高考数学模拟复习试卷试题模拟卷第八章直线与圆0063125

高考数学模拟复习试卷试题模拟卷第八章直线与圆0061 181

高考模拟复习试卷试题模拟卷第八章直线与圆一．基础题组1.（重庆市巴蜀中学高三月考数学、文、1）若直线210ax y ++=与直线20x y +-=互相垂直，那么a 的值等于( )A ．1B ．13-C ．23-D ．2- 2.（文昌中学高三模拟考试、文、15）圆心在直线x －2y ＝0上的圆C 与y 轴的正半轴相切，圆C 截x 轴所得弦的长为23，则圆C 的标准方程为________________．3.（重庆市巴蜀中学高三月考数学、文、15）在平面直角坐标系xOy 中，以点)0,1(为圆心且与直线)(012R m m y mx ∈=---相切的所有圆中，半径最大的圆的标准方程为.4.（重庆市部分区县高三上学期入学考试、文、16）若实数c b a ,,成等差数列，点)0,1(-P 在动直线0:==+c by ax l 上的射影为M ，点)3,0(N ，则线段MN 长度的最小值是．二．能力题组1.(五校协作体高三上学期期初考试数学、文、9)曲线21y x =+在点（1，2）处的切线为l ，则直线l 上的任意点P 与圆22430x y x +++=上的任意点Q 之间的最近距离是（）A.4515- B.2515- C.51- D.2 2.(示范高中高三第一次联考、文、14）已知圆的方程为()2214x y +-=。

若过点11,2P ⎛⎫⎪⎝⎭的直线l 与此圆交于,A B 两点，圆心为C ，则当ACB ∠最小时，直线l 的方程为。

3.（武汉市部分学校新高三调研、文、15）圆O 的半径为1,P 为圆周上一点，现将如图放置的边长为1的正方形（实线所示，正方形的顶点A 与点P 重合）沿圆周逆时针滚动，点A 第一次回到点P 的位置，则点A 走过的路径的长度为_________.三．拔高题组1.(东北师大附中、吉林市第一中学校等高三五校联考、文、7）过点),(a a A 可作圆0322222=-++-+a a ax y x 的两条切线，则实数a 的取值范围为（）A ．3-<a 或1>aB ．23<a C ．13<<-a 或23>a D ．3-<a 或231<<a2.（大庆铁人中学高三第一阶段考试、文、7）一条光线从点(2,3)--射出，经y 轴反射后与圆22(3)(2)1x y ++-=相切，则反射光线所在直线的斜率为（）A ．53-或35-B ．32-或23-C ．54-或45-D ．43-或34- 3.(齐齐哈尔市实验中学高三期末考试、文、9）若),(y x P 是直线)0(04>=++k y kx 上一动点，PB PA ,是圆02:22=-+y y x C 的两条切线，B A ,是切点，若四边形PACB 面积的最小值是2，则=k （）A. 3B.221C. 22D. 2 4.（云南师范大学附属中学月考、文、12）设直线l 与抛物线x2=4y 相交于A, B 两点，与圆C ：222(5)x y r +-= (r>0)相切于点M,且M 为线段AB 的中点，若这样的直线l 恰有4条，则r 的取值范围是（）A.（1，3)B. (1,4)C. (2, 3)D. (2, 4)5.（玉溪市第一中学高三月考、文、16）设m R ∈，过定点A 的动直线0x my +=和过定点B 的动直线30mx y m --+=交于点(,)P x y ，则||||PA PB ⋅的最大值是高考模拟复习试卷试题模拟卷【考情解读】1.理解平面向量数量积的含义及其物理意义．了解平面向量的数量积与向量投影的关系．2.掌握数量积的坐标表达式，会进行平面向量数量积的运算．3.能运用数量积表示两个向量的夹角，会用数量积判断两个平面向量的垂直关系．4.会用向量方法解决某些简单的平面几何问题．会用向量方法解决简单的力学问题与其他一些实际问题．【重点知识梳理】1．平面向量的数量积(1)定义：已知两个非零向量a与b，它们的夹角为θ，则数量|a||b|cos__θ叫作a与b的数量积(或内积)，记作a·b，即a·b＝|a||b|cos__θ，规定零向量与任一向量的数量积为0，即0·a＝0.(2)几何意义：数量积a·b等于a的长度|a|与b在a的方向上的投影|b|cos__θ的乘积．2．平面向量数量积的性质及其坐标表示设向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，θ为向量a，b的夹角．(1)数量积：a·b＝|a||b|cos θ＝x1x2＋y1y2.(2)模：|a|＝a·a＝x21＋y21.(3)夹角：cos θ＝a·b|a||b|＝x1x2＋y1y2x21＋y21·x22＋y22.(4)两非零向量a⊥b的充要条件：a·b＝0⇔x1x2＋y1y2＝0.(5)|a·b|≤|a||b|(当且仅当a∥b时等号成立)⇔|x1x2＋y1y2|≤x21＋y21·x22＋y22.3．平面向量数量积的运算律(1)a·b＝b·a(交换律)．(2)λa·b＝λ(a·b)＝a·(λb)(结合律)．(3)(a＋b)·c＝a·c＋b·c(分配律)．4．向量在平面几何中的应用向量在平面几何中的应用主要是用向量的线性运算及数量积解决平面几何中的平行、垂直、平移、全等、相似、长度、夹角等问题．(1)证明线段平行或点共线问题，包括相似问题，常用共线向量定理：a∥b(b≠0)⇔a＝λb⇔x1y2－x2y1＝0．(2)证明垂直问题，常用数量积的运算性质a ⊥b ⇔a·b ＝0⇔x1x2＋y1y2＝0(a ，b 均为非零向量)． (3)求夹角问题，利用夹角公式 cos θ＝a·b |a||b|＝x1x2＋y1y2x21＋y21 x22＋y22(θ为a 与b 的夹角)．5．向量在三角函数中的应用与三角函数相结合考查向量的数量积的坐标运算及其应用是高考热点题型．解答此类问题，除了要熟练掌握向量数量积的坐标运算公式、向量模、向量夹角的坐标运算公式外，还应掌握三角恒等变换的相关知识．6．向量在解析几何中的应用向量在解析几何中的应用，是以解析几何中的坐标为背景的一种向量描述．它主要强调向量的坐标问题，进而利用直线和圆锥曲线的位置关系的相关知识来解答，坐标的运算是考查的主体．【高频考点突破】考点一平面向量的数量积【例1】 (1)(·重庆卷)已知向量a 与b 的夹角为60°，且a ＝(－2，－6)，|b|＝10，则a·b ＝________．(2)已知正方形ABCD 的边长为1，点E 是AB 边上的动点，则DE →·CB →的值为__________；DE →·DC →的最大值为________．规律方法 (1)求两个向量的数量积有三种方法：利用定义；利用向量的坐标运算；利用数量积的几何意义．(2)解决涉及几何图形的向量数量积运算问题时，可先利用向量的加减运算或数量积的运算律化简再运算．但一定要注意向量的夹角与已知平面角的关系是相等还是互补．【变式探究】 (1)已知两个单位向量e1，e2的夹角为π3，若向量b1＝e1－2e2，b2＝3e1＋4e2，则b1·b2＝________．(2)已知点A ，B ，C 满足|AB →|＝3，|BC →|＝4，|CA →|＝5，则AB →·BC →＋BC →·CA →＋CA →·AB →的值是________．考点二平面向量的夹角与垂直【例2】 (1)平面向量a ，b 满足|a|＝1，|b|＝2，且(a ＋b)·(a －2b)＝－7，则向量a ，b 的夹角为________．(2)已知向量AB →与AC →的夹角为120°，且|AB →|＝3，|AC →|＝2.若AP →＝λAB →＋AC →，且AP →⊥BC →，则实数λ的值为________．规律方法 (1)根据平面向量数量积的性质：若a ，b 为非零向量，cos θ＝a·b|a||b|(夹角公式)，a ⊥b ⇔a·b ＝0等，可知平面向量的数量积可以用来解决有关角度、垂直问题．(2)数量积大于0说明不共线的两向量的夹角为锐角，数量积等于0说明不共线的两向量的夹角为直角，数量积小于0且两向量不共线时两向量的夹角为钝角．【变式探究】 (1)已知a ＝(2，－1)，b ＝(λ，3)，若a 与b 的夹角为钝角，则λ的取值范围是____________．(2)已知两个单位向量a ，b 的夹角为60°，c ＝ta ＋(1－t)b.若b·c ＝0，则t ＝________．考点三平面向量的模及应用【例3】 (1)已知向量a ，b 均为单位向量，它们的夹角为π3，则|a ＋b|＝() A ．1 B. 2 C. 3 D ．2(2)(·湖南卷)在平面直角坐标系中，O 为原点，A(－1，0)，B(0，3)，C(3，0)，动点D 满足|CD →|＝1，则|OA →＋OB →＋OD →|的最大值是________．【规律方法】(1)求向量的模的方法：①公式法，利用|a |＝a·a 及(a±b)2＝|a|2±2a·b ＋|b|2，把向量的模的运算转化为数量积运算；②几何法，利用向量的几何意义，即利用向量加减法的平行四边形法则或三角形法则作出向量，再利用余弦定理等方法求解．(2)求向量模的最值(范围)的方法：①代数法，把所求的模表示成某个变量的函数，再用求最值的方法求解；②几何法(数形结合法)，弄清所求的模表示的几何意义，结合动点表示的图形求解．【变式探究】(1)如图，在△ABC 中，O 为BC 中点，若AB ＝1，AC ＝3，〈AB →，AC →〉＝60°，则|OA →|＝________．(2)已知直角梯形ABCD 中，AD ∥BC ，∠ADC ＝90°，AD ＝2，BC ＝1，P 是腰DC 上的动点，则|PA →＋3PB →|的最小值为________．考点四平面向量在平面几何中的应用【例4】 (1)在平行四边形ABCD 中，AD ＝1，∠BAD ＝60°，E 为CD 的中点．若AC →·BE →＝1，则AB 的长为________．(2)(·天津卷)已知菱形ABCD 的边长为2，∠BAD ＝120°，点E ，F 分别在边BC ，DC 上，BE ＝λBC ，DF ＝μDC.若AE →·AF →＝1，CE →·CF →＝－23，则λ＋μ＝()A.12B.23C.56D.712规律方法用平面向量解决平面几何问题时，在便于建立直角坐标系的情况下建立平面直角坐标系，可以使向量的运算更简便一些．在解决这类问题时，共线向量定理和平面向量基本定理起主导作用．【变式探究】 (1)已知O 是平面上的一定点，A ，B ，C 是平面上不共线的三个动点，若动点P 满足OP →＝OA →＋λ(AB →＋AC →)，λ∈(0，＋∞)，则点P 的轨迹一定通过△ABC 的______心．(2)在边长为1的菱形ABCD 中，∠BAD ＝60°，E 是BC 的中点，则AC →·AE →＝________．考点五平面向量在三角函数中的应用【例5】在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知向量m ＝⎝⎛⎭⎫sin A2，cos A 2，n ＝⎝⎛⎭⎫cos A 2，－cos A 2，且2m·n ＋|m|＝22，AB →·AC →＝1. (1)求角A 的大小； (2)求△ABC 的面积S.规律方法 (1)解决平面向量与三角函数的交汇问题，关键是准确利用向量的坐标运算化简已知条件，将其转化为三角函数中的有关问题解决．(2)熟练掌握向量数量积的坐标运算公式、几何意义、向量模、夹角的坐标运算公式外，还应掌握三角恒等变换、正、余弦定理等知识．【变式探究】已知a ＝(cos α，sin α)，b ＝(cos β，sin β)，0＜β＜α＜π. (1)若|a －b|＝2，求证：a ⊥b ；(2)设c ＝(0，1)，若a ＋b ＝c ，求α，β的值．考点六向量在解析几何中的应用【例6】已知平面上一定点C(2，0)和直线l ：x ＝8，P 为该平面上一动点，作PQ ⊥l ，垂足为Q ，且⎝⎛⎭⎫PC →＋12PQ →·⎝⎛⎭⎫PC →－12PQ →＝0.(1)求动点P 的轨迹方程；(2)若EF 为圆N ：x2＋(y －1)2＝1的任一条直径，求PE →·PF →的最值．规律方法向量在解析几何中的作用：(1)载体作用，向量在解析几何问题中出现，多用于“包装”，解决此类问题时关键是利用向量的意义、运算脱去“向量外衣”，导出曲线上点的坐标之间的关系，从而解决有关距离、斜率、夹角、轨迹、最值等问题；(2)工具作用，利用a ⊥b ⇔a·b ＝0；a ∥b ⇔a ＝λb(b≠0)，可解决垂直、平行问题，特别地，向量垂直、平行的坐标表示对于解决解析几何中的垂直、平行问题是一种比较可行的方法．【变式探究3】已知点P(0，－3)，点A 在x 轴上，点Q 在y 轴的正半轴上，点M 满足PA →·AM →＝0，AM →＝－32MQ →，当点A 在x 轴上移动时，求动点M 的轨迹方程．【真题感悟】1.【高考广东，文9】在平面直角坐标系x y O 中，已知四边形CD AB 是平行四边形，()1,2AB =-，()D 2,1A =，则D C A ⋅A =（）A ．2B ．3C ．4D ．52.【高考重庆，文7】已知非零向量,a b 满足||=4||(+)b a a a b ⊥，且2则a b 与的夹角为（） (A)3π (B) 2π(C) 32π (D) 65π3.【高考福建，文7】设(1,2)a =，(1,1)b =，c a kb =+．若b c ⊥，则实数k 的值等于（） A ．32-B ．53-C ．53D ．324.【高考天津，文13】在等腰梯形ABCD 中,已知AB DC ,2,1,60,AB BC ABC ==∠=点E 和点F 分别在线段BC 和CD 上,且21,,36BE BC DF DC ==则AE AF ⋅的值为． 5.【高考浙江，文13】已知1e ，2e 是平面单位向量，且1212e e ⋅=．若平面向量b 满足121b e b e ⋅=⋅=，则b =．1．（·北京卷）已知向量a ，b 满足|a|＝1，b ＝(2，1)，且λa ＋b ＝0(λ∈R)，则|λ|＝________． 2．（·湖北卷）设向量a ＝(3，3)，b ＝(1，－1)．若(a ＋λb)⊥(a －λb)，则实数λ＝________．3．（·江西卷）已知单位向量e1与e2的夹角为α，且cos α＝13，向量a ＝3e1－2e2与b ＝3e1－e2的夹角为β，则cos β＝________．.4．（·全国卷）若向量a ，b 满足：＝1，(a ＋b)⊥a ，(＋b)⊥b ，则|＝() A ．2 B.2 C ．1 D.225．（·新课标全国卷Ⅱ] 设向量a ，b 满足|a ＋b|＝10，|a －b|＝6，则＝() A ．1 B ．2 C ．3 D ．56．（·山东卷）在△ABC 中，已知AB →·AC →＝tan A ，当A ＝π6时，△ABC 的面积为______．7．（·天津卷）已知菱形ABCD 的边长为2，∠BAD ＝120°，点E ，F 分别在边BC ，DC 上，BE ＝λBC ，DF ＝μDC.若AE →·AF →＝1，CE →·CF →＝－23，则λ＋μ＝()A.12B.23C.56D.7128．(高考湖北卷)已知点A(－1,1)、B(1,2)、C(－2，－1)、D(3,4)，则向量AB →在CD →方向上的投影为() A.322B.3152C ．－322D ．－31529．(高考湖南卷)已知a ，b 是单位向量，a·b ＝0.若向量c 满足|c －a －b|＝1，则|c|的取值范围是() A ．[2－1，2＋1] B.[]2－1，2＋2C ．[1，2＋1]D ．[1，2＋2]10．(高考辽宁卷)设向量a ＝(3sin x ，sin x)，b ＝(cos x ，sin x)，x ∈⎣⎡⎦⎤0，π2.(1)若|a|＝|b|，求x 的值；(2)设函数f(x)＝a·b ，求f(x)的最大值．11．(高考陕西卷)已知向量a ＝⎝⎛⎭⎫cos x ，－12，b ＝(3sin x ，cos 2x)，x ∈R ，设函数f(x)＝a·b.(1)求f(x)的最小正周期；(2)求f(x)在⎣⎡⎦⎤0，π2上的最大值和最小值．【押题专练】1．已知a ，b 为单位向量，其夹角为60°，则(2a －b)·b ＝ () A ．－1B ．0C ．1D ．22．已知a ＝(1，sin2x)，b ＝(2，sin 2x)，其中x ∈(0，π)．若|a·b|＝|a||b|，则tan x 的值等于() A ．1B ．－1 C. 3D.223．如图，在矩形ABCD 中，AB ＝2，BC ＝2，点E 为BC 的中点，点F 在CD 上，若AB →·AF →＝2，则AE →·BF →的值是()A. 2 B ．2 C ．0D ．14．在△ABC 中，AB ＝AC ＝2，BC ＝23，则AB →·AC →＝ ()A ．2 3B ．2C ．－2 3D ．－25．已知|a|＝2|b|，|b|≠0，且关于x 的方程x2＋|a|x －a·b ＝0有两相等实根，则向量a 与b 的夹角是 ()A ．－π6B ．－π3C.π3D.2π36．向量a ＝(3，4)在向量b ＝(1，－1)方向上的投影为________．7．已知平面向量a 与b 的夹角等于π3，若|a|＝2，|b|＝3，则|2a －3b|＝________．8．已知向量a ＝(cos θ，sin θ)，向量b ＝(3，－1)，则 |2a －b|的最大值与最小值的和为________． 9．已知平面向量a ＝(3，－1)，b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12，32.(1)证明：a ⊥b ；(2)若存在不同时为零的实数k 和t ，使c ＝a ＋(t2－3)b ，d ＝－ka ＋tb ，且c ⊥d ，试求函数关系式k ＝f(t)．10．已知|a|＝4，|b|＝3，(2a －3b)·(2a ＋b)＝61， (1)求a 与b 的夹角θ；(2)求|a ＋b|；(3)若AB →＝a ，BC →＝b ，求△ABC 的面积．11．已知|a|＝2|b|≠0，且关于x 的函数f(x)＝13x3＋12|a|x2＋a·bx 在R 上有极值，则向量a 与b 的夹角的范围是()A.⎣⎡⎭⎫0，π6 B.⎝⎛⎦⎤π6，πC.⎝⎛⎦⎤π3，πD.⎝⎛⎭⎫π3，23π 12．在△ABC 中，设AC →2－AB →2＝2AM →·BC →，那么动点M 的轨迹必通过△ABC 的 () A ．垂心B ．内心C ．外心D ．重心13．在平面直角坐标系xOy 中，已知点A 的坐标为(3，a)，a ∈R ，点P 满足OP →＝λOA →，λ∈R ，|OA →|·|OP →|＝72，则线段OP 在x 轴上的投影长度的最大值为________．14．已知平面上三点A ，B ，C ，BC →＝(2－k ，3)，AC →＝(2，4)． (1)若三点A ，B ，C 不能构成三角形，求实数k 应满足的条件； (2)若△ABC为直角三角形，求k的值．高考模拟复习试卷试题模拟卷高考模拟复习试卷试题模拟卷【高频考点解读】1．认识柱、锥、台、球及其简单组合体的结构特征，并能运用这些特征描述现实生活中简单物体的结构．2.能画出简单空间图形(长方体、球、圆柱、圆锥、棱柱等的简易组合)的三视图，能识别上述三视图所表示的立体模型，会用斜二测画法画出它们的直观图．3.会用平行投影与中心投影两种方法画出简单空间图形的三视图与直观图，了解空间图形的不同表示形式．4.了解球、棱柱、棱锥、台的表面积和体积的计算公式．【热点题型】题型一空间几何体的三视图和直观图例1、(1)一几何体的直观图如图，下列给出的四个俯视图中正确的是()(2)正三角形AOB的边长为a，建立如图所示的直角坐标系xOy，则它的直观图的面积是________．答案(1)B(2)6 16a2解析(1)该几何体是组合体，上面的几何体是一个五面体，下面是一个长方体，且五面体的一个面即为长方体的一个面，五面体最上面的棱的两端点在底面的射影距左右两边距离相等，因此选B.(2)画出坐标系x′O′y′，作出△OAB 的直观图O′A′B′(如图)．D′为O′A′的中点．易知D′B′＝12DB(D 为OA 的中点)，∴S △O′A′B′＝12×22S △OAB ＝24×34a2＝616a2.【提分秘籍】(1)三视图中，正视图和侧视图一样高，正视图和俯视图一样长，侧视图和俯视图一样宽，即“长对正，宽相等，高平齐”；(2)解决有关“斜二测画法”问题时，一般在已知图形中建立直角坐标系，尽量运用图形中原有的垂直直线或图形的对称轴为坐标轴，图形的对称中心为原点，注意两个图形中关键线段长度的关系．【举一反三】(1)如图，网格纸的各小格都是正方形，粗实线画出的是一个几何体的三视图，则这个几何体是( )A ．三棱锥B ．三棱柱C ．四棱锥D ．四棱柱(2)如图，矩形O′A′B′C′是水平放置的一个平面图形的直观图，其中O′A′＝6cm ，O′C′＝2cm ，则原图形是( )A ．正方形B ．矩形C ．菱形D ．一般的平行四边形答案 (1)B (2)C解析 (1)如图，几何体为三棱柱．题型二空间几何体的表面积与体积例2、(1)如图，网格纸上正方形小格的边长为1(表示1cm)，图中粗线画出的是某零件的三视图，该零件由一个底面半径为3cm ，高为6cm 的圆柱体毛坯切削得到，则切削掉部分的体积与原来毛坯体积的比值为( )A.1727B.59C.1027D.13(2)一个多面体的三视图如图所示，则该多面体的体积为( )A.233B.476C ．6D ．7(3)有三个球，第一个球内切于正方体，第二个球与这个正方体各条棱相切，第三个球过这个正方体的各个顶点，则这三个球的表面积之比为________．答案 (1)C (2)A (3)1∶2∶3解析 (1)由三视图可知几何体是如图所示的两个圆柱的组合体．其中左面圆柱的高为4cm ，底面半径为2cm ，右面圆柱的高为2cm ，底面半径为3cm ，则组合体的体积V1＝π×22×4＋π×32×2＝16π＋18π＝34π(cm3)，原毛坯体积V2＝π×32×6＝54π(cm3)，则所求比值为54π－34π54π＝1027.(2)该几何体是正方体去掉两个角所形成的多面体，其体积为V ＝2×2×2－2×13×12×1×1×1＝233.(3)设正方体的棱长为a ，①正方体的内切球球心是正方体的中心，切点是六个面的中心，经过四个切点及球心作截面如图①所示，有2r1＝a ，∴r1＝a 2，S1＝4πr 21＝πa2.【提分秘籍】(1)解决组合体问题关键是分清该几何体是由哪些简单的几何体组成的以及这些简单的几何体的组合情况；(2)由三视图求几何体的面积、体积，关键是由三视图还原几何体，同时还需掌握求体积的常用技巧如：割补法和等价转化法．【举一反三】(1)一个空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为()A．48 B．32＋817C．48＋817 D．80(2)把边长为1的正方形ABCD沿对角线BD折起，使得平面ABD⊥平面CBD，形成三棱锥C－ABD 的正视图与俯视图如图所示，则侧视图的面积为()A.12 B .22 C.14 D.24答案 (1)C (2)C解析 (1)由三视图知该几何体的直观图如图所示，该几何体的下底面是边长为4的正方形；上底面是长为4、宽为2的矩形；两个梯形侧面垂直于底面，上底长为2，下底长为4，高为4；另两个侧面是矩形，宽为4，长为42＋12＝17.所以S 表＝42＋2×4＋12×(2＋4)×4×2＋4×17×2＝48＋817.(2)因为C 在平面ABD 上的射影为BD 的中点O ，在边长为1的正方形ABCD 中，AO ＝CO ＝12AC ＝22，所以侧视图的面积等于S △AOC ＝12CO·AO ＝12×22×22＝14，故选C.题型三空间几何体的结构特征例3、给出下列命题：①棱柱的侧棱都相等，侧面都是全等的平行四边形；②若三棱锥的三条侧棱两两垂直，则其三个侧面也两两垂直；③在四棱柱中，若两个过相对侧棱的截面都垂直于底面，则该四棱柱为直四棱柱；④存在每个面都是直角三角形的四面体；⑤棱台的侧棱延长后交于一点．其中正确命题的序号是________．答案 ②③④⑤解析 ①不正确，根据棱柱的定义，棱柱的各个侧面都是平行四边形，但不一定全等；②正确，若三棱锥的三条侧棱两两垂直，则三个侧面构成的三个平面的二面角都是直二面角；③正确，因为两个过相对侧棱的截面的交线平行于侧棱，又垂直于底面；④正确，如图，正方体AC1中的三棱锥C1－ABC，四个面都是直角三角形；⑤正确，由棱台的概念可知．【提分秘籍】(1)解决本类题目的关键是准确理解几何体的定义，真正把握几何体的结构特征，可以根据条件构建几何模型，在几何模型中进行判断；(2)解决本类题目的技巧：三棱柱、四棱柱、三棱锥、四棱锥是常用的几何模型，有些问题可以利用它们举特例解决或者学会利用反例对概念类的命题进行辨析．【举一反三】给出下列命题：①在圆柱的上、下底面的圆周上各取一点，则这两点的连线是圆柱的母线；②有一个面是多边形，其余各面都是三角形的几何体是棱锥；③直角三角形绕其任一边所在直线旋转一周所形成的几何体都是圆锥；④棱台的上、下底面可以不相似，但侧棱长一定相等．其中正确命题的个数是()A．0 B．1 C．2 D．3答案A图1 图2【高考风向标】1.【高考浙江，文2】某几何体的三视图如图所示（单位：cm ），则该几何体的体积是（）A ．83cmB ．123cmC ．3233cmD ．4033cm【答案】C【解析】由三视图可知，该几何体是一个棱长为2的正方体与一个底面边长为2，高为2的正四棱锥的组合体，故其体积为32313222233V cm =+⨯⨯=.故选C. 2.【高考重庆，文5】某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）123π+ (B) 136π (C) 73π (D) 52π 【答案】B【解析】由三视图可知该几何体是由一个底面半径为1，高为2的圆柱，再加上一个半圆锥：其底面半径为1，高也为1，构成的一个组合体，故其体积为61311612122πππ=⨯⨯⨯+⨯⨯，故选B. 3.【高考陕西，文5】一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（）A ．3πB ．4πC ．24π+D ．34π+【答案】D4、【高考新课标1，文11】圆柱被一个平面截去一部分后与半球（半径为r ）组成一个几何体，该几何体的三视图中的正视图和俯视图如图所示，若该几何体的表面积为1620π+，则r =( )（A ）1 （B ）2（C ）4 （D ）8【答案】B【解析】由正视图和俯视图知，该几何体是半球与半个圆柱的组合体，圆柱的半径与球的半径都为r ，圆柱的高为2r ，其表面积为22142222r r r r r r πππ⨯+⨯++⨯=2254r r π+=16 + 20π，解得r=2，故选B.5.【高考福建，文9】某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积等于（）1112A．822+ B．1122+ C．1422+ D．15【答案】B6.【高考山东，文9】已知等腰直角三角形的直角边的长为，将该三角形绕其斜边所在的直线旋转一周而形成的曲面所围成的几何体的体积为( )（A）223π（B）423π（）22π（）42π【答案】B【解析】由题意知，该等腰直角三角形的斜边长为22，斜边上的高为2，所得旋转体为同底等高的全等圆锥，所以，其体积为2142(2)223ππ⨯⨯=，故选B.7【高考安徽，文9】一个四面体的三视图如图所示，则该四面体的表面积是（）（A ）13+ （B ）122+ （C ）23+ （D ）22【答案】C【解析】由该几何体的三视图可知，该几何体的直观图，如下图所示：其中侧面PAC ⊥底面ABC ，且PAC ∆≌ABC ∆，由三视图中所给数据可知： 2====BC AB PC PA ,取AC 中点,O 连接BO PO ,，则POB Rt ∆中，1==BO PO ⇒2=PB ∴3222212432+=⋅⋅+⋅⋅=S ，故选C. 8.【高考天津，文10】一个几何体的三视图如图所示（单位:m ）,则该几何体的体积为3m .【答案】8π3 【解析】该几何体是由两个高为1的圆锥与一个高为2的圆柱组合而成,所以该几何体的体积为318π2π1π2(m )33⨯⨯⨯+⨯= . 9.【高考四川，文14】在三棱住ABC －A1B1C1中，∠BAC ＝90°，其正视图和侧视图都是边长为1的正方形，俯视图是直角边长为1的等腰直角三角形，设点M ，N ，P 分别是AB ，BC ，B1C1的中点，则三棱锥P －A1MN 的体积是______.【答案】12410．（·安徽卷）一个多面体的三视图如图1-2所示，则该多面体的体积是( )图1-2 A.233 B.476 C ．6 D ．7【答案】A 【解析】如图所示，由三视图可知该几何体是棱长为2的正方体截去两个小三棱锥后余下的部分，其体积V ＝8－2×13×12×1×1×1＝233.11．（·湖南卷）一块石材表示的几何体的三视图如图1-2所示，将该石材切削、打磨，加工成球，则能得到的最大球的半径等于( )图1-2A ．1B ．2C ．3D ．4【答案】B【解析】由三视图可知，石材为一个三棱柱(相对应的长方体的一半)，故可知能得到的最大球为三棱柱的内切球．由题意可知正视图三角形的内切圆的半径即为球的半径，可得R ＝6＋8－102＝2. 12．（·陕西卷）将边长为1的正方形以其一边所在直线为旋转轴旋转一周，所得几何体的侧面积是( )A ．4πB ．3πC ．2πD ．π【答案】C【解析】由题意可知，旋转体是一个底面半径为1，高为1的圆柱，故其侧面积为2π×1×1＝2π.13．（·全国卷）正四棱锥的顶点都在同一球面上．若该棱锥的高为4，底面边长为2，则该球的表面积为( )A.81π4 B ．16πC ．9π D.27π4【答案】A14．（·陕西卷）四面体ABCD 及其三视图如图1-4所示，平行于棱AD ，BC 的平面分别交四面体的棱AB ，BD ，DC ，CA 于点E ，F ，G ，H.图1-4(1)求四面体ABCD 的体积；(2)证明：四边形EFGH 是矩形．【解析】解：(1)由该四面体的三视图可知，BD ⊥DC ，BD ⊥AD ，AD ⊥DC ，BD ＝DC ＝2，AD ＝1，∴AD ⊥平面BDC ，∴四面体ABCD 的体积V ＝13×12×2×2×1＝23.(2)证明：∵BC ∥平面EFGH ，平面EFGH∩平面BDC ＝FG ，平面EFGH∩ 平面ABC ＝EH ，∴BC ∥FG ，BC ∥EH ，∴FG ∥EH.同理EF ∥AD ，HG ∥AD ，∴EF ∥HG ，∴四边形EFGH 是平行四边形．又∵AD ⊥平面BDC ，∴AD ⊥BC ，∴EF ⊥FG ，∴四边形EFGH 是矩形．【高考押题】1．下列结论中正确的是( )A ．各个面都是三角形的几何体是三棱锥B ．以三角形的一条边所在直线为旋转轴，其余两边旋转形成的曲面所围成的几何体叫圆锥C ．棱锥的侧棱长与底面多边形的边长相等，则该棱锥可能是六棱锥D ．圆锥的顶点与底面圆周上的任一点的连线都是母线答案 D解析当一个几何体由具有相同的底面且顶点在底面两侧的两个三棱锥构成时，尽管各面都是三角形，但它不是三棱锥，故A 错误；若三角形不是直角三角形或是直角三角形但旋转轴不是直角边所在直线，所得几何体就不是圆锥，B 错误；若六棱锥的所有棱都相等，则底面多边形是正六边形，由几何图形知，若以正六边形为底面，则棱长必然要大于底面边长，故C 错误．2．五棱柱中，不同在任何侧面且不同在任何底面的两顶点的连线称为它的对角线，那么一个五棱柱对角线的条数共有( )A ．20B ．15C ．12D ．10答案 D解析如图，在五棱柱ABCDE －A1B1C1D1E1中，从顶点A 出发的对角线有两条：AC1，AD1，同理从B ，C ，D ，E 点出发的对角线均有两条，共2×5＝10(条)．3．已知底面边长为1，侧棱长为2的正四棱柱(底面是正方形的直棱柱)的各顶点均在同一个球面上，则该球的体积为( )A.32π3B ．4πC ．2πD.4π3答案 D解析正四棱柱的外接球的球心为上下底面的中心连线的中点，所以球的半径r ＝222＋222＝1，球的体积V ＝4π3r3＝4π3.故选D.4．某几何体的三视图(单位：cm)如图所示，则该几何体的体积是( )A ．72cm3B ．90cm3C ．108cm3D ．138cm3答案 B解析该几何体为一个组合体，左侧为三棱柱，右侧为长方体，如图所示．V ＝V 三棱柱＋V 长方体＝12×4×3×3＋4×3×6＝18＋72＝90(cm3)．5．沿一个正方体三个面的对角线截得的几何体如图所示，则该几何体的侧视图为()答案B解析由已知中几何体的直观图，我们可得侧视图首先应该是一个正方形，故D不正确；中间的棱在侧视图中表现为一条对角线，故C不正确；而对角线的方向应该从左上到右下，故A不正确．6．若一个圆柱的正视图与其侧面展开图相似，则这个圆柱的侧面积与表面积的比值为________．答案2π2π＋17．一个几何体的三视图如图所示，其中侧视图与俯视图均为半径是2的圆，则这个几何体的体积是________．答案 8π解析由三视图知该几何体是半径为2的球被截去四分之一后剩下的几何体，则该几何体的体积V ＝43×π×23×34＝8π.8．如图所示的三个几何体，一个是长方体，一个是直三棱柱，一个是过圆柱上、下底面圆心切下圆柱的四分之一部分，若这三个几何体的正视图和俯视图是相同的正方形，求它们的表面积之比．9．已知一个上、下底面为正三角形且两底面中心连线垂直于底面的三棱台的两底面边长分别为20cm 和30cm ，且其侧面积等于两底面面积之和，求棱台的高．解如图所示，三棱台ABC —A1B1C1中，O 、O1分别为两底面中心，D 、D1分别为BC 和B1C1的中点，则DD1为棱台的斜高．由题意知A1B1＝20，AB ＝30，则OD ＝53，O1D1＝1033，由S 侧＝S 上＋S 下，得 12×(20＋30)×3DD1＝34×(202＋302)，解得DD1＝1333，在直角梯形O1ODD1中，O1O ＝DD21－OD －O1D12＝43，所以棱台的高为43cm.高考模拟复习试卷试题模拟卷。

高考数学模拟复习试卷试题模拟卷第八章直线与圆0012 21

高考模拟复习试卷试题模拟卷第八章直线与圆一．基础题组二．能力题组1. 【长春外国语学校上学期高三第一次质量检测11】直线2:,:21+==x y l x y l 与圆C 02222=--+ny mx y x 的四个交点把圆C 分成的四条弧长相等，则=m （）A .0或1 B. 0或1- C ．1- D ．1 【答案】B . 【解析】试题分析：因为直线1l ∥2l ，且直线1l ，2l 把圆C 分成的四条弧长相等，画出其图形如下图所示.考点：1、直线与圆的位置关系；【易错点晴】本题主要考查了直线与圆相交的性质问题，属于易错题.其解题中易错点有三：其一是没能观察发现题意隐藏的条件即直线1l 与2l 平行，否则解答无法进行；其二是一定要正确地画出图形，并结合图形进行解答，否则很容易出现错误；其三还应全面、准确地考虑问题，学生容易出现只片面的考虑其中一种情况，进而导致错误的出现. 三．拔高题组1.【泰州中学上学期高三第二次月考18】如图，某广场为一半径为80米的半圆形区域，现准备在其一扇形区域OAB 内建两个圆形花坛，该扇形的圆心角为变量)20(2πθθ<<，其中半径较大的花坛P 内切于扇形，半径较小的花坛Q 与P 外切，且与OA 、OB 相切．（1）求半径较大的花坛P 的半径（用θ表示）；（2）求半径较小的花坛的半径Q 的最大值．【答案】（1）)20(sin 1sin 80πθθθ<<+=P r ；（2）10．（2）Q P r r PQ += ，Q P Q Pr r r r OQ OP +=-=-∴θθsin sin ， )20(sin 1)sin 1(sin 80πθθθθ<<+--=∴Q r ．…………10分令()2,1sin 1∈+=θt ，)321(80sin 1)sin 1(sin 802t t r Q +--=+--=∴θθθ，令⎪⎭⎫ ⎝⎛∈=1,211t m ，)132(802-+-=m m r Q ，所以当43=m 时，有最大值10．…………14分答：Q 的半径的最大值为10．…………15分考点：1.两圆相切的判定；2.解直角三角形．高考模拟复习试卷试题模拟卷【考情解读】1．认识柱、锥、台、球及其简单组合体的结构特征，并能运用这些特征描述现实生活中简单物体的结构．2.能画出简单空间图形(长方体、球、圆柱、圆锥、棱柱等的简易组合)的三视图，能识别上述三视图所表示的立体模型，会用斜二测画法画出它们的直观图．3.会用平行投影与中心投影两种方法画出简单空间图形的三视图与直观图，了解空间图形的不同表示形式．【重点知识梳理】1．空间几何体的结构特征多面体(1)棱柱的侧棱都平行且相等，上、下底面是全等的多边形.(2)棱锥的底面是任意多边形，侧面是有一个公共顶点的三角形.(3)棱台可由平行于底面的平面截棱锥得到，其上、下底面是相似多边形.旋转体(1)圆柱可以由矩形绕其任一边所在直线旋转得到.(2)圆锥可以由直角三角形绕其直角边所在直线旋转得到.(3)圆台可以由直角梯形绕直角腰所在直线或等腰梯形绕上、下底中点连线所在直线旋转得到，也可由平行于底面的平面截圆锥得到.(4)球可以由半圆或圆绕直径所在直线旋转得到.2.三视图画法规则：长对正，高平齐，宽相等直观图空间几何的直观图：常用斜二测画法来画.基本步骤是：(1)原图形中x轴、y轴、z轴两两垂直，直观图中x′轴，y′轴的夹角为45°(或135°)，z′轴与x′轴和y′轴所在平面垂直.(2)原图形中平行于坐标轴的线段，直观图中仍平行于坐标轴．平行于x 轴和z轴的线段在直观图中保持原长度不变，平行于y轴的线段在直观图中长度为原来的一半.【方法与技巧】1．三视图的画法特征“长对正、宽相等，高平齐”，即正视图和侧视图一样高，正视图和俯视图一样长，侧视图和俯视图一样宽．2．求空间几何体的侧面积、体积的思想与方法(1)转化与化归思想：计算旋转体的侧面积时，一般采用转化的方法来进行，即将侧面展开化为平面图形，“化曲为直”来解决，因此要熟悉常见旋转体的侧面展开图的形状及平面图形面积的求法．(2)求体积的两种方法：①割补法：求一些不规则几何体的体积时，常用割补法转化成已知体积公式的几何体进行解决．②等积法：等积法包括等面积法和等体积法．等体积法的前提是几何图形(或几何体)的面积(或体积)通过已知条件可以得到，利用等积法可以用来求解几何图形的高或几何体的高，特别是在求三角形的高和三棱锥的高时，这一方法回避了通过具体作图得到三角形(或三棱锥)的高，而通过直接计算得到高的数值．【失误与防范】1．画三视图应注意的问题(1)若相邻两物体的表面相交，表面的交线是它们的分界线，在三视图中，要注意实、虚线的画法．(2)确定正视、侧视、俯视的方向，观察同一物体方向不同，所画的三视图也不同．2．求空间几何体的表面积应注意的问题(1)求组合体的表面积时，要注意各几何体重叠部分的处理．(2)底面是梯形的四棱柱侧放时，容易和四棱台混淆，在识别时要紧扣定义，以防出错.【高频考点突破】考点一空间几何体的结构特征例1、给出下列命题：①在圆柱的上、下底面的圆周上各取一点，则这两点的连线是圆柱的母线；②有一个面是多边形，其余各面都是三角形的几何体是棱锥；③直角三角形绕其任一边所在直线旋转一周所形成的几何体都是圆锥；④棱台的上、下底面可以不相似，但侧棱长一定相等．其中正确命题的个数是()A．0B．1C．2D．3【方法技巧】解决与空间几何体结构特征有关问题的技巧(1)要想真正把握几何体的结构特征，必须多角度、全面地去分析，多观察实物，提高空间想象能力；(2)紧扣结构特征是判断的关键，熟悉空间几何体的结构特征，依据条件构建几何模型，在条件不变的情况下，变换模型中的线面关系或增加线、面等基本元素，然后再依据题意判定；(3)通过反例对结构特征进行辨析，即要说明一个命题是错误的，只要举出一个反例即可．【变式探究】有一个几何体的三视图如图所示，这个几何体应是一个()A．棱台B．棱锥 C．棱柱D．都不对考点二空间几何体的三视图与例2、 (1)一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的直观图可以是()(2)(高考湖南卷)已知棱长为1的正方体的俯视图是一个面积为1的正方形，则该正方体的正视图的面积不可能等于()A．1B.2C.2－12 D.2＋12【变式探究】下列四个几何体中，每个几何体的三视图中有且仅有两个视图相同的是()A ．①②B ．①③C ．③④D ．②④ 考点三几何体的直观图例3、用斜二测画法画一个水平放置的平面图形的直观图为如图所示的一个正方形，则原来的图形是()【特别提醒】利用斜二测画法时，注意原图与直观图中的“三变、三不变”即 “三变”⎩⎪⎨⎪⎧坐标轴的夹角改变，与y 轴平行的线段的长度改变减半，图形改变.“三不变”⎩⎪⎨⎪⎧平行性不变，与x 轴平行的线段长度不变，相对位置不变.【变式探究】等腰梯形ABCD ，上底CD ＝1，腰AD ＝CB ＝2，下底AB ＝3，以下底所在直线为x 轴，则由斜二测画法画出的直观图A′B′C′D′的面积为________．考点四空间几何体中的最值问题例4、某四面体的三视图如图所示，该四面体四个面的面积中最大的是()A ．8B ．62C ．10D ．82【变式探究】在如图所示的几何体中，四边形ABCD 是矩形，平面ABCD ⊥平面ABE ，已知AB ＝2，AE ＝BE ＝3，且当规定主(正)视图方向垂直于平面ABCD 时，该几何体的左(侧)视图的面积为22.若M ，N 分别是线段DE ，CE 上的动点，则AM ＋MN ＋NB 的最小值为________．【真题感悟】1.【高考浙江，文2】某几何体的三视图如图所示（单位：cm ），则该几何体的体积是（） A ．83cm B ．123cm C ．3233cm D ．4033cm2.【高考重庆，文5】某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）123π+ (B)136π (C) 73π (D) 52π3.【高考陕西，文5】一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（） A ．3πB ．4πC ．24π+D ．34π+4、【高考新课标1，文11】圆柱被一个平面截去一部分后与半球（半径为r ）组成一个几何体，该几何体的三视图中的正视图和俯视图如图所示，若该几何体的表面积为1620π+，则r =( )（A ）1（B ）2 （C ）4（D ）85.【高考福建，文9】某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积等于（）1112A．822+ B．1122+ C．1422+ D．156.【高考山东，文9】已知等腰直角三角形的直角边的长为，将该三角形绕其斜边所在的直线旋转一周而形成的曲面所围成的几何体的体积为( )（A）223π（B）423π（）22π（）42π7【高考安徽，文9】一个四面体的三视图如图所示，则该四面体的表面积是（）（A）13+（B）122+（C）23+（D）228.【高考天津，文10】一个几何体的三视图如图所示（单位:m）,则该几何体的体积为3m .9.【高考四川，文14】在三棱住ABC －A1B1C1中，∠BAC ＝90°，其正视图和侧视图都是边长为1的正方形，俯视图是直角边长为1的等腰直角三角形，设点M ，N ，P 分别是AB ，BC ，B1C1的中点，则三棱锥P －A1MN 的体积是______.10．（·安徽卷）一个多面体的三视图如图1-2所示，则该多面体的体积是( )图1-2A.233B.476 C ．6 D ．711．（·北京卷）某三棱锥的三视图如图1-3所示，则该三棱锥最长棱的棱长为________．图1-312．（·湖北卷）在如图1-1所示的空间直角坐标系O -xyz 中，一个四面体的顶点坐标分别是(0，0，2)，(2，2，0)，(1，2，1)，(2，2，2)．给出编号为①、②、③、④的四个图，则该四面体的正视图和俯视图分别为( )图1-2A ．①和②B ．③和①C ．④和③D ．④和②13．（·湖南卷）一块石材表示的几何体的三视图如图1-2所示，将该石材切削、打磨，加工成球，则能得到的最大球的半径等于( )图1-2A ．1B ．2C ．3D ．414．（·辽宁卷）某几何体三视图如图1-2所示，则该几何体的体积为( )图1-2A ．8－π4B ．8－π2C ．8－πD ．8－2π15．（·浙江卷）某几何体的三视图(单位：cm)如图所示，则该几何体的体积是( )图1-1A ．72 cm3B ．90 cm3C ．108 cm3D ．138 cm316．（·新课标全国卷Ⅱ）如图1-1，网格纸上正方形小格的边长为1(表示1cm)，图中粗线画出的是某零件的三视图，该零件由一个底面半径为3 cm ，高为6 cm 的圆柱体毛坯切削得到，则切削掉部分的体积与原来毛坯体积的比值为( )图1-1A.1727B.59C.1027D.1317．（·全国新课标卷Ⅰ）如图1-1，网格纸的各小格都是正方形，粗实线画出的是一个几何体的三视图，则这个几何体是( )A ．三棱锥B ．三棱柱C ．四棱锥D ．四棱柱18．（·陕西卷）四面体ABCD及其三视图如图1-4所示，平行于棱AD，BC的平面分别交四面体的棱AB，BD，DC，CA于点E，F，G，H.图1-4(1)求四面体ABCD的体积；(2)证明：四边形EFGH是矩形．19．（·四川卷）某三棱锥的侧视图、俯视图如图1-1所示，则该三棱锥的体积是(锥体体积公式：V＝13Sh，其中S为底面面积，h为高)()图1-1A．3 B．2 C. 3 D．120．（·重庆卷）某几何体的三视图如图1-2所示，则该几何体的体积为()图1-2A．12 B．18 C．24 D．3021．（·天津卷）一个几何体的三视图如图1-2所示(单位：m)，则该几何体的体积为________m3.【押题专练】1．如图是一个物体的三视图，则此三视图所描述物体的直观图是()2.如图△A′B′C′是△ABC的直观图，那么△ABC是()A．等腰三角形B．直角三角形C．等腰直角三角形D．钝角三角形3．如图，水平放置的三棱柱的侧棱长和底边长均为2，且侧棱AA1⊥平面A1B1C1，正视图是正方形，俯视图是正三角形，该三棱柱的侧视图面积为()A．2 3 B.3C．22D．44.如图，三棱锥V－ABC的底面为正三角形，侧面VAC与底面垂直且VA＝VC，已知其正视图的面积为23，则其俯视图的面积为()A.32 B.33C.34 D.365．一个长方体去掉一个小长方体，所得几何体的正视图与侧视图分别如图所示，则该几何体的俯视图为()6．在棱长为1的正方体ABCD－A1B1C1D1中，过对角线BD1的一个平面交AA1于E，交CC1于F，得四边形BFD1E，给出下列结论：①四边形BFD1E有可能为梯形；②四边形BFD1E有可能为菱形；③四边形BFD1E在底面ABCD内的投影一定是正方形；④四边形BFD1E有可能垂直于平面BB1D1D；⑤四边形BFD1E面积的最小值为6 2.其中正确的是()A．①②③④B．②③④⑤C．①③④⑤ D．①②④⑤7.已知正四面体(所有棱长都相等的三棱锥)的俯视图如图所示，其中四边形ABCD是边长为2 cm 的正方形，则这个正四面体的正视图的面积为________cm2.8．一个几何体的三视图如图所示，则侧视图的面积为________．9．如图是由大小相同的长方体木块堆成的几何体的三视图，则此几何体共由________块木块堆成．10．已知：图①是截去一个角的长方体，试按图示的方向画出其三视图；图②是某几何体的三视图，试说明该几何体的构成．11．用一个平行于圆锥底面的平面截这个圆锥，截得圆台上、下底面的面积之比为1∶16，截去的圆锥的母线长是3 cm，求圆台的母线长．12.已知正三棱锥V－ABC的正视图、侧视图和俯视图如图所示．(1)画出该三棱锥的直观图；(2)求出侧视图的面积．13.如图，在四棱锥P－ABCD中，底面为正方形，PC与底面A BCD垂直，图为该四棱锥的正视图和侧视图，它们是腰长为6cm的全等的等腰直角三角形．(1)根据图所给的正视图、侧视图，画出相应的俯视图，并求出该俯视图的面积；(2)求PA. 高考模拟复习试卷试题模拟卷高考模拟复习试卷试题模拟卷第八章直线与圆一．基础题组1.（重庆市巴蜀中学高三月考数学、文、1）若直线210ax y ++=与直线20x y +-=互相垂直，那么a 的值等于( )A ．1B ．13-C ．23-D ．2- 2.（文昌中学高三模拟考试、文、15）圆心在直线x －2y ＝0上的圆C 与y 轴的正半轴相切，圆C 截x 轴所得弦的长为23，则圆C 的标准方程为________________．3.（重庆市巴蜀中学高三月考数学、文、15）在平面直角坐标系xOy 中，以点)0,1(为圆心且与直线)(012R m m y mx ∈=---相切的所有圆中，半径最大的圆的标准方程为.4.（重庆市部分区县高三上学期入学考试、文、16）若实数c b a ,,成等差数列，点)0,1(-P 在动直线0:==+c by ax l 上的射影为M ，点)3,0(N ，则线段MN 长度的最小值是．二．能力题组1.(五校协作体高三上学期期初考试数学、文、9)曲线21y x =+在点（1，2）处的切线为l ，则直线l 上的任意点P 与圆22430x y x +++=上的任意点Q 之间的最近距离是（）A.4515-B.2515- C.51- D.2 2.(示范高中高三第一次联考、文、14）已知圆的方程为()2214x y +-=。

高考数学模拟复习试卷试题模拟卷第八章直线与圆006525

高考模拟复习试卷试题模拟卷第八章直线与圆一．基础题组1.（重庆市巴蜀中学高三月考数学、文、1）若直线210ax y ++=与直线20x y +-=互相垂直，那么a 的值等于( )A ．1B ．13-C ．23-D ．2- 2.（文昌中学高三模拟考试、文、15）圆心在直线x －2y ＝0上的圆C 与y 轴的正半轴相切，圆C 截x 轴所得弦的长为23，则圆C 的标准方程为________________．3.（重庆市巴蜀中学高三月考数学、文、15）在平面直角坐标系xOy 中，以点)0,1(为圆心且与直线)(012R m m y mx ∈=---相切的所有圆中，半径最大的圆的标准方程为.4.（重庆市部分区县高三上学期入学考试、文、16）若实数c b a ,,成等差数列，点)0,1(-P 在动直线0:==+c by ax l 上的射影为M ，点)3,0(N ，则线段MN 长度的最小值是．二．能力题组1.(五校协作体高三上学期期初考试数学、文、9)曲线21y x =+在点（1，2）处的切线为l ，则直线l 上的任意点P 与圆22430x y x +++=上的任意点Q 之间的最近距离是（）A.4515- B.2515- C.51- D.2 2.(示范高中高三第一次联考、文、14）已知圆的方程为()2214x y +-=。

若过点11,2P ⎛⎫⎪⎝⎭的直线l 与此圆交于,A B 两点，圆心为C ，则当ACB ∠最小时，直线l 的方程为。

3.（武汉市部分学校新高三调研、文、15）圆O 的半径为1,P 为圆周上一点，现将如图放置的边长为1的正方形（实线所示，正方形的顶点A 与点P 重合）沿圆周逆时针滚动，点A 第一次回到点P 的位置，则点A 走过的路径的长度为_________.三．拔高题组1.(东北师大附中、吉林市第一中学校等高三五校联考、文、7）过点),(a a A 可作圆0322222=-++-+a a ax y x 的两条切线，则实数a 的取值范围为（）A ．3-<a 或1>aB ．23<a C ．13<<-a 或23>a D ．3-<a 或231<<a2.（大庆铁人中学高三第一阶段考试、文、7）一条光线从点(2,3)--射出，经y 轴反射后与圆22(3)(2)1x y ++-=相切，则反射光线所在直线的斜率为（）A ．53-或35-B ．32-或23-C ．54-或45-D ．43-或34- 3.(齐齐哈尔市实验中学高三期末考试、文、9）若),(y x P 是直线)0(04>=++k y kx 上一动点，PB PA ,是圆02:22=-+y y x C 的两条切线，B A ,是切点，若四边形PACB 面积的最小值是2，则=k （）A. 3B.221C. 22D. 2 4.（云南师范大学附属中学月考、文、12）设直线l 与抛物线x2=4y 相交于A, B 两点，与圆C ：222(5)x y r +-= (r>0)相切于点M,且M 为线段AB 的中点，若这样的直线l 恰有4条，则r 的取值范围是（）A.（1，3)B. (1,4)C. (2, 3)D. (2, 4)5.（玉溪市第一中学高三月考、文、16）设m R ∈，过定点A 的动直线0x my +=和过定点B 的动直线30mx y m --+=交于点(,)P x y ，则||||PA PB ⋅的最大值是高考模拟复习试卷试题模拟卷【考情解读】1.了解平面向量基本定理及其意义．2.掌握平面向量的正交分解及坐标表示．3.会用坐标表示平面向量的加法、减法与数乘运算．4.理解用坐标表示的平面向量共线的条件. 【重点知识梳理】 1．平面向量基本定理如果e1，e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任意向量a ，有且只有一对实数λ1，λ2，使a ＝λ1e1＋λ2e2．其中，不共线的向量e1，e2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底． 2．平面向量的坐标运算(1)向量加法、减法、数乘向量及向量的模设a ＝(x1，y1)，b ＝(x2，y2)，则a ＋b ＝(x1＋x2，y1＋y2)，a －b ＝(x1－x2，y1－y2)，λa ＝(λx1，λy1)，|a|＝x21＋y21．(2)向量坐标的求法①若向量的起点是坐标原点，则终点坐标即为向量的坐标．②设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则AB →＝(x2－x1，y2－y1)，|AB →|＝（x2－x1）2＋（y2－y1）2． 3．平面向量共线的坐标表示设a ＝(x1，y1)，b ＝(x2，y2)，则a ∥b ⇔x1y2－x2y1＝0．【高频考点突破】考点一平面向量基本定理的应用【例1】 (1)在△ABC 中，点D 在边AB 上，CD 平分∠ACB.若CB →＝a ，CA →＝b ，|a|＝1，|b|＝2，则CD →＝()A.13a ＋23bB.23a ＋13bC.35a ＋45bD.45a ＋35b(2)设D ，E 分别是△ABC 的边AB ，BC 上的点，AD ＝12AB ，BE ＝23BC.若DE →＝λ1AB →＋λ2AC →(λ1，λ2为实数)，则λ1＋λ2的值为________．答案 (1)B(2)12规律方法 (1)应用平面向量基本定理表示向量的实质是利用平行四边形法则或三角形法则进行向量的加、减或数乘运算．(2)用平面向量基本定理解决问题的一般思路是：先选择一组基底，并运用该基底将条件和结论表示成向量的形式，再通过向量的运算来解决．【变式探究】如图，两块斜边长相等的直角三角板拼在一起，若AD →＝xAB →＋yAC →，则x ＝________，y ＝________．答案 1＋3232考点二平面向量的坐标运算【例2】 (1)已知平面向量a ＝(1，1)，b ＝(1，－1)，则向量12a －32b ＝() A ．(－2，－1) B ．(－2，1) C ．(－1，0) D ．(－1，2)(2)在平行四边形ABCD 中，AC 为一条对角线，若AB →＝(2，4)，AC →＝(1，3)，则BD →＝() A ．(－2，－4) B ．(－3，－5) C ．(3，5) D ．(2，4)答案 (1)D(2)B规律方法向量的坐标运算主要是利用加、减、数乘运算法则进行．若已知有向线段两端点的坐标，则应先求出向量的坐标，解题过程中要注意方程思想的运用及正确使用运算法则．【变式探究】 (1)已知点A(－1，5)和向量a ＝(2，3)，若AB →＝3a ，则点B 的坐标为() A ．(7，4) B ．(7，14) C ．(5，4) D ．(5，14)(2)在△ABC 中，点P 在BC 上，且BP →＝2PC →，点Q 是AC 的中点，若PA →＝(4，3)，PQ →＝(1，5)，则BC →等于()A ．(－2，7)B ．(－6，21)C ．(2，－7)D ．(6，－21)答案(1)D(2)B考点三向量共线的坐标表示【例3】平面内给定三个向量a＝(3，2)，b＝(－1，2)，c＝(4，1)．(1)若(a＋kc)∥(2b－a)，求实数k；(2)若d满足(d－c)∥(a＋b)，且|d－c|＝5，求d的坐标．规律方法(1)两平面向量共线的充要条件有两种形式：①若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a∥b的充要条件是x1y2－x2y1＝0；②若a∥b(a≠0)，则b＝λa.(2)向量共线的坐标表示既可以判定两向量平行，也可以由平行求参数．当两向量的坐标均非零时，也可以利用坐标对应成比例来求解．【变式探究】(1)已知梯形ABCD，其中AB∥CD，且DC＝2AB，三个顶点A(1，2)，B(2，1)，C(4，2)，则点D的坐标为________．(2)已知向量a＝(3，1)，b＝(1，3)，c＝(k，7)，若(a－c)∥b，则k＝________．答案 (1)(2，4)(2)5【真题感悟】1.【高考新课标1，文2】已知点(0,1),(3,2)A B ，向量(4,3)AC =--，则向量BC =( ) （A ）(7,4)--（B ）(7,4)（C ）(1,4)-（D ）(1,4) 【答案】A2．（·重庆卷）已知向量a ＝(k ，3)，b ＝(1，4)，c ＝(2，1)，且(2a －3b)⊥c ，则实数k ＝( )A ．－92 B ．0 C ．3 D.152 【答案】C3．（·福建卷）在下列向量组中，可以把向量a ＝(3，2)表示出来的是( ) A ．e1＝(0，0)，e2＝(1，2) B ．e1＝(－1，2)，e2＝(5，－2) C ．e1＝(3，5)，e2＝(6，10) D ．e1＝(2，－3)，e2＝(－2，3) 【答案】B4．（·山东卷）已知向量a ＝(m ，cos 2x)，b ＝(sin 2x ，n)，函数f(x)＝a·b ，且y ＝f(x)的图像过点⎝⎛⎭⎫π12，3和点⎝⎛⎭⎫2π3，－2.(1)求m ，n 的值；(2)将y ＝f(x)的图像向左平移φ(0＜φ＜π)个单位后得到函数y ＝g(x)的图像，若y ＝g(x)图像上各最高点到点(0，3)的距离的最小值为1，求y ＝g(x)的单调递增区间．5．（·陕西卷）设0<θ<π2，向量a ＝(sin 2θ，cos θ)，b ＝(cos θ，1)，若a ∥b ，则tan θ＝________．【答案】126．（·陕西卷）在直角坐标系xOy 中，已知点A(1，1)，B(2，3)，C(3，2)，点P(x ，y)在△ABC 三边围成的区域(含边界)上．(1)若PA →＋PB →＋PC →＝0，求|OP →|；(2)设OP →＝mAB →＋nAC →(m ，n ∈R)，用x ，y 表示m －n ，并求m －n 的最大值．7．（·安徽卷）在平面直角坐标系中，O 是坐标原点，两定点A ，B 满足|OA →|＝|OB →|＝OA →·OB →＝2，则点集{P|OP →＝λOA →＋μOB →，|λ|＋|μ|≤1，λ，μ∈R}所表示的区域的面积是( )A．2 2 B．2 3C．4 2 D．4 3【答案】D8．（·湖南卷）已知a，b是单位向量，a·b＝0，若向量c满足|c－a－b|＝1，则|c|的取值范围是()A．[2－1，2＋1] B．[2－1，2＋2]C．[1，2＋1] D．1，2＋2【答案】A9．（·北京卷）向量a ，b ，c 在正方形网格中的位置如图所示，若c ＝λa ＋μb(λ，μ∈R)，则λμ＝________．图1－3 【答案】410．（·辽宁卷）已知点A(1，3)，B(4，－1)，则与向量AB 同方向的单位向量为( ) A.⎝⎛⎭⎫35，－45 B.⎝⎛⎭⎫45，－35 C.⎝⎛⎭⎫－35，45 D.⎝⎛⎭⎫－45，35 【答案】A11．（·天津卷）在平行四边形ABC D 中，AD ＝1，∠BAD ＝60°，E 为CD 的中点，若AC →·BE →＝1，则AB 的长为________．【答案】1212．（·新课标全国卷Ⅱ] 已知正方形ABCD 的边长为2，E 为CD 的中点，则AE →·BD →＝________．【答案】213．（·重庆卷）如图1－9所示，椭圆的中心为原点O，长轴在x轴上，离心率e＝22，过左焦点F1作x轴的垂线交椭圆于A，A′两点，|AA′|＝4.(1)求该椭圆的标准方程；(2)取垂直于x轴的直线与椭圆相交于不同的两点P，P′，过P，P′作圆心为Q的圆，使椭圆上的其余点均在圆Q外，若PQ⊥P′Q，求圆Q的标准方程．图1－914．（·重庆卷）在平面上，AB1→⊥AB2→，|OB1|＝|OB2→|＝1，AP →＝AB1→＋AB2→.若|OP →|＜12，则|OA →|的取值范围是( )A.⎝ ⎛⎦⎥⎤0，52B.⎝ ⎛⎦⎥⎤52，72 C.⎝⎛⎦⎥⎤52，2D.⎝ ⎛⎦⎥⎤72，2【答案】D【押题专练】1．如图，在平行四边形ABCD 中，E 为DC 边的中点，且AB →＝a ，AD →＝b ，则BE →＝()A ．b －12aB ．b ＋12aC ．a ＋12bD ．a －12b【答案】A2．已知在▱ABCD 中，AD →＝(2，8)，AB →＝(－3，4)，对角线AC 与BD 相交于点M ，则AM →＝ ()A.⎝⎛⎭⎫－12，－6B.⎝⎛⎭⎫－12，6C.⎝⎛⎭⎫12，－6D.⎝⎛⎭⎫12，6答案 B3．已知向量a ＝(－1，2)，b ＝(3，m)，m ∈R ，则“m ＝－6”是“a ∥(a ＋b)”的 ()A ．充要条件B ．充分不必要条件C ．必要不充分条件D ．既不充分也不必要条件答案 A4．已知a ＝(1，1)，b ＝(1，－1)，c ＝(－1，2)，则c 等于()A ．－12a ＋32b B.12a －32b C ．－32a －12bD ．－32a ＋12b答案 B5.如图，在△OAB 中，P 为线段AB 上的一点，OP →＝xOA →＋yOB →，且BP →＝2 PA →，则 ()A ．x ＝23，y ＝13B ．x ＝13，y ＝23C ．x ＝14，y ＝34D ．x ＝34，y ＝14答案 A6．已知向量a ＝(1，2)，b ＝(x ，1)，u ＝a ＋2b ，v ＝2a －b ，且u ∥v ，则实数x 的值为________．答案 127．若三点A(2，2)，B(a ，0)，C(0，b)(ab≠0)共线，则1a ＋1b 的值为________．答案 128.向量a ，b ，c 在正方形网格中的位置如图所示，若c ＝λa ＋μb(λ，μ∈R)，则λμ＝________．答案 49．已知A(－2，4)，B(3，－1)，C(－3，－4)．设AB →＝a ，BC →＝b ，CA →＝c ，且CM →＝3c ，CN →＝－2b ， (1)求3a ＋b －3c ；(2)求满足a ＝mb ＋nc 的实数m ，n ； (3)求M ，N 的坐标及向量MN →的坐标．10．如图，在平行四边形ABCD 中，M ，N 分别为DC ，BC 的中点，已知AM →＝c ，AN →＝d ，试用c ，d 表示AB →，AD →.11．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，设向量p ＝(a ＋c ，b)，q ＝(b －a ，c －a)，若p ∥q ，则角C 的大小为() A ．30°B ．60°C ．90°D ．120°答案 B12．在平面直角坐标系xOy 中，已知A(1，0)，B(0，1)，C 为坐标平面内第一象限内一点且∠AOC ＝π4，且|OC|＝2，若OC →＝λOA →＋μOB →，则λ＋μ＝() A ．2 2 B. 2 C ．2 D ．42答案 A13．已知向量OA →＝(3，－4)，OB →＝(0，－3)，OC →＝(5－m ，－3－m)，若点A ，B ，C 能构成三角形，则实数m 满足的条件是________．答案 m≠5414.如图，已知点A(1，0)，B(0，2)，C(－1，－2)，求以A ，B ，C 为顶点的平行四边形的第四个顶点D 的坐标．高考模拟复习试卷试题模拟卷高考模拟复习试卷试题模拟卷【高频考点解读】1.掌握正弦定理、余弦定理，并能解决一些简单的三角形度量问题；2.能够运用正弦定理、余弦定理等知识解决一些与测量和几何计算有关的实际问题．【热点题型】题型一正、余弦定理的简单运用【例1】在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c.(1)若a ＝23，b ＝6，A ＝45°，则c ＝________．(2)若(a ＋b ＋c)(a －b ＋c)＝ac ，则B ＝________．【提分秘籍】(1)在解有关三角形的题目时，要有意识地考虑用哪个定理更适合，或是两个定理都要用，要抓住能够利用某个定理的信息，一般地，如果式子中含有角的余弦或边的二次式，要考虑用余弦定理；如果遇到的式子中含有角的正弦或边的一次式时，则考虑用正弦定理；以上特征都不明显时，则要考虑两个定理都有可能用到．(2)解题中注意三角形内角和定理的应用及角的范围限制．【举一反三】(1)在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且2c2＝2a2＋2b2＋ab ，则△ABC 是( )A ．钝角三角形B ．直角三角形C ．锐角三角形D ．等边三角形(2)在△ABC 中，A ＝60°，b ＝1，S △ABC ＝3，则a ＋b ＋c sin A ＋sin B ＋sin C＝________．题型二正、余弦定理的综合运用【例2】在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c.已知a ＝3，cos A ＝63，B ＝A ＋π2.(1)求b 的值；(2)求△ABC 的面积．【提分秘籍】有关三角形面积问题的求解方法：(1)灵活运用正、余弦定理实现边角转化；(2)合理运用三角函数公式，如同角三角函数的基本关系、两角和与差的正弦、余弦公式、二倍角公式等．【举一反三】在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且a ＋b ＋c ＝8.(1)若a ＝2，b ＝52，求cos C 的值；(2)若sin Acos2B 2＋sin Bcos2A 2＝2sin C ，且△ABC 的面积S ＝92sin C ，求a 和b 的值．题型三正、余弦定理在实际问题中的应用【例3】如图，在海岸A 处，发现北偏东45°方向距A 为(3－1)海里的B 处有一艘走私船，在A 处北偏西75°方向，距A 为2海里的C 处的缉私船奉命以103海里/时的速度追截走私船．此时走私船正以10海里/时的速度从B 处向北偏东30°方向逃窜，问缉私船沿什么方向能最快追上走私船？并求出所需要的时间(注：6≈2.449)．【提分秘籍】解三角形应用题的两种情形：(1)实际问题经抽象概括后，已知量与未知量全部集中在一个三角形中，可用正弦定理或余弦定理求解；(2)实际问题经抽象概括后，已知量与未知量涉及到两个或两个以上的三角形，这时需作出这些三角形，先解够条件的三角形，然后逐步求解其他三角形，有时需设出未知量，从几个三角形中列出方程(组)，解方程(组)得出所要求的解．【举一反三】如图，为测量山高MN ，选择A 和另一座山的山顶C 为测量观测点，从A 点测得M 点的仰角∠MAN ＝60°，C 点的仰角∠CAB ＝45°以及∠MAC ＝75°；从C 点测得∠MCA ＝60°.已知山高BC ＝100 m ，则山高MN ＝________m.【高考风向标】【高考湖北，文15】如图，一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶，到A 处时测得公路北侧一山顶D 在西偏北30的方向上，行驶600m 后到达B 处，测得此山顶在西偏北75的方向上，仰角为30，则此山的高度CD _________m.1006.【高考湖南，文17】（本小题满分12分）设ABC ∆的内角,,A B C 的对边分别为,,,tan a b c a b A =.（I ）证明：sin cos B A =；(II) 若3sin sin cos 4C A B -=，且B 为钝角，求,,A B C .【高考陕西，文17】ABC ∆的内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，向量(,3)m a b =与(cos ,sin )n A B =平行.(I)求A ；(II)若7,2a b ==求ABC ∆的面积.【高考浙江，文16】（本题满分14分）在ABC ∆中，内角A ，B ，C 所对的边分别为,,a b c .已知tan(A)24π+=.（1）求2sin 2sin 2cos AA A 的值；（2）若B ,34a π==，求ABC ∆的面积.【高考押题】1．在△ABC 中，若a ＝4，b ＝3，cos A ＝13，则B ＝( )A.π4B.π3C.π6D.2π32．在△ABC 中，A ＝60°，AB ＝2，且△ABC 的面积为32，则BC 的长为 ( )A.32B. 3 C ．2 3 D ．23．△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知b ＝2，B ＝π6，C ＝π4，则△ABC 的面积为 () A ．23＋2 B.3＋1C ．23－2 D.3－14．在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，则“a ＝2bcos C”是“△ABC 是等腰三角形”的 ( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件5．如图，从气球A 上测得正前方的河流的两岸B ，C 的俯角分别为75°，30°，此时气球的高是60 m ，则河流的宽度BC 等于( )A ．240(3－1)mB ．180(2－1)mC ．120(3－1)mD ．30(3＋1)m6．在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c.若(a2＋c2－b2)tan B ＝3ac ，则角B 的值为________．7．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对应的边分别为a ，b ，c.已知bcos C ＋ccos B ＝2b ，则a b ＝________．8．设△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且a ＝1，b ＝2，cos C ＝14，则sinB ＝________．9．如图，在平面四边形ABCD 中，AD ＝1，CD ＝2，AC ＝7.(1)求cos ∠CAD 的值；(2)若cos ∠BAD ＝－714，sin ∠CBA ＝216，求BC 的长．10．设△ABC 的内角A ，B ，C 所对边的长分别是a ，b ，c ，且b ＝3，c ＝1，A ＝2B.(1)求a 的值；(2)求sin ⎝⎛⎭⎫A ＋π4的值．高考模拟复习试卷试题模拟卷。

高考数学模拟复习试卷试题模拟卷第八章直线与圆0063142

高考模拟复习试卷试题模拟卷第八章直线与圆一．基础题组1.（重庆市巴蜀中学高三月考数学、文、1）若直线210ax y ++=与直线20x y +-=互相垂直，那么a 的值等于( )A ．1B ．13-C ．23-D ．2- 2.（文昌中学高三模拟考试、文、15）圆心在直线x －2y ＝0上的圆C 与y 轴的正半轴相切，圆C 截x 轴所得弦的长为23，则圆C 的标准方程为________________．3.（重庆市巴蜀中学高三月考数学、文、15）在平面直角坐标系xOy 中，以点)0,1(为圆心且与直线)(012R m m y mx ∈=---相切的所有圆中，半径最大的圆的标准方程为.4.（重庆市部分区县高三上学期入学考试、文、16）若实数c b a ,,成等差数列，点)0,1(-P 在动直线0:==+c by ax l 上的射影为M ，点)3,0(N ，则线段MN 长度的最小值是．二．能力题组1.(五校协作体高三上学期期初考试数学、文、9)曲线21y x =+在点（1，2）处的切线为l ，则直线l 上的任意点P 与圆22430x y x +++=上的任意点Q 之间的最近距离是（）A.4515- B.2515- C.51- D.2 2.(示范高中高三第一次联考、文、14）已知圆的方程为()2214x y +-=。

若过点11,2P ⎛⎫⎪⎝⎭的直线l 与此圆交于,A B 两点，圆心为C ，则当ACB ∠最小时，直线l 的方程为。

3.（武汉市部分学校新高三调研、文、15）圆O 的半径为1,P 为圆周上一点，现将如图放置的边长为1的正方形（实线所示，正方形的顶点A 与点P 重合）沿圆周逆时针滚动，点A 第一次回到点P 的位置，则点A 走过的路径的长度为_________.三．拔高题组1.(东北师大附中、吉林市第一中学校等高三五校联考、文、7）过点),(a a A 可作圆0322222=-++-+a a ax y x 的两条切线，则实数a 的取值范围为（）A ．3-<a 或1>aB ．23<a C ．13<<-a 或23>a D ．3-<a 或231<<a2.（大庆铁人中学高三第一阶段考试、文、7）一条光线从点(2,3)--射出，经y 轴反射后与圆22(3)(2)1x y ++-=相切，则反射光线所在直线的斜率为（）A ．53-或35-B ．32-或23-C ．54-或45-D ．43-或34- 3.(齐齐哈尔市实验中学高三期末考试、文、9）若),(y x P 是直线)0(04>=++k y kx 上一动点，PB PA ,是圆02:22=-+y y x C 的两条切线，B A ,是切点，若四边形PACB 面积的最小值是2，则=k （）A. 3B.221C. 22D. 2 4.（云南师范大学附属中学月考、文、12）设直线l 与抛物线x2=4y 相交于A, B 两点，与圆C ：222(5)x y r +-= (r>0)相切于点M,且M 为线段AB 的中点，若这样的直线l 恰有4条，则r 的取值范围是（）A.（1，3)B. (1,4)C. (2, 3)D. (2, 4)5.（玉溪市第一中学高三月考、文、16）设m R ∈，过定点A 的动直线0x my +=和过定点B 的动直线30mx y m --+=交于点(,)P x y ，则||||PA PB ⋅的最大值是高考模拟复习试卷试题模拟卷【考情解读】1.理解等差数列的概念；2.掌握等差数列的通项公式与前n 项和公式；3.能在具体的问题情境中识别数列的等差关系，并能用有关知识解决相应的问题；4.了解等差数列与一次函数、二次函数的关系．【重点知识梳理】 1．等差数列的定义如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用字母d 表示．数学语言表达式：an ＋1－an ＝d(n ∈N*，d 为常数)，或an －an －1＝d (n≥2，d 为常数)． 2．等差数列的通项公式与前n 项和公式(1)若等差数列{an}的首项是a1，公差是d ，则其通项公式为an ＝a1＋(n －1)d ．通项公式的推广：an ＝am ＋(n －m)d(m ，n ∈N*)． (2)等差数列的前n 项和公式 Sn ＝n （a1＋an ）2＝na1＋n （n －1）2d(其中n ∈N*，a1为首项，d 为公差，an 为第n 项)． 3．等差数列及前n 项和的性质(1)若a ，A ，b 成等差数列，则A 叫做a ，b 的等差中项，且A ＝a ＋b2．(2)若{an}为等差数列，且m ＋n ＝p ＋q ，则am ＋an ＝ap ＋aq(m ，n ，p ，q ∈N*)．(3)若{an}是等差数列，公差为d ，则ak ，ak ＋m ，ak ＋2m ，…(k ，m ∈N*)是公差为m d 的等差数列． (4)数列Sm ，S2m －Sm ，S3m －S2m ，…也是等差数列． (5)S2n －1＝(2n －1)an.(6)若n 为偶数，则S 偶－S 奇＝nd2；若n 为奇数，则S 奇－S 偶＝a 中(中间项)． 4．等差数列的前n 项和公式与函数的关系 Sn ＝d 2n2＋⎝⎛⎭⎫a1－d 2n.数列{an}是等差数列⇔Sn ＝An2＋Bn(A ，B 为常数)． 5．等差数列的前n 项和的最值在等差数列{an}中，a1＞0，d＜0，则Sn存在最大值；若a1＜0，d＞0，则Sn存在最小值．【高频考点突破】考点一等差数列的性质及基本量的求解【例1】 (1)设Sn为等差数列{an}的前n项和，S8＝4a3，a7＝－2，则a9＝()A．－6 B．－4 C．－2 D．2【答案】A(2)(·浙江卷)已知等差数列{an}的公差d＞0.设{an}的前n项和为Sn，a1＝1，S2·S3＝36.①求d及Sn；②求m，k(m，k∈N*)的值，使得am＋am＋1＋am＋2＋…＋am＋k＝65.规律方法(1)一般地，运用等差数列性质，可以化繁为简、优化解题过程．但要注意性质运用的条件，如m＋n＝p＋q，则am＋an＝ap＋aq(m，n，p，q∈N*)，只有当序号之和相等、项数相同时才成立．(2)在求解等差数列基本量问题中主要使用的是方程思想，要注意公式使用时的准确性与合理性，更要注意运算的准确性．在遇到一些较复杂的方程组时，要注意整体代换思想的运用，使运算更加便捷．【变式探究】(1)设数列{an}，{bn}都是等差数列，且a1＝25，b1＝75，a2＋b2＝100，则a37＋b37等于()A．0 B．37 C．100 D．－37(2)若一个等差数列前3项的和为34，最后3项的和为146，且所有项的和为390，则这个数列的项数为()A ．13B ．12C ．11D ．10(3)已知等差数列{an}的前n 项和为Sn ，且S10＝10，S20＝30，则S30＝________．【答案】(1)C(2)A(3)60考点二等差数列的判定与证明【例2】若数列{an}的前n 项和为Sn ，且满足an ＋2SnSn －1＝0(n≥2)，a1＝12.(1)求证：⎩⎨⎧⎭⎬⎫1Sn 成等差数列；(2)求数列{an}的通项公式．规律方法证明一个数列是否为等差数列的基本方法有两种：一是定义法，证明an－an－1＝d(n≥2，d为常数)；二是等差中项法，证明2an＋1＝an＋an＋2.若证明一个数列不是等差数列，则只需举出反例即可，也可以用反证法．【变式探究】已知公差大于零的等差数列{an}的前n项和为Sn，且满足a3·a4＝117，a2＋a5＝22.(1)求数列{an}的通项公式；(2)若数列{bn}满足bn＝Snn＋c，是否存在非零实数c使得{bn}为等差数列？若存在，求出c的值；若不存在，请说明理由．考点三等差数列前n项和的最值问题【例3】等差数列{an}的首项a1＞0，设其前n项和为Sn，且S5＝S12，则当n为何值时，Sn有最大值？规律方法求等差数列前n项和的最值，常用的方法：(1)利用等差数列的单调性，求出其正负转折项；(2)利用性质求出其正负转折项，便可求得和的最值；(3)将等差数列的前n项和Sn＝A n2＋Bn(A，B为常数)看作二次函数，根据二次函数的性质求最值．【变式探究】(1)等差数列{an}的前n项和为Sn，已知a5＋a7＝4，a6＋a8＝－2，则当Sn取最大值时，n的值是()A．5 B．6 C．7 D．8(2)设数列{an}是公差d ＜0的等差数列，Sn 为前n 项和，若S6＝5a1＋10d ，则Sn 取最大值时，n 的值为()A ．5B ．6C ．5或6D ．11(3)已知等差数列{an}的首项a1＝20，公差d ＝－2，则前n 项和Sn 的最大值为________．【答案】(1)B(2)C(3)110 【真题感悟】【高考新课标1，文7】已知{}n a 是公差为1的等差数列，n S 为{}n a 的前n 项和，若844S S =，则10a =（）（A ）172（B ）192（C ）10（D ）12 【答案】B【高考陕西，文13】中位数为1010的一组数构成等差数列，其末项为，则该数列的首项为________ 【答案】5【高考福建，文16】若,a b 是函数()()20,0f x x px q p q =-+>>的两个不同的零点，且,,2a b -这三个数可适当排序后成等差数列，也可适当排序后成等比数列，则p q +的值等于________．【答案】9【高考浙江，文10】已知{}n a 是等差数列，公差d 不为零．若2a ，3a ，7a 成等比数列，且1221a a +=，则1a =，d =．【答案】2,13-1．（·安徽卷）数列{an}是等差数列，若a1＋1，a3＋3，a5＋5构成公比为q 的等比数列，则q ＝________.【答案】12．（·北京卷）若等差数列{an}满足a7＋a8＋a9>0，a7＋a10<0，则当n ＝________时，{an}的前n 项和最大．【答案】83．（·福建卷）等差数列{an}的前n 项和为Sn ，若a1＝2，S3＝12，则a6等于( ) A ．8 B ．10 C ．12 D ．14 【答案】C4．（·湖北卷）已知等差数列{an}满足：a1＝2，且a1，a2，a5成等比数列． (1)求数列{an}的通项公式．(2)记Sn 为数列{an}的前n 项和，是否存在正整数n ，使得Sn>60n ＋800？若存在，求n 的最小值；若不存在，说明理由．5．（·湖南卷）已知数列{an}满足a1＝1，|an ＋1－an|＝pn ，n ∈N*. (1)若{an}是递增数列，且a1，2a2，3a3成等差数列，求p 的值；(2)若p ＝12，且{a2n －1}是递增数列，{a2n}是递减数列，求数列{an}的通项公式．6．（·辽宁卷）设等差数列{an}的公差为d.若数列{2a1an}为递减数列，则() A．d<0 B．d>0 C．a1d<0 D．a1d>0【答案】C7．（·全国卷）等差数列{an}的前n项和为Sn.已知a1＝10，a2为整数，且Sn≤S4.(1)求{an}的通项公式；(2)设bn＝1anan＋1，求数列{bn}的前n项和Tn.8．（·新课标全国卷Ⅰ] 已知数列{an}的前n项和为Sn，a1＝1，an≠0，anan＋1＝λSn－1，其中λ为常数．(1)证明：an＋2－an＝λ.(2)是否存在λ，使得{an}为等差数列？并说明理由．9．（·山东卷）已知等差数列{an}的公差为2，前n项和为Sn，且S1，S2，S4成等比数列．(1)求数列{an}的通项公式；(2)令bn＝(－1)n－14nanan＋1，求数列{bn}的前n项和Tn.10．（·陕西卷）△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c.(1)若a，b，c成等差数列，证明：sin A＋sin C＝2sin(A＋C)；(2)若a，b，c成等比数列，求cos B的最小值．11．（·天津卷）设{an}是首项为a1，公差为－1的等差数列，Sn 为其前n 项和．若S1，S2，S4成等比数列，则a1的值为________．【答案】－1212．（·重庆卷）设a1＝1，an ＋1＝a2n －2an ＋2＋b(n ∈N*)． (1)若b ＝1，求a2，a3及数列{an}的通项公式．(2)若b ＝－1，问：是否存在实数c 使得a2n<c<a2n ＋1对所有n ∈N*成立？证明你的结论．13．（·新课标全国卷Ⅰ] 某几何体的三视图如图1－3所示，则该几何体的体积为()图1－3A．16＋8π B．8＋8πC．16＋16π D．8＋16π【答案】A14．（·新课标全国卷Ⅰ] 设等差数列{an}的前n项和为Sn，若Sm－1＝－2，Sm＝0，Sm＋1＝3，则m＝()A．3 B．4 C．5 D．6【答案】C15．（·广东卷）在等差数列{an}中，已知a3＋a8＝10，则3a5＋a7＝________．【答案】2016．（·北京卷）已知{an}是由非负整数组成的无穷数列，该数列前n项的最大值记为An，第n项之后各项an＋1，an＋2，…的最小值记为Bn，dn＝An－Bn.(1)若{an}为2，1，4，3，2，1，4，3，…，是一个周期为4的数列(即对任意n∈N*，an＋4＝an)，写出d1，d2，d3，d4的值；(2)设d是非负整数，证明：dn＝－d(n＝1，2，3，…)的充分必要条件为{an}是公差为d的等差数列；(3)证明：若a1＝2，dn＝1(n＝1，2，3，…)，则{an}的项只能是1或者2，且有无穷多项为1.17．（·全国卷）等差数列{a n}前n 项和为Sn.已知S3＝a22，且S1，S2，S4成等比数列，求{an}的通项公式．18．（·山东卷）设等差数列{an}的前n 项和为Sn ，且S4＝4S2，a2n ＝2an ＋1. (1)求数列{an}的通项公式；(2)设数列{bn}的前n 项和为Tn ，且Tn ＋an ＋12n ＝λ(λ为常数)，令cn ＝b2n(n ∈N*)，求数列{cn}的前n 项和Rn.19．（·四川卷）在等差数列{an}中，a1＋a3＝8，且a4为a2和a9的等比中项，求数列{an}的首项、公差及前n 项和．20．（·新课标全国卷Ⅱ] 等差数列{an}的前n 项和为Sn ，已知S10＝0，S15＝25，则nSn 的最小值为________．【答案】－4921．（·重庆卷）已知{an}是等差数列，a1＝1，公差d≠0，Sn 为其前n 项和，若a1，a2，a5成等比数列，则S8＝________．【答案】64【押题专练】1．记Sn 为等差数列{an}的前n 项和，若S33－S22＝1，则其公差d ＝()A.12 B ．2 C ．3D ．4【答案】B2．设{an}是首项为a1，公差为－1的等差数列，Sn 为其前n 项和．若S1，S2，S4成等比数列，则a1＝() A ．2B ．－2C.12D ．－12【答案】D3．已知等差数列{an}，且3(a3＋a5)＋2(a7＋a10＋a13)＝48，则数列{an}的前13项之和为 () A ．24B ．39C ．104D ．52【答案】D4．设Sn 是等差数列{an}的前n 项和，公差d≠0，若S11＝132，a3＋ak ＝24，则正整数k 的值为 () A ．9B ．10C ．11D ．12【答案】A5．已知数列{an}满足an ＋1＝an －57，且a1＝5，设{an}的前n 项和为Sn ，则使得Sn 取得最大值的序号n 的值为() A ．7B ．8C ．7或8D ．8或9【答案】C6．《莱因德纸草书》是世界上最古老的数学著作之一．书中有一道这样的题目：把100个面包给5个人，使每人所得成等差数列，且使较大的三份之和的17是较小的两份之和，则最小的一份为 ()A.53B.103C.56D.116【答案】A7．设Sn 为等差数列{an}的前n 项和，(n ＋1)Sn ＜nSn ＋1(n ∈N*)．若a8a7＜－1，则 () A ．Sn 的最大值是S8 B ．Sn 的最小值是S8 C ．Sn 的最大值是S7D ．Sn 的最小值是S7【答案】D8．在等差数列{an}中，a15＝33，a25＝66，则a35＝________．【答案】999．设Sn 为等差数列{an}的前n 项和，S2＝S6，a4＝1，则a5＝________．【答案】－110．已知等差数列{an}中，S3＝9，S6＝36，则a7＋a8＋a9＝________．【答案】4511．设等差数列{an}的前n 项和为Sn ，若a1<0，S2 015＝0. (1)求Sn 的最小值及此时n 的值； (2)求n 的取值集合，使an≥Sn.12．已知等差数列的前三项依次为a ，4，3a ，前n 项和为Sn ，且Sk ＝110. (1)求a 及k 的值；(2)设数列{bn}的通项bn ＝Snn ，证明数列{bn}是等差数列，并求其前n 项和Tn.高考模拟复习试卷试题模拟卷高考模拟复习试卷试题模拟卷【高频考点解读】 1.了解向量的实际背景；2.理解平面向量的概念，理解两个向量相等的含义；3.理解向量的几何表示；4.掌握向量加法、减法的运算，并理解其几何意义；5.掌握向量数乘的运算及其几何意义，理解两个向量共线的含义；6.了解向量线性运算的性质及其几何意义．【热点题型】题型一平面向量的有关概念【例1】给出下列命题： ①若|a|＝|b|，则a ＝b ；②若A ，B ，C ，D 是不共线的四点，则AB →＝DC →是四边形ABCD 为平行四边形的充要条件； ③若a ＝b ，b ＝c ，则a ＝c ； ④若a ∥b ，b ∥c ，则a ∥c. 其中正确命题的序号是()A ．②③B ．②④C ．③④D ．②③④【提分秘籍】(1)相等向量具有传递性，非零向量的平行也具有传递性．(2)共线向量即为平行向量，它们均与起点无关．(3)向量可以平移，平移后的向量与原向量是相等向量．解题时，不要把它与函数图象的移动混为一谈．(4)非零向量a 与a |a|的关系：a|a|是与a 同方向的单位向量．【举一反三】给出下列命题：①两个具有公共终点的向量，一定是共线向量； ②两个向量不能比较大小，但它们的模能比较大小； ③若λa ＝0 (λ为实数)，则λ必为零；④已知λ，μ为实数，若λa ＝μb ，则a 与b 共线．其中错误命题的个数为() A ．1 B ．2 C ．3 D ．4解析 ①错误．两向量共线要看其方向而不是起点与终点．②正确．因为向量既有大小，又有方向，故它们不能比较大小，但它们的模均为实数，故可以比较大小．③错误．当a ＝0时，不论λ为何值，λa ＝0.④错误．当λ＝μ＝0时，λa ＝μb ，此时，a 与b 可以是任意向量．答案 C题型二平面向量的线性运算【例2】 (1)在△ABC 中，AB 边的高为CD ，若CB →＝a ，CA →＝b ，a·b ＝0，|a|＝1，|b|＝2，则AD →＝() A.13a －13b B.23a －23b C.35a －35b D.45a －45b(2)如图，在平行四边形ABCD 中，对角线AC 与BD 交于点O ，AB →＋AD →＝λAO →，则λ＝________．解析 (1)∵a·b ＝0，∴∠ACB ＝90°，∴AB ＝5，CD ＝255， ∴BD ＝55，AD ＝455，∴AD ∶BD ＝4∶1. ∴AD →＝45AB →＝45(CB →－CA →)＝45a －45b. (2)因为ABCD 为平行四边形，所以AB →＋AD →＝AC →＝2AO →，已知AB →＋AD →＝λAO →，故λ＝2.答案 (1)D(2)2 【提分秘籍】(1)解题的关键在于熟练地找出图形中的相等向量，并能熟练运用相反向量将加减法相互转化．(2)用几个基本向量表示某个向量问题的基本技巧：①观察各向量的位置；②寻找相应的三角形或多边形；③运用法则找关系；④化简结果．【举一反三】(1)如图所示，已知AB 是圆O 的直径，点C ，D 是半圆弧的两个三等分点，AB →＝a ，AC →＝b ，则AD →＝()A ．a －12b B.12a －b C ．a ＋12b D.12a ＋b(2)如图，D ，E ，F 分别是△ABC 的边AB ，BC ，CA 的中点，则()A.AD →＋BE →＋CF →＝0B.BD →－CF →＋DF →＝0C.AD →＋CE →－CF →＝0D.BD →－BE →－FC →＝0解析 (1)连接CD ，由点C ，D 是半圆弧的三等分点，得CD ∥AB 且CD →＝12AB →＝12a ，所以AD →＝AC →＋CD →＝b ＋12a.(2)由题意知：AD →＝FE →，BE →＝DF →，CF →＝ED →，而FE →＋ED →＋DF →＝0，∴AD →＋BE →＋CF →＝0. 答案 (1)D(2)A题型三共线向量定理的应用【例3】设两个非零向量a 与b 不共线．(1)若AB →＝a ＋b ，BC →＝2a ＋8b ，CD →＝3(a －b)．求证：A ，B ，D 三点共线； (2)试确定实数k ，使ka ＋b 和a ＋kb 共线．【提分秘籍】(1)证明三点共线问题，可用向量共线解决，但应注意向量共线与三点共线的区别与联系，当两向量共线且有公共点时，才能得出三点共线．(2)向量a ，b 共线是指存在不全为零的实数λ1，λ2，使λ1a ＋λ2b ＝0成立；若λ1a ＋λ2b ＝0，当且仅当λ1＝λ2＝0时成立，则向量a ，b 不共线．【举一反三】(1)已知向量i 与j 不共线，且AB →＝i ＋mj ，AD →＝ni ＋j.若A ，B ，D 三点共线，则实数m ，n 应该满足的条件是()A ．m ＋n ＝1B ．m ＋n ＝－1C ．mn ＝1D ．mn ＝－1(2)如图，经过△OAB 的重心G 的直线与OA ，OB 分别交于点P ，Q ，设OP →＝mOA →，OQ →＝nOB →，m ，n ∈R ，则1n ＋1m 的值为________．解析 (1)由A ，B ，D 共线可设AB →＝λAD →，于是有i ＋mj ＝λ(ni ＋j)＝λni ＋λj.又i ，j 不共线，因此⎩⎪⎨⎪⎧λn ＝1，λ＝m ，即有mn ＝1.(2)设OA →＝a ，OB →＝b ，由题意知OG →＝23×12(OA →＋OB →)＝13(a ＋b)，PQ →＝OQ →－OP →＝nb －ma ，PG →＝OG →－OP →＝⎝⎛⎭⎫13－m a ＋13b ，由P ，G ，Q 三点共线得，存在实数λ，使得PQ →＝λPG →，即nb －ma ＝λ⎝⎛⎭⎫13－m a ＋13λb ，从而⎩⎨⎧－m ＝λ⎝⎛⎭⎫13－m ，n ＝13λ，消去λ得1n ＋1m ＝3.答案 (1)C(2)3 【高考风向标】1.【高考安徽，文15】ABC ∆是边长为2的等边三角形，已知向量b a 、满足a AB 2=→，b a AC+=→2，则下列结论中正确的是.（写出所有正确结论得序号）①a 为单位向量；②b 为单位向量；③b a ⊥；④→BC b // ；⑤→⊥+BC b a )4(。

高考数学模拟复习试卷试题模拟卷第八章直线与圆006108

高考模拟复习试卷试题模拟卷第八章直线与圆一．基础题组1.（重庆市巴蜀中学高三月考数学、文、1）若直线210ax y ++=与直线20x y +-=互相垂直，那么a 的值等于( )A ．1B ．13-C ．23-D ．2- 2.（文昌中学高三模拟考试、文、15）圆心在直线x －2y ＝0上的圆C 与y 轴的正半轴相切，圆C 截x 轴所得弦的长为23，则圆C 的标准方程为________________．3.（重庆市巴蜀中学高三月考数学、文、15）在平面直角坐标系xOy 中，以点)0,1(为圆心且与直线)(012R m m y mx ∈=---相切的所有圆中，半径最大的圆的标准方程为.4.（重庆市部分区县高三上学期入学考试、文、16）若实数c b a ,,成等差数列，点)0,1(-P 在动直线0:==+c by ax l 上的射影为M ，点)3,0(N ，则线段MN 长度的最小值是．二．能力题组1.(五校协作体高三上学期期初考试数学、文、9)曲线21y x =+在点（1，2）处的切线为l ，则直线l 上的任意点P 与圆22430x y x +++=上的任意点Q 之间的最近距离是（）A.4515- B.2515- C.51- D.2 2.(示范高中高三第一次联考、文、14）已知圆的方程为()2214x y +-=。

若过点11,2P ⎛⎫⎪⎝⎭的直线l 与此圆交于,A B 两点，圆心为C ，则当ACB ∠最小时，直线l 的方程为。

3.（武汉市部分学校新高三调研、文、15）圆O 的半径为1,P 为圆周上一点，现将如图放置的边长为1的正方形（实线所示，正方形的顶点A 与点P 重合）沿圆周逆时针滚动，点A 第一次回到点P 的位置，则点A 走过的路径的长度为_________.三．拔高题组1.(东北师大附中、吉林市第一中学校等高三五校联考、文、7）过点),(a a A 可作圆0322222=-++-+a a ax y x 的两条切线，则实数a 的取值范围为（）A ．3-<a 或1>aB ．23<a C ．13<<-a 或23>a D ．3-<a 或231<<a2.（大庆铁人中学高三第一阶段考试、文、7）一条光线从点(2,3)--射出，经y 轴反射后与圆22(3)(2)1x y ++-=相切，则反射光线所在直线的斜率为（）A ．53-或35-B ．32-或23-C ．54-或45-D ．43-或34- 3.(齐齐哈尔市实验中学高三期末考试、文、9）若),(y x P 是直线)0(04>=++k y kx 上一动点，PB PA ,是圆02:22=-+y y x C 的两条切线，B A ,是切点，若四边形PACB 面积的最小值是2，则=k （）A. 3B.221C. 22D. 2 4.（云南师范大学附属中学月考、文、12）设直线l 与抛物线x2=4y 相交于A, B 两点，与圆C ：222(5)x y r +-= (r>0)相切于点M,且M 为线段AB 的中点，若这样的直线l 恰有4条，则r 的取值范围是（）A.（1，3)B. (1,4)C. (2, 3)D. (2, 4)5.（玉溪市第一中学高三月考、文、16）设m R ∈，过定点A 的动直线0x my +=和过定点B 的动直线30mx y m --+=交于点(,)P x y ，则||||PA PB ⋅的最大值是高考模拟复习试卷试题模拟卷【高频考点解读】 1.了解向量的实际背景；2.理解平面向量的概念，理解两个向量相等的含义；3.理解向量的几何表示；4.掌握向量加法、减法的运算，并理解其几何意义；5.掌握向量数乘的运算及其几何意义，理解两个向量共线的含义；6.了解向量线性运算的性质及其几何意义．【热点题型】题型一平面向量的有关概念【例1】给出下列命题： ①若|a|＝|b|，则a ＝b ；②若A ，B ，C ，D 是不共线的四点，则AB →＝DC →是四边形ABCD 为平行四边形的充要条件； ③若a ＝b ，b ＝c ，则a ＝c ； ④若a ∥b ，b ∥c ，则a ∥c. 其中正确命题的序号是()A ．②③B ．②④C ．③④D ．②③④ 【提分秘籍】(1)相等向量具有传递性，非零向量的平行也具有传递性．(2)共线向量即为平行向量，它们均与起点无关．(3)向量可以平移，平移后的向量与原向量是相等向量．解题时，不要把它与函数图象的移动混为一谈．(4)非零向量a 与a |a|的关系：a|a|是与a 同方向的单位向量．【举一反三】给出下列命题：①两个具有公共终点的向量，一定是共线向量； ②两个向量不能比较大小，但它们的模能比较大小； ③若λa ＝0 (λ为实数)，则λ必为零；④已知λ，μ为实数，若λa ＝μb ，则a 与b 共线．其中错误命题的个数为() A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 题型二平面向量的线性运算【例2】 (1)在△ABC 中，AB 边的高为CD ，若CB →＝a ，CA →＝b ，a·b ＝0，|a|＝1，|b|＝2，则AD →＝() A.13a －13b B.23a －23b C.35a －35b D.45a －45b(2)如图，在平行四边形ABCD 中，对角线AC 与BD 交于点O ，AB →＋AD →＝λAO →，则λ＝________．【提分秘籍】(1)解题的关键在于熟练地找出图形中的相等向量，并能熟练运用相反向量将加减法相互转化．(2)用几个基本向量表示某个向量问题的基本技巧：①观察各向量的位置；②寻找相应的三角形或多边形；③运用法则找关系；④化简结果．【举一反三】(1)如图所示，已知AB 是圆O 的直径，点C ，D 是半圆弧的两个三等分点，AB →＝a ，AC →＝b ，则AD →＝()A ．a －12b B.12a －b C ．a ＋12b D.12a ＋b(2)如图，D ，E ，F 分别是△ABC 的边AB ，BC ，CA 的中点，则()A.AD →＋BE →＋CF →＝0B.BD →－CF →＋DF →＝0C.AD →＋CE →－CF →＝0D.BD →－BE →－FC →＝0题型三共线向量定理的应用【例3】设两个非零向量a 与b 不共线．(1)若AB →＝a ＋b ，BC →＝2a ＋8b ，CD →＝3(a －b)．求证：A ，B ，D 三点共线； (2)试确定实数k ，使ka ＋b 和a ＋kb 共线．【提分秘籍】(1)证明三点共线问题，可用向量共线解决，但应注意向量共线与三点共线的区别与联系，当两向量共线且有公共点时，才能得出三点共线．(2)向量a ，b 共线是指存在不全为零的实数λ1，λ2，使λ1a ＋λ2b ＝0成立；若λ1a ＋λ2b ＝0，当且仅当λ1＝λ2＝0时成立，则向量a ，b 不共线．【举一反三】(1)已知向量i 与j 不共线，且AB →＝i ＋mj ，AD →＝ni ＋j.若A ，B ，D 三点共线，则实数m ，n 应该满足的条件是()A ．m ＋n ＝1B ．m ＋n ＝－1C ．mn ＝1D ．mn ＝－1(2)如图，经过△OAB 的重心G 的直线与OA ，OB 分别交于点P ，Q ，设OP →＝mOA →，OQ →＝nOB →，m ，n ∈R ，则1n ＋1m 的值为________．【高考风向标】1.【高考安徽，文15】ABC ∆是边长为2的等边三角形，已知向量b a 、满足a AB2=→，b a AC+=→2，则下列结论中正确的是.（写出所有正确结论得序号）①a 为单位向量；②b 为单位向量；③b a ⊥；④→BC b // ；⑤→⊥+BC b a )4(。

高考数学模拟复习试卷试题模拟卷第八章直线与圆0061 209

高考模拟复习试卷试题模拟卷第八章直线与圆一．基础题组1.（重庆市巴蜀中学高三月考数学、文、1）若直线210ax y ++=与直线20x y +-=互相垂直，那么a 的值等于( )A ．1B ．13-C ．23-D ．2- 2.（文昌中学高三模拟考试、文、15）圆心在直线x －2y ＝0上的圆C 与y 轴的正半轴相切，圆C 截x 轴所得弦的长为23，则圆C 的标准方程为________________．3.（重庆市巴蜀中学高三月考数学、文、15）在平面直角坐标系xOy 中，以点)0,1(为圆心且与直线)(012R m m y mx ∈=---相切的所有圆中，半径最大的圆的标准方程为.4.（重庆市部分区县高三上学期入学考试、文、16）若实数c b a ,,成等差数列，点)0,1(-P 在动直线0:==+c by ax l 上的射影为M ，点)3,0(N ，则线段MN 长度的最小值是．二．能力题组1.(五校协作体高三上学期期初考试数学、文、9)曲线21y x =+在点（1，2）处的切线为l ，则直线l 上的任意点P 与圆22430x y x +++=上的任意点Q 之间的最近距离是（）A.4515- B.2515- C.51- D.2 2.(示范高中高三第一次联考、文、14）已知圆的方程为()2214x y +-=。

若过点11,2P ⎛⎫⎪⎝⎭的直线l 与此圆交于,A B 两点，圆心为C ，则当ACB ∠最小时，直线l 的方程为。

3.（武汉市部分学校新高三调研、文、15）圆O 的半径为1,P 为圆周上一点，现将如图放置的边长为1的正方形（实线所示，正方形的顶点A 与点P 重合）沿圆周逆时针滚动，点A 第一次回到点P 的位置，则点A 走过的路径的长度为_________.三．拔高题组1.(东北师大附中、吉林市第一中学校等高三五校联考、文、7）过点),(a a A 可作圆0322222=-++-+a a ax y x 的两条切线，则实数a 的取值范围为（）A ．3-<a 或1>aB ．23<a C ．13<<-a 或23>a D ．3-<a 或231<<a2.（大庆铁人中学高三第一阶段考试、文、7）一条光线从点(2,3)--射出，经y 轴反射后与圆22(3)(2)1x y ++-=相切，则反射光线所在直线的斜率为（）A ．53-或35-B ．32-或23-C ．54-或45-D ．43-或34- 3.(齐齐哈尔市实验中学高三期末考试、文、9）若),(y x P 是直线)0(04>=++k y kx 上一动点，PB PA ,是圆02:22=-+y y x C 的两条切线，B A ,是切点，若四边形PACB 面积的最小值是2，则=k （）A. 3B.221C. 22D. 2 4.（云南师范大学附属中学月考、文、12）设直线l 与抛物线x2=4y 相交于A, B 两点，与圆C ：222(5)x y r +-= (r>0)相切于点M,且M 为线段AB 的中点，若这样的直线l 恰有4条，则r 的取值范围是（）A.（1，3)B. (1,4)C. (2, 3)D. (2, 4)5.（玉溪市第一中学高三月考、文、16）设m R ∈，过定点A 的动直线0x my +=和过定点B 的动直线30mx y m --+=交于点(,)P x y ，则||||PA PB ⋅的最大值是高考模拟复习试卷试题模拟卷【考情解读】1.会用向量的数量积推导出两角差的余弦公式；2.能利用两角差的余弦公式导出两角差的正弦、正切公式；3.能利用两角差的余弦公式导出两角和的正弦、余弦、正切公式，导出二倍角的正弦、余弦、正切公式，了解它们的内在联系；4.能运用上述公式进行简单的恒等变换(包括导出积化和差、和差化积、半角公式，但对这三组公式不要求记忆)．【重点知识梳理】1．两角和与差的正弦、余弦和正切公式 sin(α±β)＝sinαcosβ±cosαsinβ． cos(α∓β)＝cosαcosβ±sinαsinβ． tan(α±β)＝tan α±tan β1∓tan αtan β．2．二倍角的正弦、余弦、正切公式 sin 2α＝2sinαcosα．cos 2α＝cos2α－sin2α＝2cos2α－1＝1－2sin2α． tan 2α＝2tan α1－tan2α．3．有关公式的逆用、变形等(1)tan α±tan β＝tan(α±β)(1∓tanαtanβ)． (2)cos2α＝1＋cos 2α2，sin2α＝1－cos 2α2． (3)1＋sin 2α＝(sinα＋cosα)2， 1－sin 2α＝(sinα－cosα)2，sin α±cos α＝2sin ⎝⎛⎭⎫α±π4.4．函数f(α)＝asin α＋bcos α(a ，b 为常数)，可以化为f(α)＝a2＋b2sin(α＋φ)⎝⎛⎭⎫其中tan φ＝b a 或f(α)＝a2＋b2·cos(α－φ)⎝⎛⎭⎫其中tan φ＝a b . 【高频考点突破】考点一三角函数式的化简与给角求值【例1】 (1)已知α∈(0，π)，化简：（1＋sin α＋cos α）·（cos α2－sin α2）2＋2cos α＝________．(2)[2sin 50°＋sin 10°(1＋3tan 10°)]·2sin280°＝______．【答案】(1)cos α (2)6 【规律方法】(1)三角函数式的化简要遵循“三看”原则：①一看角之间的差别与联系，把角进行合理的拆分，正确使用公式；②二看函数名称之间的差异，确定使用的公式，常见的有“切化弦”；③三看结构特征，找到变形的方向，常见的有“遇到分式要通分”，“遇到根式一般要升幂”等．(2)对于给角求值问题，一般给定的角是非特殊角，这时要善于将非特殊角转化为特殊角．另外此类问题也常通过代数变形(比如：正负项相消、分子分母相约等)的方式来求值．【变式探究】 (1)4cos 50°－tan 40°＝( ) A. 2 B.2＋32C. 3 D ．22－1(2)化简：sin2αsin2β＋cos2αcos2β－12cos 2αcos 2β＝________．【答案】(1)C (2)12考点二三角函数的给值求值、给值求角【例2】 (1)已知0<β<π2<α<π，且cos ⎝⎛⎭⎫α－β2＝－19，sin ⎝⎛⎭⎫α2－β＝23，求cos(α＋β)的值；(2)已知α，β∈(0，π)，且tan(α－β)＝12，tan β＝－17，求2α－β的值．【规律方法】(1)解题中注意变角，如本题中α＋β2＝⎝⎛⎭⎫α－β2－⎝⎛⎭⎫α2－β；(2)通过求角的某种三角函数值来求角，在选取函数时，遵照以下原则：①已知正切函数值，选正切函数；②已知正、余弦函数值，选正弦或余弦函数；若角的范围是⎝⎛⎭⎫0，π2，选正、余弦皆可；若角的范围是(0，π)，选余弦较好；若角的范围为⎝⎛⎭⎫－π2，π2，选正弦较好．【变式探究】已知cos α＝17，cos(α－β)＝1314，且0<β<α<π2， (1)求tan 2α的值； (2)求β.考点三三角变换的简单应用【例3】 (·广东卷)已知函数f(x)＝Asin ⎝⎛⎭⎫x ＋π4，x ∈R ，且f ⎝⎛⎭⎫5π12＝32.(1)求A 的值；(2)若f(θ)－f(－θ)＝32，θ∈⎝⎛⎭⎫0，π2，求f ⎝⎛⎭⎫3π4－θ.【规律方法】解三角函数问题的基本思想是“变换”，通过适当的变换达到由此及彼的目的，变换的基本方向有两个，一个是变换函数的名称，一个是变换角的形式．变换函数名称可以使用诱导公式、同角三角函数关系、二倍角的余弦公式等；变换角的形式，可以使用两角和与差的三角函数公式、倍角公式等．【变式探究】已知函数f(x)＝sin ⎝⎛⎭⎫3x ＋π4.(1)求f(x)的单调递增区间；(2)若α是第二象限角，f ⎝⎛⎭⎫α3＝45cos ⎝⎛⎭⎫α＋π4cos 2α，求cos α－sin α的值．【真题感悟】【高考重庆，文6】若11tan ,tan()32,则tan =（） (A) 17 (B) 16 (C) 57 (D) 56【答案】A【高考上海，文1】函数x x f 2sin 31)(-=的最小正周期为.【答案】π【高考广东，文16】（本小题满分12分）已知tan 2α=．（1）求tan 4πα⎛⎫+ ⎪⎝⎭的值；（2）求2sin 2sin sin cos cos 21ααααα+--的值．【答案】（1）3-；（2）1．1．(·广东卷) 若空间中四条两两不同的直线l1，l2，l3，l4满足l1⊥l2，l2∥l3，l3⊥l4，则下列结论一定正确的是( )A ．l1⊥l4B ．l1∥l4C ．l1与l4既不垂直也不平行D ．l1与l4的位置关系不确定【答案】D2． (·湖北卷) 某实验室一天的温度(单位：℃)随时间t(单位：h)的变化近似满足函数关系： f(t)＝10－3cos π12t －sin π12t ，t ∈[0，24)． (1)求实验室这一天上午8时的温度； (2)求实验室这一天的最大温差．3.(·湖南卷) 如图1-4所示，在平面四边形ABCD 中，DA ⊥AB ，DE ＝1，EC ＝7，EA ＝2，∠ADC ＝2π3，∠BEC ＝π3.(1)求sin ∠CED 的值； (2)求BE 的长．图1-44．(·江西卷) 已知函数f(x)＝(a ＋2cos2x)cos(2x ＋θ)为奇函数，且f ⎝⎛⎭⎫π4＝0，其中a ∈R ，θ∈(0，π)．(1)求a ，θ的值；(2)若f ⎝⎛⎭⎫α4＝－25，α∈⎝⎛⎭⎫π2，π，求sin ⎝⎛⎭⎫α＋π3的值．5．(·全国卷) △ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c.已知3acos C ＝2ccos A ，tan A ＝13，求B.6．(·新课标全国卷Ⅱ] 函数f(x)＝sin(x ＋φ)－2sin φcos x 的最大值为________．【答案】17．(·山东卷) △ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c.已知a＝3，cos A＝63，B＝A＋π2.(1)求b的值；(2)求△ABC的面积．8．(·四川卷) 如图1-3所示，从气球A上测得正前方的河流的两岸B，C的俯角分别为75°，30°，此时气球的高度是60 m，则河流的宽度BC等于()图1-3A ．240(3－1)mB ．180(2－1)mC ．120(3－1)mD ．30(3＋1)m 【答案】C9．(·四川卷) 已知函数f(x)＝sin ⎝⎛⎭⎫3x ＋π4. (1)求f(x)的单调递增区间；(2)若α是第二象限角，f ⎝⎛⎭⎫α3＝45cos ⎝⎛⎭⎫α＋π4cos 2α，求cos α－sin α的值．10．(·重庆卷) 在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且a ＋b ＋c ＝8. (1)若a ＝2，b ＝52，求cos C 的值；(2)若sin Acos2B 2＋si n Bcos2A 2＝2sin C ，且△ABC 的面积S ＝92sin C ，求a 和b 的值．【押题专练】1．若tan θ＝3，则sin 2θ1＋cos 2θ＝( )A. 3 B ．－3 C.33D ．－33【答案】A2．已知sin α＋cos α＝13，则sin2⎝⎛⎭⎫π4－α＝ ( )A.118 B.1718 C.89D.29【答案】B3．已知α∈⎝⎛⎭⎫π，32π，且cos α＝－45，则tan ⎝⎛⎭⎫π4－α等于 ( )A ．7B.17C ．－17D ．－7【答案】B4．已知sin α＝55，sin(α－β)＝－1010，α，β均为锐角，则角β等于 ( ) A.5π12B.π3C.π4D.π6【答案】C6．在△ABC 中，tan A ＋tan B ＋3＝3tan A·tan B ，则C 等于 ( ) A.π3B.2π3C.π6D.π4【答案】A7．cos π9·cos 2π9·cos ⎝⎛⎭⎫－23π9＝( )A ．－18 B ．－116 C.116D.18【答案】A8．设f(x)＝1＋cos 2x 2sin ⎝⎛⎭⎫π2－x＋sin x ＋a2sin⎝⎛⎭⎫x ＋π4的最大值为2＋3，则常数a ＝________．【答案】±39．若sin ⎝⎛⎭⎫π2＋θ＝35，则cos 2θ＝________．【答案】－72510．函数f(x)＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π4－22sin2x 的最小正周期是________．【答案】π11．已知cos4α－sin4α＝23，且α∈⎝⎛⎭⎫0，π2，则cos ⎝⎛⎭⎫2α＋π3＝________．【答案】2－15612．已知α∈⎝⎛⎭⎫π2，π，且sin α2＋cos α2＝62.(1)求cos α的值；(2)若sin(α－β)＝－35，β∈⎝⎛⎭⎫π2，π，求cos β的值．13．已知函数f(x)＝cos2x ＋sin xcos x ，x ∈R.(1)求f ⎝⎛⎭⎫π6的值；(2)若sin α＝35，且α∈⎝⎛⎭⎫π2，π，求f ⎝⎛⎭⎫α2＋π24.高考模拟复习试卷试题模拟卷高考模拟复习试卷试题模拟卷第04节数学归纳法一、选择题1. 数学归纳法适用于证明的命题类型是A 、已知⇒结论B 、结论⇒已知C 、直接证明比较困难D 、与正整数有关2. 用数学归纳法证明等式(3)(4)123(3)()2n n n n *+++++++=∈N 时，第一步验证1n =时，左边应取的项是A ．1B ．12+C ．123++D ．1234+++ 3. 利用数学归纳法证明不等式1＋12＋13＋ 121n -<f(n) (n≥2，n N *∈)的过程中，由n ＝k 变到n ＝k ＋1时，左边增加了( )A ．1项B ．k 项C ．12k -项 D ．2k 项 4. 若f n n ()=++++-121314121……，则f k f k ()()+-1等于（） A 、1211k +- B 、121211211k k k +++-+ C. 121211k k +-+ D. 121211211k k k ++++-+…… 5. 设()x f 是定义在正整数集上的函数,且()x f 满足：“当()1+≥k k f 成立时，总可推出()21+≥+k k f 成立”，那么，下列命题总成立的是（）A ．若()21<f 成立，则()1110<f 成立B ．若()43≥f 成立，则当1≥k 时，均有()1+≥k k f 成立C ．若()32<f 成立，则()21≥f 成立D ．若()54≥f 成立，则当4≥k 时，均有()1+≥k k f 成立6. 在应用数学归纳法证明凸n 变形的对角线为)3(21-n n 条时，第一步检验n 等于（） A.1 B.2 C ．3 D ．07. 下面四个判断中，正确的是()A ．式子1＋k ＋k2＋…＋kn(n ∈N*)中，当n ＝1时式子值为1B ．式子1＋k ＋k2＋…＋kn －1(n ∈N*)中，当n ＝1时式子值为1＋kC ．式子1＋1123+＋…＋121n + (n ∈N*)中，当n ＝1时式子值为1＋1123+D ．设f(x)＝111+1231n n n ++++ (n ∈N*)，则f(k ＋1)＝f(k)＋111323334k k k +++++ 8.在数列{an}中，an ＝1－12＋13－14＋…＋121n -－12n，则ak ＋1等于() A ．ak ＋121k + B ．ak ＋122k +－124k + C ．ak ＋122k + D ．ak ＋121k +－122k + 9. 用数学归纳法证明12+32+52+…+（2n ﹣1）2=n （4n2﹣1）过程中，由n=k 递推到n=k+1时，不等式左边增加的项为（）A ．（2k ）2B ．（2k+3）2C ．（2k+2）2D ．（2k+1）210. 用数学归纳法证明(1)(2)()213(21)n n n n n n +++=-····，从k 到1k +，左边需要增乘的代数式为（）Ａ．21k +Ｂ．2(21)k +Ｃ．211k k ++Ｄ．231k k ++ 二、填空题11. 利用数学归纳法证明“221111n n a a a a a ++-++++=-， (1,a n N ≠∈)”时，在验证1n =成立时，左边应该是．12. 用数学归纳法证明:(31)(1)(2)()2n n n n n n +++++++=*()n N ∈的第二步中，当1n k =+时等式左边与n k =时的等式左边的差等于. 13.用数学归纳法证明2n n a b +≥2a b +⎛⎫ ⎪⎝⎭n(a ，b 是非负实数，n ∈N ＋)时，假设n ＝k 命题成立之后，证明n ＝k ＋1命题也成立的关键是________________．三、解答题14. 数列}{n a 满足)(2*N n a n S n n ∈-=．（1）计算1a ，2a ，3a ，4a ，并由此猜想通项公式n a ；（2）用数学归纳法证明（1）中的猜想．15. 已知数列}{n a 的前n 项和为n S ，且44431--=+n n n a S )(*∈N n ，令n n n a b 4=. （1）求证：数列}{n b 是等差数列，并求数列}{n a 的通项公式；（2）若2)(-=n a n f )(*∈N n ，用数学归纳法证明)(n f 是18的倍数．16. 若不等式11n +＋12n +＋…＋131n +>24a 对一切正整数n 都成立，猜想正整数a 的最大值，并证明结论．高考模拟复习试卷试题模拟卷。

高考数学模拟复习试卷试题模拟卷第八章直线与圆0064 120

高考模拟复习试卷试题模拟卷第八章直线与圆一．基础题组1.（重庆市巴蜀中学高三月考数学、文、1）若直线210ax y ++=与直线20x y +-=互相垂直，那么a 的值等于( )A ．1B ．13-C ．23-D ．2- 2.（文昌中学高三模拟考试、文、15）圆心在直线x －2y ＝0上的圆C 与y 轴的正半轴相切，圆C 截x 轴所得弦的长为23，则圆C 的标准方程为________________．3.（重庆市巴蜀中学高三月考数学、文、15）在平面直角坐标系xOy 中，以点)0,1(为圆心且与直线)(012R m m y mx ∈=---相切的所有圆中，半径最大的圆的标准方程为.4.（重庆市部分区县高三上学期入学考试、文、16）若实数c b a ,,成等差数列，点)0,1(-P 在动直线0:==+c by ax l 上的射影为M ，点)3,0(N ，则线段MN 长度的最小值是．二．能力题组1.(五校协作体高三上学期期初考试数学、文、9)曲线21y x =+在点（1，2）处的切线为l ，则直线l 上的任意点P 与圆22430x y x +++=上的任意点Q 之间的最近距离是（）A.4515- B.2515- C.51- D.2 2.(示范高中高三第一次联考、文、14）已知圆的方程为()2214x y +-=。

若过点11,2P ⎛⎫⎪⎝⎭的直线l 与此圆交于,A B 两点，圆心为C ，则当ACB ∠最小时，直线l 的方程为。

3.（武汉市部分学校新高三调研、文、15）圆O 的半径为1,P 为圆周上一点，现将如图放置的边长为1的正方形（实线所示，正方形的顶点A 与点P 重合）沿圆周逆时针滚动，点A 第一次回到点P 的位置，则点A 走过的路径的长度为_________.三．拔高题组1.(东北师大附中、吉林市第一中学校等高三五校联考、文、7）过点),(a a A 可作圆0322222=-++-+a a ax y x 的两条切线，则实数a 的取值范围为（）A ．3-<a 或1>aB ．23<a C ．13<<-a 或23>a D ．3-<a 或231<<a2.（大庆铁人中学高三第一阶段考试、文、7）一条光线从点(2,3)--射出，经y 轴反射后与圆22(3)(2)1x y ++-=相切，则反射光线所在直线的斜率为（）A ．53-或35-B ．32-或23-C ．54-或45-D ．43-或34- 3.(齐齐哈尔市实验中学高三期末考试、文、9）若),(y x P 是直线)0(04>=++k y kx 上一动点，PB PA ,是圆02:22=-+y y x C 的两条切线，B A ,是切点，若四边形PACB 面积的最小值是2，则=k （）A. 3B.221C. 22D. 2 4.（云南师范大学附属中学月考、文、12）设直线l 与抛物线x2=4y 相交于A, B 两点，与圆C ：222(5)x y r +-= (r>0)相切于点M,且M 为线段AB 的中点，若这样的直线l 恰有4条，则r 的取值范围是（）A.（1，3)B. (1,4)C. (2, 3)D. (2, 4)5.（玉溪市第一中学高三月考、文、16）设m R ∈，过定点A 的动直线0x my +=和过定点B 的动直线30mx y m --+=交于点(,)P x y ，则||||PA PB ⋅的最大值是高考模拟复习试卷试题模拟卷【高频考点解读】1.了解基本不等式的证明过程．2.会用基本不等式解决简单的最大(小)值问题．【热点题型】题型一通过配凑法利用基本不等式求最值例1、(1)已知x<54，求f(x)＝4x －2＋14x －5的最大值；(2)已知x 为正实数且x2＋y22＝1，求x 1＋y2的最大值； (3)求函数y ＝x －1x ＋3＋x －1的最大值．(2)因为x>0，所以x 1＋y2＝2x212＋y22≤2[x2＋12＋y22]2，又x2＋(12＋y22)＝(x2＋y22)＋12＝32，所以x 1＋y2≤2(12×32)＝324，即(x 1＋y2)max ＝324.(3)令t ＝x －1≥0，则x ＝t2＋1，所以y ＝t t2＋1＋3＋t ＝tt2＋t ＋4.当t ＝0，即x ＝1时，y ＝0；当t>0，即x>1时，y ＝1t ＋4t ＋1，因为t ＋4t ≥24＝4(当且仅当t ＝2时取等号)，所以y ＝1t ＋4t ＋1≤15，即y 的最大值为15(当t ＝2，即x ＝5时y 取得最大值)．【提分秘籍】(1)应用基本不等式解题一定要注意应用的前提：“一正”“二定”“三相等”．所谓“一正”是指正数，“二定”是指应用基本不等式求最值时，和或积为定值，“三相等”是指满足等号成立的条件．(2)在利用基本不等式求最值时，要根据式子的特征灵活变形，配凑出积、和为常数的形式，然后再利用基本不等式．【举一反三】(1)已知0<x<1，则x(3－3x)取得最大值时x 的值为( ) A.13B.12C.34D.23(2)若函数f(x)＝x ＋1x －2(x>2)在x ＝a 处取最小值，则a 等于( )A ．1＋2B ．1＋3C ．3D ．4 答案 (1)B (2)C题型二通过常数代换或消元法利用基本不等式求最值例2、(1)已知x>0，y>0且x ＋y ＝1，则8x ＋2y 的最小值为________． (2)已知x>0，y>0，x ＋3y ＋xy ＝9，则x ＋3y 的最小值为________．答案 (1)18 (2)6 解析 (1)(常数代换法) ∵x>0，y>0，且x ＋y ＝1， ∴8x ＋2y ＝(8x ＋2y )(x ＋y) ＝10＋8y x ＋2xy ≥10＋28y x ·2xy ＝18.当且仅当8y x ＝2xy ，即x ＝2y 时等号成立， ∴当x ＝23，y ＝13时，8x ＋2y 有最小值18. (2)由已知得x ＝9－3y1＋y .方法一 (消元法) ∵x>0，y>0，∴y<3， ∴x ＋3y ＝9－3y1＋y ＋3y＝121＋y＋(3y ＋3)－6≥2121＋y·3y ＋3－6＝6，当且仅当121＋y＝3y ＋3，即y ＝1，x ＝3时，(x ＋3y)m in ＝6. 方法二 ∵x>0，y>0，9－(x ＋3y)＝xy ＝13x·(3y)≤13·(x ＋3y2)2，当且仅当x ＝3y 时等号成立．设x ＋3y ＝t>0，则t2＋12t －108≥0， ∴(t －6)(t ＋18)≥0，又∵t>0，∴t≥6.故当x ＝3，y ＝1时，(x ＋3y)min ＝6. 【提分秘籍】条件最值的求解通常有两种方法：一是消元法，即根据条件建立两个量之间的函数关系，然后代入代数式转化为函数的最值求解；二是将条件灵活变形，利用常数代换的方法构造和或积为常数的式子，然后利用基本不等式求解最值．【举一反三】(1)若两个正实数x ，y 满足2x ＋1y ＝1，并且x ＋2y>m2＋2m 恒成立，则实数m 的取值范围是( ) A ．(－∞，－2)∪[4，＋∞) B ．(－∞，－4]∪[2，＋∞) C ．(－2,4) D ．(－4,2)(2)若正数x ，y 满足x ＋3y ＝5xy ，则3x ＋4y 的最小值是________．答案 (1)D (2)5解析 (1)x ＋2y ＝(x ＋2y)(2x ＋1y )＝2＋4y x ＋xy ＋2≥8，当且仅当4y x ＝xy ，即x ＝2y 时等号成立．由x ＋2y>m2＋2m 恒成立，可知m2＋2m<8，即m2＋2m －8<0，解得－4<m<2. (2)方法一由x ＋3y ＝5xy 可得15y ＋35x ＝1， ∴3x ＋4y ＝(3x ＋4y)(15y ＋35x ) ＝95＋45＋3x 5y ＋12y 5x ≥135＋125＝5.(当且仅当3x 5y ＝12y 5x ，即x ＝1，y ＝12时，等号成立)， ∴3x ＋4y 的最小值是5.题型三基本不等式与函数的综合应用例3、(1)已知f(x)＝32x －(k ＋1)3x ＋2，当x ∈R 时，f(x)恒为正值，则k 的取值范围是( ) A ．(－∞，－1) B ．(－∞，22－1) C ．(－1,22－1) D ．(－22－1,22－1)(2)已知函数f(x)＝x2＋ax ＋11x ＋1(a ∈R)，若对于任意x ∈N*，f(x)≥3恒成立，则a 的取值范围是________．答案 (1)B (2)[－83，＋∞)解析 (1)由f(x)>0得32x －(k ＋1)·3x ＋2>0，解得k ＋1<3x ＋23x ，而3x ＋23x ≥22(当且仅当3x ＝23x ，即x ＝log32时，等号成立)， ∴k ＋1<22，即k<22－1.(2)对任意x ∈N*，f(x)≥3恒成立，即x2＋ax ＋11x ＋1≥3恒成立，即知a≥－(x ＋8x )＋3.设g(x)＝x ＋8x ，x ∈N*，则g(2)＝6，g(3)＝173. ∵g(2)>g(3)，∴g(x)min ＝173.∴－(x ＋8x )＋3≤－83， ∴a≥－83，故a 的取值范围是[－83，＋∞)．【提分秘籍】(1)a>f(x)恒成立⇔a>f(x)max ， a<f(x)恒成立⇔a<f(x)min ；(2)求最值时要注意其中变量的条件，有些不能用基本不等式的问题可考虑利用函数的单调性．【举一反三】已知函数f(x)＝x ＋p x －1(p 为常数，且p>0)，若f(x)在(1，＋∞)上的最小值为4，则实数p 的值为________．答案 94解析由题意得x －1>0，f(x)＝x －1＋px －1＋1≥2p ＋1，当且仅当x ＝p ＋1时取等号，因为f(x)在(1，＋∞)上的最小值为4，所以2p ＋1＝4，解得p ＝94.题型四基本不等式的实际应用例4、某楼盘的建筑成本由土地使用权费和材料工程费构成，已知土地使用权费为2000元/m2；材料工程费在建造第一层时为400 元/m2，以后每增加一层费用增加40元/m2.要使平均每平方米建筑面积的成本费最低，则应把楼盘的楼房设计成________层．答案 10【提分秘籍】对实际问题，在审题和建模时一定不可忽略对目标函数定义域的准确挖掘，一般地，每个表示实际意义的代数式必须为正，由此可得自变量的范围，然后再利用基本不等式求最值．【举一反三】(1)某车间分批生产某种产品，每批的生产准备费用为800元．若每批生产x 件，则平均仓储时间为x8天，且每件产品每天的仓储费用为1元．为使平均到每件产品的生产准备费用与仓储费用之和最小，每批应生产产品( )A ．60件B ．80件C ．100件D ．120件(2)某种饮料分两次提价，提价方案有两种，方案甲：第一次提价p%，第二次提价q%；方案乙：每次都提价p ＋q2%，若p>q>0，则提价多的方案是________．答案 (1)B (2)乙解析 (1)设每件产品的平均费用为y 元，由题意得 y ＝800x ＋x 8≥2800x ·x 8＝20.当且仅当800x ＝x8(x>0)，即x ＝80时“＝”成立，故选B. (2)设原价为1，则提价后的价格为方案甲：(1＋p%)(1＋q%)，方案乙：(1＋p ＋q2%)2，因为1＋p%1＋q%≤1＋p%2＋1＋q%2＝1＋p ＋q2%，且p>q>0，所以1＋p%1＋q%<1＋p ＋q 2%，即(1＋p%)(1＋q%)<(1＋p ＋q2%)2，所以提价多的方案是乙．【高考风向标】1.【高考湖南，文7】若实数,a b 满足12ab a b+=，则ab 的最小值为( ) A 、2 B 、2 C 、22 D 、4 【答案】C 【解析】12121220022,22ab a b ab ab a ba b a b ab+=∴=+≥⨯=∴≥，＞，＞，，（当且仅当2b a =时取等号），所以ab 的最小值为22，故选C.2.【高考重庆，文14】设,0,5a b a b ,则1++3a b 的最大值为________.【答案】233.【高考福建，文5】若直线1(0,0)x ya b a b+=>>过点(1,1)，则a b +的最小值等于（） A ．2 B ．3 C ．4 D ．5 【答案】C 【解析】由已知得111a b +=，则11=()()a b a b a b +++2+b aa b=+，因为0,0a b >>，所以+2b a b a a b a b ≥⋅，故4a b +≥，当=b aa b，即2a b ==时取等号． 4．（·辽宁卷）对于c>0，当非零实数a ，b 满足4a2－2ab ＋4b2－c ＝0且使|2a ＋b|最大时，3a －4b ＋5c 的最小值为________．【答案】－25．（·山东卷）若⎝⎛⎭⎫ax2＋b x 6的展开式中x3项的系数为20，则a2＋b2的最小值为________．【答案】2【解析】Tr ＋1＝Cr 6(ax2)6－r·⎝⎛⎭⎫b x r ＝Cr 6a6－r·brx12－3r ，令12－3r ＝3，得r ＝3，所以C36a6－3b3＝20，即a3b3＝1，所以ab ＝1，所以a2＋b2≥2ab ＝2，当且仅当a ＝b ，且ab ＝1时，等号成立．故a2＋b2的最小值是2.6．(·福建卷)要制作一个容积为4 m3，高为1 m 的无盖长方体容器．已知该容器的底面造价是每平方米20元，侧面造价是每平方米10元，则该容器的最低总造价是 ( )A ．80元B ．120元C ．160元D ．240元【解析】设底面矩形的长和宽分别为a m ，b m ，则ab ＝4(m2)．容器的总造价为20ab ＋2(a ＋b)×10＝80＋20(a ＋b)≥80＋40ab ＝160(元)(当且仅当a ＝b 时等号成立)．故选C.【答案】C7．(·重庆卷)若log4(3a ＋4b)＝log2ab ，则a ＋b 的最小值是________．【解析】由log4(3a ＋4b)＝log2ab 得3a ＋4b ＝ab ，且a ＞0，b ＞0，∴4a ＋3b ＝1， ∴a ＋b ＝(a ＋b)·⎝⎛⎭⎫4a ＋3b ＝7＋⎝⎛⎭⎫3a b ＋4b a ≥ 7＋23a b ·4b a ＝7＋43，当且仅当3a b ＝4b a 时取等号．【答案】7＋438．（·四川卷）已知F 为抛物线y2＝x 的焦点，点A ，B 在该抛物线上且位于x 轴的两侧，OA →·OB →＝2(其中O 为坐标原点)，则△ABO 与△AFO 面积之和的最小值是()A ．2B ．3 C.1728 D.10 【答案】B【解析】由题意可知，F ⎝⎛⎭⎫14，0.设A(y21，y1)，B(y22，y2)，∴OA →·OB →＝y1y2＋y21y22＝2，解得y1y2＝1或y1y2＝－2.又因为A ，B 两点位于x 轴两侧，所以y1y2＜0，即y1y2＝－2. 当y21≠y 2时，AB 所在直线方程为y －y1＝y1－y2y21－y22(x －y21)＝1y1＋y2(x －y21)，令y ＝0，得x ＝－y1y2＝2，即直线AB 过定点C(2，0)．于是S △ABO ＋S △AFO ＝S △ACO ＋S △BCO ＋S △AFO ＝12×2|y1|＋12×2|y2|＋12×14|y1|＝18(9|y1|＋8|y2|)≥18×29|y1|×8|y2|＝3，当且仅当9|y1|＝8|y2|且y1y2＝－2时，等号成立．当y21＝y22时，取y1＝2，y2＝－2，则AB 所在直线的方程为x ＝2，此时求得S △ABO ＋S △AFO ＝2×12×2×2＋12×14×2＝1728，而1728>3，故选B.9．(高考山东卷)设正实数x ，y ，z 满足x2－3xy ＋4y2－z ＝0，则当zxy 取得最小值时，x ＋2y －z 的最大值为()A ．0 B.98 C ．2 D.94【答案】C10．（·重庆卷）（3－a ）（a ＋6）(－6≤a≤3)的最大值为()A ．9 B.92 C ．3 D.3 22【答案】B 【解析】因为－6≤a≤3，所以（3－a ）（a ＋6）≤（3－a ）＋（a ＋6）2＝92，当且仅当3－a ＝a ＋6，即a ＝－32时等号成立，故选B.【高考押题】1．下列不等式一定成立的是( ) A ．lg(x2＋14)>lgx(x>0) B ．sinx ＋1sinx ≥2(x≠kπ，k ∈Z) C ．x2＋1≥2|x|(x ∈R) D.1x2＋1>1(x ∈R) 答案 C解析当x>0时，x2＋14≥2·x·12＝x ，所以lg(x2＋14)≥lgx(x>0)，故选项A 不正确；运用基本不等式时需保证“一正”“二定“三相等”，而当x≠kπ，k ∈Z 时，sinx 的正负不定，故选项B 不正确；由基本不等式可知，选项C 正确；当x ＝0时，有1x2＋1＝1，故选项D 不正确．2．若a>0，b>0，且ln(a ＋b)＝0，则1a ＋1b 的最小值是( ) A.14B ．1C ．4D ．8 答案 C解析由a>0，b>0，ln(a ＋b)＝0得⎩⎪⎨⎪⎧a ＋b ＝1，a>0，b>0.故1a ＋1b ＝a ＋b ab ＝1ab ≥1a ＋b22＝1122＝4.当且仅当a ＝b ＝12时上式取“＝”．3．已知x>0，y>0，且4xy －x －2y ＝4，则xy 的最小值为( ) A.22B ．22C.2D ．2 答案 D解析 ∵x>0，y>0，x ＋2y≥22xy ， ∴4xy －(x ＋2y)≤4xy －22xy ， ∴4≤4xy －22xy ，即(2xy －2)(2xy ＋1)≥0， ∴2xy ≥2，∴xy≥2.4．小王从甲地到乙地往返的时速分别为a 和b(a<b)，其全程的平均时速为v ，则( ) A ．a<v<abB ．v ＝ab C.ab<v<a ＋b 2D ．v ＝a ＋b2 答案 A5．设正实数x ，y ，z 满足x2－3xy ＋4y2－z ＝0.则当zxy 取得最小值时，x ＋2y －z 的最大值为( ) A ．0B.98C ．2D.94 答案 C解析由题意知：z ＝x2－3xy ＋4y2，则z xy ＝x2－3xy ＋4y2xy ＝x y ＋4y x －3≥1，当且仅当x ＝2y 时取等号，此时z ＝xy ＝2y2. 所以x ＋2y －z ＝2y ＋2y －2y2＝－2y2＋4y ＝－2(y －1)2＋2≤2.6．若对于任意x>0，xx2＋3x ＋1≤a 恒成立，则a 的取值范围是________．答案 a≥15 解析x x2＋3x ＋1＝13＋x ＋1x，因为x>0，所以x ＋1x ≥2(当且仅当x ＝1时取等号)，则13＋x ＋1x≤13＋2＝15，即x x2＋3x ＋1的最大值为15，故a≥15.7．设x ，y ∈R ，且xy≠0，则(x2＋1y2)(1x2＋4y2)的最小值为________．答案 9解析 (x2＋1y2)(1x2＋4y2)＝5＋1x2y2＋4x2y2≥5＋21x2y2·4x2y2＝9，当且仅当x2y2＝12时“＝”成立．8．某公司一年需购买某种货物200吨，平均分成若干次进行购买，每次购买的运费为2万元，一年的总存储费用数值(单位：万元)恰好为每次的购买吨数数值，要使一年的总运费与总存储费用之和最小，则每次购买该种货物的吨数是________．答案 209．(1)当x<32时，求函数y ＝x ＋82x －3的最大值；(2)设0<x<2，求函数y ＝x 4－2x 的最大值．解 (1)y ＝x ＋82x －3＝－(3－2x 2＋83－2x )＋32.当x<32时，有3－2x>0， ∴3－2x 2＋83－2x≥23－2x 2·83－2x＝4，当且仅当3－2x 2＝83－2x，即x ＝－12时取等号．于是y≤－4＋32＝－52. 故函数的最大值为－52. (2)∵0<x<2，∴2－x>0，∴y ＝x 4－2x ＝2·x 2－x ≤2·x ＋2－x2＝2，当且仅当x ＝2－x ，即x ＝1时取等号，∴当x ＝1时，函数y ＝x 4－2x 的最大值为 2.10．某单位决定投资3200元建一仓库(长方体状)，高度恒定，它的后墙利用旧墙不花钱，正面用铁栅，每米长造价40元，两侧墙砌砖，每米长造价45元，顶部每平方米造价20元，求：仓库面积S 的最大允许值是多少？为使S 达到最大，而实际投资又不超过预算，那么正面铁栅应设计为多长？高考模拟复习试卷试题模拟卷高考模拟复习试卷试题模拟卷【高频考点解读】 1.理解等差数列的概念；2.掌握等差数列的通项公式与前n 项和公式；3.能在具体的问题情境中识别数列的等差关系，并能用有关知识解决相应的问题；4.了解等差数列与一次函数、二次函数的关系．【热点题型】题型一等差数列基本量的运算例1、(1)在数列{an}中，若a1＝－2，且对任意的n ∈N*有2an ＋1＝1＋2an ，则数列{an}前10项的和为( )A ．2B ．10C.52D.54(2)(·课标全国Ⅰ)设等差数列{an}的前n 项和为Sn ，Sm －1＝－2，Sm ＝0，Sm ＋1＝3，则m 等于( ) A ．3 B ．4 C ．5 D ．6 答案 (1)C (2)C【提分秘籍】(1)等差数列的通项公式及前n 项和公式，共涉及五个量a1，an ，d ，n ，Sn ，知其中三个就能求另外两个，体现了用方程的思想来解决问题．(2)数列的通项公式和前n 项和公式在解题中起到变量代换作用，而a1和d 是等差数列的两个基本量，用它们表示已知和未知是常用方法．【举一反三】(1)若等差数列{an}的前5项和S5＝25，且a2＝3，则a7等于( ) A ．12B ．13C ．14D ．15(2)记等差数列{an}的前n 项和为Sn ，若a1＝12，S4＝20，则S6等于( ) A ．16B ．24C ．36D ．48(3)已知等差数列{an}的前n 项和为Sn ，且满足S33－S22＝1，则数列{an}的公差是( ) A.12B ．1C ．2D ．3 答案 (1)B (2)D (3)C 解析 (1)由题意得S5＝5a1＋a52＝5a3＝25，故a3＝5，公差d ＝a3－a2＝2，a7＝a2＋5d ＝3＋5×2＝13.(2)∵S4＝2＋6d ＝20，∴d ＝3，故S6＝3＋15d ＝48. (3)∵Sn ＝n a1＋an 2，∴Sn n ＝a1＋an 2，又S33－S22＝1，得a1＋a32－a1＋a22＝1，即a3－a2＝2，∴数列{an}的公差为2.题型二等差数列的性质及应用例2、(1)设等差数列{an}的前n 项和为Sn ，若S3＝9，S6＝36，则a7＋a8＋a9等于( ) A ．63B ．45C ．36D ．27(2)若一个等差数列前3项的和为34，最后3项的和为146，且所有项的和为390，则这个数列的项数为( )A ．13B ．12C ．11D ．10(3)已知Sn 是等差数列{an}的前n 项和，若a1＝－，S －S＝6，则S ＝________. 答案 (1)B (2)A (3)解析 (1)由{an}是等差数列，得S3，S6－S3，S9－S6为等差数列．即2(S6－S3)＝S3＋(S9－S6)，得到S9－S6＝2S6－3S3＝45，故选B.【提分秘籍】在等差数列{an}中，数列Sm，S2m－Sm，S3m－S2m也成等差数列；{Snn}也是等差数列．等差数列的性质是解题的重要工具．【举一反三】(1)设数列{an}是等差数列，若a3＋a4＋a5＝12，则a1＋a2＋…＋a7等于()A．14B．21C．28D．35(2)已知等差数列{an}的前n项和为Sn，且S10＝10，S20＝30，则S30＝________.答案(1)C(2)60解析(1)∵a3＋a4＋a5＝3a4＝12，∴a4＝4，∴a1＋a2＋…＋a7＝7a4＝28.(2)∵S10，S20－S10，S30－S20成等差数列，∴2(S20－S10)＝S10＋S30－S20，∴40＝10＋S30－30，∴S30＝60.题型三等差数列的判定与证明例3、已知数列{an}中，a1＝35，an＝2－1an－1(n≥2，n∈N*)，数列{bn}满足bn＝1an－1(n∈N*)．(1)求证：数列{bn}是等差数列；(2)求数列{an}中的最大项和最小项，并说明理由．(1)证明因为an＝2－1an－1(n≥2，n∈N*)，bn ＝1an －1(n ∈N*)，所以bn ＋1－bn ＝1an ＋1－1－1an －1＝12－1an －1－1an －1＝an an －1－1an －1＝1. 又b1＝1a1－1＝－52.所以数列{bn}是以－52为首项，1为公差的等差数列． (2)解由(1)知bn ＝n －72，则an ＝1＋1bn ＝1＋22n －7.设f(x)＝1＋22x －7，则f(x)在区间(－∞，72)和(72，＋∞)上为减函数．所以当n ＝3时，an 取得最小值－1，当n ＝4时，an 取得最大值3. 【提分秘籍】等差数列的四个判定方法：(1)定义法：证明对任意正整数n 都有an ＋1－an 等于同一个常数．(2)等差中项法：证明对任意正整数n 都有2an ＋1＝an ＋an ＋2后，可递推得出an ＋2－an ＋1＝an ＋1－an ＝an －an －1＝an －1－an －2＝…＝a2－a1，根据定义得出数列{an}为等差数列．(3)通项公式法：得出an ＝pn ＋q 后，得an ＋1－an ＝p 对任意正整数n 恒成立，根据定义判定数列{an}为等差数列．(4)前n 项和公式法：得出Sn ＝An2＋Bn 后，根据Sn ，an 的关系，得出an ，再使用定义法证明数列{an}为等差数列．【举一反三】(1)若{an}是公差为1的等差数列，则{a2n －1＋2a2n}是( ) A ．公差为3的等差数列B ．公差为4的等差数列 C ．公差为6的等差数列D ．公差为9的等差数列(2)在数列{an}中，若a1＝1，a2＝12，2an ＋1＝1an ＋1an ＋2(n ∈N*)，则该数列的通项为( )A ．an ＝1nB ．an ＝2n ＋1C ．an ＝2n ＋2D ．an ＝3n答案 (1)C (2)A【高考风向标】【高考新课标1，文7】已知{}n a 是公差为1的等差数列，n S 为{}n a 的前n 项和，若844S S =，则10a =（）（A ）172（B ）192（C ）10（D ）12 【答案】B【解析】∵公差1d =，844S S =，∴11118874(443)22a a +⨯⨯=+⨯⨯，解得1a =12，∴1011199922a a d =+=+=，故选B. 【高考陕西，文13】中位数为1010的一组数构成等差数列，其末项为，则该数列的首项为________ 【答案】5【解析】若这组数有21n +个，则11010n a +=，212015n a +=，又12112n n a a a +++=，所以15a =；若这组数有2n 个，则1101022020n n a a ++=⨯=，22015n a =，又121n n n a a a a ++=+，所以15a =；故答案为5【高考福建，文16】若,a b 是函数()()20,0f x x px q p q =-+>>的两个不同的零点，且,,2a b -这三个数可适当排序后成等差数列，也可适当排序后成等比数列，则p q +的值等于________．【答案】9【高考浙江，文10】已知{}n a 是等差数列，公差d 不为零．若2a ，3a ，7a 成等比数列，且1221a a +=，则1a =，d =．【答案】2,13- 【解析】由题可得，2111(2)()(6)a d a d a d +=++，故有1320a d +=，又因为1221a a +=，即131a d +=，所以121,3d a =-=. 1．（·安徽卷）数列{an}是等差数列，若a1＋1，a3＋3，a5＋5构成公比为q 的等比数列，则q ＝________.【答案】1【解析】因为数列{an}是等差数列，所以a1＋1，a3＋3，a5＋5也成等差数列．又 a1＋1，a3＋3，a5＋5构为公比为q 的等比数列，所以a1＋1，a3＋3，a5＋5为常数列，故q ＝1.2．（·北京卷）若等差数列{an}满足a7＋a8＋a9>0，a7＋a10<0，则当n ＝________时，{an}的前n 项和最大．【答案】8【解析】∵a7＋a8＋a9＝3a8>0，a7＋a10＝a8＋a9<0，∴a8>0，a9<0，∴n ＝8时，数列{an}的前n 项和最大．3．（·福建卷）等差数列{an}的前n 项和为Sn ，若a1＝2，S3＝12，则a6等于( ) A ．8 B ．10 C ．12 D ．14 【答案】C【解析】设等差数列{an}的公差为d ，由等差数列的前n 项和公式，得S3＝3×2＋3×22d ＝12，解得d ＝2，则a6＝a1＋(6－1)d ＝2＋5×2＝12.4．（·湖北卷）已知等差数列{an}满足：a1＝2，且a1，a2，a5成等比数列． (1)求数列{an}的通项公式．(2)记Sn 为数列{an}的前n 项和，是否存在正整数n ，使得Sn>60n ＋800？若存在，求n 的最小值；若不存在，说明理由．【解析】(1)设数列{an}的公差为d ，依题意得，2，2＋d ，2＋4d 成等比数列，故有(2＋d)2＝2(2＋4d)，化简得d2－4d ＝0，解得d ＝0或d ＝4. 当d ＝0时，an ＝2；当d ＝4时，an ＝2＋(n －1)·4＝4n －2.从而得数列{an}的通项公式为an ＝2或an ＝4n －2.5．（·湖南卷）已知数列{an}满足a1＝1，|an ＋1－an|＝pn ，n ∈N*. (1)若{an}是递增数列，且a1，2a2，3a3成等差数列，求p 的值；(2)若p ＝12，且{a2n －1}是递增数列，{a2n}是递减数列，求数列{an}的通项公式．【解析】(1)因为{an}是递增数列，所以an ＋1－an ＝|an ＋1－an|＝pn.而a1＝1，因此a2＝p ＋1，a3＝p2＋p ＋1.又a1，2a2，3a3成等差数列，所以4a2＝a1＋3a3，因而3p2－p ＝0，解得p ＝13或p ＝0.当p ＝0时，an ＋1＝an ，这与{an}是递增数列矛盾，故p ＝13.(2)由于{a2n －1}是递增数列，因而a2n ＋1－a2n －1>0，于是(a2n ＋1－a2n)＋(a2n －a2n －1)>0.① 因为122n <122n －1，所以|a2n ＋1－a2n|<|a2n －a2n －1|.②由①②知，a2n －a2n －1>0，因此a2n －a2n －1＝⎝⎛⎭⎫122n －1＝（－1）2n22n －1.③因为{a2n}是递减数列，同理可得，a2n ＋1－a2n<0，故a2n ＋1－a2n ＝－⎝⎛⎭⎫122n＝（－1）2n ＋122n.④ 由③④可知，an ＋1－an ＝（－1）n ＋12n. 于是an ＝a1＋(a2－a1)＋(a3－a2)＋…＋(an －an －1)＝1＋12－122＋…＋（－1）n 2n －1＝1＋12·1－⎝⎛⎭⎫－12n －11＋12＝43＋13·（－1）n2n －1.故数列{an}的通项公式为an ＝43＋13·（－1）n2n －1.6．（·辽宁卷）设等差数列{an}的公差为d.若数列{2a1an}为递减数列，则( ) A ．d<0 B ．d>0 C ．a1d<0 D ．a1d>0 【答案】C【解析】令bn ＝2a1an ，因为数列{2a1an}为递减数列，所以bn ＋1bn ＝2a1an ＋12a1an ＝2a1(an ＋1－an)＝2a1d<1，所得a1d<0.7．（·全国卷）等差数列{an}的前n 项和为Sn.已知a1＝10，a2为整数，且Sn≤S4. (1)求{an}的通项公式；(2)设bn ＝1anan ＋1，求数列{bn}的前n 项和Tn.8．（·新课标全国卷Ⅰ] 已知数列{an}的前n 项和为Sn ，a1＝1，an≠0，anan ＋1＝λSn －1，其中λ为常数．(1)证明：an ＋2－an ＝λ.(2)是否存在λ，使得{an}为等差数列？并说明理由．9．（·山东卷）已知等差数列{an}的公差为2，前n 项和为Sn ，且S1，S2，S4成等比数列． (1)求数列{an}的通项公式；(2)令bn ＝(－1)n －14n anan ＋1，求数列{bn}的前n 项和Tn.【解析】 (1)因为S1＝a1，S2＝2a1＋2×12×2＝2a1＋2， S4＝4a1＋4×32×2＝4a1＋12，由题意得(2a1＋2)2＝a1(4a1＋12)，解得a1＝1，所以an ＝2n －1. (2)由题意可知， bn ＝(－1)n －14nanan ＋1＝(－1)n －14n（2n －1）（2n ＋1）＝(－1)n －1⎝⎛⎭⎫12n －1＋12n ＋1.当n 为偶数时，Tn ＝⎝⎛⎭⎫1＋13－⎝⎛⎭⎫13＋15＋…＋⎝⎛12n －3＋⎭⎫12n －1－⎝⎛⎭⎫12n －1＋12n ＋1＝1－12n ＋1＝2n2n ＋1. 当n 为奇数时，Tn ＝⎝⎛⎭⎫1＋13－⎝⎛⎭⎫13＋15＋…－⎝⎛⎭⎫12n －3＋12n －1＋⎝⎛⎭⎫12n －1＋12n ＋1 ＝1＋12n ＋1＝2n ＋22n ＋1. 所以Tn ＝⎩⎪⎨⎪⎧2n ＋22n ＋1，n 为奇数，2n2n ＋1，n 为偶数.⎝ ⎛⎭⎪⎫或Tn ＝2n ＋1＋（－1）n －12n ＋1 10．（·陕西卷）△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c. (1)若a ，b ，c 成等差数列，证明：sin A ＋sin C ＝2sin(A ＋C)； (2)若a ，b ，c 成等比数列，求cos B 的最小值．11．（·天津卷）设{an}是首项为a1，公差为－1的等差数列，Sn 为其前n 项和．若S1，S2，S4成等比数列，则a1的值为________．【答案】－12【解析】∵S2＝2a1－1，S4＝4a1＋4×32×(－1)＝4a1－6，S1，S2，S4成等比数列， ∴(2a1－1)2＝a1(4a1－6)，解得a1＝－12.12．（·重庆卷）设a1＝1，an ＋1＝a2n －2an ＋2＋b(n ∈N*)． (1)若b ＝1，求a2，a3及数列{an}的通项公式．(2)若b ＝－1，问：是否存在实数c 使得a2n<c<a2n ＋1对所有n ∈N*成立？证明你的结论．【解析】(1)方法一：a2＝2，a3＝2＋1. 再由题设条件知(an ＋1－1)2＝(an －1)2＋1.从而{(an －1)2}是首项为0，公差为1的等差数列，故(an －1)2＝n －1，即an ＝n －1＋1(n ∈N*)．方法二：a2＝2，a3＝2＋1.可写为a1＝1－1＋1，a2＝2－1＋1，a3＝3－1＋1.因此猜想an ＝n －1＋1. 下面用数学归纳法证明上式．当n ＝1时，结论显然成立．假设n ＝k 时结论成立，即ak ＝k －1＋1，则ak ＋1＝（ak －1）2＋1＋1＝（k －1）＋1＋1＝（k ＋1）－1＋1，这就是说，当n ＝k ＋1时结论成立．所以an ＝n －1＋1(n ∈N*)．(2)方法一：设f(x)＝（x －1）2＋1－1，则an ＋1＝f(an)．令c ＝f(c)，即c ＝（c －1）2＋1－1，解得c ＝14. 下面用数学归纳法证明命题 a2n<c<a2n ＋1<1.当n ＝1时，a2＝f(1)＝0，a3＝f(0)＝2－1，所以a2<14<a3<1，结论成立．假设n ＝k 时结论成立，即a2k<c<a2k ＋1<1. 易知f(x)在(－∞，1]上为减函数，从而 c ＝f(c)>f(a2k ＋1)>f(1)＝a2，即 1>c>a2k ＋2>a2.再由f(x)在(－∞，1]上为减函数，得c ＝f(c)<f(a2k ＋2)<f(a2)＝a3<1，故c<a2k ＋3<1，因此a2(k ＋1)<c<a2(k ＋1)＋1<1，这就是说，当n ＝k ＋1时结论成立．综上，存在 c ＝14使a2n<C<a2a ＋1对所有n ∈N*成立．方法二：设f(x)＝（x －1）2＋1－1，则an ＋1＝f(an)．先证：0≤an≤1(n ∈N*)． ① 当n ＝1时，结论明显成立．假设n ＝k 时结论成立，即0≤ak≤1. 易知f(x)在(－∞，1]上为减函数，从而 0＝f(1)≤f(ak)≤f(0)＝2－1<1.即0≤ak ＋1≤1.这就是说，当n ＝k ＋1时结论成立．故①成立．再证：a2n<a2n ＋1(n ∈N*)． ②当n ＝1时，a2＝f(1)＝0，a3＝f(a2)＝f(0)＝2－1，所以a2<a3，即n ＝1时②成立．假设n ＝k 时，结论成立，即a2k<a2k ＋1. 由①及f(x)在(－∞，1]上为减函数，得 a2k ＋1＝f(a2k)>f(a2k ＋1)＝a2k ＋2， a2(k ＋1)＝f(a2k ＋1)<f(a2k ＋2)＝a2(k ＋1)＋1.这就是说，当n ＝k ＋1时②成立．所以②对一切n ∈N*成立．由②得a2n<a22n －2a2n ＋2－1，即(a2n ＋1)2<a22n －2a2n ＋2，因此a2n<14.③又由①②及f(x)在(－∞，1]上为减函数，得f(a2n)>f(a2n ＋1)，即a2n ＋1>a2n ＋2. 所以a2n ＋1>a22n ＋1－2a2n ＋1＋2－1，解得a2n ＋1>14.④ 综上，由②③④知存在c ＝14使a2n<c<a2n ＋1对一切n ∈N*成立．13．（·新课标全国卷Ⅰ] 某几何体的三视图如图1－3所示，则该几何体的体积为( )图1－3A．16＋8π B．8＋8πC．16＋16π D．8＋16π【答案】A【解析】由三视图可知该组合体下半部分是一个半圆柱，上半部分是一个长方体，故体积为V＝2×2×4＋12×π×22×4＝16＋8π.14．（·新课标全国卷Ⅰ] 设等差数列{an}的前n项和为Sn，若Sm－1＝－2，Sm＝0，Sm＋1＝3，则m＝()A．3 B．4 C．5 D．6【答案】C15．（·广东卷）在等差数列{an}中，已知a3＋a8＝10，则3a5＋a7＝________．【答案】20【解析】方法一：a3＋a8＝2a1＋9d＝10，而3a5＋a7＝3(a1＋4d)＋a1＋6d＝2(2a1＋9d)＝20.方法二：3a5＋a7＝2a5＋(a5＋a7)＝2a5＋2a6＝2(a5＋a6)＝2(a3＋a8)＝20.16．（·北京卷）已知{an}是由非负整数组成的无穷数列，该数列前n项的最大值记为An，第n项之后各项an＋1，an＋2，…的最小值记为Bn，dn＝An－Bn.(1)若{an}为2，1，4，3，2，1，4，3，…，是一个周期为4的数列(即对任意n∈N*，an＋4＝an)，写出d1，d2，d3，d4的值；(2)设d是非负整数，证明：dn＝－d(n＝1，2，3，…)的充分必要条件为{an}是公差为d的等差数列；(3)证明：若a1＝2，dn＝1(n＝1，2，3，…)，则{an}的项只能是1或者2，且有无穷多项为1.【解析】(1)d1＝d2＝1，d3＝d4＝3.(2)(充分性)因为{an}是公差为d的等差数列，且d≥0，所以a1≤a2≤…≤an≤….因此An＝an，Bn＝an＋1，dn＝an－an＋1＝－d(n＝1，2，3，…)．(必要性)因为dn＝－d≤0(n＝1，2，3，…)．所以An＝Bn＋dn≤Bn.又因为an≤An，an＋1≥Bn，所以an≤an＋1.于是，An＝an，Bn＝an＋1.因此an＋1－an＝Bn－An＝－dn＝d，即{an}是公差为d的等差数列．17．（·全国卷）等差数列{an}前n项和为Sn.已知S3＝a22，且S1，S2，S4成等比数列，求{an}的通项公式．【解析】设{an}的公差为d.由S3＝a22，得3a2＝a22，故a2＝0或a2＝3. 由S1，S2，S4成等比数列得S22＝S1S4. 又S1＝a2－d ，S2＝2a2－d ，S4＝4a2＋2d ，故(2a2－d)2＝(a2－d)(4a2＋2d)．若a2＝0，则d2＝－2d2，所以d ＝0，此时Sn ＝0，不合题意；若a2＝3，则(6－d)2＝(3－d)(12＋2d)，解得d ＝0或d ＝2.因此{an}的通项公式为an ＝3或an ＝2n －1.18．（·山东卷）设等差数列{an}的前n 项和为Sn ，且S4＝4S2，a2n ＝2an ＋1. (1)求数列{an}的通项公式；(2)设数列{bn}的前n 项和为Tn ，且Tn ＋an ＋12n ＝λ(λ为常数)，令cn ＝b2n(n ∈N*)，求数列{cn}的前n 项和Rn.【解析】(1)设等差数列{an}的首项为a1，公差为d. 由S4＝4S2，a2n ＝2an ＋1得⎩⎪⎨⎪⎧4a1＋6d ＝8a1＋4d ，a1＋（2n －1）d ＝2a1＋2（n －1）d ＋1，解得a1＝1，d ＝2，因此an ＝2n －1，n ∈N*.(2)由题意知Tn ＝λ－n 2n －1，所以n≥2时，bn ＝Tn －Tn －1＝－n 2n －1＋n －12n －2＝n －22n －1.故cn ＝b2n ＝2n －222n －1＝(n －1)⎝⎛⎭⎫14n －1，n ∈N*.所以Rn ＝0×⎝⎛⎭⎫140＋1×⎝⎛⎭⎫141＋2×⎝⎛⎭⎫142＋3×⎝⎛⎭⎫143＋…＋(n －1)×⎝⎛⎭⎫14n －1，则14Rn ＝0×⎝⎛⎭⎫141＋1×⎝⎛⎭⎫142＋2×⎝⎛⎭⎫143＋…＋(n －2)×⎝⎛⎭⎫14n －1＋(n －1)×⎝⎛⎭⎫14n ，两式相减得34Rn ＝⎝⎛⎭⎫141＋⎝⎛⎭⎫142＋⎝⎛⎭⎫143＋…＋⎝⎛⎭⎫14n －1－(n －1)×⎝⎛⎭⎫14n ＝14－⎝⎛⎭⎫14n1－14－(n －1)×⎝⎛⎭⎫14n＝13－1＋3n 3⎝⎛⎭⎫14n，整理得Rn ＝194－3n ＋14n －1. 所以数列{cn}的前n 项和Rn ＝194－3n ＋14n －1. 19．（·四川卷）在等差数列{an}中，a1＋a3＝8，且a4为a2和a9的等比中项，求数列{an}的首项、公差及前n 项和．【解析】设该数列公差为d ，前n 项和为Sn ，由已知可得2a1＋2d ＝8，(a1＋3d)2＝(a1＋d)(a1＋8d)，所以a1＋d ＝4，d(d －3a1)＝0.解得a1＝4，d ＝0或a1＝1，d ＝3.即数列{an}的首项为4，公差为0，或首项为1，公差为3.所以，数列的前n 项和Sn ＝4n 或Sn ＝3n2－n 2.20．（·新课标全国卷Ⅱ] 等差数列{an}的前n 项和为Sn ，已知S10＝0，S15＝25，则nSn 的最小值为________．【答案】－49【解析】由已知，a1＋a10＝0，a1＋a15＝103d ＝23，a1＝－3，∴nSn ＝n3－10n23，易得n ＝6或n ＝7时，nSn 出现最小值．当n ＝6时，nSn ＝－48；n ＝7时，nSn ＝－49.故nSn 的最小值为－49.21．（·重庆卷）已知{an}是等差数列，a1＝1，公差d≠0，Sn 为其前n 项和，若a1，a2，a5成等比数列，则S8＝________．【答案】64【解析】设数列{an}的公差为d ，由a1，a2，a5成等比数列，得(1＋d)2＝1·(1＋4d)，解得d ＝2或d ＝0(舍去)，所以S8＝8×1＋8（8－1）2×2＝64. 【高考押题】1．已知数列{an}是等差数列，a1＋a7＝－8，a2＝2，则数列{an}的公差d 等于( )A ．－1B ．－2C ．－3D ．－4答案 C解析方法一由题意可得⎩⎪⎨⎪⎧a1＋a1＋6d ＝－8，a1＋d ＝2，解得a1＝5，d ＝－3.方法二 a1＋a7＝2a4＝－8，∴a4＝－4，∴a4－a2＝－4－2＝2d ，∴d ＝－3.2．已知等差数列{an}满足a1＋a2＋a3＋…＋a101＝0，则有( )A ．a1＋a101>0B ．a2＋a100<0C ．a3＋a99＝0D ．a51＝51答案 C解析由题意，得a1＋a2＋a3＋…＋a101 ＝a1＋a1012×101＝0. 所以a1＋a101＝a2＋a100＝a3＋a99＝0.3．设数列{an}，{bn}都是等差数列，且a1＝25，b1＝75，a2＋b2＝100，则a37＋b37等于( )A ．0B ．37C ．100D ．－37答案 C4．等差数列{an}中，已知a5>0，a4＋a7<0，则{an}的前n 项和Sn 的最大值为( )A ．S4B ．S5C ．S6D ．S7答案 B解析 ∵⎩⎪⎨⎪⎧ a4＋a7＝a5＋a6<0，a5>0，∴⎩⎪⎨⎪⎧a5>0，a6<0， ∴Sn 的最大值为S5.5．在等差数列{an}中，a1>0，a10·a11<0，若此数列的前10项和S10＝36，前18项和S18＝12，则数列{|an|}的前18项和T18的值是( )A ．24B ．48C ．60D ．84答案C解析由a1>0，a10·a11<0可知d<0，a10>0，a11<0，∴T18＝a1＋…＋a10－a11－…－a18＝S10－(S18－S10)＝60.6．已知递增的等差数列{an}满足a1＝1，a3＝a22－4，则an＝________.答案2n－1解析设等差数列的公差为d，∵a3＝a22－4，∴1＋2d＝(1＋d)2－4，解得d2＝4，即d＝±2.由于该数列为递增数列，故d＝2.∴an＝1＋(n－1)×2＝2n－1.7．等差数列{an}的前n项和为Sn，已知a5＋a7＝4，a6＋a8＝－2，则当Sn取最大值时，n的值是________．答案6解析依题意得2a6＝4,2a7＝－2，a6＝2>0，a7＝－1<0；又数列{an}是等差数列，因此在该数列中，前6项均为正数，自第7项起以后各项均为负数，于是当Sn取最大值时，n＝6.8．已知数列{an}中，a1＝1且1an＋1＝1an＋13(n∈N*)，则a10＝________.答案1 4解析由已知1a10＝1a1＋(10－1)×13＝1＋3＝4，∴a10＝14.9．在等差数列{an}中，a1＝1，a3＝－3.(1)求数列{an}的通项公式；(2)若数列{an}的前k项和Sk＝－35，求k的值．10．设等差数列{an}的前n 项和为Sn ，若a1<0，S ＝0.(1)求Sn 的最小值及此时n 的值；(2)求n 的取值集合，使其满足an≥Sn.解 (1)设公差为d ，则由S ＝0⇒a1＋×2d ＝0⇒a1＋1007d ＝0，d ＝－11007a1，a1＋an ＝－n 1007a1，∴Sn ＝n 2(a1＋an)＝n 2·－n 1007a1＝a1(n －n2)．∵a1<0，n ∈N*，∴当n ＝1 007或1 008时，Sn 取最小值504a1.(2)an ＝1 008－n 1 007a1，Sn≤an ⇔a12 014(2 015n －n2)≤1 008－n 1 007a1.∵a1<0，∴n2－2 017n ＋2 016≤0，即(n －1)(n －2 016)≤0，解得1≤n≤.故所求n 的取值集合为{n|1≤n≤，n ∈N*}．高考模拟复习试卷试题模拟卷。

高考数学模拟复习试卷试题模拟卷第八章直线与圆00636

高考模拟复习试卷试题模拟卷第八章直线与圆一．基础题组1.（重庆市巴蜀中学高三月考数学、文、1）若直线210ax y ++=与直线20x y +-=互相垂直，那么a 的值等于( )A ．1B ．13-C ．23-D ．2- 2.（文昌中学高三模拟考试、文、15）圆心在直线x －2y ＝0上的圆C 与y 轴的正半轴相切，圆C 截x 轴所得弦的长为23，则圆C 的标准方程为________________．3.（重庆市巴蜀中学高三月考数学、文、15）在平面直角坐标系xOy 中，以点)0,1(为圆心且与直线)(012R m m y mx ∈=---相切的所有圆中，半径最大的圆的标准方程为.4.（重庆市部分区县高三上学期入学考试、文、16）若实数c b a ,,成等差数列，点)0,1(-P 在动直线0:==+c by ax l 上的射影为M ，点)3,0(N ，则线段MN 长度的最小值是．二．能力题组1.(五校协作体高三上学期期初考试数学、文、9)曲线21y x =+在点（1，2）处的切线为l ，则直线l 上的任意点P 与圆22430x y x +++=上的任意点Q 之间的最近距离是（）A.4515- B.2515- C.51- D.2 2.(示范高中高三第一次联考、文、14）已知圆的方程为()2214x y +-=。

若过点11,2P ⎛⎫⎪⎝⎭的直线l 与此圆交于,A B 两点，圆心为C ，则当ACB ∠最小时，直线l 的方程为。

3.（武汉市部分学校新高三调研、文、15）圆O 的半径为1,P 为圆周上一点，现将如图放置的边长为1的正方形（实线所示，正方形的顶点A 与点P 重合）沿圆周逆时针滚动，点A 第一次回到点P 的位置，则点A 走过的路径的长度为_________.三．拔高题组1.(东北师大附中、吉林市第一中学校等高三五校联考、文、7）过点),(a a A 可作圆0322222=-++-+a a ax y x 的两条切线，则实数a 的取值范围为（）A ．3-<a 或1>aB ．23<a C ．13<<-a 或23>a D ．3-<a 或231<<a2.（大庆铁人中学高三第一阶段考试、文、7）一条光线从点(2,3)--射出，经y 轴反射后与圆22(3)(2)1x y ++-=相切，则反射光线所在直线的斜率为（）A ．53-或35-B ．32-或23-C ．54-或45-D ．43-或34- 3.(齐齐哈尔市实验中学高三期末考试、文、9）若),(y x P 是直线)0(04>=++k y kx 上一动点，PB PA ,是圆02:22=-+y y x C 的两条切线，B A ,是切点，若四边形PACB 面积的最小值是2，则=k （）A. 3B.221C. 22D. 2 4.（云南师范大学附属中学月考、文、12）设直线l 与抛物线x2=4y 相交于A, B 两点，与圆C ：222(5)x y r +-= (r>0)相切于点M,且M 为线段AB 的中点，若这样的直线l 恰有4条，则r 的取值范围是（）A.（1，3)B. (1,4)C. (2, 3)D. (2, 4)5.（玉溪市第一中学高三月考、文、16）设m R ∈，过定点A 的动直线0x my +=和过定点B 的动直线30mx y m --+=交于点(,)P x y ，则||||PA PB ⋅的最大值是高考模拟复习试卷试题模拟卷【高频考点解读】1.掌握正弦定理、余弦定理，并能解决一些简单的三角形度量问题；2.能够运用正弦定理、余弦定理等知识解决一些与测量和几何计算有关的实际问题．【热点题型】题型一正、余弦定理的简单运用【例1】在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c. (1)若a ＝23，b ＝6，A ＝45°，则c ＝________． (2)若(a ＋b ＋c)(a －b ＋c)＝ac ，则B ＝________．【提分秘籍】(1)在解有关三角形的题目时，要有意识地考虑用哪个定理更适合，或是两个定理都要用，要抓住能够利用某个定理的信息，一般地，如果式子中含有角的余弦或边的二次式，要考虑用余弦定理；如果遇到的式子中含有角的正弦或边的一次式时，则考虑用正弦定理；以上特征都不明显时，则要考虑两个定理都有可能用到．(2)解题中注意三角形内角和定理的应用及角的范围限制．【举一反三】(1)在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且2c2＝2a2＋2b2＋ab ，则△ABC 是( ) A ．钝角三角形 B ．直角三角形 C ．锐角三角形 D ．等边三角形(2)在△ABC 中，A ＝60°，b ＝1，S △ABC ＝3，则a ＋b ＋csin A ＋sin B ＋sin C ＝________．题型二正、余弦定理的综合运用【例2】在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c.已知a ＝3，cos A ＝63，B ＝A ＋π2. (1)求b 的值； (2)求△ABC 的面积．【提分秘籍】有关三角形面积问题的求解方法：(1)灵活运用正、余弦定理实现边角转化；(2)合理运用三角函数公式，如同角三角函数的基本关系、两角和与差的正弦、余弦公式、二倍角公式等．【举一反三】在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且a ＋b ＋c ＝8. (1)若a ＝2，b ＝52，求cos C 的值；(2)若sin Acos2B 2＋sin Bcos2A 2＝2sin C ，且△ABC 的面积S ＝92sin C ，求a 和b 的值．题型三正、余弦定理在实际问题中的应用【例3】如图，在海岸A 处，发现北偏东45°方向距A 为(3－1)海里的B 处有一艘走私船，在A 处北偏西75°方向，距A 为2海里的C 处的缉私船奉命以103海里/时的速度追截走私船．此时走私船正以10海里/时的速度从B 处向北偏东30°方向逃窜，问缉私船沿什么方向能最快追上走私船？并求出所需要的时间(注：6≈2.449)．【提分秘籍】解三角形应用题的两种情形：(1)实际问题经抽象概括后，已知量与未知量全部集中在一个三角形中，可用正弦定理或余弦定理求解；(2)实际问题经抽象概括后，已知量与未知量涉及到两个或两个以上的三角形，这时需作出这些三角形，先解够条件的三角形，然后逐步求解其他三角形，有时需设出未知量，从几个三角形中列出方程(组)，解方程(组)得出所要求的解．【举一反三】如图，为测量山高MN ，选择A 和另一座山的山顶C 为测量观测点，从A 点测得M 点的仰角∠MAN ＝60°，C 点的仰角∠CAB ＝45°以及∠MAC ＝75°；从C 点测得∠MCA ＝60°.已知山高BC ＝100 m ，则山高MN ＝________m.【高考风向标】【高考湖北，文15】如图，一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶，到A 处时测得公路北侧一山顶D 在西偏北30的方向上，行驶600m 后到达B 处，测得此山顶在西偏北75的方向上，仰角为30，则此山的高度CD _________m.1006.【高考湖南，文17】（本小题满分12分）设ABC ∆的内角,,A B C 的对边分别为,,,tan a b c a b A =.（I ）证明：sin cos B A =； (II) 若3sin sin cos 4C A B -=，且B 为钝角，求,,A B C . 【高考陕西，文17】ABC ∆的内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，向量(,3)m a b =与(cos ,sin )n A B =平行.(I)求A ； (II)若7,2a b ==求ABC ∆的面积.【高考浙江，文16】（本题满分14分）在ABC ∆中，内角A ，B ，C 所对的边分别为,,a b c .已知tan(A)24π+=.（1）求2sin 2sin 2cos AA A的值；（2）若B ,34a π==，求ABC ∆的面积.【高考押题】1．在△ABC 中，若a ＝4，b ＝3，cos A ＝13，则B ＝( ) A.π4B.π3C.π6D.2π32．在△ABC 中，A ＝60°，AB ＝2，且△ABC 的面积为32，则BC 的长为 ( ) A.32B. 3C ．2 3D ．23．△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知b ＝2，B ＝π6，C ＝π4，则△ABC 的面积为 ( ) A ．23＋2B.3＋1C ．23－2 D.3－14．在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，则“a ＝2bcos C”是“△ABC 是等腰三角形”的 ( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件5．如图，从气球A 上测得正前方的河流的两岸B ，C 的俯角分别为75°，30°，此时气球的高是60 m ，则河流的宽度BC 等于( )A ．240(3－1)mB ．180(2－1)mC ．120(3－1)mD ．30(3＋1)m6．在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c.若(a2＋c2－b2)tan B ＝3ac ，则角B 的值为________．7．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对应的边分别为a ，b ，c.已知bcos C ＋ccos B ＝2b ，则ab ＝________． 8．设△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且a ＝1，b ＝2，cos C ＝14，则sinB ＝________． 9．如图，在平面四边形ABCD 中，AD ＝1，CD ＝2，AC ＝7.(1)求cos ∠CAD 的值； (2)若cos ∠BAD ＝－714， sin ∠CBA ＝216，求BC 的长．10．设△ABC 的内角A ，B ，C 所对边的长分别是a ，b ，c ，且b ＝3，c ＝1，A ＝2B. (1)求a 的值； (2)求sin⎝⎛⎭⎫A ＋π4的值．高考模拟复习试卷试题模拟卷高考模拟复习试卷试题模拟卷【考情解读】1.以立体几何的有关定义、公理和定理为出发点，认识和理解空间中线面平行、面面平行的有关性质与判定定理，并能够证明相关性质定理；2.能运用线面平行、面面平行的判定及性质定理证明一些空间图形的平行关系的简单命题．【重点知识梳理】1．直线与平面平行的判定与性质判定性质定义定理图形条件a∩α＝∅a⊂α，b⊄α，a∥b a∥αa∥α，a⊂β，α∩β＝b结论a∥αb∥αa∩α＝∅a∥b 2.面面平行的判定与性质判定性质定义定理图形条件α∩β＝∅a⊂β，b⊂β，a∩b＝P，a∥α，b∥αα∥β，α∩γ＝a，β∩γ＝bα∥β，a⊂β结论α∥βα∥βa∥b a∥α【高频考点突破】考点一有关线面、面面平行的命题真假判断【例1】 (1)设m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，下列命题中正确的是() A．若α⊥β，m⊂α，n⊂β，则m⊥nB．若α∥β，m⊂α，n⊂β，，则m∥nC．若m⊥n，m⊂α，n⊂β，则α⊥βD．若m⊥α，m∥n，n∥β，则α⊥β(2)设m，n表示不同直线，α，β表示不同平面，则下列结论中正确的是()A．若m∥α，m∥n，则n∥αB．若m⊂α，n⊂β，m∥β，n∥α，则α∥βC．若α∥β，m∥α，m∥n，则n∥βD．若α∥β，m∥α，n∥m，n⊄β，则n∥β【变式探究】 (1)若直线a⊥b，且直线a∥平面α，则直线b与平面α的位置关系是() A．b⊂α B．b∥αC．b⊂α或b∥αD．b与α相交或b⊂α或b∥α(2)给出下列关于互不相同的直线l，m，n和平面α，β，γ的三个命题：①若l与m为异面直线，l⊂α，m⊂β，则α∥β；②若α∥β，l⊂α，m⊂β，则l∥m；③若α∩β＝l，β∩γ＝m，γ∩α＝n，l∥γ，则m∥n.其中真命题的个数为()A．3 B．2 C．1 D．0考点二直线与平面平行的判定与性质【例2】如图，几何体E－ABCD是四棱锥，△ABD为正三角形，CB＝CD，EC⊥BD.(1)求证：BE＝DE；(2)若∠BCD＝120°，M为线段AE的中点，求证：DM∥平面BEC.证明(1)如图，取BD的中点O，连接CO，EO.法二如图，延长AD，BC交于点F，连接EF.因为CB＝CD，∠BCD＝120°，所以∠CBD＝30°.【变式探究】如图，直三棱柱ABC－A′B′C′，∠BAC＝90°，AB＝AC＝2，AA′＝1，点M，N分别为A′B和B′C′的中点．(1)证明：MN∥平面A′ACC′；(2)求三棱锥A′－MNC的体积．考点三平面与平面平行的判定与性质【例3】如图，四棱柱ABCD－A1B1C1D1的底面ABCD是正方形，O是底面中心，A1O⊥底面ABCD，AB＝AA1＝ 2.(1)证明：平面A1BD∥平面CD1B1；(2)求三棱柱ABD－A1B1D1的体积．【变式探究】如图，在三棱柱ABC－A1B1C1中，E，F，G，H分别是AB，AC，A1B1，A1C1的中点，求证：(1)B，C，H，G四点共面；(2)平面EFA1∥平面BCHG.考点四平行关系中的探索性问题【例4】 (·四川卷)在如图所示的多面体中，四边形ABB1A1和ACC1A1都为矩形．(1)若AC⊥BC，证明：直线BC⊥平面ACC1A1；(2)设D，E分别是线段BC，CC1的中点，在线段AB上是否存在一点M，使直线DE∥平面A1MC？请证明你的结论．存在．而对于探求点的问题，一般是先探求点的位置，多为线段的中点或某个三等分点，然后给出符合要求的证明．【变式探究】如图，在四棱锥P －ABCD 中，PD ⊥平面ABCD ，底面ABCD 为矩形，PD ＝DC ＝4，AD ＝2，E 为PC 的中点．(1)求三棱锥A －PDE 的体积；(2)AC 边上是否存在一点M ，使得PA ∥平面EDM ？若存在，求出AM 的长；若不存在，请说明理由．【真题感悟】1.【高考浙江，文4】设α，β是两个不同的平面，l ，m 是两条不同的直线，且l α⊂，m β⊂（）A ．若l β⊥，则αβ⊥B ．若αβ⊥，则l m ⊥C ．若//l β，则//αβD ．若//αβ，则//l m【答案】A2.【高考浙江，文18】（本题满分15分）如图，在三棱锥111ABC A B C 中，11ABC 90AB AC 2,AA 4,A ∠====，在底面ABC 的射影为BC 的中点，D 为11B C 的中点.（1）证明：11D A BC A ⊥平面；（2）求直线1A B 和平面11B C B C 所成的角的正弦值.1．（·安徽卷）如图1-5，四棱柱ABCD -A1B1C1D1中，A1A⊥底面ABCD，四边形ABCD为梯形，AD∥BC，且AD＝2BC.过A1，C，D三点的平面记为α，BB1与α的交点为Q.图1-5(1)证明：Q为BB1的中点；(2)求此四棱柱被平面α所分成上下两部分的体积之比；(3)若AA1＝4，CD ＝2，梯形ABCD 的面积为6，求平面α与底面ABCD 所成二面角的大小．V 三棱锥Q -A1AD ＝13×12·2a·h·d ＝13ahd ，V 四棱锥Q -ABCD ＝13·a ＋2a 2·d·⎝⎛⎭⎫12h ＝14ahd ，所以V 下＝V 三棱锥Q -A1AD ＋V 四棱锥Q -ABCD ＝712ahd.又V 四棱柱A1B1C1D1 -ABCD ＝32ahd ，所以V 上＝V 四棱柱A1B1C1D1 -ABCD －V 下＝32ahd －712ahd ＝1112ahd ，故V 上V 下＝117. (3)方法一：如图1所示，在△ADC 中，作AE ⊥DC ，垂足为E ，连接A1E.又DE ⊥AA1，且AA1∩AE ＝A ，所以DE ⊥平面AEA1，所以DE ⊥A1E.所以∠AEA1为平面α与底面ABCD 所成二面角的平面角．因为BC ∥AD ，AD ＝2BC ，所以S △ADC ＝2S △BCA.由⎩⎪⎨⎪⎧DA1→·n ＝4sin θ x ＋4＝0，DC →·n ＝2xcos θ＋2ysin θ＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－sin θ，y ＝cos θ，所以n ＝(－sin θ，cos θ，1)．又因为平面ABCD 的法向量m ＝(0，0，1)，所以cos 〈n ，m 〉＝n·m |n||m|＝22，故平面α与底面ABCD 所成二面角的大小为π4.2．（·北京卷）如图1-3，正方形AMDE的边长为2，B，C分别为AM，MD的中点．在五棱锥P -ABCDE中，F为棱PE的中点，平面ABF与棱PD，PC分别交于点G，H.(1)求证：AB∥FG；(2)若PA⊥底面ABCDE，且PA＝AE，求直线BC与平面ABF所成角的大小，并求线段PH的长．3．（·湖北卷）如图1-4，在棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F，M，N分别是棱AB，AD，A1B1，A1D1的中点，点P，Q分别在棱DD1，BB1上移动，且DP＝BQ＝λ(0<λ<2)．(1)当λ＝1时，证明：直线BC1∥平面EFPQ.(2)是否存在λ，使面EFPQ与面PQMN所成的二面角为直二面角？若存在，求出λ的值；若不存在，说明理由．图1-4图①图②4．（·新课标全国卷Ⅱ）如图1-3，四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为矩形，PA⊥平面ABCD，E为PD 的中点．(1)证明：PB∥平面AEC；(2)设二面角D-AE-C为60°，AP＝1，AD＝3，求三棱锥E-ACD的体积．图1-3由题设易知|cos 〈n1，n2〉|＝12，即33＋4m2＝12，解得m ＝32.因为E 为PD 的中点，所以三棱锥E-ACD 的高为12.三棱锥E-ACD 的体积V ＝13×12×3×32×12＝38. 5．（·山东卷）如图1-3所示，在四棱柱ABCD -A1B1C1D1中，底面ABCD 是等腰梯形，∠DAB ＝60°，AB＝2CD＝2，M是线段AB的中点．图1-3(1)求证：C1M∥平面A1ADD1；(2)若CD1垂直于平面ABCD且CD1＝3，求平面C1D1M和平面ABCD所成的角(锐角)的余弦值．方法二：由(1)知，平面D1C1M∩平面ABCD＝AB，点过C向AB引垂线交AB于点N，连接D1N.【押题专练】1．若直线ɑ平行于平面α，则下列结论错误的是()A．ɑ平行于α内的所有直线B．α内有无数条直线与ɑ平行C．直线ɑ上的点到平面α的距离相等D．α内存在无数条直线与ɑ成90°角2．平面α∥平面β，点A，C∈α，B，D∈β，则直线AC∥直线BD的充要条件是 () A．AB∥CD B．AD∥CBC．AB与CD相交D．A，B，C，D四点共面3．设l为直线，α，β是两个不同的平面．下列命题中正确的是()A．若l∥α，l∥β，则α∥βB．若l⊥α，l⊥β，则α∥βC．若l⊥α，l∥β，则α∥βD．若α⊥β，l∥α，则l⊥β4．已知m，n为两条不同的直线，α，β，γ为三个不同的平面，则下列命题中正确的是 () A．若m∥α，n∥α，则m∥nB．若m⊥α，n⊥α，则m∥nC．若α∥β，m∥n，m∥α，则n∥βD．若α⊥γ，β⊥γ，则α∥β5.在四面体ABCD中，截面PQMN是正方形，则在下列结论中，错误的是 ()A．AC⊥BDB．AC∥截面PQMNC．AC＝BDD．异面直线PM与BD所成的角为45°6．设a，b是两条直线，α，β是两个不同的平面，则α∥β的一个充分条件是 ()A．存在一条直线a，a∥α，a∥βB．存在一条直线a，a⊂α，a∥βC．存在两条平行直线a，b，a⊂α，b⊂β，a∥β，b∥αD．存在两条异面直线a，b，a⊂α，b⊂β，a∥β，b∥α7．下列四个正方体图形中，A，B为正方体的两个顶点，M，N，P分别为其所在棱的中点，能得出AB∥平面MNP的图形的序号是()A．①③ B．②③ C．①④ D．②④8．棱长为2的正方体ABCD－A1B1C1D1中，M是棱AA1的中点，过C，M，D1作正方体的截面，则截面的面积是________．9.如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，AB＝2，点E为AD的中点，点F在CD上．若EF∥平面AB1C，则线段EF的长度等于________．10．设α，β，γ是三个平面，a，b是两条不同直线，有下列三个条件：①a∥γ，b⊂β；②a∥γ，b∥β；③b∥β，a⊂γ.如果命题“α∩β＝a，b⊂γ，且________，则a∥b”为真命题，则可以在横线处填入的条件是________(把所有正确的序号填上)．11．如图，在正四棱柱A1C中，E，F，G，H分别是棱CC1，C1D1，D1D，DC的中点，N是BC的中点，点M在四边形EFGH及其内部运动，则M满足条件________时，有MN∥平面B1BDD1(请填上你认为正确的一个条件)．解析如图，连接FH，HN，FN，12．如图，ABCD与ADEF为平行四边形，M，N，G分别是AB，AD，EF的中点．求证：(1)BE∥平面DMF；(2)平面BDE∥平面MNG.13．一个多面体的直观图及三视图如图所示(其中M，N分别是AF，BC的中点)．(1)求证：MN∥平面CDEF；(2)求多面体A－CDEF的体积．14．如图，已知正方形ABCD的边长为6，点E，F分别在边AB，AD上，AE＝AF＝4，现将△AEF沿线段EF折起到△A′EF位置，使得A′C＝2 6.(1)求五棱锥A′－BCDFE的体积；(2)在线段A′C上是否存在一点M，使得BM∥平面A′EF？若存在，求A′M；若不存在，请说明理由．高考模拟复习试卷试题模拟卷。

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高考数学模拟复习试卷试题模拟卷第八章 直线与圆0061 181

高考数学模拟复习试卷试题模拟卷第八章 直线与圆0012 21

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