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对称导数的研究-学生毕业论文正文 南昌航空大学学士学位论文

第 0 页 对称导数的研究 1 引言 人们之所以引入各种形式的导数概念，是因为导数是研究函数的重要工具，而对称导数也是诸多导数概念的一种，但是导数和对称导数在研究许多问题时有着异曲同工之处.当然有很多数学研究者对它们都进行了深入的研究，同时本文也对对称导数做了一些初步的研究和讨论. 在1967年就有文献提出了一阶对称导数的概念，并且有一系列的定理和命题都是由对称导数而引发的，从而使微分学在今后的研究中有更广的作用，同时对称导数的概念也得到了许多应用.有关对称导数的概念在国内文献中也有介绍和研究，但仍有一些有关传统导数的定理还没在对称导数中得到推广. 函数性质研究的核心内容就是导数，但是对于一些微积分的理论等也有不少研究.而本文则利用对称导数的基本定义、性质以及与导数性质的同异做了些许阐述，同时也对微分中值定理做了一些研究，如函数的连续性以及函数的可导与连续的关系，同时还可以将对称导数的应用推广到更深层次的研究上. 在数学教材上一般在讲述微分中值定理时，按照的先后顺序是先引入Rolle引理、其次是Lagrange中值定理、Cauchy中值定理等等.像这样由浅入深，逐步深入的处理方式是使得学者能更自然易懂的接受，当然也已经成为了大家公认的标准讲法.一般要证明Lagrange和Cauchy中值定理，都是通过适当的引入Rolle定理，然后再借助辅助函数的构造便可证明出来. 众所周知，Rolle定理、Lagrange定理、Cauchy定理是微分学中最常用的中值定理.而本文根据对称导数的一些性质概念及微分中值定理，将关于对称导数微分中值定理进行了推广以及具有等式型的微分中值定理以及带对称导数的洛比达法则和达布定理，为此为今后的研究应用提供了帮助. 本文总共分为五个部分。本文第一部分为引言。第二部分给出了对称导数的概念，并给出了一些关于对称导数的性质。如函数的连续性以及函数的可导与连续的关系。第三部分是得出了关于对称导数具有等式型的中值定理。第四部分是对对称导数的Rolle中值定理、Lagrange中值定理以及Cauchy中值定理进行了推广。第五部分是通过带Dini导数的洛必达法则和达布定理联想到带对称导数的洛必达法则和达布定理并给出了证明。

南昌航空大学学士学位论文 第 1 页 2 基本概念 定义 2.1 设函数()fx在x的某个领域内有定义，若极限 0()()lim2hfxhfxhh 存在，则称此极限为()fx 在点x的对称导数, 记作()sfx. 结论1 若函数()fx在点0x可导,则0()sfx一定存在，并且值相等.

证明： '000000()()()()1()lim[]2hfxhfxfxhfxfxhh 0000()()lim()2shfxhfxhfxh. 反之, 如果函数0()sfx存在,但函数()fx在点0x不一定可导. 例 设()fx=||x, 函数()fx在0x点对称可导, 但是却不可导. 证明：0(0)(0)(0)lim2shfhfhfh

0||||lim02hhhh. 而0(0)(0)(0)limhfhffh ||0||hhhh. 0||lim1,hhh 0||lim1hhh. 所以(0)f不存在. 结论2 函数()fx对称可导, 函数()fx不一定连续. 例 1,0()0,0xxfxx在0x处不连续，但却是对称可导.

证明： 0(0)(0)(0)lim2sxfxfxfx =01(1)lim2xxxx 02lim12xxx. 即()fx在0x点处对称可导. 结论3 函数()fx连续, 但对称导数未必存在. 例 3()fxx在0x处连续，但(0)sf不存在. 证明：显然()fx在x=0处连续，但 0(0)(0)lim2hfhfhh 南昌航空大学学士学位论文 第 2 页 330lim2hhhh 1323002limlim2hhhhh. 而223300lim,limhhhh. 所以(0)sf不存在. 3、关于对称导数的中值定理 引理 3.1[1] 若函数()ux和()vx在点0x对称可导，则函数()()()fxuxvx在点0x也对称可导，且 000()()()sssfxuxvx. 引理 3.2[1] 设 ()fx在[,]ab上连续，在(,)ab内对称可导，对(,)xab， ()sfx有限，()()fafb，则,(,)cdab及12120,0,1，使得 12()()0ssfcfd.

这定理的形式类似于罗尔定理. 定理 3.3设()fx在[,]ab上连续，对(,)xab，()sfx有限，则,(,)cdab及

12120,0,1，使得

12()()()()ssfbfafcfdba.

证明：令 ()1()()1()1faaFxfbbfxx,

由()fx在[,]ab上连续，在(,)ab内对称可导，则可知()Fx在[,]ab上连续，在(,)ab

内对称可导，且

()11()1()()()1()1()1()()1faaafafaaFxfbbfxxbfbfbbfxx.

由于 1()1()()()1()1()afafaaFafaabfbfbb, 1()1()()()1()1()afafaaFbfbbbfbfbb. 易知()()FaFb，且对(,)xab，1()1()()1()1ssafaFxfxbfb. 由于()sf有限,故()sFx有限.由引理3.2知, ,(,)cdab及12120,0,1，使得 南昌航空大学学士学位论文 第 3 页 12()()0SSFcFd. 故 11221()11()1()()01()11()1ssafaafafcfdbfbbfb.

则可证得 12()()()()ssfafbfcfdba.

这定理的形式类似于拉格朗日定理. 定理3.4 设()fx、()gx在[,]ab上连续，(,)xab, ()sfx、()sgx有限.()sgx存在且对(,)xab，()0sgx, 则,(,)cdab及12120,0,1, 使得

1212()()()()()()()()ssssfcfdfafbgagbgcgd. 证明：假设()()0gbga，即()()gbga. 则可知满足由引理3.2的条件，即12,(,)ab及12120,0,1，使得

1122()()0ssgg. 由于()0sgx且12120,0,1，故可知1122()()ssgg不可能为0， 故 ()()0gbga. 令

()()1()()()1()()1fagaFxfbgbfxgx,

且 ()1()1()()()()()()1()1()()gafafagaFxfxgxgbfbfbgb.

因为()fx、()gx在[,]ab上连续，()sfx、()sgx在(,)ab内存在，故()Fx在(,)ab内对称可导，则 ()1()1()()()()1()1sssgafaFxfxgxgbfb.

由定理3.3知，,(,)cdab及12120,0,1，使得 12()()()()ssFbFaFcFdba



1122()1()1()1()1()()()()()1()1()1()1ssssgafagafafcgcfdgdgbfbgbfb

1212()1()1[()()][()()]()1()1ssssgafafcfdgcgdgbfb. 南昌航空大学学士学位论文 第 4 页 且由于 ()1()1()()()()()()1()1()()gafafagaFafagagbfbfbgb,

()1()1()()()()()()1()1()()gafafagaFbfbgbgbfbfbgb. 易知 ()()FaFb, 即 ()()0FbFaba. 故 1212()1()1[()()][()()]0()1()1ssssgafafcfdgcgdgbfb . 由于对(,)xab，()0sgx,且12120,0,1， 故 12()()0ssgcgd 即 1212()()()()()()()()ssssfcfdfafbgagbgcgd.

即定理得证. 这定理的形式类似于柯西定理. 注：定理3.3和定理3.4，江晓琼在文献[1]中已经证明了，但本文运用了不同的方法使其得证. 4 关于对称导数微分中值定理的推广

定理4.1（Rolle中值定理的推广1） 如果()fx在(,)ab内对称可导，且lim()lim()xaxbfxfxA，其中A为有限、或或

，则存在,(,)cdab及12120,0,1,使得

12()()0ssfcfd. 证明： （1）A为有限值时，则令 (),(,)(),,fxxabFxAxab,

可知()Fx在,ab上连续，在(,)ab内对称可导，即由引理3.2知，,(,)cdab及12120,0,1使得

1212()()()()0ssssFcFdfcfd. (2) A时，由于()fx在(,)ab内对称可导，则()fx在(,)ab内连续，故由lim()lim()xaxbfxfx可知，对充分大的0M,0(,)xab，使0()fxM. 则

yM和()yfx 至少有两个交点11(,())xfx，22(,())xfx. 即12()()fxfxM，