2020届江苏高考数学应用题精选试题(一)
2020年江苏省高考数学试卷 试题+答案详解
E 为 AC 的中点． （1）求直线 AB 与 DE 所成角的余弦值；
1
（2）若点 F 在 BC 上，满足 BF= BC，
4
设二面角 F—DE—C 的大小为θ，求 sinθ的值．
25.甲口袋中装有 2 个黑球和 1 个白球，乙口袋中装有 3 个白球．现从甲、乙两口袋中各任 取一个球交换放入另一口袋，重复 n 次这样的操作，记甲口袋中黑球个数为 Xn，恰有 2 个 黑球的概率为 pn，恰有 1 个黑球的概率为 qn． （1）求 p1·q1 和 p2·q2； （2）求 2pn+qn 与 2pn-1+qn-1 的递推关系式和 Xn 的数学期望 E(Xn)(用 n 表示) ．
a1
d 2
q 2
1
aq120
，∴
d
q
4
.
b1 1 q
1
b1 1
12【答案】 4 5
【解析】∵
5x2
y2
y4
1，∴
y
0
且
x2
1 y4 5y2
∴
x2
y2
1 y4 5y2
y2
1 5y2
+
4y2 5
2
1 4y2 4 ， 5y2 5 5
当且仅当
1 5y2
4y2 5
，即
x2
3 , y2 10
等差数列 an 的前 n 项和公式为 Pn
na1
nn 1
d 2
d n2 2
a1
d 2
n
，
等比数列bn 的前
n
2020年高考数学真题试题(江苏卷)(Word版+答案+解析)
2020年高考数学真题试卷（江苏卷）一、填空题：本大题共14小题，每题5分，共计70分．（共14题；共70分）1.已知集合A={−1,0,1,2},B={0,2,3}，则A∩B=________.2.已知i是虚数单位，则复数z=(1+i)(2−i)的实部是________.3.已知一组数据4,2a,3−a,5,6的平均数为4，则a的值是________.4.将一颗质地均匀的正方体骰子先后抛掷2次，观察向上的点数，则点数和为5的概率是________.5.如图是一个算法流程图，若输出y的值为-2，则输入x的值是________.6.在平面直角坐标系xOy中，若双曲线x2a2﹣y25=1(a＞0)的一条渐近线方程为y= √52x，则该双曲线的离心率是________.7.已知y=f(x)是奇函数，当x≥0时， f(x)=x23，则f(-8)的值是________.8.已知sin2(π4+α)= 23，则sin2α的值是________.9.如图，六角螺帽毛坯是由一个正六棱柱挖去一个圆柱所构成的．已知螺帽的底面正六边形边长为2 cm，高为2 cm，内孔半轻为0.5 cm，则此六角螺帽毛坯的体积是________cm.10.将函数y= 3sin(2x﹢π4)的图象向右平移π6个单位长度，则平移后的图象中与y轴最近的对称轴的方程是________.11.设{a n}是公差为d的等差数列，{b n}是公比为q的等比数列．已知数列{a n+b n}的前n项和S n=n2−n+ 2n−1(n∈N+)，则d+q的值是________．12.已知5x2y2+y4=1(x,y∈R)，则x2+y2的最小值是________．13.在△ABC 中， AB =4，AC =3，∠BAC =90°， D 在边BC 上，延长AD 到P ，使得AP=9，若 PA ⃗⃗⃗⃗⃗ =mPB ⃗⃗⃗⃗⃗ +(32−m)PC ⃗⃗⃗⃗⃗ （m 为常数），则CD 的长度是________．14.在平面直角坐标系xOy 中，已知 P(√32，0) ，A ，B 是圆C ： x 2+(y −12)2=36 上的两个动点，满足PA =PB ，则△PAB 面积的最大值是________．二、解答题：本大题共6小题，共计90分，请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
2020年江苏卷数学高考试题(详细解析版)
绝密★启用前2020年普通高等学校招生全国统一考试（江苏卷）数学Ⅰ参考公式：柱体的体积V Sh =，其中S 是柱体的底面积，h 是柱体的高．一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．请把答案填写在答题卡相应位置上．．．．．．．．．1．已知集合{1,0,1,2},{0,2,3}A B =-=，则A B = ▲．答案：{02}，解析：因为A ，B 的公共元素有0，2，由交集的定义可知{02}，A B = 2．已知i 是虚数单位，则复数(1i)(2i)z =+-的实部是▲．答案：3解析：(1i)(2i)12(1)(12)i =3+i z =+-=⨯--+-+，故z 的实部为33．已知一组数据4,2,3,5,6a a -的平均数为4，则a 的值是▲．答案：2解析：由平均数的定义可得42(3)5645a a ++-++=，解得2a =4．将一颗质地均匀的正方体骰子先后抛掷2次，观察向上的点数，则点数和为5的概率是▲．答案：19解析：点数和为5可能的情况有，{1，4}，{2，3}，{3，2}，{4，1}，共有4种，样本空间中样本点的个数为36，故点数和为5的概率是41369=5．如图是一个算法流程图，若输出y 的值为2-，则输入x 的值是▲．答案：3-解析：因为20x >，而输出的y 的值为负数，故输出的是1x +，即12x +=-，故3x =-6．在平面直角坐标系xOy 中，若双曲线222105()x y a a -=>的一条渐近线方程为52y x =，则该双曲线的离心率是▲．答案：32解析：设题中双曲线的焦距为2c ，虚半轴长为b ，则由双曲线的一条渐近线方程可得52b a =，故此双曲心的离心率32c e a ===7．已知y =f (x )是奇函数，当x ≥0时，()23 f x x =，则()8f -的值是▲．答案：4-解析：因为y =f (x )是奇函数，所以23(8)(8)84f f -=-=-=-8．已知2sin ()4απ+=23，则sin 2α的值是▲．答案：13解析：因为sin sin cos cos sin (sin cos )4442πππααααα⎛⎫+=+=+⎪⎝⎭，所以22112sin (sin cos )(1sin 2)4223παααα⎛⎫+=+=+= ⎪⎝⎭.所以1sin 23α=.9．如图，六角螺帽毛坯是由一个正六棱柱挖去一个圆柱所构成的．已知螺帽的底面正六边形边长为2cm ，高为2cm ，内孔半轻为0.5cm ，则此六角螺帽毛坯的体积是▲cm 3.答案：2π-解析：正六棱柱的底面面积为cm ，高为2cm ，故正棱柱的体积为cm 3，圆柱的体积为20.522ππ⨯⨯=，故此六角螺帽毛坯的体积是（2π-）cm 310．将函数πsin(32)4y x =+的图象向右平移π6个单位长度，则平移后的图象中与y 轴最近的对称轴的方程是▲．答案：524πx =-解析：将函数πsin(324y x =+的图象向右平移π6个单位长度，得到函数3sin 2()3sin 26412πππy x x ⎛⎫⎛⎫=-+=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭的图象，由2122ππx kπ-=+（k ∈Z ）可得7224kππx =+，当1k =-时，对称轴离y 轴最近，此时对称轴方程为524πx =-11．设{a n }是公差为d 的等差数列，{b n }是公比为q 的等比数列．已知数列{a n +b n }的前n 项和*221()n n S n n n =-+-∈N ，则d +q 的值是▲．答案：4解析：1111a b S +==，当2n ≥时，22111(21)[(1)(1)21]2(1)2n n n n n n n a b S S n n n n n ---+=-=-+-----+-=-+.当n=1时，上式也成立，对任意正整数n ，都有12(1)2n n n a b n -+=-+，因为1(1)n a a n d =+-，11n n b b q -=，。
2020年江苏省高考数学试卷(含答案详解)
绝密★启用前2020年普通高等学校招生全国统一考试（江苏卷）数学Ⅰ注意事项考生在答题前请认真阅读本注意事项及各题答题要求1．本试卷共4页，均为非选择题(第1题~第20题，共20题)。
本卷满分为160分，考试时间为120分钟。
考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回.2．答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置.3．请认真核对监考员从答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与本人是否相符.4．作答试题，必须用0.5毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律无效.5．如需作图，须用2B 铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗.参考公式：柱体的体积V Sh =，其中S 是柱体的底面积，h 是柱体的高．一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．请把答案填写在答题卡相应位置．．．．．．．上．．1.已知集合{1,0,1,2},{0,2,3}A B =-=，则A B = _____.2.已知i 是虚数单位，则复数(1i)(2i)z =+-的实部是_____.3.已知一组数据4,2,3,5,6a a -的平均数为4，则a 的值是_____.4.将一颗质地均匀的正方体骰子先后抛掷2次，观察向上的点数，则点数和为5的概率是_____.5.如图是一个算法流程图，若输出y 的值为2-，则输入x 的值是_____.6.在平面直角坐标系xOy 中，若双曲线22x a ﹣25y =1(a ＞0)的一条渐近线方程为y=2x ，则该双曲线的离心率是____.7.已知y =f (x )是奇函数，当x ≥0时，()23 f x x =，则f (-8)的值是____.8.已知2sin ()4πα+=23，则sin 2α的值是____.9.如图，六角螺帽毛坯是由一个正六棱柱挖去一个圆柱所构成的．已知螺帽的底面正六边形边长为2cm ，高为2cm ，内孔半轻为0.5cm ，则此六角螺帽毛坯的体积是____cm.10.将函数y =πsin(2)43x ﹢的图象向右平移π6个单位长度，则平移后的图象中与y 轴最近的对称轴的方程是____.11.设{a n }是公差为d 的等差数列，{b n }是公比为q 的等比数列．已知数列{a n +b n }的前n 项和221()n n S n n n +=-+-∈N ，则d +q 的值是_______．12.已知22451(,)x y y x y R +=∈，则22x y +的最小值是_______．13.在△ABC 中，43=90AB AC BAC ==︒，，∠，D 在边BC 上，延长AD 到P ，使得AP =9，若3()2PA mPB m PC =+- （m 为常数），则CD 的长度是________．14.在平面直角坐标系xOy 中，已知(0)2P ，A ，B 是圆C ：221(362x y +-=上的两个动点，满足PA PB =，则△PAB 面积的最大值是__________．二、解答题：本大题共6小题，共计90分，请在答题卡指定区域．．．．．．．内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15.在三棱柱ABC -A 1B 1C 1中，AB ⊥AC ，B 1C ⊥平面ABC ，E ，F 分别是AC ，B 1C 的中点．（1）求证：EF ∥平面AB 1C 1；（2）求证：平面AB 1C ⊥平面ABB 1．16.在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知3,2,45a c B ===︒．（1）求sin C 的值；（2）在边BC 上取一点D ，使得4cos 5ADC ∠=-，求tan DAC ∠的值．17.某地准备在山谷中建一座桥梁，桥址位置的竖直截面图如图所示：谷底O 在水平线MN 上、桥AB 与MN 平行，OO '为铅垂线(O '在AB 上).经测量，左侧曲线AO 上任一点D 到MN 的距离1h (米)与D 到OO '的距离a (米)之间满足关系式21140h a =；右侧曲线BO 上任一点F 到MN 的距离2h (米)与F 到OO '的距离b (米)之间满足关系式3216800h b b =-+.已知点B 到OO '的距离为40米.（1）求桥AB 的长度；（2）计划在谷底两侧建造平行于OO '的桥墩CD 和EF ，且CE 为80米，其中C ，E 在AB 上(不包括端点).桥墩EF 每米造价k (万元)、桥墩CD 每米造价32k (万元)(k >0).问O E '为多少米时，桥墩CD 与EF 的总造价最低?18.在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆22:143x y E +=的左、右焦点分别为F 1，F 2，点A 在椭圆E 上且在第一象限内，AF 2⊥F 1F 2，直线AF 1与椭圆E 相交于另一点B ．（1）求△AF 1F 2的周长；（2）在x 轴上任取一点P ，直线AP 与椭圆E 的右准线相交于点Q ，求OP QP ⋅ 的最小值；（3）设点M 在椭圆E 上，记△OAB 与△MAB 的面积分别为S 1，S 2，若S 2=3S 1，求点M 的坐标．19.已知关于x 的函数(),()y f x y g x ==与()(,)h x kx b k b =+∈R 在区间D 上恒有()()()f x h x g x ≥≥．（1）若()()222 2()f x x x g x x x D =+=-+=∞-∞+，，，，求h (x )的表达式；（2）若2 1 ln ,()()()(0) x x g k x h kx k D f x x x =-+==-=+∞，，，，求k 的取值范围；（3）若()422242() 2() (48 () 4 3 02 f x x x g x x h x t t x t t t =-=-=--+<，，，[] , D m n =⊆⎡⎣，求证：n m -≤．20.已知数列{}*()∈n a n N 的首项a 1=1，前n 项和为S n ．设λ与k 是常数，若对一切正整数n ，均有11111k k kn n n S S a λ++-=成立，则称此数列为“λ–k ”数列．（1）若等差数列{}n a 是“λ–1”数列，求λ的值；（2）若数列{}n a 是2”数列，且a n ＞0，求数列{}n a 的通项公式；（3）对于给定的λ，是否存在三个不同的数列{}n a 为“λ–3”数列，且a n ≥0?若存在，求λ的取值范围；若不存在，说明理由，数学Ⅱ(附加题)【选做题】本题包括A 、B 、C 三小题，请选定其中两小题．．．．．．．．，．并在相应的答题区域内作答．．．．．．．．．．．．．若多做，则按作答的前两小题评分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．A ．[选修4-2：矩阵与变换]21.平面上点(2,1)A -在矩阵11a b ⎡⎤=⎢⎥-⎣⎦M 对应的变换作用下得到点(3,4)B -．（1）求实数a ，b 的值；（2）求矩阵M 的逆矩阵1M -．B ．[选修4-4：坐标系与参数方程]22.在极坐标系中，已知点1π(,)3A ρ在直线:cos 2l ρθ=上，点2π(,6B ρ在圆:4sinC ρθ=上（其中0ρ≥，02θπ≤<）．（1）求1ρ，2ρ的值（2）求出直线l 与圆C 的公共点的极坐标．C ．[选修4-5：不等式选讲]23.设x ∈R ，解不等式2|1|||4x x ++≤．【必做题】第24题、第25题，每题10分，共计20分．请在答题卡指定区域．．．．．．．内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．24.在三棱锥A —BCD 中，已知CB =CD =,BD =2，O 为BD 的中点，AO ⊥平面BCD ，AO =2，E 为AC 的中点．（1）求直线AB 与DE 所成角的余弦值；（2）若点F 在BC 上，满足BF =14BC ，设二面角F —DE —C 的大小为θ，求sin θ的值．25.甲口袋中装有2个黑球和1个白球，乙口袋中装有3个白球．现从甲、乙两口袋中各任取一个球交换放入另一口袋，重复n 次这样的操作，记甲口袋中黑球个数为X n ，恰有2个黑球的概率为p n ，恰有1个黑球的概率为q n ．（1）求p 1·q 1和p 2·q 2；（2）求2p n +q n 与2p n-1+q n-1的递推关系式和X n 的数学期望E (X n )(用n 表示)．绝密★启用前2020年普通高等学校招生全国统一考试（江苏卷）数学Ⅰ注意事项考生在答题前请认真阅读本注意事项及各题答题要求1．本试卷共4页，均为非选择题(第1题~第20题，共20题)。
精品解析：2020年江苏省高考数学试卷(原卷版)
绝密★启用前2020年普通高等学校招生全国统一考试（江苏卷）数学Ⅰ注意事项考生在答题前请认真阅读本注意事项及各题答题要求1．本试卷共4页，均为非选择题(第1题~第20题，共20题)。
本卷满分为160分，考试时间为120分钟。
考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回.2．答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置.3．请认真核对监考员从答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与本人是否相符. 4．作答试题，必须用0.5毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律无效.5．如需作图，须用2B 铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗.参考公式：柱体的体积V Sh =，其中S 是柱体的底面积，h 是柱体的高．一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．请把答案填写在答题卡相应位置上．．．．．．．．． 1.已知集合{1,0,1,2},{0,2,3}A B =−=，则A B =_____.2.已知i 是虚数单位，则复数(1i)(2i)z =+−的实部是_____.3.已知一组数据4,2,3,5,6a a −的平均数为4，则a 的值是_____.4.将一颗质地均匀的正方体骰子先后抛掷2次，观察向上的点数，则点数和为5的概率是_____.5.如图是一个算法流程图，若输出y 的值为2−，则输入x 的值是_____.6.在平面直角坐标系xOy 中，若双曲线22x a ﹣25y =1(a ＞0)的一条渐近线方程为y=52x ，则该双曲线的离心率是____.7.已知y =f (x )是奇函数，当x ≥0时，()23 f x x = ，则f (-8)的值是____.8.已知2sin ()4πα+ =23，则sin 2α的值是____. 9.如图，六角螺帽毛坯是由一个正六棱柱挖去一个圆柱所构成的．已知螺帽的底面正六边形边长为2 cm ，高为2 cm ，内孔半轻为0.5 cm ，则此六角螺帽毛坯的体积是____cm.10.将函数y =πsin(2)43x ﹢的图象向右平移π6个单位长度，则平移后的图象中与y 轴最近的对称轴的方程是____.11.设{a n }是公差为d 的等差数列，{b n }是公比为q 的等比数列．已知数列{a n +b n }的前n 项和221()n n S n n n +=−+−∈N ，则d +q 的值是_______．12.已知22451(,)x y y x y R +=∈，则22x y +的最小值是_______．13.在△ABC 中，43=90AB AC BAC ==︒，，∠，D 在边BC 上，延长AD 到P ，使得AP =9，若3()2PA mPB m PC =+−（m 为常数），则CD 的长度是________．14.在平面直角坐标系xOy 中，已知3(0)2P ，A ，B 是圆C ：221()362x y +−=上的两个动点，满足PA PB =，则△P AB 面积的最大值是__________．二、解答题：本大题共6小题，共计90分，请在答题卡指定区域．．．．．．．内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15.在三棱柱ABC -A 1B 1C 1中，AB ⊥AC ，B 1C ⊥平面ABC ，E ，F 分别是AC ，B 1C 的中点．（1）求证：EF ∥平面AB 1C 1；（2）求证：平面AB 1C ⊥平面ABB 1．16.在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知3,2,45a c B ===︒．（1）求sin C 的值；（2）在边BC 上取一点D ，使得4cos 5ADC ∠=−，求tan DAC ∠的值． 17.某地准备在山谷中建一座桥梁，桥址位置的竖直截面图如图所示：谷底O 在水平线MN 上、桥AB 与MN 平行，OO '为铅垂线(O '在AB 上).经测量，左侧曲线AO 上任一点D 到MN 的距离1h (米)与D 到OO '的距离a (米)之间满足关系式21140h a =；右侧曲线BO 上任一点F 到MN 的距离2h (米)与F 到OO '的距离b (米)之间满足关系式3216800h b b =−+.已知点B 到OO '的距离为40米.（1）求桥AB 的长度；（2）计划在谷底两侧建造平行于OO '的桥墩CD 和EF ，且CE 为80米，其中C ，E 在AB 上(不包括端点).桥墩EF 每米造价k (万元)、桥墩CD 每米造价32k (万元)(k >0).问O E '为多少米时，桥墩CD 与EF 的总造价最低? 18.在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆22:143x y E +=的左、右焦点分别为F 1，F 2，点A 在椭圆E 上且在第一象限内，AF 2⊥F 1F 2，直线AF 1与椭圆E 相交于另一点B ．（1）求△AF 1F 2的周长；（2）在x 轴上任取一点P ，直线AP 与椭圆E 的右准线相交于点Q ，求OP QP ⋅的最小值；（3）设点M 在椭圆E 上，记△OAB 与△MAB 的面积分别为S 1，S 2，若S 2=3S 1，求点M 的坐标． 19.已知关于x 的函数(),()y f x y g x ==与()(,)h x kx b k b =+∈R 在区间D 上恒有()()()f x h x g x ≥≥．（1）若()()222 2()f x x x g x x x D =+=−+=∞−∞+，，，，求h (x )的表达式； （2）若2 1 ln ,()()()(0) x x g k x h kx k D f x x x =−+==−=+∞，，，，求k 的取值范围； （3）若()422242() 2() (48 () 4 3 0)2 2f x x x g x x h x t t x t t t =−=−=−−+<，，≤，[] , 2,2D m n =⊆−⎡⎣，求证：7n m −≤20.已知数列{}*()∈n a n N 的首项a 1=1，前n 项和为S n ．设λ与k 是常数，若对一切正整数n ，均有11111k k kn n n S S a λ++−=成立，则称此数列为“λ–k ”数列． （1）若等差数列{}n a 是“λ–1”数列，求λ的值；（2）若数列{}n a 是32”数列，且a n ＞0，求数列{}n a 的通项公式；（3）对于给定的λ，是否存在三个不同的数列{}n a 为“λ–3”数列，且a n ≥0?若存在，求λ的取值范围；若不存在，说明理由，数学Ⅱ(附加题)【选做题】本题包括A 、B 、C 三小题，请选定其中两小题，并在相应的答题区域内作答．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．若多做，则按作答的前两小题评分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． A ．[选修4-2：矩阵与变换]21.平面上点(2,1)A −在矩阵11a b ⎡⎤=⎢⎥−⎣⎦M 对应的变换作用下得到点(3,4)B −． （1）求实数a ，b 的值；（2）求矩阵M 的逆矩阵1M −．B ．[选修4-4：坐标系与参数方程]22.在极坐标系中，已知点1π(,)3A ρ在直线:cos 2l ρθ=上，点2π(,)6B ρ在圆:4sinC ρθ=上（其中0ρ≥，02θπ≤<）． （1）求1ρ，2ρ的值（2）求出直线l 与圆C 的公共点的极坐标． C ．[选修4-5：不等式选讲]23.设x ∈R ，解不等式2|1|||4x x ++≤．【必做题】第24题、第25题，每题10分，共计20分．请在答题卡指定区域．．．．．．．内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．24.在三棱锥A —BCD 中，已知CB =CD =5,BD =2，O 为BD 的中点，AO ⊥平面BCD ，AO =2，E 为AC 的中点．（1）求直线AB 与DE 所成角的余弦值；（2）若点F 在BC 上，满足BF =14BC ，设二面角F —DE —C 的大小为θ，求sin θ的值． 25.甲口袋中装有2个黑球和1个白球，乙口袋中装有3个白球．现从甲、乙两口袋中各任取一个球交换放入另一口袋，重复n 次这样的操作，记甲口袋中黑球个数为X n ，恰有2个黑球的概率为p n ，恰有1个黑球的概率为q n ．（1）求p 1·q 1和p 2·q 2； （2）求2p n +q n 与2p n-1+q n-1递推关系式和X n 的数学期望E (X n )(用n 表示) ．。
2020年高考数学真题试卷(江苏卷)
2020年高考数学真题试卷（江苏卷）14小题，每题5分，共计70分．1．已知集合 A ={−1,0,1,2},B ={0,2,3} ，则 A ∩B = . 2．已知i 是虚数单位，则复数 z =(1+i)(2−i) 的实部是 . 3．已知一组数据 4,2a,3−a,5,6 的平均数为4，则a 的值是 .4．将一颗质地均匀的正方体骰子先后抛掷2次，观察向上的点数，则点数和为5的概率是 .5．如图是一个算法流程图，若输出y 的值为-2，则输入x 的值是 .6．在平面直角坐标系xOy 中，若双曲线 x 2a2 ﹣ y 25 =1(a ＞0)的一条渐近线方程为y= √52 x ，则该双曲线的离心率是 .7．已知y=f(x)是奇函数，当x≥0时， f(x)=x 23 ，则f(-8)的值是 . 8．已知 sin 2(π4+α) = 23，则 sin2α 的值是 .9．如图，六角螺帽毛坯是由一个正六棱柱挖去一个圆柱所构成的．已知螺帽的底面正六边形边长为2 cm ，高为2 cm ，内孔半轻为0.5 cm ，则此六角螺帽毛坯的体积是 cm.10．将函数y= 3sin(2x ﹢π4) 的图象向右平移 π6 个单位长度，则平移后的图象中与y 轴最近的对称轴的方程是 .11．设{a n }是公差为d 的等差数列，{b n }是公比为q 的等比数列．已知数列{a n +b n }的前n 项和 S n =n 2−n +2n −1(n ∈N +) ，则d+q 的值是 ．12．已知 5x 2y 2+y 4=1(x,y ∈R) ，则 x 2+y 2 的最小值是 ．13．在△ABC 中， AB =4，AC =3，∠BAC =90°， D 在边BC 上，延长AD 到P ，使得AP=9，若 PA ⃗⃗⃗⃗⃗ =mPB ⃗⃗⃗⃗⃗ +(32−m)PC ⃗⃗⃗⃗⃗ （m 为常数），则CD 的长度是 ．14．在平面直角坐标系xOy 中，已知 P(√32，0) ，A ，B 是圆C ： x 2+(y −12)2=36 上的两个动点，满足 PA =PB ，则△PAB 面积的最大值是 ．6小题，共计90分，请在答题卡指定区域内作15．在三棱柱ABC-A 1B 1C 1中，AB△AC ，B 1C△平面ABC ，E ，F 分别是AC ，B 1C 的中点．（1）求证：EF△平面AB 1C 1； （2）求证：平面AB 1C△平面ABB 1．16．在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知 a =3,c =√2,B =45° ．（1）求 sinC 的值；（2）在边BC 上取一点D ，使得 cos∠ADC =−45，求 tan∠DAC 的值．17．某地准备在山谷中建一座桥梁，桥址位置的竖直截面图如图所示：谷底O 在水平线MN 上、桥AB 与MN 平行， OO ′ 为铅垂线( O ′ 在AB 上).经测量，左侧曲线AO 上任一点D 到MN 的距离 ℎ1 (米)与D 到 OO ′ 的距离a(米)之间满足关系式 ℎ1=140a 2 ；右侧曲线BO 上任一点F 到MN 的距离 ℎ2 (米)与F 到 OO ′ 的距离b(米)之间满足关系式 ℎ2=−1800b 3+6b .已知点B 到 OO ′ 的距离为40米.（1）求桥AB 的长度；（2）计划在谷底两侧建造平行于 OO ′ 的桥墩CD 和EF ，且CE 为80米，其中C ，E 在AB 上(不包括端点).桥墩EF 每米造价k(万元)、桥墩CD 每米造价 32k (万元)(k>0).问 O ′E 为多少米时，桥墩CD 与EF 的总造价最低?18．在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆 E:x 24+y 23=1 的左、右焦点分别为F 1，F 2，点A 在椭圆E 上且在第一象限内，AF 2△F 1F 2，直线AF 1与椭圆E 相交于另一点B ．（1）求△AF 1F 2的周长；（2）在x 轴上任取一点P ，直线AP 与椭圆E 的右准线相交于点Q ，求 OP ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅QP⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 的最小值； （3）设点M 在椭圆E 上，记△OAB 与△MAB 的面积分别为S 1，S 2，若S 2=3S 1，求点M 的坐标．19．已知关于x的函数y=f(x),y=g(x)与ℎ(x)=kx+b(k,b∈R)在区间D上恒有f(x)≥ℎ(x)≥g(x)．（1）若f(x)=x2+2x，g(x)=−x2+2x，D=(−∞，+∞)，求h(x)的表达式；（2）若f(x)=x2−x+1，g(x)=klnx，ℎ(x)=kx−k,D=(0，+∞)，求k的取值范围；（3）若f(x)=x4−2x2，g(x)=4x2−8，ℎ(x)=4(t2−t)x−3t4+2t2(0<|t|≤√2)，D=[m,n]⊆[−√2,√2]，求证：n−m≤√7．20．已知数列{a n}(n∈N∗)的首项a1=1，前n项和为S n．设λ与k是常数，若对一切正整数n，均有Sn+11k−S n1k=λa n+11k成立，则称此数列为“λ–k”数列．（1）若等差数列{a n}是“λ–1”数列，求λ的值；（2）若数列{a n}是“ √33−2”数列，且a n＞0，求数列{a n}的通项公式；（3）对于给定的λ，是否存在三个不同的数列{a n}为“λ–3”数列，且a n≥0?若存在，求λ的取值范围；若不存在，说明理由，【选做题】本题包括21、22、23三小题，请选定其中两小题，并21．[选修4-2：矩阵与变换]平面上点A(2,−1)在矩阵M=[a1−1b]对应的变换作用下得到点B(3,−4)．（1）求实数a，b的值；（2）求矩阵M的逆矩阵M−1．22．[选修4-4：坐标系与参数方程]在极坐标系中，已知点A(ρ1,π3)在直线l:ρcosθ=2上，点B(ρ2,π6)在圆C:ρ=4sinθ上（其中ρ≥0，0≤θ<2π）．（1）求ρ1，ρ2的值（2）求出直线l与圆C的公共点的极坐标．23．设x∈R，解不等式2|x+1|+|x|≤4．【必做题】第24题、第25题，每题10分，共计20分．请在答题24．在三棱锥A—BCD中，已知CB=CD= √5,BD=2，O为BD的中点，AO△平面BCD，AO=2，E为AC的中点．（1）求直线AB与DE所成角的余弦值；（2）若点F在BC上，满足BF= 14BC，设二面角F—DE—C的大小为θ，求sinθ的值．25．甲口袋中装有2个黑球和1个白球，乙口袋中装有3个白球．现从甲、乙两口袋中各任取一个球交换放入另一口袋，重复n次这样的操作，记甲口袋中黑球个数为X n，恰有2个黑球的概率为p n，恰有1个黑球的概率为q n．（1）求p1·q1和p2·q2；（2）求2p n+q n与2p n-1+q n-1的递推关系式和X n的数学期望E(X n)(用n表示) ．答案解析部分1．【答案】{0,2}【解析】【解答】∵A ={−1,0,1,2} , B ={0,2,3}∴A ∩B ={0,2} 故答案为： {0,2} .【分析】根据集合的交集即可计算.2．【答案】3【解析】【解答】∵复数 z =(1+i)(2−i)∴z =2−i +2i −i 2=3+i ∴复数的实部为3. 故答案为：3.【分析】根据复数的运算法则，化简即可求得实部的值.3．【答案】2【解析】【解答】∵数据 4,2a,3−a,5,6 的平均数为4∴4+2a +3−a +5+6=20 ，即 a =2 . 故答案为：2.【分析】根据平均数的公式进行求解即可．4．【答案】19【解析】【解答】根据题意可得基本事件数总为 6×6=36 个.点数和为5的基本事件有 (1,4) ， (4,1) ， (2,3) ， (3,2) 共4个. ∴出现向上的点数和为5的概率为 P =436=19. 故答案为： 19.【分析】分别求出基本事件总数，点数和为5的种数，再根据概率公式解答即可．5．【答案】-3【解析】【解答】由于 2x >0 ，所以 y =x +1=−2 ，解得 x =−3 .故答案为：-3【分析】根据指数函数的性质，判断出 y =x +1 ，由此求得x 的值.6．【答案】32【解析】【解答】双曲线 x 2a2−y 25=1 ，故 b =√5 .由于双曲线的一条渐近线方程为 y =√52x ，即b a =√52⇒a =2 ，所以c =√a 2+b 2=√4+5=3 ，所以双曲线的离心率为 c a =32 . 故答案为： 32【分析】根据渐近线方程求得a ，由此求得c ，进而求得双曲线的离心率.7．【答案】-4【解析】【解答】 f(8)=823=4 ，因为 f(x) 为奇函数，所以 f(−8)=−f(8)=−4故答案为：-4【分析】先求 f(8) ，再根据奇函数求 f(−8)8．【答案】13【解析】【解答】 ∵sin 2(π4+α)=(√22cosα+√22sinα)2=12(1+sin2α)∴12(1+sin2α)=23∴sin2α=13故答案为： 13【分析】直接按照两角和正弦公式展开，再平方即得结果.9．【答案】12√3−π2【解析】【解答】正六棱柱体积为 6×√34×22×2=12√3圆柱体积为 π(12)2⋅2=π2所求几何体体积为 12√3−π2 故答案为： 12√3−π2【分析】先求正六棱柱体积，再求圆柱体积，相减得结果.10．【答案】x =−5π24【解析】【解答】 y =3sin[2(x −π6)+π4]=3sin(2x −π12)2x −π12=π2+kπ(k ∈Z)∴x =7π24+kπ2(k ∈Z) 当 k =−1 时 x =−5π24故答案为： x =−5π24【分析】先根据图象变换得解析式，再求对称轴方程，最后确定结果.11．【答案】4【解析】【解答】设等差数列 {a n } 的公差为d ，等比数列 {b n } 的公比为q ，根据题意 q ≠1 .等差数列 {a n } 的前n 项和公式为 P n =na 1+n(n−1)2d =d 2n 2+(a 1−d 2)n ，等比数列 {b n } 的前n 项和公式为 Q n =b 1(1−q n )1−q =−b 11−q q n +b 11−q， 依题意 S n =P n +Q n ，即 n 2−n +2n −1=d 2n 2+(a 1−d2)n −b 11−q q n +b 11−q ，通过对比系数可知 {d2=1a 1−d 2=−1q =2b 11−q =−1⇒ {d =2a 1=0q =2b 1=1 ，故 d +q =4 . 故答案为：4【分析】结合等差数列和等比数列前n 项和公式的特点，分别求得 {a n },{b n } 的公差和公比，由此求得 d +q .12．【答案】45【解析】【解答】∵5x 2y 2+y 4=1∴y ≠0 且 x 2=1−y 45y 2∴x 2+y 2=1−y 45y 2+y 2=15y 2+4y 25≥2√15y 2⋅4y 25=45 ，当且仅当 15y 2=4y 25 ，即 x 2=310,y 2=12 时取等号.∴x 2+y 2 的最小值为 45 .故答案为： 45.【分析】根据题设条件可得 x 2=1−y 45y 2 ，可得 x 2+y 2=1−y 45y 2+y 2=15y2+4y 25 ，利用基本不等式即可求解.13．【答案】185【解析】【解答】∵A,D,P 三点共线， ∴可设 PA ⃗⃗⃗⃗⃗ =λPD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ (λ>0) ， ∵PA ⃗⃗⃗⃗⃗ =mPB ⃗⃗⃗⃗⃗ +(32−m)PC ⃗⃗⃗⃗⃗ ，∴λPD ⃗⃗⃗⃗⃗ =mPB ⃗⃗⃗⃗⃗ +(32−m)PC ⃗⃗⃗⃗⃗ ，即 PD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =m λPB ⃗⃗⃗⃗⃗ +(32−m)λPC ⃗⃗⃗⃗⃗ ， 若 m ≠0 且 m ≠32，则 B,D,C 三点共线，∴m λ+(32−m)λ=1 ，即 λ=32 ， ∵AP =9 ，∴AD =3 ，∵AB =4 , AC =3 , ∠BAC =90° ， ∴BC =5 ，设 CD =x ， ∠CDA =θ ，则 BD =5−x ， ∠BDA =π−θ .∴根据余弦定理可得 cosθ=AD 2+CD 2−AC 22AD⋅CD =x 6， cos(π−θ)=AD 2+BD 2−AB 22AD⋅BD =(5−x)2−76(5−x) ，∵cosθ+cos(π−θ)=0 ，∴x 6+(5−x)2−76(5−x)=0 ，解得 x =185 ， ∴CD 的长度为185.当 m =0 时， PA ⃗⃗⃗⃗⃗ =32PC⃗⃗⃗⃗⃗ ， C,D 重合，此时 CD 的长度为 0 ， 当 m =32时， PA ⃗⃗⃗⃗⃗ =32PB ⃗⃗⃗⃗⃗ ， B,D 重合，此时 PA =12 ，不合题意，舍去. 故答案为：0或185. 【分析】根据题设条件可设 PA ⃗⃗⃗⃗⃗ =λPD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ (λ>0) ，结合 PA ⃗⃗⃗⃗⃗ =mPB ⃗⃗⃗⃗⃗ +(32−m)PC ⃗⃗⃗⃗⃗ 与 B,D,C 三点共线，可求得 λ ，再根据勾股定理求出 BC ，然后根据余弦定理即可求解.14．【答案】10√5【解析】【解答】 ∵PA =PB ∴PC ⊥AB设圆心 C 到直线 AB 距离为d ，则 |AB|=2√36−d 2,|PC|=√34+14=1所以 S △PAB ≤12⋅2√36−d 2(d +1)=√(36−d 2)(d +1)2令 y =(36−d 2)(d +1)2(0≤d <6)∴y ′=2(d +1)(−2d 2−d +36)=0∴d =4 （负值舍去） 当 0≤d <4 时， y ′>0 ；当 4≤d <6 时， y ′≤0 ，因此当 d =4 时， y 取最大值，即 S △PAB 取最大值为 10√5 ， 故答案为： 10√5【分析】根据条件得 PC ⊥AB ,再用圆心到直线距离表示三角形PAB 面积，最后利用导数求最大值.15．【答案】（1）证明：由于 E,F 分别是 AC,B 1C 的中点，所以 EF//AB 1 .由于 EF ⊂ 平面 AB 1C 1 , AB 1⊂ 平面 AB 1C 1 ，所以 EF// 平面 AB 1C 1 . （2）证明：由于 B 1C ⊥ 平面 ABC ， AB ⊂ 平面 ABC ，所以 B 1C ⊥AB . 由于 AB ⊥AC,AC ∩B 1C =C ，所以 AB ⊥ 平面 AB 1C , 由于 AB ⊂ 平面 ABB 1 ，所以平面 AB 1C ⊥ 平面 ABB 1 .【解析】【分析】（1）通过证明 EF//AB 1 ，来证得 EF// 平面 AB 1C 1 .（2）通过证明 AB ⊥ 平面AB 1C ，来证得平面 AB 1C ⊥ 平面 ABB 1 .16．【答案】（1）解：由余弦定理得 b 2=a 2+c 2−2accosB =9+2−2×3×√2×√22=5 ，所以b =√5 .由正弦定理得 c sinC =b sinB ⇒sinC =csinB b =√55.（2）解：由于 cos∠ADC =−45 ， ∠ADC ∈(π2,π) ，所以 sin∠ADC =√1−cos 2∠ADC =35 .由于 ∠ADC ∈(π2,π) ，所以 C ∈(0,π2) ，所以 cosC =√1−sin 2C =2√55.所以 sin∠DAC =sin(π−∠DAC) =sin(∠ADC +∠C)=sin∠ADC ⋅cosC +cos∠ADC ⋅sinC =35×2√55+(−45)×√55=2√525.由于 ∠DAC ∈(0,π2) ，所以 cos∠DAC =√1−sin 2∠DAC =11√525 .所以 tan∠DAC =sin∠DAC cos∠DAC =211.【解析】【分析】（1）利用余弦定理求得 b ，利用正弦定理求得 sinC . （2）根据 cos∠ADC 的值，求得 sin∠ADC 的值，由（1）求得 cosC 的值，从而求得 sin∠DAC,cos∠DAC 的值，进而求得tan∠DAC 的值.17．【答案】（1）解：由题意得 140|O ′A|2=−1800×403+6×40∴|O ′A|=80 ∴|AB|=|O ′A|+|O ′B|=80+40=120 米（2）解：设总造价为 f(x) 万元， |O ′O|=140×802=160 ，设 |O ′E|=x ，f(x)=k(160+1800x 3−6x)+32k[160−140(80−x)2],(0<x <40) ∴f(x)=k(160+1800x 3−380x 2),∴f ′(x)=k(3800x 2−680x)=0∴x =20 (0舍去)当 0<x <20 时， f ′(x)<0 ；当 20<x <40 时， f ′(x)>0 ，因此当 x =20 时， f(x) 取最小值，答：当 O ′E =20 米时，桥墩CD 与EF 的总造价最低.【解析】【分析】（1）根据A,B 高度一致列方程求得结果；（2）根据题意列总造价的函数关系式，利用导数求最值，即得结果.18．【答案】（1）解：∵椭圆 E 的方程为 x 24+y 23=1∴F 1(−1,0) , F 2(1,0)由椭圆定义可得： AF 1+AF 2=4 . ∴△AF 1F 2 的周长为 4+2=6（2）解：设 P(x 0,0) ，根据题意可得 x 0≠1 . ∵点 A 在椭圆 E 上，且在第一象限， AF 2⊥F 1F 2∴A(1,32)∵准线方程为 x =4 ∴Q(4,y Q )∴OP ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅QP ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(x 0,0)⋅(x 0−4,−y Q )=(x 0−4)x 0=(x 0−2)2−4≥−4 ，当且仅当 x 0=2 时取等号. ∴OP ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅QP⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 的最小值为 −4 . （3）解：设 M(x 1,y 1) ，点M 到直线 AB 的距离为d.∵A(1,32) ， F 1(−1,0)∴直线 AF 1 的方程为 y =34(x +1)∵点O 到直线 AB 的距离为 35 ， S 2=3S 1∴S 2=3S 1=3×12×|AB|×35=12|AB|⋅d∴d=9 5∴|3x1−4y1+3|=9①∵x124+y123=1②∴联立①②解得{x1=2y 1=0，{x1=−27y1=−127.∴M(2,0)或(−27,−127).【解析】【分析】（1）根据椭圆定义可得AF1+AF2=4，从而可求出△AF1F2的周长；（2）设P(x0,0)，根据点A在椭圆E上，且在第一象限，AF2⊥F1F2，求出A(1,32)，根据准线方程得Q点坐标，再根据向量坐标公式，结合二次函数性质即可出最小值；（3）设出设M(x1,y1)，点M 到直线AB的距离为d，由点O到直线AB的距离与S2=3S1，可推出d=95，根据点到直线的距离公式，以及M(x1,y1)满足椭圆方程，解方程组即可求得坐标.19．【答案】（1）解：由题设有−x2+2x≤kx+b≤x2+2x对任意的x∈R恒成立.令x=0，则0≤b≤0，所以b=0.因此kx≤x2+2x即x2+(2−k)x≥0对任意的x∈R恒成立，所以Δ=(2−k)2≤0，因此k=2.故ℎ(x)=2x.（2）解：令F(x)=ℎ(x)−g(x)=k(x−1−lnx)(x>0)，F(1)=0.又F′(x)=k⋅x−1x.若k<0，则F(x)在(0,1)上递增，在(1,+∞)上递减，则F(x)≤F(1)=0，即ℎ(x)−g(x)≤0，不符合题意.当k=0时，F(x)=ℎ(x)−g(x)=0,ℎ(x)=g(x)，符合题意.当k>0时，F(x)在(0,1)上递减，在(1,+∞)上递增，则F(x)≥F(1)=0，即ℎ(x)−g(x)≥0，符合题意.综上所述，k≥0.由f(x)−ℎ(x)=x2−x+1−(kx−k)=x2−(k+1)x+(k+1)≥0当x=k+12<0，即k<−1时，y=x2−(k+1)x+k+1在(0,+∞)为增函数，因为f(0)−ℎ(0)=k+1<0，故存在x0∈(0,+∞)，使f(x)−ℎ(x)<0，不符合题意.当x=k+12=0，即k=−1时，f(x)−ℎ(x)=x2≥0，符合题意.当x=k+12>0，即k>−1时，则需Δ=(k+1)2−4(k+1)≤0，解得−1<k≤3.综上所述，k的取值范围是k∈[0,3].（3）解：因为x4−2x2≥4(t3−t)x−3t4+2t2≥4x2−8对任意x∈[m,n]⊂[−√2,√2]恒成立，x4−2x2≥4(t3−t)x−3t4+2t2对任意x∈[m,n]⊂[−√2,√2]恒成立，等价于(x−t)2(x2+2tx+3t2−2)≥0对任意x∈[m,n]⊂[−√2,√2]恒成立.故x2+2tx+3t2−2≥0对任意x∈[m,n]⊂[−√2,√2]恒成立.令M(x)=x2+2tx+3t2−2，当0<t2<1，Δ=−8t2+8>0,−1<−t<1，此时n−m≤√2+|t|<√2+1<√7，当1≤t2≤2，Δ=−8t2+8≤0，但4x2−8≥4(t3−t)x−3t4+2t2对任意的x∈[m,n]⊂[−√2,√2]恒成立.等价于4x2−4(t3−t)x+(3t2+4)(t2−2)≤0对任意的x∈[m,n]⊂[−√2,√2]恒成立.4x2−4(t3−t)x+(3t2+4)(t2−2)=0的两根为x1,x2，则x1+x2=t3−t,x1⋅x2=3t 4−2t2−84，所以n−m=|x1−x2|=√(x1+x2)2−4x1x2=√t6−5t4+3t2+8.令t2=λ,λ∈[1,2]，则|n−m|=√λ3−5λ2+3λ+8.构造函数P(λ)=λ3−5λ2+3λ+8(λ∈[1,2])，P′(λ)=3λ2−10λ+3=(λ−3)(3λ−1)，所以λ∈[1,2]时，P′(λ)<0，P(λ)递减，P(λ)max=P(1)=7.所以(n−m)max=√7，即n−m≤√7.【解析】【分析】（1）求得f(x)与g(x)的公共点，并求得过该点的公切线方程，由此求得ℎ(x)的表达式.（2）先由ℎ(x)−g(x)≥0，求得k的一个取值范围，再由f(x)−ℎ(x)≥0，求得k 的另一个取值范围，从而求得k的取值范围.（3）先由f(x)≥ℎ(x)，求得|t|的取值范围，由方程g(x)−ℎ(x)=0的两个根，求得n−m的表达式，利用导数证得不等式成立.20．【答案】（1）解: S n+1−S n=λa n+1∴a n+1=λa n+1∵a1=1∴a n+1≡0∴λ=1（2）解: ∵an >0∴S n+1>S n∴S n+112−S n12>0∵S n+112−S n 12=√33(S n+1−S n )12∴(S n+112−S n 12)2=13(S n+112−S n 12)(S n+112+S n 12)∴S n+112−S n 12=13(S n+112+S n 12)∴S n+112=2S n 12∴S n+1=4S n ∴S n =4n−1∵S 1=a 1=1 ， S n =4n−1∴a n =4n−1−4n−2=3⋅4n−2,n ≥2∴a n ={1,n =13⋅4n−2,n ≥2（3）解: 假设存在三个不同的数列 {a n } 为 "λ−3" 数列.S n+113−S n 13=λa n+113∴(S n+113−S n 13)3=λ3(S n+1−S n )∴S n+113=S n13或 (Sn+113−S n 13)2=λ3(S n+123+S n23+S n+113S n 13)∴S n+1=S n 或 (λ3−1)Sn+123+(λ3−1)S n 23+(λ3+2)S n+113S n13=0∵对于给定的 λ ，存在三个不同的数列 {a n } 为 "λ−3" 数列，且 a n ≥0∴a n ={1,n =10,n ≥2 或 (λ3−1)S n+123+(λ3−1)S n 23+(λ3+2)S n+113S n 13=0(λ≠1) 有两个不等的正根. (λ3−1)S n+123+(λ3−1)S n23+(λ3+2)S n+113S n13=0(λ≠1)可转化为 (λ3−1)S n+123S n 23+(λ3−1)+(λ3+2)S n+113S n 13=0(λ≠1) ，不妨设 (S n+1S n)13=x(x >0) ，则 (λ3−1)x 2+(λ3+2)x +(λ3−1)=0(λ≠1) 有两个不等正根，设 f(x)=(λ3−1)x 2+(λ3+2)x +(λ3−1)=0(λ≠1) . ①当 λ<1 时， Δ=(λ3+2)2−4(λ3−1)2>0⇒0<λ3<4 ，即 0<λ<1 ，此时 f(0)=λ3−1<0 ， x 对=−(λ3+2)2(λ3−1)>0 ，满足题意.②当 λ>1 时， Δ=(λ3+2)2−4(λ3−1)2>0⇒0<λ3<4 ，即 1<λ<√43 ，此时 f(0)=λ3−1>0 ， x 对=−(λ3+2)2(λ3−1)<0 ，此情况有两个不等负根，不满足题意舍去.综上， 0<λ<1【解析】【分析】（1）根据定义得 S n+1−S n =λa n+1 ，再根据和项与通项关系化简得 a n+1=λa n+1 ，最后根据数列不为零数列得结果；（2）根据定义得 S n+112−S n 12=√33(S n+1−S n )12 ，根据平方差公式化简得 S n+1=4S n ，求得 S n ，即得 a n ；（3）根据定义得 Sn+113−S n13=λa n+113 ，利用立方差公式化简得两个方程，再根据方程解的个数确定参数满足的条件，解得结果 21．【答案】（1）解：∵平面上点 A(2,−1) 在矩阵 M =[a1−1b ] 对应的变换作用下得到点 B(3,−4) ∴[a1−1b ][2−1]=[3−4] ∴{2a −1=3−2−b =−4 ，解得 {a =2b =2 （2）解：设 M −1=[mn cd ] ，则 MM −1=[2m +c2n +d −m +2c −n +2d ]=[1001] ∴{2m +c =12n +d =0−m +2c =0−n +2d =1 ，解得 { m =25n =−15c =15d =25∴M −1=[25−151525]【解析】【分析】（1）根据变换写出具体的矩阵关系式，然后进行矩阵的计算可得出实数 a,b 的值；（2）设出逆矩阵，由定义得到方程，即可求解.22．【答案】（1）解：以极点为原点，极轴为x 轴的正半轴，建立平面直角坐标系， ∵ρ1cos π3=2,∴ρ1=4 ，因为点B 为直线 θ=π6 上，故其直角坐标方程为 y =√33x ，又 ρ=4sinθ 对应的圆的直角坐标方程为： x 2+y 2−4y =0 ，由 {y =√33x x 2+y 2−4y =0解得 {x =0y =0 或 {x =√3y =1 ， 对应的点为 (0,0),(√3,1) ，故对应的极径为 ρ2=0 或 ρ2=2 . （2）解： ∵ρcosθ=2,ρ=4sinθ,∴4sinθcosθ=2,∴sin2θ=1 ， ∵θ∈[0,2π),∴θ=π4,5π4， 当 θ=π4 时 ρ=2√2 ；当 θ=5π4时ρ=−2√2<0 ，舍；即所求交点坐标为当 (2√2,π4), 【解析】【分析】(1)将A,B 点坐标代入即得结果；（2）联立直线与圆极坐标方程，解得结果.23．【答案】解： ∵{x <−1−2x −2−x ≤4或 {−1≤x ≤02x +2−x ≤4 或 {x >02x +2+x ≤4 ∴−2≤x <−1 或 −1≤x ≤0 或 0<x ≤23所以解集为 [−2，23]【解析】【分析】根据绝对值定义化为三个方程组，解得结果 24．【答案】（1）解：连 CO ∵BC =CD,BO =OD ∴CO ⊥BD以 OB,OC,OA 为 x,y,z 轴建立空间直角坐标系，则 A(0,0,2),B(1,0,0),C(0,2,0),D(−1,0,0)∴E(0,1,1)∴AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,0,−2),DE ⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,1,1)∴cos <AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ,DE ⃗⃗⃗⃗⃗ >=√5√3=−√1515 从而直线 AB 与 DE 所成角的余弦值为 √1515（2）解：设平面 DEC 一个法向量为 n 1⃗⃗⃗⃗ =(x,y,z),∵DC⇀=(1,2,0),{n 1⇀⋅DC ⇀=0n 1⇀⋅DE ⇀=0∴{x +2y =0x +y +z =0 令 y =1∴x =−2,z =1∴n 1⃗⃗⃗⃗ =(−2,1,1)设平面 DEF 一个法向量为 n 2⃗⃗⃗⃗ =(x 1,y 1,z 1), ∵DF ⇀=DB ⇀+BF ⇀=DB ⇀+14BC ⇀=(74,12,0),{n 2⇀⋅DF ⇀=0n 2⇀⋅DE ⇀=0∴{74x 1+12y 1=0x 1+y 1+z 1=0 令 y 1=−7∴x 1=2,z 1=5∴n 2⃗⃗⃗⃗ =(2,−7,5)∴cos <n 1⃗⃗⃗⃗ ,n 2⃗⃗⃗⃗ >=√6√78=√13因此sinθ=√12√13=2√3913【解析】【分析】（1）建立空间直角坐标系，利用向量数量积求直线向量夹角，即得结果；（2）先求两个平面法向量，根据向量数量积求法向量夹角，最后根据二面角与向量夹角关系得结果.25．【答案】（1）解：p1=1×33×3=13,q1=2×33×3=23，p 2=p1×1×33×3+q1×1×23×3=13×13+23×29=727，q 2=p1×2×33×3+q1×1×1+2×23×3+0=23×23+23×59=1627.（2）解：pn =pn−1×1×33×3+q n−1×1×23×3=13p n−1+29q n−1，q n =pn−1×2×33×3+q n−1×1×1+2×23×3+(1−p n−1−q n−1)×3×23×3=−19q n−1+23，因此2p n+q n=23p n−1+13q n−1+23，从而2p n+q n=13(2p n−1+q n−1)+23,∴2p n+q n−1=13(2p n−1+q n−1−1)，即2p n+q n−1=(2p1+q1−1)13n−1,∴2p n+q n=1+13n.又X n的分布列为故E(X n)=2p n+q n=1+1 3n.【解析】【分析】（1）直接根据操作，根据古典概型概率公式可得结果；（2）根据操作，依次求p n ，qn，即得递推关系，构造等比数列求得2p n+q n，最后根据数学期望公式求结果.。
2020年高考数学试题-江苏卷(参考答案)
所以 u(x)min u(1) 0 .则 x 1 ln x 恒成立， 所以当且仅当 k 0 时， f (x) g(x) 恒成立． 另一方面， f (x) h(x) 恒成立，即 x2 x 1 kx k 恒成立， 也即 x2 (1 k)x 1 +k 0 恒成立． 因为 k 0 ，对称轴为 x 1 k 0 ，
（2）在
△ADC
中，因为
cos ADC 4 5
，所以
ADC
为钝角，而
ADC C CAD 180 ， 所 以 C 为 锐 角 . 故 cos C 1 sin 2 C 2 5 , 则 5
tan C sin C 1 . 因 为 cos ADC 4 ， 所 以 sin ADC 1 cos2 ADC 3 ，
（2）因为 B1C 平面 ABC ， AB 平面 ABC ，所以 B1C AB 。又 AB AC ，B1C 平
面 AB1C1 ， AC 平面 AB1C ， B1C AC C ，所以 AB 平面 AB1C 。又因为 AB 平
面 ABB1 ，所以平面 AB1C 平面 ABB1 。
16．本小题主要考查正弦定理、余弦定理、同角三角函数关系、两角和与差的三角函数等 基础知识，考查运算求解能力。满分 14 分。
Sn1 1 3
Sn
3
Sn1 1 ． Sn
令
Sn1 Sn
bn ，则 bn
1
3 3
bn2
1 ，即 (bn
1)2
1 3
(bn2
1)(bn
1) ．
解得 bn 2 ，即
Sn1 Sn
2
，也即
Sn1 Sn
4，
所以数列{Sn} 是公比为4的等比数列．
因为
S1
2020年江苏卷数学高考试题文档版(含答案)
或演算步骤．
15．（本小题满分 14 分）
高考真题
在三棱柱 ABC－A1B1C1 中，AB⊥AC，B1C⊥平面 ABC，E，F 分别是 AC，B1C 的中点． （1）求证：EF∥平面 AB1C1； （2）求证：平面 AB1C⊥平面 ABB1．
16．（本小题满分 14 分） 在△ABC 中，角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，已知 a 3,c 2, B 45 ． （1）求 sin C 的值； （2）在边 BC 上取一点 D，使得 cos ADC 4 ，求 tan∠DAC 的值． 5
3 3
~2
”数列，且
an
0
，求数列 an 的通项公式；
（3）对于给定的λ，是否存在三个不同的数列 an 为“λ～3”数列，且 an 0 ？若存在，求λ的取值范
围；若不存在，说明理由．
数学Ⅰ试题参考答案
一、填空题:本题考查基础知识、基本运算和基本思想方法.每小题 5 分,共计 70 分.
1．{0, 2}
43 则 a2 4,b2 3, c2 1 .
所以 △AF1F2 的周长为 2a 2c 6 .
高考真题
（2）椭圆 E 的右准线为 x 4 .
设 P(x, 0),Q(4, y) ，
则 OP (x, 0),QP (x 4, y) ，
OP QP x(x 4) (x 2)2 4 4,
2
高考真题
与 EF 的总造价最低？
18．（本小题满分 16 分）
在平面直角坐标系 xOy 中，已知椭圆 E : x2 y2 1 的左、右焦点分别为 F1，F2，点 A 在椭圆 E 上且 43
在第一象限内，AF2⊥F1F2，直线 AF1 与椭圆 E 相交于另一点 B．
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2020届江苏高考数学应用题精选试题（一）
1、（江苏省南通市海安县2019-2020学年度第一学期高三期初调研考试数学试卷）现
有一张半径为1 m 的圆形铁皮，从中裁剪出一块扇形铁皮（如图1阴影部分），并卷成一个
深度为h m 的圆锥筒，如图2．
（1）若所裁剪的扇形铁皮的圆心角为23πrad ，求圆锥筒的容积； （2）当h 为多少时，圆锥筒的容积最大？并求出容积的最大值．
（第1题） （第2题）
2、（江苏省2020届百校大联考高三年级第一次考试数学试题）某农场灌溉水渠长为1000
米,横截面是等腰梯形ABCD （如图）//,
AD BC AB CD =,其中渠底BC 宽为1米，渠口AD 宽为3米,渠深4
3米.根据国家对农田建设补贴的政策，该农场计划在原水渠的基础上分别沿AD 方向加宽、AB 方向加深，若扩建后的水渠横截面111AB C D 仍是等腰梯形，且
面积是原面积的2倍.设扩建后渠深为h 米，若挖掘费为每立方米ah 2元万元，扩建后的水
渠的内壁（渠底和梯形两腰，AB 端也要重新铺设）铺设混凝的土费为每立方米3a 万元.
（1）试用h 表示渠底B 1C 1宽，并确定h 的取值范围；
（2）问：渠深h 为多少时，可使总建设费最少？
3、（2020年江苏高考模拟试题）如图。
一条东西流向的笔直河流，现利用航拍无人机D 监
控河流南岸相距150米的B A ,两点处（A 在B 的正西方向），河流北岸的监控中心C 在B 的
正北方100米处，监控控制车E 在C 的正西方向，且在通向C 的沿河路上运动，监控过程
中，保证监控控制车E 到无人机D 和到监控中心C 的距离之和150米，平面ADE 始终垂
直于水平面ABCE ,且DA DE ⊥,D A ,两点间距离维持在100米.
（1）当监控控制车E 到监控中心C 的距离为100米时，求无人机D 距离水平面ABCE 的
距离；
（2）若记无人机D 看A 处的俯角（)θ=∠DAE ,监控过程中，四棱锥D —ABCE 内部区
域的体积为监控影响区域V ,请将V 表示为关于θ的函数，并求出监控影响区域的最大值.
(第3题) (第4题)
4（江苏省海门市（海门中学）2020届高三第一次教学质量调研数学）场计划设计建造
一条2000米长的水渠，其横断面如图所示其中，底部是半径为1米的圆 弧AB,上部是有一
定倾角的线段AD 与BC,渠深MN 为23米，且圆弧的圆心为O 在MN 上，AD 丄OA , BC 丄OB , AD = BC , AB//DC .据测算，水渠底部曲面每平方米的造价为35百元，上部矩形壁面每平方米的造价为1百元，其他费用忽略不计.设20,π
θθ<<=∠BON
（1） 试用θ表示水渠建造的总费用)(θf （单位:百元）：
（2） 试确定θ的值，使得建造总费用最低.
5、（江苏省“百校大联考”高三年级第二次考试数学）如图，在矩形纸片ABCD 中，
cm AB 6=，cm AD 12=，在线段AB 上取一点M ，沿着过M 点的直线将矩形右下
角折起，使得右下角顶点B 恰好落在矩形的左边AD 边上．设折痕所在直线与BC 交
于N 点,记折痕MN 的长度为l ，翻折角BNM ∠为θ．
（1）探求l 与θ的函数关系，推导出用θ表示l 的函数表达式；
（2）设BM 的长为xcm ，求x 的取值范围；
（3）确定点M 在何处时，翻折后重叠部分的图形面积最小．
6、（2020届江苏省启东中学高三年级第一学期期初考试）启东市政府拟在蝶湖建一个旅
游观光项目，设计方案如下：如图所示的圆O 是圆形湖的边界，沿线段DA CD BC AB ,,,建
一个观景长廊，其中D C B A ,,, 是观景长廊的四个出入口且都在圆O 上，已知：12=BC
百米，8=AB 百米,在湖中P 处和湖边D 处各建一个观景亭，且它们关于直线AC 对称,
在湖面建一条观景桥APC 观景亭的大小、观景长廊、观景桥的宽度均忽略不计，设
α=∠ABC ．
（1）若观景长廊4=AD 百米，AB CD =，求由观景长廊所围成的四边形ABCD 内的湖
面面积；
（2）当0
60=α时，求三角形区域ADC 内的湖面面积的最大值；
（3）若8=CD 百米且规划建亭点P 在三角形ABC 区域内（不包括边界），试判断四边
形ABCP 内湖面面积是否有最大值？若有，求出最大值，并写出此时α的值；若没有，请
说明理由．
(第5题) （第6题）
7、（江苏省泰州中学、江都中学、宜兴中学2020届高三10月月考数学试题）某同学大
学毕业后，决定利用所学专业进行自主创业，经过市场调 查，生产一小型电子产品需投入
固定成本2万元，每生产x 万件，需另投入流动成本()C x 万元，当年产量小于7万件时，21()23
C x x x =+（万元）：当年产量不小于7万件时，3
()6ln 17e C x x x x =++-（万元）.己知每件产品售价为6元，若该同学生产的产品当年全部售完.
（1）写出年利润()P x （万元）关于年产量x （万件）的函数解析式；（注；年利润=年
销售收人-固定成本-流动成本
（2）当年产量约为多少万件时，该同学的这一产品所获年利润最大？最大年利润是多
少？（取3
20e ≈〉
8、（江苏省如皋市2019-2020学年度高三年级第一学期教学质量调研（一））某市在精准扶
贫和生态文明建设的专项工作中，为改善农村生态环境，建设美丽乡村，开展农村生活用水排污管道“村村通”。
已知排污管道外径为1米，当两条管道并行经过一块农田时，如图，要求两根管道最近距离不小于0.25米，埋设的最小覆土厚度（路面至管顶）不低于0.5米。
埋设管道前先挖掘一条横截面为等腰梯形的沟渠，且管道所在的两圆分别与两腰相切，设α=∠BAD
（1）为了减少农田的损毁，则当α为何值时，挖掘的土方量最小？
（2）水管用吊车放入渠底前需要了解吊绳的长度，在（1）的条件下计算1OB 长度.
（第8题） （第9题）
9、（江苏省盐城中学2020届高三第一次阶段性质量检测数学试题）某公园为了美化环境和方便顾客，计划建造一座圆弧形拱桥，已知该桥的剖面如图所示，共包括圆弧形桥面ACB 和两条长度相等的直线型路面AD 、BE,桥面跨度DE 的长不超过12米，拱桥ACB 所在 圆的半径为3米，圆心0在水面DE 上,且AD 和BE 所在直线与圆O 分别在连结点A 和B 处相切.设ADO θ∠=，己知直线型桥面每米修建费用是a 元，弧形桥面每米修建费用是43
a 元. （1） 若桥面（线段AD 、BE 和弧ACB ）的修建总费用为W 元，求W 关于θ的函数关系式；
（2） 当θ为何值时，桥面修建总费用W 最低？
10、（江苏省镇江市2019-2020学年第一学期高三期中联考数学试题）有一个墙角，两墙面所成二面角的大小为α（0＜α＜π），有一块长为a 米，宽为b 米（a ＞b ）的矩形木板，用该木板档在墙角处，木板边紧贴墙面和地面，和墙角、地面围成一个直角三棱柱储物仓111C B A ABC -.
（1）当AB 为多少米时，储物仓地面三角形ABC 面积最大？
（2）当AB 为多少米时，储物仓的容积最大？
（3）求储物仓侧面积的最大值.
(第10题)。