【高考数学压轴题】圆锥曲线压轴题综合训练题精品(含答案)8

【高考数学压轴题】圆锥曲线压轴题综合训练题精品（含答

案)8

未命名

一、解答题

1．过抛物线22(0)x py p => 的焦点F 的直线与抛物线在第一象限的交点为A ，与抛物线准线的交点为 B ，点A 在抛物线准线上的射影为C ，若,AF FB ABC =∆ 的面

积为 .

（ 1 ） 求抛物线的标准方程；

（ 2 ） 过焦点F 的直线与抛物线交于,M N 两点，抛物线在,M N 点处的切线分别为

12,l l ，且1l 与2l 相交于P 点，1l 与x 轴交于Q 点，求证：2//FQ l .

2．设O 是坐标原点, F 是抛物线22(0)x py p =>的焦点, C 是该抛物线上的任意一点,当FC 与y 轴正方向的夹角为60时, ||21OC =. (1)求抛物线的方程；

(2)已知(0,)A p ,设B 是该抛物线上的任意一点, ,M N 是x 轴上的两个动点,且

||2MN p =，||||BM BN =,当

||||

||||

AM AN AN AM +计取得最大大值时，求BMN ∆的面积. 3．在平面直角坐标系xOy 中，抛物线()2

:20C x py p =>，直线y x =与C 交于,O T

两点，OT =（1）求C 的方程； （2）斜率为102k k ⎛

⎫

<≤

⎪⎝⎭

的直线l 过线段OT 的中点，与C 交于,A B 两点，直线,OA OB 分别交直线2y x =-于,M N 两点，求MN 的最大值.

4．已知圆()()2

2

9:4

C x a y b -+-=的圆心C 在抛物线()2

20x py p =>上，圆C 过原点且与抛物线的准线相切. （1）求该抛物线的方程；

（2）过抛物线焦点F 的直线l 交抛物线于A ，B 两点，分别在点A ，B 处作抛物线的

两条切线交于P 点，求三角形PAB 面积的最小值及此时直线l 的方程.

5．已知椭圆C ：22

221(0)x y a b a b

+=>>的左、右焦点分别为1F ，2F ，点3(1,)2P 在椭

圆C 上，满足129

4

PF PF ⋅=

. （1）求椭圆C 的标准方程；

（2）直线1l 过点P ，且与椭圆只有一个公共点，直线2l 与1l 的倾斜角互补，且与椭圆交于异于点P 的两点M ，N ，与直线1x =交于点K （K 介于M ，N 两点之间）. （i ）求证：

PM KN PN KM

⋅=⋅；

（ii ）是否存在直线2l ，使得直线1l 、2l 、PM 、PN 的斜率按某种顺序能构成等比数列？若能，求出2l 的方程；若不能，请说明理由.

6．双曲线()22

2

2:10,0x y C a b a b

-=>>的焦点分别为：()()

12F F -，,

且双曲线C 经过点(P ． （1）求双曲线C 的方程；

（2）设O 为坐标原点，若点A 在双曲线C 上，点B 在直线x 且=0OA OB ⋅，是点O 为圆心的定圆恒与直线AB 相切？若存在，求出该圆的方程，若不存在，请说明理由.

7．在直角坐标系xOy 中，已知抛物线2:2(0)C x py p =>的焦点为F ，若椭圆M ：

22

22

1(0)x y a b a b +=>>经过点F ，抛物线C 和椭圆M 有公共点2(,)3E t ，且8

3

EF =.

（1）求抛物线C 和椭圆M 的方程；

（2）是否存在正数m ，对于经过点(0,)P m 且与抛物线C 有,A B 两个交点的任意一条直线，都有焦点F 在以AB 为直径的圆内？若存在，求出m 的取值范围；若不存在，请说明理由.

8．如图，直线:l y kx m =+与抛物线2:4E x y =相交于,A B 两点，F 是抛物线E 的焦点，若抛物线E 上存在点C ，使点F 恰为ABC ∆的重心.

（1）求m 的取值范围； （2）求OAB ∆面积的最大值.

9．如图，在平面直角坐标系xOy 中，椭圆

的左，右顶点分别为

·若直线3x+4y+5=0上有且仅有一个点M ，便得 . （1）求椭圆C 的标准方程

（2）设圆T 的圆心T(0,t)在x 轴上方，且圆T 经过椭圆C 两焦点，点P ，Q 分别为椭圆C 和圆T 上的一动点，若

时，PQ 取得最大值为

，求实数t 的值.

10．已知M 为圆O ：221x y +=上一动点，过点M 作x 轴，y 轴的垂线，垂足分别为,A B ，连接BA 延长至点P ，使得||2PA =，记点P 的轨迹为曲线C . （1）求曲线C 的方程；

（2）直线:l y kx m =+与圆O 相切，且与曲线C 交于,D E 两点，直线1l 平行于l 且与曲线C 相切于点Q （,O Q 位于l 两侧），

2

3

ODE QDE S S ∆∆=，求k 的值.

11．如图，在平面直角坐标系中，已知点(1,0)F ，过直线l ：2x =左侧的动点P

作

PH l ⊥于点H ，HPF ∠的角平分线交x 轴于点M ，

且P

H F =，记动点P 的轨迹为曲线Γ.

（1）求曲线Γ的方程；

（2）过点F 作直线m 交曲线Γ于,A B 两点，点C 在l 上，且//BC x 轴，试问：直线

AC 是否恒过定点？请说明理由.

12．在平面直角坐标系xOy 中，点A 在x 轴上，点B 在y 轴上，且2AB =，延长BA 至P ，且A 为PB 的中点，记点P 的轨迹为曲线C . （1）求曲线C 的方程；

（2）若直线:l y kx m =+与圆O ：22

1x y +=相切，且l 与曲线C 交于,M N 两点，Q

为 u 型C 上一点，当四边形OMQN 为平行四边形时，求k 的值.

13．已知椭圆C ：22221x y a b += (0)a b >>

的离心率为2

，短轴为MN .点(4,0)P 满

足15PM PN ⋅=. (1)求椭圆C 的方程；

(2)设O 为坐标原点，过点P 的动直线l 与椭圆交于点A 、B ，是否存在常数λ使得

OA OB PA PB λ⋅+⋅为定值？若存在，求出λ的值；若不存在，请说明理由.

14．已知椭圆C 的中心为坐标原点，焦点在x

轴上，离心率e =C 的长轴

和短轴为对角线的四边形的周长为（Ⅰ）求椭圆C 的标准方程；

（Ⅱ）若经过点(1,0)P 的直线l 交椭圆C 于,A B 两点，是否存在直线00:l x x =0(2)x >，

使得,A B 到直线0l 的距离,A B d d 满足A B PA d d PB

=恒成立，若存在，请求出0x 的值；若不存在，请说明理由

.