第一章 1.2 第1课时 几个常用函数的导数与基本初等函数的导数公式

§1.2 导数的计算

第1课时 几个常用函数的导数与基本初等函数的导数公式

学习目标 1.利用导数的定义推导常用的五个函数的导数公式，并归纳得出一般幂函数的导数公式.2.掌握基本初等函数的导数公式．

知识点一 几个常用函数的导数

原函数 导函数 f (x )＝c f ′(x )＝0 f (x )＝x f ′(x )＝1 f (x )＝x 2 f ′(x )＝2x f (x )＝1x

f ′(x )＝－1

x 2

f (x )＝x

f ′(x )＝1

2x

思考 “若f (x )＝c ，则f ′(x )＝0”，从几何意义怎样说明？ 答案 函数f (x )＝c 的图象上每一点处切线的斜率都是0. 知识点二 基本初等函数的导数公式

原函数 导函数 f (x )＝c (c 为常数) f ′(x )＝0 f (x )＝x α(α∈Q *) f ′(x )＝αx α－

1 f (x )＝sin x f ′(x )＝cos x f (x )＝cos x f ′(x )＝－sin x f (x )＝a x f ′(x )＝a x ln a (a >0)

f (x )＝e x f ′(x )＝e x

f (x )＝lo

g a x f ′(x )＝1

x ln a

(a >0且a ≠1)

f (x )＝ln x

f ′(x )＝1

x

思考 求f ′(x 0)有哪些方法？ 答案 方法一 f ′(x 0)＝lim Δx →0

f (x 0＋Δx )－f (x 0)

Δx .

方法二 先求导函数f ′(x )，然后代入求f ′(x 0)．

1．若y ＝2，则y ′＝1

2×2＝1.( × )

2．f (x )＝1x 3，则f ′(x )＝－3

x 4.( √ )

3．若f (x )＝5x ，则f ′(x )＝5x log 5e.( × ) 4．若f (x )＝3x ，则f ′(x )＝x ·3x －1.( × )

一、利用导数公式求函数的导数 例1 求下列函数的导数． (1)y ＝⎝⎛⎭⎫12x

； (2)y ＝lg x ； (3)y ＝x 2

x ；

(4)y ＝2cos 2x

2

－1.

解 (1)y ′＝⎝⎛⎭⎫12x ln 12＝－⎝⎛⎭⎫12x ln 2. (2)y ′＝1

x ln 10.

(3)∵y ＝x 2

x

＝3

2x ，

∴y ′＝(32

x )′＝321

2x ＝3

2x .

(4)∵y ＝2cos 2x

2－1＝cos x ，

∴y ′＝(cos x )′＝－sin x .

反思感悟 利用公式求函数的导数：

(1)若所求函数符合导数公式，则直接利用公式求导．

(2)若给出的函数解析式不符合基本初等函数的导数公式，则通过恒等变换对解析式进行化简或变形后再求导．

跟踪训练1 下列运算正确的是( ) A ．(x 5)′＝x 5ln 5 B ．(lg x )′＝1

x

C ．(π5)′＝5π4

D ．(log 2x )′＝1

x ln 2

答案 D

解析 对于A ，因为(x 5)′＝5x 4，所以A 错误；对于B ，因为(lg x )′＝1

x ln 10，所以B 错误；

对于C ，因为(π5)′＝0，所以C 错误；对于D ，因为(log 2x )′＝1

x ln 2，所以D 正确．

二、导数公式的应用

例2 已知曲线y ＝ln x ，点P (e,1)是曲线上一点，求曲线在点P 处的切线方程． 解 ∵y ′＝1

x ，

∴k ＝y ′|x ＝e ＝1

e

，

∴切线方程为y －1＝1

e (x －e)，

即x －e y ＝0. 延伸探究

求曲线y ＝ln x 过点O (0,0)的切线方程． 解 ∵O (0,0)不在曲线y ＝ln x 上． ∴设切点Q (x 0，y 0)， 则切线的斜率k ＝1

x 0

.

又切线的斜率k ＝y 0－0x 0－0＝ln x 0

x 0，

∴

ln x 0x 0＝1

x 0

，即x 0＝e ， ∴Q (e,1)， ∴k ＝1e

，

∴切线方程为y －1＝1

e

(x －e)，即x －e y ＝0.

反思感悟 利用导数的几何意义解决切线问题的两种情况 (1)若已知点是切点，则在该点处的切线斜率就是该点处的导数．

(2)如果已知点不是切点，则应先设出切点，再借助两点连线的斜率公式进行求解．

跟踪训练2 (1)函数y ＝－1x 在⎝⎛⎭⎫1

2，－2处的切线方程是( ) A ．y ＝4x B ．y ＝4x －4 C ．y ＝4x ＋4 D ．y ＝2x －4

答案 B

解析 ∵y ′＝⎝⎛⎭⎫－1

x ′＝x －2， ∴k ＝y ′|

12

x =

＝⎝⎛⎭⎫12－2＝4，

∴切线方程为y ＋2＝4⎝⎛⎭⎫x －1

2， 即y ＝4x －4.

(2)点P 是曲线y ＝－x 2上任意一点，则点P 到直线y ＝x ＋2的最小距离为( ) A ．1 B.728 C.52

8 D. 3

答案 B

解析 依题意知，点P 就是曲线y ＝－x 2上与直线y ＝x ＋2平行的切线的切点． 设点P 的坐标为(x 0，－x 20)， 因为y ′＝－2x ，

所以曲线在点P 处的切线的斜率为k ＝－2x 0. 因为该切线与直线y ＝x ＋2平行， 所以有－2x 0＝1，得x 0＝－1

2.

故点P 的坐标为⎝⎛⎭⎫－12

，－14，