高中数学总复习——知识梳理
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高中数学知识点总结
1. 对于集合,一定要抓住集合的代表元素,及元素的“确定性、互异性、无序性”。
{}
{}{}C B A x y y x C x y y B x y x A 、、,,,如:集合lg |),(lg |lg |======中元素各表示什么?
2. 进行集合的交、并、补运算时,不要忘记集合本身和空集的特殊情况。∅注重
借助于数轴和文氏图解集合问题。空集是一切集合的子集,是一切非空集合的真子集。 {}
{}1|032|2===--=ax x B x x x A ,如:集合 的值构成的集合为,则实数若a A B ⊂ ),,(答:⎭⎬⎫⎩
⎨⎧
-3101 3. 注意下列性质:
{};的所有子集的个数是,……,,)集合(n n a a a 2121
;,)若(B B A A B A B A ==⇔⊆ 2 (3)德摩根定律:()()()()()()B A B A B A B A U U U
U
U
U C C C
C C C ==
,
4. 你会用补集思想解决问题吗?(排除法、间接法)
a M M M a
x ax x ,求实数且,若的解集为的不等式如:已知关于∉∈<--5305
2的取值范
围。
())2593510555503533(22,,·∴,∵·∴,∵ ⎪⎭⎫⎢⎣⎡∈⇒⎪⎪⎭
⎪⎪
⎬⎫
≥--∉<--∈a a a M a a M 和,“且”“或”做命题,逻辑连接词有可以判断真假的语句叫)()( 5.∧∨).(⌝“非”
均为真、为真,当且仅当若q p q p ∧
至少有一个为真、为真,当且仅当若q p q p ∨ 为假为真,当且仅当若p p ⌝
6. 对映射的概念了解吗?映射f :A →B ,是否注意到A 中元素的任意性和B 中与之对应元素
的唯一性,哪几种对应能构成映射?(一对一,多对一,允许B 中有元素无原象。) 7. 如何求复合函数的定义域?
[]的定,则函数,,的定义域是如:函数)()()(0)(x f x f x F a b b a x f -+=>->义域
是 。[]),(答:a a -
8. 求一个函数的解析式或一个函数的反函数时,注明函数的定义域了吗?
(
)
).(1x f x e x f
x ,求如:+=+
解:01≥+=t x t ,则令
12-=t x ∴,1)(21
2
-+=-t e t f t ∴
()01)(21
2
≥-+=-x x e x f x
∴
9. 反函数存在的条件是什么?(一一对应函数)
求反函数的步骤掌握了吗?(①反解x ;②互换x 、y ;③注明定义域)
()()的反函数
如:求函数⎩⎨⎧<-≥+=001)(2x x x x x f ()())(答:⎪⎩
⎪⎨⎧<-->-=-011)(1
x x x x x f 10. 反函数的性质有哪些?
①互为反函数的图象关于直线y =x 对称; ②保存了原来函数的单调性、奇函数性;
a b =⇔∈∈=-)(f b =f(a)C b A a C A f(x)y 1,则,,,值域为的定义域为③设 [][]b a f b f f a b f a f f
====∴---)()()()(111
,
11. 如何用定义证明函数的单调性?(取值、作差、判正负)
如何判断复合函数的单调性?[](内层)
(外层),则,()()()(x f y x u u f y ϕϕ=== )(log )(22
1a ax x x f --=
[][]为减函数。)为增函数,否则相同时当内、外层函数单调性)()(x f x f ϕϕ ()
的单调区间如:求x x y 2log 22
1+-=
20022<<>+-=x u x x u 则,由(设 (),如图:
,且11log 2
2
1+--=↓x u u
↓↓↑∈y u u x ∴,,又时,,当2
1log ]10(;↑↓↓∈y u u x ∴,,又时,,当2
1log )21[
12. 如何利用导数判断函数的单调性?
()
上导数等于为增函数。(在个别点则内,若总有,在区间)(0)( x f x f b a ≥0,不影响函数的单调性),呢?反之也对,若0)( ≤x f
[)的最大上是单调增函数,则,
在,函数如:已知a ax x x f a ∞+-=>1)(03值是( )
A. 0
B. 1
C. 2
D. 3
03333)( 2≥⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛
+
=-=a x a x a x x f (令33a x a x ≥-≤或则 313
)1[)(≤≤∞+a a
x f ,即上为增函数,则
,在由已知 ∴a 的最大值为3)
13. 函数f(x)具有奇偶性的必要(非充分)条件是什么? (f(x)定义域关于原点对称)
函数图象关于原点对称为奇函数总成立若⇔⇔-=-)()()(x f x f x f 轴对称函数图象关于为偶函数总成立若y x f x f x f ⇔⇔=-)()()( 注意结论:
。原点,则是奇函数且定义域中有若0f(0)f(x )=
,时,,上的奇函数,当,为定义在如:1
42)()10()11()(+=∈-x x
x f x x f 求)(x f 在)1,1(-上
的解析式。
()()1
42)(1001+=-∈--∈--x x
x f x x ,,,则,(令
x
x
x x x f x f 4
12142)()(+-=+-=--∴为奇函数,又 又⎪⎪⎪⎩⎪
⎪⎪⎨⎧∈+=-∈+-=∴=)1,0(,1
42)0(,0)0,1(,142)(,0)0(x x x x f f x x
x
x
14. 你熟悉周期函数的定义吗?
()为周期,则),在定义域内总有((若存在实数)()(0x f x f T x f T T =+≠函数,T 是一个周期。)
(),则如:若)(x f a x f -=+的一个周期)为是周期函数,(答:)(2)(x f a T x f =
()
⇔==b x a x x f ,图象有两条对称轴又如:若)()()()()(x b f x b f x a f x a f -=+-=+,即