2020版江苏高考数学名师大讲坛一轮复习教程学案:第38课__基本不等式及其简单应用(2) 含解析
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____第38课__基本不等式及其简单应用(2)____
1. 运用基本不等式求最值、取值范围及不等式恒成立问题.
2. 运用基本不等式解决实际应用问题中的最值问题.
1. 阅读:必修5第99~101页.
2. 解悟:①应用基本不等式解决实际问题,首先要正确理解题意,然后通过分析、思考,将实际问题转化为数学模型,再应用基本不等式求解;②解应用题时,一定要注意变量的实际意义及其取值范围;③解应用问题时,若等号取得的条件不足,应如何处理?
3. 践习:在教材上的空白处,完成必修5第102页习题第3、4题.
基础诊断
1. 在平面直角坐标系Oy 中,曲线4x 2+9
y 2=1上的点到原点O 的最短距离为__5__.
解析:设曲线
4x 2+9y 2
=1上的点P(,y).设P(,y)到原点的距离为d =x 2+y 2=
(x 2+y 2)⎝ ⎛⎭
⎪⎫
4x 2+9y 2=
13+4y 2x 2+9x 2
y
2≥
13+2
4y 2x 2·9x 2y 2=5,当且仅当4y 2x 2=9x 2
y
2时,d 取最小值,所以曲线4x 2+9
y
2=1上的点到原点O 的最短距离为5.
2. 已知,y ,∈R +
,-2y +3=0,则y 2
xz
的最小值是__3__.
解析:因为,y ,>0,-2y +3=0,所以2y =+3,所以4y 2=2+6+92≥2x 2·9z 2+6=12,
当且仅当2
=92
,即=3时取等号,所以4y 2
≥12,y 2
xz
≥3.
3. 已知函数y =log a (+3)-1(a>0且a ≠1)的图象恒过定点A ,若点A 在直线m +ny +1=0上(其中mn>0),则1m +2
n
的最小值是__8__.
解析:由题意可得定点A(-2,-1),又因为点A 在直线m +ny +1=0上,所以2m +n =1,且mn>0,所以m>0,n>0.则1m +2n =2m +n m +4m +2n n =4+n m +4m n ≥4+4=8,当且仅当n m =4m
n 时
取等号,故1m +2
n
的最小值是8.
4. 从等腰直角三角形纸片ABC 上剪下如图所示的两个正方形,其中,BC =2,∠A =90°,
则这两个正方形面积之和的最小值为__1
2
__.
解析:设两个正方形的边长分别为a ,b ,则由题意可得a +b =BC 2=1,且13≤a ,b ≤2
3,所以
两个正方形面积之和为S =a 2
+b 2
≥2×⎝ ⎛⎭⎪
⎫a +b 22=1
2
,当且仅当a =b =12时取等号,故两个正方形面积之和最小为1
2
.
范例导航
考向❶ 基本不等式与函数综合问题
例1 设,y 是正实数,且+y =1,求x 2x +2+y 2
y +1的最小值.
解析:设+2=m ,y +1=n.
因为+y =1,所以m +n =+y +3=4,
所以x 2x +2+y 2y +1=(m -2)2m +(n -1)2n =m +n +4m +1n -6=4m +1n -2.
因为m +n =4,所以1=1
4
(m +n),
所以4m +1n -2=14(m +n)⎝ ⎛⎭⎪⎫
4m +1n -2=14⎝ ⎛⎭⎪⎫5+4n m +m n -2≥14.
当且仅当m =2n 时,取等号, 由+2=2(y +1)得=2y ,
即当=23,y =13时,x 2x +2+y 2y +1取得最小值14
.
已知实数,y 满足>y>0,且log 2+log 2y =1,求x 2+y 2
x -y
的最小值.
解析:因为log 2+log 2y =1,所以log 2y =1,所以y =2,所以x 2+y 2x -y =(x -y )2+2xy x -y =-y +
4
x -y ≥2×2=4,当且仅当=1+3,y =3-1时取等号,故x 2+y 2
x -y 的最小值为4.
考向❷ 基本不等式在实际应用问题中的运用
例2 某工厂利用辐射对食品进行灭菌消毒,现准备在该厂附近建一职工宿舍,并对宿舍进行防辐射处理,建宿舍的费用与宿舍到工厂的距离有关. 若建造宿舍的所有费用p(万元)和宿舍与工厂的距离(m )的关系式为p =k
3x +5(0≤≤8),若距离为1m 时,测算宿舍建造费用为100万元.为
了交通方便,工厂与宿舍之间还要修一条道路,已知购置修路设备需5万元,铺设路面每千米成本为6万元.设 f()为建造宿舍与修路费用之和.
(1) 求f()的表达式;
(2) 宿舍应建在离工厂多远处,可使总费用f()最小?并求最小值.
解析:(1) 根据题意得100=k 3×1+5,所以=800.故f()=800
3x +5+5+6,∈[0,8].
(2) f()=800
3x +5+2(3+5)-5≥
2
800
3x +5
·2(3x +5)-5=80-5=75, 当且仅当800
3x +5=2(3+5),即=5时,取等号,此时f()的最小值是75,
所以宿舍应建在离工厂5m 处,可使总费用f()最小,最小值为75万元.
在某次水下考古活动中,需要潜水员潜入水深为30米的水底进行作业,其用氧量包含3个方面:①下潜时,平均速度为v(米/单位时间),单位时间内用氧量为cv 2(c 为正常数);②在水底作业需5个单位时间,每个单位时间用氧量为0.4;③返回水面时,平均速度为v
2(米/单位时间),单位
时间用氧量为0.2,记该潜水员在此次考古活动中,总用氧量为y.
(1) 将y 表示为v 的函数.
(2) 设0 v ·cv 2=30cv , 水底作业时用氧量为5×0.4=2, 返回水面用时60v ,用氧量60v ×0.2=12 v , 所以y =30cv +2+12 v (v>0). (2) y =30cv +2+12 v ≥2+2 30cv ·12 v =2+1210c ,