名校高考模拟卷2019届福建省福州八县一中高三上学期期中考试数学(文)试题

2019届福建省福州八县一中高三上学期期中考试高中三年文科数学试卷考试日期：11月15日 完卷时间：120分钟 满 分：150分第I 卷（选择题共60分）一、选择题：每小题各5分,共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题意要求的．1. 已知集合{}1,3,5A =-, {}13B x x x =≤->或，则A B =（ ） A. {}1,5- B. {}1,3,5- C. {}15x x x ≤-≥或 D. {}13x x x ≤-≥或2. 若复数11i z a i-=++的实部与虚部相等，其中a 是实数，则a =（ ） A ．1 B ．0 C ．1- D ．23. 已知函数()f x 满足()()3f x f x -=，当03x <≤时，()1f x x =+，则()8f =（ ）A ．2B ．3C ．2D ．3 4. 已知452a =，1525b =，274c =，则( )A ．b a c <<B ．a c b <<C ．c b a <<D ．c a b <<5. 已知平面向量a ，b 满足1a =，2b a -=，且2a b ⋅=，则a 与()b a -的夹角为（ ） A ．3πB ．4πC ．6πD ．23π 6. 已知函数()21cos 21x xf x x +=⋅-，则函数()y f x =的图象大致是( )A. B. C. D.7. 已知一次函数21y x =+的图象过点(,)P a b （其中0,0a b >>），则2ba的最小值是（ ）A. 1B. 8C. 9D. 168. 若函数()cos(2)(||)2f x x πϕϕ=+<的图象向右平移3π个单位后得到的图象关于原点对称，则函数()y f x =的单调递增区间是（ ）学校 班级 姓名 座号 准考号： .A. 7[,]()1212k k k Z ππππ--∈ B. 5[,]()1212k k k Z ππππ-+∈ C. [,]()36k k k Z ππππ-+∈ D. 2[,]()63k k k Z ππππ++∈9. 在ABC ∆中，E 为边BC 上的点，且2BE EC =，F 为线段AE 的中点，则 CF =( )A ．2736AB AC - B ．2536AB AC -C ．1536AB AC -D ．1263AB AC -10. 函数()3sin cos f x a x a x ωω=+（0a >，0ωπ<<）的部分图象如下图所示，则ω的值为（ ）A. 1ω=B.2πω=C. 2ω=D.3ω=11. 某个团队计划租用A ,B 两种型号的小车安排40名队员（其中多数队员会开车且有驾驶证，租用的车辆全部由队员驾驶）外出开展活动，若A ,B 两种型号的小车均为5座车（含驾驶员），且日租金分别是200元/辆和120元/辆.要求租用A 型车至少1辆，租用B 型车辆数不少于A 型车辆数且不超过A 型车辆数的3倍，则这个团队租用这两种小车所需日租金之和的最小值是( )A. 1280元B.1120元C. 1040元D.560元12. 已知函数()2cos (sin )3f x x m x x =⋅--在(,)-∞+∞上单调递减，则实数m 的取值范围是（ ）A ．[1,1]-B ．1[1,]2- C ．11[,]22- D ．11(,)22-第Ⅱ卷（非选择题共90分）二、填空题：每小题各5分, 共20分．把答案填在答题卡的相应位置上．13. 曲线2xy e x =+在点(0,1)处的切线方程是 ________________．14. 设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若530S =，且45316a a -=，则数列{}n a 的公差是________．15. 若向量(1,4)AC =,(,1)BC a =，且AC AB ⊥，则实数a 的值是_____．16．已知函数()212 1x x f x x ⎧>=⎨≤⎩，， , 则满足()()212f x f x +>的x 的取值范围是________．三、解答题：本大题共6题，共70分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出证明过程或演算步骤．17. （本小题满分10分）若等比数列{}n a 的前n 项和为n S ,且34a =，33S =.（Ⅰ）求1a ，2a ;（Ⅱ）求数列{}n a 的前n 项和. 判断n S ,n a ,1n S +-是否为等差数列，并说明理由.18. （本小题满分12分）已知2:12p m a m <+<+；q ：函数()2log =-f x x a 在区间1(,4)4上有零点.（Ⅰ）若1m =，求使()p q ⌝∧为真命题时实数a 的取值范围；（Ⅱ）若p 是q 成立的充分不必要条件，求实数m 的取值范围.19. （本小题满分12分）已知函数()cos()(0,0)f x x ωϕωϕπ=+>≤<，满足3()12f πω=，且函数()y f x =图象上相邻两个对称中心间的距离为π. （Ⅰ）求函数()f x 的解析式；（Ⅱ）若(,)2πθπ∈--，且()4f πθ-=，求tan()4πθ+的值.20．(本小题满分12分)在ABC ∆中，角,,A B C 的对边分别是,,a b c ，且222()sin (sin sin )a b C c C B -⋅=⋅-. （Ⅰ）求角A 的大小；（Ⅱ）若1a =，求ABC ∆周长l 的最大值．21. （本小题满分12分）设数列{}n a 的前n 项和为n S ，且22n n S a =-. （Ⅰ）求{}n a 的通项公式；（Ⅱ）若2211log 2n n b a +=，且数列{}n b 的前n 项和为n T ，求12111nT T T +++.22. （本小题满分12分）已知函数()ln ()f x a x x a R =-∈.（Ⅰ）若3是()f x 的一个极值点，求函数()f x 表达式, 并求出()f x 的单调区间； （Ⅱ）若(0,1]x ∈，证明当2a ≤时，()10f x x+≥．2018-2019学年度第一学期八县（市）一中期中联考高中三年文科数学试卷（答案）一．选择题：（各5分, 共60分） 二. 填空题（各5分,共20分）13． 310x y -+= ； 14． 4； 15. 13； 16. 1(,)2+∞.三、解答题：共70分17. 解：（Ⅰ）设数列{}n a 的公比为q ，则21214(1)3a q a q q ⎧=⎨++=⎩ …………………………………2分 解得2q =-， ……………………………………3分11a = ……………………………………4分 212a a q ∴==- ……………………………………5分 （Ⅱ）由（Ⅰ）知，2q =-，11a =则1(1)1(2)11(2)1333n n n n a q S q ---===--- ………………………7分数列n S ,n a ,1n S +-是等差数列，证明如下： ………………………8分 n S 11()(2)2n n n n n S a a q a a +++-=-=-=-⋅-=，n S ∴,n a ,1n S +-成等差数列 ……………………………………10分18.解：（Ⅰ）当1m =时，:02p a <<, ……………1分 则:0p a ⌝≤或2a ≥ ……………2分函数()2log =-f x x a 在区间1(,4)4上单调递增 ……………3分 且函数()2log =-f x x a 在区间1(,4)4上有零点()1()0440f f ⎧<⎪∴⎨⎪>⎩解得 22a -<<，则:22q a -<<. ………………5分()p q ⌝∧为真命题，0222a a a ≤≥⎧∴⎨-<<⎩或 解得20a -<≤则a 的取值范围是(2,0]-. ………………6分（Ⅱ）2:11p m a m -<<+，:22q a -<<，且p 是q 成立的充分条件212(1)12(2)m m -≥-⎧∴⎨+≤⎩ ………………8分11m ∴-≤≤ ………………10分 又因为p 是q 成立的不必要条件，所以（1）、（2）等号不能同时成立 1m ∴≠- ………………11分 综上得，实数m 的取值范围是(1,1]-. ………………12分19. 解：（Ⅰ）∵3()12f πω=， 3cos()12πϕ∴+=，即sin 1ϕ=， ………………………………2分又0ϕπ≤<， 2πϕ∴=. ……………………………………3分 ∵函数()y f x =图象上相邻两个对称中心间的距离为π.122ππω∴⋅=， 1ω∴=， ……………………………………5分 则()cos()sin 2f x x x π=+=-. ……………………………………6分（Ⅱ）∵()4f πθ-=sin()4πθ∴-= ……………………7分θθ=……………………8分 即cos()4πθ+=……………………9分(,)2πθπ∈--， 3444πππθ∴-<+<- ……………………10分sin()4πθ∴+== ………………………11分则sin()4tan()24cos()4πθπθπθ++===-+ …………………………12分 20．解：（Ⅰ）由正弦定理得，222()()a b c c c b -⋅=⋅- ………………1分 0c ≠ 222b c a bc ∴+-= ………………2分2221cos 22b c a A bc +-∴== ………………4分又在ABC ∆中，0A π<< ………………5分3A π∴= . ………………6分（Ⅱ）由（Ⅰ）及1a =，得221b c bc +=+，即2()31b c bc +=+ ………………8分因为2()2b c bc +≤,（当且仅当b c =时等号成立） ………………9分 所以223()()14b c b c +≤++．则2b c +≤（当且仅当1b c ==时等号成立） ……………11分 所以l =3a b c ++≤．则当1b c ==时，ABC ∆周长l 取得最大值3． ……………12分法二:（Ⅱ）由正弦定理得b B =，c C = …………8分则l=21sin(B)]3a b c π++=+-12sin(B )6π=++ ……10分因为2(0,)3B π∈，所以5666B πππ<+< ………………11分当3B π=时，ABC ∆的周长l 取得最大值3． ………………12分21. 解：（Ⅰ）由已知，当2n ≥时，11(22)(22)n n n n n a S S a a --=-=--- ………………1分 即()122n n a a n -=≥. ………………3分 又当1n =时，1122a a =-，即120a =≠ ………………4分()122n n an a -∴=≥所以{}n a 是以2为首项，公比为2的等比数列，则2n n a =. ……6分（Ⅱ）由（Ⅰ）得，2121211log 2222n n n b n ++===+ …………7分11n n b b +∴-=, 则{}n b 是以32为首项，公差为1的等差数列3521(2)2222n n n n T ++∴=+++=. ……………8分 所以12111n T T T +++()22221324352n n =++++⨯⨯⨯+ …………9分1111111(1)()()()324352n n =-+-+-++-+ ……………10分1111212n n =+--++ ………………11分 3113232122(1)(2)n n n n n +=--=-++++ ………………12分 22. 解：（Ⅰ）()f x 的定义域为(0)+∞，， ………………1分 ()1af x x'=-． ………………2分由题设知，()30f '=，所以3a =． ………………3分 经检验3a =满足已知条件，从而()3ln f x x x =-． ()331xf x x x-'=-= ………………4分当03x <<时，()0f x '>；当3x >时，()0f x '<．所以()f x 单调递增区间是(03)，，递减区间是(3)+∞，． …………6分 （Ⅱ）设()()11ln g x f x a x x x x=+=-+，(0,1]x ∈则()222111a x ax g x x x x-+'=--=- ……………7分 ⑴当0a ≤时，(0,1]x ∈，1ln 0,0x x x∴≤-≥()0g x ∴≥，即()10f x x+≥ ……………9分 ⑵当02a <≤时，2104a -≥ ()222()1240a a x g x x -+-'∴=-≤ ………………10分 ()g x ∴在区间(0,1]上单调递减()()10g x g ∴≥=，即()10f x x+≥ ………………11分 综上得, 当(0,1]x ∈且2a ≤时，()10f x x+≥成立． ……………12分（Ⅱ）解法二：⑴若1x =，则()1f x =-()1110f x x∴+=-+= ……………7分⑵若01x <<，则ln 0x <当2a ≤时，()111ln 2ln f x a x x x x x x x +=-+≥-+ ……………9分设()12ln g x x x x=-+，(0,1)x ∈()22221(1)10x g x x x x -'∴=--=-< ………………10分()g x ∴在区间(0,1]上单调递减()()10g x g ∴>=，则()10f x x+> ………………11分综上得, 当(0,1]x ∈且2a ≤时，()10f x x+≥成立． ………………12分。