(完整版)高中数学二级结论(精)
高中数学二级结论
高中数学二级结论1.简单n面体内切球的半径为3V/S表，其中V为简单n 面体的体积，S表为简单n面体的表面积。
2.在任意三角形ABC内，有XXX=XXX。
如果XXX<0，则三角形ABC为钝角三角形。
3.斜二测画法的直观图面积是原图形面积的2倍。
4.过椭圆准线上一点作椭圆的两条切线，两切点连线所在直线必经过椭圆相应的焦点。
5.导数题常用放缩e≥x+1、-x≤1/(x-1)≤lnx≤x-1、ex>ex(x>1)、x/(x2+y2)。
6.椭圆2/a^2+2/b^2=1(a>b)的面积为S=πab。
7.圆锥曲线的切线方程求法为隐函数求导。
过圆(x-a)^2+(y-b)^2=r上任意一点P(x,y)的切线方程为(x-a)(x-x)+(y-b)(y-y)=r，过椭圆2/a^2+2/b^2=1(a>b)上任意一点P(x,y)的切线方程为(x/a^2)(x-x)+(y/b^2)(y-y)=1，过双曲线2/a^2-2/b^2=1(a>b)上任意一点P(x,y)的切线方程为(x/a^2)(x-x)-(y/b^2)(y-y)=1.8.切点弦方程是平面内一点引曲线的两条切线，两切点所在直线的方程。
圆x^2+y^2+Dx+Ey+F=0的切点弦方程为xx+y^2+2Dx+2Ey+F=0，椭圆2/a^2+2/b^2=1(a>b)的切点弦方程为x^2/a^2+y^2/b^2=1，双曲线2/a^2-2/b^2=1(a>b)的切点弦方程为x^2/a^2-y^2/b^2=1，抛物线y=2px(p>0)的切点弦方程为yy=p(x+x)，二次曲线的切点弦方程为Axx+Bxy+Cyy+Dx+Ey+F=0.9.椭圆2/a^2+2/b^2=1(a>b)与直线Ax+By+C=0(A·B≠0)相切的条件是A^2a^2+B^2b^2=C^2，双曲线2/a^2-2/b^2=1(a>b)与直线Ax+By+C=0(A·B≠0)相切的条件是A^2a^2-B^2b^2=C^2.如果A、B、C、D是圆锥曲线上顺次的四个点，且直线AC和BD的斜率存在且不为零，且它们的斜率之和为kAC+kBD，则四点共圆的充要条件成立。
高中数学常用二级结论(精编)
高中数学常用二级结论一、基础常用结论1.立方差公式：a³-b³=(a-b)(a²-ab+b²);立方和公式：a³+b³=(a+b)(a²-ab+b²).2. 任意的简单n 面体内切球半径为(V 是简单n 面体的体积， S表是简单n 面体的表面积).3. 在Rt △ABC 中，C 为直角，内角A,B,C 所对的边分别是a,b,c, 则△ABC的内切圆半径为4.斜二测画法直观图面积为原图形面积的倍.5. 平行四边形对角线平方之和等于四条边平方之和6. 函数ʃ{(x)具有对称轴x=a,x=b(a≠b),则ʃ(x)为周期函数且一个正周期为2 |a-b|.7. 导数题常用放缩e²≥x+1,e*>ex(x>1).8. 点(x,y) 关于直线Ax+By+C=0 的对称点坐标二、圆锥曲线相关结论10.若圆的直径端点A(x,yi),B(x₂,y₂), 则圆的方程为(x-x₁)(x-x₂)+(y-yi)(y-y₂)=0.11. 椭圆的面积S 为S=πab.12. 过椭圆准线上一点作椭圆的两条切线，两切点连线所在直线必经过椭圆相应的焦点.13.圆锥曲线的切线方程求法：隐函数求导.推论：①过圆(x-a)²+(y-b)²=r²上任意一点P(xo,yo) 的切线方程为(x o-a)(x-a)+(vo-b)(y-b)=r²;②过椭圆上任意一点P(x₀,y₀)的切线方程为;③过双曲：上任意一点P(xo,yo)的切线方程为 1.14.任意满足ax”+by”=r的二元方程，过曲线上一点(x₁,yi)的切线方程为ax,x'-+by₁y°+=r.15. 切点弦方程：平面内一点引曲线的两条切线，两 切点所在直线的方程叫做曲线的切点弦方程. ①过圆x²+y²+Dx+Ey+F=0 外一点P(x ₀,y ₀) 的 切点弦方程②过椭圆外 一 点P(x ₀,yo) 的切点弦方程为;③过双曲线)外一点P(x,yo) 的切点弦方程为;④过抛物线y²=2px(p>0) 外一点P(x ₀,y ₀) 弦方程为yoy=p(x ₀+x);⑤二次曲线Ax²+Bry+Cy²+Dx+Ey+F=0点 P(x ₀,y ₀) 的 切 点 弦 方 程 为16.①椭圆与直线Ax+By+C=0(AB≠0) 相切的条件是A²a²+B²b²=C²;②双曲线与直线的切点外17.若A、B、C、D是圆锥曲线(二次曲线)上顺次的四点，则四点共圆(常用相交弦定理)的一个充要条件是：直线AC、BD的斜率存在且不等于零，并有kac+kaD=0 (k₄c,k₈p 分别表示AC和BD的斜率).18.已知椭圆方程为),两焦点分别为F,F2, 设焦点三角形PFF₂中∠PEF₂=θ,则cosθ≥1-2e²(cosθmm=1-2e²).19.椭圆的焦半径(椭圆的一个焦点到椭圆上一点横坐标为x₀的点P 的距离)公式₁₂=a±ex₀.20.已知k,k₂,k₃为过原点的直线l,l₂,I₃的斜率，其中l₂是l₁和l₃的角平分线，则k,k₂,k₃满足下述转化关系：,21. 椭圆绕Ox 坐标轴旋转所得的旋转体的体积22. 过双曲线上任意一点作两条渐近线的平行线，与渐近线围成的四边形面积为23.过椭圆上一点做斜率互为相反数的两条直线交椭圆于A 、B 两点，则直线AB 的斜率为定值。
高中数学二级结论大全和推导过程
高中数学二级结论大全和推导过程高中数学二级结论是指高中数学中一些重要的结论或定理，这些结论和定理是学习和理解高中数学知识的基础，也是解题的重要工具。
本文将给出一些常见的数学二级结论，并对其推导过程进行简要介绍。
（一）代数运算法则1.加法运算的交换律：对于任意两个实数a和b，有a + b = b + a。
推导过程：根据实数加法的定义，a + b = b + a。
2.加法运算的结合律：对于任意三个实数a、b和c，有(a + b) +c = a + (b + c)。
推导过程：将(a + b) + c按照加法运算定义进行展开，得(a + b) + c = ((a + b) + c)。
将a + (b + c)按照加法运算定义进行展开，得a + (b + c) =(a + (b + c))。
3.加法运算的存在零元：对于任意实数a，有a + 0 = a。
推导过程：根据实数加法的定义，a + 0 = a。
4.加法运算的存在负元：对于任意实数a，存在一个实数-b，使得a + (-b) = 0。
推导过程：根据实数加法的定义，a + (-a) = 0。
5.乘法运算的交换律：对于任意两个实数a和b，有a · b =b · a。
推导过程：根据实数乘法的定义，a · b = b · a。
6.乘法运算的结合律：对于任意三个实数a、b和c，有(a · b) · c = a · (b · c)。
推导过程：将(a · b) · c按照乘法运算定义进行展开，得(a · b) · c = ((a · b) · c)。
将a · (b · c)按照乘法运算定义进行展开，得a ·(b · c) = (a · (b · c))。
7.乘法运算的存在单位元：对于任意实数a，有a · 1 = a。
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高中数学二级结论1.任意的简单n 面体内切球半径为表S V 3(V 是简单n 面体的体积，表S 是简单n 面体的表面积)2.在任意ABC △内，都有tanA+tanB+tanC=tanA·tanB·tanC推论：在ABC △内，若tanA+tanB+tanC<0，则ABC △为钝角三角形3.斜二测画法直观图面积为原图形面积的42倍4.过椭圆准线上一点作椭圆的两条切线，两切点连线所在直线必经过椭圆相应的焦点5.导数题常用放缩1+≥x e x 、1ln 11-≤≤-<-x x x x x 、)1(>>x ex e x 6.椭圆)0,0(12222>>=+b a b y a x 的面积S 为πab S =7.圆锥曲线的切线方程求法：隐函数求导推论：①过圆222)()(r b y a x =-+-上任意一点),(00y x P 的切线方程为200))(())((r b y b y a x a x =--+-- ②过椭圆)0,0(12222>>=+b a b y a x 上任意一点),(00y x P 的切线方程为12020=+b yy a xx ③过双曲线)0,0(12222>>=-b a b y a x 上任意一点),(00y x P 的切线方程为12020=-b yy a xx8.切点弦方程：平面内一点引曲线的两条切线，两切点所在直线的方程叫做曲线的切点弦方程①圆022=++++F Ey Dx y x 的切点弦方程为0220000=++++++F E yy D x x y y x x②椭圆)0,0(12222>>=+b a b y a x 的切点弦方程为12020=+b y y a x x ③双曲线)0,0(12222>>=-b a b y a x 的切点弦方程为12020=-b y y a x x ④抛物线)0(22>=p px y 的切点弦方程为)(00x x p y y +=⑤二次曲线的切点弦方程为022*******=++++++++F yy E x x D y Cy x y y x Bx Ax9.①椭圆)0,0(12222>>=+b a b y a x 与直线)0·(0≠=++B A C By Ax 相切的条件是22222C b B a A =+ ②双曲线)0,0(12222>>=-b a b y a x 与直线)0·(0≠=++B A C By Ax 相切的条件是22222C b B a A =- 10.若A 、B 、C 、D 是圆锥曲线(二次曲线)上顺次四点,则四点共圆(常用相交弦定理)的一个充要条件是:直线AC 、BD 的斜率存在且不等于零,并有0=+BD AC k k ,(AC k ,BDk 分别表示AC 和BD 的斜率)11.已知椭圆方程为)0(12222>>=+b a b y a x ，两焦点分别为1F ，2F ，设焦点三角形21F PF 中θ=∠21F PF ，则221cos e -≥θ(2m ax 21cos e-=θ)12.椭圆的焦半径(椭圆的一个焦点到椭圆上一点横坐标为0x 的点P 的距离)公式2,1ex a r ±=13.已知1k ，2k ，3k 为过原点的直线1l ，2l ，3l 的斜率，其中2l 是1l 和3l的角平分线，则1k ，2k ，3k 满足下述转化关系：3222223321212k k k k k k k k +-+-=，31231231312)()1(1k k k k k k k k k +++-±-=，2122221123212k k k k k k k k +-+-= 14.任意满足r by ax n n =+的二次方程，过函数上一点),(11y x 的切线方程为r y by x ax n n =+--1111 15.已知f(x)的渐近线方程为y=ax+b ，则a x x f x =∝+→)(lim，bax x f x =-∝+→])([lim16.椭圆)0(12222>>=+b a b y a x 绕Ox 坐标轴旋转所得的旋转体的体积为πab V 34=17.平行四边形对角线平方之和等于四条边平方之和18.在锐角三角形中C B A C B A cos cos cos sin sin sin ++>++19.函数f(x)具有对称轴a x =，b x =)(b a ≠，则f(x)为周期函数且一个正周期为|22|b a -20.y=kx+m 与椭圆)0(12222>>=+b a b y a x 相交于两点，则纵坐标之和为22222b k a mb +21.已知三角形三边x ，y ，z ，求面积可用下述方法(一些情况下比海伦公式更实用，如27，28，29)A C CB B A S z AC y C B x B A ⋅+⋅+⋅==+=+=+222222.圆锥曲线的第二定义：椭圆的第二定义：平面上到定点F 距离与到定直线间距离之比为常数e(即椭圆的偏心率，a ce =)的点的集合(定点F 不在定直线上，该常数为小于1的正数)双曲线第二定义：平面内，到给定一点及一直线的距离之比大于1且为常数的点的轨迹称为双曲线 23.到角公式：若把直线1l 依逆时针方向旋转到与2l 第一次重合时所转的角是θ，则21121tan k k k k θ=⋅+-24.A 、B 、C 三点共线⇔n m n m +=+=1,(同时除以m+n)25.过双曲线)0,0(12222>>=-b a b y a x 上任意一点作两条渐近线的平行线，与渐近线围成的四边形面积为2ab26.反比例函数)0(>=k x ky 为双曲线，其焦点为)2,2(k k 和)2,2(k k --，k<027.面积射影定理：如图，设平面α外的△ABC 在平面α内的射影为△ABO ，分别记△ABC 的面积和△ABO 的面积为S 和S′ ，记△ABC 所在平面和平面α所成的二面角为θ，则cos θ = S′ : S28,角平分线定理：三角形一个角的平分线分其对边所成的两条线段与这个角的两边对应成比例角平分线定理逆定理：如果三角形一边上的某个点分这条边所成的两条线段与这条边的对角的两边对应成比例，那么该点与对角顶点的连线是三角形的一条角平分线 29.数列不动点： 定义：方程表S V3的根称为函数表S V 3的不动点利用递推数列表S V 3的不动点，可将某些递推关系表S V3所确定的数列化为等比数列或较易求通项的数列，这种方法称为不动点法 定理1：若表S V 3表S V 3是表S V 3的不动点，表S V 3满足递推关系表S V 3，则表S V 3，即表S V 3是公比为表S V 3的等比数列.定理2：设表S V 3，表S V 3满足递推关系表S V 3，初值条件表S V 3(1)若表S V 3有两个相异的不动点表S V 3，则表S V 3 （这里表S V 3）(2)若表S V 3只有唯一不动点表S V 3，则表S V 3 （这里表S V 3）定理3：设函数表S V 3有两个不同的不动点表S V 3,且由表S V 3确定着数列表S V 3,那么当且仅当表S V 3时,表S V 330.(1)⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧+=-+=+==-=++342cos 2cos 2cos 4242sin 2sin 2sin 4142cos 2cos 2cos 442sin 2sin 2sin 4)sin()sin()sin(k n nC nB nA k n nC nB nA k n nC nB nA k n nC nB nA nC nB nA ，*N ∈k(2)若πC B A =++，则： ①2sin2sin 2sin 8sin sin sin 2sin 2sin 2sin CB A CB AC B A =++++ ②2sin2sin 2sin 41cos cos cos CB AC B A +=++ ③2sin2sin 2sin 212sin 2sin 2sin 222C B A C B A -=++ ④4sin4sin 4sin 412sin 2sin 2sin C B A C B A ---+=++πππ ⑤2sin2sin 2sin 4sin sin sin CB AC B A =++ ⑥2cot2cot 2cot 2cot 2cot 2cot C B A C B A =++ ⑦12tan 2tan 2tan 2tan 2tan 2tan =++A C C B B A⑧C B A C B A B A C A C B sin sin sin 4)sin()sin()sin(=-++-++-+(3)在任意△ABC 中，有：①812sin 2sin 2sin≤⋅⋅C B A ②8332cos 2cos 2cos ≤⋅⋅C B A ③232sin 2sin 2sin ≤++C B A ④2332cos 2cos 2cos ≤++C B A⑤833sin sin sin ≤⋅⋅C B A ⑥81cos cos cos ≤⋅⋅C B A ⑦233sin sin sin ≤++C B A ⑧23cos cos cos ≤++C B A ⑨432sin 2sin 2sin 222≥++C B A⑩12tan 2tan 2tan 222≥++C B A ⑪32tan 2tan 2tan ≥++CB A ⑫932tan 2tan 2tan≤⋅⋅C B A⑬332cot 2cot 2cot≥++CB A⑭3cot cot cot ≥++C B A(4)在任意锐角△ABC 中，有： ①33tan tan tan ≥⋅⋅C B A②93cot cot cot ≤⋅⋅C B A ③9tan tan tan 222≥++C B A④1cot cot cot 222≥++C B A31.帕斯卡定理：如果一个六边形内接于一条二次曲线(椭圆、双曲线、抛物线)，那么它的三对对边的交点在同一条直线上32.拟柱体：所有的顶点都在两个平行平面内的多面体叫做拟柱体，它在这两个平面内的面叫做拟柱体的底面，其余各面叫做拟柱体的侧面，两底面之间的垂直距离叫做拟柱体的高拟柱体体积公式[辛普森(Simpson )公式]：设拟柱体的高为H ，如果用平行于底面的平面γ去截该图形，所得到的截面面积是平面γ与一个底面之间距离h 的不超过3次的函数，那么该拟柱体的体积V 为H S S S V )4(61201++=，式中，1S 和2S 是两底面的面积，0S 是中截面的面积(即平面γ与底面之间距离2H h =时得到的截面的面积)事实上，不光是拟柱体，其他符合条件(所有顶点都在两个平行平面上、用平行于底面的平面去截该图形时所得到的截面面积是该平面与一底之间距离的不超过3次的函数)的立体图形也可以利用该公式求体积 33.三余弦定理：设A 为面上一点，过A 的斜线AO 在面上的射影为AB ，AC 为面上的一条直线，那么∠OAC ,∠BAC ,∠OAB 三角的余弦关系为：cos ∠OAC=cos ∠BAC·cos ∠OAB (∠BAC 和∠OAB 只能是锐角)34.在Rt △ABC 中，C 为直角，内角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，则△ABC 的内切圆半径为2cb a -+35.立方差公式：))((2233b ab a b a b a +--=- 立方和公式：))((2233b ab a b a b a +-+=+ 36.已知△ABC ，O 为其外心，H 为其垂心，则++=37.过原点的直线与椭圆的两个交点和椭圆上不与左右顶点重合的任一点构成的直线斜率乘积为定值)0(22>>-b a b a推论：椭圆上不与左右顶点重合的任一点与左右顶点构成的直线斜率乘积为定值)0(22>>-b a b a 38.12)!1(!!21+++++++=n θxn xx n e n x x x e 推论：212x x e x++> 39.)2(≤≥--a ax ee xx推论：①)0(ln 21>≥-t t t t②)20,0(ln ≤≤>+≥a x a x axx40.抛物线焦点弦的中点，在准线上的射影与焦点F 的连线垂直于该焦点弦 41.双曲线焦点三角形的内切圆圆心的横坐标为定值a (长半轴长) 42.向量与三角形四心：在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c (1)⇔=++O 是ABC ∆的重心(2)⇔⋅=⋅=⋅O 为ABC ∆的垂心 (3)O c b a ⇔=++为ABC ∆的内心==⇔O 为ABC ∆的外心 43.正弦平方差公式：)sin()sin(sin sin 22βαβαβα+-=- 44.对任意圆锥曲线，过其上任意一点作两直线，若两射线斜率之积为定值，则两交点连线所在直线过定点45.三角函数数列求和裂项相消：21cos2)21sin()21sin(sin --+=x x x46.点(x ,y )关于直线A x+B y+C =0的对称点坐标为⎪⎭⎫ ⎝⎛+++-+++-2222)(2,)(2B A C By Ax B y B A C By Ax A x 47.圆锥曲线统一的极坐标方程：θρcos 1e ep-=(e 为圆锥曲线的离心率) 48.超几何分布的期望：若),,(M N n X~H ，则N nM X E =)((其中N M为符合要求元素的频率)，)111)(1()(----=N n N M N M n X D49.{}n a 为公差为d 的等差数列，{}n b 为公比为q 的等比数列，若数列{}n c 满足n n n b a c ⋅=，则数列{}n c 的前n项和n S 为2121)1(-+-=+q c c q c S n n n50.若圆的直径端点()()1122,,,A x y B x y ，则圆的方程为()()()()1212x x x x y y y y --+--= 51.过椭圆上一点做斜率互为相反数的两条直线交椭圆于A 、B 两点，则直线AB 的斜率为定值52.二项式定理的计算中不定系数变为定系数的公式：11--=k n k n nC kC 53.三角形五心的一些性质：(1)三角形的重心与三顶点的连线所构成的三个三角形面积相等(2)三角形的垂心与三顶点这四点中，任一点是其余三点所构成的三角形的垂心(3)三角形的垂心是它垂足三角形的内心；或者说，三角形的内心是它旁心三角形的垂心 (4)三角形的外心是它的中点三角形的垂心 (5)三角形的重心也是它的中点三角形的重心(6)三角形的中点三角形的外心也是其垂足三角形的外心(7)三角形的任一顶点到垂心的距离，等于外心到对边的距离的二倍54.在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，则2222c b a -+=⋅55.m>n 时，22nm nm n m e n m e e e e +>-->+。
高中数学常用二级结论汇总
高中数学常用二级结论汇总1.数列相关的二级结论：(1)等差数列的常用二级结论：-等差数列的前n项和公式：Sn = (a1 + an) * n / 2；-等差数列通项公式：an = a1 + (n - 1)d；-等差数列前n项和与末项的关系：Sn = (a1 + an) * n / 2 = an * n - (n - 1) * d / 2(2)等比数列的常用二级结论：-等比数列的前n项和公式：Sn=a1*(q^n-1)/(q-1)，其中q≠1；-等比数列前n项和与末项的关系：Sn=a1*(1-q^n)/(1-q)。
2.几何相关的二级结论：(1)平行线与三角形的二级结论：-平行线分割三角形的比线段互等；-平行线分割三角形的比面积互等；-平行线分割三角形的比任意两条边互等。
(2)相似三角形的二级结论：-三角形内部的直线与角平分线的交点分割三角形的比线段互等；-三角形内部的直线与角平分线的交点分割三角形的比面积互等。
(3)圆的二级结论：-圆心角的度数等于其所对弧的度数；-同弧所对的圆心角相等；-两圆相交弧的度数等于相对的圆心角的度数。
3.解析几何相关的二级结论：(1)直线的方程二级结论：-斜率相等的两条直线平行；-两直线相交于一点的充要条件是斜率不相等。
(2)圆的方程二级结论：-到圆心距离等于半径的点在所述圆上；-圆心到直线的距离等于半径的相交点所对的弦的中点到圆心的距离。
(3)抛物线的二级结论：-在对称轴上等距离的两点与焦点和顶点的距离相等；-抛物线的顶点坐标为(h,k)，则焦点的坐标为(h,k+p)，其中p为焦距。
4.概率与统计相关的二级结论：(1)事件的二级结论：-随机事件A的对立事件记为A'，则P(A')=1-P(A)；-若A与B互斥，则P(AUB)=P(A)+P(B)。
(2)条件概率的二级结论：-若事件B发生的条件下，事件A发生的概率为P(A，B)，则P(A，B)=P(A∩B)/P(B)；(3)独立事件的二级结论：-若事件A与事件B相互独立，则P(A∩B)=P(A)*P(B)。
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高中数学二级结论目录函数二级结论 (1)三角函数二级结论 (3)平面向量二级结论 (6)数列二级结论 (8)圆锥曲线二级结论 (10)导数二级结论 (14)立体几何二级结论 (17)1函数二级结论1.若奇函数在原点处有定义，则，若奇函数周期为Ｔ，则；2.幂函数，当a为奇数时为奇函数，当a为偶数时为偶函数；3.形如4.形如5.形如的函数为奇函数；6.形如的函数为奇函数；7.形如的函数为偶函数；8.形如的函数关于点9.形如的函数关于形如的函数关于中心对称；10.形如的函数关于轴对称；11.若，则函数关于12.若13.函数与函数关于2）；14.函数与函数中心对称；15.若满足；16.若同时关于和轴对称，则周期为；若同时关于和轴对称，则周期为；若同时关于和轴对称，则周期为；17.若函数满足：(c为常数)，则周期为；；18.若函数c为常数)，则周期为；特殊地：若；19.若函数满足：，则；若函数满足：，则；若函数满足：，则；若函数满足：，则；20.函数奇偶性的叠加：，21.函数f(x)具有对称轴，则f(x)为周期函数且一个正周期为22.已知函数是定义在区间D上的奇函数,,都有．特别地,若奇函数在D上有最值,则，若0∈D,则．三角函数二级结论1.当；2.射影定理：；；；3.；tan A＋tan B＋tan C＜04.当时，；当时，；当时，；5.6.a，b，c7.8.9.余弦平方差公式：10.在锐角三角形中11.正弦平方差公式：12.(1)，(2)若，则：①②⑤⑧(3)在任意△ABC中，有：⑦⑧⑨⑩⑭(4)在任意锐角△ABC中，有：②③④平面向量二级结论1.向量平方差公式：①D为BC中点，则②如图，平行四边形ABCD中，2.三角形四心的向量表达：（1）奔驰定理：已知O；（2）三角形四心的向量表达：①已知O的重心，则；②已知O的垂心，则；③已知O的外心，则；④已知O的内心，则；3.单位向量：（1）对于非零向量表示与方向相同的单位向量；（2），夹角平分线共线的向量；（3）任意单位向量可设坐标为；4.三点共线的向量表达：如图，A，B，C三点共线，O为线外一点：①，则，反之也成立；②若，则；5.向量的等和线：如图，向量不共线，若直线l与直线AB平行（或重合），称直线l为基底的等和线．若P在直线l上，且为定值，且随O与l的距离比例扩大或缩小；①当l与AB重合时，；②当l过点O时，；③当l在O与AB之间时，；④当l在O与AB同侧，O到AB这一侧时，；⑤当l在O与AB同侧，AB到O这一侧时，；6.平行四边形对角线定理：平行四边形的两条对角线平方和等于四边平方之和；7.矩形对角线定理：矩形所在平面内任意一点到矩形两对角线端点距离的平方和相等．8.A、B、C三点共线同时除以m+n)9.已知△ABC，O为其外心，H为其垂心，则10.三角形五心的一些性质：(1)三角形的重心与三顶点的连线所构成的三个三角形面积相等(2)三角形的垂心与三顶点这四点中，任一点是其余三点所构成的三角形的垂心(3)三角形的垂心是它垂足三角形的内心；或者说，三角形的内心是它旁心三角形的垂心(4)三角形的外心是它的中点三角形的垂心(5)三角形的重心也是它的中点三角形的重心(6)三角形的中点三角形的外心也是其垂足三角形的外心(7)三角形的任一顶点到垂心的距离，等于外心到对边的距离的二倍11.在△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，则数列二级结论1.等差数列中，若；2.等差数列中，若；3.等差数列；4.等差数列和前n项和分别为和5.等差数列中，若，则；最大，6.等差数列中，，且为偶数，则当时，S最大，为奇数，则当时，S7.等差数列的公差为d，则也称等差数列，且公差为；8.等差数列的公差为d；9.等差数列前2n项和中：2n－1项和中：；10.等差数列的首项为a1，公差为d，前n项和为S n，，公差为；11.等比数列中，12.是公比为q的正项等比数列，则是公差为的等差数列；13.等比数列公比为q，前n项和为S n，n项和为，数列前n项为，则；14.等比数列公比为q，则也成等比数列，且公比为；15.等比数列公比为q，前n项连乘积为也称等比，且公比为；16.为公比不为0的等差数列，且；17.等比数列．18.{a n}为公差为d的等差数列，{b n}为公比为q的等比数列，若数列{c n}满足，则数列{c n}的前n项和S n为19.数列不动点：定义：方程的根称为函数的不动点利用递推数列的不动点，可将某些递推关系数列，这种方法称为不动点法满足递推关系，则定理1：若,p是的不动点，a，即是公比为a的等比数列．定理2：设，{a}满足递推关系，初值条件(1)若有两个相异的不动点p，q，则）(2)若只有唯一不动点P，则）定理3：设函数有两个不同的不动点,确定着数列,那么当且仅当时,20.三角函数数列求和裂项相消：圆锥曲线二级结论1．过椭圆准线上一点作椭圆的两条切线，两切点连线所在直线必经过椭圆相应的焦点2．的面积S为；3．圆锥曲线的切线方程求法：推论：①过圆上任意一点的切线方程为②过椭圆上任意一点的切线方程为③上任意一点的切线方程为4．切点弦方程：平面内一点引曲线的两条切线，两切点所在直线的方程叫做曲线的切点弦方程①圆的切点弦方程为②②椭圆的切点弦方程为③双曲线的切点弦方程为④抛物线的切点弦方程为⑤二次曲线的切点弦方程为5.与直线②双曲线相切的条件是6.若A、B、C、D是圆锥曲线(二次曲线)上顺次四点,则四点共圆(常用相交弦定理)的一个充要条件是：直线AC、BD的斜率存在且不等于零,(k,k BD分别表示AC和BD的斜率)，F2，设焦点三角形PF1F2，7.，两焦点分别为F则8.椭圆的焦半径(椭圆的一个焦点到椭圆上一点横坐标为x的点P的距离)公式9.已知k1，k2，k3为过原点的直线l1，l2，l3的斜率，其中l2是l1和l3的角平分线，则k1，k2，k3满足下述转化关系：，，10.任意满足的二次方程，过函数上一点11.绕Ox坐标轴旋转所得的旋转体的体积为12.y=kx+m与椭圆13.圆锥曲线的第二定义：椭圆的第二定义：平面上到定点F距离与到定直线间距离之比为常数e(即椭圆的偏心率)的点的集合(定点F不在定直线上，该常数为小于1的正数)双曲线第二定义：平面内，到给定一点及一直线的距离之比大于1且为常数的点的轨迹称为双曲线14.到角公式：若把直线l1依逆时针方向旋转到与l2第一次重合时所转的角是，则15.过双曲线上任意一点作两条渐近线的平行线，与渐近线围成的四边形面16.反比例函数17.过原点的直线与椭圆的两个交点和椭圆上不与左右顶点重合的任一点构成的直线斜率乘积为定值推论：椭圆上不与左右顶点重合的任一点与左右顶点构成的直线斜率乘积为定值18.帕斯卡定理：如果一个六边形内接于一条二次曲线(椭圆、双曲线、抛物线)，那么它的三对对边的交点在同一条直线上19.抛物线焦点弦的中点，在准线上的射影与焦点F的连线垂直于该焦点弦20.双曲线焦点三角形的内切圆圆心的横坐标为定值a(长半轴长)21.对任意圆锥曲线，过其上任意一点作两直线，若两射线斜率之积为定值，则两交点连线所在直线过定点22.点(x,y)关于直线Ax+By+C=0的对称点坐标为23.圆锥曲线统一的极坐标方程：(e为圆锥曲线的离心率)24.若圆的直径端点，则圆的方程为25.过椭圆上一点做斜率互为相反数的两条直线交椭圆于A、B两点，则直线AB的斜率为定值26.AB是过抛物线y2=2px(p>0)焦点F的弦(焦点弦),过A,B分别作准线的垂线,垂足分别为A1,B1,E为A1B1的中点．(1)如图①所示,以AB为直径的圆与准线l相切于点E．(2)如图②所示,以A1B1为直径的圆与弦AB相切于点F,且EF2=A1A·BB1．(3)如图③所示,以AF为直径的圆与y轴相切．27.若圆锥曲线中内接直角三角形的直角顶点与圆锥曲线的顶点重合,则斜边所在直线过定点．(1)上异于右顶点的两动点A,B,以AB为直径的圆经过右顶点,则直线AB．同理,当以AB时,直线AB过定点．(2)对于双曲线上异于右顶点的两动点A,B,以AB为直径的圆经过右顶点(a,0),则直线AB．同理,对于左顶点(-a,0),．(3)对于抛物线上异于顶点的两动点A,B,则弦AB所在直线过点．同理,抛物线上异于顶点的两动点A,B,,则直线AB过定点．28.在圆锥曲线(椭圆、双曲线、抛物线)中,曲线上的一定点P(非顶点)与曲线上的两动点A,B满足直线PA与PB的斜率互为相反数(倾斜角互补),则直线AB的斜率为定值．(1),定点在椭圆上,设A,B是椭圆上的两个动为定值．点,直线P A,PB的斜率分别为,且满足．直线AB的斜率k(2)已知双曲线,定点在双曲线上,设A,B是双曲线为定上的两个动点,直线P A,PB的斜率分别为,且满足．直线AB的斜率k值．(3)已知抛物线,定点在抛物线上,设A,B是抛物线上的两个动点,直线P A,PB的斜率分别为,且满足．直线AB的斜率k为定值．29.在椭圆E：中：(1)如图①所示,若直线与椭圆E交于A,B两点,过A,B,有,设其斜率为,则；(2)如图②所示,若直线与椭圆E交于A,B两点,P为椭圆上异于A,B的点,若直线PA,PB的斜率存在,且分别为k1,k2,则(3)如图③所示,若直线y=kx+m(k≠0且m≠0)与椭圆E交于A,B两点,P为弦AB的中点,设直线PO的斜率为k0,则；30.在双曲线E中,类比上述结论有：(1) (2) (3),F2分别为左、右焦点,P为椭圆上一点,的面积31.在椭圆中,F；其中．,F2分别为左、右焦点,P为双曲线上一点,的面32.在双曲线中,F,其中；导数二级结论一、基础结论1.曲线2.处取得极值，则；反之，不成立；3.对于可导函数，不等式的解集决定函数的递增（减）区间；4.函数在区间I恒成立（不恒为零）；5.函数（非常数函数）在区间I上不单调等价于在区间I上有极值，则可等价于方程在区间I上有实根且为非二重根；6.函数在区间I上无极值等价于在区间I上是单调函数，等价于或在I上恒成立；7.恒成立，则；8.若，若，使得，则；9.设与的定义域的交集为D；10.；恒成立，则；恒成立，则；上的值域为A，的区间I2上值域为B，，使得，11.已知在区间I则；12.若三次函数f(x)有三个零点，则方程有两个不同的零点，且极大值大于0，极小值小于0；13.证明中常用的不等式：（1）（2）（3）（4）（5）（6）（7）（8）（9）（10）二、构造函数模型1.对于不等式，构造函数2.对于不等式，构造函数3.对于不等式，构造函数；4.对于不等式，构造函数5.对于不等式，构造函数6.对于不等式，构造函数； 7.对于不等式，构造函数 8.对于不等式，构造函数； 9.对于不等式10.对于不等式11.对于不等式，构造函数； 12.对于不等式，构造函数；13.对于不等式，构造函数14.对于不等式，构造函数三、常用函数图像四、高级不等式 1.麦克劳林公式：（1）；（2 （3（4） （5）2.（待续）立体几何二级结论1．倍2．面体的表面积为S，体积为V3．设点为面上一点，过点A的斜边AO在面上的射影为AB，另外AC为面上任意一条直线，4．面积射影定理：设平面α外的△ABC所在平面α的射影为△ABO，分别记△ABC和△ABO的面积为S△ABC所在的平面与平面α所成的角为，则有5．正四面体的常用结论：假设正四面体的边长为a，则有：①②相邻两个面的二面角：③三条侧棱与底面的夹角：④外接球和内切球的球心重合，且球心在高对应的线段上，它是高的四等分点，球心到顶点的距离⑤顶点在底面的射影是底面三角形的中心（四心合一）⑥对棱相互垂直，且对棱中点的连线为对棱的公垂线，距离为点为该正四面体外接球（或内切球）的球心．6.直三棱柱的外接球半径，其中r为底面三角形的外接圆半径，l为侧棱长。
高中高考数学所有二级结论《完整版》
高中数学二级结论1.随意的简单n 面体内切球半径为(V 是简单 n 面体的体积，是简单n 面体的表面积)2.在随意内，都有tanA+tanB+tanC=tanA· tanB· tanC推论：在内，若tanA+tanB+tanC<0，则为钝角三角形3.斜二测画法直观图面积为原图形面积的倍4.过椭圆准线上一点作椭圆的两条切线，两切点连线所在直线必经过椭圆相应的焦点5.导数题常用放缩、、6.椭圆的面积S 为7.圆锥曲线的切线方程求法：隐函数求导推论：① 过圆上随意一点的切线方程为② 过椭圆上随意一点的切线方程为③ 过双曲线上随意一点的切线方程为8.切点弦方程：平面内一点引曲线的两条切线，两切点所在直线的方程叫做曲线的切点弦方程① 圆的切点弦方程为② 椭圆的切点弦方程为③ 双曲线的切点弦方程为④ 抛物线的切点弦方程为⑤ 二次曲线的切点弦方程为9.①椭圆与直线相切的条件是② 双曲线与直线相切的条件是10.若 A、 B、 C、 D 是圆锥曲线 (二次曲线 )上按序四点 ,则四点共圆 (常用订交弦定理 )的一个充要条件是 : 直线 AC、 BD 的斜率存在且不等于零 ,并有 ,(,分别表示 AC和 BD 的斜率 )11.已知椭圆方程为，两焦点分别为，，设焦点三角形中，则()12.椭圆的焦半径 (椭圆的一个焦点到椭圆上一点横坐标为的点P 的距离 )公式13.已知，，为过原点的直线，，的斜率，此中是和的角均分线，则，，知足下述转变关系：，，14.随意知足的二次方程，过函数上一点的切线方程为15.已知 f(x)的渐近线方程为y=ax+b，则，16.椭圆绕 Ox 坐标轴旋转所得的旋转体的体积为17.平行四边形对角线平方之和等于四条边平方之和18.在锐角三角形中19.函数 f(x)拥有对称轴，，则f(x)为周期函数且一个正周期为20.y=kx+m 与椭圆订交于两点，则纵坐标之和为21.已知三角形三边x， y， z，求面积可用下述方法(一些状况下比海伦公式更适用，如，，)22.圆锥曲线的第二定义：椭圆的第二定义：平面上到定点 F 距离与到定直线间距离之比为常数e(即椭圆的偏爱率，)的点的会合 (定点 F 不在定直线上，该常数为小于1的正数 )双曲线第二定义：平面内，到给定一点及向来线的距离之比大于 1 且为常数的点的轨迹称为双曲线23.到角公式：若把直线依逆时针方向旋转到与第一次重合时所转的角是，则24.A、 B、 C 三点共线 (同时除以 m+n)25.过双曲线上随意一点作两条渐近线的平行线，与渐近线围成的四边形面积为26.反比率函数为双曲线，其焦点为和，k<027.面积射影定理：如图，设平面α外的△ ABC在平面α内的射影为△ ABO，分别记△ ABC的面积和△ ABO的面积为S第 1 页和 S′，记△ABC所在平面和平面α所成的二面角为θ，则cosθ = S′ : S28,角均分线定理：三角形一个角的均分线分其对边所成的两条线段与这个角的两边对应成比率角均分线定理逆定理：假如三角形一边上的某个点分这条边所成的两条线段与这条边的对角的两边对应成比率，那么该点与对角极点的连线是三角形的一条角均分线29.数列不动点：定义：方程的根称为函数的不动点利用递推数列的不动点，可将某些递推关系所确立的数列化为等比数列或较易求通项的数列，这类方法称为不动点法定理 1：假如的不动点，知足递推关系，则，即是公比为的等比数列.定理 2：设，知足递推关系，初值条件(1)如有两个相异的不动点，则（这里）(2)若只有独一不动点，则（这里）定理 3：设函数有两个不一样的不动点,且由确立着数列,那么当且仅当时 ,30.(1)，(2)若，则：①②③④⑤⑥⑦⑧(3)在随意△ ABC中，有：①⑥?②⑦?③⑧?④⑨?⑤⑩(4)在随意锐角△ ABC中，有：①③②④31.帕斯卡定理：假如一个六边形内接于一条二次曲线(椭圆、双曲线、抛物线)，那么它的三对对边的交点在同一条直线上32.拟柱体：全部的极点都在两个平行平面内的多面体叫做拟柱体，它在这两个平面内的面叫做拟柱体的底面，其余各面叫做拟柱体的侧面，两底面之间的垂直距离叫做拟柱体的高拟柱体体积公式[辛普森 (Simpson)公式 ]：设拟柱体的高为H，假如用平行于底面的平面γ去截该图形，所获得的截面面积是平面γ与一个底面之间距离h 的不超出 3 次的函数，那么该拟柱体的体积V 为，式中，和是两底面的面积，是中截面的面积(即平面γ与底面之间距离时获得的截面的面积)事实上，不但是拟柱体，其余切合条件(全部极点都在两个平行平面上、用平行于底面的平面去截该图形时所获得的截面面积是该平面与一底之间距离的不超出 3 次的函数 )的立体图形也能够利用该公式求体积33.三余弦定理：设 A 为面上一点，过 A 的斜线 AO 在面上的射影为AB，AC为面上的一条直线，那么△ OAC,△ BAC,△ OAB 三角的余弦关系为：cos△OAC=cos△BAC·cos△OAB(△和BAC△OAB只好是锐角 )34.在 Rt △ ABC中， C 为直角，内角A， B， C 所对的边分别是a， b， c，则△ ABC的内切圆半径为第 2 页35.立方差公式：立方和公式：36.已知△ ABC，O 为其外心， H 为其垂心，则37.过原点的直线与椭圆的两个交点和椭圆上不与左右极点重合的任一点组成的直线斜率乘积为定值推论：椭圆上不与左右极点重合的任一点与左右极点组成的直线斜率乘积为定值38.推论：39.推论：①②40.抛物线焦点弦的中点，在准线上的射影与焦点 F 的连线垂直于该焦点弦41.双曲线焦点三角形的内切圆圆心的横坐标为定值a(长半轴长 )42.向量与三角形四心：在△ABC中，角 A， B， C 所对的边分别是a， b ，c(1)是的重心(2)为的垂心(3)为的心里(4)为的外心43.正弦平方差公式：44.对随意圆锥曲线，过其上随意一点作两直线，若两射线斜率之积为定值，则两交点连线所在直线过定点45.三角函数数列乞降裂项相消：46.点 (x,y) 对于直线 Ax+By+C=0的对称点坐标为47.圆锥曲线一致的极坐标方程： (e 为圆锥曲线的离心率 )48.超几何散布的希望：若，则 ( 此中为切合要求元素的频次 ) ，49. 为公差为 d 的等差数列，为公比为q 的等比数列，若数列知足，则数列的前n 项和为50.若圆的直径端点，则圆的方程为51.过椭圆上一点做斜率互为相反数的两条直线交椭圆于A、 B 两点，则直线 AB 的斜率为定值52.二项式定理的计算中不定系数变成定系数的公式：53.三角形五心的一些性质：(1)三角形的重心与三极点的连线所组成的三个三角形面积相等(2)三角形的垂心与三极点这四点中，任一点是其余三点所组成的三角形的垂心(3)三角形的垂心是它垂足三角形的心里；或许说，三角形的心里是它旁心三角形的垂心(4)三角形的外心是它的中点三角形的垂心(5)三角形的重心也是它的中点三角形的重心(6)三角形的中点三角形的外心也是其垂足三角形的外心(7)三角形的任一极点到垂心的距离，等于外心到对边的距离的二倍54.在△ ABC中，角 A， B， C所对的边分别是 a，b， c，则55.m>n 时，第 3 页。
高中数学常用二级结论大全
高中数学常用二级结论大全引言：在高中数学学习中，掌握一些常用的二级结论是非常重要的。
这些二级结论能够帮助我们更好地理解和应用各种数学概念，解决问题。
本文将总结和介绍高中数学常用的二级结论，帮助同学们更好地掌握数学知识。
一、三角形相关结论1. 角平分线定理：三角形内角的平分线上的点与对边上的延长线相交，并且与三角形对应的外角相等。
证明：先证明角平分线上的点与对边上的延长线相交，可通过投影定理证明。
假设有一个角A的平分线与对边上的延长线BC相交于点D。
由于AD是角A的平分线，所以∠DAB = ∠DAC，同时由于点D 在角A的平分线上，所以∠DAB = ∠DAC = ∠DCA。
再利用三角形内角和为180°可得∠BAC + ∠ACD = 180°，即角A与角ACD的外角相等，得证。
2. 三角形内角和定理：三角形的内角和为180°。
证明：假设三角形ABC的三个内角分别为∠A、∠B、∠C。
构造辅助线AD，使得∠DAB = ∠DAC，由于角DAB与角DAC是等角，所以∠BAD = ∠CAD。
同理可证得∠ACB = ∠ABC。
由于∠BAD +∠DAC + ∠ACB = 180°，可得∠A + ∠B + ∠C = 180°，得证。
二、平行四边形相关结论1. 对角线平分定理：平行四边形的对角线互相平分。
证明：设平行四边形ABCD的对角线AC和BD相交于点O。
由于ABCD是平行四边形，所以∠ABC = ∠BCD，同时由于AO和CO是直线，所以∠OAB = ∠OCA。
同理可证得∠OBA = ∠ODA。
根据夹角余弦定理，可得AO = CO，BO = DO。
因此，对角线互相平分，得证。
2. 平行四边形性质：平行四边形的对边相等且对角线互相平分。
证明：设平行四边形ABCD的对边AB和CD相等，对角线AC和BD互相平分。
由于ABCD是平行四边形，所以AB ∥ CD，AC ∥ BD。
高中数学二级结论(最新整理)
高中数学二级结论(最新整理)在高中数学学习过程中，掌握和理解一些基本的数学结论是非常重要的。
这些数学结论不仅有助于提高我们的数学思维，还能帮助我们解决复杂的数学问题。
下面是一些高中数学二级结论的最新整理。
一、角度与三角函数1.同角三角函数的互化关系：$\\sin(\\pi - \\theta) = \\sin \\theta$，$\\cos(\\pi - \\theta) = -\\cos \\theta$，$\\tan(\\pi - \\theta) = -\\tan\\theta$。
2.角平分线的性质：设角xOy的角平分线为Oz，则 $\\angle xOz =\\angle yOz$。
3.和角公式：$\\sin (x \\pm y) = \\sin x \\cos y \\pm \\cos x \\sin y$，$\\cos (x \\pm y) = \\cos x \\cos y \\mp \\sin x \\sin y$。
4.差角公式：$\\sin (x - y) = \\sin x \\cos y - \\cos x \\sin y$，$\\cos(x - y) = \\cos x \\cos y + \\sin x \\sin y$。
5.倍角公式：$\\sin(2x) = 2\\sin x \\cos x$，$\\cos(2x) = \\cos^2 x -\\sin^2 x$。
二、数列与函数1.等差数列前 n 项和：$S_n = \\frac{n}{2} \\cdot (a_1 + a_n)$。
2.等比数列前 n 项和：$S_n = \\frac{a_1(1-q^n)}{1-q}$。
3.数列的递推公式：对于数列 $\\{a_n\\}$ 和 $\\{b_n\\}$，如果b1=a1，b n+1=a n+1−a n，那么 $\\{b_n\\}$ 就是数列 $\\{a_n\\}$ 的递推公式。
高中高考数学所有二级结论《完整版》
高中数学二级结论(V 是简单n 面体的体积， S 表是简单n 面体的表面积)S 表2.在任意△ ABC 内，都有 tanA+tanB+tanC=tanA • tanB • tanC推论： 在△ ABC 内，若tanA+tanB+tanC<o ，贝U △ ABC 为钝角三角形3. 斜二测画法直观图面积为原图形面积的 2倍44. 过椭圆准线上一点作椭圆的两条切线，两切点连线所在直线必经过椭圆相应的焦点5.导数题常用放缩e x x 1、T -1 x 1 In x x -1x xxeex( x 1)6.椭圆亠a 2y I1(a o, b b 20)的面积S 为S - n ab7.圆锥曲线的切线方程求法:隐函数求导推论：①过圆(x -a) 2(y-b) 2 j 2 上任意一点 P( x o , y o )的切线方程为(x o a)( x a) ( y o b)( y b) r 2②过椭圆x yL _1(a o,b : o)上任意一点P(x o , y o )的切线方程为以x o • -yy^ _ 1a 2b 2a 2b 2 ③过双曲线x 2= 1(a > o, b > o )上任意一点P(x o , y o )的切线方程为xx 〜= 1 a 2 b 2a 2b 28.切点弦方程： 平面内一点引曲线的两条切线，两切点所在直线的方程叫做曲线的切点弦方程①圆x 2 y 2 Dx Ey F -o 的切点弦方程为x o x - y o y ； —x o x D2②椭圆x a 2— y 2 -1(a o,b o)的切点弦方程为b 2x o -x -y o -y = 1 a 2 b 2③双曲线/—y 2 =1(a o,b o)的切点弦方程为a 2b 2x o x ：「=y o y 二 1 a 2b 2④抛物线y 一 2 px( p o)的切点弦方程为 y o y ~ p(x o x) ⑤二次曲线的切点弦方程为Axo x ' B -x o y y o x Cyo y D x —x2 2 E y ° y2 ①椭圆x 2 • y 2二1(a o,b o)与直线 Ax By C 一 o ( AB ：^o )相切的条件是 9. a 2 b 2 22222②双曲线/— — , =1(a 》o,b >o )与直线 Ax +By ^C =o ( A B= o )相切的条件是 A 2a 2— B 2b 2二C 2 a 2 b 23V1.任意的简单n 面体内切球半径为x 2十 y 2- 、2mb 220. y=kx+m 与椭圆 '2 "1(a b 0)相交于两点，则纵坐标之和为22a 2b 2a 2 k 2亠b 221. 已知三角形三边 x , y , z ,求面积可用下述方法(一些情况下比海伦公式更实用，如’27 ,28 ,29 )A B = x 2 B C "y 2 C A _z 22S 二 J AB ・ +BC +CA22. 圆锥曲线的第二定义：10.若A 、B 、C 、D 是圆锥曲线(二次曲线)上顺次四点，则四点共圆(常用相交弦定理)的一个充要条件是:直线AC 、BD 的斜率存在且不等于零 护k 三,并有k ACBD0 ,( k AC , k BD 分别表示 AC 和BD 的斜率)11.已知椭圆方程为2 2x y2 • 2- 1(a b 0)，两焦点分别为 F i ，F 2，设焦点三角形PF 1F 2中 PF 1F 2--a bcos 期固 1 —2e 2( COS^m ax 二 1=2e 2)12.椭圆的焦半径(椭圆的一个焦点到椭圆上一点横坐标为X 0的点P 的距离)公式「1,2— a ex o13.已知k 1， k 2， k 3为过原点的直线 11， I 2， 13的斜率，其中I 2是11和13的角平分线，则 k 1， k 2， k 3满足下述转化关系: 2k 1 _ ——k 3—k 3k 2 ， k 2 ——■ 2 ■■1 k 222k 2 k 32 2k 1k 3 1 二：(1 k 1k 3 )护 (卡1 k 3 )k 1 k 3一 +2 — 1 k 222k 1k 2 2k 1k 214.任意满足ax n亠by n= r 的二次方程，过函数上一点(X 1 , y 1)的切线方程为ax 1 by 1 y n 1- r15.已知f(x)的渐近线方程为f (x)y=ax+b ，贝V lim ---------x —xa ， lim [ f ( x) ax] = b-x t/L :16.椭圆 己y 2 - 1(a b 0)绕Ox 坐标轴旋转所得的旋转体的体积为a 2b 2Tta b17. 平行四边形对角线平方之和等于四条边平方之和 18. 在锐角三角形中r :*八 '-化丄Isin A sin B sin C cos A cosB cosC 19.函数f(x)具有对称轴x-a , x - b ( a …b)，则f(x)为周期函数且一个正周期为|2a 2b |c椭圆的第二定义：平面上到定点F距离与到定直线间距离之比为常数e(即椭圆的偏心率，驴一)的点的集合(定a点F不在定直线上，该常数为小于1的正数)双曲线第二定义：平面内，到给定一点及一直线的距离之比大于1且为常数的点的轨迹称为双曲线k^23. 到角公式：若把直线11依逆时针方向旋转到与12第一次重合时所转的角是「，则tan令=一k11 k1 k224.A 、B 、C 三点共线；」OD ，mOA nOC ,OB27. 面积射影定理： 如图，设平面 a 外的△ ABC 在平面a 内的射影为 △ABO，分别记△ ABC 的面积和△ ABO的面积为S 和S '，记 △ ABC 所在平面和平面 a 所成的二面角为 B,则cos e = S ': S28, 角平分线定理： 三角形一个角的平分线分其对边所成的两条线段与这个角的两边对应成比例25.过双曲线1(a 0, b 0)上任意一点作两条渐近线的平行线，与渐近线围成的四边形面积为ab26.反比例函数b 2ky (k 0)为双曲线，其焦点为(2k , 2k )和(2k , 2k ) ，k<0 x10D (同时除以m+n)222角平分线定理逆定理：如果三角形一边上的某个点分这条边所成的两条线段与这条边的对角的两边对应成比例，那么该点与对角顶点的连线是三角形的一条角平分线29. 数列不动点：定义：方程f ( X)一X的根称为函数 f (X)的不动点利用递推数列 f ( X)的不动点，可将某些递推关系a n」f (a n -1 )所确定的数列化为等比数列或较易求通项的数列，这种方法称为不动点法定理 1 ：若f (x) —ax b(a -0, a -1), p 是f ( x)的不动点，a n 满足递推关系 an — f (a n 1 ), (n 1)，则___,即 —a np a(a n < p) { a np}是公比为a 的等比数列.宀^十b、卄、、、、定理 2 :设f ( x) — ax (c 品0, ad — be 宁0)， { a n }满足递推关系ex da n — p a n 」—p(1)若f (x)有两个相异的不动点p,q ，贝U -------- = k ------------- -a n 一 qa n —厂 q2 + .定理 3:设函数f ( x) L -----------------bx c( a 崇0, e 蛉0)有两个不同的不动点ex 〒f—U _ X{ U n },那么当且仅当 b 一 0,e 口2a 时，U n 1X 1 ◎ ( n 1 ) 2U n 1X 2U n X 230.2 A 2 B 2③ sin 2——-sin 2 — sin 2 C —1 2 si2 2 .C22 郸一 A 2 2 —B 遽A .B ④sinsin sin T 4 sinsin sinCa n g f (a n 1 ), n 1，初值条件 a — f (a 1 )(这里k=⑵若f (x)只有唯一不动点p ，则(这里— a _ 一 a n pn1pk_ 2c)a dx 1 , x 2 ,且由U n 1 f (u n )确定着数列(1) sin (nA) si n(nB) 1冷 si n(nC)- ⑵若A B C n 贝U ： sin 2C -8sin sin CnA4si nnB nCsin sin2 2 nA nB 4 cos ——cos ——cos2 .nA .4 sin ——sin2 nA 4cos 2nB .——sin2 nB —cos 2 B . 一 sin C2 2BCcos A cos B cosC m 1d 4 sin sin — sin ① sin 2 A sin 2Bsin A sin BA . 一 sin2 A - 2 nC nC 22nCcos —=2 2n i 4k n - 4k 1 ,kNn 耳 4k 2 n = 4k 32 2 .B . C sin — sin2224 4 4AB C ⑤ sin A sin B -sin C — 4 sinsin — sin 4 L2 22A 區B 亠 CA B C ⑥cotcot —COL i cotcoL coL222222AB BCC A⑦tantan — 1■tan — tan —' ta n 一 tan 12 2 2 22 2⑧ sin( B C A) sin(C A ~ B) sin( A B _C ) 4 sin A sin B sin C32. 拟柱体： 所有的顶点都在两个平行平面内的多面体叫做拟柱体，它在这两个平面内的面叫做拟柱体的底面，其余各面叫做拟柱体的侧面，两底面之间的垂直距离叫做拟柱体的高拟柱体体积公式［辛普森（Simpson ）公式］:设拟柱体的高为 H ，如果用平行于底面的平面 丫去截该图形，所得到 的截面面积是平面Y 与一个底面之间距离h 的不超过 3次的函数，那么该拟柱体的体积V 为1 HV （S 1 -4S o + *S 2 ）H ，式中，S 1和S 2是两底面的面积，S o 是中截面的面积（即平面 Y 与底面之间距离 h=厂-6 2时得到的截面的面积）事实上，不光是拟柱体，其他符合条件 （所有顶点都在两个平行平面上、用平行于底面的平面去截该图形时所得到的截面面积是该平面与一底之间距离的不超过 3次的函数）的立体图形也可以利用该公式求体积33. 三余弦定理： 设A 为面上一点，过A 的斜线AO 在面上的射影为 AB , AC 为面上的一条直线，那么/ OAC , / BAC , / OAB 三角的余弦关系为：cos / OAC=cos / BAC • cos / OAB （ / BAC 和/ OAB 只能是锐角） ⑶在任意△ ABC 中，有：B .C sin _1 2亠8① sin A 2 sin 一2⑥ cos A cos B cosC -18A ? tan — ② cos A 2B cos 2C cos 3 - 3 2亠8⑦ sin Asin B sin C 3 3-2B C tan _tag2B? cot — - cot —2 229CcoJ __ 3- 32③ sin A2.B sin —2④ cos A cos __ , cos⑧ cos A 诗cos B cosC-3 —2CQ C O ⑨ Sin A • sin 2B sin 2 2 ? cot A cot B⑤ sin A sin B sin C二3 3（4）在任意锐角 △ ABC 中， 有: ① tan A tan B② cot A cot Bcot C 窿9③ tan 2A -Han2B - tan 2C 9 31.帕斯卡定理: 一条直线上3 M 42C1•迂■- 12 ⑩ tan 2 A tan 2_B tan2B C— tan — _ 32 22 A ? tan — tan 2④ cot 2 A cot 2B cot 2C 1如果一个六边形内接于一条二次曲线（椭圆、双曲线、抛物线 ），那么它的三对对边的交点在同a -b —c34. 在Rt△ ABC中，C为直角，内角A, B , C所对的边分别是a, b , c,则△ ABC的内切圆半径为2 35. 立方差公式：a3b3—（ a b）（a 2 ab b2）立方和公式： a 3 . b 3 _(a b)(a 2 _ ab b 2 )36.已知△ ABC , O 为其外心，H 为其垂心，则37.过原点的直线与椭圆的两个交点和椭圆上不与左右顶点重合的任一点构成的直线斜率乘积为定值 a 2-©2 (a b 0) 推论：椭圆上不与左右顶点重合的任一点与左右顶点构成的直线斜率乘积为定值38. e x _1 一 x x 2 x n e 汗 X n 12! n! (n 1)!推论：e x 1醤x - x 239. e x "e x ax(a 2)M n 1OH ' OA OB OC--(a b 0巾 2>推论：①t 亠1 2 ln t (t 0) t 40. 抛物线焦点弦的中点，在准线上的射影与焦点 41. 双曲线焦点三角形的内切圆圆心的横坐标为定值 ② ln x —ax- (x 0,0 a 2)x aF 的连线垂直于该焦点弦a(长半轴长)42.向量与三角形四心:在△ ABC 中，角 A , B , C 所对的边分别是 a , b , c(1) OA OB OC 二 0 — O 是'ABC 的重心⑵ OA OB - OB OC 一 OC OA O 为 ABC 的垂心--------- 4-" ------------ I d J 4 f⑶aOA +bOB cOC = 护 O 为°ABC 的内心(4) O A = O B =O C 白O 为也ABC 的外心43. 正弦平方差公式： sin 2 sin 2 ' = sin (田「护怡和(「 )44. 对任意圆锥曲线，过其上任意一点作两直线，若两射线斜率之积为定值，则两交点连线所在直线过定点45.三角函数数列求和裂项相消: sin x _sin( x 4) - sin(x - 斗)2 2 12 cos- 2 ( + +(V 一)(1 ) N N~ 149. £n擒公差为d的等差数列，t n〉为公比为q的等比数列，若数列・{cn＞满足C^ = a n - b n，贝擞列(Cn＞的前nC 2n 丄 _ q C n + C1项和S n为S n 2 ------(q 一1)50. 若圆的直径端点 A X i, y i ), B(X2 , y2)，则圆的方程为：(x "x i 乂x之2 )旳(y -y i %y y2 )电51. 过椭圆上一点做斜率互为相反数的两条直线交椭圆于A、B两点，则直线AB的斜率为定值52. 二项式定理的计算中不定系数变为定系数的公式：kCi k= n C n^J153. 三角形五心的一些性质：(1) 三角形的重心与三顶点的连线所构成的三个三角形面积相等(2) 三角形的垂心与三顶点这四点中，任一点是其余三点所构成的三角形的垂心(3) 三角形的垂心是它垂足三角形的内心；或者说，三角形的内心是它旁心三角形的垂心⑷三角形的外心是它的中点三角形的垂心(5) 三角形的重心也是它的中点三角形的重心(6) 三角形的中点三角形的外心也是其垂足三角形的外心⑺三角形的任一顶点到垂心的距离，等于外心到对边的距离的二倍——一匚a 2 b2L，c254. 在厶ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，则AB AC ' 2e m+e n e m_e n m±55. m＞n 时， e 22 m _n。
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1 高中数学二级结论 1.任意的简单n面体内切球半径为表SV3(V是简单n面体的体积，表S是简单n面体的表面积) 2.在任意ABC△内，都有tanA+tanB+tanC=tanA·tanB·tanC 推论：在ABC△内，若tanA+tanB+tanC<0，则ABC△为钝角三角形
3.斜二测画法直观图面积为原图形面积的42倍 4.过椭圆准线上一点作椭圆的两条切线，两切点连线所在直线必经过椭圆相应的焦点 5.导数题常用放缩1xex、1ln11xxxxx、)1(xexex
6.椭圆)0,0(12222babyax的面积S为πabS 7.圆锥曲线的切线方程求法：隐函数求导 推论：①过圆222)()(rbyax上任意一点),(00yxP的切线方程为200))(())((rbybyaxax
②过椭圆)0,0(12222babyax上任意一点),(00yxP的切线方程为12020byyaxx
③过双曲线)0,0(12222babyax上任意一点),(00yxP的切线方程为12020byyaxx 8.切点弦方程：平面内一点引曲线的两条切线，两切点所在直线的方程叫做曲线的切点弦方程 ①圆022FEyDxyx的切点弦方程为0220000FEyyDxxyyxx
②椭圆)0,0(12222babyax的切点弦方程为12020byyaxx ③双曲线)0,0(12222babyax的切点弦方程为12020byyaxx ④抛物线)0(22ppxy的切点弦方程为)(00xxpyy ⑤二次曲线的切点弦方程为0222000000FyyExxDyCyxyyxBxAx
9.①椭圆)0,0(12222babyax与直线)0·(0BACByAx相切的条件是22222CbBaA ②双曲线)0,0(12222babyax与直线)0·(0BACByAx相切的条件是22222CbBaA 10.若A、B、C、D是圆锥曲线(二次曲线)上顺次四点,则四点共圆(常用相交弦定理)的一个充要条件是:直线AC、BD的斜率存在且不等于零,并有0BDACkk,(ACk,BDk分别表示AC和BD的斜率) 2
11.已知椭圆方程为)0(12222babyax，两焦点分别为1F，2F，设焦点三角形21FPF中21FPF，则221cose
(2max21cose)
12.椭圆的焦半径(椭圆的一个焦点到椭圆上一点横坐标为0x的点P的距离)公式02,1exar 13.已知1k，2k，3k为过原点的直线1l，2l，3l的斜率，其中2l是1l和3l的角平分线，则1k，2k，3k满足下述转化关系：
3222223321212kkkkkkkk，31231231312)()1(1kkkkkkkkk，2122221123212kkkkkkkk
14.任意满足rbyaxnn的二次方程，过函数上一点),(11yx的切线方程为rybyxaxnn1111 15.已知f(x)的渐近线方程为y=ax+b，则axxfx)(lim，baxxfx])([lim
16.椭圆)0(12222babyax绕Ox坐标轴旋转所得的旋转体的体积为πabV34 17.平行四边形对角线平方之和等于四条边平方之和 18.在锐角三角形中CBACBAcoscoscossinsinsin
19.函数f(x)具有对称轴ax，bx)(ba，则f(x)为周期函数且一个正周期为|22|ba
20.y=kx+m与椭圆)0(12222babyax相交于两点，则纵坐标之和为22222bkamb 21.已知三角形三边x，y，z，求面积可用下述方法(一些情况下比海伦公式更实用，如27，28，29)
ACCBBASzACyCBxBA2222
22.圆锥曲线的第二定义： 椭圆的第二定义：平面上到定点F距离与到定直线间距离之比为常数e(即椭圆的偏心率，ace)的点的集合(定点F不在定直线上，该常数为小于1的正数) 双曲线第二定义：平面内，到给定一点及一直线的距离之比大于1且为常数的点的轨迹称为双曲线
23.到角公式：若把直线1l依逆时针方向旋转到与2l第一次重合时所转的角是，则21121tankkkkθ=
24.A、B、C三点共线ODnmOBOCnOAmOD1,(同时除以m+n) 25.过双曲线)0,0(12222babyax上任意一点作两条渐近线的平行线，与渐近线围成的四边形面积为2ab 3
26.反比例函数)0(kxky为双曲线，其焦点为)2,2(kk和)2,2(kk，k<0 27.面积射影定理：如图，设平面α外的△ABC在平面α内的射影为△ABO，分别记△ABC的面积和△ABO的面积为S和S′，记△ABC所在平面和平面α所成的二面角为θ，则cosθ=S′:S
28,角平分线定理：三角形一个角的平分线分其对边所成的两条线段与这个角的两边对应成比例 角平分线定理逆定理：如果三角形一边上的某个点分这条边所成的两条线段与这条边的对角的两边对应成比例，那么该点与对角顶点的连线是三角形的一条角平分线 29.数列不动点：
定义：方程的根称为函数的不动点
利用递推数列的不动点，可将某些递推关系所确定的数列化为等比数列或较易求通项的数列，这种方法称为不动点法 定理1：若是的不动点，满足递推关系，则
，即是公比为的等比数列.
定理2：设，满足递推关系，初值条件 (1)若有两个相异的不动点，则 （这里） (2)若只有唯一不动点，则 （这里） 定理3：设函数有两个不同的不动点,且由确定着数列,那么当且仅当时, 30.
xxf)()(xf)(xf)(1nnafa
),1,0()(aabaxxfp)(xfna)1(),(1nafa
nn
)(1paapann}{pana
)0,0()(bcadcdcxbaxxf}{na1),(1nafa
nn)(11afa
)(xfqp,qapakqapannnn
11
qcapcak
)(xfpkpapann1
11dack2
)0,0()(2eafexcbxaxxf21,xx
)(1nnufu
}{nuaeb2,02212111)(xuxuxuxunnnn4
(1)342cos2cos2cos4242sin2sin2sin4142cos2cos2cos442sin2sin2sin4)sin()sin()sin(knnCnBnAknnCnBnAknnCnBnAknnCnBnAnCnBnA ，*Nk (2)若πCBA，则： ①2sin2sin2sin8sinsinsin2sin2sin2sinCBACBACBA
②2sin2sin2sin41coscoscosCBACBA ③2sin2sin2sin212sin2sin2sin222CBACBA ④4sin4sin4sin412sin2sin2sinCBACBA ⑤2sin2sin2sin4sinsinsinCBACBA ⑥2cot2cot2cot2cot2cot2cotCBACBA ⑦12tan2tan2tan2tan2tan2tanACCBBA ⑧CBACBABACACBsinsinsin4)sin()sin()sin( (3)在任意△ABC中，有： ①812sin2sin2sinCBA ②8332cos2cos2cosCBA ③232sin2sin2sinCBA ④2332cos2cos2cosCBA ⑤833sinsinsinCBA ⑥81coscoscosCBA
⑦233sinsinsinCBA ⑧23coscoscosCBA ⑨432sin2sin2sin222CBA ⑩12tan2tan2tan222CBA ⑪32tan2tan2tan
CBA
⑫932tan2tan2tan
CBA
⑬332cot2cot2cot
CBA
⑭3cotcotcotCBA
(4)在任意锐角△ABC中，有： ①33tantantanCBA
②93cotcotcotCBA ③9tantantan222CBA
④1cotcotcot222CBA
31.帕斯卡定理：如果一个六边形内接于一条二次曲线(椭圆、双曲线、抛物线)，那么它的三对对边的交点在同