初中数学一题多变一题多解(二)

一题多解一题多变（二）

1、一题多解，培养思维的发散性

一题多解实际上是解题或证明定理、公式的变式，因为它的实质是以不同的论证方式反映条件和结论问的同一必然的本质联系，运用这种变式教学，可以引导学生对同一材料，从不同角度、从不同方位、用各种途径、多种方法思考问题，探求不同的解答方案，这样，既可暴露学生解题的思维过程，增加教学透明度，又能够拓广学生思路，使学生熟练掌握知识的内在联系，使思维向多方向发展，培养思维的发散性。这方面的例子很多，尤其是几何证明题。

已知：点O是等边△ABC内一点,

OA=4，OB=5，OC=3

求∠AOC的度数。

练习：把此题适当变式:

变式在△ABC中，AB=AC，∠BAC=90°

OA=4，OB=6，OC=2

求∠AOC的度数。

变式2：如图,点O是等边△ABC内一点,∠AOB=110°, ∠BOC=135°

试问:(1)以OA、OB、OC为边能否构成一个三角形?若能,请求出三角形各内角的度数;若不能,请说明理由.

(2)如果∠AOB的大小保持不变,那么当∠BOC等于多少度时, 以OA、OB、OC为边的三角

形是一个直角三角形?

2、一题多变，培养思维的灵活性

一题多变是题目结构的变式，是指变换题目的条件或结论，或者变换题目的形式，而题目的实质不变，以便从不同角度，不同方面揭示题目的本质，用这种方式进行教学，能使学生随时根据变化了的情况积极思索，设法想出解决的办法，从而防止和消除呆板和僵化，培养思维的灵活性。一题多变可以改变条件，保留结论；也可以保留条件，改变结论；或者同时改变条件和结论；也可以将某项条件与结论对换等等。 例如：已知：C 为AB 上一点，△ACM 和△CBN 为等边三角形（如图所示）

求证：AN=BM

（分析：如对此题多做一些引申，既可以培养学生的探索能力，又可培养学生的创新素质）

探索一：设CM 、CN 分别交AN 、BM 于P 、Q ，AN 、BM 交于点R 。问此题中还有其他的边相等以及特殊角、特殊图形吗？给予证明。

探索二：△ACM 和△BCN 如在AB 两旁，其它条件不变，AN=BM 成立吗？ 探索三：△ACM 和△BCN 分别为以AC 、BC 为底且顶角相等的等腰三角形，其它条件不变，AN=BM 成立吗？

探索四：A 、B 、C 三点不在一条直线上时，其它条件不变，AN=BM 成立吗？ 探索五：A 、B 、C 三点不在一条直线上时，△ACM 和△BCN 分别变为正方形ACME 和正方形BCNF ，其它条件不变，AN=BM 成立吗？

这样教学，不仅提高了学生运用所学知识解决数学问题的能力，而且培养了学生的创新能力，发展了学生的求异思维。

练习：（1）如图，在△ABC 中，AB=AC ，点P 是BC 边上任意一点，PE ⊥AB 于E ，PF ⊥AC 于F ，BD ⊥AC 于D 求证：BD=PE+PF

M

N

C

变式1：△ABC 变为等边三角形

变式2：P在△ABC内变式3：P在△ABC外

（2）轴对称：已知直线l及同侧两点A、B，试在直线l上选一点C，使点C到点A、B的距离和最小。

A

B

l

变式1：如图，请你设计出两种方案的路线和最短的行走路线（画图并说明理由）方案1：小华由家先去河边，再去姥姥家；

方案2：小华由家先去姥姥家，再去河边；

小华家

姥姥家

河流

变式2：已知: AB、AC表示两条交叉的小河, P点是河水化验室, 现想从P点出发, 先到AB

河取点水样, 然后再到AC河取点水样, 最后回到P处化验河水, 怎么走路程最短呢？实验

A

员小王说:“我从P点笔直向A走, 同时取好两河水样再原路返回, 这样走, 路最近。”化验

员小吴否定了小王的路线, 提出了自己的想法, 请同学们想一想, 小吴走怎样的路线？

式3：

P

A

B C

A D

变式4：如图,在定直线XY外有一点P,试于XY上求两点A、B,使PA+PB为最短,而AB等于定长a.

a

·P

X Y

变式5：如图，在河的两侧有A、B两个村庄，现要在河上修一座桥，规定桥必须与河岸垂直，要使A村到B村的路程最短，问桥应修在何处？(河宽为定长为m)

·B

a

b

A·

解:(1)过B作BC⊥a,且使BC = m;

(2)连接AC交b于P;

(3)过点P作PQ⊥a,垂足为点Q,那么PQ就是桥的位置.

（3）如图，公路MN 和PQ 在P 点处交汇，且∠QPN=30°点A 处有一所中学，AP=160米，

假设拖拉机行驶时，周围100米内会受到噪音的影响，那么拖拉机在公路MN 上沿PN 方向行驶时，学校是否会受到噪音的影响，请说明理由，若影响，求出影响时间。（拖拉机的速度是12米/秒）

变式1：如图，A 城气象台测得台风中心在A 城正西方300千米处，以107千米/时的速

度向北偏东60°的BF 方向移动，距台风中心200千米的范围内是受台风影响的区域。 （1）问A 城是否受到台风影响？为什么？

（2）若A 城受到台风影响，那么A 城受到台风影响的时间多长？

变式2：据气象观测，距沿海某城市A 的正南方向220千米B 处有一台风中心，其中心最

大风力为12级，每远离台风中心20千米，风力就会减弱一级，该台风中心现在以15千米/时的速度沿北偏东30°方向往C 移动，且台风中心风力不变，若城市所受风力达到或超过四级，则称为受台风影响。（1）该城市是否会受到这次台风影响？请说明理由。（2）若受到台风影响，那么台风影响该城市的持续时间有多长？（3）该城市受到台风影响的最大风力有几级？

B

F

B

A

C

M

P

A

Q

N