计算方法实验.

计算方法

实验指导

姓名______________

学号______________

院系______________

专业______________

哈尔滨工业大学

计算方法实验指导

根据实际问题建立的数学模型，一般不能求出所谓的解析解，必须针对数学模型的特点确定适当的计算方法，编制出计算机能够执行的计算程序，输入计算机，进行调试，完成运算，如果计算结果存在问题或不知是否正确，还需要重新确定新的计算方法，再编制出计算程序，输入计算机，重新调试，完成运算，直至获得正确的计算结果，这就是数值计算的全部过程。

学生在学习“计算方法”和“高级语言”等课程时普遍存在的问题是：只会套用教科书中的标准程序进行数值计算，很少有人能够独立地将学过的数值算法编制成计算机程序，至于灵活应用已经掌握的算法求解综合性较大的课题，则更是困难的事情。

编写《计算方法实验指导》的目的是：突出数值计算程序结构化的思想。提高学生的编程能力，加深对“计算方法”课程内容的理解和掌握，为”计算方法“课程的教学服务，进一步奠定从事数值计算工作的基础。具体地

1.根据“计算方法”课程内容的特点，给出五个典型算法的分析流程，学生可以利用所掌握的“高级语言”顺利地编制出计算机程序，上机实习，完成实验环节的教学要求。

2.所有的计算实习题目都经过任课教师逐一检验，准确无误。

3.充分利用循环的思想、迭代的思想，给出算法结构描述和程序语言的对应关系，有利于学生编制相应的程序。

4.结合实习题目，提出实验要求，要求学生按规范格式写出相应的实验报告，实验报告成绩记入期末总成绩。需要提醒学生：不能简单地套用现成的标准程序完成实验题目，应当把重点放在对算法的理解、程序的优化设计、上机调试和计算结果分析上，否则就失去实验课的目的啦。

5. 五个具体的实验题目是：

实验题目1拉格朗日(Lagrange)插值

实验题目2龙贝格(Romberg)积分法

实验题目3四阶龙格—库塔(Runge—Kutta)方法

实验题目4牛顿(Newton)迭代法

实验题目5高斯(Gauss)列主元消去法

要求必须完成其中三个（如果全部完成更好）。

实验题目1 拉格朗日(Lagrange)插值

方法概要：

给定平面上1n +个不同的数据点(,())k k x f x ，0,1,,k n =，i j x x ≠，i j ≠；

则满足条件

()()n k k P x f x =，0,1,

,k n =

的n 次拉格朗日插值多项式

0()()()n

n k k k P x f x l x ==∑

是存在唯一的。若[,],0,1,,k x a b k n ∈=，且函数()f x 充分光滑，则当[,]x a b ∈时，

有误差估计式

(1)01()

()()()()

()(1)!

n n n f f x P x x x x x x x n ξ+-=---+，[,]a b ξ∈

拉格朗日插值算法实验

实验目的：利用拉格朗日插值多项式()n P x 求()f x 的近似值 输 入：1n +个数据点(,())k k x f x ，0,1,,k n =；插值点x

输 出：()f x 在插值点x 的近似值()n P x 程序流程：

1 置0.0y =；0k =

2 当k n ≤时，做2.1—2.4 2.1 置 1.0l =； 2.2 对0,1,

,1,1,

,j k k n =-+，置()/()j k j l l x x x x =⋅--

2.3 置()k y y l f x =+⋅ 2.4 置1k k =+ 3 输出,x y 4 停机

问题1 拉格朗日插值多项式的次数n 越大越好吗？

考虑下面两个拉格朗日插值问题：

（1）设2

1

()1f x x

=

+，[5,5]x ∈-，考虑等距节点的拉格朗日插值多项式()n P x ，即将区间[5,5]-进行n 等分，记10.0

h n

=， 5.0k x k h =-+⋅，0,1,,k n =，构造

()n P x ，利用拉格朗日插值多项式()n P x 作为()f x 的近似值。分别取5n =，10n =，

20n =，同时计算()n P x 在0.75x =， 1.75x =， 2.75x =， 3.75x =， 4.75x =处

的函数值。

（2）设()x

f x e =，[1,1]x ∈-，考虑等距节点的拉格朗日插值多项式()n P x ，即将区间[1,1]-进行n 等分，记 2.0

h n

=

， 1.0k x k h =-+⋅，0,1,,k n =，构造()n P x ，

利用拉格朗日插值多项式()n P x 作为()f x 的近似值。分别取5n =，10n =，20n =，同时计算()n P x 在0.95x =-，0.05x =-，0.05x =，0.95x =处的函数值。

问题2 插值区间越小越好吗？

考虑下面两个拉格朗日插值问题：

（1）设2

1

()1f x x

=

+，[1,1]x ∈-，考虑等距节点的拉格朗日插值多项式()n P x ，即将区间[1,1]-进行n 等分，记 2.0

h n

=， 1.0k x k h =-+⋅，0,1,,k n =，构造()n P x ，利用拉格朗日插值多项式()n P x 作为()f x 的近似值。分别取5n =，10n =，20n =，同时计算()n P x 在0.95x =-，0.05x =-，0.05x =，0.95x =处的函数值。

（2）设()x

f x e =，[5,5]x ∈-，考虑等距节点的拉格朗日插值多项式()n P x ，即将区间[5,5]-进行n 等分，记 2.0

h n

=

， 1.0k x k h =-+⋅，0,1,,k n =，构造()n P x ，

利用拉格朗日插值多项式()n P x 作为()f x 的近似值。分别取5n =，10n =，20n =，同时计算()n P x 在 4.75x =-，0.25x =-，0.25x =， 4.75x =处的函数值。