数值计算(一)

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[x,fval]=fminbnd('sin(x)',-pi,pi) %求sinx在[-π,π]的极小值点 x= -1.5708 fval = -1.0000
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[x,fval]=fminsearch(' (x(1)-1)^2+(x(2)x(1)^2)^2',[0,0])
ans = x-x^2+1/3*x^3-1/30*x^5
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例 将多项式 p(x)=1+3*x+5*x^2-2*x^3表示成x+1的多项式
解 syms x p=1+3*x+5*x^2-2*x^3; taylor(p,x,-1)
ans = -8-13*x+11*(x+1)^2-2*(x+1)^3
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解： 在命令窗口输入命令 >> clear >> syms x a b c >> f1=x*sin(x)+cos(x); >>f2=c/(a+exp(b*x)); >>f3=(x-sin(x))^2; >>f4=(2*x+3)*exp(2-3*x); >>F=[f1,f2,f3,f4]; >>dF=diff(F,x) %调用求导数命令，求出函数组中每个函数的导 数 >> dF0=subs(dF,’x’,0) %求出x=0点的导数
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练习
1.
求下列极限
1 x 1 lim x 0 x
n
xn 1 lim m , ( n, m为常数) x 1 x 1
ln x lim ( ) x x 1
x 1 lim( ) x0 x 1 ln x
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2、计算下列导数 (1) (2) (3) (4)
x 0
x 5x 6
2 ) 2 2x
解： 在命令窗口输入： >> clear >> syms x a b >> f1=(x^2-9)/(x^2-5*x+6); >> f2=exp(x)/(a+b*exp(x)); >> f3=1/x-2/(x^2+2*x); >> wf1=limit(f1,x,3) wf1 = 6 >> wf2=limit(f2,x,inf) wf2 = 1/b >> wf3=limit(f3,x,0) wf3 = 1/2
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例3. 求f(x)=2*x^3-6*x^2-18*x在(-2,4)的极小值， 并绘出f(x)与f’(x)的图形。 解：在命令窗口输入 clear syms x f=2*x^3-6*x^2-18*x; subplot(2,1,1) ezplot(f,[-2,4]) %绘出f(x)的图形 grid on f1=diff(f) %求出f的导数 subplot(2,1,2) ezplot(f1,[-2,4]) grid on [x,fval]=fminbnd(‘2*x^3-6*x^2-18*x’,-2,4)
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当x→a时，计算表达式F=F(x)的右极限
当x→a时，计算表达式F=F(x)的左极限 计算F关于制定的符号变量v的n阶导数， 在默认状态下，v=findsym(F),n=1 计算在区间[a,b]上的函数F取最小值是的 x值 计算在区间[a,b]上的函数F的最小值fval 和对应的x值
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>>F0=vpa(dF0,5) %将x=0点的导数转换成数值，保留5位数 占位 >>F0=[0,-1.*c/(a+1.)^2*b,0,-51.724] %结果 >> f5=log(1+x^2); %求解第5小题 >>d2f5=diff(f5,x,2) %求二阶导数 >> d2f50=subs(d2f5,’x’,0) %求二阶导数在x=0点的值 说明：（1）求多个函数的导数时，可以做成函数组 （2）subs(fun,’x’,0)是比较常用的一个符号运算命令，表示将 fun中的符号x替换成a，相当于数学中的变量替换 （3）命令vpa(S,d)表示用指定的d 位数来表示S中的每一个元素 为10进位制数。
其中fun是用以存放被积函数f(x)的 函数 M 文件，a,b为积分区间上下限 其中fun是用以存放被积函数f(x)的函数 M文 件，a,b为积分区间上下限
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I=quad(‘fun’,a,b) I=quad8(‘fun’,a,b)
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三、级数运算
S n S ( S 为常数) ，则称级数 （1）给定级数 u 记 Sn ui ，若 lim n i 1 级数的和为S, 记为 u S
(1) n 1 (2) n n 1

(3)
x2 n1 n 1 2n 1

s3 =1/2*log((x+1)/(1-x))
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例 求f(x)=e^(-x)sinx的5阶Taylor级数展开式 解 在命令窗输入 syms x taylor(exp(-x)*sin(x),6)
级数求和、幂级数展开的Matlab命令
命令格式 symsum(f) symsum(f,x) 含义 求符号表达式f对默认变量的不定和 求符号表达式f对自变量x的不定和
symsum(f,a,b)
求符号表达式f对默认变量的a到b的有限和
taylor(f) taylor(f,n,x) taylor(f,n,x,a)
3
一、求极限、导数与极值的MATLAB命令
命令格式 limit(F,x,a) 含义 当x→a时，计算表达式F=F(x)的极限值
limit(F,x,a,’right’)
limit(F,x,a,’left’) diff(F,’v’,n) X=fminbnd(F,a,b) [x,fval]=fminbnd(F,a,b)
x= 1.0000 1.0000 fval = 2.6131e-010
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[x,fval]=fminunc('x(1)^2+x(2)^2x(1)*x(2)+2*x(1)-4*x(2)',[2,2])
x= 0 2 fval = -4
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x=3.0000 ; fval=-54.0000
2 x 3-6 x 2-18 x 0 -20 -40 -60 -2
-1
0
1 x 6 x 2-12 x-18
2
3
4
20 0 -20
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-2
-1
0
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ห้องสมุดไป่ตู้
1
2
3
4
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3. 级数运算
例 求下列级数的和
1 2 （1） n 1 n

解 在命令窗输入 clear syms x n s1=symsum(1/n^2,n,1,inf) s2=symsum((-1)^(n-1)/n,1,inf) s3=symsum(x^(2*n-1)/(2*n-1),n,1,inf) 输出结果： s1 =1/6*pi^2 s2 =log(2)
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求f在默认自变量=0处的5阶Taylor级数展开 式 分别求f在自变量x=0、x=a处的n-1阶 Taylor级数展开式
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实验内容
1. 求下列极限 x2 9 （1） lim x 3 2
ex （2） xlim a be x
（3）lim( 1 x x
MATLAB数值计算（一）
主讲： 朱文新
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实验内容：
1. 微积分基本运算 2.非线性方程组的解法
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一、微积分基本运算
实验目的：
学会利用matlab 求解函数的极限、导数、极值、积分与级数运算
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三、求函数极值点
Matlab函数中只有处理极小值的指令。 求的是局部极值 1.一元函数极值 [x,fval]=fminbnd(fun,x1,x2) %x1、x2表示被研究区间的左右边界。 %x返回极小值点，fval返回该点的函数值。 2.多元函数极值 [x,fval]=fminsearch(fun,x0) %单纯形法求多元函数极值点指令，x0为初始值 [x,fval]=fminunc(fun,x0) %拟牛顿法求多元函数极值点指令，x0为初始值 %fun均是用字符串表示函数
L 2 (a 2 sin 2 t b 2 cos 2 t ) dt
0
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1 2
解 在命令窗输入 clear syms x a=8755; b=6810; f=sqrt(a^2.*(sin(x)).^2+ b^2.*(cos(x)).^2); L1=int(f,0,pi/2); L=vpa(4*L1,7) 输出结果为： L= 49089.95
n 1 n


n 1
u
n 1

n
收敛，并称该
n
（2）Taylor公式
f ( x)
k 0
n
f k ( x0 ) ( x x0 )k Rn ( x), x ( x0 r , x0 r ) k!
（3） 级数求和与函数的幂级数展开的Matlab命令如下表所列，另外，Matlab 还提供了可视化的Taylor级数计算器，使用方法是在命令窗口输入 》taylortool 则系统将调出级数计算器，可以试一试 2014-5-6 6 天津农学院基础科学系 朱文新
2014-5-6
y ln(e 1 e
x
2x
)
y
1 sin x e
2
2t y arcsin 2 1 t
x y
x
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3、计算下列不定积分
（1 ） （3 ）
1 x x
xdx
2
; （2 ）


ln(1 x )dx;
2. 积分运算
例 求下列积分 （1）∫xe^(a*x)dx (2) e^xcosx在[0,pi/2]上的积分 (3)1/(1+x^2)在[0,+∞]上的积分
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解 在命令窗输入： clear syms x a f1=x*exp(a*x); f2=exp(x)*cos(x); f3=1/(1+x^2); F1=int(f1,x) T=int(f2,x,0,pi/2) W=int(f3,x,0,inf) 运行结果为： F1 =1/a^2*(a*x*exp(a*x)-exp(a*x)) T =1/2*exp(pi)^(1/2)-1/2
W =1/2*pi
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例 人造地球卫星的轨迹可视为平面上的椭圆，我国第一颗人造地 球卫星近地点距离地球表面439KM，远地点距离地球表面 2384KM，地球半径为6371KM， 求该卫星的轨迹长度。 分析：人造地球卫星的轨迹可用椭圆的参数方程来表示， x=a*cost y=b*sint （t: [0.2*pi],a,b>0） 其中a=6371+2384=8755,b=6371+439=6810 由曲线积分知，卫星的轨迹的长度L就是积分
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二、 积分运算
命令格式 R=int(F,v) R=int(F,v,a,b) 含义 对符号表达式F中指定的符号变量v计算不定积 分 对表达式F中指定的符号变量v计算从a到b的定 积分
I=trapz(x,y)
梯形法数值积分，其中x是由积分区间[a,b]的 离散节点构成的列向量，y是相应节点函数值 构成的向量
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例2. 求下列函数的导数并求出x=0点的导数
(1)y=xsinx+cosx; (2)y=c/(a+e^(bx))(a,b为常数) (3)y=(x-sinx)^2; (4)y=(2x+3)e^(2-3x); (5)y=ln(1+x^2), 求f”(x). F”(0)