高等数学中的逼近理论与测度论
测度论教学大纲
§1测度的定义与基本性质（2学时）
§2外测度（2学时）
§3测度的延拓（2学时）
§4测度的逼近与完全化（2学时）
本章教学要求：
掌握测度、外测度的概念与基本性质。能熟练地掌握测度的延拓方法及其完全化。
第三章可测函数与可测映射（一共8学时）
§1可测函数的定义与基本性质（2学时）
§2可测函数列的两种收敛性（3学时）
《Real and abstract analysis》
(GTM 25)Springer-Verlag
1975年
教学内容安排：
第一章集与类（一共6学时）
§1几个重要的集类（3学时）
§2最小σ-代数，λ-π类方法（3学时）
本章教学要求：
掌握几个重要的集类：环、代数、σ-代数、π类、λ类（以及半环与单调类）；熟练地掌握λ-π类方法（外延法）。
*第七章测度的收敛（一共4学时；时间不够，可选择不讲）
本章教学要求：
介绍测度的收敛与弱收敛以及相关定理。
作业和考核方式：闭卷笔试
测度论教学大纲
(Measure Theory)
课程代码
MATH130070
编写时间
2007.1
课程名称
测度论
英文名称
Measure Theory
学分数
3
周学时
3
任课教师*
应坚刚，谢践生等
开课院系
数学学院
预修课程
微积分
课程性质：
本课程是数学学院基础课/专业选修/限选课，为数学学院本科二、三年级学生第一/二学期专业选修。
本章教学要求：
掌握Lebesgue积分的定义与基本性质。掌握积分号下取极限的条件以及L^p-空间的基本性质。
数学中的逼近与误差分析方法
数学中的逼近与误差分析方法数学在现代科学和工程领域中扮演着重要的角色。
数学的基础概念和技巧被广泛应用于各个领域中，帮助解决问题和推动社会进步。
而在数学中，逼近和误差分析是两个重要的概念和方法。
本文将探讨数学中的逼近方法和误差分析方法，以加深对这些概念的理解和应用。
一、逼近方法逼近方法是数学中常用的一种求解近似解的方法。
当一个精确解无法直接求解或者求解困难时，我们可以使用逼近方法来获得近似解。
逼近方法的思想是通过一系列的逼近过程，将原问题转化为一个更加易解的问题或者求解近似解。
1.1 函数逼近函数逼近是逼近方法中常用的一种方法。
对于一个复杂的函数，我们可以通过寻找一个近似的简单函数，来近似表示原函数的行为。
常用的函数逼近方法包括泰勒级数逼近、插值逼近和最小二乘逼近等。
泰勒级数逼近是一种将函数在某一点展开成幂级数的方法。
使用泰勒级数逼近，我们可以将复杂的函数用无限项的级数表示，然后通过截断级数的方法得到近似解。
插值逼近则是通过已知的函数值，构造一个与原函数相似的简单函数。
最小二乘逼近是一种通过最小化残差平方和来确定函数的逼近解。
1.2 数值逼近数值逼近是逼近方法的另一重要分支，主要应用于计算机计算和数值仿真。
数值逼近主要通过数值计算的方法，获取函数在某个点的近似值。
常用的数值逼近方法包括数值积分、数值微分和数值求解方程等。
数值积分是通过数值方法计算函数在某个区间上的积分值。
数值微分是通过数值方法计算函数在某个点的导数值。
数值求解方程则是通过数值迭代的方法，找到方程的近似解。
二、误差分析方法误差分析是数学中非常重要的一个概念和方法。
由于数学中运算和逼近都存在一定的不确定性，所以我们需要通过误差分析来探讨逼近解的准确性和可靠性。
误差分析主要包括绝对误差和相对误差的计算和评估。
2.1 绝对误差绝对误差是指近似解与精确解之间的差值的绝对值。
在实际问题中，我们往往无法得到精确解，只能通过逼近方法得到近似解。
绝对误差的计算可以帮助我们评估逼近解的准确程度和误差的范围。
《数学函数逼近》PPT课件
---------(2)
a0 * 0(x) a1 * 1(x) an * n(x)
使得 * 2 2
m
(S * ( xi ) yi )2
i0
m
min S ( x)
2 2
min
S ( x)
i0
( S ( xi
)
yi
)2
n
其中S(x) a j j (x)为中的任意函数。
j0
---------(3)
EAST CHINA INSTITUTE OF TECHNOLOGY
理学院
n
称满足条件(3)的求函数S *(x) a*j j (x)的方法为 j0
数据拟合的最小二乘法.
n
S *(x) a*j j (x)为最小二乘解. j0 n
S(x) a j j (x)为拟合函数, a j ( j 0,1, , n)为拟合系数. j0 * 2 称为最小二乘解的平方误差. 2
解: 从数据的散点图可以看出
y与x之间具有三角函数关系 cos x y与x之间还具有指数函数关 系ex
y与x之间还具有对数函数关 系ln x 因此假设拟合函数与基函数分别为
设x, y的关系为
y S(x)
其中S(x)来自函数类 如(1)中y(x)来自线性函数类
设函数类 的基函数为 i(x)(i 0,1,,n) 一般要求n m
也称是由i(x)(i 0,1,, n)生成的函数集 ,即
span{0(x),1(x),,n(x)}
n
i0
k 0,1,,n 即
m
m
m
a0 0(xi )k (xi ) a1 1(xi )k (xi ) an n(xi )k (xi )
测度数的原理
测度数的原理测度是数学中的一个重要概念，用于衡量集合的大小或度量曲线、曲面的长度、面积等。
测度理论是现代数学的一个分支，广泛应用于实分析、概率论、几何等领域。
测度数的原理包括可测性、非负性、可加性和正则性等。
1. 可测性：测度的第一个原理是可测性。
一个集合的测度必须是可测的，也就是说我们可以准确地定义它。
在实分析中，测度通常通过引入σ-代数来进行定义，σ-代数是满足一定条件的集合的集合。
如果一个集合属于σ-代数，那么我们可以通过测度来确定其大小。
2. 非负性：测度的第二个原理是非负性。
任何一个集合的测度都必须是非负的，也就是说它不可能是负数。
这个原理的直觉是很明显的，因为测度被用来度量集合的大小，而大小不可能是负数。
3. 可加性：测度的第三个原理是可加性。
也就是说，对于任意两个不相交的集合来说，它们的测度之和等于它们的并集的测度。
如果集合A和B是不相交的，那么根据可加性原理，测度(A ∪B) = 测度(A) + 测度(B)。
这个原理描述了测度的可加性，也是测度理论的基础。
4. 正则性：测度的第四个原理是正则性。
正则性要求测度函数在某些条件下与闭集和开集之间有特定的关系。
具体来说，一个集合可以通过闭集和开集逼近，即任意一个集合可以由内部的开集和外部的闭集围住。
正则性保证了测度函数在这种逼近关系下的连续性和一致性。
测度的原理是测度理论中的基本概念，它们为测度函数的具体定义提供了指导和限制。
根据这些原理，我们可以构造出不同形式的测度函数，如长度测度、体积测度、面积测度等。
具体的测度函数通常根据不同的问题和需求而定，例如在实数轴上的测度函数可以用于测量线段的长度，平面上的测度函数可以用于测量平面图形的面积。
总结来说，测度数的原理是可测性、非负性、可加性和正则性。
这些原理为测度理论提供了基础，帮助我们定义和比较集合的大小，度量曲线、曲面的长度、面积等。
测度理论在数学和其他学科中有广泛应用，为解决实际问题提供了有效的工具和方法。
数学及物理中的测度理论
数学及物理中的测度理论测度理论是研究如何给集合分配大小的一种数学理论。
在数学和物理学中，我们经常需要对对象进行大小或者数量的描述，而测度理论就是提供了一种系统的方式去描述这些概念。
本文将主要从测度的概念、应用和测度扩张这三个方面来探讨数学及物理中的测度理论。
一、测度的概念在测度理论中，测度指的是一种函数，它将某个集合映射到一个实数或者扩充实数。
在测度理论中，可以将一个集合称为可测集，如果我们可以对该集合进行测度运算。
测度函数遵循的基本规则是：对于任意可测集A、B以及实数C，它们满足以下性质：1. 非负性：对于任意集合A，测度函数返回的结果不会是负数。
2. 集合可数加性：对于可数的A1、A2、...、An，它们满足两两不交，测度函数返回的结果等于它们分别测度的和，即m(A1∪A2∪...∪An)=m(A1)+m(A2)+...+m(An)。
3. 单调性：如果A包含在B中，则m(A)≤m(B)。
4. 正则性：对于任意可测集A，以及任意实数C>0，都存在紧致子集K，使得m(A-K)<C。
5. 完全性：每一个空集的测度是0。
通过这些性质，测度理论可以挖掘出集合的性质以及其内部的规律，奠定数学及物理学的基础。
二、测度的应用测度理论的应用非常广泛，尤其在数学和物理学中。
下面分别从测度在概率统计、物理学和几何学的应用进行介绍。
1. 概率统计在概率统计中，无论是离散分布还是连续分布，都需要对它们进行测度。
例如在连续分布中，我们需要对其进行积分才能获得概率密度函数的大小；而对于离散分布，则可以通过求和来得到测度。
因此，测度在概率统计中起着重要的作用，为我们提供了一种量化概率大小的手段。
2. 物理学在物理学中，例如量子力学和相对论中，测度理论也是重要的基础。
例如，物理学中的波函数如果符合某些基本要求，则被称为可测函数。
此时，我们可以对它进行测度运算，得到物理系统在不同状态下的概率分布。
这为我们提供了处理物理系统概率分布的一种数学工具。
第3章 函数逼近与计算
0 ( x) 1
2 2 ( x , ) ( x , 1 ) 2 0 2 ( x) x 0 1 ( x) (0 , 0 ) (1 , 1 )
1 1 ( 0 , 0 ) ln dx ln xdx 1 0 0 x 1
( x, 0 )
b
a
f 2 ( x)dx
函数的平方模满足 (1) 20,而且2=0(x)=0;
(2) c2=|c|2;
(3) +g22+g2 (4) (,g)2 g2
权函数 考虑到(x)在区间[a,b]上各点的函数值比重不同, 常引进加权形式的定义
什么是函数逼近
对函数类A中给定的函数 f(x),记作f(x)∈A,
要求在另一类简单的便于计算的函数类 B
中求函数 p(x)∈B ,使 p(x)与 f(x)的误差在 某种意义下最小.函数类A通常是区间[a, b] 上的连续函数,记作C[a, b],称为函数逼近空 间;而函数B通常为n次多项式,有理函数或分
续函数空间---- C[a, b]
3.1 函数逼近的基本概念
1)线性无关
设集合S是数域P上的线性空间,元素x1,x2,…,xn∈S, 如果存在不全为零的数a1,a2,…,an∈P,使得
a1 x1 a2 x2 ... an xn 0,
则称x1,x2,…,xn线性相关.
关的.
若 0 ( x), n1 ( x)
n n ! d ~ 2 n P ( x ) [( x 1 ) ]. n n ( 2n)! dx
勒让德多项式的性质
(1)正交性
m n; 0, 1 1 Pn ( x) Pm ( x)dx 2 ， m＝n. 2n 1
计算几何与逼近论-介绍.
主要方法和技术
Ferguson 曲面与Coons曲面 Bézier曲线曲面方法 有理Bézier曲线曲面方法 B-样条曲线曲面方法 非均匀有理B-样条曲线曲面(NURBS)
NURBS 方法1991年成为国际标准 Subdivision Surfaces（细分曲面技 术） 起源于1978年，最新技术之一。 优缺点……
学科入门
——计算几何与逼近论
计算几何 (计算机辅助几何设计)
上个世纪六十年代随着电子计算机的飞 速发展和工业设计广泛应用（航空、汽 车、造船）的需要而产生的一门学科； 切确地说是由函数逼近论、微分几何、 计算数学和计算机科学等交叉产生的学 科。
研究对象
研究几何形状的构造及其用计算 机表示、分析和综合的数学描述。
Car designing 汽车设计 BMW BMW: 40% Offset Crash at 50 km/h
Loop细分曲面
2018/9/13
11
计算机图形学
计算机图形学是一种使用数学算法 将二维或三维图形转化为计算机显 示器的栅格形式的科学。
逼近论思想
逼近（近似）的思想和方法渗透于几乎 所有的学科，其中包括自然科学和人文 科学中的学科。
所属的学科
从数学学科的角度看，逼近论既属于函 数论的范畴，又属于计算数学的范畴。
所属的学科
事实上，逼近论是一门研究函数的各类 逼近性质的学科方向，因而它应属于函 数论的范畴。另一方面，逼近论又是计 算数学、科学工程计算诸多数值方法 （包括函数计算，数值积分，微分方程、 积分方程数值解，曲线、曲面生成以及 数据处理等等）的理论基础和方法的依 据。
数值分析A 第三章函数逼近论 06
§2函数逼近Ⅰ一些概念定义 设P 是一个数域，V 是一个非空集合，在V 上定义了两种运算：1. 加法：对任意的元素,u v V ∈，在V 中有唯一的元素（记为u v +）与之对应，满足()(),,,,,.u v v u u v V u v u v u v Vωωω+=+∀∈++=++∀∈且V 中存在唯一的元素（称零元素，记为0），使得0,u u u V +=∀∈对每个,u V ∈存在唯一的元素（称为u 的负元素记为-u ）与之对应，满足()0u u +-=2. 数乘 ：对任意的P α∈和u V ∈，在V 中有唯一的元素（记为u α）与之对应，满足()()()()1,,,,,,,,,,,u u u V u u P u V u v u v P u v Vu u u P u Vαβαβαβαααααβαβαβ=∀∈=∀∈∈+=+∀∈∈+=+∀∈∈称V 为一个数域P 上的线性空间。
定义 设V 是P 上的线性空间，内积是VxV 到数域P 的一个映射，即对于V 中的任意元素对u 和v ，有P 中的唯一的一个数（记为（,u v ））与之对应，满足：()()()()()()()()()()()()()1,,,,,,;2,,,,,3,,,,4,0;u,u 00u v u v u v V u v u v u v V Pu v v u u v Vu u u V u ωωωωααα+=+∀∈=∀∈∈=∀∈≥∀∈=⇔=则(),u v 称为u 与v 的内积，定义了内积的线性空间V 成为内积空间。
3. 设V 是一个数域P 上的线性空间。
定义V 到R 的一个映射 ，即对任意的u V ∈，都有一个实数u 与之对应，满足以下性质。
（1）正定性：0,;00u u V u u ≥∀∈=⇔=（2）齐次性：,,u u u V P ααα=∀∈∈（3）三角不等式：,,u v u v u v V +≤+∀∈称 为V 上的范数。
定义了范数的线性空间称为赋范线性空间。
数学的逼近与近似
数学的逼近与近似数学是一门精确而又抽象的学科，它以理论与公式构成，为了求得更精确的结果，人们也常常在实际应用中进行数学的逼近与近似。
在现实生活中，数学的逼近与近似可以应用于多个领域，包括物理、经济、工程等。
本文将讨论数学逼近和近似的概念、应用和方法。
一、数学逼近和近似的概念数学逼近是通过数学方法来求得一个准确值的过程。
逼近的目标是尽可能接近真实值，但不一定要求完全相等。
逼近方法包括线性逼近、多项式逼近、函数逼近等。
例如，在计算数学中，泰勒级数可以近似表示任意一个函数。
数学近似是指通过一定的方法，用一个近似值来代替一个精确值。
近似的目标是在保证一定误差范围内得到一个可接受的结果。
近似方法可以是简化计算、舍入或截断等。
例如，在实际计算中，我们常常使用圆周率π的近似值3.14，而不是无限小数位的精确值。
二、数学逼近和近似的应用1. 物理中的应用在物理学中，数学逼近和近似被广泛应用于研究和计算过程中。
例如，牛顿的运动定律中涉及到二阶导数，通过逼近和近似，可以将二阶导数转化为差分表达式，从而得到近似解。
在计算机模拟物理过程时，也需要使用数学逼近和近似方法。
2. 经济中的应用经济学中常常需要对数据进行处理和分析，因此数学逼近和近似在经济学中有着广泛的应用。
例如，货币供应量的增长可以通过数学逼近的方法来估算，价格弹性和需求曲线的斜率也可以通过近似的方式来计算。
3. 工程中的应用工程学中也离不开数学逼近和近似方法。
例如，在结构力学中，通过数学逼近可以得到力的近似解，从而用于设计和计算工程结构。
另外，在信号处理中，我们也常常使用离散傅里叶变换来逼近连续信号的频谱。
三、数学逼近和近似的方法1. 泰勒级数泰勒级数是一种将函数用幂函数进行逼近的方法。
通过将一个函数在某个点附近展开成幂级数，可以用几个项来逼近原函数。
这种方法在函数逼近和数值计算中广泛应用。
2. 极限逼近极限逼近是通过确定极限值来逼近一个函数或序列的方法。
第12讲 可测函数的性质与逼近定理
[ E{ x | f ( x ) } E{ x | 0 g ( x ) }]
第12讲 可测函数的性质与逼近定理
E{ x | 0 f ( x ) } E{ x | g ( x ) }] [ E{ x | f ( x )} 0} E{ x | g ( x ) }]
第12讲 可测函数的性质与逼近定理
集后逐点收敛）。显然，如果我们证明 了一个几乎处处收敛的可测函数序列的 极限是可测函数，则上述任何意义下的 极限函数都是可测的。为此，先证明一 个引理。 引理1 假设 { f m ( x )} m 1是上的可测函数序列， 则
(i) h( x ) sup f m ( x ), l ( x ) inf f m ( x )
第12讲 可测函数的性质与逼近定理
问题4：如果h(x)是fn(x)的上极限，情形又 如何？ 一个很重要的问题是：可测函数序列 的极限是否是可测函数？到目前为止， 至少有三种意义下的极限概念，其一是 “一致收敛”、其二是“处处收敛” （即在给定的集上逐点收敛），其三是 “几乎处处收敛”（即在给定的集上， 除去一个零测
| f ( x ) | f ( x ) f ( x )
第12讲 可测函数的性质与逼近定理
问题5：f(x) 的可测性 与f+(x)、f-(x)的可测 性是否等价？ 问题 6 ： |f(x)| 的可测性与 f+(x) 、 f-(x) 的可 测性是否等价？ 问题7：f(x) 的可测性与|f(x)|的可测性是 否相同？ f ( x) ，f ( x) 由引理1的（i），知 都是
第12讲 可测函数的性质与逼近定理
lim f m ( x ) f ( x ) ，则称在上几乎处处收 m 敛到f，记作 f ( x ) lim f m ( x )a.e.[E]
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高等数学中的逼近理论与测度论在高等数学中，人们经常遇到一些用连续函数或多项式函数逼近非光滑函数或离散点集的问题，这就需要引入逼近理论和测度论。
逼近理论主要研究用连续函数、多项式函数或三角函数等函数类逼近某些函数的性质和方法，而测度论则是用来研究集合的大小和度量方法的数学分支。
接下来，我们将深入探讨这两个分支的一些基本概念和应用。
一、逼近理论的基本概念
在逼近理论中，最基本的概念是逼近序列，即对于给定函数
f(x)，构造一列函数 {f_n(x)}，使其能够逐渐逼近f(x)。
其中，
{f_n(x)}可以是一列多项式函数、三角函数或连续函数等。
而原函数f(x)则是逼近序列的极限函数，在某些条件下，可以证明逼近序列能够收敛到原函数f(x)。
这便是逼近理论的核心问题之一。
另外，在逼近理论中，还有一些常见的逼近方法，比如最小二乘逼近和插值逼近等。
最小二乘逼近是指通过对样本数据进行拟合，使得拟合函数与
样本数据之间的平方误差最小。
比如，我们有一些二维数据点
(x_i, y_i)，我们需要用一条直线 y = ax + b 来拟合这些点。
而最小
二乘逼近则是通过最小化误差函数来求解最优的拟合直线参数 a
和 b。
插值逼近则是指通过一组已知离散点来构造一条连续的逼近函数。
比如，我们需要通过一组离散点来逼近函数 f(x)，我们可以采用拉格朗日插值法或牛顿插值法等来构造连续的逼近函数。
二、测度论的基本概念
在测度论中，最基本的概念是集合的度量。
度量是指一种把集
合映射到实数上的函数，它可以用来度量集合的大小和距离。
在
实际应用中，最常见的度量是欧氏距离、曼哈顿距离、切比雪夫
距离等。
欧氏距离是指在欧氏空间中，由两点间的直线距离定义的距离。
对于二维平面上的两个点 (x1, y1) 和 (x2, y2)，它们之间的欧氏距
离为：d = sqrt((x2-x1)^2 + (y2-y1)^2)。
曼哈顿距离是指在曼哈顿空间中，由两点间的直线距离定义的距离。
对于二维平面上的两个点 (x1, y1) 和 (x2, y2)，它们之间的曼哈顿距离为：d = |x2-x1| + |y2-y1|。
切比雪夫距离是指在切比雪夫空间中，由两点间最大坐标差值定义的距离。
对于二维平面上的两个点 (x1, y1) 和 (x2, y2)，它们之间的切比雪夫距离为：d = max(|x2-x1|, |y2-y1|)。
除了距离度量以外，测度论中还有集合的面积、体积、广义长度等度量概念。
比如，我们可以用测度来度量某个区域的面积大小、某个曲线的长度等。
三、逼近理论与测度论的应用
逼近理论和测度论在实际应用中都有着广泛的应用领域。
在逼近理论中，最常见的应用领域是信号处理和数据分析。
比如，我们需要对一段信号进行滤波处理，就可以通过构造逼近函数来滤除一些噪声或杂波干扰。
在测度论中，最常见的应用领域是几何学和图像处理。
比如，在机器视觉领域，我们可以通过计算两个物体之间的欧氏距离或曼哈顿距离来判断它们之间的相似度或差异度。
而在图像压缩领域，我们可以通过计算图像的哈尔小波变换系数的大小来确定需要压缩的位置和大小。
总的来说，逼近理论和测度论是数学中的两个重要分支，它们在现代科技和工业中都有着广泛的应用。
通过不断深入地研究和应用，我们将会对数学的奥妙和美妙有着更深的理解和发现。