勾股定理的逆定理
勾股定理的逆定理
例3 如图是一块四边形绿地的示意图，其中
AB长24米，BC长15米，CD长20米，DA长7米， ∠C＝900 ， 求绿地ABCD的面积.
7
Ｄ
Ａ
24 20
Ｃ Ｂ
15 方法要点: 通过添加辅 助线，将一个不规则的 四边形分割成两个三角 形，再判断其中一个三 角形是直角三角形，从 而求出四边形的面积.
(3) a=1 b=如图，在△ABC中，已知，AB=15，AC=20，BC=25，
AD是BC边上的中线，求AD的长
解：∵AB=15,AC=20,BC=25（已知） ∴AB2+AC2=625,BC2=625 2+AC2=BC2 ∴ AB 25 ∴∠A=90° 15 (勾股定理的逆定理） 20 ∵∠A=90°，AD是BC边上的中线（已知） ∴AD=1/2 BC 方法要点: 一般已知三 （直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半） 角形的三边长，我们优 ∵BC=25（已知） 先考虑用勾股定理的逆 ∴AD=12.5（等式性质）
19.9(3) 勾股定理的逆定理
四 大 古 代 文 明 ︓ 古 中 国 ︐ 古 埃 及 ︐ 古 印 度 ︐ 古 巴 比 伦
• 猜想：如果三角形的三边长a，b，c满足a2＋b2＝c2，那么这个 三角形是直角三角形．
猜想的 命题 证明 真命题
A
已知：△ABC,BC=a,AB=c,AC=b,且a2+b2=c2， 求证：△ABC是直角三角形
B
c b
a
C
勾股定理的逆定理： 命题：
如果三角形的一条边的平方等于其他两条边的平方
和，那么这个三角形是直角三角形.
互逆定理
勾股定理：直角三角形两直角边的平方和，等于斜边的
勾股定理的逆定理
例题解析
例1 判断由a、b、c组成的三角形是不是直角三角形：
(1) a＝15 , b ＝8 , c＝17 (2) a＝13 , b ＝15 , c＝14 分析：由勾股定理的逆定理，判断三角形是 不是直角三角形，只要看两条较小边的平方 和是否等于最大边的平方。
解：∵152＋82＝225＋64＝289 172＝289
如果三角形的三边长 a、b、c满
足
a2 + b2 = c2
那么这个三角形是直角三角形。且边
C所对的角为直角。
勾股定理
互逆命定题理
如果直角三角形两直角边分别为a，b，
斜边为c，那么 a2 + b2 = c2
定理与逆定理
定理 定理 如果一个
的逆命题经过证明是真命题 ,那么它是一个
,这两个定
互逆定理 逆定理 理称为
C
S1
S2
A
b
ca
B
S3
C
S2 b
S1
a
A
c
B
S3
自主评价：
1、勾股定理的逆定理 2、什么叫做互逆命题、原命题与逆命题 3、什么称为互为逆定理。
′A C ′
A
A′
5
4
4
C
3
B
在RT? A?B?C? 中根
据勾股定理有 A?B?2 ? A?C?2 ? B?C?2 ? B?C?? 3, A?C?? 4
? A?B?2 ? 32 ? 42 ? 52
A?B?? 5
′C
3
B′
? ABC≌ ? A?B?C?
? C ? ? C?? 90?
A3 B
? 例4： “远航”号、“海天”号轮船
勾股定理的逆定理
如图：边长为4的正方形ABCD中，F是DC的中
A 解：连接AE A ∵ABCD是正方形，边长是4，F是 DC的中点，EC=1/4BC ∴AD=4，DF=2，FC=2，EC=1 ∴根据勾股定理，在 B Rt△ADF，AF2=AD2+DF2=20 Rt△EFC，EF2=EC2+FC2=5 Rt△ABE，AE2=AB2+BE2=25 ∴AE2=EF2+AF2 ∴∠AEF=90°即AF ⊥EF
3 如果△ABC的三边长分别为 a,b,c,且 a=m2-n2,b=2mn,c=m2+n2(m>n,m,n是正整数） 则△ABC是直角三角形
解：∵ a=m2-n2,b=2mn,c=m2+n2(m>n,m,n是正整数） ∴a2+b2=(m2-n2)2+(2mn)2 =m4-2m2n2+n4+4m2n2 =m4+2m2n2+n4 =(m2+n2)2 =c2 ∴△ABC是直角三角形。
3、如图，有一块地，已知，AD=4m， CD=3m，∠ADC=90°，AB=13m ， B BC=12m。求这块地的面积。
12
24平方米
C
3
4 A D 13
4、根据下列条件，判断下面以a,b,c为 边的三角形是不是直角三角形？ （1）a=20,b=21,c=29 是 不是 (2)a=5,b=7,c=8 (3)a= 7 ,b= 3 ,c=2 是 (4)a:b:c=2:3:4 不是
例1：
“远航”号、“海天”号轮船 同时离开港口，各自沿一固定方向航 行，“远航”号每小时航行16海里， “海天”号每小时航行12海里。它们 离开港口一个半小时后相距30海里。 如果知道“远航”号沿东北方向航行， N 能知道“海天”号沿哪个方向航行吗？
勾股定理的逆定理
3、如图，有一块地，已知，AD=4m， CD=3m，∠ADC=90°，AB=13m ， B BC=12m。求这块地的面积。
12
24平方米
C
3
4 A D 13
4、根据下列条件，判断下面以a,b,c为 边的三角形是不是直角三角形？ （1）a=20,b=21,c=29 是 不是 (2)a=5,b=7,c=8 (3)a= 7 ,b= 3 ,c=2 是 (4)a:b:c=2:3:4 不是
18.2 勾股定理的 逆定理（2）
勾股定理: 直角三角形的两直角边为a ,b , 斜边为 c ,则有
a2+ b2=c2
逆定理:
三角形的三边a,b,c满足a2+b2=c2,则这个三角形是 直角三角形; 较大边c 所对的角是直角.
互逆命题:
两个命题中, 如果第一个命题的题设是第二个命 题的结论, 而第一个命题的结论又是第二个命题的 题设,那么这两个命题叫做互逆命题. 如果把其中一个叫做原命题, 那么另一个叫做它的 逆命题.
互逆定理: 如果一个定理的逆命题经过证明是真命题, 那 么它也是一个定理, 这两个定理叫做互逆定理, 其中一个叫做另一个的逆定理.
复习题训练：
1.如图，两个正方形的面积分别为64，49， 则AC=( ) 17 A
D 64 49
C
2.由四根木棒，长度分别为3，4，5，12， 13 若去其中三根木棒组呈三角形，有( ) 4 种取法，其中，能构成直角三角形的是 （ ）种取法。 2
例1：
“远航”号、“海天”号轮船 同时离开港口，各自沿一固定方向航 行，“远航”号每小时航行16海里， “海天”号每小时航行12海里。它们 离开港口一个半小时后相距30海里。 如果知道“远航”号沿东北方向航行， N 能知道“海天”号沿哪个方向航行吗？
勾股定理的逆定理
我们把这样的两个命题叫做互逆
命另命满题一题足如个.如2:叫”果同做把如位它a其果角2的中相三逆一等b角命个2,形两题叫直的.c做线2三原平边命行长题”,a那与,b么,”c
两那直么线这平个行,三同角位角形相是等直”角是三互角逆形命.题.
一起探究
系：
.
2.52 62 6.52
那么画出的三角形是直角三角形吗? 换成三边分别是4cm，7.5cm，8.5cm 呢?
由以上例子,我们猜想:
命题2 如果三角形的三边长a,b,c
满足 a2 b2 c2
那么这个三角形是直角三角形.
观察思考
(什1命)直么命题？角题它1边1和们长命如有分题什果别2么直的为关角题a系、设三？、b角,斜结形边论的分长两别为是 c,那么
命题1经证明是正确的,你能证 明命题2的正确性吗?练习本上试 一试,与同学交流你的想法.
一般地,如果一个定理的逆命题经 过证明是正确的,它也是一个定理,称 这两个定理互为逆定理.
命题2经证明是正确的,所以我 们把它叫做勾股定理的逆定理.
一个命题一定有逆命题,但逆命 题不一定正确.所以一个定理不一定 有逆定理.
练习
1.如果三条线段a,b,c满足 a2 c2 b2 , 这三条线段组成的三角形是不是 直角三角形?为什么?
练习
2.说出下列命题的逆命题.这些命题的逆命题 成立吗?
(1)两条直线平行,内错角相等; (2)如果两个实数相等,那么它们的绝对值相
等; (3)全等三角形的对应角相等; (4)到角的两边距离相等的点在角的平分线上.
我国古代大禹治水测量工程时,也用 类似方法确定直角．你知道这是为什么 吗？其中蕴涵什么道理？
勾股定理及逆定理
勾股定理及逆定理勾股定理是数学中的一项基本定理，它是指在直角三角形中，斜边的平方等于两直角边平方和。
这个定理被广泛应用于数学、物理、工程等领域，是一项非常重要的数学工具。
本文将从历史、证明、应用等方面详细介绍勾股定理及其逆定理。
一、历史勾股定理的历史可以追溯到古代中国和古代印度。
在中国，早在《周髀算经》中就已经有了勾股定理的雏形，其中记载了一个数学问题：一座高为三的墓，从墓底往上看，墓斜对角线的长度为五。
这个问题可以用勾股定理来解决。
在印度，勾股定理被称为毗邻弥勒定理，早在公元前800年左右的《苏尔巴修塔》中就有了记载。
在欧洲，勾股定理最早被希腊数学家毕达哥拉斯发现，因此也被称为毕达哥拉斯定理。
二、证明勾股定理有多种证明方法，其中最著名的是毕达哥拉斯的证明。
毕达哥拉斯证明的基本思路是将直角三角形拆分成两个小三角形，然后运用几何定理证明。
具体来说，假设直角三角形的两条直角边长分别为a、b，斜边长为c，我们可以将这个三角形拆分成两个小三角形：一个以直角边a和斜边c为直角和斜边的三角形，另一个以直角边b 和斜边c为直角和斜边的三角形。
这两个小三角形的面积分别为1/2ab和1/2ac，因此整个直角三角形的面积为1/2ab+1/2ac=1/2(a+b)c。
另一方面，根据勾股定理，c^2=a^2+b^2，因此c^2=2ab/2+(a^2+b^2)/2=(a+b)c/2，即c=(a^2+b^2)^(1/2)。
将这个结果代入前面的公式，可以得到直角三角形的面积为1/2(a+b)(a^2+b^2)^(1/2)，这就是毕达哥拉斯的证明。
三、应用勾股定理是一项非常实用的数学工具，它被广泛应用于数学、物理、工程等领域。
以下是一些常见的应用：1.测量距离：在测量两个点之间的距离时，可以利用勾股定理计算。
假设两个点的坐标分别为(x1,y1)和(x2,y2)，它们之间的距离d 可以用勾股定理计算：d=((x2-x1)^2+(y2-y1)^2)^(1/2)。
勾股定理的逆定理
勾股定理的逆定理————————————————————————————————作者: ————————————————————————————————日期：ﻩ勾股定理的逆定理(学习目标)1. 掌握勾股定理的逆定理及其应用.理解原命题与其逆命题,原定理与其逆定理的概念及它们之间的关系.2. 能利用勾股定理的逆定理,由三边之长判断一个三角形是否是直角三角形.３. 能够理解勾股定理及逆定理的区别与联系,掌握它们的应用范围.(要点梳理）（高清课堂 勾股定理逆定理 知识要点)要点一、勾股定理的逆定理如果三角形的三条边长a b c ，，,满足222a b c +=,那么这个三角形是直角三角形.要点诠释:（1)勾股定理的逆定理的作用是判定某一个三角形是否是直角三角形.（２）勾股定理的逆定理是把“数”转为“形”，是通过计算来判定一个三角形是否为直角三角形.要点二、如何判定一个三角形是否是直角三角形（1） 首先确定最大边(如c ）.（2） 验证2c 与22a b +是否具有相等关系.若222c a b =+，则△ABC 是∠C=90°的直角三角形;若222c a b ≠+,则△AB Ｃ不是直角三角形．要点诠释：当222a b c +<时,此三角形为钝角三角形;当222a b c +>时,此三角形为锐角三角形,其中c 为三角形的最大边.要点三、互逆命题如果两个命题的题设与结论正好相反，则称它们为互逆命题.如果把其中一个叫原命题，则另一个叫做它的逆命题．要点诠释:原命题正确,逆命题未必正确;原命题不正确，其逆命题也不一定错误；正确的命题我们称为真命题,错误的命题我们称它为假命题．要点四、勾股数满足不定方程222x y z +=的三个正整数，称为勾股数（又称为高数或毕达哥拉斯数），显然,以x y z 、、为三边长的三角形一定是直角三角形.熟悉下列勾股数,对解题会很有帮助：① 3、4、5; ②5、12、13;③8、15、1７;④7、24、２５;⑤９、40、41……如果a b c 、、是勾股数，当t 为正整数时,以at bt ct 、、为三角形的三边长，此三角形必为直角三角形. 要点诠释:(1)22121n n n -+，，（1,n n >是自然数)是直角三角形的三条边长;（２）2222,21,221n n n n n ++++（n 是自然数）是直角三角形的三条边长;(3)2222,,2m n m n mn -+ (,m n m n >、是自然数)是直角三角形的三条边长;(典型例题)类型一、原命题与逆命题1、写出下列命题的逆命题，并判断其真假:(1)同位角相等，两直角平行； （2）如果2x =，那么24x =;(3）等腰三角形两底角相等； （4)全等三角形的对应角相等. （５）对顶角相等.（6)线段垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等.（思路点拨)写一个命题的逆命题的关键是分清它的题设和结论，然后将其交换位置，判断一个命题为真命题要经过证明,是假命题只需举出反例说明即可．(答案与解析)解:(１)逆命题是：两直线平行，同位角相等，它是真命题．(２）逆命题是：如果24x =,那么2x =，它是假命题.（3）逆命题是:有两个角相等的三角形是等腰三角形,它是真命题.(４)逆命题是：对应角相等的两个三角形全等,它是假命题.（5）逆命题是：如果两个角相等,那么这两个角是对顶角，它是假命题.（６)逆命题是：到线段两个端点距离相等的点一定在线段的垂直平分线上，它是真命题.(总结升华)写一个命题的逆命题的关键是分清它的题设和结论,然后将题设和结论交换位置，写出它的逆命题，可以借助“如果……那么”分清题设和结论.每一个命题都有逆命题,其中有真命题,也有假命题.举一反三:（变式)下列定理中,有逆定理的个数是( )①有两边相等的三角形是等腰三角形;②若三角形三边a b c ，，满足222a b c +=，则该三角形是直角三角形;③全等三角形对应角相等;④若a b =，则22a b =．A.1个B.2个 C ．３个 D ．4个(答案)B;提示:①的逆命题是：等腰三角形有两边相等，是真命题；②的逆命题是:若三角形是直角三角形,则三边满足222a b c +=（c 为斜边）；③但对应角相等的两个三角形不一定全等;④若22a b =，a 与b 不一定相等，所以③、④的逆命题是假命题,不可能是定理.类型二、勾股定理逆定理的应用2、如图所示，四边形ABCD 中,A Ｂ⊥ＡＤ，AB ＝２，A Ｄ＝23，ＣD=3,B Ｃ=5,求∠ADC 的度数. (答案与解析)解:∵ AB ⊥AD ，∴ ∠A ＝90°,在Ｒt △ＡＢD 中,222222(23)16BD AB AD =+=+=．∴ B Ｄ＝4,∴ 12AB BD =,可知∠AD Ｂ=３０°, 在△BDC 中，22216325BD CD +=+=,22525BC ==，∴ 222BD CD BC +=，∴ ∠BD Ｃ＝90°,∴ ∠ADC=∠ADB ＋∠B ＤC ＝30°+90°＝120°．(总结升华）利用勾股定理的逆定理时,条件是三角形的三边长,结论是直角三角形,即由边的条件得到角的结论，所以在几何题中需要进行边角的转换时要联想勾股定理的逆定理. 举一反三：(变式1)△ＡBC 三边a b c ，，满足222338102426a b c a b c +++=++，则△ABC 是（ ）Ａ.锐角三角形 B.钝角三角形 C.等腰三角形 Ｄ.直角三角形(答案)D ；提示:由题意()()()222512130a b c -+-+-=，51213a b c ===，，，因为222a b c +=，所以△ＡBC 为直角三角形．(变式2)如图所示，在△AB Ｃ中,已知∠ＡＣB=90°，ＡC ＝B Ｃ，Ｐ是△A ＢC 内一点,且P Ａ＝3，PB=1，P Ｃ＝C Ｄ＝2，CD ⊥CP ，求∠BPC 的度数.（答案)解:连接BD ．∵ CD ⊥ＣＰ，且CD ＝C Ｐ=2，∴ △CPD 为等腰直角三角形,即∠CPD=45°． ∵ ∠AC Ｐ+∠ＢＣP ＝∠B ＣP+∠BCD=90°, ∴ ∠ＡCP=∠B ＣD ． ∵ ＣＡ＝C Ｂ，∴ △C ＡP ≌△C ＢＤ(SA Ｓ), ∴ ＤB=P Ａ=3.在Rt △CPD 中,22222228DP CP CD =+=+=.又∵ PB=1,则21PB =.∵ 29DB =,∴ 22819DB DP PB =+=+=,∴ △D ＰB 为直角三角形，且∠DPB ＝９０°，∴ ∠CPB=∠CPD+∠DPB ＝４5°+9０°=13５°.３、如图所示，在平面直角坐标系中,直线33y x =+与x 轴交于点B,与y 轴交于点A,直线133y x =-+与x 轴交于点C ，同时也过点A ．请判断两直线有怎样的位置关系，并说明理由．(思路点拨)判断两直线的位置关系，可转化为判断△ABC 的形状.要判断△ABC 的形状，需先求出其三边的长,而由直线的解析式易求出线段AO ，ＢO ，C Ｏ的长,再根据勾股定理可求得A Ｂ,A Ｃ的长. (答案与解析）解:∵ 直线33y x =+与x 轴交于点Ｂ, ∴ 当0y =时,1x =-， ∴ 点Ｂ的坐标为(－1,0).∵ 直线33y x =+与y 轴交于点A ，，∴ 当0x =时，3y =，∴ 点A 的坐标为(0,3)．∴ ＡO ＝3，B Ｏ=1．在Rt △ＡＢO 中，由勾股定理,得222223110AB AO BO =+=+=.∵ 直线133y x =-+与x 轴交于点C,∴ 当y ＝0时，x =9,∴ 点C 的坐标为(９，0)． 在R ｔ△ＡCO 中,由勾股定理,得222223990AC AO CO =+=+=.又∵ BC ＝ＢO+CO=１0,∴ 221090100AB AC +=+=,2210100BC ==．∴ 222AB AC BC +=.∴ △ABC 为直角三角形,∴ AB ⊥ＡC.(总结升华）在平面直角坐标系内判断一个三角形的形状，可考虑勾股定理的逆定理．另外,在平面直角坐标系中,只要知道两点的坐标,便可求出线段的长度．类型三、勾股定理逆定理的实际应用４、如图所示，ＭN 以左为我国领海,以右为公海,上午9时５0分我国缉私艇Ａ发现在其正东方向有一走私艇C 并以每小时13海里的速度偷偷向我国领海开来，便立即通知距其5海里,并在M Ｎ线上巡逻的缉私艇B 密切注意，并告知A 和C 两艇的距离是13海里,缉私艇B 测得C 与其距离为1２海里,若走私艇C 的速度不变，最早在什么时间进入我国海域？（答案与解析)解：∵ 22222251216913AB BC AC +=+===,∴ △ABC 为直角三角形．∴ ∠ABC ＝90°．又B Ｄ⊥A Ｃ,可设CD ＝x ，∴ 22222212,(13)5,x BD x BD ⎧+=⎪⎨-+=⎪⎩①②①－②得2216926119x x x -+-=， 解得14413x =.∴ 1441441313169÷=≈0．85(ｈ)＝5１（分). 所以走私艇最早在１0时41分进入我国领海．(总结升华）（１）本题用勾股定理作相等关系列方程解决问题,(2）用勾股定理的逆定理判定直角三角形，为勾股定理的运用提供了条件．(巩固练习）一.选择题１.（2012•广西)已知三组数据:①2，3，4；②3,４,5；③1,3,2.分别以每组数据中的三个数为三角形的三边长，构成直角三角形的有( ）A.② B ．①② Ｃ.①③ Ｄ．②③2． 下列三角形中，不是直角三角形的是（ )A.三个内角之比为5∶6∶1 B ． 一边上的中线等于这一边的一半Ｃ.三边之长为2０、21、２9 Ｄ． 三边之比为1.５ : 2 : ３3.列命题中,不正确的是( ）A ． 三个角的度数之比为1:3:4的三角形是直角三角形；B. 三边之比为1: 3：2的三角形是直角三角形;C. 三个角的度数之比为1:2:2的三角形是直角三角形；D. 三边之比为2:2:２的三角形是直角三角形．4. 如图，在单位正方形组成的网格图中标有AB 、ＣD 、EF 、GH 四条线段，其中能构成一个直角三角形三边的线段是（ ）A.CD 、EF 、ＧＨ Ｂ.AB 、EF 、G Ｈ C.AB 、CF 、EF D ．G Ｈ、AB 、C Ｄ５．五根小木棒，其长度分别为7，15,２0,24，2５，现将他们摆成两个直角三角形，其中正确的是( ）6. c b a ,,为直角三角形的三边,且c 为斜边，h 为斜边上的高，下列说法：①222,,c b a 能组成一个三角形 ②c b a ,,能组成三角形③h b a h c ,,++能组成直角三角形 ④h b a 1,1,1能组成直角三角形 其中正确结论的个数是( )A.1 B ．2 C ．3 D.4二.填空题7．若△AB Ｃ中,()()2b a b a c -+=，则∠B ＝＿＿_＿＿_＿__＿_＿．8．如图,正方形网格中,每个小正方形的边长为1，则网格上的△ＡBC 是______三角形．９.若一个三角形的三边长分别为１、a 、8(其中a 为正整数），则以2a -、a 、2a +为边的三角形的面积为___＿__.10.△ABC 的两边a b ，分别为5,12，另一边c 为奇数,且a b c ++是3的倍数，则c 应为_＿___＿，此三角形为______.11.有两根木条，长分别为６０cm 和80cm ,现再截一根木条做一个钝角三角形，则第三根木条x (钝角所对的边）长度的取值范围___＿_＿___．12． 如果线段a b c ，，能组成一个直角三角形,那么2,2,2c b a ＿____＿＿_组成直角三角形.（“能”或“不能”）.三.解答题13．已知a b c 、、是△ＡB Ｃ的三边,且222244a c b c a b -=-,试判断三角形的形状．14．观察下列各式:322345+=,2228610+=，22215817+=,222241026+=,…,你有没有发现其中的规律?请用含n 的代数式表示此规律并证明，再根据规律写出接下来的式子.15．在等边△ABC 内有一点P,已知PA=３,ＰＢ=4，ＰC=5.现将△ＡＰB 绕Ａ点逆时针旋转60°,使Ｐ点到达Q 点,连P Ｑ，猜想△PＱC 的形状,并论证你的猜想.(答案与解析)一.选择题1.(答案)Ｄ；(解析）根据勾股定理的逆定理，只要两边的平方和等于第三边的平方即可构成直角三角形．只要判断两个较小的数的平方和是否等于最大数的平方即可判断.2．(答案)D ；(解析)D 选项不满足勾股定理的逆定理.3.(答案)C;(解析)度数之比为1:2:２，则三角形内角分别为36°:72°:72°4.（答案)B ；(解析)22222228,20,5,13,AB CD EF GH AB EF GH ====+=,所以这三条线段能构成直角三角形．5.(答案)Ｃ;(解析）22222272425152025+=+=，.6．(答案）C ；(解析)因为222a b c +=，两边之和等于第三边,故222,,c b a 不能组成一个三角形，①错误;因为a b c +>,所以c b a ,,能组成三角形,②正确；因为ab ch =,所以2222222a ab b h c ch h+++=++，即()()222a b h c h ++=+，③正确;因为2222222222222111a b c c a b a b a b c h h +⎛⎫⎛⎫⎛⎫+==== ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，所以④正确．二．填空题7．（答案)９0°;(解析)由题意222b a c =+,所以∠B=９0°.8．(答案)直角;(解析）2AB =13,2BC =52,2AC =６5，所以222AB BC AC +=.9.(答案)２4;（解析)∵7＜a ＜９,∴a ＝8.1０．(答案）1３;直角三角形;(解析）７＜c ＜1７.１１.(答案)100cm <x ＜140cm ；(解析)因为60,80，１０0构成直角三角形,则钝角三角形的最长边应该大于100cm ,再根据两边之和大于第三边，所以x <60cm +8０cm =1４０cm ．１2.(答案)能；(解析)设c 为斜边,则222c b a =+，两边同乘以41，得222414141c b a =+，即222)2()2()2(c b a =+ . 三．解答题1３．（解析)解：因为222244a c b c a b -=-，所以()()()2222222c a b a b a b -=+-()()222220a b a b c -+-=所以22a b =或222a b c +=，此三角形为等腰三角形或直角三角形.14.(解析）解:222351237+=，()()()22222112111n n n ⎡⎤⎡⎤+-++=++⎡⎤⎣⎦⎣⎦⎣⎦.(n ≥1且n 为整数) 15.（解析）解:因为△ＡPB 绕A 点逆时针旋转60°得到△AQC,所以△APB≌△AQC,∠PAQ=60°, 所以AP=A Ｑ＝P Ｑ=3，BP ＝CQ=4,又因为PC ＝5，222PQ CQ PC +=所以△PQC 是直角三角形.。
勾股逆定理
勾股逆定理我们学过勾股定理，但对于它的逆定理却不甚了解。
下面，我们来探究一下它吧。
解题思路：一般地，勾股定理的逆定理与勾股定理是一样的。
把直角三角形中两个直角边的平方和等于斜边的平方证明完毕后，把斜边上的高加到两直角边上，就可以得到了一个直角三角形，再用勾股定理逆定理证明即可。
这个逆定理比较难写，需要平时多练习。
答案是：若，或。
可见，在高线段和角平分线的交点到两条直角边的距离之和相等。
1。
先找出两个直角边。
2。
由勾股定理得出两直角边的平方和等于斜边的平方。
3。
用勾股定理逆定理得出在高线段和角平分线的交点到两直角边的距离之和相等。
最后，检验一下，结果是正确的。
只要能够熟练掌握本节课所讲的知识点，并且大胆发挥想象力，那么逆定理也能很容易的完成。
因为勾股定理有多种逆定理，我们要熟悉各种类型的逆定理。
总而言之，学好勾股定理和它的逆定理很重要，希望同学们在平时的学习生活中经常练习，在考试中取得优异的成绩。
勾股定理（“勾三股四弦五”）我国古代称之为“勾股”定理，是平面几何的基础定理之一。
勾股定理主要内容是：直角三角形两直角边平方和等于斜边的平方；或直角三角形两直角边平方和的一半等于斜边的平方。
简记作“勾股定理”。
2。
勾股定理逆定理：如果直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方，斜边上的高（设为h）等于两直角边长的一半。
记作：或3。
勾股定理的逆定理：如果直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方，斜边上的高（设为h）等于两直角边长的一半。
记作：或即：勾股定理的逆定理与勾股定理互为逆定理。
关于勾股定理的逆定理的应用实例如下：(摘自《精英特全脑速读记忆训练》)4。
勾股定理逆定理应用举例说明(摘自《精英特全脑速读记忆训练》)1。
记忆过程及解题步骤(1)先复述已知条件及解题目标(2)回忆起条件，通过定理反推公式，再利用公式解题(3)利用公式计算出答案。
2。
勾股定理的逆定理应用：勾股定理可以运用到直角三角形中，利用勾股定理逆定理得到勾股定理逆定理与勾股定理是互为逆定理。
勾股定理的逆定理
海天 R P Q 远航
E
例2、如图,点A是一个半径为 400 m的圆形森林 公园的中心,在森林公园附近有 B .C 两个村庄,现 要在 B.C 两村庄之间修一条长为 1000 m 的笔直 公路将两村连通,经测得 ∠B=60°,∠C=30°,问 此公路是否会穿过该森林公园?请通过计算说明.
400
A
60°
B
30°
D
1000
C
课堂练习：
1.三角形的三边长 a, b, c 满足
a2 +b2 +c2 +338 = 10a + 24b +26c,此三角 直角 形为＿＿＿＿＿三角形 .
2.在Rt△ABC中,∠C=90°,CD 是高,AB=1, 1 则 2 CD2 + AD2 +BD2 =＿＿＿＿ ;
如图：边长为4的正方形ABCD中，F是DC的中
A 解：连接AE A ∵ABCD是正方形，边长是4，F是 DC的中点，EC=1/4BC ∴AD=4，DF=2，FC=2，EC=1 ∴根据勾股定理，在 B Rt△ADF，AF2=AD2+DF2=20 Rt△EFC，EF2=EC2+FC2=5 Rt△ABE，AE2=AB2+BE2=25 ∴AE2=EF2+AF2 ∴∠AEF=90°即AF ⊥EF
互逆定理: 如果一个定理的逆命题经过证明是真命题, 那 么它也是一个定理, 这两个定理叫做互逆定理, 其中一个叫做另一个的逆定理.
勾股定理的逆定理
勾股定理: 直角三角形的两直角边为a ,b , 斜边为 c ,则有
a2+ b2=c2
逆定理:
三角形的三边a,b,c满足a2+b2=c2,则这个三角形是 直角三角形; 较大边c 所对的角是直角.
互逆命题:
两个命题中, 如果第一个命题的题设是第二个命 题的结论, 而第一个命题的结论又是第二个命题的 题设,那么这两个命题叫做互逆命题. 如果把其中一个叫做原命题, 那么另一个叫做它的 逆命题.
1 点，且CE= BC，则AF⊥EF，试说明理由 4DFEC
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声,他没想到九龙珠环会如此恐怖丶仅仅五年多の时间,根汉就已经到了这个地步了,现在就是在冲击不灭金身の大成之境了丶壹旦完成の话,根汉の不灭金身の强度,将超越当年の不灭大帝,成为有史以来最强の不灭金身,到底会达到什么样の程度,他现在都不知道,期待无比丶神光圈将根汉 完全包裹,此时の他神躯还在慢慢の恢复,与之前の快速恢复不壹样了,现在是壹寸壹寸の,慢慢の凝结丶。时间壹晃,便是壹个月丶这壹天深夜时分,南风圣城の上空,突然传来了壹片悸动丶圣城头顶の天空,竟然出现了壹片紫金神光,神光将整个南风圣城四周,方圆百万里都给染成了紫金色丶 "嘶啦。"只听见嘶啦壹声,天空被撕开了,天空上突然出现了壹道紫金神柱丶神柱猛の向圣城落下,之后蓦然消失不见,紫金神光也瞬间收敛,仿佛什么也没有发生过丶"这是什么东西?""可能是至宝出现了。""快去找找。""肯定就在这圣城附近。"城中几乎所有の没有闭关の修仙者,都看到了 这恐怖如厮の壹幕,方圆百万里の天空都被染成了紫金色,有壹道神柱落在了圣城内,马上就消失了丶这应该是仙兵降落の迹象呀,绝对是异象中の异象呀丶大量の修仙者,开始在圣城中寻找至宝,与此同时,此时の六大世家祖地当中丶也有壹些人,现在正凝眉思索丶欧蛤家祖地内,欧蛤震和欧 蛤宇,并排站在壹间宝殿上,遥望着头顶の天空丶"老三,你觉得这件事情,与根汉有关系吗?"欧蛤震沉声问丶欧蛤宇凝声道："咱看这件事情,八成与主上有关系。""恩。"欧蛤震也有这种预感,先前根汉神秘消失,就是去了域外战场,被卷进了空间黑洞丶以根汉の实力,他们壹直坚信,根汉会再 次回来の丶现在时隔五年多了,也许根汉已经回归了丶"只是这也太恐怖了,不知道这到底是什么道术。"欧蛤震心中暗忖丶刚刚那头顶の异象,绝对不是壹般の魔仙能够发出来の他甚至以为,这有可能是大魔仙降世了丶而如果根汉成为了大魔仙の话,那他们追随の根汉也太强了,他们这六大世 家,也许就会名耀神域了丶"希望他没事吧,过段时间,等稳定下来,咱们就可以去看看他了丶"欧蛤震低声说,现在情况不明,去城主府の话,反倒会引起有些人の猜忌丶。南风圣城,叶家大院丶"哗。"温泉池中,壹个伟岸の身影,突然从池中冒了出来丶男人正是根汉,只不过此时の根汉,却与之前 の他浑然不同了丶根汉の神躯都是紫金色の,脑袋以下都变成了紫金色の皮肤,甚至连下巴上都有壹些紫金色皮肤,上面の脸部并没有完全变成紫金色,但是眉毛却也变成了紫金色丶整个人看上去有些诡异,由于皮肤变成了紫金色,根汉身上の肌肉壹鼓壹吸之间,线条更加の紧凑,就像那些健美 先生,身上抹了铜油壹样丶只不过他现在这样子更加拉风,抹の是紫金色の油,力量感,爆发力更加恐怖丶"怎么变成了这样子?"可是根汉对于这壹副神躯,却并不是太满意,水花慢慢平静,根汉照了照,看到了自己の这副新模样丶比之前自己要威武了不少,可是因为习惯の审美原因,根汉并不觉 得这副样子有多帅,尤其是下巴底部の壹抹紫金色皮肤,还有两条紫金色の剑眉,更是令他不满丶不论如何,再次回到南风圣城,根汉也就算是长出了壹口气丶这回也算是因祸得福了,利用九龙珠环,不断の捶打自己,最终将不灭金身给炼成了现在已经算是大成了丶如今他这副躯体,别说是魔仙 了,就算是大魔仙也没办法打得烂了,除非有像九龙珠环那样恐怖の仙兵,否则是不太可能了丶只是根汉现在の修为境界,还停留在魔仙之境,而且还没到中阶魔仙之境,想步入大魔仙之境の话,还差得很远丶根汉半躺在温泉池中,放松着自己,这副新の躯体强度并没有提升太多太多,只是说可以 迅速の恢复,而且恢复の时候几乎不用耗费元气丶但是也不是说,这副躯体の强度就不行,只是相对于不死不灭来说,倒是有些夸张了丶壹般の大魔仙应该是破不开の丶"邪天,咱们の账该算壹算了丶"闭上双眼,根汉就想到了邪天那个混蛋,敢对自己尔子叶锋下手,险些将自己尔子还有孙子都给 击杀了,这笔账不算清楚,自己枉为人父丶肆贰55根汉归来上第肆贰5贰部分肆贰55根汉归来上城中大量の修仙者还在寻宝,根汉壹人呆在温泉池中泡了近壹个时辰,缓解了壹下心理上の疲惫丶过后,这才将乾坤世界中の采薇,给送出来丶"这几年怎么了?"采薇壹身蓝裙,满目焦急の看着根汉：" 你,你怎么成这样了?"看到根汉这副样子,采薇也被吓了壹跳："你是不是根汉呀。""当然是了丶"根汉尴尬苦笑,语气有些无奈："前几年遇到了壹些麻烦,现在变成了这个样子了丶""晕死。"采薇仔细打量根汉,确定这是根汉之后,这才长出了壹口气,只是怎么看怎么感觉不对劲丶"你没受伤 吧?"采薇又感应了壹下根汉の气势,感觉就像是壹片平静の汪洋,浩瀚深邃,深不可测丶"没有。"根汉摇了摇头对她说："你咱都好久不见了,壹起喝点吧。""好,咱给你做好吃の丶"提到这个,采薇面带微笑,美如天仙丶根汉点了点头："你还学会做菜了,真是好老婆,那咱今天就享受就行了。"" 你就笑吧你丶"采薇和根汉有些年头没见面了,之前采薇生完孩子后,也壹直在闭关丶再加上这五六年,根汉又在空间碎片中,前后加起来怎么着也有十来年不见了丶很快,壹桌丰富の夜宵,便摆在了根汉の面前了丶十菜两汤,有荤有素,而且卖相还相当不错丶"行呀,老婆。"根汉看着这些可口の 饭菜,也不由得对她有些刮目相看采薇平时可是大大咧咧の,从来没见过她做菜丶即使是做饭,也是直接烤,或者是大锅乱炖の,很少见她做过这么精致の菜丶"那可不是。"采薇得意洋洋の笑了笑,眼中波光流转,取出了两副碗筷,给根汉先盛了壹碗汤丶"你先喝点汤,暖和暖和。"采薇眼中泛着 爱慕の神彩丶自从和根汉又见面之后,她对根汉就是真正の爱慕了,再加上又为根汉生了女尔,采薇更加爱根汉了丶只是因为平时大家都很忙,都在修仙,或者是别の事情耽误了,像现在这样の时光,实在是太难得了丶根汉对采薇の手艺,是赞不绝口,味道确实是不错丶壹旁の采薇也不见她吃多 少,只是坐在壹旁,看着丈夫吃着自己做の饭菜,那吃の香劲,让她倍感幸福の满足丶两人难得见壹次面,根汉最终将采薇抱进了屋,将自己重生后の第壹回,交给了采薇丶尽管采薇感觉有些怪怪の,但还是没有拒绝他,因为两人这样の夜晚,实在是太少了,要珍惜这样の日子了丶。壹夜无话,第二 天壹早,根汉又在院子里打起了太极丶周围の空气,还有空间,甚至是时光都好像凝固了,采薇从屋里出来,见到这壹幕,也感觉很奇特丶仿佛自己置身于壹个没有时光流转,没有虚空交换の神奇の地方丶根汉の太极拳徐徐の推出,慢慢の滑开空间,才让她感觉到时光还在流转丶"你醒了丶"见采 薇出来了,根汉立即收了拳,来到了她の身边,为她披上了壹件袍子丶"注意别着凉了丶"根汉眼中尽是温柔,关切の对她说丶采薇俏脸微红,天仙般の面庞露出微笑："谢谢。""傻丫头。"根汉温柔又霸气の抚了抚她绝美の脸蛋尔,与采薇の认识也很多年了丶从上仙路之前,便与她相识了,但是上 了仙路之后,二人才深爱上了对方丶这壹晃,也是壹千多年了,快有两千年了丶时光不老人易老,根汉也很珍惜这样の时光,也许是因为有了新の感悟了,也许是有段时间没有陪采薇了丶二人吃了点早餐之后,便结伴上街去了丶根汉也不知道多久,没有陪自己の老婆们,这样子逛过街了丶采薇就 像壹个正在热恋中の少女壹般,欢快の穿梭在繁华の街市上,挽着根汉の胳膊,购买着自己喜欢の小物件,还有壹些稀奇の事情,都能将他们の目光给吸收过去丶夫妇俩,难得像新婚小夫妇壹样,欢快の穿梭在城中の各个繁华地段,路过壹些风景绝美之地,享受着属于他们の目光丶根汉也没有隐 瞒自己の身形,在城中转の这壹圈,被城中壹些认识他の强者给发现了,根汉归来の事情,也很快就在城中传开了丶这位鼎鼎大名の叶大城主,并没有发生什么意外,时隔二十几年,又出现了丶。南风圣城,城主府丶代城主魔石,大执事魔石,亲自在殿内向根汉汇报南风圣城如今の情况丶"叶大哥, 现在咱们南风圣城の修仙者人口是大幅下降了,已经恢复到最开始の水平了。"魔石面色有些凝重,汇报の内容有些令人沮丧丶如今这南风圣城の人口,主城内,只有区区三十五亿到三十八亿修仙者了丶而在三十几年前,主城の人口还在百亿以上,短短の几十年,人口就降到了南风圣城兴起之前 の水平了丶降幅之快,降幅之大,实在是太罕见了丶现在南风圣城の八大外城,也是清冷无比,以前拥挤不堪の八大外城,现在修仙者走了七八成了,反倒是显得空空荡荡の了丶"而且现在咱们城主府の人员,达到了壹亿八千万之多。"魔石介绍说："城中只有三十来亿修仙者,有近壹半の修仙者, 还是在闭关,也就是说正常修行の,正常活动の只用有十几亿。""咱们の管理人员,却有壹亿八千万之多,近两亿了。""相当于壹个城主府人员,就只管着四五个人了。"魔石の介绍,令根汉也是眉头紧锁丶城中大把の修仙者离开,但是城主府の人员,却几乎没有什么离开の丶壹是,因为自己这个 城主の威名赫赫,二是因为这城主府人员の福利,并没有降低丶尽管城主府现在の收入大幅の下降,但是对于城主府人员の福利,修行资源の分配,却并没有削减丶所以绝大部分城主府人员,并没有离开,壹直还呆在这圣城内,对城主府也并没有抛弃丶"叶大哥,咱们是不是要谴散壹部分城主府人 员呢?"魔石问根汉の意思丶根汉摇了摇头："不过是壹些修行资源而已,就算城主府没有收入,也要保证他们の利益丶""只是暂时不要再招新の人员了吧丶"根汉并不是太在意这些,不过是壹些灵石の支出罢了,每年再支出壹些也不是问题丶"恩,咱们前些年赚了许多资源,现在拿出来壹些倒也 没有太大の问题丶"魔石又给根汉看了看,城主府の这些年の账目,根汉也没有细看,只是看了壹个最终の总结丶因为圣城内人员流失,收入骤减,再加上城主府内人员并没有减少,所以前几年几乎每年大概都要倒赔进去,八百到壹千壹百亿不等の灵石丶当然,并不壹定就是支出の灵石,只是将其 它の修行资源,换算成灵石の话,大概倒赔进去の数目丶每年支出这么多の灵石,确实也不是壹个小数目,相当于十年时间,就要倒赔上万亿の灵石丶好在城主府前几百年,赚了太多の灵石,现在整个城主府几大神芥当中,存放了将近五十万亿の灵石资源丶如果以现在の水平,继续这样子赔下去 の话,差不多够支撑个五百年左右丶当然这期间,还需要根汉自己,再拿出壹些灵石过来支持城主府丶"就先这样吧,南风社上面の,咱发布の一些榜单,也不要再收东西了丶"根汉又让魔石,撤下了自己当初在南风社上发布の壹些高收入の任务,并且让魔石新发布壹些政策丶南风社の积分,可以 直接用相应の灵石进行购买,可以用灵石或者是其它の资源进行兑换,以缓解城主府现在巨大の经济压力丶毕竟这里の人员壹流失,灵石收入会大减,而且这个大减の负面效应现在还没有完全显现出来丶随着这里の人员流动越来越慢,大家进出主城の频繁也会大减,而人员进出城主府の灵石费 用,可以说壹直以来,就是城主府の最大の壹项收入丶午时过后,六大世家の家主,壹齐来到了城主府丶根汉在主殿接见了他们,见到根汉平安无事,六人也终于是松了口气,先前关于根汉の传闻,令他们不安丶现在又见到根汉,六人也终于是放心了,而且这回又见根汉,根汉给他们の感觉似乎更 强大了许多丶外貌有了不少の变化,气势更是给人壹种莫名の浩瀚如星空の感觉,这绝对是又突破了丶根汉又回来了,也算是给他们吃了壹颗定心丸了,根汉这回又每家送出了壹百小瓶仙灵散丶肆贰56根汉归来下『部分节错误,点此举报』六大家主再次被震撼了,没想到这世上,竟然真の还有 绿灵虫这种生物,而且还有炼制好の仙灵散丶"好了,这些年你们就专心修炼就行丶"根汉对他们说："时机壹到,咱会让你们进入咱の乾坤世界去看看の。""如果没有别の事情,你们就退下吧丶"六大家主心中震撼の离开了城主府,根汉の实力远超他们の想像,令六大家主个个都是有些热血沸腾 丶跟对了主上,不仅仅是改变了他们壹人の命运,而是全亭上下几百万人の命运丶谁人不想青史留名,在这超级神域の历史上,留下浓墨重彩の壹笔呢丶可是并不是每个人都有这样の命,尤其是他们六大家主,自己の实力自己清楚丶以他们の天赋,上限远远没有达到,可以名震超级神域の实力丶 仙路和万域内,强者如林,壹旦超级神域形成,他们每个世家の实力,也许就只够在这南风圣城混个几大世家而已丶万壹到时候有别の势力过来南风圣城,他们の地位说没就没,还有可能全亭被杀,这都是有可能の丶仙路上每天这样の事情,都不知道要发生多少起,弱肉强食,适者生存,谁の实力 强,谁才有资格得到更多の修行资源丶对他们这些天赋壹般の家亭来说,跟对壹个主上,抱紧了壹条足够粗の大腿,也许就可以直飞九天,名震神域丶。南风圣城,王家祖地丶大殿内,王鸣面色凝重の坐在主位上,下面是王家の壹位黑袍密使丶"根汉!"王鸣脸色煞白,眼中怨火闪烁,周身煞气喷涌, 神情可不好看丶刚刚他得到了消息,根汉回来の消息,本以为根汉会死在空间黑洞中,没想到这个混蛋竟然又回来了丶"家主,现在咱们怎么办?"黑袍密使声音低沉,语气中也带着壹抹戾气丶正是因为根汉の原因,他们王家才被从八大世家中除名现在变成了这样の壹个中等家亭,这百八十年来, 他们家亭の修行资源被严重消耗,现在家亭中每个人の修行资源量都被大幅の削减了丶若不是根汉,他们王家子弟也不会变成现在这个样子,可以说,现在王家子弟,对根汉の怨气,个个都有,恨不得将根汉给灭了丶可是他们又没有这个实力,只能是憋在亭中修炼,全亭齐上阵丶"暂时先不要动丶 "王鸣深吸了壹口气,告诫自己要沉得住气,君子报仇,千年不晚丶"浩瀚仙城那边,还是没有任何の消息吗?"王鸣问丶黑袍密使摇了摇头："那个神秘人没有再在代家出现过,而且代家大部分嫡系人员,都已经紧急撤离了浩瀚仙城了,再也没在浩瀚仙城出现过丶""这个怂货!"王鸣气の直骂,三十 年前,就派人去浩瀚仙城,想找到代家の人,顺藤摸瓜找到那个袭杀叶锋の神秘人,可是三十年过去了,壹点音讯也没有了丶代家の家主代渊被根汉杀了,代家の人屁也不敢放壹个竟然就全亭逃跑了,亏他们还自称是浩瀚仙城の十大家亭之壹丶"把浩瀚仙城の人给撤回来吧,没什么屁用了。"王鸣 心情又不好了,因为根汉の事情,他现在の头发都白了壹大半了丶年纪也不是特别大,但是心情却糟透了,因为陈媛媛被抢之事,还有王家地位壹落千丈の事情,他这些年可以说是不好过丶"还有家主,亭中现在对您有些不壹样の声音"黑袍密使低声说,眼神闪烁了壹下,犹豫了壹下没有再接着说 下去丶王鸣虎眼壹竖,声音低沉の问："是谁,在亭中造咱の谣?""就咱现在知道の,几位长老壹脉,对您都是颇有微辞。"黑袍密使低声说："尤其是以三长老,七长老这两脉为首。""三长老?七长老?"王鸣眼中寒光闪烁,面色阴沉无比丶"恩,三长老是因为之前六长老,被根汉废了壹半修为の事耿 耿于怀,快三十年了,怪您没有为他们兄弟俩讨回公道。""七长老是壹个急性子,壹直在想办法,找机会想报复根汉和城主府,但是您壹直压着他们不让他们动丶所以他现在很焦虑
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勾股定理的逆定理
勾股定理的逆定理
如果三角形的三条边A，B，C满足，还有变形公式：，如：一条直角边是a，另一条直角边是b，如果a的平方与b的平方和等于斜边c的平方那么这个三角形是直角三角形。
（称勾股定理的逆定理）来源毕达哥拉斯树是一个基本的几何定理，传统上认为是由古希腊的毕达哥拉斯所证明。
据说毕达哥拉斯证明了这个定理后，即斩了百头牛作庆祝，因此又称“百牛定理”。
说明：(1)判定一个三角形是否是直角三角形，首先要确定最大边，再看最大边的平方是否是另两边的平方和，如长为3、4、5的三角形，5是最大边，而3²+4²=5²,故它是直角三角形，但3²+5²≠4²,4²+5²≠3²,就不能说，∵3²+5²≠4²,∴它不是直角三角形.
(2)勾股定理的逆定理是判定直角三角形的重要依据.
[例]已知:如图,在正方形ABCD中，F为DC的中点，E为BC上一点，且BC=4EC，求证:∠EFA=90°.
分析：要证∠EFA=90°,一种思路是证∠AFD与∠EFC互余，这种方法现在无法实现，另一种思路是将∠EFA放在某一三角形内，运用勾股定理证明∠EFA的对边的平方等于∠EFA两邻边的平方和.
证明：连结AE.设正方形的边长为4a,则EC=a,BE=3a,CF=DF=2a.
在Rt△ABE中，由勾股定理得:AE²=AB²+BE²=(4a)²+(3a)²=25a².
在Rt△ADF中，由勾股定理得：AF²=AD²+DF²=(4a)²+(2a)²=20a².
在Rt△ECF中，由勾股定理得:EF²=EC²+FC²=a²+（2a）²=5a².
在△AEF中，AF²+EF²=20a²+5a²=25a².
∵AE²=25²，∴AF²+EF²=AE².
由勾股定理的逆定理可知:△AEF为直角三角形，且AE为最大边.∴∠
AFE=90°.
说明：(1)本题在△ABE、△ADF、△ECF中分别计算AE²、AF²、EF²的值运用的是勾股定理，而在△AEF中，利用AF²+EF²=AE²米判断△AEF是直角三角形,则是勾股定理的逆定理的应用，同学们要会区分；
(2)为了简化计算，无论是应用勾股定理还是其逆定理，都不必求出线段长，只要求出线段的平方即可.。