2020版江苏高考数学名师大讲坛一轮复习教程学案：第38课__基本不等式及其简单应用(2) 含解析

____第38课__基本不等式及其简单应用(2)____
1. 运用基本不等式求最值、取值范围及不等式恒成立问题．
2. 运用基本不等式解决实际应用问题中的最值问题.
1. 阅读：必修5第99～101页．
2. 解悟：①应用基本不等式解决实际问题，首先要正确理解题意，然后通过分析、思考，将实际问题转化为数学模型，再应用基本不等式求解；②解应用题时，一定要注意变量的实际意义及其取值范围；③解应用问题时，若等号取得的条件不足，应如何处理？
3. 践习：在教材上的空白处，完成必修5第102页习题第3、4题.
基础诊断
1. 在平面直角坐标系Oy 中，曲线4x 2＋9
y 2＝1上的点到原点O 的最短距离为__5__．
解析：设曲线
4x 2＋9y 2
＝1上的点P(，y)．设P(，y)到原点的距离为d ＝x 2＋y 2＝
（x 2＋y 2）⎝ ⎛⎭
⎪⎫
4x 2＋9y 2＝
13＋4y 2x 2＋9x 2
y
2≥
13＋2
4y 2x 2·9x 2y 2＝5，当且仅当4y 2x 2＝9x 2
y
2时，d 取最小值，所以曲线4x 2＋9
y
2＝1上的点到原点O 的最短距离为5.
2. 已知，y ，∈R ＋
，－2y ＋3＝0，则y 2
xz
的最小值是__3__．
解析：因为，y ，>0，－2y ＋3＝0，所以2y ＝＋3，所以4y 2＝2＋6＋92≥2x 2·9z 2＋6＝12，
当且仅当2
＝92
，即＝3时取等号，所以4y 2
≥12，y 2
xz
≥3.
3. 已知函数y ＝log a (＋3)－1(a>0且a ≠1)的图象恒过定点A ，若点A 在直线m ＋ny ＋1＝0上(其中mn>0)，则1m ＋2
n
的最小值是__8__．
解析：由题意可得定点A(－2，－1)，又因为点A 在直线m ＋ny ＋1＝0上，所以2m ＋n ＝1，且mn>0，所以m>0，n>0.则1m ＋2n ＝2m ＋n m ＋4m ＋2n n ＝4＋n m ＋4m n ≥4＋4＝8，当且仅当n m ＝4m
n 时
取等号，故1m ＋2
n
的最小值是8.
4. 从等腰直角三角形纸片ABC 上剪下如图所示的两个正方形，其中，BC ＝2，∠A ＝90°，
则这两个正方形面积之和的最小值为__1
2
__.
解析：设两个正方形的边长分别为a ，b ，则由题意可得a ＋b ＝BC 2＝1，且13≤a ，b ≤2
3，所以
两个正方形面积之和为S ＝a 2
＋b 2
≥2×⎝ ⎛⎭⎪
⎫a ＋b 22＝1
2
，当且仅当a ＝b ＝12时取等号，故两个正方形面积之和最小为1
2
.
范例导航
考向❶ 基本不等式与函数综合问题
例1 设，y 是正实数，且＋y ＝1，求x 2x ＋2＋y 2
y ＋1的最小值．
解析：设＋2＝m ，y ＋1＝n.
因为＋y ＝1，所以m ＋n ＝＋y ＋3＝4，
所以x 2x ＋2＋y 2y ＋1＝（m －2）2m ＋（n －1）2n ＝m ＋n ＋4m ＋1n －6＝4m ＋1n －2.
因为m ＋n ＝4，所以1＝1
4
(m ＋n)，
所以4m ＋1n －2＝14(m ＋n)⎝ ⎛⎭⎪⎫
4m ＋1n －2＝14⎝ ⎛⎭⎪⎫5＋4n m ＋m n －2≥14.
当且仅当m ＝2n 时，取等号， 由＋2＝2(y ＋1)得＝2y ，
即当＝23，y ＝13时，x 2x ＋2＋y 2y ＋1取得最小值14
.
已知实数，y 满足>y>0，且log 2＋log 2y ＝1，求x 2＋y 2
x －y
的最小值．
解析：因为log 2＋log 2y ＝1，所以log 2y ＝1，所以y ＝2，所以x 2＋y 2x －y ＝（x －y ）2＋2xy x －y ＝－y ＋
4
x －y ≥2×2＝4，当且仅当＝1＋3，y ＝3－1时取等号，故x 2＋y 2
x －y 的最小值为4.
考向❷ 基本不等式在实际应用问题中的运用
例2 某工厂利用辐射对食品进行灭菌消毒，现准备在该厂附近建一职工宿舍，并对宿舍进行防辐射处理，建宿舍的费用与宿舍到工厂的距离有关. 若建造宿舍的所有费用p(万元)和宿舍与工厂的距离(m )的关系式为p ＝k
3x ＋5(0≤≤8)，若距离为1m 时，测算宿舍建造费用为100万元．为
了交通方便，工厂与宿舍之间还要修一条道路，已知购置修路设备需5万元，铺设路面每千米成本为6万元．设 f()为建造宿舍与修路费用之和．
(1) 求f()的表达式；
(2) 宿舍应建在离工厂多远处，可使总费用f()最小？并求最小值．
解析：(1) 根据题意得100＝k 3×1＋5，所以＝800.故f()＝800
3x ＋5＋5＋6，∈[0，8]．
(2) f()＝800
3x ＋5＋2(3＋5)－5≥
2
800
3x ＋5
·2（3x ＋5）－5＝80－5＝75， 当且仅当800
3x ＋5＝2(3＋5)，即＝5时，取等号，此时f()的最小值是75，
所以宿舍应建在离工厂5m 处，可使总费用f()最小，最小值为75万元．
在某次水下考古活动中，需要潜水员潜入水深为30米的水底进行作业，其用氧量包含3个方面：①下潜时，平均速度为v(米/单位时间)，单位时间内用氧量为cv 2(c 为正常数)；②在水底作业需5个单位时间，每个单位时间用氧量为0.4；③返回水面时，平均速度为v
2(米/单位时间)，单位
时间用氧量为0.2，记该潜水员在此次考古活动中，总用氧量为y.
(1) 将y 表示为v 的函数．
(2) 设0<v ≤5，试确定下潜速度v ，使总的用氧量最少． 解析：(1) 潜入水底用时30v ，用氧量30
v ·cv 2＝30cv ，
水底作业时用氧量为5×0.4＝2， 返回水面用时60v ，用氧量60v ×0.2＝12
v ，
所以y ＝30cv ＋2＋12
v (v>0).
(2) y ＝30cv ＋2＋12
v
≥2＋2
30cv ·12
v
＝2＋1210c ，
当且仅当30cv ＝12
v ，即v ＝
2
5c
时取等号． 当
25c ≤5，即c ≥2
125
时，v ＝2
5c
时，y 取得最小 值为2＋1210c. 当
25c >5，即0<c<2125时，y ′＝30c －12v 2＝30cv 2－12v 2
<0， 因此函数y ＝30cv ＋2＋12
v 在(0，5]上为减函数，
所以当v ＝5时，y 的最小值为150c ＋22
5.
综上，当c ≥2
125
时，下潜速度为
2
5c
时，用氧量最小为2＋1210c ； 当0<c<2125时，下潜速度为5时，用氧量最小为150c ＋22
5
.
自测反馈
1. 已知点(，y)在直线＋3y －2＝0上运动，则函数＝3＋27y ＋3的最小值是__9__．
解析：因为＋3y －2＝0，所以＋3y ＝2.又因为3>0，27y >0，所以＝3＋27y ＋3＝3＋33y ＋3≥23x ·33y ＋3＝232＋3＝9，当且仅当3＝33y ，即＝3y ＝1时取等号．
2. 过点(1，2)的直线l 与轴的正半轴、y 轴的正半轴分别交于A ，B 两点，O 为坐标原点，当△AOB 的面积最小时，直线l 的方程为__2＋y －4＝0__．
解析：由题意可设直线l 的方程为x a ＋y b ＝1，a>0，b>0.因为直线l 过点(1，2)，所以1a ＋2
b ＝1，
所以1＝1a ＋2
b
≥2
2ab ，所以ab ≥8，当且仅当1a ＝2b ＝1
2
，即a ＝2，b ＝4时取等号，此时△AOB 的面积取得最小值12ab ＝4，所以直线l 的方程为x 2＋y
4
＝1，即2＋y －4＝0.
3. 已知a>0，b>0，若不等式m 3a ＋b －3a －1
b ≤0恒成立，则实数m 的最大值为__16__．
解析：根据已知不等式，分离变量得m ≤(3a ＋b)⎝ ⎛⎭⎪⎫3a ＋1b ，a>0，b>0.由(3a ＋b)⎝ ⎛⎭⎪⎫
3a ＋1b ＝10＋3b a ＋3a
b
≥10＋23b a ·3a b ＝16，当且仅当3a b ＝3b
a
，即a ＝b 时取等号，故m 最大值为16. 4. 对于任意∈R ，不等式22－a x 2＋1＋3>0恒成立，则实数a 的取值范围为__(－∞，3)__．
解析：由题意得22－a x 2＋1＋3>0对于∈R 恒成立，即a <
2x 2＋3
x 2
＋1
对于∈R 恒成立．令x 2＋1
＝t (t ≥1)，则2
＝t 2
－1，所以y ＝2t 2＋1t ＝2t ＋1t .因为y ＝2t ＋1
t
在[1，＋∞)上单调递增，所以当t ＝1
时，y 有最小值3，所以a <3.
1. 最值问题的处理方法：①直接利用基本不等式放缩(几种配凑的技巧)；②消元转化为函数求最值．
2. 在运用基本不等式求函数最值时，若等号取不到，可利用函数的单调性求解．
3. 你还有哪些体悟，写下;：。