上海市金山区九年级数学24.5三角形的内切圆教案新版沪科版
最新沪科版初中数学九年级下册24.5三角形的内切圆优质课学案
245 三角形的内切圆
学前温故
1．经过三角形三个顶点的圆叫做．外接圆的圆心叫做这个三角形叫做
2．三角形的外心到三角形的三个顶点距离
新课早知
1．与三角形三边都相切的圆叫做，内切圆的圆心叫做这个三角形叫做
2．三角形的内心到三角形的三边距离
三角形的内切圆
【例1】如图(1)，在△AB中，⊙I是△AB的内切圆，和边B、A、AB分别相切于点D、E、F试猜想∠FDE与∠A的关系，并说明理由．
分析：∠FDE是圆周角，∠FIE是同弧所对的圆心角，要确定∠FDE与∠A 的关系，可首先确定∠FIE与∠A的关系．
解：
点拨：连接圆心和是常作的辅助线．
【例2】如图①，在△AB中，∠＝90°，它的三边分别为a、b、c，内切圆的半径为r，切点分别为D、E、F
(1)试用a、b、c表示内切圆的半径r；
(2)若a＝6，b＝8，求此三角形内切圆的面积．(用π表示)
分析：(1)切线长定理的灵活运用是解决此题的关键；(2)首先利用勾股定理求出斜边的长，然后根据(1)中得出的结论求内切圆的半径，最后利用面积公式计算面积．
解：
点拨：直角三角形内切圆半径等于两直角边的和与斜边的差的一半，这是计算直角三角形内切圆半径的常用方法．
1．等边三角形的外接圆的面积是内切圆面积的( )．
A．2倍B．3倍．4倍D．5倍
2．如图，已知⊙O是△AB的内切圆，且∠BA＝50°，则∠BO为________度．
3．如图，⊙O是△AB的内切圆，若∠AB＝90°，∠BO＝105°，B＝20(3＋1)，求⊙O的半径．。
九年级数学下册 24.5 三角形的内切圆教案 沪科版(2021年整理)
2017春九年级数学下册24.5 三角形的内切圆教案（新版）沪科版编辑整理：
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24.5 三角形的内切圆。
沪科初中数学九下《24.5 三角形的内切圆》word教案 (2)
26.6.三角形的内切圆教案一、教学目的1.使学生理解并掌握三角形和多边形的内切圆、圆的外切三角形和圆的外切多边形、三角形的内心概念，掌握三角形内切圆的作法。
2.使学生学会利用三角形内心的性质解题。
二、教学重点、难点重点：三角形内切圆的作法、三角形的内心与性质。
难点：三角形与圆的位置关系中的“内”与“外”、“接”与“切”四个概念的理解和运用。
三、教学过程复习提问1.确定圆的条件是什么？2.叙述角平分线的定义、性质和判定方法。
引入新课联系实际激发学生学习兴趣。
从一块三角形的材料上裁下一块圆形用料，怎样才能使圆的面积尽可能大呢？这是具有实用价值和理论意义的问题。
现在来研究这个问题的解法。
新课1.三角形内切圆的作法解决这个问题，实际就是在三角形内部作一个圆使其三边都与它相切。
例1 作圆，使它和已知三角形的各边都相切。
引导学生结合右图，写出已知、求作，然后师生共同分析寻找作法。
要抓住作圆的要点，出圆心和半径。
设问如下：（1）作圆的关键是什么？（找圆心）（2）假设所作⊙I和三角形三边都相切，那么圆心I应当满足什么条件？（I到三边距离相等）（3）这样的点I 应在什么位置？（既在∠B平分线上，又在∠C平分线上，那就是两条角平分线的交点）。
（4）圆心I在确定后半径如何找？（I到任一边如BC的距离ID就可作为圆的半径）让学生找出作法思路后,教师归纳并简要板书作法,并用直尺圆规重新画出准确图形。
成这个题目后，启发学生得出如下结论：和三角形的各边都相切的圆可以作一个且只可以作出一个。
2.三角形的内切圆、三角形的内心、多边形的内切圆、圆的外切多边形的概念。
讲解这些概念时，采用观察（图形）、类比的方法。
介绍三角形的内切圆及圆的的外切三角形概念时，要和三角形的外接圆与圆的内接三角形概念相比较，使学生明确“接”和“切”是说明多边形的顶点和边与圆相切的关系：多边形的顶点都在圆上的叫“接”；多边形的边都与圆相节的叫“切”的含义。
九年级数学下册24.5三角形的内切圆导学案沪科版
24.5 三角形的内切圆【学习目标】1.使学生理解并掌握三角形和多边形的内切圆、圆的外切三角形和圆的外切多边形、三角形的内心概念，掌握三角形内切圆的作法。
2.使学生学会利用三角形内心的性质解题。
【学习重难点】重点：三角形内切圆的作法、三角形的内心与性质。
难点：三角形与圆的位置关系中的“内”与“外”、“接”与“切”四个概念的理解和运用。
【课前预习】1．经过三角形三个顶点的圆叫做三角形的外接圆．外接圆的圆心叫做三角形的外心．这个三角形叫做圆的内接三角形．2．三角形的外心到三角形的三个顶点距离相等．3．与三角形三边都相切的圆叫做三角形的内切圆，内切圆的圆心叫做三角形的内心．这个三角形叫做圆的外切三角形．4．三角形的内心到三角形的三边距离相等．【课堂探究】三角形的内切圆【例1】如图(1)，在△ABC 中，⊙I 是△ABC 的内切圆，和边BC 、CA 、AB 分别相切于点D 、E 、F.试猜想∠FDE 与∠A 的关系，并说明理由．分析：∠FDE 是圆周角，∠FIE 是同弧所对的圆心角，要确定∠FDE 与∠A 的关系，可首先确定∠FIE 与∠A 的关系．解：∠FDE＝90°－12∠A.理由如下： 如图(2)，连接IE 、IF.∵CA、AB 分别与圆I 相切于点E 、F ，∴IE⊥CA、IF⊥AB.∴∠AEI＝∠AFI＝90°.∴∠FIE＝360°－90°－90°－∠A＝180°－∠A.∵∠FIE＝2∠FDE＝180°－∠A，∴∠FDE＝90°－12∠A. 点拨：连接圆心和切点是常作的辅助线．【例2】 如图①，在△ABC 中，∠C＝90°，它的三边分别为a 、b 、c ，内切圆的半径为r ，切点分别为D 、E 、F.(1)试用a 、b 、c 表示内切圆的半径r ；(2)若a ＝6，b ＝8，求此三角形内切圆的面积．(用π表示)分析：(1)切线长定理的灵活运用是解决此题的关键；(2)首先利用勾股定理求出斜边的长，然后根据(1)中得出的结论求内切圆的半径，最后利用面积公式计算面积．解：(1)连接OF 、OE ，如图②.在Rt△ABC 中，∵AC、BC 分别是⊙O 的切线，∴OF⊥AC， OE⊥BC.又∠C＝90°，OE ＝OF ＝r ，∴四边形OECF 是正方形．∴CF＝CE ＝r ，AD ＝AF ＝b －r ，BD ＝BE ＝a －r.∴c＝AD ＋BD ＝b －r ＋a －r.∴r＝a ＋b －c 2. (2)在Rt△ABC 中，∵∠C＝90°，a ＝6，b ＝8， ∴c＝a 2＋b 2＝10.∴r＝a ＋b －c 2＝6＋8－102＝2. ∴S 内切圆＝π×22＝4π.点拨：直角三角形内切圆半径等于两直角边的和与斜边的差的一半，这是计算直角三角形内切圆半径的常用方法．【课后练习】1．等边三角形的外接圆的面积是内切圆面积的( )．A ．2倍B ．3倍C ．4倍D ．5倍答案：C2．如图，已知⊙O是△ABC的内切圆，且∠BAC＝50°，则∠BOC为________度．答案：1153．如图，⊙O是△ABC的内切圆，若∠ACB＝90°，∠BOC＝105°，BC＝20(3＋1)，求⊙O的半径．解：如图，四边形DOEC为正方形，△OEB为直角三角形．又∠BOC=105°，∠COE=45°，所以∠BOE=60°，∠OBE=30°.所以OE.设⊙O的半径为r，则，解得r=20.中考数学模拟试卷一、选择题（本题包括10个小题，每小题只有一个选项符合题意）1．已知二次函数y＝﹣(x﹣h)2+1(为常数)，在自变量x的值满足1≤x≤3的情况下，与其对应的函数值y的最大值为﹣5，则h的值为( )A．3﹣6或1+6B．3﹣6或3+6C．3+6或1﹣6D．1﹣6或1+6【答案】C【解析】∵当x＜h时，y随x的增大而增大，当x＞h时，y随x的增大而减小，∴①若h＜1≤x≤3，x=1时，y取得最大值-5，可得：-（1-h）2+1=-5，解得：h=1-6或h=1+6（舍）；②若1≤x≤3＜h，当x=3时，y取得最大值-5，可得：-（3-h）2+1=-5，解得：h=3+6或h=3-6（舍）．综上，h的值为1-6或3+6，故选C．点睛：本题主要考查二次函数的性质和最值，根据二次函数的增减性和最值分两种情况讨论是解题的关键．2．下列图形中，周长不是32 m的图形是( )A．B．C．D．【答案】B【解析】根据所给图形，分别计算出它们的周长，然后判断各选项即可．【详解】A. L=(6+10)×2=32，其周长为32.B. 该平行四边形的一边长为10，另一边长大于6，故其周长大于32.C. L=(6+10)×2=32，其周长为32.D. L=(6+10)×2=32，其周长为32.采用排除法即可选出B故选B.【点睛】此题考查多边形的周长，解题在于掌握计算公式.3．在△ABC中，AB=3，BC=4，AC=2，D，E，F分别为AB，BC，AC中点，连接DF，FE，则四边形DBEF的周长是（）A．5 B．7 C．9 D．11【答案】B【解析】试题解析：∵D、E、F分别为AB、BC、AC中点，∴DF=12BC=2，DF∥BC，EF=12AB=32，EF∥AB，∴四边形DBEF为平行四边形，∴四边形DBEF的周长=2（DF+EF）=2×（2+32）=1．故选B．4．“一般的，如果二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴有两个公共点，那么一元二次方程ax2+bx+c=0有两个不相等的实数根．——苏科版《数学》九年级（下册）P21”参考上述教材中的话，判断方程x2﹣2x=1x﹣2实数根的情况是（）A．有三个实数根B．有两个实数根C．有一个实数根D．无实数根【答案】C【解析】试题分析：由得，，即是判断函数与函数的图象的交点情况.因为函数与函数的图象只有一个交点所以方程只有一个实数根故选C.考点：函数的图象点评：函数的图象问题是初中数学的重点和难点，是中考常见题，在压轴题中比较常见，要特别注意.5．如图所示，直线a∥b，∠1=35°，∠2=90°，则∠3的度数为（）A．125°B．135°C．145°D．155°【答案】A【解析】分析：如图求出∠5即可解决问题．详解：∵a∥b，∴∠1=∠4=35°，∵∠2=90°，∴∠4+∠5=90°，∴∠5=55°，∴∠3=180°-∠5=125°，故选：A．点睛：本题考查平行线的性质、三角形内角和定理，邻补角的性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题．6．小军旅行箱的密码是一个六位数，由于他忘记了密码的末位数字，则小军能一次打开该旅行箱的概率是（）A．110B．19C．16D．15【答案】A【解析】∵密码的末位数字共有10种可能（0、1、2、3、4、5、6、7、8、9、0都有可能），∴当他忘记了末位数字时，要一次能打开的概率是1 10.故选A.7．下列说法正确的是（）A．“明天降雨的概率是60%”表示明天有60%的时间都在降雨B．“抛一枚硬币正面朝上的概率为50%”表示每抛2次就有一次正面朝上C．“彩票中奖的概率为1%”表示买100张彩票肯定会中奖D．“抛一枚正方体骰子，朝上的点数为2的概率为16”表示随着抛掷次数的增加，“抛出朝上的点数为2”这一事件发生的概率稳定在16附近【答案】D【解析】根据概率是指某件事发生的可能性为多少，随着试验次数的增加，稳定在某一个固定数附近，可得答案．【详解】解：A. “明天降雨的概率是60%”表示明天下雨的可能性较大，故A不符合题意；B. “抛一枚硬币正面朝上的概率为12”表示每次抛正面朝上的概率都是12，故B不符合题意；C. “彩票中奖的概率为1%”表示买100张彩票有可能中奖．故C不符合题意；D. “抛一枚正方体骰子,朝上的点数为2的概率为16”表示随着抛掷次数的增加,“抛出朝上的点数为2”这一事件发生的概率稳定在16附近，故D符合题意；故选D【点睛】本题考查了概率的意义，正确理解概率的含义是解决本题的关键．8．如图所示是小孔成像原理的示意图，根据图中所标注的尺寸，求出这支蜡烛在暗盒中所成像CD的长（）A．16cm B．13cm C．12cm D．1cm【答案】D【解析】过O作直线OE⊥AB，交CD于F，由CD//AB可得△OAB∽△OCD，根据相似三角形对应边的比等于对应高的比列方程求出CD的值即可.【详解】过O作直线OE⊥AB，交CD于F，∵AB//CD，∴OF⊥CD，OE=12，OF=2，∴△OAB∽△OCD，∵OE、OF分别是△OAB和△OCD的高，∴OF CDOE AB=，即2126CD=，解得：CD=1.故选D.【点睛】本题考查相似三角形的应用，解题的关键在于理解小孔成像原理给我们带来的已知条件，熟记相似三角形对应边的比等于对应高的比是解题关键.9．等式33=11x xxx--++成立的x的取值范围在数轴上可表示为（）A．B．C．D．【答案】B【解析】根据二次根式有意义的条件即可求出x的范围．【详解】由题意可知：3010xx-≥⎧⎨+>⎩,解得：3x,故选：B．【点睛】考查二次根式的意义，解题的关键是熟练运用二次根式有意义的条件.10．下列几何体是由4个相同的小正方体搭成的，其中左视图与俯视图相同的是（）A．B．C．D．【答案】C【解析】试题分析：从物体的前面向后面投射所得的视图称主视图（正视图）——能反映物体的前面形状；从物体的上面向下面投射所得的视图称俯视图——能反映物体的上面形状；从物体的左面向右面投射所得的视图称左视图——能反映物体的左面形状．选项C 左视图与俯视图都是，故选C.二、填空题（本题包括8个小题）11．若关于x的一元二次方程kx2+2(k+1)x+k－1=0有两个实数根，则k 的取值范围是【答案】k≥，且k≠1【解析】试题解析：∵a=k，b=2（k+1），c=k-1，∴△=4（k+1）2-4×k×（k-1）=3k+1≥1，解得：k≥-，∵原方程是一元二次方程，∴k≠1．考点：根的判别式．12．如图，△ABC中，AB＝6，AC＝4，AD、AE分别是其角平分线和中线，过点C作CG⊥AD于F，交AB于G，连接EF，则线段EF的长为_____．【答案】1【解析】在△AGF和△ACF中，{GAF CAF AF AF AFG AFC∠=∠=∠=∠，∴△AGF≌△ACF，∴AG=AC=4，GF=CF，则BG=AB−AG=6−4=2.又∵BE=CE，∴EF是△BCG的中位线，∴EF=12BG=1.故答案是：1.13．如图，某数学兴趣小组将边长为4的正方形铁丝框ABCD变形为以A为圆心，AB为半径的扇形(忽略铁丝的粗细)，则所得的扇形DAB的面积为__________ ．【答案】16【解析】设扇形的圆心角为n°，则根据扇形的弧长公式有：π·4=8180n，解得360πn=所以22360S==16360360扇形π4πrπ=n14．如图，在平面直角坐标系xOy中，四边形OABC是正方形，点C（0，4），D是OA中点，将△CDO 以C为旋转中心逆时针旋转90°后，再将得到的三角形平移，使点C与点O重合，写出此时点D的对应点的坐标：_____．【答案】（4，2）．【解析】利用图象旋转和平移可以得到结果.【详解】解：∵△CDO绕点C逆时针旋转90°，得到△CBD′，则BD′=OD=2，∴点D坐标为（4，6）；当将点C与点O重合时，点C向下平移4个单位，得到△OAD′′，∴点D向下平移4个单位．故点D′′坐标为（4，2），故答案为（4，2）．【点睛】平移和旋转：平移是指在同一平面内，将一个图形整体按照某个直线方向移动一定的距离，这样的图形运动叫做图形的平移运动，简称平移.定义在平面内，将一个图形绕一点按某个方向转动一个角度，这样的运动叫做图形的旋转.这个定点叫做旋转中心，转动的角度叫做旋转角.15．如图，将△AOB 绕点O 按逆时针方向旋转45︒后得到COD ∆，若15AOB ∠=︒，则AOD ∠的度数是 _______．【答案】60°【解析】根据题意可得AOD AOB BOD ∠=∠+∠,根据已知条件计算即可.【详解】根据题意可得：AOD AOB BOD ∠=∠+∠15AOB ∠=︒，45BOD ︒∠=451560AOD ︒︒︒∴∠=+=故答案为60°【点睛】本题主要考查旋转角的有关计算，关键在于识别那个是旋转角.16．如图，将矩形ABCD 绕其右下角的顶点按顺时针方向旋转90°至图①位置，继续绕右下角的顶点按顺时针方向旋转90°至图②位置，以此类推，这样连续旋转2017次．若AB=4，AD=3，则顶点A 在整个旋转过程中所经过的路径总长为_____．【答案】3026π.【解析】分析：首先求得每一次转动的路线的长，发现每4次循环，找到规律然后计算即可． 详解：∵AB=4，BC=3，∴AC=BD=5，转动一次A 的路线长是：90π42π180⨯=， 转动第二次的路线长是：90π55π1802⨯=， 转动第三次的路线长是：90π33π1802⨯=， 转动第四次的路线长是：0， 以此类推，每四次循环，故顶点A 转动四次经过的路线长为：53ππ2π6π22++=， ∵2017÷4=504…1，∴顶点A 转动四次经过的路线长为：6π5042π3026π.⨯+=故答案为3026π.点睛：考查旋转的性质和弧长公式，熟记弧长公式是解题的关键.17．如图，有一个横截面边缘为抛物线的水泥门洞，门洞内的地面宽度为8m ，两侧离地面4m 高处各有一盏灯，两灯间的水平距离为6m ，则这个门洞的高度为_______m .（精确到0.1m ）【答案】9.1【解析】建立直角坐标系，得到二次函数，门洞高度即为二次函数的顶点的纵坐标【详解】如图，以地面为x 轴，门洞中点为O 点，画出y 轴，建立直角坐标系由题意可知各点坐标为A （-4,0）B （4,0）D （-3,4）设抛物线解析式为y=ax 2+c （a≠0）把B 、D 两点带入解析式可得解析式为2464y 77x =-+，则C （0，647）所以门洞高度为647m≈9.1m【点睛】本题考查二次函数的简单应用，能够建立直角坐标系解出二次函数解析式是本题关键18．如图，点A，B，C在⊙O上，∠OBC=18°，则∠A=_______________________．【答案】72°．【解析】解：∵OB=OC，∠OBC=18°，∴∠BCO=∠OBC=18°，∴∠BOC=180°﹣2∠OBC=180°﹣2×18°=144°，∴∠A=12∠BOC=12×144°=72°．故答案为72°．【点睛】本题考查圆周角定理，掌握同弧所对的圆周角是圆心角的一半是本题的解题关键．三、解答题（本题包括8个小题）19．某校对六至九年级学生围绕“每天30分钟的大课间，你最喜欢的体育活动项目是什么？（只写一项）”的问题，对在校学生进行随机抽样调查，从而得到一组数据．如图是根据这组数据绘制的条形统计图，请结合统计图回答下列问题：该校对多少学生进行了抽样调查？本次抽样调查中，最喜欢篮球活动的有多少？占被调查人数的百分比是多少？若该校九年级共有200名学生，如图是根据各年级学生人数占全校学生总人数的百分比绘制的扇形统计图，请估计全校六至九年级学生中最喜欢跳绳活动的人数约为多少？【答案】（1）50（2）36％（3）160【解析】（1）根据条形图的意义，将各组人数依次相加即可得到答案；（2）根据条形图可直接得到最喜欢篮球活动的人数，除以（1）中的调查总人数即可得出其所占的百分比；（3）用样本估计总体，先求出九年级占全校总人数的百分比，然后求出全校的总人数；再根据最喜欢跳绳活动的学生所占的百分比，继而可估计出全校学生中最喜欢跳绳活动的人数．【详解】（1）该校对50名学生进行了抽样调查．()2本次调查中，最喜欢篮球活动的有18人， 18100%36%50⨯=， ∴最喜欢篮球活动的人数占被调查人数的36%．（3）()130%26%24%20%-++=，20020%1000÷=人，8100%100016050⨯⨯=人． 答：估计全校学生中最喜欢跳绳活动的人数约为160人．【点睛】本题考查的是条形统计图和扇形统计图的综合运用．读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据；扇形统计图中各部分占总体的百分比之和为1，直接反映部分占总体的百分比大小．20．如图，BD 是菱形ABCD 的对角线，75CBD ∠=︒，（1）请用尺规作图法，作AB 的垂直平分线EF ，垂足为E ，交AD 于F ；（不要求写作法，保留作图痕迹）在（1）条件下，连接BF ，求DBF ∠的度数．【答案】（1）答案见解析；（2）45°．【解析】（1）分别以A、B为圆心，大于12AB长为半径画弧，过两弧的交点作直线即可；（2）根据∠DBF＝∠ABD﹣∠ABF计算即可；【详解】（1）如图所示，直线EF即为所求；（2）∵四边形ABCD是菱形，∴∠ABD＝∠DBC12=∠ABC＝75°，DC∥AB，∠A＝∠C，∴∠ABC＝150°，∠ABC+∠C＝180°，∴∠C＝∠A＝30°．∵EF垂直平分线段AB，∴AF＝FB，∴∠A＝∠FBA＝30°，∴∠DBF＝∠ABD﹣∠FBE＝45°．【点睛】本题考查了线段的垂直平分线作法和性质，菱形的性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题．21．若关于x的方程311x ax x--=-无解，求a的值.【答案】1-2a=或【解析】分析：该分式方程311x ax x--=-无解的情况有两种：（1）原方程存在增根；（2）原方程约去分母后，整式方程无解．详解：去分母得：x（x-a）-1（x-1）=x（x-1），去括号得：x2-ax-1x+1=x2-x，移项合并得：（a+2）x=1．（1）把x=0代入（a+2）x=1，∴a无解；把x=1代入（a+2）x=1，解得a=1；（2）（a+2）x=1，当a+2=0时，0×x=1，x无解即a=-2时，整式方程无解．综上所述，当a=1或a=-2时，原方程无解．故答案为a=1或a=-2．点睛：分式方程无解，既要考虑分式方程有增根的情形，又要考虑整式方程无解的情形．22．数学课上，李老师和同学们做一个游戏：他在三张硬纸片上分别写出一个代数式，背面分别标上序号①、②、③，摆成如图所示的一个等式，然后翻开纸片②是4x1+5x+6，翻开纸片③是3x1﹣x﹣1．解答下列问题求纸片①上的代数式；若x是方程1x＝﹣x﹣9的解，求纸片①上代数式的值．【答案】（1）7x1+4x+4；（1）55.【解析】（1）根据整式加法的运算法则，将（4x1+5x+6）+（3x1﹣x﹣1）即可求得纸片①上的代数式; （1）先解方程1x＝﹣x﹣9，再代入纸片①的代数式即可求解.【详解】解：（1）纸片①上的代数式为：（4x1+5x+6）+（3x1﹣x﹣1）＝4x1+5x+6+3x1-x-1＝7x1+4x+4（1）解方程：1x＝﹣x﹣9，解得x＝﹣3代入纸片①上的代数式得7x1+4x+4＝7×(-3)²+4×(-3)+4＝63-11+4＝55即纸片①上代数式的值为55.【点睛】本题考查了整式加减混合运算，解一元一次方程，代数式求值，在解题的过程中要牢记并灵活运用整式加减混合运算的法则．特别是对于含括号的运算，在去括号时，一定要注意符号的变化．23．如图，一次函数y＝kx+b与反比例函数y＝6x（x＞0）的图象交于A（m，6），B（3，n）两点．求一次函数关系式；根据图象直接写出kx+b﹣6x＞0的x的取值范围；求△AOB的面积．【答案】（1）y＝－2x＋1 ；（2）1＜x＜2 ；（2）△AOB的面积为1 .【解析】试题分析：（1）首先根据A（m，6），B（2，n）两点在反比例函数y=6x（x＞0）的图象上，求出m，n的值各是多少；然后求出一次函数的解析式，再根据一元二次不等式的求法，求出x的取值范围即可．（2）由-2x+1-6x＜0，求出x的取值范围即可．（2）首先分别求出C点、D点的坐标的坐标各是多少；然后根据三角形的面积的求法，求出△AOB的面积是多少即可．试题解析：（1）∵A（m，6），B（2，n）两点在反比例函数y=6x（x＞0）的图象上，∴6=6m，63n=，解得m=1，n=2，∴A（1，6），B（2，2），∵A（1，6），B（2，2）在一次函数y=kx+b的图象上，∴6{32 k bk b++＝＝，解得2 {8kb-＝＝，∴y=-2x+1．（2）由-2x+1-6x＜0，解得0＜x＜1或x＞2．（2）当x=0时，y=-2×0+1=1，∴C 点的坐标是（0，1）；当y=0时，0=-2x+1，解得x=4，∴D 点的坐标是（4，0）；∴S △AOB =12×4×1-12×1×1-12×4×2=16-4-4=1． 24．如图，热气球探测器显示，从热气球A 处看一栋楼顶部B 处的仰角为30°，看这栋楼底部C 处的俯角为60°，热气球与楼的水平距离AD 为100米，试求这栋楼的高度BC ．【答案】这栋楼的高度BC 是40033米． 【解析】试题分析：在直角三角形ADB 中和直角三角形ACD 中，根据锐角三角函数中的正切可以分别求得BD 和CD 的长，从而可以求得BC 的长．试题解析：解：∵90ADB ADC ∠∠＝＝°，30BAD ∠＝°，60CAD ∠＝°，AD ＝100，∴在Rt ABD 中，1003tan BD AD BAD ⋅∠＝＝ 在Rt ACD 中，tan 1003CD AD CAD ⋅∠＝＝∴40033BC BD CD ＝＋＝． 点睛：本题考查解直角三角形的应用－仰角俯角问题，解答此类问题的关键是明确已知边、已知角和未知边之间的三角函数关系． 25．进入防汛期后，某地对河堤进行了加固．该地驻军在河堤加固的工程中出色完成了任务．这是记者与驻军工程指挥官的一段对话:通过这段对话，请你求出该地驻军原来每天加固的米数．【答案】300米【解析】解：设原来每天加固x 米，根据题意，得．去分母，得 1200+4200=18x （或18x=5400）解得300x =．检验：当300x =时，20x ≠（或分母不等于0）．∴300x =是原方程的解．答：该地驻军原来每天加固300米．26．如图，AC ⊥BD ，DE 交AC 于E ，AB ＝DE ，∠A ＝∠D ．求证：AC ＝AE+BC ．【答案】见解析.【解析】由“SAS”可证△ABC ≌△DEC ，可得BC ＝CE ，即可得结论．【详解】证明：∵AB ＝DE ，∠A ＝∠D ，∠ACB ＝∠DCE ＝90°∴△ABC ≌△DEC （SAS ）∴BC ＝CE ，∵AC ＝AE+CE∴AC ＝AE+BC【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，熟练运用全等三角形的性质是本题的关键．中考数学模拟试卷一、选择题（本题包括10个小题，每小题只有一个选项符合题意）1．如图，△ABC 在边长为1个单位的方格纸中，它的顶点在小正方形的顶点位置．如果△ABC 的面积为10，且sinA ＝5，那么点C 的位置可以在（ ）A ．点C 1处B ．点C 2处 C ．点C 3处D ．点C 4处【答案】D 【解析】如图：∵AB=5,10ABC S =△, ∴D 4C =4, ∵5sin A =54DC AC AC ==,∴5∵在RT △AD 4C 中，D 44C =,AD=8, ∴A 4C 228445+故答案为D. 232的值应该在（ ） A ．﹣1﹣0之间 B ．0﹣1之间 C ．1﹣2之间 D ．2﹣3之间【答案】A3 【详解】解：∵132， ∴1-232＜2-2， ∴-132＜0 3在-1和0之间． 故选A ．此题主要考查了估算无理数大小，正确得出3的取值范围是解题关键．3．已知=2{=1xy是二元一次方程组+=8{=1mx nynx my-的解，则2m n-的算术平方根为（）A．±2 B．C．2 D．4【答案】C【解析】二元一次方程组的解和解二元一次方程组，求代数式的值，算术平方根．【分析】∵=2{=1xy是二元一次方程组+=8{=1mx nynx my-的解，∴2+=8{2=1m nn m-，解得=3{=2mn．∴2=232=4=2m n-⨯-．即2m n-的算术平方根为1．故选C．4．抚顺市中小学机器人科技大赛中，有7名学生参加决赛，他们决赛的成绩各不相同，其中一名参赛选手想知道自己能否进入前4名，他除了知道自己成绩外还要知道这7名学生成绩的（）A．中位数B．众数C．平均数D．方差【答案】A【解析】7人成绩的中位数是第4名的成绩．参赛选手要想知道自己是否能进入前4名，只需要了解自己的成绩以及全部成绩的中位数，比较即可．【详解】由于总共有7个人，且他们的分数互不相同，第4的成绩是中位数，要判断是否进入前4名，故应知道中位数的多少，故选A．【点睛】本题主要考查统计的有关知识，主要包括平均数、中位数、众数、方差的意义，熟练掌握相关的定义是解题的关键.5．已知：如图，在△ABC中，边AB的垂直平分线分别交BC、AB于点G、D，若△AGC的周长为31cm，AB=20cm，则△ABC的周长为（）A．31cm B．41cm C．51cm D．61cm【解析】∵DG是AB边的垂直平分线，∴GA=GB，△AGC的周长=AG+AC+CG=AC+BC=31cm，又AB=20cm，∴△ABC的周长=AC+BC+AB=51cm，故选C.6．甲、乙两人沿相同的路线由A地到B地匀速前进，A、B两地间的路程为20km．他们前进的路程为s(km)，甲出发后的时间为t(h)，甲、乙前进的路程与时间的函数图象如图所示．根据图象信息，下列说法正确的是（）A．甲的速度是4km/h B．乙的速度是10km/hC．乙比甲晚出发1h D．甲比乙晚到B地3h【答案】C【解析】甲的速度是：20÷4=5km/h；乙的速度是：20÷1=20km/h；由图象知，甲出发1小时后乙才出发，乙到2小时后甲才到，故选C．7．如图，点A、B、C、D、O都在方格纸的格点上，若△COD是由△AOB绕点O按逆时针方向旋转而得，则旋转的角度为（）A．30°B．45°C．90°D．135°【答案】C【解析】根据勾股定理求解.【详解】设小方格的边长为1，得，22+=2222，=，AC=4，∵OC 2+AO 2=22+=16， AC 2=42=16，∴△AOC 是直角三角形， ∴∠AOC=90°． 故选C ． 【点睛】考点：勾股定理逆定理.8．若x ＝－2是关于x 的一元二次方程x 2＋32ax －a 2＝0的一个根，则a 的值为（ ） A ．－1或4 B ．－1或－4 C ．1或－4 D ．1或4【答案】C【解析】试题解析：∵x=-2是关于x 的一元二次方程22302x ax a +-=的一个根， ∴（-2）2+32a×（-2）-a 2=0，即a 2+3a-2=0， 整理，得（a+2）（a-1）=0， 解得 a 1=-2，a 2=1． 即a 的值是1或-2． 故选A ．点睛：一元二次方程的解的定义：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．又因为只含有一个未知数的方程的解也叫做这个方程的根，所以，一元二次方程的解也称为一元二次方程的根．9．若关于x 的一元二次方程（k ﹣1）x 2+2x ﹣2=0有两个不相等的实数根，则k 的取值范围是（ ） A ．k ＞12B ．k≥12C ．k ＞12且k≠1 D ．k≥12且k≠1 【答案】C【解析】根据题意得k-1≠0且△=2²-4（k-1）×（-2）＞0，解得：k ＞12且k≠1． 故选C【点睛】本题考查了一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0）的根的判别式△=b²-4ac，关键是熟练掌握：当△＞0，方程有两个不相等的实数根；当△=0，方程有两个相等的实数根；当△＜0，方程没有实数根．10．一、单选题在某校“我的中国梦”演讲比赛中，有7名学生参加了决赛，他们决赛的最终成绩各不相同．其中的一名学生想要知道自己能否进入前3名，不仅要了解自己的成绩，还要了解这7名学生成绩的（）A．平均数B．众数C．中位数D．方差【答案】C【解析】由于其中一名学生想要知道自己能否进入前3名，共有7名选手参加，故应根据中位数的意义分析．【详解】由于总共有7个人，且他们的成绩各不相同，第4的成绩是中位数，要判断是否进入前3名，故应知道中位数的多少．故选C．【点睛】此题主要考查统计的有关知识，主要包括平均数、中位数、众数、方差的意义．反映数据集中程度的统计量有平均数、中位数、众数、方差等，各有局限性，因此要对统计量进行合理的选择和恰当的运用．二、填空题（本题包括8个小题）11．如果一个扇形的弧长等于它的半径，那么此扇形成为“等边扇形”．则半径为2的“等边扇形”的面积为．【答案】1【解析】试题分析：根据题意可得圆心角的度数为：180π，则S=221802360360n rπππ⨯==1．考点：扇形的面积计算．12．如图，在矩形ABCD中，AB=3，BC=5，在CD上任取一点E，连接BE，将△BCE沿BE折叠，使点C恰好落在AD边上的点F处，则CE的长为_____．【答案】5 3【解析】设CE=x，由矩形的性质得出AD=BC=5，CD=AB=3，∠A=∠D=90°．由折叠的性质得出BF=BC=5，EF=CE=x，DE=CD-CE=3-x．在Rt△ABF中利用勾股定理求出AF的长度，进而求出DF的长度；然后在Rt△DEF根据勾股定理列出关于x的方程即可解决问题．【详解】设CE=x．∵四边形ABCD是矩形，∴AD=BC=5，CD=AB=3，∠A=∠D=90°．∵将△BCE沿BE折叠，使点C恰好落在AD边上的点F处，∴BF=BC=5，EF=CE=x，DE=CD-CE=3-x．在Rt△ABF中，由勾股定理得：AF2=52-32=16，∴AF=4，DF=5-4=1．在Rt△DEF中，由勾股定理得：EF2=DE2+DF2，即x2=（3-x）2+12，解得：x=53，故答案为53．13．如图，△ABC中，CD⊥AB于D，E是AC的中点．若AD=6，DE=5，则CD的长等于．【答案】1．【解析】由“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”求得AC=2DE=2；然后在直角△ACD中，利用勾股定理来求线段CD的长度即可．【详解】∵△ABC中，CD⊥AB于D，E是AC的中点，DE=5，∴DE=12AC=5，∴AC=2．在直角△ACD中，∠ADC=90°，AD=6，AC=2，则根据勾股定理，得22221068CD AC AD=-=-=．故答案是：1．14．已知x=2是一元二次方程x2﹣2mx+4=0的一个解，则m的值为．【答案】1．【解析】试题分析：直接把x=1代入已知方程就得到关于m的方程，再解此方程即可．试题解析：∵x=1是一元二次方程x1-1mx+4=0的一个解，∴4-4m+4=0，∴m=1．考点：一元二次方程的解．15．若函数y=mx2+2x+1的图象与x轴只有一个公共点，则常数m的值是．【答案】0或1【解析】分析：需要分类讨论：①若m=0，则函数y=2x+1是一次函数，与x轴只有一个交点；②若m≠0，则函数y=mx2+2x+1是二次函数，根据题意得：△=4﹣4m=0，解得：m=1。
九年级数学下册 第24章 圆24.5三角形的内切圆教学课件 沪科版
课程讲授
1 三角形的内切圆
A
O
B
C
定义：与三角形三边都相切的圆叫作三角形的内切圆.
三角形内切圆的圆心是三角形三条角平分线的交点， 叫做这个三角形的内心.
课程讲授
2 三角形的内切圆
例 △ABC的内切圆☉O与BC、CA、AB分别相切于点D、E、
F，且AB=9，BC=14，CA=13，求AF、BD、CE的长.
提示：假设符合条件的圆已经作出， 那么这个圆的圆心到三角形的三条 边的距离都等于半径.将这个问题转 化为寻找这个圆的圆心.
课程讲授
1 三角形的内切圆
已知：△ABC.
求作：与△ABC的各边都相切的圆.
A
作法：
1.作∠B和∠C的平分线BM和CN，
交点为O.
O
2.过点O作OD⊥BC.垂足为D.
B
D
C
3.以O为圆心，OD为半径作圆O.
谢谢观赏
You made my day!
我们，还在路上……
解 设AF=x，则AE=x.
A
CD=CE=AC-AE=13-x，
BD=BF=AB-AF=9-x.
由 BD+CD=BC，可得
(13- AF=4，BD=5，CE=9.
E
F
O
D
B
课程讲授
1 三角形的内切圆
练一练：如图，⊙O是△ABC的内切圆，则点O是
△ABC的（ B ）
A.三条边的垂直平分线的交点 B.三条角平分线的交点 C.三条中线的交线 D.三条高的交点
随堂练习
1.如图，四边形ABCD内接于⊙O，点I是△ABC的内心，
∠AIC=124°，点E在AD的延长线上，则∠CDE的度数为（C）
九年级数学下册24.5三角形的内切圆学案沪科版
24.5 三角形的内切圆学前温故1．经过三角形三个顶点的圆叫做三角形的外接圆．外接圆的圆心叫做三角形的外心．这个三角形叫做圆的内接三角形．2．三角形的外心到三角形的三个顶点距离相等．新课早知1．与三角形三边都相切的圆叫做三角形的内切圆，内切圆的圆心叫做三角形的内心．这个三角形叫做圆的外切三角形．2．三角形的内心到三角形的三边距离相等．三角形的内切圆【例1】如图（1)，在△ABC中，⊙I是△ABC的内切圆，和边BC、CA、AB分别相切于点D、E、F.试猜想∠FDE与∠A的关系，并说明理由．分析:∠FDE是圆周角，∠FIE是同弧所对的圆心角，要确定∠FDE与∠A的关系，可首先确定∠FIE与∠A的关系．解：∠FDE＝90°－错误!∠A.理由如下：如图（2)，连接IE、IF.∵CA、AB分别与圆I相切于点E、F，∴IE⊥CA、IF⊥AB.∴∠AEI＝∠AFI＝90°。
∴∠FIE＝360°－90°－90°－∠A＝180°－∠A.∵∠FIE＝2∠FDE＝180°－∠A,∴∠FDE＝90°－错误!∠A。
点拨:连接圆心和切点是常作的辅助线．【例2】如图①,在△ABC中，∠C＝90°,它的三边分别为a、b、c,内切圆的半径为r，切点分别为D、E、F.（1)试用a、b、c表示内切圆的半径r；（2）若a＝6，b＝8，求此三角形内切圆的面积．(用π表示)分析：（1)切线长定理的灵活运用是解决此题的关键；(2)首先利用勾股定理求出斜边的长，然后根据(1)中得出的结论求内切圆的半径，最后利用面积公式计算面积．解:(1）连接OF、OE，如图②。
在Rt△ABC中，∵AC、BC分别是⊙O的切线,∴OF⊥AC，OE⊥BC。
又∠C＝90°，OE＝OF＝r,∴四边形OECF是正方形．∴CF＝CE＝r,AD＝AF＝b－r,BD＝BE＝a－r.∴c＝AD＋BD＝b－r＋a－r.∴r＝错误!.（2)在Rt△ABC中，∵∠C＝90°，a＝6，b＝8，∴c＝错误!＝10.∴r＝错误!＝错误!＝2.∴S内切圆＝π×22＝4π。
沪科版(2012)初中数学九年级下册-24.5 三角形的内切圆 教案
亲爱的同学，“又是一年芳草绿，依旧十里杏花红”。
当春风又绿万水千山的时候，我们胜利地完成了数学世界的又一次阶段性巡游。
今天，让我们满怀信心地面对这张试卷，细心地阅读、认真地思考，大胆地写下自己的理解，盘点之前所学的收获。
请同学们认真、规范答题！老师期待与你一起分享你的学习成果！24.5 三角形的内切圆1课时执教者：一、解读教材（一）教材分析：（1）内容分析：作圆的关键是确定圆的圆心与半径，这是我们在学习圆这一章中始终要紧紧把握的要点。
让学生分析圆与三角形三边相切，必须满足圆心到三边距离相等，这个距离就是圆的半径。
圆心则由三个内角平分线交点确定。
由三角形的内切圆的作法可以知道，任意三角形有且只有一个内切圆，因为三角形的三条角平分线交点只有一个，这一点到个边的距离也是确定且只有一个定长。
这一点要让学生明确。
（2）重点、难点分析：重点：三角形内切圆的概念及内心的性质，因为它是三角形的重要概念之一。
难点：难点是“接”与“切”的含义，学生容易混淆；画三角形内切圆，学生不易画好。
（二）教学目标：（1）知识与能力：理解三角形内切圆、三角形的内心、圆的外切三角形等概念；会作三角形的内切圆；掌握关于内心的一些角度的计算。
（2）过程与方法：通过动手操作，发现三角形的内切圆的基本特性，并通过小组内的交流，讨论探索三角形的内心及内切圆的半径的确定方式，培养发现问题、解决问题的能力。
（3）情感、态度、价值观：在动手、动脑主动参与课堂教学活动的过程中体会知识间的联系，激发学习兴趣；通过类比思考，适时进行命名，发现三角形的内心与外心的区别，体验解决问题的乐趣。
（三）教学重点：掌握三角形的内切圆的画法；三角形的内心及其性质。
（四）教学难点：应用三角形内心的性质证明或解决有关问题。
（五）解读方法：（1）教学方法：组织学生自己画图、类比、分析、深刻理解三角形内切圆的概念及内心的性质；开展活动式教学。
（2）学习方法：自主探究，小组合作交流讨论。
最新沪科版九年级数学下册 24.5 三角形的内切圆 (3)
24.5 三角形的内切圆1．了解并掌握有关三角形的内切圆和三角形的内心的概念；2．学会解决与三角形的内切圆和三角形内心有关的计算，进一步体会数形结合思想(重点，难点)．一、情境导入李明在一家木料厂上班，工作之余想对厂里的三角形废料进行加工：裁下一块圆形用料，且使圆的面积最大．应该怎样画出裁剪图？探索：(1)当裁得圆最大时，圆与三角形的各边有什么位置关系？(2)与三角形的一个角的两边都相切的圆的圆心在哪里？(3)如何确定这个圆的圆心？二、合作探究探究点一：与三角形内切圆有关的计算【类型一】 求三角形的内切圆的半径如图，⊙O 是边长为2的等边△ABC 的内切圆，则⊙O 的半径为________．解析：如图，连接OD .由等边三角形的内心即为中线，底边高，角平分线的交点．所以∠OCD ＝30°，OD ⊥BC ，所以CD ＝12BC ，OC ＝2OD .又由BC ＝2，则CD ＝1.在Rt △OCD 中，根据勾股定理得OD 2＋CD 2＝OC 2，所以OD 2＋12＝(2OD )2，所以OD ＝33.即⊙O 的半径为33. 方法总结：等边三角形的内心为等边三角形中线，底边高，角平分线的交点，它到三边的距离相等．变式训练：见《学练优》本课时练习“课堂达标训练”第2题【类型二】 求三角形的周长如图，Rt △ABC 的内切圆⊙O 与两直角边AB ，BC 分别相切于点D 、E ，过劣弧DE︵(不包括端点D 、E )上任一点P 作⊙O 的切线MN 与AB 、BC 分别交于点M 、N .若⊙O 的半径为r ，则Rt △MBN 的周长为( )A ．r B.32r C ．2r D.52r 解析：连接OD ，OE ，∵⊙O 是Rt △ABC 的内切圆，∴OD ⊥AB ，OE ⊥BC .又∵MD ，MP 都是⊙O 的切线，且D 、P 是切点，∴MD ＝MP ，同理可得NP ＝NE ，∴C Rt △MBN ＝MB ＋BN ＋NM ＝MB ＋BN ＋NP ＋PM ＝MB ＋MD ＋BN ＋NE ＝BD ＋BE ＝2r ，故选C.方法总结：本题没有明确告诉数据，因此要从转化入手，连接切点与圆心，运用三角形内切圆的相关性质，得到等量关系，从而求解．变式训练：见《学练优》本课时练习“课后巩固提升”第2题探究点二：三角形的内心及相关计算【类型一】 根据三角形的内心求角度已知O 是△ABC 的内心，∠A ＝50°，则∠BOC 等于( )A ．100°B ．115°C ．130°D ．125°解析：∵O 是△ABC 的内心，∠A ＝50°，∴∠OBC ＋∠OCB ＝12(180°－∠A )＝12(180°－50°)＝65°，∴∠BOC ＝180°－65°＝115°.故选B.方法总结：在三角形中三个角的角平分线的交点是这个三角形内切圆的圆心，而三角形内切圆的圆心叫三角形的内心．变式训练：见《学练优》本课时练习“课堂达标训练”第7题【类型二】 三角形内心的有关判定如图，⊙O 与△ABC 的三条边相交所得的弦长相等，则下列说法正确的是( )A ．点O 是△ABC 的内心B ．点O 是△ABC 的外心C ．△ABC 是正三角形D．△ABC是等腰三角形解析：过O作OM⊥AB于M，ON⊥BC于N，OQ⊥AC于Q，连接OK、OD、OF，由垂径定理得：DM＝12DE，KQ＝12KH，FN＝12FG，∵DE＝FG＝HK，∴DM＝KQ＝FN.∵OD＝OK＝OF，∴由勾股定理得OM＝ON＝OQ，即O到△ABC三边的距离相等，∴点O是△ABC 的内心，故选A.方法总结：本题考查了垂径定理、勾股定理和三角形内心的综合应用，解题时要注意三角形的内心到三角形三边的距离相等．变式训练：见《学练优》本课时练习“课堂达标训练”第6题三、板书设计1．三角形的内切圆与三角形三边都相切的圆叫做三角形的内切圆．2．三角形的内心内切圆的圆心叫做三角形的内心，是这个三角形三个内角的角平分线交点．三角形的内心到三角形的三边距离相等．教学过程中，需要向学生强调三角形的内切圆圆心的性质与特点，针对难以理解的概念性问题，可以在练习中让学生自己探索解题方法，引导学生发现规律，使学生成为课堂真正的主人.。
沪科版九年级数学下册课件：24.5 三角形的内切圆教学课件
2.AO、BO、CO分
D
别平分∠BAC、
F ∠ABC、∠ACB
3.内心在三角形内
O
部．
B
EC
例题讲解
例1 如图,在 △ABC 中，∠B=43°，∠C =61°， A
点I是△ABC的内心，求∠BIC的度数.
解：连接IB，IC.
I
因为点I是△ABC 的内心，所以IB，
B
C
IC分别是∠B、∠C的平分线.
思路：与三角形三边都相切，说明圆心到三边的距离
相等，所以圆心为三条角平分线的交点
A
作法：
1. 作∠ABC，∠ACB的平分线BE，
CF，设它们交于点O. 2. 过点O作OD⊥BC于点D. 3. 以点O为圆心、OD为半径作☉O.
则☉O即为所作.
F
E
O
B
D
C
与三角形三边都相切的圆叫做三角形的内切圆， 内切圆的圆心叫做三角形的内心， 这个三角形叫做圆的外切三角形.
2.如图，⊙O与△ABC的三条边所得的弦长相等，则下列说 法正确的是（ A ） A．点O是△ABC的内心 B．点O是△ABC的外心 C．△ABC是正三角形 D．△ABC是等腰三角形
3. 如图,在△ABC中,内切圆I与边BC,CA,AB分别相切 于点D,E,F,若∠A=70°,则∠EDF= 55 °.
∴∠BAD=∠CAD，∠ABI=∠CBI， ∵∠CBD=∠CAD， ∴∠BAD=∠CBD， ∵∠BID=∠BAD+∠ABI，∠IBD=∠CBI+∠CBD， ∴∠BID=∠IBD， ∴BD=ID．
课堂小结
三角 形内 切圆
有关概念 内心概念及性质
应用
运用切线长定理，将相等 线段转化集中到某条边上， 从而建立方程求解.
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专题课件
24.5 三角形的内切圆
课 题 24.5 三角形的内切圆
教 学 目 标 1.使学生理解并掌握三角形和多边形的内切圆、圆的外切三角形和圆的外切多边形、三角
形的内心概念，掌握三角形内切圆的作法。
2.使学生学会利用三角形内心的性质解题。
教
材
分
析
重 点 三角形内切圆的作法、三角形的内心与性质。
难 点 三角形与圆的位置关系中的“内”与“外”、“接”与“切”四个概念的理解和运用。
教 具 电脑、投影仪
教 学 过 程 一、复习提问
1.确定圆的条件是什么？
2.叙述角平分线的定义、性质和判定方法。
二、引入新课
联系实际激发学生学习兴趣。从一块三角形的材料上裁下一块圆形用料，怎样才能使圆的面积尽
可能大呢？这是具有实用价值和理论意义的问题。现在来研究这个问题的解法。
三、讲授新课
1.三角形内切圆的作法
解决这个问题，实际就是在三角形内部作一个圆使其三边都与它相切。
例1 作圆，使它和已知三角形的各边都相切。
引导学生结合右图，写出已知、求作，
然后师生共同分析寻找作法。要抓住作圆的要点，
出圆心和半径。设问如下：
（1） 作圆的关键是什么？（找圆心）
（2） 假设所作⊙I和三角形三边都相切，
那么圆心I应当满足什么条件？（I到三边距离相等）
（3） 这样的点I 应在什么位置？（既在∠B平分线上，又在∠C平分线上，那就是两条角平
分线的交点）。
（4） 圆心I在确定后半径如何找？（I到任一边如BC的距离ID就可作为圆的半径）
2
让学生找出作法思路后,教师归纳并简要板书作法,并用直尺圆规重新画出准确图形。
成这个题目后，启发学生得出如下结论：
和三角形的各边都相切的圆可以作一个且只可以作出一个。
2.三角形的内切圆、三角形的内心、多边形的内切圆、圆的外切多边形的概念。
讲解这些概念时，采用观察（图形）、类比的方法。介绍三角形的内切圆及圆的的外切三角形概
念时，要和三角形的外接圆与圆的内接三角形概念相比较，使学生明确“接”和“切”是说明多边形
的顶点和边与圆相切的关系：多边形的顶点都在圆上的叫“接”；多边形的边都与圆相节的叫“切”的
含义。还使学生弄清“内心”与“外心”的区别。
3.三角形内心的应用
由于内心是三个内角平分线的交点，所以如果三角形内心已知时，“过三角形顶点和内心的射线
平分三角形的内角”，这实际上就是内心的性质；还有“三角形内心到三边距离相等”；“由内心可作三
角形的内切圆”等，这都要求学生记住。由此引出一条重要的辅助线：连结内心和三角形的顶点，该
线平分三角形的这一内角。
例2 （教材）就是直接利用这个性质来解的题目。
补充例题
△ ABC中,E是内心，∠A的平分线和△ABC的外接圆相交于点D，求证：DE=DB=DC。
四、课堂小结
1.回顾三角形的内切、三角形的内心、圆外切三角形的定义。
2．三角形内心性质及其应用。
布
置
作业 《练习册》习题
教后记 本节课内容较为简单，学生掌握良好，课上反应热烈。