全等三角形几何证明常用辅助线

几何证明-常用辅助线

(一)中线倍长法:

例1 、求证：三角形一边上的中线小于其他两边和的一半。

已知：如图，△ABC 中，AD 是BC 边上的中线，求证：AD ﹤

2

1

(AB+AC) 分析：要证明AD ﹤

2

1

(AB+AC)，就是证明AB+AC>2AD ，也就是证明两条线段之和大于第三条线段，而我们只能用“三角形两边之和大于第三边”，但题中的三条线段共点，没有构成

中，出现了2AD ，即中线AD 应该加倍。

证明：延长AD 至E ，使DE=AD ，连CE ，则AE=2AD 。

在△ADB 和△EDC 中，

AD =DE ∠ADB =∠EDC BD =DC

∴△ADB ≌△EDC(SAS)

∴AB=CE

又 在△ACE 中，

AC+CE ＞AE

∴AC+AB ＞2AD ，即AD ﹤

2

1

(AB+AC) C

小结：(1)涉及三角形中线问题时，常采用延长中线一倍的办法，即中线倍长法。它可以将分居中线两旁的两条边AB 、AC 和两个角∠BAD 和∠CAD 集中于同一个三角形中，以利于问题的获解。

课题练习:ABC ∆中，AD 是BAC ∠的平分线，且BD=CD ，求证AB=AC

例2: 中线一倍辅助线作法

△ABC 中

方式1： 延长AD 到E ，

AD 是BC 边中线使DE=AD ，

连接BE

方式2：间接倍长

作CF ⊥AD 于F ， 延长MD 到N ，

作BE ⊥

AD 的延长线于E 使DN=MD ，

连接BE 连接CD

例3：△ABC 中，AB=5，AC=3，求中线AD 的取值范围

例4：已知在△ABC 中，AB=AC ，D 在AB 上，E 在AC 的延长线上，DE 交BC 于F ，且DF=EF ，求证：BD=CE

课堂练习：已知在△ABC 中，AD 是BC 边上的中线，E 是，延长BE 交

B

AC 于F ，求证：AF=EF

例5：已知：如图，在ABC ∆中，AC AB ≠，D 、E 在BC

上，且DE=EC ，过D 作BA DF //交AE 于点F ，DF=AC.

求证：AE 平分BAC ∠

课堂练习：已知CD=AB ，∠BDA=∠BAD ，AE 是△ABD 的中

线，求证：∠C=∠BAE

作业：

1、在四边形ABCD 中，AB ∥DC ，E 为BC 边的中点，∠BAE=∠EAF ，AF 与DC 的延长线相交于点F 。试探究线段AB 与AF 、CF 之间的数量关系，并证明你的结论

2、已知：如图，?ABC 中，?C=90?，CM?AB 于M ，AT 平分?BAC 交CM 于D ，交BC 于T ，过D 作DE//AB 交BC 于E ，求证：CT=BE.

3：已知在△ABC 中，AD 是BC 边上的中线，E 是AD 上一点，且BE=AC ，延长BE 交AC 于F ，求证：AF=EF

4：已知CD=AB ，∠BDA=∠BAD ，AE 是△ABD 的中线，求证：∠C=∠BAE

5、在四边形ABCD 中，AB ∥DC ，E 为BC 边的中点，∠BAE=∠EAF ，AF 与DC 的延长线相交于点F 。试探究线段AB 与AF 、CF 之间的数量关系，并证明你的结论

（二）截长补短法

第 1 题图

A

B

F D

E

C

B

A

B C

D

图1-1

A

D

B

C

E

例1. 已知，如图1-1，在四边形ABCD 中，BC ＞AB ，AD =DC ，BD 平分∠ABC .

求证：∠BAD +∠BCD =180°.

分析：因为平角等于180°，因而应考虑把两个不在一起的通过全等转化成为平角，图中缺少全等的三角形，因而解题的关键在于构造直角三角形，可通过“截长补短法”来实现.

证明：过点D 作DE 垂直BA 的延长线于点E ，作DF ⊥BC 于点F ，如图1-2

∵BD 平分∠ABC ，∴DE =DF ，

在Rt △ADE 与Rt △CDF 中，

∴Rt △ADE ≌Rt △CDF (HL ),∴∠DAE =∠DCF .

又∠BAD +∠DAE =180°，∴∠BAD +∠DCF =180°，

即∠BAD +∠BCD =180°

例2. 如图2-1，AD ∥BC ，点E 在线段AB 上，∠ADE =∠CDE ，∠DCE =∠ECB .

求证：CD =AD +BC .

例3. 已知，如图3-1，∠1=∠2，P 为BN 上一点，且PD ⊥BC 于点D ，

AB +BC =2BD .

F

E

D

C

B

A

图1-2

求证：∠BAP +∠BCP =180°.

例4. 已知：如图4-1，在△ABC 中，∠C ＝2∠B ，∠1＝∠2.

求证：AB =AC +CD .

作业：

1、已知：如图，ABCD 是正方形，∠FAD =∠FAE . 求证：

BE +DF =AE .

2、五边形ABCDE 中，AB =AE ，BC +DE =CD ，∠ABC +∠AED =180°，求证：AD 平分∠CDE

（三）其它几种常见的形式：

1、有角平分线时，通常在角的两边截取相等的线段，构造全等三角形。 例：如图1：已知AD 为△ABC 的中线，且∠1＝∠2,∠3＝∠4,求证：BE ＋CF ＞EF 。

2、有以线段中点为端点的线段时，常延长加倍此线段，构造全等三角形。

例：：如图2：AD 为△ABC 的中线，且∠1＝∠2，∠3＝∠4，求证：BE ＋CF ＞EF

练习：已知△ABC ，AD 是BC 边上的中线，分别以AB 边、AC 边为直角边各向形外作等腰直角三角形，如图4， 求证EF ＝2AD 。

A

B

C

D

P

1

2

N

图3-1D

C

B

A

12

A

B

C

D E

F

N

1

图1234