高等数学作业集-9答案.

第九章多元函数微分学及其应用

(C) e-1 ； (D) e . 第一节多元函数的基本概念

1.选择题: （1）函数z=

ln

41x2

+y

2

+arcsin

x2

+y

2

定义域( A ).

（A）1≤x2+y2≤4；（B）1

x

y

)=(x+y)2，则f(x,y)=( B ). （A）x2

(y+1y

)2；（B） xy(1+y)2

；

（C） y2

(x+

1x)2；（D） y

x

(1+y)2. 2（3）lim(11

xx+y

x-=( Ｃ ).

y→→∞

x) (A) 0 ； (B) 1 ；

2.填空题：

(1)当点p(x,y)以不同方式（特别地可以取两种不同的方式）趋于

p0(x0,y0)时，函数f(x,y)趋于不同值，那么可以断定极限

→lim(x0,y0)

f(x,y) 不存在。 (x,y)(2)若函数z=f(x, y)在点p0(x0,y0)连续，则极限(x,y)→lim (x,0,y0)

f(x,y)=f(x0y0)

3. 求下列各函数的定义域.

2(1)z=

4x-yln(1-x2

-y2

)

；

⎧4x-解: 由⎪y2≥0⎨1-x2-y2

>0得:

⎪⎩

1-x2-y2≠1定义域D={(x,y)0

．

(2) z=arcsin（x2+2y2

-1）．解: 由-1≤x2

+2y2

-1≤1得:

定义域D={(x,y)x2+2y2

≤2}

．

4．设f(x-y,

y

x

)=x2-y2，求f(x,y)．⎧x-y=t⎧

t解:令⎪⎨y,得：⎪x=1-s ⎪⎨

⎩x

=s⎪⎩

y=ts1-st2代入得f(t,s)=(1+s)

1-s

故f(x,y)=x2

(1+y)

1-y

．

5.求下列极限：

(1) lim

1-(xy)2+ex

；

xy→→0

1

x2+y3

解: 原式=

1-0+1

0+1

=2 ．

(2) lim

1-cos(xy)；

x2

y→→00

xy+1-1

(xy)2(

22+1+1)解:原式=lim

xyxy→→00

x2y2

=1．

1

(3)lim

sin(xy)

x(1+xy)y；y→→20

ysin(xy)1

解:原式= limxx⋅

(1+xy)xy

⋅x=2e2．y→→20

xy6．判断下列极限是否存在，若存在，求出极限值．

(1) limx2-y

x；

y→→00

y解:当x→0时，令y=kx2

，则

limx2-y=limx2-kx2=1-k，其值与k有关，故极限不存在．x2y→→00 yx→0y=kx

2kxk(2) lim

5x-6y

xy→→∞∞

x2+y

；解:当x→∞,y→∞时，有

0≤

5x-6y5xx2+y2≤x2+y2+6yx2+y2≤5xx2

+6y

y

2→0，故lim

5x-6y

x=0．

y→→∞∞

x2+y2

⎧1,x2+y2≠0

7．研究函数f(x,y)=⎨的连续性（在哪些点22

⎩0,x+y=0

连续，哪些点不连续）．

解:limf(x,y)=1≠0=f(0,0)，故函数在(0,0)处不连续，其它处均x→0

y→0

（B）lim

f(x0+∆x,y0)-f(x0,y0)

ΔxΔx→0

f(x0+∆x,y)-f(x0,y0)

ΔxΔx→0

f(x0+∆x,y0)

ΔxΔx→0

（C）lim

（D）lim

连续．

第二节偏导数

１．选择题：

⎧1

⎪sinx2y,xy≠0,

(3) 设f(x,y)=⎨xy则fx(0,1)=（Ｂ）

⎪0,xy=0,⎩

(A) 0 ； (B) 1 ； (C) ２； (D) 不存在 .

（1）fx,fy在(x0,y0)处均存在是f(x,y)在该点连续的条件是（ D ）；

（A）充分条件但不是必要条件；（B）必要条件但不是充分条件；（C）充分必要条件；；（D）既非充分也非必要条件；（2）设z=f(x,y)，则

２．填空题

⎧⎪z=+x2+y2

(1)曲线⎨在点(1,1,)处的切线与y轴正向

⎪x=1⎩

所成的角是

∂z

=（ B ）

∂x(x,y)

00

π； 6

y1∂z1∂z

=-，=；，则

x∂xx∂yy

（A）lim

f(x0+∆x,y0+∆y)-f(x0,y0)

ΔxΔx→0

(2)设z=ln

(3)设f(x,y,z)=zexy，则fx(0,0,1)=0，fy(0,0,1)=0，

4．求下列函数的二阶偏导数：

fz(0,0,1)=1．

3．求下列函数的一阶偏导数：

(1)z=

xy

x+y

；∂zy2∂zx2

解: ∂x=(x+y)2 ，∂y=

(x+y)2

．

(2) z=(1+xy)x