弹性力学计算题
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三.试确定以下两组应变状态能否存在(B A K ,,为常数), 并说明为什么?
(1) Kxy Ky y x K xy y x 2,),(222==+=γεε (存在) (2) 0,,22===xy y x y Bx Axy γεε (不存在)
四.计算题
1. 图中所示的矩形截面体,受力如图所示,试写出其边界条件。
解:主要边界条件,
b x =,p xy x ==τσ;0
b x -=,0;==xy x q τσ
次要边界条件,在0=y 上,
0)(0==y xy τ,满足;
F dx b
b
y y -=⎰
-=0)(σ
2
)(0Fb
xdx b
b
y y -
=⎰-=σ 2.图中所示的矩形截面体,在o 处受有集中力F 和力矩2/Fb M =作用,试用应力函数23Bx Ax +=φ求解图示问题的应力分量,设在A 点的位移和转角均为零。
解:应用应力函数求解,
(1) 校核相容方程04
=∇φ,满足 (2) 求应力分量,在无体力时,得
B Ax y 26+=σ,0==xy y τσ 考察主要边界条件,
b x ±=,0==xy y τσ,均满足。 考察次要边界条件,在0=y 上,
0)(0==y xy τ,满足;
F dx b
b
y y -=⎰-=0)(σ,得b
F
B 2-
=; 2)(0Fb
xdx b b y y -=⎰-=σ,得2
8b
F A -=。 代入,得应力的解答,
)231(2b
x
b F y +-
=σ,0==xy x τσ 上述应力已满足了04
=∇φ和全部边界条件,因而是上述问题的解。 3. 图中所示的悬臂梁,长度为l ,高度为h ,l h >>,在边界上受均匀分布荷载q ,试验应力函数
523322Ay Bx y Cy Dx Ex y φ=++++
能否成为此问题的解?如可以,试求出应力分量。
4. 已知如图所示矩形截面柱,承受偏心荷载P 的作用。若应力函数2
3
Bx Ax +=ϕ,试求各应力分量。
解:(1)检验相容方程是否满足,由0)(4
=∇φ
(2)求应力分量:
=x σ
B
y 2Ax 6+=σ
0=xy τ
(3)由边界条件:h y =边,由圣维南原理可得:
p dx a
a
h y y -=⎰
-=)(σ
可得:a p B 4/-=
2
)(0a p xdx a
a
y y •
-=⎰
-=σ 可得:2
8a
p
A -
= (4)应力分量为:
0=x σ
a p
x a
p y 2432
--
=σ 0=xy τ
5. 试推导平面问题的y 方向的平衡微分方程0=+∂∂+
∂∂y xy y f x
y
τσ
解:
以y 轴为投影轴,列出投影平衡方程∑=0x
F
;
dx
x
x ∂ ∂ σ y
0)()(=+-∂∂++-∂∂+dxdy f dy dy dx x
dx
dx dy y
y xy xy xy
y y
y τττσσσ
约简之后,两边除以dxdy ,得
0=+∂∂+
∂∂y xy y f x
y
τσ
2、考虑上端固定,下端自由的一维杆件,见题七图,只受重力作用,
g f f y x ρ==,0(ρ为杆件密度,g 为重力加速度),并设μ=0。
试用位移法求解杆件竖向位移及应力。(14分) (平面问题的平衡微分方程:0=+∂∂+∂∂x yx
x f y x στ,0=+∂∂+∂∂y xy y f x
y στ
位移分量表示的
应力分量表达式:)(12y v μx u μE σx ∂∂+∂∂-=
,)(12x
u
μy v μE σy
∂∂+∂∂-=,)()1(2y
u
x v μE τxy ∂∂+∂∂+=
)
解:据题意,设位移u =0,v =v (y ),按位移进行求解。
位移求解平面应力问题的基本微分方程如下:
,0)2121(12
2
2
22
2=+∂∂∂++∂∂-+∂∂-x f y x v
y u x u E μμμ
(a )
.0)2121(1222222=+∂∂∂++∂∂-+∂∂-y f y
x u
x v y v E μμμ
(b )
将相关量代入式(a)、(b),可见(a) 式(第一式)自然满足,而(b) 式
第二式成为E
g y v ρ-=∂∂22
可由此解出 .22
B Ay y E
g v ++-=ρ (c )
本题中,上下边的边界条件分别为位移边界条件和应力边界条件,且
0)(,0)(0====l y y y v σ