对应的项数； （2）若3a ，1k a +，k S 成等比数列，求该数列的公比q .18．已知3122a ⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭，，(sin cos )b x x ππ=，，()f x a b =⋅. （1）求函数()f x 的周期，并说明其图象可由sin y x =的图象经过怎样的变换而得到；（2）设函数()f x 在[11]-，上的图象与x 轴的交点分别为M 、N ，图象的最高点为P ，求PM PN ⋅的值.19．已知数列{}n a 中，11a =，0n a ≠，数列{}n a 的前n 项和为n S ，且()*12nn nS a n N a +=∈. （1）求数列{}n a 的通项公式；（2）试求12n n na a a ++的最小值及其对应的n 的值.20．如图，ABC 中，已知点D 在BC 边上，且0AD AC ⋅=，AD AC ==30BAD ∠=︒.（1）求AB 的长；（2）设过点D 的直线交AB 延长线于E ，交AC 于F ，求112AE AF+的值. 21．某市欲在滨海公路l 的右侧修建一个休闲广场，如图所示.圆形广场的圆心为O ，半径80m ，并与公路l 相切于点M ，设A 为圆上一个动点，过A 做l 的垂线，垂足为B ，设ABM 的面积为S .（1）在图中，选取一个合适的角θ，并将S 表示为θ的函数； （2）求S 的最大值.22．已知函数()ln f x x =，()322x x xg a-=. （1）求函数()()2F x f x x =-+在[4)x ∈+∞，上的最大值； （2）若函数()()()2ln H x f x g x =-⎡⎤⎣⎦在区间112⎡⎤⎢⎥⎣⎦，上有零点，求a 的取值范围； （3）求证：()()()()2017*14034ln 222114035k f k f k f k k N =<+-+-<∈⎡⎤⎣⎦∑.参考答案1．D 【分析】对于全称命题的否命题，首先要将全称量词“∀”改为特称量词“∃”，然后否定原命题的结论，据此可得答案. 【详解】解：因为全称命题的否定是特称命题，所以命题 p ：∀x ∈R ，cosx≤1，￢p ：∃x 0∈R ，cosx 0＞1． 故选D ． 【点睛】本题考查了命题中全称量词和存在量词，解题的关键是要知晓全称命题的否定形式是特称命题. 2．B 【分析】由复数的乘除运算化简52ii+，再由复数的几何性质得到其点的坐标即可. 【详解】由题意，()()()525510122225i i i i i i i i -+===+++-， 所以52ii+对应的点的坐标为1,2. 故选：B 【点睛】本题主要考查复数的乘除运算和复数的几何性质，属于基础题. 3．A 【分析】根据题意先求解出集合M 和集合N 的元素，再求出M N ⋂，利用求集合真子集个数的公式求解即可. 【详解】对集合M ，由|1|2x -≤，解得，13x -≤≤， 又x ∈Z ，所以集合{}1,0,1,2,3M =-，对集合N ，由2log 2x <，解得，04x <<， 又x ∈Z ，所以集合{}1,2,3N =，所以{}1,2,3M N ⋂=，M N ⋂有3个元素， 所以M N ⋂真子集的个数为3217-= 故选：A 【点睛】本题主要考查绝对值不等式的计算、对数不等式的计算、交集的计算和真子集的求法，属于基础题. 4．D 【分析】对选项逐一分析，能举出反例即可. 【详解】对选项A ，可能存在()()f x f x -=-，例如1,0()1,0x f x x ≥⎧=⎨-<⎩， 对于任意0x ≠，都有()()f x f x -=-，故错误； 对选项B ，()f x 不是奇函数，也不一定是偶函数，故错误； 对选项C ，()1f x x =+，不存在()()00f x f x -=，故错误；对选项D ，因为()f x 不是奇函数，必然存在0x R ∈，()()00f x f x -≠-，故正确. 故选：D 【点睛】本题主要考查判断命题的真假和函数奇偶性的应用，考查学生理解分析能力，属于基础题. 5．C 【分析】由递推关系，构造等比数列{}3n a -，求得3n a -的表达式，即可求出n a ，利用分组求和的方法求出10S ，最后求得1210a a a +++，即10S 的值即可.【详解】由题，11a =，123n n a a +=-，可得()1233n n a a +=--，所以数列{}3n a -是以2-为首项，2为公比的等比数列，所以13222n nn a --=-⨯=-，23n n a =-+，所以数列{}n a 的前n 项和()212312n nS n -⨯-=+-，当10n =时，()1010212310201612S -⨯-=+⨯=--，所以1210102016a a a S +++==.故选：C 【点睛】本题主要考查利用构造法求数列的通项公式，等比数列的前n 项和公式以及分组求和的应用，属于中档题，常见求数列通项公式的方法：公式法，累加法，累乘法，构造法，取倒数法等. 6．C 【分析】由a b ⊥，0a b ⋅=，将OC 由mOA nOB +表示，利用0OB OC ⋅=，找出m 和n 的关系即可. 【详解】由OB OC ⊥和OC mOA nOB =+，()2OB OC OB mOA nOB mOB OA nOB ⋅=⋅+=⋅+25cos 1cos 36m OB OA AOB n OB m n π=∠+=⨯+⨯ 3302m n =-+=，所以332m n =，2m n= 故选：C 【点睛】本题主要考查向量垂直的应用和向量的数量积公式，属于基础题. 7．A【分析】由等差数列的通项公式化简281130a a a ++=，得到710a =，再由前n 项和公式表示出13S ，利用下标性质得到13713S a =，得到最后答案. 【详解】由题意，2811111171031830a a a a d a d a d a d ++=+++++=+=， 即17610a d a +==，由等差数列前n 项和公式和等差数列的下标性质，()1137137132********2a a a S a+⨯⨯====故选：A 【点睛】本题主要考查等差数列通项公式和前n 项和公式，等差数列下标性质的应用，还考查学生的转化能力，属于基础题. 8．B 【解析】试题分析：根据正弦定理，，解得，，并且，所以考点：1．正弦定理；2．面积公式． 9．B 【分析】利用代特殊点和对数函数的图像性质排除选项即可. 【详解】 由题意，1a >，()()1log 1afx x +=+，()()11f x f x -+=+，所以函数()1f x +是偶函数，当0x =时，()()01log 010a f +=+=，故排除选项C 、D ，当0x >时，由对数函数的单调性，对数函数增长越来越慢，可排除选项A. 故选：B 【点睛】本题主要考查函数图像的识别和判断，利用函数的奇偶性和带入特殊值排除法是解题的关键，属于基础题. 10．C 【分析】由两角差的正切公式先求出tan α，再由两角和的正切公式求出tan 4πα⎛⎫+ ⎪⎝⎭即可. 【详解】由题意，()()()21tan tan 153tan tan 211tan tan 17153αββααββαββ-+-=+-===⎡⎤⎣⎦+++⨯， 11tan tan9174tan 1481tan tan 11417παπαπα++⎛⎫+=== ⎪⎝⎭--⨯. 故选：C 【点睛】本题主要考查两角和差的正切公式，考查学生的计算能力，属于基础题. 11．A 【分析】由A ，B ，C 依次成等差数列求得3B π=，再根据ABC 的外接圆半径和正弦定理分别表示出a 和c ，利用辅助角公式表示出a c +，求出最大值即可.【详解】由A ，B ，C 依次成等差数列得2B A C =+， 所以3A B C B π++==,即3B π=，由正弦定理得，2sin a R A A ==，2sin c R C C ==， 又3B π=，所以222sin cos cos sin 3cos 333C A A A A A πππ⎛⎫⎫=-=-= ⎪⎪⎝⎭⎭，所以3cos 3cos 6sin 6a c A A A A A A π⎛⎫+=++=+=+⎪⎝⎭， 因为20,3A π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以当3A π=时，6sin 6A π⎛⎫+ ⎪⎝⎭取得最大值6，即a c +的最大值是6 故选：A 【点睛】本题主要考查正弦定理的应用、两角差的正弦公式、辅助角公式和三角函数的最值问题，考查学生的分析转化能力和计算能力，属于中档题. 12．D 【分析】设J 所在位置为x ，分别表示出1M 、2M 、3M 的送检时间，再利用绝对值的三角不等式求解即可. 【详解】由题意，设J 所在位置为x ，1M 的送检时间1121M Jt x ==+， 2M 的送检时间221112222M J x t x -===-， 3M 的送检时间333312222M J x t x -===-，所以送检时间之和123113122222t t t t x x x =++=++-+-， 由绝对值的三角不等式，1131113122422222222x x x x x x ++-+-≥++-+-=， 当且仅当()1131202222x x x ⎛⎫⎛⎫+--≥⎪⎪⎝⎭⎝⎭，即[][]2,13,x ∈-⋃+∞时，等号成立.故选：D 【点睛】本题主要考查绝对值三角不等式的应用，考查学生的分析转化能力，属于中档题. 13．1y x =- 【分析】先对函数求导，根据导数的几何意义可知，在该点处的切线的斜率即为该点处的导函数值.再求出切点的纵坐标，根据点斜式写出直线方程. 【详解】由321y x x =-+，得232y x '=-，∴在点(1,(1))f 处的切线的斜率为1，又(1)0f =，所以所求切线方程为：01y x -=-， 即1y x =-. 故答案为：1y x =-. 【点睛】本题主要考查了导数的几何意义和导数的计算，属于基础题.14． 【分析】根据江面宽和船垂直对岸方向的速度求出船航行时间，再求出船实际航行的速度，即可求解. 【详解】由题意，船垂直于对岸方向的速度为5/km h ，江面宽25km ， 则船航行所需时间2555t h ==，又江水的速度为2/km h /h =，所以轮渡实际航行的距离为.故答案为： 【点睛】本题主要考查向量在物理中的应用和向量的加法法则，属于基础题. 15．14,75⎡⎤⎢⎥⎣⎦【分析】将问题转化为在约束条件下目标函数的取值范围，作出可行域由斜率公式数形结合可得. 【详解】作出x 、y 满足约束条件20170x y x x y -+≤⎧⎪≥⎨⎪+-≤⎩的可行域如图阴影部分所示，其中目标函数1x y y x x +=+，yx表示区域内的点与原点连线的斜率， 联立方程组2070x y x y -+=⎧⎨+-=⎩，解得点59,22A ⎛⎫⎪⎝⎭，联立方程组170x x y =⎧⎨+-=⎩，解得点()1,6B ，当直线经过点A 时，y x取得最小值：992552=，x y x +的最小值为145， 当直线经过点B 时，yx 取得最大值：661=，x y x +的最大值为7，所以x y x +的取值范围：14,75⎡⎤⎢⎥⎣⎦.故答案为：14,75⎡⎤⎢⎥⎣⎦【点睛】本题考查了斜率型线性规划问题，解释目标函数的几何意义是解题的关键，考查了学生数形结合的思想，属于基础题. 16．16140 【分析】根据题意依次计算20181((((9))))i i ff f f f =∑个中的项，找到规律，然后求解即可.【详解】由题意，29182+=，所以(9)2810f =+=，2101101+=，所以(10)1012f =++=，2215+=，所以(2)5f =，25126+=，所以(5)268f =+=，28165+=，所以(8)6511f =+=，2111122+=，所以(11)1225f =++=，所以20181((((9))))i i ff f f f =∑个从第四项开始，以周期为3开始重复，2018367123-=⋅⋅⋅，所以一共包含671个周期以及(5)f 和(8)f ， (5)(8)(11)811524f f f ++=++=，所以20181((((9))))10252467181116140i i ff f f f ==+++⨯++=∑个.故答案为：16140 【点睛】本题主要考查函数求值以及归纳推理，考查学生理解分析能力和计算能力，属于中档题. 17．（1）9 （2）1q = 【分析】（1）由12a =和312S =求出等差数列的通项公式，再利用等差中项的性质即可得到答案； （2）由等差数列的通项公式和前n 项和公式分别表示出3a 、1k a +和k S ，再由等比中项的性质求出参数k ，再求出公比即可. 【详解】（1）设数列{}n a 的公差为d ，由题意知2310a a +=，即12310a d +=， 由12a =，解得2d =. 所以22(1)2na n n =+-=，即2n a n =，*n N ∈.设满足条件的连续三项的中间项为m a ，由等差中项的性质，得354m a =，所以18m a =，9m =， 故所求的中间项对应的项数为9. （2）由（1）可得2(22)2n n nS n n +==+， 所以2k S k k =+.又3236a =⨯=，12(1)k a k +=+，由已知可得213k k a a S +=，即()()22226k k k +=+，整理得220--=k k ，*k N ∈. 解得1k =-（舍去）或2k =.此时3a ，1k a +，k S 分别为为6，6，6，故公比1q =. 【点睛】本题主要考查求等差数列通项公式、等差数列前n 项和公式、等差中项等比中项的应用，属于基础题.18．（1）2，说明见解析 （2）34【分析】（1）由向量积的坐标公式和辅助角公式化简得到()sin 6x x f ππ⎛⎫+ ⎝=⎪⎭，利用2T πω=求出周期，再由先伸缩后平移说明即可；（2）由0f x求出点M 和点N 的坐标，再由1f x 求出点P 的坐标，用坐标分别表示出向量PM 和PN ，再计算PM PN ⋅即可. 【详解】解：（1）31,2a ⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭，(sin ,cos )b x x ππ=，()f x a b =⋅()1cos sin 26x f x x x ππππ⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭∴， 所以其周期为22ππ=，sin y x =图象上纵坐标不变，横坐标缩小为原来的1π倍得到sin y x =π的图象， 再把sin y x =π的图象向左平移16个单位得到sin 6y x ππ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象.（2）令()sin 06f x x ππ⎛⎫=+= ⎪⎝⎭，得6x k πππ+=，k Z ∈． [1,1]x ∈-，16x ∴=-或56x =，记1,06M ⎛⎫- ⎪⎝⎭，5,06N ⎛⎫ ⎪⎝⎭.由sin 16x ππ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，262x k ππππ+=+，k Z ∈， 又[1,1]x ∈-，∴13x =，1,13P ⎛⎫∴ ⎪⎝⎭， 1,12PM ⎛⎫∴=-- ⎪⎝⎭，1,12PN ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，所以13144PM PN ⋅=-+=. 【点睛】本题主要考查向量数量积的坐标表示、辅助角公式的应用、正弦函数图像的性质和三角函数的平移变换，属于基础题.19．（1）n a n = （2）1,2n =时，12n n na a a ++的最小值为6（1）由题意，当1n =时，求出22a =，2n ≥时，由n S 和n a 的关系得到112n n a a +--=，分别表示出21n a -和2n a ，从而得到数列{}n a 的通项公式；（2）由数列{}n a 的通项公式表示出12n n n a a a ++并化简得到23n n ++，利用基本不等式和*n N ∈求出12n n na a a ++的最小值及对应的项即可. 【详解】（1）由已知得112n n n S a a +=，于是由1n =得，11212a a a =，22a ∴=. 2n ≥时，1111122n n n n n n S S a a a a -+--=-，()1112n n n n a a a a +-∴=-，0n a ≠，112(2)n n a a n +-∴-=≥.又211(1)2n a a n -=+-⨯=1(1)221n n +-⨯=-22(1)2n a a n =+-⨯2(1)22n n =+-⨯=即n a n =（2）212(1)(2)32n n n a a n n n n a n n ++++++==233n n=++>+1,2n ∴=，236n n++= 3n ≥时，236n n ++>1,2n ∴=时，12nn na a a ++的最小值为6. 【点睛】本题主要考查由n S 和n a 的关系求通项公式和基本不等式的应用，属于基础题. 20．（1）3AB =+ （2）12（1）利用角的关系，求出135ADB ∠=︒和15ABD ∠=︒，在ABD △中由正弦定理求出AB ； （2）由题可得AED ADF AEF S S S +=△△△，再利用三角形面积公式，可求得112AE AF+的值. 【详解】 （1）0AD AC ⋅=，AD AC ∴⊥AD AC =，45ADC ∴∠=︒，135ADB ∠=︒又30BAD ∠=︒，所以15ABD ∠=︒，在ABD △中，由正弦定理，()sin135sin15sin 4530AB AD AD==︒︒︒-︒解得3AB =+（2）AED ADF AEF S S S +=△△△所以111sin 30sin120222AE AD AD AF AE AF ⋅+⋅=⋅︒︒ 等式两边同时除以AE AD AF ⋅⋅，得sin 301sin120AF AE AD+=︒︒， 所以11sin120122AE AF AD ︒+==. 【点睛】本题主要考查正弦定理和三角形面积公式的应用，考查学生的分析转化能力和计算能力，属于基础题.21．（1）3200sin (1cos )S θθ=+，(0,)θπ∈ （2）2max S = 【分析】（1）可设AON θ∠=，由圆的半径和θ的正弦值和余弦值分别表示出BM 和AB ，即可将S 表示为θ的函数；（2）对S 求导，判断S 的单调性即可求出S 的最大值. 【详解】（1）如图，设AON θ∠=，则sin 80sin BM AO θθ==，cos 8080cos AB MO AO θθ=+=+，(0,)θπ∈．则12S MB AB =⋅=180sin (8080cos )2θθ⨯⨯+ 3200sin (1cos )θθ=+，(0,)θπ∈．（2）由（1）知，3200sin (1cos )S θθ=+，(0,)θπ∈， 所以()232002cos cos 1S θθ'=+-3200(2cos 1)(cos 1)θθ=-+．令0S '=，得1cos 2θ=或cos 1θ=-（舍去）， 此时3πθ=.当θ变化时，,S S '的变化情况如下表：所以，当3πθ=时，S 取得极大值，即最大值，2max 3200sin(1cos )33S ππ+==. 【点睛】本题主要考查三角函数的应用和利用导数求函数的最值问题，考查学生的分析转化能力，属于基础题.22．（1）()max 2ln 22F x =- （2）1,22a ⎡∈⎢⎣⎦（3）证明见解析 【分析】（1）对()F x 求导得()11F x x'=-，判断()F x '在[4,)+∞上的单调性即可求得()F x 在[4,)+∞上的最大值；（2）将()()()2ln H x f x g x =-⎡⎤⎣⎦在区间112⎡⎤⎢⎥⎣⎦，上有零点转化为()()2ln f x g x =⎡⎤⎣⎦有解，分离参数后构造新的函数()332x h x x =-，利用导数求得()h x 的范围，再结合()0g x >，确定a 的范围；（3）由（1）知，ln 2x x <-，利用对数的运算性质将()()()2211f k f k f k +-+-化成2441()ln (1)k k p k k k ⎡⎤++=⎢⎥+⎣⎦，而24414(1)k k k k ++>+，原不等式右侧可利用放缩和裂项相消求得，又2441()ln ln 4(1)k k p k k k ⎡⎤++=>⎢⎥+⎣⎦，原不等式左侧也可得证，从而证明不等式成立. 【详解】（1）()ln 2F x x x =-+(4)x ≥，()11F x x '=-， ()F x '在[4,)+∞上单调递减，()1310444F =-=-<'，当4x ≥时，()110F x x-'=<，()F x ∴在[4,)+∞上单调递减，()()max 4ln 422ln 22F x F ==-=-．（2）函数()()()2ln H x f x g x =-⎡⎤⎣⎦在1,12⎡⎤⎢⎥⎣⎦上有零点()()2ln f x g x ⇔=⎡⎤⎣⎦有解332a x x ⇔=-在1,12x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦上有解且()0g x >．令()332x h x x =-，1,12x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，因为()22313322h x x x ⎛⎫'=-=- ⎪⎝⎭， 令()0h x '>，解得122x <<， ()h x ∴在1,22x ⎡∈⎢⎣⎦上单调递增，2x ⎤∈⎥⎣⎦上单调递减， 又()1151228h h ⎛⎫=<= ⎪⎝⎭，()()12h h x h ⎛∴≤≤ ⎝⎭， 即()122h x ≤≤，故12a ⎡∈⎢⎣⎦．又()3202x a g x x-=>，得34a <，综上可得，1,22a ⎡∈⎢⎣⎦.（3）证明：由（1）知，()max ln 422(ln 21)0F x =-=-<， 所以4x ≥时，ln 2x x <-．设()2(21)p k f k =+(1)()f k f k -+-，则2441()ln (1)k k p k k k ⎡⎤++=⎢⎥+⎣⎦，2441144(1)(1)k k k k k k ++=+>++，所以22441441()ln 2(1)(1)k k k k p k k k k k ⎡⎤++++=<-⎢⎥++⎣⎦11122(1)1k k k k =+=+-++ 所以()()()()20172017112211k k f k f k f k p k ==+-+-=⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦∑∑1111122017122320172018⎛⎫=⨯+-+-+⋅⋅⋅+- ⎪⎝⎭12201712018<⨯+- 2201714035<⨯+=又因为2441()ln (1)k k p k k k ⎡⎤++=⎢⎥+⎣⎦22(21)ln ln 4212k k +>=+⎛⎫ ⎪⎝⎭所以()()()()201720171122112017ln 44034ln 2k k f k f k f k p k ==+-+-=>=⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦∑∑故结论成立.【点睛】本题主要考查利用导数求函数的最值、零点问题的转化、分离参数的应用、放缩和裂项相消法求和的应用，考查学生的分析转化能力和计算能力，属于难题.。
河北省保定市2024高三冲刺(高考数学)统编版摸底(综合卷)完整试卷
河北省保定市2024高三冲刺（高考数学）统编版摸底(综合卷)完整试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分 (共8题)第(1)题设实数，满足约束条件，则的最小值为（）A．B．C．5D．第(2)题设等比数列的前项和为，已知，则（）A．80B．160C．121D．242第(3)题已知曲线，过点作该曲线的两条切线，切点分别为，则（）A．B．C．D．3第(4)题已知全集，集合，，则等于（）A．B．C．D．第(5)题设双曲线C其中一支的焦点为F，另一支的顶点为A，其两渐近线分别为. 若点B在m上，且，则m与n的夹角的正切值为（）A．B．C．2D．第(6)题已知分别为双曲线的左、右顶点，过双曲线的左焦点作直线交双曲线于两点(点异于)，则直线的斜率之比（）A．B．C．D．第(7)题下列双曲线中，渐近线方程为的是A．B．C．D．第(8)题《九章算术》是中国古代的数学专著，在卷五《商功》重有一问题：今有沟，上广一丈五尺，下广一丈，深五尺，袤七丈.问积几何？答曰：四千三百七十尺.意思是说现在有一条水沟，截面是梯形，梯形上底长一丈五尺，下底长一丈，水沟的深为五尺，长七丈.问水沟的容积是多大？答案是4375立方尺.若此沟两坡面坡度相同，某人想给此沟表面铺上水泥进行固定，不计水泥厚度，则需要水泥多少平方尺？(一丈等于十尺)（）A．4375B．C．D．二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分 (共3题)第(1)题设，，满足，下列说法正确的是（）A．ab的最大值为B．的最小值为C．的最小值为D．的最小值为1第(2)题正方体的任意两条不共面的面对角线所成角为（）A．90°B．60°C．45°D．30°第(3)题已知由样本数据组成的一个样本，得到回归直线方程为，且，去除两个歧义点和后，得到新的回归直线的回归系数为2.5，则下列说法正确的是（）A．相关变量具有正相关关系B．去除两个歧义点后，随值增加相关变量值增加速度变小C．去除两个歧义点后，重新求得回归方程对应的直线一定过点D．去除两个歧义点后，重新求得的回归直线方程为三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分 (共3题)第(1)题参数方程（为参数）的普通方程是_______________.第(2)题已知圆与圆交于M，N两点，若，则实数a，的一对值可以为______，______．（写出满足条件的一组即可）第(3)题若是双曲线的右焦点，是双曲线上的一点，过点、的直线与轴交于点，且，则直线的斜率为__________．四、解答题：本题共5小题，每小题15分，最后一题17分，共77分 (共5题)第(1)题在①数列是各项均为正数的递增数列，，且，，成等差数列；②；③这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并解答该问题．问题：设数列的前项和为，________________．(1)求数列的通项公式；(2)设，求数列的前项和．（如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分）第(2)题已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且．(1)求的值；(2)设为边上的高，，求的最大值．第(3)题等差数列不是常数列，且，若构成等比数列.（1）求；（2）求数列前n项和第(4)题已知数列满足，(1)求数列的通项公式；(2)令，求使取最大值时的的值.（取）第(5)题已知函数(1)求函数的极值；(2)设，为两个不等的正数，且，若不等式恒成立，求实数的取值范围．。
2023届河北省保定市高三上学期11月摸底考试数学试题(PDF版
保定市2022-2023学年高三上学期11月摸底考试数学试题注意事项：1．答卷前，考生务必用黑色字迹钢笔或签字笔将自己的姓名、考生号、考场号和座位号填写在答题卡上。
2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案写在本试卷上无效。
3．非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液。
不按以上要求作答的答案无效。
4．考生必须保持答题卡的整洁。
考试结束后，将试卷和答题卡一并交回。
．一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．若集合{}121M x x =-<-≤，{}1,2,3N =，则M N =I （ ）A ．{}2,3B ．[]1,2C ．[]2,3D ．{}1,2 2．若复数z 满足()()141z i i -⋅=-，则z =（ ）A ．1B ．3C ．5D ．73．如果a ，b 是两个共线的单位向量，则（ ）A ．a b =B ．0a b ⋅=C ．1a b ⋅=D ．22a b =4．我国古代数学名著《九章算术》对立体几何有着深入的研究，从其中的一些数学用语可见，譬如“堑堵”指底面为直角三角形且侧棱垂直于底面的三棱柱，“阳马”指底面是矩形且有一侧棱垂直于底面的四棱锥，“鳖臑”指的是四个面都是直角三角形的三棱锥．现有一如图所示的“堑堵”111ABC A B C -，其中AC BC ⊥，若12AA AB ==，则“阳马”11B A ACC -的体积最大为（ ）A ．23B ．2C ．43D ．45．等差数列{}n a 中，4a ，2019a 是方程2430x x -+=的两个根，则{}n a 的前2022项和为（ ）A ．1011B ．2022C ．4044D ．80886．已知函数()()π2sin 0,02f x x ωϕωϕ⎛⎫=+><<⎪⎝⎭的部分图象如图所示，则函数()f x 的单调递增区间是（ ）A ．()4π2π2π,2π33k k k Z ⎡⎤-++∈⎢⎥⎣⎦B ．()4π2π4π,4π33k k k Z ⎡⎤-++∈⎢⎥⎣⎦C ．()π2π2π,2π33k k k Z ⎡⎤-++∈⎢⎥⎣⎦D ．()5π2π4π,4π33k k k Z ⎡⎤-++∈⎢⎥⎣⎦7．已知0x >，函数()25x f x x =+-，()24g x x x =+-，()2log 3h x x x =+-的零点分别为a ，b ，c ，则（ ）A ．a b c <<B ．a c b <<C ．b a c <<D ．b c a <<8．定义在R 上的函数()f x 满足()()112f x f x +=，且当(]0,1x ∈时，()()1f x x x =-．若对任意[),x m ∈+∞，都有()118f x ≤，则m 的取值范围是（ ） A ．7,3⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭ B ．8,3⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭ C ．11,4⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭ D ．[)3,+∞二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
河北省保定市2024高三冲刺(高考数学)部编版摸底(综合卷)完整试卷
河北省保定市2024高三冲刺（高考数学）部编版摸底(综合卷)完整试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分 (共8题)第(1)题我们称数列与数列为“隔项相消数列”，其中a，b，c，，则.已知数列的通项公式为，其中，函数表示不超过实数x的最大整数，则除以4的余数为（）A．0B．1C．2D．3第(2)题已知复数满足，其中为的共轭复数，则的虚部为（）A．B．C．D．1第(3)题记函数（）的最小正周期为，且，将的图象向右平移个单位，所得图象关于轴对称，则的最小值为（）A．1B．2C．3D．5第(4)题已知向量，，且，则m的值为（）A．B．1C．或2D．2第(5)题已知直线与双曲线交于两点，点是双曲线上与不同的一点，直线的斜率分别为，则当取得最小值时，该双曲线的离心率为（）A．B．C．D．第(6)题将函数（其中>0）的图像向右平移个单位长度，所得图像经过点，则的最小值是A．B．1C．D．2第(7)题已知，则“”是“”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件第(8)题在边长为2的菱形中，，将菱形沿对角线折起，使得平面平面，则所得三棱锥的外接球表面积为（）A．B．C．D．二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分 (共3题)第(1)题已知点为直线与轴交点，为圆上的一动点，点，则（）A．取得最小值时，B．与圆相切时，C．当时，D．的最大值为第(2)题函数的部分图象如图所示，则下列关于函数的说法正确的是（）A．的最小正周期为B ．的图象关于中心对称C ．在上单调递减D．把的图像向右平移个单位长度，得到一个奇函数的图象第(3)题设，随机变量的分布列如下图所示，则下列说法正确的有（）X012PA．恒为1B．随增大而增大C．恒为D．最小值为0三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分 (共3题)第(1)题设，则最小值为________第(2)题如图，在正四棱锥框架内放一个球O，球O与侧棱PA，PB，PC，PD均相切．若，且OP＝2，则球O的表面积为______．第(3)题某车间生产一批生活用品．已知生产生活用品的个数x（单位：个）与利润y（单位：元）满足关系式：，则当该车间生产了657个生活用品时，可获利润______元．（）A．237689B．248900C．230809D．229950四、解答题：本题共5小题，每小题15分，最后一题17分，共77分 (共5题)第(1)题在公差为2的等差数列中，，，成等比数列.（1）求的通项公式；（2）求数列的前项和.第(2)题已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且．(1)证明：；(2)若，当C取最大值时，求的面积．第(3)题在中，角的对边分别为．(1)求角；(2)若为边上一点，，求的最大值．第(4)题等差数列的前n项和为，数列是等比数列，满足，，，.（Ⅰ）求数列和的通项公式；（Ⅱ）若数列满足，求数列的前项和.（Ⅲ）求.第(5)题2020年全面建成小康社会取得伟大历史成就，决战脱贫攻坚取得决定性胜利．某脱贫县实现脱贫奔小康的目标，该县经济委员会积极探索区域特色经济，引导商家利用多媒体的优势，对本地特产进行广告宣传，取得了社会效益和经济效益的双丰收．(1)该县经济委员会为精准了解本地特产广告宣传的导向作用，在购买该县特产的客户中随机抽取300人进行广告宣传作用的调研，对因广告宣传导向而购买该县特产的客户统计结果是：客户群体中青年人约占，其中男性为；中年人约占，其中男性为；老年人约占，其中男性为．以样本估计总体，视频率为概率．（ⅰ）在所有购买该县特产的客户中随机抽取一名客户，求抽取的客户是男性的概率；（ⅱ）在所有购买该县特产的客户中随机抽取一名客户是男客户，求他是中年人的概率（精确到0.0001）(2)该县经济委员会统计了2021年6～12月这7个月的月广告投入x（单位：万元）；y（单位：万件）的数据如表所示：月广告投入x/万元1234567月销量y/万件28323545495260已知可用线性回归模拟拟合y与x的关系，得到y关于x的经验回归方程为，请根据相关系数r说明相关关系的强弱．（若，则认为两个变量有很强的线性相关性，r值精确到0.001）参考数据：，，．参考公式：相关系数．。
2021届河北省保定市高三上学期期末调研考试文科数学试卷
2021年河北省保定市高三上学期期末调研考试文科数学试卷学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．若复数13z i =+，则z=（ ）A ．12 B ．32 C ．1 D ．22．已知集合{|21},{|2}x M x N x x =≥=≤，则M N =（ ）A ．[]1,2B ．[)2,-+∞C ．[]0,2D ．()0,23．已知函数()sin()(0)4f x wx w π=+>的最小正周期为π，则()8f π=（） A ．1 B ．12 C ．-1 D ．12-4．在区间[]5,5-内随机取出一个实数a ，则()0,1a ∈的概率为（ ）A ．0.5B ．0.3C ．0.2D ．0.15．运行如图所示的程序框图，则输出的结果S 为（ ）A ．2014B ．2013C ．1008D ．10076．已知实数,x y 满足约束条件5000x y x y y ++≥⎧⎪-≤⎨⎪≤⎩，则24z x y =+的最大值是（）A ．2B ．0C ．-10D ．-1 57．如图12,e e 为互相垂直的两个单位向量，则a b +=（ ）A ．20B ．10C ．25D ．158．湖面上飘着一个小球，湖水结冰后讲球取出，冰面上留下一个半径为6cm ，深2cm 的空穴，则取出该球前，球面上的点到冰面的最大距离为（ ）A ．20cmB ．18cmC ．10cmD ．8cm 9．已知等比数列{}n a 中，若1324,,2a a a 成等差数列，则公比q =（ ）A ．1B ．1或2C ．2或-1D ．-1 10．已知函数()()322,2,03a f x x ax cx g x ax ax c a =++=++≠，则它们的图象可能是（ ）11．已知函数()2log ,0f x x m n =<<，且()()f m f n =，若函数()f x 在区间2,m n ⎡⎤⎣⎦上的最大值为2，则2m =（ ） A ．14 B 2 C ．32 D ．1212．在ABC ∆中，内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，且BC 3，则c b b c +取得最大值时，内角A 的值为（ ） A ．2π B ．6π C ．23π D ．3π二、填空题13．若1x >时，11x α-<，则α的取值范围是14．如图是一个空间几何体的三视图，则该几何体的表面积为15．已知圆22:20(0)C x ax y a -+=>与直线:330l x +=相切，则a =16．设互不相等的平面向量组(1,2,3,)i a i =，满足：①2i a =； ②10i i a a +⋅=，若12(2)m m T a a a m =+++≥，则m T 的取值集合为三、解答题17．（本小题满分10分）在ABC ∆中，内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，且sin 3cos 0b C c B =。
河北省保定市2021届新高考数学第一次调研试卷含解析
河北省保定市2021届新高考数学第一次调研试卷一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．《九章算术》中将底面是直角三角形的直三棱柱称为“堑堵”.某“堑堵”的三视图如图，则它的外接球的表面积为（ ）A ．4πB ．8πC ．642+D ．83π【答案】B 【解析】 【分析】由三视图判断出原图，将几何体补形为长方体，由此计算出几何体外接球的直径，进而求得球的表面积. 【详解】根据题意和三视图知几何体是一个底面为直角三角形的直三棱柱，底面直角三角形的斜边为2，侧棱长为2且与底面垂直，因为直三棱柱可以复原成一个长方体，该长方体外接球就是该三棱柱的外接球，长方体对角线就是外接球直径，则2222(2)4228R R ==+=，那么248S R ππ==外接球.故选：B 【点睛】本小题主要考查三视图还原原图，考查几何体外接球的有关计算，属于基础题.2．已知直线y ＝k （x ﹣1）与抛物线C ：y 2＝4x 交于A ，B 两点，直线y ＝2k （x ﹣2）与抛物线D ：y 2＝8x 交于M ，N 两点，设λ＝|AB|﹣2|MN|，则（ ） A ．λ＜﹣16 B ．λ＝﹣16C ．﹣12＜λ＜0D ．λ＝﹣12【答案】D 【解析】 【分析】分别联立直线与抛物线的方程，利用韦达定理，可得244AB k =+，244AB k =+，然后计算，可得结果.【详解】设()()1122,,,A x y B x y ，联立()2222212404y k x k x k x k y x=-⎧⇒-++=⎨=⎩（） 则212222442k x x k k++==+， 因为直线()1y k x =-经过C 的焦点， 所以12244x x k A p B =++=+. 同理可得228MN k=+， 所以41612λ=-=- 故选：D. 【点睛】本题考查的是直线与抛物线的交点问题，运用抛物线的焦点弦求参数，属基础题。
河北省保定市波峰中学2021年高三数学理月考试卷含解析
河北省保定市波峰中学2021年高三数学理月考试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. “”是“函数存在零点"的A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分又不必要条件参考答案：A略2. 已知圆，直线.求直线被圆C截得的弦长最小时的方程.A．B．C．D．参考答案：B略3. 已知，函数y=f（x+φ）的图象关于直线x=0对称，则φ的值可以是（）A．B．C．D．参考答案：D【考点】y=Asin（ωx+φ）中参数的物理意义；运用诱导公式化简求值；图形的对称性．【专题】计算题．【分析】化简函数的表达式，函数y=f（x+φ）的图象关于直线x=0对称，说明是偶函数，求出选项中的一个φ即可．【解答】解： =2sin（x+），函数y=f（x+φ）=2sin（x+φ+）的图象关于直线x=0对称，函数为偶函数，∴φ=故选D．【点评】本题考查y=Asin（ωx+φ）中参数的物理意义，运用诱导公式化简求值，图形的对称性，考查计算能力，是基础题．4. 函数的图象为()参考答案：B5. 已知函数f（x）=Asin（ωx+）﹣1（A＞0，ω＞0）的部分图象如图，则对于区间[0，π]内的任意实数x1，x2，f（x1）﹣f（x2）的最大值为（）A．2 B．3 C．4 D．6参考答案：B【考点】y=Asin（ωx+φ）中参数的物理意义．【分析】根据函数f（x）的部分图象求出A、ω的值，写出f（x）的解析式，再求x∈[0，π]时f（x）的最大、最小值即可．【解答】解：根据函数f（x）=Asin（ωx+）﹣1（A＞0，ω＞0）的部分图象知，f（0）=Asin﹣1=0，解得A=2，∴f（x）=2sin（ωx+）﹣1；又f（）=2sin（ω+）﹣1=1，∴sin（ω+）=1，根据五点法画图知，ω+=，解得ω=1，∴f（x）=2sin（x+）﹣1；当x∈[0，π]时，x+∈[，]，∴sin（x+）∈[﹣，1]，∴2sin（x+）∈[﹣1，2]，∴2sin（x+）﹣1∈[﹣2，1]，即f（x）∈[﹣2，1]；∴对于区间[0，π]内的任意实数x1，x2，f（x1）﹣f（x2）的最大值为1﹣（﹣2）=3．故选：B．6. 某中学进行模拟考试有80个考室，每个考室30个考生，每个考生座位号按1～30号随机编排，每个考场抽取座位号为15号考生试卷评分，这种抽样方法是（）A. 简单随机抽样B. 系统抽样C. 分层抽样D. 分组抽样参考答案：B7. 已知双曲线=1右支上一点P到左、右焦点的距离之差为6，P到左准线的距离为，则P 到右焦点的距离为（）A．B．C．D．参考答案：B【考点】双曲线的简单性质．【分析】由题意可知：丨PF1丨﹣丨PF2丨=6，则a=3，由c==5，求得双曲线的准线方程为x=±=±，点P到右准线的距离为﹣×2=，根据双曲线的第二定义，点P到右焦点的距离为d=e，即可求得P到右焦点的距离．【解答】解：由题意可知：双曲线=1焦点在x轴上，焦点为F1，F2，则丨PF1丨﹣丨PF2丨=6，即2a=6，则a=3，由c==5，双曲线的准线方程为x=±=±，点P到右准线的距离为﹣×2=，由双曲线的第二定义，点P到右焦点的距离为d=e=×=，故P到右焦点的距离，故选：B．8. 已知直线⊥平面，直线平面，以下四个命题①若，则；②若，则；③若，则；④若，则中正确的两个命题是( )A. ①与②B. ③与④C. ②与④D. ①与③参考答案：D【分析】由线面垂直的性质及面面垂直判断可判断①和③正确，通过列举反例得②和④错误.【详解】对于①，因为直线⊥平面，，所以直线⊥平面，因直线平面，所以，故①正确；对于②，与异面、平行或相交，故②错误；对于③，因为直线⊥平面，，所以，而，所以，所以③正确；对于④，当直线⊥平面，直线平面，时，、平行或相交，故④错误，综上，①与③正确，故选D.【点睛】本题考查空间中点线面的位置关系，属于基础题.解决这类问题时注意动态地考虑不同的位置关系，这样才能判断所给的命题的真假.9. 设非零向量，满足，则（）A. B. C. D.参考答案：B因为非零向量，满足，所以，所以，所以，即，所以，故选B.10. 下列说法正确的是（）A．a∈R，“＜1”是“a＞1”的必要不充分条件B．“p∧q为真命题”是“p∨q为真命题”的必要不充分条件C．命题“?x∈R使得x2+2x+3＜0”的否定是：“?x∈R，x2+2x+3＞0”D．命题p：“?x∈R，sinx+cosx≤”，则￢p是真命题参考答案：A【考点】2K：命题的真假判断与应用．【分析】A．根据不等式的关系进行判断即可．B．根据充分条件和必要条件的定义进行判断．C．根据特称命题的否定是全称命题进行判断．D．根据三角函数的性质进行判断．【解答】解：A．由＜1得a＞1或a＜0，则“＜1”是“a＞1”的必要不充分条件，正确，B．若p∧q为真命题，则p，q都是真命题，此时p∨q为真命题，即充分性成立，反之当p假q真时，p∨q为真命题，但p∧q为假命题，故“p∧q为真命题”是“p∨q为真命题”的充分不必要条件，故B错误，C．命题“?x∈R使得x2+2x+3＜0”的否定是：“?x∈R，x2+2x+3≥0”，故C错误，D．∵sinx+cosx=sin（x+）≤恒成立，∴p是真命题，则￢p是假命题，故D错误，故选：A．二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 若关于的二元一次方程组有唯一一组解，则实数的取值范围是.参考答案：略12. 要从甲、乙等8人中选4人在座谈会上发言，若甲、乙都被选中，且他们发言中间恰好间隔一人，那么不同的发言顺序共有种（用数字作答）.参考答案：120先从除了甲乙以外的6人中选一人，安排在甲乙中间，有种，最后再选出一人和刚才的三人排列得：.故答案为：120.13. 若函数（a＞0，a≠1），则g（x）=+的值域为．参考答案：{0，﹣1}【考点】函数的值域．【专题】计算题；压轴题；新定义．【分析】先求出函数f（x）的值域，然后求出的值，再求出f（﹣x）的值域，然后求出的值，最后求出g（x）=+的值域即可．【解答】解：=∈（0，1）∴f（x）﹣∈（﹣，）=0 或﹣1∵f（﹣x）=∈（0，1）∴f（﹣x）﹣∈（，）则=﹣1或0∴g（x）=+的值域为{0，﹣1}故答案为：{0，﹣1}【点评】本题主要考查了函数的值域，同时考查分类讨论的数学思想，分析问题解决问题的能力，属于中档题．14. 如果把四个面都是直角三角形的四面体称为“三节棍体”，那么从长方体八个顶点中任取四个顶点，则这四个顶点是“三节棍体”的四个顶点的概率为 .参考答案：15. 若关于x的不等式2－x2=|x－a|至少有一个负数解，则实数a的取值范围是_____．参考答案：[－，2)y＝2－x2是开口向下的抛物线，y＝|x－a|是与x轴交于(a,0)点的“V字形”折线，显然当a＝2时，y ＝2－x2(x<0)的图象都在折线下方，由2－x2＝x－a得x2＋x－a－2＝0，由Δ＝1＋4a＋8＝0得a＝－，此时y＝x－a与y＝2－x2(x<0)相切，故－≤a<2.16. 若_______.参考答案：略17. (x2－x+1)10展开式中所有项的系数和为_________，其中x3项的系数为_____________.参考答案：1，．提示：令即得各项系数和．若要凑成有以下几种可能：（1）：1个，1个，8个1，所得项为：；（2）：3个，7个1，所得项为：，所以项的系数为．三、解答题：本大题共5小题，共72分。
河北省保定市2021届新高考数学二模试卷含解析
河北省保定市2021届新高考数学二模试卷一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．《九章算术》勾股章有一“引葭赴岸”问题“今有饼池径丈，葭生其中，出水两尺，引葭赴岸，适与岸齐，问水深，葭各几何？”，其意思是：有一个直径为一丈的圆柱形水池，池中心生有一颗类似芦苇的植物，露出水面两尺，若把它引向岸边，正好与岸边齐，问水有多深，该植物有多高？其中一丈等于十尺，如图若从该葭上随机取一点，则该点取自水下的概率为（ ）A ．1213B ．1314C ．2129D ．1415【答案】C 【解析】 【分析】由题意知：2BC =，'5B C =，设AC x =，则2AB AB x '==+，在Rt ACB 'V 中，列勾股方程可解得x ，然后由P 2xx =+得出答案. 【详解】解：由题意知：2BC =，'5B C =，设AC x =，则2AB AB x '==+ 在Rt ACB 'V 中，列勾股方程得：()22252x x +=+，解得214x =所以从该葭上随机取一点，则该点取自水下的概率为21214P 2122924x x ===++ 故选C. 【点睛】本题考查了几何概型中的长度型，属于基础题.2．已知各项都为正的等差数列{}n a 中，23415a a a ++=，若12a +，34a +，616a +成等比数列，则10a =（ ） A ．19 B ．20C ．21D ．22【答案】A 【解析】试题分析：设公差为234331111,3152552(2)(516)d a a a a a a d a d a a d ++==⇒=+=⇒=-⇒+++2(72)(321)81272202d d d d d =-+=⇒+-=⇒=或112d =-（舍），故选A.考点：等差数列及其性质.3．已知m ∈R ，复数113z i =+，22z m i =+，且12z z ⋅为实数，则m =（ ） A ．23-B ．23C ．3D ．-3【答案】B 【解析】 【分析】把22z m i =-和 113z i =+代入12z z ⋅再由复数代数形式的乘法运算化简，利用虚部为0求得m 值． 【详解】因为()()()()12132632z z i m i m m i ⋅=+-=++-为实数，所以320m -=，解得23m =. 【点睛】本题考查复数的概念，考查运算求解能力.4．复数12z i =+，若复数12,z z 在复平面内对应的点关于虚轴对称，则12z z 等于（ ） A ．345i+-B ．345i+ C ．34i -+D ．345i-+ 【答案】A 【解析】 【分析】先通过复数12,z z 在复平面内对应的点关于虚轴对称，得到22z i =-+，再利用复数的除法求解12z z . 【详解】因为复数12,z z 在复平面内对应的点关于虚轴对称，且复数12z i =+， 所以22z i =-+所以()()()122223422255+--+===---+-+--i i z i i z i i i 故选：A 【点睛】本题主要考查复数的基本运算和几何意义，属于基础题.5．如图在直角坐标系xOy 中，过原点O 作曲线()210y x x =+≥的切线，切点为P ，过点P 分别作x 、y 轴的垂线，垂足分别为A 、B ，在矩形OAPB 中随机选取一点，则它在阴影部分的概率为（ ）A ．16B ．15C ．14D ．12【答案】A 【解析】 【分析】设所求切线的方程为y kx =，联立()201y kx k y x ⎧=>⎨=+⎩，消去y 得出关于x 的方程，可得出0∆=，求出k 的值，进而求得切点P 的坐标，利用定积分求出阴影部分区域的面积，然后利用几何概型概率公式可求得所求事件的概率. 【详解】设所求切线的方程为y kx =，则0k >， 联立()201y kx k y x ⎧=>⎨=+⎩，消去y 得210x kx -+=①，由240k ∆=-=，解得2k =，方程①为2210x x -+=，解得1x =，则点()1,2P ，所以，阴影部分区域的面积为()1232100111233S x x dx x x x ⎛⎫=+-=-+= ⎪⎝⎭⎰， 矩形OAPB 的面积为122S '=⨯=，因此，所求概率为16S P S =='. 故选：A. 【点睛】本题考查定积分的计算以及几何概型，同时也涉及了二次函数的切线方程的求解，考查计算能力，属于中等题.6．某校为提高新入聘教师的教学水平，实行“老带新”的师徒结对指导形式，要求每位老教师都有徒弟，每位新教师都有一位老教师指导，现选出3位老教师负责指导5位新入聘教师，则不同的师徒结对方式共有（ ）种. A ．360 B ．240C ．150D ．120【答案】C【解析】 【分析】可分成两类，一类是3个新教师与一个老教师结对，其他一新一老结对，第二类两个老教师各带两个新教师，一个老教师带一个新教师，分别计算后相加即可． 【详解】分成两类，一类是3个新教师与同一个老教师结对，有335360C A =种结对结对方式，第二类两个老教师各带两个新教师，有223533902!C C A =．∴共有结对方式60＋90＝150种． 故选：C ． 【点睛】本题考查排列组合的综合应用．解题关键确定怎样完成新老教师结对这个事情，是先分类还是先分步，确定方法后再计数．本题中有一个平均分组问题．计数时容易出错．两组中每组中人数都是2，因此方法数为22532!C C ．7．设全集U =R ，集合{}2A x x =<，{}230B x x x =-<，则()U A B =I ð（ ） A ．()0,3 B ．[)2,3C ．()0,2D ．()0,∞+【答案】B 【解析】 【分析】可解出集合B ，然后进行补集、交集的运算即可． 【详解】{}()2300,3B x x x =-<=Q ，{}2A x x =<，则[)2,U A =+∞ð，因此，()[)2,3U A B =I ð.故选：B. 【点睛】本题考查补集和交集的运算，涉及一元二次不等式的求解，考查运算求解能力，属于基础题. 8．已知α满足1sin 3α=，则cos cos 44ππαα⎛⎫⎛⎫+-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭（ ） A ．718B ．79C ．718-D ．79-【答案】A 【解析】 【分析】利用两角和与差的余弦公式展开计算可得结果. 【详解】1sin 3α=Q ，cos cos cos cos sin sin cos cos sin sin 444444ππππππαααααα⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫∴+-=-+ ⎪ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭()()222222211cos sin cos sin cos sin 12sin 222222ααααααα⎛⎫⎛⎫=-+=-=- ⎪⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭2117122318⎡⎤⎛⎫=-⨯=⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦. 故选：A. 【点睛】本题考查三角求值，涉及两角和与差的余弦公式的应用，考查计算能力，属于基础题.9．某人用随机模拟的方法估计无理数e 的值，做法如下：首先在平面直角坐标系中，过点()1,0A 作x 轴的垂线与曲线xy e =相交于点B ，过B 作y 轴的垂线与y 轴相交于点C （如图），然后向矩形OABC 内投入M 粒豆子，并统计出这些豆子在曲线xy e =上方的有N 粒()N M <，则无理数e 的估计值是（ ）A ．N M N-B ．MM N-C ．M NN- D ．M N【答案】D 【解析】 【分析】利用定积分计算出矩形OABC 中位于曲线xy e =上方区域的面积，进而利用几何概型的概率公式得出关于e 的等式，解出e 的表达式即可.在函数x y e =的解析式中，令1x =，可得y e =，则点()1,B e ，直线BC 的方程为y e =，矩形OABC 中位于曲线xy e =上方区域的面积为()()1101xxS e e dx ex e =-=-=⎰，矩形OABC 的面积为1e e ⨯=， 由几何概型的概率公式得1N M e =，所以，M e N=. 故选：D. 【点睛】本题考查利用随机模拟的思想估算e 的值，考查了几何概型概率公式的应用，同时也考查了利用定积分计算平面区域的面积，考查计算能力，属于中等题.10．已知m ，n 为异面直线，m ⊥平面α，n ⊥平面β，直线l 满足l ⊥m ，l ⊥n ，,l α⊄,l β⊄则 （ ）A ．α∥β且l ∥αB ．α⊥β且l ⊥βC ．α与β相交，且交线垂直于lD ．α与β相交，且交线平行于l【答案】D 【解析】 【分析】 【详解】试题分析：由m ⊥平面α，直线l 满足l m ⊥，且l α⊄，所以//l α，又n ⊥平面β，,l n l β⊥⊄，所以l β//，由直线,m n 为异面直线，且m ⊥平面,n α⊥平面β，则α与β相交，否则，若//αβ则推出//m n ，与,m n 异面矛盾，所以,αβ相交，且交线平行于l ，故选D ．考点：平面与平面的位置关系，平面的基本性质及其推论．11．设,m n 是两条不同的直线,,αβ是两个不同的平面,下列命题中正确的是（ ） A ．若//m α,//m β,则//αβ B ．若m α⊥，m n ⊥,则n α⊥ C ．若m α⊥,//m n ,则n α⊥ D ．若αβ⊥,m α⊥,则//m β【答案】C 【解析】 【分析】在A 中，α与β相交或平行；在B 中，//n α或n ⊂α；在C 中，由线面垂直的判定定理得n α⊥；在D 中，m 与β平行或m β⊂．设,m n 是两条不同的直线，,αβ是两个不同的平面，则： 在A 中，若//m α，//m β，则α与β相交或平行，故A 错误； 在B 中，若m α⊥，m n ⊥，则//n α或n ⊂α，故B 错误；在C 中，若m α⊥，//m n ，则由线面垂直的判定定理得n α⊥，故C 正确； 在D 中，若αβ⊥，m α⊥，则m 与β平行或m β⊂，故D 错误． 故选C ． 【点睛】本题考查命题真假的判断，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，是中档题． 12．已知椭圆2222:19x y C a a +=+，直线1:30l mx y m ++=与直线2:30l x my --=相交于点P ，且P 点在椭圆内恒成立，则椭圆C 的离心率取值范围为（ ）A ．0,2⎛ ⎝⎭B ．,02⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭C ．10,2⎛⎫⎪⎝⎭D ．1,12⎛⎫ ⎪⎝⎭【答案】A 【解析】 【分析】先求得椭圆焦点坐标，判断出直线12,l l 过椭圆的焦点.然后判断出12l l ⊥，判断出P 点的轨迹方程，根据P 恒在椭圆内列不等式，化简后求得离心率e 的取值范围. 【详解】设()()12,0,,0F c F c -是椭圆的焦点，所以22299,3c a a c =+-==.直线1l 过点()13,0F -，直线2l 过点()23,0F ，由于()110m m ⨯+⨯-=，所以12l l ⊥，所以P 点的轨迹是以12,F F 为直径的圆229x y +=.由于P 点在椭圆内恒成立，所以椭圆的短轴大于3，即2239a >=，所以2918a +>，所以双曲线的离心率22910,92e a ⎛⎫=∈ ⎪+⎝⎭，所以0,2e ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭∈. 故选：A 【点睛】本小题主要考查直线与直线的位置关系，考查动点轨迹的判断，考查椭圆离心率的取值范围的求法，属于中档题.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
保定高三摸底数学答案
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数学参考答案
!!%"解析本题考查常用逻辑用语考查逻辑推理的核心素养!
特称命题的否定是全称命题!
$!%"解析本题考查集合的运算考查数学运算的核心素养!
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(!*"解析本题考查平面向量的夹角考查数学运算的核心素养!
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