高中数学知识体系框架

几种常见的圆系：
D，E为常数，F为参数， x a 2 y b 2 r 2 a，r为参数或x 2 y 2 Dx Ey F 0 (1)同心圆系： 且D 2 E 2 4 F 0
2
x a y 2 r 2 a，r为参数或x 2 y 2 Dx F 0 D，F为参数，且D 2 4 F 0 ； (2)圆心在x轴上的圆系：
第 七 部 分 解 析 几 何
求曲线的方程 曲线与方程 纯粹性与 完备性 画方程的曲线 求两曲线的交点
轨迹方程的求法：直接法、 定义法、相关点法、参数法
圆 锥 曲 线
椭圆 双曲线 抛物线
定义及标准方程 几何 性质 相交 弦长
范围、对称性、顶点、焦点、 长轴（实轴）、短轴（虚轴） 渐近线（双曲线）、准线、 离心率。（通径、焦半径）
零向量与单位向量 加、减数乘 表示 几何意义及运算律
（1）解三角形时，三条边和 三个角中“知三求二”。 （2）解三角形应用题步骤： 先准确理解题意，然后画出 示意图，再合理选择定理求 解。尤其理解有关名词，如 坡角、坡比、仰角和俯角、 方位角、方向角等。
a
x2 x1 2 y2 y1 2
映
A中元素在B中都有唯一的象；可一对一 （一一映射），也可多对一，但不可一对多 定义 函数的概念 表示 定义域
第 二 部 分 映 射 、 函 数 、 导 数 、 定 积 分 与 微 积 分
列表法 解析法 图象法 使解析式有意义及实际意义
射
三要素
区间 单调性 奇偶性 周期性 对称性
对应关系 值域
常用换元法求解析式 观察法、判别式法、分离常数法、单调性法、最值法、 重要不等式、三角法、图象法、线性规划等
概 率 与 统 计
古典概型 概 率 条件概率
P A B P A P B
P A 1 P A
两点分布 二项分布 超几何分布
n次独立重复试验恰好 发生k次的概率：
X ~ B1，p ；E x p；Dx p1 p X ~ Bn，p ；E x np；Dx np1 p




直线与圆锥曲线的位置关系：
Ax By C 0 1.直线l：Ax By C 0，二次曲线C： 的位置关系：交点个数与方程组有几组解一一对应， f x, y 0 其交点坐标就是方程组的解； 2.弦长： AB 1 k 2 x1 x2 k为直线l的斜率 xx y y xx y y 3.椭圆上M x0 , y0 点处的切线为：0 2 02 1； 4.双曲线上M x0 , y0 点处的切线为：0 2 02 1 a b a b
1.求单调区间：定义法、导数法、用已知函数的单调性。 2.复合函数单调性：同增异减。 1.先看定义域是否关于原点对称，再看f(-x)=f(x)还是-f(x). 2.奇函数图象关于原点对称，若x=0有意义，则f(0)=0. 3.偶函数图象关于y轴对称，反之也成立。 f (x+T)=f (x)；周期为T的奇函数有： f (T)=f (T/2)= f (0)=0. 二次函数、基本不等式，对勾函数、三角函数有界性、 线性规划、导数、利用单调性、数形结合等。 正（反）比例函数、 一次（二次）函数 指数函数与对数函数 幂函数 定义、图象、 性质和应用
第 七 部 分 解 析 几 何
为参数A1 x By1 C1 A2 x By2 C2 0不包括l2 ； (3)过两直线交点的直线系：
A2 x By2 C2 A1 x By1 C1 0不包括l1 .
Ax By C 0平行的直线系；Bx Ay (为参数)表示与已知Ax By C 0垂直的直线系.
y y x1 x2 A B 1 2 C 0 2 2 y2 y1 A 1 x2 x1 B
概率的基本性质
互斥事件
对立事件
独立事件
P A B P A P B
第 九 部 分 概 率 与 统 计
解的个数是一个？ 两个？还是无解？
推论：求角
余弦定理
c 2 a 2 b 2 2ab cos C
解三角形
面积
适用范围：①已知三边，解三角形；②已知两 边和它们的夹角，解三角形。
S ABC
1 1 ah ab sin C 2 2
实际应用 向量的概念 线性运算
abc p p a p b p c 其中p 2 abc R是外接圆半径 4R 1 a b c r r是内切圆半径 2
k nk CM CN M P X k ; n CN
PB A
P A B P A
Pn k Cnk p k 1 p
nk
离散型随机变量的分布列 随机 变量
若Y aX b，则 E Y aE X b； DY a 2 D X .
空 间 向 量 与 立 体 几 何
立体几何中 的向量方法


向量距离 直线的方向向量与法向量 向量法证两直线平行与垂直 求空间角 求空间距离
AB
n MP 点到平面的距离：d n
n 为平面的法向量， M , P 线面距、面面距都可转化为点面距.
2 2 2 2 2
x


几种常见的直线系：
(1)共点P x0，y0 直线系：y y0 k ( x x0 )；特殊地y kx b表示过点(0，b)的直线系，不包括y轴. (2)平行直线系：y kx b(k为参数)表示斜率为k的平行直线系；Ax By (为参数)表示与已知
(3)圆心在x轴上的圆系：x 2 y b r 2 b，r为参数 或x 2 y 2 Ey F 0 E，F为参数，且E 2
2


4 F 0 ；
x a y b a 2 b 2或x 2 y 2 Dx Ey 0； (4)过原点的圆系：
x1 y 2 y1 z 2 z1 a b 1.求异面直线的夹角 : cos ab a，b 为方向向量 ； an 2.直线与平面的夹角 : cos an a 为直线方向向量，n 为平面法向量； n1 n2 3.二面角 : cos n1 n2 n ，n2为两平面法向量. 1 AB
平面向量
平面向量基本定理 数量积 几何意义 夹角公式
p xe1 ye2
投影
a b b 在a方向上的投影为 b cos a a b 设a与b 夹角为 , 则 cos a b
共线与垂直 向量的应用
共线（平行） 垂直
a // b b1 0a x1 y2 x2 y1 0 a 0 a b a b 0 x1 x2 y1 y2 0


在平面（解析）几何中的应用；在物理（力向量、速度向量）中应用
第 六 部 分 立 体 几 何 与 空 间 向 量
共线向量 定理 空间向量的 加减运算 空间向量的 共面向量 定理
a // b a b R 或 OP OA ta t R，a为l方向向量
三角函数模型的简单应用 生活中、建筑学中、航海中、物理学中等
第 三 部 分 三 角 函 数 与 平 面 向 量
正弦定理
a b c 2 R及变式 sin A sin B sin C
适用范围：①已知两角和任一边，解三角形； ②已知两边和其中一边的对角，解三角形。
a 2 b 2 c 2 2bc cos A b 2 a 2 c 2 2ac cos B
任意角三角函数定义
三 角 函 数
同角三角函数的关系
任意角的三角函数
诱导公式 和（差）角公式 二倍角公式
奇变偶不变，符号看象限
①图象可由正弦曲线经过平移、伸缩得到，但要注意先平移后伸缩与先伸缩后平移不同； ②图象也可以用五点作图法；③用整体代换求单调区间（注意的符号）； 2k 1 2 ，对称中心为( k ，b)（k∈Z）. 2 ④最小正周期T＝ ；⑤对称轴x＝ 2
2 2
或x 2 y 2 D2 x E2 y F2 x 2 y 2 D1 x E1 y F1 0不含C1 .(其中为参数)
(5)过两已知圆交点的圆系：x 2 y 2 D1 x E1 y F1 x 2 y 2 D2 x E2 y F2 0不含C2 ；
p与a，b 共面 p xa yb a，b 不共线


或 AP x AB y AC或OP OA x AB y AC
空间向量
及其运算
数乘运算 空间向量的 数量积运算 空间向量的 坐标运算
空间向量 基本定理 平行与垂 直的条件 向量夹角
xOA yOB z OC 其中x y z 1 空间任一向量p xa yb zc a，b ，c 不共面
正角、负角、零角 象限角 角 任意角与弧度制； 单位圆 弧度制 轴线角 终边相同的角 定义1弧度的角 三角函数线 平方关系、商的关系 公式正用、逆用、变形 及“1”的代换 化简、求值、证明（恒等式） 描点法（五点作图法） 正弦函数y=sinx 余弦函数y=cosx 三角函数的图象 正切函数y=tanx y=Asin（ωx+φ）+b 性质 定义域、值域 单调性、奇偶性、周期性 对称性 最值 作图象 几何作图法 对称轴（正切函数 除外）经过函数图 象的最高（或低） 点且垂直x轴的直线 对称中心是正余弦函 数图象的零点，正切 函数的对称中心为 k ( ，0)（k∈Z） 2 ①角度与弧度互化；②特殊角的弧度数； ③弧长公式、扇形面积公式 区别第一象限角、锐角、小于900的角