《计数原理》解排列组合题的几种常见方法

（三）.不相邻问题插空策略
例3.一个晚会的节目有4个舞蹈,2个
相声,3个独唱,舞蹈节目不能连续出
场,则节目的出场顺序有多少种？ 解:分两步进行：第一步排2个相声和3个独唱共有 种，
A
5 5
第二步将4舞蹈插入第一步排
好的6个元素中间包含首尾两个空位共有
A4
种 6 不同的方法
பைடு நூலகம்
由分步计数原理,节目的
A A 不同顺序共有
先排末位共有___ 然后排首位共有___
C
1 3
C
1 4
最后排其它位置共有___ 由分步计数原理得
C A
3 4
1
4
A
3 4
C
1 3
C C1 3
A1 3 =288
44
练习：5个人站成一排，如果甲
必须站在排头或排尾，而乙不能 站在排头且不能站在排尾，那么 不同的站法有多少种？
答：36种
8
（二）.相邻元素捆绑策略
C 9 空隙中，所有分法数为
C m 1 n 1
一 班
二
三
四
五
六
七
班
班
班
班
班
班
练习题
10个相同的球装5个盒中,每盒至少
C 一个，有多少装法？ 4 9
回顾小结：（1）解决有关计数的应用题时，要仔细 分析事件的发生、发展过程，弄清问题究竟是排列问 题还是组合问题，还是应直接利用分类计数原理或分 步计数原理解决．一个较复杂的问题往往是分类与分 步交织在一起，要准确分清，容易产生的错误是遗漏 和重复计数；（2）解决计数问题的常用策略有：（1） 特殊元素优先安排；（2）排列组合混合题要先选 （组合）后排；（3）相邻问题捆绑处理（先整体后 局部）；（4）不相邻问题插空处理；（5）顺序一定 问题除法处理；（6）正难则反，合理转化． （六）作业：课本P20页1、2、3；习题1-4中A组1、
数原理共有7 6 种不同的排法
分步计数原理的应用
排列与组合：
名
称
排列
定 从n个不同元素中取出m个元 义 素，按一定的顺序排成一列
组合
从n个不同元素中取出 m个元素，把它并成一组
种 所有排列的的个数 数
符
A
m n
号
所有组合的个数
C
m n
（一）.特殊元素和特殊位置优先策略
例1. 由0,1,2,3,4,5可以组成多少个没有 重复数字的五位奇数？
2 五、教后反思：
衡水市职教中心数学组 韩会仿
1
一、教学目标： （1）掌握排列组合一些常见的题型及解 题方法，能够运用两个原理及排列组合 概念解决排列组合问题； （2）提高合理选用知识解决问题的能 力．
二、教学重点、难点：排列、组合综合 问题． 三、教学方法：探析归纳，讲练结合 四、教学过程
复习巩固
1.分类计数原理(加法原理)
解：因为10个名额没有差别，把它们排成 一排。相邻名额之间形成９个空隙。
在９个空档中选６个位置插个隔板， 可把名额分成７份，对应地分给７个 班级，每一种插板方法对应一种分法 共有___________种分法。
6 将n个相同的元素分成m份（n，m为正整数）,每份至少一个元素,可以用m-1块隔板，插入n个元素排成一排的n-1个
甲乙
丙丁
由分步计数原理可得共有 种不同的排法
A 5A 5
2 2
A
2 2
=480
练习题 有7名学生，其中3名女生，4名男生， 站成一排照相，求不同的排列种数。 （1）全部排成一排，其中甲和乙相邻。 （2）全部排成一排，其中女生与女生 站在一起，男生与男生站在一起。
答：（1）1440种 （2）288种
解:由于末位和首位有特殊要求,应该优先安排,以免不合要求的元素占了 位处置 理分其这析它两法元和素个元.若位素以置分位析。置法分是析解为决主排,列需组先合满问足题特最殊常位用置也的是要最求基,再本处的理方其法它,若位以置元。素若分有析多为个主约,束需条先件安，排往特往殊是元考素虑,一再
个约束条件的同时还要兼顾其它条件
种
54
6 元素相离问题可先把没有位置要求的元素进行5排队再把不相邻元素插入中间和两端
相
独
独
独
相
练习题
4名学生和3名教师站成一排照 相，（1）任何两名教师都不相邻 的站法有多少种？ (2)师生相间而站的站法有多少种？
答：（1）1440种 （2）144种
（四）.元素相同问题隔板策略
例4.有10个运动员名额，在分给7个班，每 班至少一个,有多少种分配方案？
种不同的方法．
N=m1m2L mn
3.分类计数原理分步计数原理区别 分类计数原理方法相互独立，任何一种方法都可以独立地完成这 件事。
分步计数原理各步相互依存，每步中的方法完成事件的一个阶段， 不能完成整个事件．
练习: 1.把6名实习生分配到7个车间实习,共有 多少种不同的分法
解:完成此事共分六步:把第一名实习生分配 到车间有7种分法.把第二名实习生分配 到车间也有7种分法，依此类推,由分步计
例2. 7人站成一排 ,其中甲乙相邻且丙丁 相邻, 共有多少种不同的排法？
解：可先将甲乙两元素捆绑成整体并看成 一个复合元素，同时丙丁也看成一个 复合元素，再与其它元素进行排列，
要求某几个同元素时必对须排相在邻一元起的素问内题,部可以进用行自排。
捆绑法来解决问题.即将需要相邻的元素合并
为一个元素,再与其它元素一起作排列,同时 要注意合并元素内部也必须排列.
完成一件事，有n类办法，在第1类办法中有 m1种不同的方法，在第2类办法中有m2 种不 同的方法，…，在第n类办法中有mn种不同的 方法，那么完成这件事共有：
种不同的方法．N=m1+m2+L+mn
2.分步计数原理（乘法原理） 完成一件事，需要分成n个步骤，做第1步有m1种不同的方法，做第 2步有m2 种不同的方法，…，做第n步有mn种不同的方法，那么完成 这件事共有：