江苏省泰州市姜堰中学2019-2020学年高三上学期期中数学试卷 (含答案解析)

江苏省泰州市姜堰中学2019-2020学年高三上学期期中数学试卷

一、填空题（本大题共14小题，共70.0分）

1. 已知集合A ={1,2}，B ={−1,1，4}，则A ∩B = ______ ．

2. 已知i 为虚数单位，则复数z =2+6i

1−2i 的虚部为__________．

3. ______．

4. 命题“∃x <2，x 2>4”的否定是______ ．

5. 已知向量a ⃗ =(2,3)，b ⃗ =(x,6)，若a ⃗ //b

⃗ ，则x = ______ ． 6. 设角α的终边经过点P(−3,4)，那么tan(π−α)+2cos(−α)= ______ ．

7. 函数f(x)=(x +1)lnx −4(x −1)在(1,f(1))处的切线方程为______ ．

8. 设f(x)为R 上的偶函数，且当x >0时，f(x)是增函数，则f(−2)，f(π)，f(−3)按照从小到大．．．．

的顺序用“<”连接，结果是________．

9. 已知圆(x −2)2+y 2=1经过椭圆

x 2a 2+y 2

b 2=1 (a >b >0)的一个顶点和一个焦点，则此椭圆的离心率e =______．

10. 如图是函数f(x)=Asin(ωx +φ)(A >0,ω>0,φ∈(0,2π))图象的一部

分，则f(0)的值为________．

11. 已知函数f(x)={|log 2x|,(0

，若函数y =f(x)的图象与y =k 的图象有三个不同的公共点，这三个公共点的横坐标分别为a ，b ，c ，且a

12. 已知函数f(x)=x 3−4x 2+4x +1，则f(x)的极小值点为________．

13. 已知不垂直于x 轴的直线l 过定点(−2,0)，在直线l 上存在一点M ，直线OM 交圆C ：x 2+y 2−

2y =0于点N ，且OM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =3NM

⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，其中O 为坐标原点，则直线l 的斜率的最大值是________． 14. 在△ABC 中，AB =3，AC =2，BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =12

BC ⃗⃗⃗⃗⃗ ，则AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = ______ ． 二、解答题（本大题共6小题，共72.0分）

15.已知a⃗=(sinα ,1)，b⃗ =(cosα ,2)，α∈(0 ,π

4

)．

(1)若a⃗//b⃗ ，求tanα的值；

(2)若a⃗⋅b⃗ =17

8，求sin(2α+π

4

)的值．

16.已知函数f(x)=2+1

a −1

a2x

(实数a≠0)．

(1)若m

(2)若8

7

≤m0时，函数f(x)的定义域和值域都[m,n]，求n−m的最大值．

17.已知圆C：(x−3)2+(y−4)2=4

(1)若平面上有两点A(1,0)，B(−1,0)，点P是圆C上的动点，求使|AP|2+|BP|2取得最小值时P

的坐标；

(2)若Q是x轴上的点，QM，QN分别切圆C于M，N两点，若|MN|=2√3，求直线QC的方

程．

18.如图，等腰直角三角形区域ABC中，∠ACB=90°，BC=AC=1百米．现准备划出一块三

角形区域CDE，其中D，E均在斜边AB上，且∠DCE=45∘.记三角形CDE的面积为S．

(1)①设∠BCE=θ，试用θ表示S；

②设AD=x，试用x表示S；

(2)求S的最大值．

19.已知椭圆C：x2

a2+y2

b2

=1(a>b>0)，上顶点为P，左右焦点分别为F1，F2，若离心率e=1

2

，

且椭圆过点M(1,3

2

)，

(1)求该椭圆C的标准方程

(2)过点P的两直线l1和l2分别交C于A，B两点，若k PA⋅k PB=1

4

，求证：直线AB过定点．

20.设函数f(x)=(x+1)ln(x+1)+ax2−x，a≥0．

(1)求f(x)的极值；

(2)证明：e x−1(f(x−1)+x)≥x2．

-------- 答案与解析 --------

1.答案：{1}

解析：解：∵A={1,2}，B={−1,1，4}，

∴A∩B={1}，

故答案为：{1}

根据A与B，求出两集合的交集即可．

此题考查了交集及其运算，熟练掌握交集的定义是解本题的关键．

2.答案：2

解析：

本题考查复数的基本概念，考查复数的四则运算，考查计算能力，属于基础题．进行复数的除法运算，整理成最简形式，得到复数的标准形式，得到虚部．

解：∵复数z=2+6i

1−2i =(2+6i)(1+2i)

(1−2i)(1+2i)

=−2+2i，

∴复数z的虚部是2，

故答案为2．

3.答案：3

解析：

本题考查了对数的运算，属于基础题．

利用对数运算性质即可得出．

解：原式．

故答案为：3．

4.答案：∀x<2，x2≤4

解析：解：因为特称命题的否定是全称命题．所以，命题“∃x<2，x2>4”的否定是：∀x<2，x2≤4．故答案为：∀x<2，x2≤4．

直接利用特称命题的否定是全称命题写出结果即可．

本题考查命题的否定，特称命题与全称命题的否定关系，基本知识的考查．