人教版高中数学选修1-1 第二章《圆锥曲线与方程》师用讲解

选修1-1 第二章《圆锥曲线与方程》

§2.1.1 椭圆及其标准方程

【知识要点】

● 椭圆的定义：到两个定点 F 1、F 2的距离之和等于定长（12F F >）的点的轨迹．

● 标准方程：（1）()22

2210x y a b a b

+=>>，22c a b =-，焦点是 F 1（－c ，0），F 2（c ，0）；

（2）()22

2210y x a b a b

+=>>，22c a b =-，焦点是 F 1（0，－c ），F 2（0，c ）．

【例题精讲】

【例 1】两个焦点坐标分别是(－4，0)、(4，0)，椭圆上一点 P 到两焦点的距离之和等于 10，写出椭圆的

标准方程．

【例 2】已知椭圆的两个焦点坐标分别是（0，－2）和（0，2）且过35,22⎛⎫

- ⎪⎝⎭

，求椭圆的标准方程．

点评：题（1）根据定义求．若将焦点改为(0，－4)、(0，4)其结果如何；题（2）由学生的思考与练习，总结有两种求法：其一由定义求出长轴与短轴长，根据条件写出方程；其二是由已知焦距，求出长轴与短轴的关系，设出椭圆方程，由点在椭圆上的条件，用待定系数的办法得出方程．

【例 3】判断下列方程是否表示椭圆，若是，求出 a ，b ，c 的值．

【例4】已知ΔABC 的一边BC 的长为6，周长为16，求顶点A 的轨迹方程．

【基础达标】

1．椭圆22

1259

x y +=上一点 P 到一个焦点的距离为 5，则 P 到另一个焦点的距离为（ ） A ．5 B ．6 C ．4 D ．10

2．椭圆22

11312

x y +=上任一点 P 到两个焦点的距离的和为（ ） A ．26 B ．24 C ．2 D ．213

3．已知 F 1，F 2是椭圆22

1259

x y +=的两个焦点，过 F 1的直线交椭圆于 M ，N 两点，则△MNF 2周长为（ ）

A ．10

B ．16

C ．20

D ．32

4．椭圆的两个焦点分别是F 1(－8，0)和F 2(8，0)，且椭圆上一点到两个焦点距离之和为 20，则此椭圆的 标准方程为（ ）

A ．

2212012x y += B ．22

140036

x y += C ．22110036x y += D ．22136100x y +=

5．椭圆22

14

x y m +=的焦距是 2，则 m 的值为（ ） A ．5或 3 B ．8 C ．5 D ．16

6．椭圆

22

1169

x y +=的焦距是 ，焦点坐标为 ． 7．焦点为（0，4）和（0，－4），且过点

(

)

533，-的椭圆方程是 ．

1～5 ADCCA

【能力提高】

8．如果方程 x 2+ky 2=2表示焦点在 y 轴上的椭圆，求实数 k 的取值范围．

9．写出适合下列条件的椭圆的标准方程：

（1）a=4，b =3，焦点在x 轴； （2）a =5，c =2，焦点在y 轴上．

10．求到定点（2，0）与到定直线x =8的距离之比为

2

2

的动点的轨迹方程．

§2.1.2 椭圆的简单几何性质（一）

【知识要点】

● 熟练掌握椭圆的范围，对称性，顶点，离心率等简单几何性质． ● 掌握标准方程中a ，b ，c 的几何意义，以及a ，b ，c ，e 的相互关系． ● 理解、掌握坐标法中根据曲线的方程研究曲线的几何性质的一般方法．

【例题精讲】

【例 1】已知椭圆的中心在坐标原点 O ，焦点在 x 轴上，椭圆的短轴端点和焦点所组成的四边形为正

方形，且离心率为

2

2

，求椭圆的方程．

【例 2】已知 x 轴上的一定点 A （1，0），Q 为椭圆2

214

x y +=上的动点，求 A Q 中点 M 的轨迹方程．

【例 3】椭圆22

110036

x y +=上有一点 P ，它到椭圆的左焦点 F 1的距离为 8，求△PF 1F 2的面积．

【例 4】设P 是椭圆()2

2211x y a a

+=>短轴的一个端点，Q 为椭圆上的一个动点，求PQ 的最大

值．

【基础达标】

1．已知P 是椭圆

22110036x y +=上的一点，若P 到椭圆右焦点的距离是345

，则P 点到椭圆左焦点的距离是（ ） A ．

165 B ．665 C ．758

D ．778 2．若焦点在 x 轴上的椭圆2212x y m +=的离心率为1

2

，则 m =（ ） A ．3 B ．

32 C ．83 D ．23

3．已知椭圆的中心在原点，焦点在 x 轴上，且长轴长为 12，离心率为1

3

，则椭圆的方程是（ ）

A ．

22

1144128

x y += B ．2213620x y += C ．2213236x y += D ．2213632x y += 4．设定点F 1（0，－3）、F 2（0，3），动点P 满足条件()129

0PF PF a a a

+=+>，则点P 的轨迹是（ ）

A ．椭圆

B ．线段

C ．不存在

D ．椭圆或线段 5．若椭圆短轴长等于焦距的3倍，则这个椭圆的离心率为（ ）

A ．

14 B ．22 C ．24 D ．1

2

6．已知椭圆C 的短轴长为6，焦点F 到长轴的一个端点的距离等于9，则椭圆C 的离心率等于 ． 7．离心率1

2

e =

，一个焦点是 F （0，－3）的椭圆标准方程为 ．

1～5 BBDDD

【能力提高】