双曲线的简单几何性质课件
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3.2.2双曲线的简单几何性质(第一课时)课件(人教版)
令Δy= x
= (x- 2 −
2
)
∵x≥a>0
∴ 2 − <x
−
N(x,y’)
y
Q
b
M(x,y)
B2
A1
A2
o
(x≥a)
a
x
B1
b
y x
a
b
y x
a
∴Δy>0 即在第一象限，对于任意一个x,
x> 2 −
• 即 直线y= x与曲线y= 2 − 在第一象限不相交
，并且直线y= x始终在曲线y= 2 − 上方。
2
2
根据双曲线的对称性，直线y= x与双曲线 2 - 2 =1不
相交，两者对于同一个横坐标对应的纵坐标的绝对值
始终是前者的比后者的大。
2
2
• 同理，直线y=- x与双曲线 2 - 2 =1也有相同的结
论
∵b= 2 − 2
∴ = (2 − 1)
e越趋近于1，b越小，两渐近线开口越小，双曲线
开口也越小；e越大，b越大，两渐近线开口越大，
双曲线开口也越大。
例3.求双曲线9y2－16x2=144的实半轴长、虚半轴长、
焦点坐标、离心率、渐近线方程.． 2 2
分析 把已知方程化成标准方程为 : - ＝1
第三章 圆锥曲线的方程
3.2.2 双曲线的简单几何性质
（第一课时）
•
2024-2025学年高二数学选择性必修第一册(配湘教版)课件3.2.2双曲线的简单几何性质
5
由题意知 2b=12, = 4且 c2=a2+b2,
2
=1
2
2
或 2
2
− 2 =1(a>0,b>0).
∴b=6,c=10,a=8.
2
∴双曲线的标准方程为64
−
2
=1
36
2
或64
2
− 36 =1.
2
(2)设所求双曲线的方程为 4
∵点
4
M(3,-2)在双曲线上,∴4
2
∴双曲线的标准方程为 6
又4|PF1|·|PF2|=9ab,所以9b2-4a2=9ab,
即(3b-4a)(3b+a)=0,解得3b=4a(3b=-a舍去),
则双曲线的离心率为
e=
=
1+
2
=
5
.
3
5
3
.
规律方法 求双曲线离心率的两种方法
(1)直接法:若已知 a,c
可直接利用 e= 求解,若已知
a,b,可利用 e= 1 +
−
2
=λ(λ>0),将点(2,0)的坐
16
探究点三 双曲线的离心率的求法
角度1求离心率的值
【例3】(1)设双曲线的一个焦点为F,虚轴的一个端点为B,如果直线FB与该
双曲线的一条渐近线垂直,那么此双曲线的离心率e=
解析 当焦点在 x
当焦点在 y
-0
轴时,由题意可得0-
-0
轴时,由题意可得0-
−
−
2
=λ(λ≠0).
3
9
− 3=λ,即
2
=1.
8
λ=-2.
双曲线的简单几何性质 课件
_____y_＝__±_ba_x_____
_____y_＝__±_ab_x_____
2．等轴双曲线
实轴和虚轴等长的双曲线，标准方程为__x_2－__y_2_＝_a_2______.
命题方向1 ⇨已知双曲线的方程，研究其几何性质
求双曲线 9y2－4x2＝－36 的顶点坐标、焦点坐标、实轴长、虚轴 长、离心率和渐近线方程，并作出草图.
轴
离心率 渐近线
ax22－by22＝1(a>0，b>0)
ay22－bx22＝1(a>0，b>0)
_|_F_1F__2|_＝__2_c______ x_≤_－__a____或__x_≥_a______ _y_≤_－__a______或__y_≥_a_______
对称轴：_坐__标__轴______；对称中心：__原__点________
求得ac的范围，即离心率的范围．
[规范解答] ∵双曲线的焦点在 x 轴上，
故其渐近线方程为 y＝bax，则 tan α＝ba.
∵π4<α<π3，∴1<tan α<
3，即
b 1<a<
3，∴1<ba22＝c2－a2 a2<3，
求得
c 2<a<2.
故选 B．
『导师点睛』 求双曲线离心率的取值范围，关键是根据题目条件得到 不等关系，并想办法转化为关于 a，b，c 的不等关系，结合 c2＝a2＋b2 和ac＝ e 得到关于 e 的不等式，然后求解．在建立不等式求 e 时，经常用到的结论：双 曲线上一点到相应焦点距离的最小值为 c－a.双曲线的离心率常以双曲线的渐近 线为载体进行命题，注意二者参数之间的转化．
命题方向2 ⇨由双曲线的性质求双曲线的方程
双曲线的简单几何性质 课件
双曲线的简单几何性质
1．曲线 10x－2 m＋6－y2m＝1 (m＜6)与曲线 5－x2m＋9－y2m＝1 (5＜m＜9)的( )
A．焦距相等
B．离心率相等
C．焦点相同
D．以上都不正确
解析：由 10x－2 m＋6－y2m＝1 (m＜6)知该方程表示焦点 在x轴上的椭圆，由 5－x2m＋9－y2m＝1 (5＜m＜9)知该方程表
由双曲线定义及勾股定理得
|PF1|－|PF2|＝±6，
|PF1|2＋|PF2|2＝|F1F2|2＝102，
∴(|PF1|－|PF2|)2＋2|PF1||PF2|＝100，
∴|PF1||PF2|＝
100－36 2
＝32，
∴S△F1PF2＝ 12|PF1||PF2|＝16.
直线与双曲线的关系问题
设双曲线C：ax22 －y2＝1(a＞0)与直线l：x＋y＝1
相交于两个不同的点A、B.
(1)求实数a的取值范围；
(2)设直线l与y轴的交点为P，取P→A＝152P→B ，求a的值．
解析：(1)将y＝－x＋1代入双曲线 x2 －y2＝1(a＞0)中得
(1－a2)x2＋2a2x－2a2＝0.
a2
依题意1Δ－＝a42a≠4＋0 8a21－a2＞0，
∴0＜a＜ 2 且a≠1.
由 a＞0，解得 a＝1137.
(2)设 A(x1，y1)，B(x2，y2)，P(0,1)，因为P→A＝152P→B，
所以(x1，y1－1)＝152(x2，y2－1)，
由此得 x1＝152x2， 由于 x1，x2 是方程(1－a2)x2＋2a2x－2a2＝0 的两根， 且 1－a2≠0，所以 x1＋x2＝1127x2＝－12－a2a2， x1·x2＝152x22＝－12－a2a2. 消去 x2 得－12－a2a2＝26809.
1．曲线 10x－2 m＋6－y2m＝1 (m＜6)与曲线 5－x2m＋9－y2m＝1 (5＜m＜9)的( )
A．焦距相等
B．离心率相等
C．焦点相同
D．以上都不正确
解析：由 10x－2 m＋6－y2m＝1 (m＜6)知该方程表示焦点 在x轴上的椭圆，由 5－x2m＋9－y2m＝1 (5＜m＜9)知该方程表
由双曲线定义及勾股定理得
|PF1|－|PF2|＝±6，
|PF1|2＋|PF2|2＝|F1F2|2＝102，
∴(|PF1|－|PF2|)2＋2|PF1||PF2|＝100，
∴|PF1||PF2|＝
100－36 2
＝32，
∴S△F1PF2＝ 12|PF1||PF2|＝16.
直线与双曲线的关系问题
设双曲线C：ax22 －y2＝1(a＞0)与直线l：x＋y＝1
相交于两个不同的点A、B.
(1)求实数a的取值范围；
(2)设直线l与y轴的交点为P，取P→A＝152P→B ，求a的值．
解析：(1)将y＝－x＋1代入双曲线 x2 －y2＝1(a＞0)中得
(1－a2)x2＋2a2x－2a2＝0.
a2
依题意1Δ－＝a42a≠4＋0 8a21－a2＞0，
∴0＜a＜ 2 且a≠1.
由 a＞0，解得 a＝1137.
(2)设 A(x1，y1)，B(x2，y2)，P(0,1)，因为P→A＝152P→B，
所以(x1，y1－1)＝152(x2，y2－1)，
由此得 x1＝152x2， 由于 x1，x2 是方程(1－a2)x2＋2a2x－2a2＝0 的两根， 且 1－a2≠0，所以 x1＋x2＝1127x2＝－12－a2a2， x1·x2＝152x22＝－12－a2a2. 消去 x2 得－12－a2a2＝26809.
3.2.2双曲线的简单几何性质课件(人教版)
= 上一点，F1，F2是其左
右焦点，且∠F1PF2=60°，则三角形ΔF1PF2的面积为________
练习2
已知点PQ是经过双曲线C： −
= 左焦点F1的一条
28
弦，且|PQ|=4，则三角形ΔF2PQ的周长为________
二、求双曲线方程
1.过两个已知点的双曲线的方程，可表示为___________
2.已知焦点和双曲线上一点A，则可计算____________
练习巩固
例1 求与双曲线
方程
【法一】
−
= 有相同焦点，且过点(-3,)的双曲线
练习巩固
例1 求与双曲线
方程
【法二】
−
= 有相同焦点，且过点(-3,)的双曲线
练习巩固
练习 求与双曲线
线方程
= ，则以A(2,1)为中点的弦所在直线
练习巩固
练习 已知双曲线 − = ，则以A(2,3)为中点的弦所在直
4x-3y+1=0
线的方程是________________
• 焦点三角形：S PF1F2
b2
tan
P
2
• 若PQ=m，则 CPQF1 4a 2m
F1 O
焦点位置
x轴
y轴
y
y
B2
图像
• F2
A2
•
F1 A1 O
A2
•
F2
x
B1
B2
B1 O
A1
x
• F1
焦点
F1(-c,0) F2(c,0)
高中数学选择性必修一(人教版)《3.2.2双曲线的简单几何性质》课件
[典例 4] 已知双曲线 3x2－y2＝3，过点 P(2,1)作一直线交 双曲线于 A，B 两点，且 P 为 AB 的中点.
(1)求直线 AB 的方程； (2)求弦 AB 的长．
[解] (1)法一：由题意知直线 AB 的斜率存在， 设直线 AB 的方程为 y－1＝k(x－2)， 联立双曲线方程 3x2－y2＝3，得 (3－k2)x2＋2k(2k－1)x－4k2＋4k－4＝0. 设 A(x1，y1)，B(x2，y2)， 则 x1＋x2＝－2k32－k－k2 1＝4，解得 k＝6. 所以直线 AB 的方程为 y－1＝6(x－2)， 即 6x－y－11＝0.
[方法技巧] 求双曲线的标准方程的方法与技巧
(1)根据双曲线的某些几何性质求双曲线方程，一般用待定 系数法转化为解方程(组)，但要注意焦点的位置，从而正确选择 方程的形式．
(2)巧设双曲线方程的六种方法与技巧： ①焦点在 x 轴上的双曲线的标准方程可设为xa22－by22＝1(a>0， b>0)； ②焦点在 y 轴上的双曲线的标准方程可设为ay22－xb22＝1(a>0， b>0)；
(二)基本知能小试
1．判断正误
(1)双曲线的离心率越大，双曲线的开口越开阔． ( )
(2)以 y＝±2x 为渐近线的双曲线有 2 条．
()
(3)
双
曲
线
x2 b2
－
y2 a2
＝
1(a>0
，
b>0)
的
离
心
率
e
＝
c a
(其
中
c＝
a2＋b2)．
()
答案：(1)√ (2)× (3)×
2．双曲线1x62－y2＝1 的顶点坐标是
(1)求直线 AB 的方程； (2)求弦 AB 的长．
[解] (1)法一：由题意知直线 AB 的斜率存在， 设直线 AB 的方程为 y－1＝k(x－2)， 联立双曲线方程 3x2－y2＝3，得 (3－k2)x2＋2k(2k－1)x－4k2＋4k－4＝0. 设 A(x1，y1)，B(x2，y2)， 则 x1＋x2＝－2k32－k－k2 1＝4，解得 k＝6. 所以直线 AB 的方程为 y－1＝6(x－2)， 即 6x－y－11＝0.
[方法技巧] 求双曲线的标准方程的方法与技巧
(1)根据双曲线的某些几何性质求双曲线方程，一般用待定 系数法转化为解方程(组)，但要注意焦点的位置，从而正确选择 方程的形式．
(2)巧设双曲线方程的六种方法与技巧： ①焦点在 x 轴上的双曲线的标准方程可设为xa22－by22＝1(a>0， b>0)； ②焦点在 y 轴上的双曲线的标准方程可设为ay22－xb22＝1(a>0， b>0)；
(二)基本知能小试
1．判断正误
(1)双曲线的离心率越大，双曲线的开口越开阔． ( )
(2)以 y＝±2x 为渐近线的双曲线有 2 条．
()
(3)
双
曲
线
x2 b2
－
y2 a2
＝
1(a>0
，
b>0)
的
离
心
率
e
＝
c a
(其
中
c＝
a2＋b2)．
()
答案：(1)√ (2)× (3)×
2．双曲线1x62－y2＝1 的顶点坐标是
双曲线的简单几何性质 课件
3
2
(1)双曲线的渐近线方程为 y=± ;
2
(2)双曲线 2
−
2
2
= 1(0 < < )的半焦距为, 直线过
(, 0), (0, )两点, 且原点到直线的距离为
3
2
3
.
4
解:(1)若焦点在 x 轴上,则 = ,
故 e=
2
2
若焦点在 y
故 e=
2
2
13
.
2
3
1 2
-2
4
+ 5 = 0. ③
当直线与双曲线相切时,仅有一个公共点,
2
= 0,
1
1 2
所以有
即
-2
2
−
4(4
−
2)
·
-2 +
2
2
4
4- ≠ 0,
5
5
2
= 0, 且k≠±2,解得 k= .
故所求的直线方程为 y=
5
2
3
+ .
4
当 k=2 时,方程③变为一次方程,且有唯一解,因而直线①和双曲
轴上,则 = , 即
2
+1=
+1=
13
.
3
综上所述,双曲线的离心率为
=
2
,
3
13
13
或
.
2
3
(2)依题意,得直线 l:bx+ay-ab=0.
由原点到 l 的距离为
3
, 得
4
2 +2
2
(1)双曲线的渐近线方程为 y=± ;
2
(2)双曲线 2
−
2
2
= 1(0 < < )的半焦距为, 直线过
(, 0), (0, )两点, 且原点到直线的距离为
3
2
3
.
4
解:(1)若焦点在 x 轴上,则 = ,
故 e=
2
2
若焦点在 y
故 e=
2
2
13
.
2
3
1 2
-2
4
+ 5 = 0. ③
当直线与双曲线相切时,仅有一个公共点,
2
= 0,
1
1 2
所以有
即
-2
2
−
4(4
−
2)
·
-2 +
2
2
4
4- ≠ 0,
5
5
2
= 0, 且k≠±2,解得 k= .
故所求的直线方程为 y=
5
2
3
+ .
4
当 k=2 时,方程③变为一次方程,且有唯一解,因而直线①和双曲
轴上,则 = , 即
2
+1=
+1=
13
.
3
综上所述,双曲线的离心率为
=
2
,
3
13
13
或
.
2
3
(2)依题意,得直线 l:bx+ay-ab=0.
由原点到 l 的距离为
3
, 得
4
2 +2
课件12：2.2.2 双曲线的简单几何性质
2
− 2 =(
−
2
=1共渐近线的双曲线方程可设为
2
≠ 0).
巩固训练
2
(1)求与椭圆
49
+
2
=1有相同焦点，且以
24
4
y=± x为渐近线的双曲线的方程.
3
2
(2)求与双曲线
3
的双曲线方程.
−
2
=1有共同渐近线，且过点(-1，2)
4
2
解：(1)椭圆
49
+
2
=1的焦点是F1(-5，0)，F2(5，0).
(2)若已知a，b，可直接利用e= 1 +
2
( )
得解.
(3)若得到的是关于a，c的齐次方程pc2+q·
ac+r·a2=0(p，q，
r为常数，且p≠0)，则转化为关于e的方程pe2+q·e+r=0求解.
巩固训练
2 2
已知双曲线 + =1的离心率e∈(1，2)，则
4
m的取值范围是
(
)
−
2
2
= 1(a>0，b>0)，若矩形ABCD
的四个顶点在E上，AB，CD的中点为E的两个焦点，且
2|AB|=3|BC|，则E的离心率是________.
【解析】(1)由题意知圆心(1，2 2)在双曲线的渐近线
y= x上，则2
e= =3.
【答案】B
2= ，所以b2=8a2，即c2-a2=8a2，所以
2
3
=1的离心率e=2，渐近线方程为y=± x.