网络系统可靠性

结构函数的意义
通过以上分析，结构函 数反映了系统和分系统或者 零部件在结构上的关系。 通过结构函数还能反映 分系统或者零部件在结构上 的重要程度。
定义3 若系统具有单调结构函数 ，且系 统中的所有部件都与系统有关，则称系统 为单调关联系统，记作 CS 。 n个部件的串联系统是单调关联系统，其结 构函数 n ( x) min xi xi （5-8）
B Bi
i 1
l
从而求网络系统可靠性R的问题就可归纳为 以下3步。 （1）求出网络S的所有最小割集B1, B2 ,, Bl ； l （2）计算概率 Q( B) P( Bi ) ； i 1 当 l =2时，则
Q( B) P( B1 ) P( B2 ) P( B1B2 )
第二节
网络可靠性计算
从可靠性的角度分析，往往可 以将一个系统化为一个网络来 研究。 为了讨论方便，假定： （1）弧或系统只有正常或失效 两种状态，而节点不失效； （2）弧之间的失效是独立的。
一、计算网络可靠性的两种方法 1．最小通路法 由系统的最小通路出发，由最小通路的可靠度 去求系统的可靠度，这就是最小通路法。 设网络s所有的最小通路为 A1， 2，…， m，且用 Ai A A （i=1, 2, …,m）也表示“第i条路中所有弧正常” 事件，则网络s正常事件为：
（5-4）
（3）网络系统可靠度为：
R 1 Q( B)
（5-5）
例5-2 如图5-2所示的桥形网络系统S，各 弧的不可靠度分别为 q1 =0.3， q2 =0.1, q3=0.2， 4 =0.05， 5 =0.4，试求网络系统S q q 的可靠度。 解 此网络系统共有4个最小割集，即 B1x1 , x4 B2 x1 , x5 , x3 B3 x4 , x5 , x2 B x , x ， 4 2 3 各个最小割集的不可靠度分别为
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第五章 网络系统可靠性
第一节 网络的基本概念 第二节 网络可靠性计算 第三节 单调关联系统 习题
第一节 网络的基本概念
网络系统是比较复杂的系统。图5-1所示的桥 形系统就是一个网络
3
x1
x2
1
2
x4
对任意两个n维状态向量 x, y, x y表示 xi yi (i 1, 2,, n) 定义1 设P是系统的结构函数，若对任意的： x y 有 ( x) ( y ) (5-6) 则称 是单调结构函数，或单调系统．记 作 MS

显然，单调结构函数反映了部件状态的 改善不会使系统反而变坏，进一步，引入 记号(1 , x) ( x ,, x ,1, x ,, x ),
P A2 A4 P P P4 P 0.3192 1 3 5
P A3 A4 P2 P P4 P 0.4104 3 5
P A1 A2 A3 P( A1 A2 A4 ) P( A1 A3 A4 ) P( A2 A3 A4 ) P( A1 A2 A3 A4 ) P P2 P3 P4 P5 0.28728 1
P A4 P4 P3 0.76
且
P A1 A2 P P2 P3 P5 0.3024 1
P A1 A3 P P2 P4 P 0.3591 1 5
P A1 A4 P P2 P P4 0.4788 1 3
P A2 A3 P P2 P P4 P 0.28728 1 3 5
Q( B1B4 ) 0.0003
Q( B2 B4 ) 0.0024
Q( B1B3 ) 0.0006
Q( B2 B3 ) 0.00012 Q(B3 B4 ) 0.0004
Q( B2 B3 B4 ) Q( B1B3 B4 ) Q( B1B2 B4 ) Q( B1B2 B3 ) Q( B1B2 B3 B4 ) 0.00012

假定系统由n个部件组成。若所有部件只有正常 和失效两状态，令 1, 若第i个部件正常， xi i 1, 2,, n 0, 若第i个部件失效， 我们用 x ( x1 , x2 ,, xn ) 表示部件状态向量。假定 系统亦只有正常和失效两状态，且系统正常与否 完全由系统的结构和部件的状态所决定．这样， 对给定的部件状态向量x，系统的状态可表示为 1, 若系统正常， ( x) 0, 若系统失效， 我们称 ( x) 为系统的结构函数。
i 1 i 1 i 1 n
(0i , x) ( x1 ,, xi 1 , 0, xi 1 ,, xn ), (i , x) ( x1 ,, xi 1 , , xi 1 ,, xn )
定义2 若对某个部件i，存在x使
(0i, x) 0, (1i , x) 1
第三节 单调关联系统
一、单调关联系统的定义和基本性质 例 5-3 考虑由两台发动机、两台设备和一个开关 组成的并网供电系统，其工程结构见图5-4。若 系统仅当两套设备都不能工作时才失效，则其可 靠性框图成桥式形状，见图5-5。
图5-4 工程结构图
X1
X2
X5
X3
图5-5 可靠性框图
X4
显然，它不属于我们定义过的任何一种系 统，为此需引进新的系统概念。 串联、并联、表决、混联等系统以及如例 5-1所表示的系统等，都有如下的共同点： 部件或系统都只有正常或失效两种可能的 状态；系统正常与否，完全由其结构及部 件的状态所决定。
x3
4
图5-1 桥形网络
有向弧 : 有方向的弧
无向弧: 无方向的弧
输出节点 : 只有流出弧而没有流入弧的节点 输入节点: 只有流入弧而没有流出弧的节点 最小通路: 若从连接两节点间的一条路中去掉任 一条弧后，就不再是连接此两节点间的路
对网络系统的理解： 可以将弧理解为分系统或 者设备，能量和物质从起 点经过这些设备加工后到 达终点。
当 l =3时，则
Q( B) P( B1 ) P( B2 ) P( B3 ) P( B1B2 ) P( B1B3 ) P( B2 B3 ) P( B1B2 B3 )
一般公式为：
Q( B) (1)
i 1
l
i 1
1 j ji n
P( A
j1
, Aj 2 ,, Aji )
则系统不可靠度为：
Q( B) (0.015 0.024 0.002 0.02) (0.0012 0.0006 0.0003 0.00012 0.0024 0.0004) 4 0.00012 0.00012 0.05634
系统可靠度为：
R 1 Q( B) 0.94366
则称部件i与系统有关。
（5-7）
上述性质称为部件与系统的关联性。反之， 若某个部件i，对所有x，都有
(0i , x) (1i , x)
则部件i与系统无关，即不论部件i是好还是 坏（xi=1或xi=0），在任何情况下对系统都 没有影响。从可靠性的角度来看，无关部 件对系统不起任何作用。
（5-1） 从而,求网络系统可靠度R的问题就可归为两步。 第一步：求出网络s的最小通路 A1，2 ，…， m ； A A
i 1
S
A
m
i
第二步：计算概率
R P( S ) P( Ai )
i 1 m
(5-2)
当m=2时，则
R P( A1 A2 ) P( A1 ) P( A2 ) P( A1 A2 )
容易看出，发点与收点之间和每条最小 路集都至少包含割集中的一个弧。
3
x2
4
x3
5
x1
x10
9
x11
x12 x22
10
x13
x4 x14
2
1
x9 x8
x21
x18 x20 x19
8
x17
11
x15 x5 x16 x6
6
x7 7 图5-3 网络系统
最小割集法的基本思想是；若最小割集失 效，即割集中所有弧全部失效，则网络失 效。因此，可由各个最小割集的不可靠度， 求得网络的不可靠度，从而求得网络的可 靠度。 设网络S，其中 l 个最小割集为Bi i 1,2,, l ， 当任一割集Bi 的所有弧全发生失效的事件 也记为 Bi 。其概率记为Q(Bi )(i 1,2,, l )；又 设系统S失效事件记为B，其概率为Q(B)。则
i 1
因此并联系统的结构函数可表示为 （5-11） 用式（5-8）和（5-9）可表示串、并混联系统的 结构函数。 k / n(G) 表决系统的结构函数是
i
n 1, 若 xi k ( x) i 1 0, 其他
( x) x i
n
（5-12）
二、 单调关联系统的数学描述 假设 {CS} 。对任意状态向量 x ( x1,, xn )。 记 c0 ( x) {i : xi 0} ，1 ( x) {i : xi 1} (5-16) c 定义5 若 ( x) 1 ，则称x为 的一个路向量， c1 的一个路集。若 是路向量，且对任 叫做( x) x x ( y) 的最小路向 意 有 y 。则称x为 0 c1 ( x) 量， 为 的最小路集。 中元素的个数 c1 ( x) 称作最小路的阶或长度。
1
x5
x4
2
x3
图5-2 桥形网络系统
4
解 此系统共有4个最小通路 T1{x1，x2}
T2{x1，x5，x3} T3{x4，x5，x2}
T4{x4，x3}
则各最小通路的可靠度分别为：
P A1 P P2 0.63 1
P A2 P P5 P3 0.336 1
P A3 P4 P5 P2 0.513
m
m
1 j1 ... ji n
P( A
பைடு நூலகம்j1
Aj2 ...Aji )
（5-3）
例5-1 如图5-2所示的网络系统S，各弧的可 靠度分别为 p1 0.7 ，2 0.9 ，3 0.8 ， 0.95 p p p4 p5 0.6 ,试求此网络系统S的可靠度R。
3
x1
x2

R P( Ai )
i 1
从而得： m
P( A1 ) P( A2 ) P( A3 ) P( A4 ) P( A1 A2 ) P( A1 A3 ) P( A1 A4 ) P( A2 A3 ) P( A2 A4 ) P( A3 A4 ) P( A1 A2 A3 ) P( A1 A3 A4 ) P( A1 A2 A3 ) P( A2 A3 A4 ) P( A1 A2 A3 A4 ) 0.94366

2．最小割集法
若在网络上去掉某一部分弧后， 发点与收点之间便无路可通， 则称这部分弧构成一个割集 若在割集中随意去掉一个弧就 不再成为割集，则称此割集为 最小割集。
最小割集和最小路集的求法
割集是通过画一条经过系统各方框的线，显示出可能导 致系统失效的最小数量的失效方框。合集、或路集则是通过 画一条经过各方框的线，当这些方框全部都在工作时，才会 使系统工作。
i i 1
并联系统也是单调关联系统,其结构函数是 n （5-9）
( x) max xi 1 (1 xi )
i i 1
在可靠性理论中常用下列特别的记号：对任意 的 0 pi 1(i 1, 2,, n) ，记 n n （5-10）
P
i
i
1 (1 Pi )
Q( B1 ) q1q4 0.3 0.05 0.015
Q(B2 ) q1q5q3 0.3 0.4 0.2 0.024
Q(B3 ) q4q5q2 0.05 0.4 0.1 0.002 Q( B4 ) q2q3 0.1 0.2 0.02
并且 Q( B B ) 0.0012 1 2
当m=3时，则
R P( A1 A2 A3 ) P( A1 ) P( A2 ) P( A3 )
P( A1 A2 ) P( A1 A3 ) P( A2 A3 ) P( A1 A2 A3 )
可以归纳出一般公式为：
P( Ai ) (1)i 1
i 1 i 1