一类非线性Caputo型分数阶微分方程耦合系统的正解

第５５卷第４期　２０１７年７月　吉林大学学报（理学版）　

Ｊｏｕｒｎａｌ　ｏｆ　Ｊｉｌｉｎ　Ｕｎｉｖｅｒｓｉｔｙ（Ｓｃｉｅｎｃｅ　Ｅｄｉｔｉｏｎ）　Ｖ０１．５５　Ｎｏ．４　

Ｊｕｌｙ　２０１７　

ｄｏｉ：１０．１３４１３／ｊ．ｃｎｋｉ．ｊｄｘｂｌｘｂ．２０１７．０４．１５　

一类非线性Ｃａｐｕｔｏ型分数阶　微分方程耦合系统的正解　

薛益民，苏莹，苏有慧　（徐州工程学院数学与物理科学学院，江苏徐州２２１０１８）　

摘要：利用Ｓｃｈａｕｄｅｒ不动点定理、Ｌｅｒａｙ—Ｓｃｈａｕｄｅｒ抉择理论和Ｂａｎａｃｈ不动点定理，研究一　类含积分边值条件的非线性Ｃａｐｕｔｏ型分数阶微分方程耦合系统边值问题，得到了该耦合系　统正解存在性和唯一性的充分条件，并举例说明定理的适用性．　关键词：分数阶微分方程；耦合系统；正解；不动点定理　中图分类号：Ｏ１７５．８　文献标志码：Ａ　文章编号：１６７１—５４８９【２０１７）０４—０８５３—０８　

Ｐｏｓｉｔｉｖｅ　Ｓｏｌｕｔｉｏｎｓ　ｏｆ　ａ　Ｃｏｕｐｌｅｄ　Ｓｙｓｔｅｍ　ｏｆ　Ｎｏｎｌｉｎｅａｒ　Ｃａｐｕｔｏ　Ｔｙｐｅ　Ｆｒａｃｔｉｏｎａｌ　Ｄｉｆｆｅｒｅｎｔｉａｌ　Ｅｑｕａｔｉｏｎｓ　

ＸＵＥ　Ｙｉｍｉｎ，ＳＵ　Ｙｉｎｇ，ＳＵ　Ｙｏｕｈｕｉ　（Ｓｃｈｏｏｌ　ｏｆ　Ｍａｔｈｅｍａｔｉｃｓ　ａｎｄ　Ｐｈｙｓｉｃａｌ　Ｓｃｉｅｎｃｅ，Ｘｕｚｈｏｕ　Ｉｎｓｔｉｔｕｔｅ　ｏｆ　Ｔｅｃｈｎｏｌｏｇｙ，Ｘｕｚｈｏｕ　２２１０１８，Ｊｉａｎｇｓｕ　Ｐｒｏｖｉｎｃｅ，Ｃｈｉｎａ）　

Ａｂｓｔｒａｃｔ：Ｗｅ　ｓｔｕｄｉｅｄ　ｔｈｅ　ｂｏｕｎｄａｒｙ　ｖａｌｕｅ　ｐｒｏｂｌｅｍ　ｏｆ　ａ　ｃｏｕｐｌｅｄ　ｓｙｓｔｅｍ　ｏｆ　ａ　ｃｌａｓｓ　ｏｆ　ｎｏｎｌｉｎｅａｒ　Ｃａｐｕｔｏ　ｔｙｐｅ　ｆｒａｃｔｉｏｎａｌ　ｄｉｆｆｅｒｅｎｔｉａｌ　ｅｑｕａｔｉｏｎｓ　ｗｉｔｈ　ｉｎｔｅｇｒａｌ　ｂｏｕｎｄａｒｙ　ｖａｌｕｅ　ｃｏｎｄｉｔｉｏｎｓ　ｂｙ　ａｐｐｌｙｉｎｇ　Ｓｃｈａｕｄｅｒ　ｆｉｘｅｄ　ｐｏｉｎｔ　ｔｈｅｏｒｅｍ，Ｌｅｒａｙ—Ｓｃｈａｕｄｅｒ　ｃｈｏｉｃｅ　ｔｈｅｏｒｙ　ａｎｄ　Ｂａｎａｃｈ　ｆｉｘｅｄ　ｐｏｉｎｔ　ｔｈｅｏｒｅｍ．Ｗｅ　ｏｂｔａｉｎｅｄ　ｓｕｆｆｉｃｉｅｎｔ　ｃｏｎｄｉｔｉｏｎｓ　ｆｏｒ　ｔｈｅ　ｅｘｉｓｔｅｎｃｅ　ａｎｄ　ｕｎｉｑｕｅｎｅｓｓ　ｏｆ　ｐｏｓｉｔｉｖｅ　ｓｏｌｕｔｉｏｎｓ　ｏｆ　ｔｈｅ　ｃｏｕｐｌｅｄ　ｓｙｓｔｅｍ，ａｎｄ　ｉｌｌｕｓｔｒａｔｅｄ　ｔｈｅ　ａｐｐｌｉｃａｂｉｌｉｔｙ　ｏｆ　ｔｈｅ　ｔｈｅｏｒｅｍ　ｂｙ　ｅｘａｍｐｌｅｓ．　Ｋｅｙ　ｗｏｒｄｓ：ｆｒａｃｔｉｏｎａｌ　ｄｉｆｆｅｒｅｎｔｉａｌ　ｅｑｕａｔｉｏｎ；ｃｏｕｐｌｅｄ　ｓｙｓｔｅｍ；ｐｏｓｉｔｉｖｅ　ｓｏｌｕｔｉｏｎ；ｆｉｘｅｄ　ｐｏｉｎｔ　ｔｈｅｏｒｅｍ　

０　引　目　

’一２　＜　ａ　＜３

，’

。　

收稿日期：２０１６—０８—２９．　作者简介：薛益民（１９７７一），男，汉族，硕士，讲师，从事微分方程理论及应用的研究，Ｅ－ｍａｉｌ：ｘｕｅｙｍ＠ｘｚｉｔ．ｅｄｕ．ｃｎ．　基金项目：国家自然科学基金（批准号：１１３０１４５４）、国家自然科学基金数学天元基金（批准号：１１５２６１７７）、江苏省自然科学基金　（批准号：ＢＫ２０１５１１６０）、江苏省高校自然科学基金（批准号：１４ＫＪＢ１１００２５）、江苏省六大人才高峰项目（批准号：２０１３一ＪＹ－Ｏ０３）和　安徽省教育厅重点项目（批准号：ＫＪ２０１７Ａ８３９）．　８５４　吉林大学学报（理学版）　第５５卷　其中：　Ｄ。表示Ｃａｐｕｔｏ型分数阶导数；ｆｅ　ｃ（［０，１］×［Ｏ，。。），［０，ｃｘ３））．受文献［６］启发，本文利用　Ｓｃｈａｕｄｅｒ不动点定理、Ｌｅｒａｙ—Ｓｃｈａｕｄｅｒ抉择理论和Ｂａｎａｃｈ不动点定理研究如下非线性Ｃａｐｕｔｏ型分数　阶微分方程耦合系统正解的存在性和唯一性：　Ｄ。Ｕ（￡）＋ｆ（ｔ，　（￡），　（￡））一ｏ，　ｏ＜ｔ＜１，　Ｄ　（￡）＋ｇ（ｔ，　（　），　（　））一０，０＜ｔ＜１，　“（０）一　（０）：…一“（　２　（ｏ）＝＝＝　（　（ｏ）一０，　（１）一　Ｊ　“（　）ｄ　，　（１）　Ｊ　０　ｒ］　（０）一　（０）＝…一　‘　（０）一　‘　（ｏ）一０，　（１）：ｉｔＩ　（　）ｄｓ，　

其中：ｎ＜ｄ，　ｎ＋１，　≥２，ｎＥ　，０＜Ａ＜ｎ；ｆ，ｇＥ　Ｃ（［０，１］×　×　，　）；　Ｄ　表示Ｃａｐｕｔｏ型分数　阶导数．　

１　预备知识　定义１　Ｌｌ３　函数，：［０，Ｃｘ３）一　的ａ阶Ｃａｐｕｔｏ型导数定义为　Ｄ　厂（　）一　南ｊ。（￡一　ｆ　（　，　其中ｎ＞Ｏ，　：［ａ］＋１，［ａ］为ａ的整数部分．　定义２Ｅ¨　妇　函数　：［０，∞）一　的口阶Ｒｉｅｍａｎｎ—Ｌｉｏｕｖｉｌｌｅ积分定义为　

（　）一志ｊ。（￡一ｓ）　厂（ｓ）　其中：ａ＞Ｏ；右端积分存在．　引理ｌ　若ａ＞。，则齐次分数阶微分方程　。。“（￡）一。有唯一解　（　）一　．　引理２［¨　若ａ＞０，则Ｒｉｅｍａｎｎ—Ｌｉｏｕｖｉｌｌｅ积分和Ｃａｐｕｔｏ型导数有如下性质：　㈤　凳　

引理３Ｅ吲　Ｖ　（　）∈ｃ［ｏ，１］，　＜ｙ＜　＋１，ｙ—　，ｐ，　≥２，　∈　，Ｏ＜ａ＜ｎ，分数阶微分方程边值　问题　ｆ　Ｄ　（￡）＋　（　）一０，０＜ｔ＜１，　ｌ　（０）一　（ｏ）一…一“‘　（ｏ）一Ｕ　（０）一０，　（１）＝　ｌ　（ｓ）ｄｓ，　２　ｒ１　（　）　

有唯一解　（　）一ｆ　１Ｇ　（￡，ｓ）　（ｓ）ｄｓ，其中　

Ｇ　（￡，ｓ）一　二　二　！Ｚ二　±　２二　丝二　２　二　２二　（　一ａ）Ｆ（ｒ＋１）　

年　，　ｏ≤￡≤　≤１．　—　）Ｆ（ｙ＋１）　’　、‘　‘、～　

，０≤Ｓ≤ｔ≤１，　（３）　

引理４（Ｓｃｈａｕｄｅｒ不动点定理）＿１６　设己，是Ｂａｎａｃｈ空间Ｘ的一个非空有界闭凸子集，Ｐ是Ｕ到其　自身的全连续映射，则至少存在一个ａＴ．∈Ｕ，使得Ｐｘ—　．　引理５（Ｌｅｒａｙ－Ｓｃｈａｕｄｅｒ抉择）［１６　设Ｖ是Ｂａｎａｃｈ空间ｙ的一个有界闭凸子集，Ｅ是　中相对开　球，且０∈Ｅ．若算子Ｆ：　—Ｖ全连续，则下列叙述之一成立：　１）Ｆ在Ｅ中至少存在一个不动点；　２）存在Ｕ∈ａＥ和∞∈（Ｏ，１），使得　一　Ｆ（Ｍ）．　引理６（Ｂａｎａｃｈ压缩映射原ｔｉ）Ｅ＂　设Ｄ是Ｂａｎａｃｈ空间Ｅ的闭子集，Ｆ：Ｄ—Ｄ是一个严格压缩　映射，即ｖ　ｚ，ｙＥ　Ｄ，ｌ　Ｆｘ－－Ｆｙ　Ｉ≤　ｌ　ｚ—　ｌ成立，其中０＜ｋ＜ｌ，则Ｆ在Ｅ上有唯一不动点．　第４期　薛益民，等：一类非线性Ｃａｐｕｔｏ型分数阶微分方程耦合系统的正解８５５　２　主要结果　令Ｘ一｛“（　）ｌ甜（￡）Ｅ　Ｃ（Ｅｏ，１］，　）），Ｖ　ｕＥ　Ｘ，定义范数ｌ１　ｌｌ一　］Ｉ　（￡）Ｉ，则（ｘ，ｌｌ・Ｉ１）是一　个Ｂａｎａｃｈ空间．令Ｙ一｛　（　）Ｉ　（￡）Ｅ　Ｃ（ＥＯ，１］，哝）｝，Ｖ　Ｅ　Ｙ，定义范数ｌ１　ｌ—ｓ　ｐ—ｆ　（　）ｆ．　Ｖ（　，　）∈Ｘ×ｙ，定义范数ｌＪ（　，　）ｌＩ—ｌｌ　Ｉｌ＋Ｉｌ　Ｉｌ，则（ｘ×Ｙ，ｌｌ（　，　）ｌ】）也是一个Ｂａｎａｃｈ空间．　Ｖ（　，口）∈ｘ×ｙ，ｔＥ［Ｏ，１］，定义算子Ｔ：Ｘ×ｙ—ｘ×ｙ为　Ｔ（“，　）（　）一（Ｔ１（　，　）（￡），Ｔ２（“，　）（　））一　

（ｊ　０　Ｇ０　）／（　（　口（　ｊ：　），　（　ｄｓ）．　（４）　

则Ｔ的不动点即为耦合系统（１）的解．　为方便，记　Ｋ１一　丝　±丛二　（　～　）　ｒ（ｄ＋１）’　Ｋｚ一　．　㈤　

引理７设ｆ，ｇＥＣ（Ｅ０，１］×　×　，　），则式（４）定义的算子Ｔ：Ｘ×ｙ—ｘ×ｙ是全连续的．　证明：由Ｇｕ（ｔ，ｓ），　（ｔ，ｓ），ｆ，ｇ的连续性知，算子Ｔ是连续的，且Ｔ（Ｘ×ｙ）ｃ　Ｘ×Ｙ，即　Ｔ：Ｘ×ｙ—Ｘ×Ｙ．首先证明算子Ｔ一致有界．令ｎｃＸ×Ｙ有界，由ｆ，ｇ的连续性知，Ｖ（　，　）Ｅ　０，　ｔＥ　Ｌ０，１］，存在Ｌ　，Ｌ２＞Ｏ，使得　Ｉ　ｆ（ｔ，“（￡），　（￡））１≤Ｌ　，　ｌ　ｇ（ｔ，“（￡），口（　））ｌ≤Ｌ　．　因此，Ｖ（　，　）Ｅｆ２，ｔ∈ＥＯ，１］，有　１　１１１（“，　）（　）Ｉ≤－ｆ　Ｉ　（ｓ，　（ｓ），　（ｓ））ｌ　ｄ　＋Ｊｌ　：：　ｌ厂（ｓ，　（ｓ），　（ｓ））ｌ　ｄｓ＋　

ｌ　）ｌｄｓ＋　ｌ　，　）Ｉｄｓ≤　Ｌ　（　＋　＋　・　＋　・Ｆ　）一Ｌ。Ｋ　．　类似可得　Ｉ　Ｔｚ　ｃ…　ｆ≤Ｌｚ（　＋　＋　・　＋　。　）一Ｌｚ　Ｋ２．　

因此，算子Ｔ是一致有界的．　下面证明算子Ｔ：ｘ×ｙ—ｘ×ｙ等度连续．令０≤￡　＜￡　≤１，由式（３），（４）可得　

ｌ　Ｔ１（“，　）（ｔ２）一Ｔ１（　，　）（ｔ１）ｌ—ｌ　ｌ（（　（￡ｚ，５）一Ｇ　（￡１，ｓ））ｆ（ｓ，“（ｓ），　（５））ｄｓ　ｌ≤　

１（　（　一　ｒ　）＋（　一　））．ｒ（口＋）＼　（咒一　）口　…　‘　。、。　／‘　类似可得　ｌ　Ｔｚ（　，　）（　ｚ）一Ｔｚ（　，　）（￡　）１≤　鲁　（　（￡　一　）＋（　ｌ一￡　））．　

因此当ｔｚ一￡　时，有　Ｉｌ丁ｌ（“，　）（　２）一Ｔｌ（　，　）（　１）ＩＩ一０，　Ｉｌ　（　，　）（　２）一　（　，　）（　１）ｌｌ一０．　从而当ｔ２一　时，有　Ｉｌ　Ｔ（ｕ，　）（　２）一Ｔ（ｕ，　）（　１）Ｉｌ—ｌＩ　Ｔ１（“，　）（　２）一Ｔ１（　，　）（　１）ｌＩ＋　ｌＪ　Ｔ２（　，　）（　）一　（　，口）（ｚ　）ｌｌ一０．　所以，算子Ｔ：Ｘ×ｙ—ｘ×ｙ是等度连续和一致有界的，由Ａｒｚｅｌａ—Ａｓｃｏｌｉ定理知算子Ｔ是全连续的．　定理１　设ｆ，ｇＥ　Ｃ（［－０，１］×　×　，　），若存在常数ａ　，ｂｉ＞０，　０，１，２，使得下列不等式成立：　１）Ｊ　ｆ（ｔ，“，　）ｊ≤ｎ。＋日１　ｌ　Ｉ　＋ｎ２　Ｊ　ｌ　，呀１，ｒｌ２　Ｅ（０，１）；