【全国校级联考】黑龙江、吉林两省八校2017届高三上学期期中考试理数(解析版)

黑龙江、吉林两省八校2017届高三上学期期中考试理数试题第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项 是符合题目要求的.1. 已知集合{}2|1A x x =<，{|2xB x =>，则A B =（ ）A ．11(,)22-B ．1(0,)2C ．1(,1)2D ．1(,1)2-【答案】C考点：集合的运算.2. 若0a >，0b >，则“1a b +>”是“1ab >”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件【答案】 B 【解析】试题分析：当34a b ==时“1a b +>”，但“1ab <”，当“1ab >”时，由21a b +≥>>可知“1a b +>”成立，所以则“1a b +>”是“1ab >”的必要不充分条件，故选B. 考点：充分条件与必要条件.3. 已知向量(1,2)a =，(,1)b λ=-，若a b ⊥，则||a b +=( )A B ．4CD ．【答案】A 【解析】试题分析：2a b λ⊥⇒=,所以(3,1),10a b a b +=+=，故选A. 考点：1.向量相关的概念；2.向量的坐标运算.4. 已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若63a =-，612S =，则5a 等于（ ） A ．3- B ．1-C ．1D ．4【答案】B 【解析】试题分析：设等差数列{}n a 的公差为d ，则151a d +=，且1626122a d ⨯+=，解之得17,2a d ==-， 514781a a d =+=-=-，故选B.考点：等差数列的性质与求和.5. 若0.2log 2a =，0.2log 3b =，0.22c =，则（ ） A ．a b c << B ．b a c <<C ．b c a <<D ．a c b <<【答案】B考点：对数函数的性质.6. 已知：命题p ：若函数2()||f x x x a =+-是偶函数，则0a =；命题q ：(0,)m ∀∈+∞，关于x 的方程2210mx x -+=有解．在①p q ∨；②p q ∧；③()p q ⌝∧；④()()p q ⌝∨⌝中为真命题的是（ ） A ．②③ B ．②④C ．③④D ．①④【答案】D 【解析】试题分析：因为()()f x f x -=，所以1111a a ++=+-，解之得0a =，故命题p 为真命题；又因为440m ∆=-≥，1m ≤时，方程有解，所以q 为假命题，所以p q ∨与()()p q ⌝∨⌝为真命题，故选D.考点：逻辑联结词与命题.7.已知△ABC 的三边a ，b ，c 上的高分别为12、1，则cos A 等于（ ）A B ． C ． D ．【答案】C考点：余弦定理.8. 已知函数()sin()f x A x ωϕ=+（0A >，0ω>，||2πϕ<），其导函数'()f x 的部分图象如图所示，则函数()f x 的解析式为（ ） A ．()cos(2)6f x x π=- B ．()sin(2)6f x x π=+C ．1()cos(2)26f x x π=+ D ．1()sin(2)26f x x π=-【答案】D 【解析】试题分析：()cos()f x A x ωωϕ'=+,由图象可知，711,,,1,412342T A T A πππωπω==-====，将点(,0)3π代入()cos()f x A x ωωϕ'=+得0cos(2)3πϕ=⨯+，解得,6k k Z πϕπ=-+∈，又因为||2πϕ<，所以6πϕ=-，所以1()sin(2)26f x x π=-，故选D.考点：1.三角函数的导数；2.三角函数的图象与性质.9. 已知非零向量a ，b 的夹角为60︒，且满足|2|2a b -=，则a b ⋅的最大值为（ ） A ．12B ．1C ．2D ．3【答案】B【解析】试题分析：因为向量,a b 的夹角为60︒，且22a b -=，所以22224444cos 60422a b a b a b a b a b a b a b +-⋅=+-⋅︒≥⋅-⋅=⋅，即12,12a b a b a b ⋅≤∴⋅=⋅≤，即a b ⋅的最大值为1，故选B. 考点：1.向量夹角的定义；2.向量数量积的几何运算.10. 已知函数()f x 是定义在R 上的奇函数，且0x >时，2()log (1)3f x x x =++，则满足()4fx >-的实数x 的取值范围是（ ） A ．()2,2- B ．()1,1-C ．(1,)-+∞D ．(1,)+∞【答案】C考点：1.函数的奇偶性；2.函数的单调性；3.对数函数的性质.【名师点睛】本题考查函数的奇偶性、函数的单调性、对数函数的性质，属中档题；函数单调性与奇偶性的综合问题，应注意函数的单调性及奇偶性的定义以及奇偶性函数的对称性与单调性之间的关系，奇函数在关于原点对称的单调区间上具有相同的单调性，偶函数在关于原点对称的单调区间上具有相反的单调性. 11. 已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且11a =，12n n a S +=+，则满足2110n n S S <的n 的最小值为（ ） A ．4 B ．5C ．6D ．7【答案】A 【解析】试题分析：由12n n a S +=+得12n n n S S S +-=+，即122(2)n n S S ++=+，又11223S a +=+=，所以1232n n S -+=⨯，即1322n n S -=⨯-，所以1212322132210n n n n S S --⨯-=<⨯-，即 12130220322n n --⨯-<⨯-,()2113215290n n --⨯-⨯+>,令12n t -=，则231590t t -+>，函数2()3159h t t t =-+的对称轴为156t =，又t 的可能值为11,2,4,8,,2n -，所以1(1)(2)(4)(8)(2)n h h h h h -><<<<，(1)315930,(2)1230990h h =-+=-<=-+=-<，(4)4860930,(8)1921209810h h =-+=-<=-+=>，这时4n =，所以从第四项起以后各项均满足2110n n S S <，故选A. 考点：1.n a 与n S 的关系；2.等比数列的定义与性质；3.数列与不等式.【名师点睛】本题考查n a 与n S 的关系、等比数列的定义与性质、数列与不等式，属难题；数列与不等式恒成立问题，通常通过构造函数，通过函数的单调性、极值等解决问题；数列与不等式证明问题，要灵活选择不等式的证明方法，如比较法、综合法、分析法、放缩法等.12. 已知函数()f x 是定义在R 上的奇函数，且当0x >时，()(3)0f x f x -++=；当(0,3)x ∈时，ln ()e xf x x=，其中e 是自然对数的底数，且 2.72e ≈，则方程6()0f x x -=在[]9,9-上的解得个数为（ ） A ．4 B ．5C ．6D ．7【答案】D考点：1.函数的奇偶性；2.导数与函数的单调性、极值、最值；3.函数与方程.【名师点睛】本题考查函数的奇偶性、导数与函数的单调性、极值、最值、函数与方程，属难题；函数的性质问题以及函数零点问题是高考的高频考点，考生需要对初高中阶段学习的十几种初等函数的单调性、奇偶性、周期性以及对称性非常熟悉；另外，函数零点的几种等价形式：函数()()y f x g x =-有零点⇔函数()()y f x g x =-在x 轴有交点⇔方程()()0f x g x -=有根⇔函数()y f x =与()y g x =有交点，此外数形结合是解此类问题的重要手段.第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.已知sin 2cos 1sin cos αααα-=-+，则tan α= ．【答案】12考点：同角三角函数基本关系.14.已知向量(1,3)a =--，(2,)b t =，且//a b ，则a b -= . 【答案】()3,9-- 【解析】试题分析：由//a b 得6t =，所以(3,9)a b -=--. 考点：共线向量定理与向量的坐标运算.15. 已知函数2()ln f x x m x =-在[2,)+∞上单调递增，则实数m 的取值范围为 . 【答案】(,8]-∞ 【解析】试题分析：22()2m x mf x x x x-'=-=,令()0f x '≥，故22m x ≤在区间[2,)+∞上恒成立，故8m ≤，所以实数m 的取值范围为(,8]-∞.考点：1.导数与函数的单调性；2.函数与不等式.【名师点睛】本题考查导数与函数的单调性、函数与不等式，属中档题；利用导数研究函数的单调性应注意：1.在区间内()0(()0)f x f x ''><是函数()f x 在此区间上为增（减）函数的充分不必要条件；2.可导函数()f x 在区间(,)a b 是增（减）函数的充要条件是：(,)x a b ∀∈都有()0(()0)f x f x ''≥≤，且()f x '在(,)a b 的任意一个子区间内都不恒为0；3.由函数在区间(,)a b 是增（减）函数，求参数范围问题，可转化为()0(()0)f x f x ''≥≤恒成立问题求解.16.已知数列{}n a 与{}n b 满足23n n a b =+（*n N ∈），若{}n b 的前n 项和为3(31)2nn S =-且36(3)3n n a b n λλ>+-+对一切*n N ∈恒成立，则实数λ的取值范围是 ．【答案】13,18⎛⎫+∞⎪⎝⎭考点：1.n a 与n S 的关系；2.不等式恒成立问题.【名师点睛】n a 与n S 的关系与不等式恒成立问题，属难题；由于数列综合题常与不等式，函数的最值，归纳猜想，分类讨论等数学思想相结合，技巧性比较强，需要平时一定量的训练与积累，在后续复习时应予以关注.三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17. 已知数列{}n a 的通项公式为121n a n =-，*n N ∈．（1）求数列2n n a a ⎧⎫+⎨⎬⎩⎭的前n 项和n S ；（2）设1n n n b a a +=，求{}n b 的前n 项和n T ． 【答案】(1) 22n S n n =+；（2）21n nT n =+. 试题解析：（1）因为242n n a =-，所以22141n n na n a a +=+=-， 所以2n n a a ⎧⎫+⎨⎬⎩⎭是首项为3，公差为4的等差数列，所以2(1)3422n n n S n n n -=+⨯=+． （2）因为111111()212122121n n n b a a n n n n +==⨯=--+-+， 所以121n n n T b b b b -=++++…111111(1)()()23352121n n ⎡⎤=-+-++-⎢⎥-+⎣⎦ (21)n n =+． 考点：1.等差数列的性质及求和公式；2.裂项相消法求和.18. 在锐角△ABC 中，a ，b ，c 是角A ，B ，Ccos cos()C B A C -=-． （1）求角A 的度数；（2）若a =，且△ABC的面积是b c +． 【答案】(1)3π；（2）【解析】试题分析：(1)由三角形内角和定理将角B 代换为()A C π-+，利用诱导公式及三角恒等变换公式化简、整理可得sin A =，从而求出角A ；（2）由三角形面积公式可求得12bc =，余弦定理的2222cos a b c bc A =+-整理得22()348b c a bc +=+=，从而求得b c +的值.考点：1.三角形内角和定理；2.诱导公式与三角恒等变换公式；3.正弦定理与余弦定理.【名师点睛】本题考查三角形内角和定理、诱导公式与三角恒等变换公式、正弦定理与余弦定理，属中档题；解三角形就是根据正弦定理和余弦定理得出方程进行的．当已知三角形边长的比时使用正弦定理可以转化为边的对角的正弦的比值；当已知三角形三边之间的关系式，特别是边的二次关系式时要考虑根据余弦定理把边的关系转化为角的余弦关系式，再考虑问题的下一步解决方法．19. 已知向量(1cos ,1)a x ω=+，(1,)b a x ω=+（ω为常数且0ω>），函数()f x a b =⋅在R 上的最大值为2． （1）求实数a 的值；（2）把函数()y f x =的图象向右平移6πω个单位，可得函数()y g x =的图象，若()y g x =在0,4π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上为增函数，求ω的最大值． 【答案】(1)1-；（2）2. 【解析】试题分析：(1)利用三角恒等变换公式化简函数的解析式得()2sin()16f x x a πω=+++，由max ()212f x a =++=，可求a 的值；（2）函数()y f x =的图象向右平移6πω个单位，可得函数()2sin y g x x ω==，又()y g x =在0,4π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上为增函数，得到不等式2T ππω=≥解之即可.试题解析：（1）()1cos f x x a x ωω=++2sin()16x a πω=+++，因为函数()f x 在R 上的最大值为2，所以32a +=，故1a =-．（2）由（1）知()2sin()6f x πω=+，把函数()2sin()6f x x πω=+的图象向右平移6πω个单位，可得函数()2sin y g x x ω==， 又()y g x =在0,4π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上为增函数，所以()g x 的周期为2T ππω=≥，即2ω≤， 所以ω的最大值为2．考点：1.三角恒等变换；2.三角函数的图象与性质；3.函数图象的平移变换. 20. 已知函数()sin()sin()cos 66f x x x a x b ππ=++-++（a ，b R ∈，且均为常数）． （1）求函数()f x 的最小正周期； （2）若()f x 在区间,03π⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递增，且恰好能够取到()f x 的最小值2，试求a ，b 的值． 【答案】(1)2π；（2）1a =-，4b =.试题解析： （1）()sin()sin()66f x x x ππ=++-cos a x b ++2sin cos cos 6x a x b π=++cos )x a x b x b θ=++=++（其中tanθ=）． 所以，函数()f x 的最小正周期为2π．（2）由（1）可知，()f x 的最小值为b +，所以2b +=．① 另外，由()f x 在区间[,0]3π-上单调递增，可知()f x 在区间(,0)3π-上的最小值为()3f π-． 所以，()23f π-=，得27a b +=，②联立①②解得1a =-，4b =.考点：1.三角恒等变换；2.三角函数的图象与性质.21. 对于数列{}n a ，{}n b ，n S 为数列{}n a 的前n 项和，且1(1)n n n S n S a n +-+=++，111a b ==，132n n b b +=+，*n N ∈．（1）求数列{}n a 、{}n b 的通项公式；（2）令2()(1)n n n a n c n b +=+，求数列{}n c 的前n 项和n T ． 【答案】(1) 2n a n =，1231n n b -=⋅-；（2）11525443n n n T -+=-⋅试题解析： （1）因为1(1)n n n S n S a n +-+=++，所以121n n a a n +=++， 所以2112211(211)()()()(21)(23)312n n n n n n n a a a a a a a a n n n ----+=-++++-+=-+-+++==……， 所以{}n a 的通项公式为2n a n =，由132n n b b +=+，得113(1)n n b b ++=+，所以{}1n b +是等比数列，首项为112b +=，公比为3，所以1123n n b -+=⋅，所以{}n b 的通项公式为1231n n b -=⋅-． （2）2112()1233n n n n n n c n --++==⋅， 所以01221234133333n n n n n T --+=+++++...，① 则0013223341333333n n n n n T --⋅+=+++++...，② ②-①得221111126(1)3333n n n n T --+=+++++- (1111)111525361322313n n n n n ----++=+-=-⋅-，所以11525443n n n T -+=-⋅． 考点：1.累和法与构造法求数列的通项；2.等比数列的定义与性质；3.错位相减法求和.22. 已知函数1ln ()x f x x+=． （1）求函数()f x 的单调区间；（2）若()()g x xf x mx =+在区间(0,]e 上的最大值为3-，求m 的值；（3）若1x ≥，有不等式()1k f x x ≥+恒成立，求实数k 的取值范围． 【答案】（1）()f x 在(0,1)上是增函数，在(1,)+∞上是减函数；（2）3m e =-；（3）2k ≤.试题解析： （1）易知()f x 定义域为(0,)+∞，2ln '()x f x x=-，令'()0f x =，得1x =， 当01x <<时，'()0f x >；当1x >时，'()0f x <，所以()f x 在(0,1)上是增函数，在(1,)+∞上是减函数．（2）因为()1ln g x x mx =++，1'()g x m x=+，(0,]x e ∈， ①若0m ≥，则'()0g x ≥，从而()g x 在(0,]e 上是增函数，∴max ()()2g x g e me ==+0≥，不合题意；②若0m <，则由'()0g x >，即10x m <<-，若1e m -≥，()g x 在(0,]e 上是增函数，由①知不合题意， 由'()0g x <，即1x e m-<≤． 从而()g x 在1(0,)m -上是增函数，在1(,]e m-上为减函数，∴max 11()()ln() g x gm m=-=-，令1ln()3m-=-，所以3m e=-，因为311em e-=<，所以所求的3m e=-．考点：1.导数与函数的单调性；2.导数与函数的极值、最值；3.函数与不等式.【名师点睛】本题考查导数与函数的单调性、导数与函数的极值、最值、函数与不等式，属难题；在解函数的综合应用问题时,我们常常借助导数,将题中千变万化的隐藏信息进行转化，探究这类问题的根本，从本质入手,进而求解，利用导数研究函数的单调性，再用单调性来证明不等式是函数、导数、不等式综合中的一个难点，解题技巧是构造辅助函数，把不等式的证明转化为利用导数研究函数的单调性或最值，从而证得不等式.：。