2016年中考数学 微测试系列专题18 圆的基本性质和圆的有关位置关系(含解析)新人教版
[原创]2016年 《南方新中考》 数学 第一部分 第四章 第4讲 第2课时 与圆有关的位置关系[配
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图 4-4-31
(1)求证：∠BCA＝∠BAD；
(2)求 DE 的长；
(3)求证：BE 是⊙O 的切线.
数学知识
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(1)证明：∵BD＝BA，∴∠BDA＝∠BAD. ∵∠BCA＝∠BDA，∴∠BCA＝∠BAD. (2)解：∵∠BDE＝∠CAB(圆周角定理)且∠BED＝∠CBA ＝90°， ∴△BED∽△CBA. ∴BADC＝DABE，即1123＝D12E.解得 DE＝11434.
PB.若 PB＝4，则 PA 的长为________. 解析：连接 CP，PB 的延长线交⊙C 于 P′，如图 4-4-26，
∵CP＝5，CB＝3，PB＝4，∴CB2＋PB2＝CP2，∴△CPB 为直
角三角形，∴∠CBP＝90°，∴CB⊥PB，∴PB＝P′B＝4.∵∠C
＝90°，∴PB∥AC，而 PB＝AC＝4，∴四边形 ACBP 为矩形，
图 4-4-29
数学知识
16
解：(1)直线 CD 和⊙O 的位置关系是相切.
理由如下：如图 D40，连接 OD.
∵AB 是⊙O 的直径，
∴∠ADB＝90°.
∴∠DAB＋∠DBA＝90°.
∵∠CDA＝∠CBD，
图 D40
∴∠DAB＋∠CDA＝90°.
∵OD＝OA，
∴∠DAB＝∠ADO.
∴∠CDA＋∠ADO＝90°.∴∠ODC＝90°.即 OD⊥CE.
图 D41
数学知识
21
(3)证明：连接 OB，OD(如图 D41). 在△ABO 和△DBO 中，
ABBO＝＝DBOB，， OA＝OD， ∴△ABO≌△DBO(SSS).∴∠DBO＝∠ABO. ∵∠ABO＝∠OAB＝∠BDC，∴∠DBO＝∠BDC. ∴OB∥ED. ∵BE⊥ED，∴EB⊥BO.∴BE 是⊙O 的切线.
圆的性质及与圆有关的位置关系复习(中考考点训练)
D●OABCM └C圆的性质及与圆有关的位置关系（一）考点一：垂径定理 （一）知识清单： 垂径定理及推论： ① CD 是直径 ② CD ⊥AB ③ AM=BM ④ 弧AC=弧BC ⑤ 弧AD=弧BD（二）考点训练： A1、（2011北京房山）如图，AB 为圆O 的直径，弦CD 垂直于AB ， 垂足为点E ，连结OC ，若OC=5，AE=2，则CD 等于（ ） A 3 B 4 C 6 D 8 A2、（2011浙江温州）如图，AB 是⊙O 的弦，半径OC垂直AB 于点D ，且AB=8cm ，OC=5cm ， 则OD 的长是（ ） A 3cm B 2.5cm C 2cm D 1cmA3、（2010江西）如图，以点P 为圆心的圆弧与x 轴交于A 、B 两点， 点P 的坐标为（4，2），点A 的坐标为（2，0），则点B 的坐标为 A4、（2011嘉兴）半径为10的⊙O 中，弦AB 的长为16，则这条弦的弦心距为（ ） A 6 B 8 C 10 D 12 B5、已知⊙O 的半径等于5cm,，弦AB=6cm ，CD=8cm ， 且AB 平行于CD ，则AB 、CD 之间的距离为 B6、（2010山西）已知，圆O 的直径为10，弦AB=8，P 是弦AB 上的一个动点，则OP 长的取值范围是（ ）A OP<5 B 8<OP<10 C 3<OP<5 D 3≤OP ≤5 考点二：圆心角、弧、弦、弦心距、圆周角 （一）知识清单：Ⅰ（1）在同等或等圆中，如果两个圆心角、两条弦、两条弧或两条弦的弦心距中有一组量相等，那么其余的各组量也都分别相等Ⅱ（1）定理：半圆（或直径）所对的圆周角是直角 （2）逆定理：900的圆周角所对的弦是圆的直径（3）圆周角定理：一条弧所对的圆周角的度数等于它所对的圆心角度数的一半（4）推论：同弧或等弧所对的圆周角相等；在同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧相等 Ⅲ（1）圆的内接四边形的对角互补（2）圆的内接四边形的外角等于它的内对角A OBCD（二）考点训练：A1、（2011江苏）如图，在圆O 中，直径AB 为∠ACB 的平分线交圆O 于点D ，则BC= ，∠A2、（2009河北）正三角形ABC 内接于圆O ，动点在圆周的劣弧AB 上，且不与A 、B 重合， 则∠BPC =B3、（2010南京）如图，点C 在圆O 按逆时针方向旋转到∠A`OB`，旋转角为a,(00若∠AOB=300，∠BCA`=400，则∠a= 。
2019年新人教版中考数学 微测试系列专题18 圆的基本性质和圆的有关位置关系 含解析
2019年新人教版中考数学微测试系列专题18 圆的基本性质和圆的有关位置关系学校：___________姓名：___________班级：___________1.【辽宁阜新2015年中考数学试卷】如图，点A，B，C是⊙O上的三点，已知∠AOB=100°，那么∠ACB的度数是（）A．30° B．40° C．50° D．60°【答案】C．【解析】考点：圆周角定理．2．【湖北襄阳2015年中考数学试卷】点O是△ABC的外心，若∠BOC=80°，则∠BAC的度数为（）A．40° B．100° C．40°或140° D．40°或100°【答案】C．【解析】试题分析：如图所示：∵O是△ABC的外心，∠BOC=80°，∴∠A=40°，∠A′=140°，故∠BAC的度数为：40°或140°．故选C．考点：1．三角形的外接圆与外心；2．圆周角定理；3．分类讨论．3.【2015届浙江省杭州市5月中考模拟】如图，A、D是⊙O上的两个点，BC是直径，若∠D=35°，则∠OAC的度数是（）A．35° B．55° C．65° D．70°【答案】B.【解析】考点：圆周角定理．4.【2015届湖南省邵阳市邵阳县中考二模】如图，⊙O是△ABC的外接圆，AD是⊙O的直径，EA是⊙O的切线．若∠EAC=120°，则∠ABC的度数是（）A．80° B．70° C．60° D．50°【答案】C.【解析】试题解析：∵EA是⊙O的切线，AD是⊙O的直径，∴∠EAD=90°，∵∠EAC=120°，∴∠DAC=∠EAC-∠EAD=30°，∵AD是⊙O的直径，∴∠ACD=90°，∴∠ADC=180°-∠A CD-∠DAC=60°，∴∠ABC=∠ADC=60°（圆周角定理），故选：C．考点：切线的性质．5.【辽宁沈阳2015年中考数学试题】如图，在△ABC中，AB=AC，∠B=30°，以点A为圆心，以3cm为半径作⊙A，当AB= cm时，BC与⊙A相切．【答案】6．【解析】考点：切线的判定．6.【黑龙江牡丹江2015年中考数学试题】如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，若AB=8，CD=6，则BE= ．【答案】.【解析】试题分析： 连接OC ，如图：∵AB=8，CD=6，∴根据垂径定理（垂直于弦的直径平分弦并且平分弦所对的弧）得出CE=ED=12CD=3，∴OC=OB=12AB=4，在Rt △OEC 中，由勾股定理求出OE=2234考点：1.垂径定理；2.勾股定理．7.【2015届湖北省黄冈市启黄中学中考模拟】如图所示，经过B （2，0）、C （6，0）两点的⊙H 与y 轴的负半轴相切于点A ，双曲线y=xk 经过圆心H ，则k= ．【答案】﹣83．【解析】考点：1．切线的性质；2．反比例函数图象上点的坐标特征．8.【2015届山东省枣庄市滕州市中考二模】如图，在Rt△AOB中，OA=OB=4，⊙O的半径为1，点P是AB边上的动点，过点P作⊙O的一条切线PQ（点Q为切点），则线段PQ长度的最小值为．【解析】考点：切线的性质．9．【辽宁盘锦2015年中考数学试题】如图1，AB为⊙O的直径，点P是直径AB上任意一点，过点P作弦CD⊥AB，垂足为P，过点B的直线与线段AD的延长线交于点F，且∠F=∠ABC．（1）若CD=BP=4，求⊙O的半径；（2）求证：直线BF是⊙O的切线；（3）当点P与点O重合时，过点A作⊙O的切线交线段BC的延长线于点E，在其它条件不变的情况下，判断四边形AEBF是什么特殊的四边形？请在图2中补全图象并证明你的结论．【答案】（1）198；（2）证明见解析；（3）四边形AEBF是平行四边形，证明见解析.【解析】（2）∵∠A=∠C，∠F=∠ABC，∴△PBC∽△BFA，∴∠ABF=∠CPB，∵CD⊥AB，∴∠ABF=∠CPB=90°，∴直线BF是⊙O的切线；（3）四边形AEBF是平行四边形；理由：如图2所示：∵CD⊥AB，垂足为P，∴当点P与点O重合时，CD=AB，∴OC=OD，∵AE是⊙O 的切线，∴BA⊥AE，∵CD⊥AB，∴DC∥AE，∵AO=OB，∴OC是△ABE的中位线，∴AE=2OC，∵∠D=∠ABC，∠F=∠ABC，∴∠D=∠F，∴CD∥BF，∵AE∥BF，∵OA=OB，∴OD是△ABF的中位线，∴BF=2OD，∴AE=BF，∴四边形AEBF是平行四边形．考点：1．圆的综合题；2．三角形中位线定理；3．平行四边形的判定；4．综合题．10.【2015届浙江省宁波市江北区中考模拟】已知：如图，△ABC 中，∠BAC=90°，点D 在BC 边上，且BD=BA ，过点B 画AD 的垂线交AC 于点O ，以O 为圆心，AO 为半径画圆．（1）求证：BC 是⊙O 的切线；（2）若⊙O 的半径为8，tan ∠C=34，求线段AB 的长，sin ∠ADB 的值． 【答案】（1）证明见解析；（2）10103． 【解析】试题解析：（1）连接OD ，如图：∵BA=BD，BO⊥AD（已知），∴∠ABO=∠DBO（等腰三角形顶角三线合一），在△ABO和△DBO 中，根据边角边判定△ABO≌△DBO，∴OD=OA．，∵OA为半径，∴OD也为半径，∴∠ODB=∠OAB=90°，∴BD⊥OD，∴BC是⊙O的切线；考点：1．切线的判定；2．三角形全等的判定和性质；3．锐角三角函数．。
第30讲 与圆有关的位置关系2016
∴AC＝BC＝2OC＝10.
(2)证明：如图，连接OD，
∵∠ADC＝90°，E为AC的中点，
∴DE＝EC＝AC，∴∠1＝∠2.∵OD＝OC，∴∠3＝∠4.
∵AC切⊙O于点C，∴AC⊥OC，∴∠1＋∠3＝∠2＋∠4＝90°，即DE⊥OD，∴DE是⊙O的切线．
7．(2015·枣庄)如图，一个边长为4 cm的等边三角形ABC的高与⊙O的直径相等．⊙O与BC相切于点C，与AC相交于点E，则CE的长为()
A．4 cm B．3 cm C．2 cm D．1.5 cm
【解析】如图，连接OC，过点O作OF⊥AC，垂足为F，过点A作AH⊥BC，垂足为H.∵⊙O与
BC相切于点C，∴∠OCB＝90°.
又∵△ABC是等边三角形，且边长为4 cm，∴∠ACB＝60°，CH＝2 cm，∴∠OCF＝30°.在Rt△ACH中，AH＝＝＝2(cm)，∴OC＝cm.在Rt△OCF中，cos 30°＝＝＝，∴CF＝(cm)．在⊙O中，∵OF⊥CE，∴EC＝2CF＝3 cm.故选B.
8．(2015·达州)如图，AB为半圆O的直径，AD，BC分别切⊙O于A，B两点，CD切⊙O于点E，连接OD，OC，
∴DC＝OF＝2.∴DE＝DC－CE＝2－.
方法总结：
已知圆的切线，若图中没有连接切点的半径，可连接切点与圆心构造直角三角形，在直角三角形中利用勾股定理或直角三角形的两锐角互余解答问题.
考点四 切线的判定
例4(2015·潍坊)如图，在△ABC中，AB＝AC，以AC为直径的⊙O交BC于点D，交AB于点E.过点D作DF⊥AB，垂足为F，连接DE.
【解析】连接AO，∵AP是切线，
∴AP⊥AO.根据勾股定理可得
中考总复习：圆的有关概念、性质与圆有关的位置关系--知识讲解(基础)
中考总复习：圆的有关概念、性质与圆有关的位置关系—知识讲解（基础）责编：常春芳【考纲要求】1. 圆的基本性质和位置关系是中考考查的重点，但圆中复杂证明及两圆位置关系中证明会有下降趋势，不会有太复杂的大题出现；2.中考试题中将更侧重于具体问题中考查圆的定义及点与圆的位置关系，对应用、创新、开放探究型题目，会根据当前的政治形势、新闻背景和实际生活去命题，进一步体现数学来源于生活，又应用于生活．【知识网络】【考点梳理】考点一、圆的有关概念及性质1．圆的有关概念圆、圆心、半径、等圆；弦、直径、弦心距、弧、半圆、优弧、劣弧、等弧；三角形的外接圆、三角形的内切圆、三角形的外心、三角形的内心、圆心角、圆周角．要点诠释：等弧：在同圆或等圆中，能够互相重合的弧叫做等弧．2．圆的对称性圆是轴对称图形，任何一条直径所在直线都是它的对称轴，圆有无数条对称轴；圆是以圆心为对称中心的中心对称图形；圆具有旋转不变性．3．圆的确定不在同一直线上的三个点确定一个圆．要点诠释：圆心确定圆的位置，半径确定圆的大小．4．垂直于弦的直径垂径定理垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．推论 平分弦(不是直径)的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧．要点诠释：在图中(1)直径CD ，(2)CD ⊥AB ，(3)AM ＝MB ，(4)C C A B =，(5)AD BD =．若上述5个条件有2个成立，则另外3个也成立．因此，垂径定理也称“五二三定理”．即知二推三． 注意：(1)(3)作条件时，应限制AB 不能为直径．5．圆心角、弧、弦之间的关系定理 在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等．推论 在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量也相等． 6．圆周角圆周角定理 在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半． 推论1 在同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧也相等．推论2 半圆(或直径)所对的圆周角是直角；90°的圆周角所对的弦是直径． 要点诠释：圆周角性质的前提是在同圆或等圆中．考点二、与圆有关的位置关系 1．点和圆的位置关系设⊙O 的半径为r ，点P 到圆心的距离OP ＝d ，则有：点P 在圆外⇔d ＞r ； 点P 在圆上⇔d ＝r ； 点P 在圆内⇔d ＜r ． 要点诠释：圆的确定：①过一点的圆有无数个，如图所示．②过两点A 、B 的圆有无数个，如图所示．③经过在同一直线上的三点不能作圆．④不在同一直线上的三点确定一个圆．如图所示．2．直线和圆的位置关系（1）切线的判定切线的判定定理经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线．(会过圆上一点画圆的切线)（2）切线的性质切线的性质定理圆的切线垂直于过切点的半径．（3）切线长和切线长定理切线长经过圆外一点作圆的切线，这点和切点之间的线段的长，叫做这点到圆的切线长．切线长定理从圆外一点可以引圆的两条切线，它们的切线长相等，这一点和圆心的连线平分两条切线的夹角．要点诠释：直线l是⊙O的切线，必须符合两个条件：①直线l经过⊙O上的一点A；②OA⊥l．3．圆和圆的位置关系(1)基本概念两圆相离、相切、外离、外切、相交、内切、内含的定义．(2)请看下表：要点诠释：①相切包括内切和外切，相离包括外离和内含．其中相切和相交是重点． ②同心圆是内含的特殊情况．③圆与圆的位置关系可以从两个圆的相对运动来理解． ④“R-r ”时，要特别注意，R ＞r ．【典型例题】类型一、圆的性质及垂径定理的应用【高清课堂：圆的有关概念、性质及与圆有关的位置关系 ID:412074 经典例题1】1．已知：如图所示，在⊙O 中，弦AB 的中点为C ，过点C 的半径为OD ．(1)若AB ＝OC ＝1，求CD 的长； (2)若半径OD ＝R ，∠AOB ＝120°，求CD 的长.【思路点拨】如图所示，一般的，若∠AOB ＝2n °，OD ⊥AB 于C ，OA ＝R ，OC ＝h ，则AB ＝2R ·sin n °＝2n ·tan n °＝CD ＝R －h ；AD 的长180n Rπ=． 【答案与解析】解：∵半径OD 经过弦AB 的中点C ， ∴半径OD ⊥AB ．(1)∵AB＝AC＝BC∵OC＝1，由勾股定理得OA＝2．∴CD＝OD－OC＝OA－OC＝1，即CD＝1.(2)∵OD⊥AB，OA＝OB，∴∠AOD＝∠BOD．∴∠AOB＝120°，∴∠AOC＝60°．∵OC＝OA·cos∠AOC＝OA·cos60°＝12 R，∴1122CD OD OC R R R =-=-=．【总结升华】圆的半径、弦长的一半、弦心距三条线段组成一个直角三角形，其中一个锐角为弦所对圆心角的一半，可充分利用它们的关系解决有关垂径定理的计算问题．举一反三：【变式】在足球比赛场上，甲、乙两名队员互相配合向对方球门进攻，当甲带球冲到A点时，乙已跟随冲到B点(如图所示)，此时甲是自己直接射门好还是迅速将球回传给乙，让乙射门好呢?(不考虑其他因素)【答案】解：过M、N、B三点作圆，显然A点在圆外，设MA交圆于C，则∠MAN＜∠MCN．而∠MCN＝∠MBN，∴∠MAN＜∠MBN．因此在B点射门较好．即甲应迅速将球回传给乙，让乙射门．2．（2015•大庆模拟）已知AB是⊙O的直径，C是圆周上的动点，P是弧AC的中点．（1）如图1，求证：OP∥BC；（2）如图2，PC交AB于D，当△ODC是等腰三角形时，求∠A的度数．【思路点拨】（1）连结AC，延长PO交AC于H，如图1，由P是弧AC的中点，根据垂径定理得PH⊥AC，再根据圆周角定理，由AB是⊙O的直径得∠ACB=90°，然后根据OP∥BC；（2）如图2，根据圆心角、弧、弦的关系，以及三角形内角和等推论证来求得∠A的度数.【答案与解析】（1）证明：连结AC，延长PO交AC于H，如图1，∵P是弧AB的中点，∴PH⊥AC，∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB=90°，∴BC⊥AC，∴OP∥BC；（2）解：如图2，∵P是弧AC的中点，∴PA=PC，∴∠PAC=∠PCA，∵OA=OC，∴∠OAC=∠OCA，∴∠PAO=∠PCO，当DO=DC，设∠DCO=x，则∠DOC=x，∠PAO=x，∴∠OPC=∠OCP=x，∠PDO=2x，∵∠OPA=∠PAO=x，∴∠POD=2x，在△POD中，x+2x+2x=180°，解得x=36°，即∠PAO=36°，当CO=CD，设∠DCO=x，则∠OPC=x，∠PAO=x，∴∠POD=2x，∴∠ODC=∠POD+∠OPC=3x，∵CD=CO，∴∠DOC=∠ODC=3x，在△POC中，x+x+5x=180°，解得x=（）°，即∠PAO=（）°．综上所述，∠A的度数为36°或（）°．【总结升华】本题考查了圆周角定理及其推论同时考查了等腰三角形的性质、垂径定理和三角形内角和定理．举一反三：【变式】（2015•温州模拟）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=5，CB=12，AD是△ABC的角平分线，过A、C、D三点的圆与斜边AB交于点E，连接DE．（1）求BE的长；（2）求△ACD外接圆的半径．【答案】解：（1）∵∠ACB=90°，且∠ACB为圆O的圆周角（已知），∴AD为圆O的直径（90°的圆周角所对的弦为圆的直径），∴∠AED=90°（直径所对的圆周角为直角），又AD是△ABC的角平分线（已知），∴∠CAD=∠EAD（角平分线定义），∴CD=DE（在同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弦相等），在Rt△ACD和Rt△AED中，，∴Rt△ACD≌Rt△AED（HL），∴AC=AE（全等三角形的对应边相等）；∵△ABC为直角三角形，且AC=5，CB=12，∴根据勾股定理得：AB==13，∴BE=13﹣AC=13﹣5=8；（2）由（1）得到∠AED=90°，则有∠BED=90°，设CD=DE=x，则DB=BC﹣CD=12﹣x，EB=AB﹣AE=AB﹣AC=13﹣5=8，在Rt△BED中，根据勾股定理得：BD2=BE2+ED2，即（12﹣x）2=x2+82，解得：x=，∴CD=，又AC=5，△ACD为直角三角形，∴根据勾股定理得：AD==，根据AD是△ACD外接圆直径，∴△ACD外接圆的半径为：×=．类型二、圆的切线判定与性质的应用3．如图所示，AB＝AC，O是BC的中点，⊙O与AB相切于点D，求证：AC与⊙O相切．【思路点拨】AC与⊙O有无公共点在已知条件中没有说明，因此只能过点O向AC作垂线段OE，长等于⊙O的半径，则垂足E必在⊙O上，从而AC与⊙O相切．【答案与解析】证明：连接OD，作OE⊥AC，垂足为E，连结OA．∵AB与⊙O相切于点D，∴OD⊥AB．∵AB＝AC，OB＝OC，∴∠1＝∠2，∴OE＝OD．∵OD为⊙O半径，∴AC与⊙O相切．【总结升华】如果已知直线经过圆上一点，那么连半径，证垂直；如果已知直线与圆是否有公共点在条件中并没有给出，那么作垂直，证半径．举一反三：【变式】如图所示，在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝a，AC＝b，AB＝c．求△ABC的内切圆的半径．【答案】解：设△ABC的内切圆与三边的切点分别为D、E、F，根据切线长定理可得：AE ＝AF ，BF ＝BD ，CD ＝CE ，而AE+CE ＝b ，CD+BD ＝a ，AF+BF ＝c ， 可求2a b cCE +-=． 连接OE 、OD ，易证OE ＝CE ．即直角三角形的内切圆半径2a b cr +-=．4．如图所示，已知：△ABC 内接于⊙O ，点D 在OC 的延长线上，1sin 2B =，∠D ＝30°． (1)求证：AD 是⊙O 的切线； (2)若AC ＝6，求AD 的长．【思路点拨】（1）连接OA ，根据圆周角定理求出∠O 的度数，根据三角形的内角和定理求出∠OAD ，根据切线的判定推出即可；（2）得出等边三角形AOC ，求出OA ，根据勾股定理求出AD 的长即可． 【答案与解析】(1)证明：连接OA ，∵1sin 2B =，∴∠B ＝30°． ∵∠AOC ＝2∠B ，∴∠AOC ＝60°． ∵∠D ＝30°，∴∠OAD ＝180°－∠D －∠AOD ＝90°． ∴AD 是⊙O 的切线．(2)解：∵OA ＝OC ，∠AOC ＝60°，∴△AOC是等边三角形，∴OA＝AC＝6．∵∠OAD＝90°，∠D＝30°，∴AD＝【总结升华】证明直线是圆的切线的方法：①有半径，证垂直；②有垂直，证半径．举一反三：【变式】如图所示，半径OA⊥OB，P是OB延长线上一点，PA交⊙O于D，过D作⊙O的切线交PO于C 点，求证：PC＝CD．【答案】证明：连接OD．∵CE切⊙O于D，∴OD⊥CE．∴∠2+∠3＝90°．∵OA⊥OB，∴∠P+∠A＝90°．∵OD＝OA，∴∠3＝∠A．．∴∠P＝∠2．又∵∠1＝∠2，∴∠P＝∠1．∴PC＝CD．类型三、切线的性质与等腰三角形、勾股定理综合运用5．已知AB是⊙O的直径，点P是AB延长线上的一个动点，过P作⊙O的切线，切点为C，∠APC 的平分线交AC于点D，求∠CDP的度数.【思路点拨】连接OC，根据题意，可知OC⊥PC，∠CPD+∠DPA+∠A+∠ACO=90°，可推出∠DPA+∠A=45°，即∠CDP=45°．【答案与解析】解：连接OC，∵OC=OA，，PD平分∠APC，∴∠CPD=∠DPA，∠A=∠ACO，∵PC为⊙O的切线，∴OC⊥PC，∵∠CPD+∠DPA+∠A+∠ACO=90°，∴∠DPA+∠A=45°，即∠CDP=45°．【总结升华】本题主要考查切线的性质、等边三角形的性质、角平分线的性质、外角的性质，解题的关键在于做好辅助线构建直角三角形，求证∠CPD+∠DPA+∠A+∠ACO=90°，即可求出∠CDP=45°．【高清课堂：圆的有关概念、性质及与圆有关的位置关系 ID:412074 经典例题3】6．如图所示，AB是⊙O的直径，AF是⊙O的弦，AE平分∠BAF，交⊙O于点E，过点E作直线ED⊥AF于点D，交AB的延长线于点C．(1)求证：CD是⊙O的切线；(2)若DE＝4，sinC＝35，求AE的长．【思路点拨】构造半径、半弦、弦心距的直角三角形．【答案与解析】解：(1)证明：连接OE，BF，交于点G，则BF⊥AF，BF∥CD．∵OA＝OE，∴∠OAE＝∠OEA．∵∠OAE＝∠FAE，∴∠OEA＝∠FAE．∴OE∥AF，∵AF⊥DE，∴OE⊥CD．∴CD为⊙O的切线．(2)解：∵ BF∥DE，OE∥AF，∠D＝90°，∴四边形DEGF为矩形．∴BF＝2GF＝2DE＝8．∵BF∥CD，∴∠C＝∠ABF．可求得OA＝OB＝5，OG＝3．∴DF＝EG＝2，AF＝AB·sinC＝6．∴AD＝8，AE=【总结升华】(1)通过挖掘图形的性质，将分散的条件sinC＝35，DE＝4，集中到一个直角三角形中，使问题最终得到解决；(2)本题第(2)问还可以适当改变后进行变式训练，如改为：若DF＝2，sinC＝35，求AE的长；(3)第(2)问还可以过O作OM⊥AF于M后得OM＝DE＝4，sin∠AOM＝sinC＝35加以解决.。
陕西省2016中考数学复习+考点跟踪突破18 圆的基本性质
第六章 圆考点跟踪突破18 圆的基本性质一、选择题1．(2015·玉林)如图，在⊙O 中，直径CD ⊥弦AB ，则下列结论中正确的是( B )A ．AC ＝AB B ．∠C ＝12∠BOD C ．∠C ＝∠B D ．∠A ＝∠BOD,第1题图) ,第2题图)2．(2015·宁波)如图，⊙O 为△ABC 的外接圆，∠A ＝72°，则∠BCO 的度数为( B )A ．15°B ．18°C ．20°D ．28°3．(2016·创新题)如图，已知∠BAC ＝ 30°， BC ＝2，则⊙O 的直径是( C )A ．2B . 2C ．2 2D ．4,第3题图),第4题图) 4．(2015·巴中)如图，在⊙O 中，弦AC ∥半径OB ，∠BOC ＝50°，则∠OAB 的度数为( A )A ．25°B ．50°C ．60°D ．30° 5．(2015·贵港)如图，AB 是⊙O 的直径，BC ︵＝CD ︵＝DE ︵，∠COD ＝34°，则∠AEO 的度数是( A )A ．51°B ．56°C ．68°D ． 78°,第5题图) ,第6题图)6．(2016·创新题)如图是以△ABC 的边AB 为直径的半圆O ，点C 恰好在半圆上，过点C 作CD ⊥AB 交AB 于点D.已知cos ∠ACD ＝35，BC ＝4，则AC 的长为( D ) A ．1 B .203 C ．3 D .1637.(2015·潍坊模拟)图中的五个半圆，邻近的两半圆相切，两只小虫同时出发，以相同的速度从A 点到B 点，甲虫沿ADA 1，A 1EA 2，A 2FA 3，A 3GB 路线爬行，乙虫沿ACB 路线爬行，则下列结论正确的是( C )A ．甲先到B 点 B ．乙先到B 点C ．甲、乙同时到BD ．无法确定,第7题图) ,第8题图)8．(2015·南宁)如图，AB 是⊙O 的直径，AB ＝8，点M 在⊙O 上，∠MAB ＝20°，N 是弧MB 的中点，P 是直径AB 上的一动点．若MN ＝1，则△PMN 周长的最小值为( B )A ．4B ．5C ．6D ．7二、填空题9．(2015·甘南州)如图，AB 为⊙O 的弦，⊙O 的半径为5，OC ⊥AB 于点D ，交⊙O 于点C ，且CD ＝1，则弦AB 的长是__6__．,第9题图),第10题图) 10．(2015·天水)如图，边长为1的小正方形构成的网格中，半径为1的⊙O 在格点上，则∠AED 的正切值为__12__． 11．(2015·东营)如图，水平放置的圆柱形排水管道的截面直径是1 m ，其中水面的宽AB 为0.8 m ，则排水管内水的深度为__0.8__m .,第11题图) ,第12题图)12．(2014·宁波)如图，半径为6 cm 的⊙O 中，C ，D 为直径AB 的三等分点，点E ，F 分别在AB 两侧的半圆上，∠BCE ＝∠BDF ＝60°，连接AE ，BF ，则图中两个阴影部分的面积为cm 2. 点拨：如图作△DBF 的轴对称图形△CAG ，作AM ⊥CG ，ON ⊥CE ，∵△DBF 的轴对称图形为△CAG ，由于C ，D 为直径AB 的三等分点，∴△ACG ≌△BDF ，∴∠ACG ＝∠BDF ＝60°，∵∠ECB ＝60°，∴G ，C ，E 三点共线，∵AM ⊥CG ，ON ⊥CE ，∴AM ∥ON ，∴AM ON ＝AC OC ，在Rt △ONC 中，∠OCN ＝60°，∴ON ＝sin ∠OCN ·OC ＝32·OC ，∵OC ＝13OA ＝2，∴ON ＝32×2＝3，∴AM ＝23，∵ON ⊥GE ，∴NE ＝GN ＝12GE ，连接OE ，在Rt △ONE 中，NE ＝OE 2－ON 2＝62－（3）2＝33，∴GE ＝2NE ＝233，∴S △AGE ＝12GE·AM ＝12×233×23＝611，∴图中两个阴影部分的面积为611三、解答题13．(2015·陕西模拟)如图，在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，AC ＝5，CB ＝12，AD 是△ABC 的角平分线，过A ，C ，D 三点的圆O 与斜边AB 交于点E ，连接DE.(1)求证：AC ＝AE ； (2)求AD 的长．解：(1)∵∠ACB ＝90°，且∠ACB 为圆O 的圆周角，∴AD 为圆O 的直径，∴∠AED ＝90°，又AD 是△ABC 的∠BAC 的平分线，∴∠CAD ＝∠EAD ，∴CD ＝DE ，在Rt △ACD和Rt △AED 中，⎩⎨⎧CD ＝ED ，AD ＝AD ，∴Rt △ACD ≌Rt △AED ，∴AC ＝AE (2)∵△ABC 为直角三角形，且AC ＝5，CB ＝12，∴根据勾股定理得AB ＝52＋122＝13，由(1)得到∠AED ＝90°，则有∠BED ＝90°，设CD ＝DE ＝x ，则DB ＝BC －CD ＝12－x ，EB ＝AB －AE ＝AB －AC ＝13－5＝8，在Rt △BED 中，根据勾股定理得BD 2＝BE 2＋ED 2，即(12－x)2＝x 2＋82，解得x ＝103，∴CD ＝103，又AC ＝5，△ACD 为直角三角形，∴根据勾股定理得AD ＝AC 2＋CD 2＝513314．(2015·江西模拟)如图，等腰三角形ABC 中，BA ＝BC ，以AB 为直径作圆，交BC 于点E ，圆心为O.在EB 上截取ED ＝EC ，连接AD 并延长，交⊙O 于点F ，连接OE ，EF.(1)试判断△ACD 的形状，并说明理由；(2)求证：∠ADE ＝∠OEF.解：(1)△ACD 是等腰三角形，连接AE ，∵AB 是⊙O 的直径，∴∠AED ＝90°，∴AE ⊥CD ，∵CE ＝ED ，∴AC ＝AD ，∴△ACD 是等腰三角形 (2)∵∠ADE ＝∠DEF ＋∠F ，∠OEF ＝∠OED ＋∠DEF ，而∠OED ＝∠B ，∠B ＝∠F ，∴∠ADE ＝∠OEF15．(2015·烟台)如图，以△ABC 的一边AB 为直径的半圆与其它两边AC ，BC 的交点分别为D ，E ，且DE ︵＝BE ︵.(1)试判断△ABC 的形状，并说明理由；(2)已知半圆的半径为5，BC ＝12，求sin ∠ABD 的值．解：(1)△ABC 为等腰三角形．理由如下：连接AE ，∵DE ︵＝BE ︵，∴∠DAE ＝∠BAE ，即AE 平分∠BAC ，∵AB 为直径，∴∠AEB ＝90°，∴AE ⊥BC ，∴△ABC 为等腰三角形(2)∵△ABC 为等腰三角形，AE ⊥BC ，∴BE ＝CE ＝12BC ＝12×12＝6，在Rt △ABE 中，∵AB ＝10，BE ＝6，∴AE ＝102－62＝8，∵AB 为直径，∴∠ADB ＝90°，∴12AE·BC ＝12BD·AC ，∴BD ＝8×1210＝485，在Rt △ABD 中，∵AB ＝10，BD ＝485，∴AD ＝AB 2－BD 2＝145，∴sin ∠ABD ＝AD AB ＝14510＝725。
2021年新人教版中考数学测试专题《 圆的基本性质和圆的有关位置关系》(含解析)
专题:圆的基本性质和圆的有关位置关系学校：___________姓名：___________班级：___________1.【辽宁2020年中考数学试卷】如图，点A，B，C是⊙O上的三点，已知∠AOB=100°，那么∠ACB的度数是（）A．30° B．40° C．50° D．60°【答案】C．【解析】考点：圆周角定理．2．【湖北2020年中考数学试卷】点O是△ABC的外心，若∠BOC=80°，则∠BAC的度数为（）A．40° B．100° C．40°或140° D．40°或100°【答案】C．【解析】试题分析：如图所示：∵O是△ABC的外心，∠BOC=80°，∴∠A=40°，∠A′=140°，故∠BAC的度数为：40°或140°．故选C．考点：1．三角形的外接圆与外心；2．圆周角定理；3．分类讨论．3.【浙江省杭州市5月中考模拟】如图，A、D是⊙O上的两个点，BC是直径，若∠D=35°，则∠OAC的度数是（）A．35° B．55° C．65° D．70°【答案】B.【解析】考点：圆周角定理．4.【湖南省邵阳市邵阳县中考二模】如图，⊙O是△ABC的外接圆，AD是⊙O的直径，EA是⊙O的切线．若∠EAC=120°，则∠ABC的度数是（）A．80° B．70° C．60° D．50°【答案】C.【解析】试题解析：∵EA是⊙O的切线，AD是⊙O的直径，∴∠EAD=90°，∵∠EAC=120°，∴∠DAC=∠EAC-∠EAD=30°，∵AD是⊙O的直径，∴∠ACD=90°，∴∠ADC=180°-∠A CD-∠DAC=60°，∴∠ABC=∠ADC=60°（圆周角定理），故选：C．考点：切线的性质．5.【辽宁中考数学试题】如图，在△ABC中，AB=AC，∠B=30°，以点A为圆心，以3cm为半径作⊙A，当AB= cm时，BC与⊙A相切．【答案】6．【解析】考点：切线的判定．6.【黑龙江牡丹江2020年中考数学试题】如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，若AB=8，CD=6，则BE= ．【答案】4-7.【解析】试题分析：连接OC，如图：∵AB=8，CD=6，∴根据垂径定理（垂直于弦的直径平分弦并且平分弦所对的弧）得出CE=ED=12CD=3，∴OC=OB=12AB=4，在Rt △OEC 中，由勾股定理求出OE=2234 =7，∴BE=OB-OE=4-7.考点：1.垂径定理；2.勾股定理．7.【湖北省黄冈市启黄中学中考模拟】如图所示，经过B （2，0）、C （6，0）两点的⊙H 与y 轴的负半轴相切于点A ，双曲线y=x k经过圆心H ，则k= ．【答案】﹣83．【解析】考点：1．切线的性质；2．反比例函数图象上点的坐标特征．8.【山东省枣庄市中考二模】如图，在Rt△AOB中，OA=OB=4，⊙O的半径为1，点P是AB 边上的动点，过点P作⊙O的一条切线PQ（点Q为切点），则线段PQ长度的最小值为．7.【答案】【解析】考点：切线的性质．9．【辽宁盘锦2020年中考数学试题】如图1，AB为⊙O的直径，点P是直径AB上任意一点，过点P作弦CD⊥AB，垂足为P，过点B的直线与线段AD的延长线交于点F，且∠F=∠ABC．23BP=4，求⊙O的半径；（1）若CD=（2）求证：直线BF是⊙O的切线；（3）当点P与点O重合时，过点A作⊙O的切线交线段BC的延长线于点E，在其它条件不变的情况下，判断四边形AEBF是什么特殊的四边形？请在图2中补全图象并证明你的结论．【答案】（1）198；（2）证明见解析；（3）四边形AEBF是平行四边形，证明见解析.【解析】（2）∵∠A=∠C，∠F=∠ABC，∴△PBC∽△BFA，∴∠ABF=∠CPB，∵CD⊥AB，∴∠ABF=∠CPB=90°，∴直线BF是⊙O的切线；（3）四边形AEBF是平行四边形；理由：如图2所示：∵CD⊥AB，垂足为P，∴当点P与点O重合时，CD=AB，∴OC=OD，∵AE是⊙O 的切线，∴BA⊥AE，∵CD⊥AB，∴DC∥AE，∵AO=OB，∴OC是△ABE的中位线，∴AE=2OC，∵∠D=∠ABC，∠F=∠ABC，∴∠D=∠F，∴CD∥BF，∵AE∥BF，∵OA=OB，∴OD是△ABF的中位线，∴BF=2OD，∴AE=BF，∴四边形AEBF是平行四边形．考点：1．圆的综合题；2．三角形中位线定理；3．平行四边形的判定；4．综合题．10.【浙江省宁波市江北区中考模拟】已知：如图，△ABC 中，∠BAC=90°，点D 在BC 边上，且BD=BA ，过点B 画AD 的垂线交AC 于点O ，以O 为圆心，AO 为半径画圆．（1）求证：BC 是⊙O 的切线；（2）若⊙O 的半径为8，tan ∠C=34，求线段AB 的长，sin ∠ADB 的值．【答案】（1）证明见解析；（2）10103．【解析】试题解析：（1）连接OD ，如图：∵BA=BD，BO⊥AD（已知），∴∠ABO=∠DBO（等腰三角形顶角三线合一），在△ABO和△DBO 中，根据边角边判定△ABO≌△DBO，∴OD=OA．，∵OA为半径，∴OD也为半径，∴∠ODB=∠OAB=90°，∴BD⊥OD，∴BC是⊙O的切线；考点：1．切线的判定；2．三角形全等的判定和性质；3．锐角三角函数．。
九年级数学中考一轮复习 微专题二讲义：圆的基本性质
微专题二：圆的基本性质【知识点扫描】1. 圆上各点到圆心的距离都等于.2. 圆是轴对称图形，任何一条直径所在的直线都是它的；圆又是对称图形，是它的对称中心.3. 垂直于弦的直径平分，并且平分；平分弦（不是直径）的垂直于弦，并且平分.4. 在同圆或等圆中，如果两个圆心角，两条弧，两条弦，两条弦心距，两个圆周角中有一组量，那么它们所对应的其余各组量都分别.5. 同弧或等弧所对的圆周角，都等于它所对的圆心角的.6. 半圆(或直径)所对的圆周角是，90°的圆周角所对的弦是.7.圆内接四边形的对角．8.圆的周长为，1°的圆心角所对的弧长为，n°的圆心角所对的弧长为，弧长公式为 .9.圆的面积为，1°的圆心角所在的扇形面积为，n°的圆心角所在的扇形面积为S= ×πr2 = = .10.圆锥的侧面积公式：S=rlπ.（其中为的半径，为的长）；圆锥的全面积：S全＝S侧＋S底＝πrl＋πr2.【难点突破】重难点1垂径定理及其应用一．选择题：1.如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊙AB于点G，点F是CD上一点，且满足CF:FD =3:7，连接AF并延长交⊙O于点E，连接AD、DE，若CF=3，AF=3，给出下列结论：⊙FG=2；⊙5 tanE；⊙495DEFS=；其中正确的是( )A. ⊙⊙B. ⊙⊙C. ⊙⊙D.⊙⊙⊙二、填空题：1.在半径为1的⊙O中，两条弦AB，AC的长分别为3和2，则弧BC的长度为．三、解答题：1.已知：如图，AB是圆O的直径，CD是圆O的弦，AB⊙CD，E为垂足，AE=CD=8，F是CD延长线上一点，连接AF交圆O于G，连接AD、DG．（1）求圆O的半径；（2）求证：⊙ADG⊙⊙AFD；（3）当点G是弧AD的中点时，求⊙ADG得面积与⊙AFD的面积比．重难点2圆周角定理及其推论一、选择题1. 如图，抛物线与x轴交于A、B两点，以线段AB为直径的半圆与抛物线在第二象限的交点为C，与y轴交于D点，设⊙BCD=α，则的值为（）A．sin2α B．cos2α C．tan2α D．tan﹣2α2.如图，点C为⊙ABD外接圆上的一点（点C不在上，且不与点B，D重合），且⊙ACB=⊙ABD=45°，若BC=8，CD=4，则AC的长为（）A．8.5B．5C．4D．二、填空题1.如图，⊙O是⊙AB C的外接圆，AD⊙B C于D，CE⊙AB于E，AD交CE于H点，交⊙O于N，OM⊙B C于M，BF为⊙O的直径，下列结论：⊙四边形AH CF为平行四边形；⊙AH＝2OM，⊙BF＝2F C；⊙DN＝DH；其中正确的有______(第1题) （第2题）2.如图，在平面直角坐标系中，已知点A （0，2）、B（0，2+m）、C（0，2-m）（m＞0），点P 在以D（4，6）为圆心，1 为半径的圆上运动，且始终满足⊙BPC=90°，则m的最大值是3.如图，AB，BC是⊙O的弦，⊙B=60°，点O在⊙B内，点D为上的动点，点M，N，P 分别是AD，DC，CB的中点．若⊙O的半径为2，则PN+MN的长度的最大值是三．解答题1.请完成以下问题：（1）如图1，=，弦AC与半径OD平行，求证：AB是⊙O的直径；（2）如图2，AB是⊙O的直径，弦AC与半径OD平行．已知圆的半径为r，AC=y，CD=x，求y与x的函数关系式．2.如图，已知等腰直角三角形ABC ，点P 是斜边BC 上一点（不与B ，C 重合），PE 是⊙ABP 的外接圆⊙O 的直径．（1）求证：⊙APE 是等腰直角三角形； （2）若⊙O 的直径为2，求PC 2+PB 2的值．3.如图1，已知四边形ABCD 内接于圆0，AD=BC ，延长AB 到E ，使BE=AB ，连接EC ，F 是EC 的中点，连接BF（1）若圆0的半径为3，⊙DAB=120°，求劣弧BD 的长； （2）如图2，连接BD ，求证：BF=21BD ； （3）如图3，G 是BD 的中点，过B 作AE 的垂线交圆0于点P ，连接PG ，PF ，求证：PG=PF图1 图2 图34.如图1，圆O的两条弦AC、BD交于点E，两条弦所成的锐角或者直角记为⊙α（1）点点同学通过画图和测量得到以下近似数据：的度数30.2°40.4°50.0°61.6°的度数55.7°60.4°80.2°100.3°⊙α的度数43.0°50.2°65.0°81.0°猜想：、、⊙α的度数之间的等量关系，并说明理由﹒（2）如图2，若⊙α=60°，AB=2，CD=1，将以圆心为中心顺时针旋转，直至点A与点D 重合，同时B落在圆O上的点，连接CG﹒⊙求弦CG的长；⊙求圆O的半径．重难点3 三角形的外接圆及圆内接四边形 一、选择题1.如图，点A 的坐标为A （8，0），点B 在y 轴正半轴上，且AB=10，点P 是⊙AOB 外接圆上一点，且⊙BOP=45°，则点P 的坐标为（ ）A ．（7，7）B ．（7，7）C ．（5，5）D ．（5，5）2.如图所示，四边形ABCD 中，DC⊙AB ，BC=2，AB=AC=AD=3．则BD 的长为( ) A.13 B.5 C.23 D.243.如图，⊙ABC 内接于圆O ，延长AO 交BC 于点P ，交圆O 于点D ，连结OB ，OC ，BD ，DC （ ）A ．若AB=AC ，则BC 平分ODB ．若OCBD ，则CD ：AB=：3C ．若⊙ABO=30°，则OC BDD ．若BC 平分OD ，则AB=AC二．填空题1.在⊙ABC 中，45AB =5AC =，11BC =，则⊙ABC 的外接圆半径为____________2、如图，⊙ABC内接于⊙O，其外角平分线AD交⊙O于D，DM⊙AC于M，下列结论中正确的是．⊙DB=DC；⊙AC+AB=2CM；⊙AC﹣AB=2AM；⊙S⊙ABD=S⊙ABC．重难点4弧长及扇形面积的有关计算一．选择题1．如图，在半径为2，圆心角为90°的扇形内，以BC为直径作半圆，交弦AB于点D，连接CD，则阴影部分的面积为（）A．π﹣1B．2π﹣1C．2π﹣2D．π﹣2二．填空题1、如图，一根长为a的竹竿AB斜靠在墙上，竹竿AB的倾斜角为α，当竹竿的顶端A下滑到点A'时，竹竿的另一端B向右滑到了点B'，此时倾斜角为β．（1）线段AA'的长为．（2）当竹竿AB滑到A'B'位置时，AB的中点P滑到了P'，位置，则点P所经过的路线长为（两小题均用含a，α，β的代数式表示）2、如图，△ABC中，D为BC的中点，以D为圆心，BD长为半径画一弧交AC于E点，若∠A=60°，∠B=100°，BC=4，则扇形BDE的面积为_ __3、如图，AB为半圆O的直径，C为AO的中点，CD⊙AB交半圆与点D，以C为圆心，CD为半径画弧DE交AB于E点，若AB=4cm，则图中阴影部分面积为cm2．三、简答题1、在⊙O中，己知弦BC所对的圆周角⊙BAC与圆心角⊙BOC互补．（1）求⊙BOC的度数．（2）若⊙O的半径为4，求弦BC和劣弧BC组成的弓形面积．。
2016年中考专题训练圆 测试卷含答案
2016年中考专题训练圆测试卷（时间：100分钟满分：100分）一、选择题（每题3分，共30分）1．下列说法正确的是( )A．相等的圆心角所对的孤相等B．90°的角所对的弦是直径C．等弧所对的弦相等D．圆的切线垂直于半径2．在⊙O中，AB是弦，圆心到AB的距离为1，若⊙O的半径为2，则弦AB的长为( )A B．C D．3．如图，已知PA切⊙O于A，⊙O的半径为3，OP＝5，则切线长PA为( )A B．8 C．4 D．24．设⊙O的半径为R，圆心到点A的距离为d，且R，d分别是方程x2－6x＋8＝0的两根，则点A与⊙O的位置关系是( )A．点A在⊙O内部B．点A在⊙O上C．最A在⊙O外部D．点A不在⊙O上5．如图，AB是⊙O的直径，C，D是⊙O上的两点，若∠ABC＝70°，则∠BDC的度数为( )A．50°B．40°C．30°D．20°6．已知正三角形的边长为a，其内切圆的半径为r，外接圆的半径为R，则r：a：R等于( )A．1： 2 B．1 2C．1：2D．17．图中实线部分是半径为9m的两条等弧组成的游泳池，若每条弧所在的圆都经过另一个圆的圆心，则游泳池的周长为( )A．12π m B．18π m C．20π m D．24π m8．如图，将半径为2的圆形纸片，沿半径OA ，OB 将其裁成1：3两个部分，用所得扇形围成圆锥的侧面，则圆锥的底面半径为 ( ) A ．12B ．1C ．1或3D ．12或329．如图，若AB ＝OA ＝OB ＝OC ，则∠ACB 的大小是 ( ) A ．40°B ．30°C ．20°D ．35°10．如图，以AD 为直径的半圆O 经过Rt △ABC 斜边AB 的两个端点，交直角边AC 于点E ，B ，E 是半圆弧的三等分点，弧BE 的长为23π，则图中阴影部分的面积为 ( )A ．9πB C 32π- D 23π- 二、填空题（每题3分，共24分）11．已知两直角边是5和12的直角三角形，则其内切圆的半径是_______． 12．已知弦AB 的长等于⊙O 的半径倍，则弦AB 所对的圆周角是_______．13．已知圆锥底面半径是2，母线长是4，则圆锥的侧面展开的扇形圆心角是_______． 14.如图，水平放置的圆柱形排水管道的截面直径是1m ，其中水面的宽AB 为0.8 m ，则排水管内水的最大深度为_______m ．第14题 第16题15．在△ABC 中，∠A ＝50°，若O 为△ABC 的外心，∠BOC ＝_______；若I 为△ABC 的内心，∠BIC ＝_______．16．如图，OC 是⊙O 的半径，AB 是弦，且OC ⊥AB ，点P 在⊙O 上，∠APC ＝26°，则∠BOC ＝_______．17．如图，两个同心圆，大圆半径为5 cm ，小圆的半径为3 cm ，若大圆的弦AB 与小圆相交，则弦AB 的取值范围是_______．18．如图，圆心在y轴的负半轴上，半径为5的⊙B与y轴的正半轴交于点A(0，1)，过点P（0，－7）的直线l与⊙B相交于C，D两点，则弦CD长的所有可能的整数值有_______个．三、解答题（共46分）19．（8分）如图所示，某窗户由矩形和弓形组成，已知弓形的跨度AB＝3 m，弓形的高EF ＝1 m，现计划安装玻璃，请帮工程师求出»AB所在的圆O的半径r．20.（8分）已知⊙O的直径AB的长为4 cm，C是⊙O上一点，∠BAC＝30°，过点C作⊙O的切线交AB的延长线于点P，求BP的长．21．（8分）如图，已知AB是⊙O的直径，点C，D在⊙O上，点E在⊙O外，∠EAC＝∠B＝60°．(1)求∠ADC的度数；(2)求证：AE是⊙O的切线；(3)当BC＝4时，求劣弧AC的长．22.（10分）如图，AB，BC，CD分别与⊙O相切于E，F，G，且AB∥CD，BO＝6，CO ＝8．(1)判断△OBC的形状，并证明你的结论；(2)求BC的长；(3)求⊙O的半径OF的长．23.（12分）如图，已知AB是⊙O的直径，PB为⊙O的切线，B为切点，OP⊥弦BC于点D且交⊙O于点E．(1)求证：∠OPB＝∠AEC；(2)若点C为半圆ACB弧的三等分点，请你判断四边形AOEC为哪种特殊四边形？并说明理由．参考答案1．C 2.D 3．C 4.D 5.D 6．A 7.D 8.D 9．B 10.D11.212.45°或135°13.180°14.0.215.100°115°16.52°17.8<AB≤1018.319.13 8m20．2(cm)．21．(1)60°.(2)略(3)8 322．(1)△OBC是直角三角形．(2)10．(3)OF＝24 523．(1)略(2)是菱形。
2016年中考数学专题复习总结和训练四：与圆相关的问题
2016年中考数学专题复习和训练四:与圆相关的问题班级：姓名：编制：赵化中学郑宗平专题透析：与圆相关的问题主要包括圆的基本性质、点和圆以与直线圆的位置关系、切线的判定和性质、切线长定理、三角形的内切圆、与圆有关的计算等等；考查重点和常考题型有以下几点：1.在中考题中常以选择题或填空题的形式考查学生对基本定理的理解；2.证明直线是圆的切线在考题中经常出现，常与三角形、四边形等综合考查，重点考查切线的判定定理与其他圆的一些知识，证明直线是圆的切线，通过两种途径证明：即“连半径，证垂直”；“作垂直，证半径”.3.论证线段相等、三角形相似、角相等、弧相等以与线段的倍分关系等，此种结论的证明重点考查了全等三角形和相似三角形的判定、垂径定理与其推论、圆周角和圆心角的性质与切线的性质等有关圆的基本知识.专题Ⅰ.圆的基本性质部分典例精析：例1.如图，在⊙中，直径弦,则下列结论中正确的是（）A. B.C. D.分析：本题主要是利用垂径定理、圆周角定理与其推论以与等对等关系综合进行判断.解：（由同学们自我完成解答并选择正确答案）.例2.如图,有一座圆弧形拱桥，它的跨度为60米，拱桥高为米，当洪水泛滥到水面跨度只有30米时，就要采取紧急措施；若拱顶离水面只有4米，即米时，是否需要采取紧急措施？分析：本题要解决“是否需要采取紧急措施？”的问题，关键是要算出图中的长度；假设圆心为，连结,根据垂径定理可知四点共线，且(垂足分别为），分别连结；要求的长度，抓住;在△中，要求关键求出此圆弧形的半径，而这个问题可以转化到△获得解决.解：（由同学们自我完成解答）.点评：这类题关键要抓住圆周角、圆心角、弦等的特殊位置，运用圆的基本性质切入可以迅速破题，通常是通过连结、过圆心作弦的垂线等辅助线手段把问题转化到三角形来解决问题.师生互动练习：1. 如图，为⊙的直径，分别为为的中点，,下列结论：①.;②.;③.;④.四边形为正方形.B AOB'A'NAMOEFDC O B1 / 82 / 8其中正确的是（ ） A.①②③ B.①②④ C.②③④ D.①③④2.如图，是⊙的直径，是⊙上的一点，若，于点,则的长为（ ） A.B.C.D.3. 如图，是⊙的直径，点是弧的中点，,则等于（ ） A.55° B.60° C.65° D.70° 4. 半径为圆内的两条平行弦分别为和长，则两条平行弦之间距离为 （ ）A. B. C.或 D.或5. 如图，在⊙中，半径,为弧的三等分点，分别交于点，则下列结论：①.; ②.; ③.;④.. 其中正确的结论是 （填序号）.6.如图，矩形与圆心在上的⊙交于点， ，则 .7.如图，两个正方形彼此相邻且内接于半圆，若小正方形的面积为 ，则该半圆的半径为 . 8. 如图，⊙经过原点且与两坐标轴分别交于点和点,点的坐标为， 为⊙在第一象限内的一点,且. 解答下列各题： ⑴.求⊙的半径； ⑵.求点坐标与圆心的坐标． 9. 如图，点是△的内心，的延长线交,交△ 的外接圆于点. ⑴.求证：; ⑵.若,求的长.10. 已知:如图,为半圆上的一点，,过点作直径的垂线 ,为垂足，弦分别交于点. ⑴、求证:; ⑵、若,求的长.专题Ⅱ.与圆有关的位置关系部分典例精析：例1.如图，△内接于⊙,是直径，⊙的切线交的延长线于点,∥交于点,交于点,连结. ⑴.判断与⊙的位置关系，并说明理由； ⑵.若⊙的半径为4，,求的长. 分析：⑴.“遇切线，连半径，得垂直.”当我们连结后,容易DC OA B FE DC A O B EF OC D A BG xy B CAO DD EI B A F D P CEB EFCOB A3 / 8得到,所以;而判断与⊙的位置关系，可以尝试证明是否成立；实际上又题中条件容易证明△≌△,从而得到，与⊙的位置关系便一目了然. ⑵.本题求的长按我们平时的常规思路会首先想到化在△来考虑，但是未知的，所以要求比较困难，只有另外想办法.根据⑴问得出结论，利用切线长定理和圆的有关性质等知识点可以得出,在△根据勾股定理可以求出的长，利用面积公式即可求出的长度，从而求出的长.解：（由同学们自我完成解答）.例2. 已知：,为边上的一点，以为圆心，为半径作⊙，交于两点，设.⑴.如图①，当取何值时，⊙与相切？⑵.如图②，当取何值时，⊙与相交于两点，且.分析：⑴.当圆心到一条直线的距离等于半径时，直线与圆相切；所以本问可以从圆心作于,在有30°锐角的△先求出,进一步可以求出的值；⑵.本问可以作出△斜边的高，可以根据等腰三角形和直角三角形的相关性质求出的长度，然后仿照⑴问方法在△先求出,进一步可以求出的值.解：（由同学们自我完成解答）.点评： 例1有两点值得总结，其一通过全等三角形的对应角相等来得到90°的角，这是我们平时容易忽视的途径；其二，通过三角形的面积公式求出其斜边上的高为所求线段的长打下基础.例2值得总结是把所求化归在直角三角形中来解决.这两道题提醒我们注意弦垂线和切线构成的直角三角形来解决相关问题.师生互动练习： 1. 半径为的⊙圆心坐标为，点的坐标为，则⊙与点的位置关系是（ ） A.点在⊙内 B.点在⊙上 C.点在⊙外 D.点在⊙内或⊙外 2. 已知：点到直线的距离为，以点为圆心，为半径画圆，如果圆上有且只有两点到直线的距离均为，则半径的取值范围是 A. B. C. D. 3.下列命题中，正确的命题的个数是 （ ）①.经过已知三点可以作一个圆；②.三角形的外心一定在三角形内部；③.等腰三角形的外心必在底边的中心所在的直线上；④.矩形一定有外接圆，圆心是对角线交点；⑤.直角三角形的外心是斜边的中点.A.1B.2C.3D.44.如图，以点为圆心的两个圆中，大圆的弦切小圆于点,E D MA N O CE D BM A N O D BCA O4 / 8交小圆于点.若,则长为 （ ）A. B. C. D. 5. 如图，是⊙的两条弦，,过点的切线与相切 于点,则的度数为 （ ）A.25°B.30°C.35°D.40°6.等边三角形的内切圆半径为，外接圆半径为,高为，则的值为 （ ）A. B. C.D.7.如图，在矩形中，,分别与⊙ 相切于三点，过点作⊙的切线,切点为，则的长为（ ）A. B. C.D.8.⑴.已知△的斜边.以点为圆心作圆，当半径= 时，与⊙相切.⑵. △中，于,以为圆心，以为半径的圆于的位置关系是 . 9. 如图，在矩形中，,以顶点为圆心作半径的 圆。
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专题18 圆的基本性质和圆的有关位置关系
学校：___________姓名：___________班级：___________
1.【辽宁阜新2015年中考数学试卷】如图，点A，B，C是⊙O上的三点，已知∠AOB=100°，那么∠ACB的
度数是（ ）
A．30° B．40° C．50° D．60°
【答案】C．
【解析】
考点：圆周角定理．
2．【湖北襄阳2015年中考数学试卷】点O是△ABC的外心，若∠BOC=80°，则∠BAC的度数为（ ）
A．40° B．100° C．40°或140° D．40°或100°
【答案】C．
【解析】
试题分析：如图所示：∵O是△ABC的外心，∠BOC=80°，∴∠A=40°，∠A′=140°，故∠BAC的度数为：
40°或140°．故选C．
考点：1．三角形的外接圆与外心；2．圆周角定理；3．分类讨论．
3.【2015届浙江省杭州市5月中考模拟】如图，A、D是⊙O上的两个点，BC是直径，若∠D=35°，则∠OAC
的度数是（ ）
A．35° B．55° C．65° D．70°
【答案】B.
【解析】
考点：圆周角定理．
4.【2015届湖南省邵阳市邵阳县中考二模】如图，⊙O是△ABC的外接圆，AD是⊙O的直径，EA是⊙O的切
线．若∠EAC=120°，则∠ABC的度数是（ ）
A．80° B．70° C．60° D．50°
【答案】C.
【解析】
试题解析：∵EA是⊙O的切线，AD是⊙O的直径，
∴∠EAD=90°，
∵∠EAC=120°，
∴∠DAC=∠EAC-∠EAD=30°，
∵AD是⊙O的直径，
∴∠ACD=90°，
∴∠ADC=180°-∠ACD-∠DAC=60°，
∴∠ABC=∠ADC=60°（圆周角定理），
故选：C．
考点：切线的性质．
5.【辽宁沈阳2015年中考数学试题】如图，在△ABC中，AB=AC，∠B=30°，以点A为圆心，以3cm为半径
作⊙A，当AB= cm时，BC与⊙A相切．
【答案】6．
【解析】
考点：切线的判定．
6.【黑龙江牡丹江2015年中考数学试题】如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，若AB=8，CD=6，则
BE= ．
【答案】4-7.
【解析】
试题分析： 连接OC，如图：
∵AB=8，CD=6，∴根据垂径定理（垂直于弦的直径平分弦并且平分弦所对的弧）得出CE=ED=12CD=3，∴
OC=OB=12AB=4，在Rt△OEC中，由勾股定理求出OE=2234=7，∴BE=OB-OE=4-7.
考点：1.垂径定理；2.勾股定理．
7.【2015届湖北省黄冈市启黄中学中考模拟】如图所示，经过B（2，0）、C（6，0）两点的⊙H与y轴的
负半轴相切于点A，双曲线y=xk经过圆心H，则k= ．
【答案】﹣83．
【解析】
考点：1．切线的性质；2．反比例函数图象上点的坐标特征．
8.【2015届山东省枣庄市滕州市中考二模】如图，在Rt△AOB中，OA=OB=4，⊙O的半径为1，点P是AB边
上的动点，过点P作⊙O的一条切线PQ（点Q为切点），则线段PQ长度的最小值为 ．
【答案】7.
【解析】
考点： 切线的性质．
9．【辽宁盘锦2015年中考数学试题】如图1，AB为⊙O的直径，点P是直径AB上任意一点，过点P作弦
CD⊥AB，垂足为P，过点B的直线与线段AD的延长线交于点F，且∠F=∠ABC
．
（1）若CD=23，BP=4，求⊙O的半径；
（2）求证：直线BF是⊙O的切线；
（3）当点P与点O重合时，过点A作⊙O的切线交线段BC的延长线于点E，在其它条件不变的情况下，判
断四边形AEBF是什么特殊的四边形？请在图2中补全图象并证明你的结论．
【答案】（1）198；（2）证明见解析；（3）四边形AEBF是平行四边形，证明见解析.
【解析】
（2）∵∠A=∠C，∠F=∠ABC，∴△PBC∽△BFA，∴∠ABF=∠CPB，∵CD⊥AB，∴∠ABF=∠CPB=90°，∴直
线BF是⊙O的切线；
（3）四边形AEBF是平行四边形；理由：
如图2所示：∵CD⊥AB，垂足为P，∴当点P与点O重合时，CD=AB，∴OC=OD，∵AE是⊙O的切线，∴
BA
⊥AE，∵CD⊥AB，∴DC∥AE，∵AO=OB，∴OC是△ABE的中位线，∴AE=2OC，∵∠D=∠ABC，∠F=∠ABC，∴
∠D=∠F，∴CD∥BF，∵AE∥BF，∵OA=OB，∴OD是△ABF的中位线，∴BF=2OD，∴AE=BF，∴四边形
AEBF
是平行四边形．
考点：1．圆的综合题；2．三角形中位线定理；3．平行四边形的判定；4．综合题．
10.【2015届浙江省宁波市江北区中考模拟】已知：如图，△ABC中，∠BAC=90°，点D在BC边上，且BD=BA，
过点B画AD的垂线交AC于点O，以O为圆心，AO为半径画圆．
（1）求证：BC是⊙O的切线；
（2）若⊙O的半径为8，tan∠C=34，求线段AB的长，sin∠ADB的值．
【答案】（1）证明见解析；（2）10103．
【解析】
试题解析：（1）连接OD，如图：
∵BA=BD，BO⊥AD（已知），∴∠ABO=∠DBO（等腰三角形顶角三线合一），在△ABO和△DBO中，根据边角边
判定△ABO≌△DBO，∴OD=OA．，∵OA为半径，∴OD也为半径，∴∠ODB=∠OAB=90°，∴BD⊥OD，∴BC是⊙
O的切线；
考点：1．切线的判定；2．三角形全等的判定和性质；3．锐角三角函数．