随机振动--第3章-3-6二维随机变量
概率论-二维随机变量
P{ X xi , Y y j } pij , i, j 1, 2,
称上式为二维离散型随机变量( X , Y )的联合分布律, 或称
为随机变量 ( X , Y ) 的分布律.
(X,Y)的分布律也可用表格形式表示
Y X
y1
y2 …
yi
…
x1 x2 . . xi
p11 p12 … p1j … p21 p22 … p2j … . . . . . . . . . . . . . . . . . . pi1 pi2 … pij …
一、二维随机变量和联合分布函数 定义3.1: 设E是一个随机试验,它的样本空间是 {}. 设X = X (ω)与Y = Y(ω)是定义在Ω上的两个随机变量, 由 它们构成一个向量(X, Y), 叫做的二维随机向量或二维随 机变量。 定义3.2：设(X,Y)是二维随机向量,对于任意实数x, y,
在几何上 z f ( x, y ) 表示空间的一张曲面。由性 质（2）知，介于该曲面和 xOy 平面之间空间区域的 体积为 1 ，由性质（4）知，概率 P{( X , Y ) D} 的值 等于以 G 为底，以曲面 z f ( x, y ) 为顶的曲顶柱体
的体积。
例1 设
0, x y 1, F ( x, y ) 1, x y 1,
对于任意的y, F ( , y ) lim F ( x, y ) 0
对于任意的x, F ( x, ) lim F ( x, y ) 0
y
x
F (, ) lim F ( x, y ) 0，
F (, ) lim F ( x, y ) 1.
P{ X 2, Y 0} C / C
二维随机变量的分布ppt课件
eg1 袋中有4球, 编号分别为1，2，2，3,从中
任取2次,每次取1个，X ,Y分别表示第一次， 第二次取出的球编号求，（X ,Y）的分布律.
(1)无放回；P{X i,Y j} P{X i}P{Y j | X i}
i, j 1,2,3
X \Y 1 2 3
1
0
1 2
43
1 1
43
求（X ,Y）的分布律. (2)有放回.
P{ X
i,Y
j}
C 3i C 3j
i
2 7
i
3 7
j
2 7
3
i
j
,
i, j 0,1,2,3
二、二维d.r.v.常用的分布
(1)超几何分布 若 (X , Y )的分布律为
P{X
i, Y
j}
C C C i
j ni j
M1 M2 N M1 M2
一、二维d.r.v.的分布律
Def 1 可取至多可数多组数值的二维 r.v.，
称为二维离散型随机变量。
Def 2 若二维d.r.v. ( X ,Y )所取的值为( xi , y j ) ,
则等式P{X xi ,Y y j} pij 或条形表
( X , Y ) ( x1, y1) ( x1, y j ) ( xi , y1) ( xi , y j )
则函数F ( x, y) P{X x, Y y}
称为二维r.v. (X ,Y )的分布函数.
Pr o
(1) 0 F( x, y) 1;
(2) y y0 ,当x1 x2时，F ( x1 , y0 ) F ( x2 , y0 ),
x x0 ,当y1 y2时，F ( x0 , y1 ) F ( x0 , y2 ), 即F ( x, y)为x与y的单调非减函数；
概率论第三章 多维随机变量及其分布
1 3
概率论
y
y x
o
x
概率论
四、课堂练习
设随机变量(X,Y)的概率密度是
f
x,
y
k
6
x
y,
0,
0 x 2,2 y 4, 其它.
(1) 确定常数 k;
(2) 求概率 PX 1,Y 3 .
解 (1) 1 f x, ydxdy
R2
k
2 dx
46
0
2
x
y dy
k
2 dx
46
概率论
同理, Y的分布律为:
P{Y y j} pij ˆ p•j , j 1,2,, i1
分别称pi• (i 1, 2,), 和p• j , (j 1, 2,)为(X, Y)关于 X和关于Y的边缘分布律.
概率论
例1 把一枚均匀硬币抛掷三次，设X为三次 抛掷中正面出现的次数 ，而 Y 为正面出现次数与 反面出现次数之差的绝对值 , 求 (X ,Y) 的分布律 和边缘分布律.
也就是说,对于给定的
不同的 对应
不同的二维正态分布,但它们的边缘分布却都是一样的.
此例表明 由边缘分布一般不能确定联合分布.
概率论
五、小结
1. 在这一讲中，我们与一维情形相对照，介 绍了二维随机变量的边缘分布. 2. 请注意联合分布和边缘分布的关系: 由联合分布可以确定边缘分布; 但由边缘分布一般不能确定联合分布.
随机变量维（X,Y )的概率密度 , 或 称为随机变量 X 和 Y 的联合概 率密度.
概率论
一维随机变量X
连续型
F x x
f tdt
x
X的概率密度函数
f x x R
二维随机变量分布公式掌握二维随机变量分布的公式
二维随机变量分布公式掌握二维随机变量分布的公式二维随机变量的概率分布函数（probability distribution function，简称PDF）是用来描述随机变量取值与其对应的概率之间的关系。
在概率论与数理统计中，我们经常需要对二维随机变量的分布进行建模和分析，因此掌握二维随机变量分布的公式是非常重要的。
一、离散型二维随机变量分布公式对于离散型二维随机变量，其取值只能是有限个或者可列个。
假设随机变量(X,Y)的可能取值为{(x1,y1),(x2,y2),...,(xn,yn)}，其对应的概率为{P(X=x1,Y=y1),P(X=x2,Y=y2),...,P(X=xn,Y=yn)}。
离散型二维随机变量的分布可以用概率质量函数（probability mass function，简称PMF）来描述，其计算公式为：P(X=x,Y=y) = P(X=xk,Y=yk) for (x,y) = (xk,yk)其中，xk和yk分别为二维随机变量(X,Y)的取值。
二、连续型二维随机变量分布公式对于连续型二维随机变量，其取值可以是任意实数。
假设随机变量(X,Y)的概率密度函数（probability density function，简称PDF）为f(x,y)，则对于任意给定的区域A，有：P((X,Y)∈A) = ∬Af(x,y)dxdy其中，(X,Y)∈A表示(X,Y)在区域A内取值，∬表示对区域A进行二重积分。
从而，我们可以通过计算二重积分来求得连续型二维随机变量的概率。
三、二维随机变量的边缘分布边缘分布是指在二维随机变量(X,Y)的分布中，将其中一个随机变量的取值固定下来，对另一个随机变量的分布进行描述。
对于离散型二维随机变量，边缘分布的计算可以通过将概率加和。
对于连续型二维随机变量，边缘分布的计算可以通过对概率密度函数进行积分。
1. X的边缘分布：P(X=x) = ∑P(X=x,Y=y) for all y（离散型）, f_x(x) = ∫f(x,y)dy（连续型）2. Y的边缘分布：P(Y=y) = ∑P(X=x,Y=y) for all x（离散型）, f_y(y) = ∫f(x,y)dx（连续型）四、二维随机变量的条件分布条件分布是指在给定另一个随机变量的取值的条件下，对该随机变量的分布进行描述。
第三章、二维随机变量及其分布(精)
第三章、二维随机变量及其分布-----MATLAB 实验（wenjie 仅供参考）随机变量的联合分布、边缘分布P78：例2、设二维随机变量（X ，Y ）具有概率密度(2),0,0(,)0,x y ce x y f x y -+⎧>>=⎨⎩其它 （1）求常数c （2）求分布函数F (x ,y )（3）求概率{}P Y X ≤[Matlab 实现] (1)00(,)(,)1F dx f x y dy +∞+∞+∞+∞==⎰⎰syms x y cf=c*exp(-(2*x+y));C=int(int(f,x,0,inf),y,0,inf)%分布函数最大值只能为1,所以C=1；(2)syms u v cf=c*exp(-(2*u+v));F1=int(int(f,v,0,'y'),u,0,'x')%分布函数其中X>0,Y>0的情形 F=subs(F1,c,2)或F1=int(int(f,y,0,'ty'),x,0,'tx')F=subs(F1,c,2)pretty(F)(3){}P Y X ≤00(,)xdx f x y dy +∞=⎰⎰p1=int(int(f,y,0,x),x,0,inf)format rat%有理数格式P=subs(P1,c,2)（4）求X ，Y 的边缘密度；[Matlab 实现](4)0()(,)xX f x f x y dy =⎰ syms x y cf=c*exp(-(2*x+y)); fx=int(f,y,0,x)()(,)Y y f y f x y dx ∞=⎰ fy=int(f,x,y,inf)随机变量函数的分布1、一维随机变量函数的分布P73：第28题、设随机变量X 在(0,1)服从均匀分布，（1）求XY e =的概率密度 （2）求2ln Y X =-概率密度[解析法]：[Matlab 实现]clearx=solve('y=exp(x)') ；%计算随机变量函数的反函数 dx=diff(x,'y')；%对反函数求导 f=1*dy%计算随机变量X 的函数Y 的密度函数clearx=solve('y=-2*log(x)')；%计算随机变量函数的反函数 dx=diff(x,'y')；%对反函数求导 f=1*(-dy)%随机变量函数为单调递减，（-dy ）P73：第29题、设随机变量(0,1)X N ，（1）求XY e =的概率密度 （2）求Y X =的概率密度 [Matlab 实现]syms x y pif=exp(-x^2/2)/sqrt(2*pi)x=solve('y=exp(x)')%计算随机变量函数的反函数 dx=diff(x,y)%反函数求导 f=subs(f,'x',x)%计算f (h (y )): x 用h (y )代替 f1=f*dx%随机变量函数为单调递增加：（+dx ）pretty(f1)syms x y piFy=int('exp(-x^2/2)/sqrt(2*pi)',x,-y,y);fy=diff(Fy,y) %分布函数求导或者：clc,clearsyms x y pif=exp(-x^2/2)/sqrt(2*pi)x=solve('y=abs(x)')f1=subs(f,'x',x(1)) % y = x 情形dx1=diff(x(1),y)fy1=f1*dx1pretty(fy1)f2=subs(f,'x',x(2)) % y = -x 情形dx2=diff(x(2),y)fy2=f2*(-dx2) %随机变量函数为单调递减，（y=-x ）pretty(fy2)2、二维随机变量函数的分布P107：第19题、设随机变量(X,Y )的概率密度为()1(),0,0(,)20,x y x y e x y f x y others -+⎧+>>⎪=⎨⎪⎩（2）求Z X Y =+的概率密度[Matlab 实现] (2):00(){}{}(,)(,)Z G x y z z z x F z P Z z P X Y z f x y dxdy dx f x y dy+≤-=≤=+≤==⎰⎰⎰⎰ clearsyms x y zfxy=1/2*(x+y)*exp(-x-y)Fz=int(int(fxy,y,0,z-x),x,0,z)%计算分布函数 fz=diff(Fz,z)%分布函数求导，密度函数或者： 0()(,)zZ f z f x z x dx =-⎰ clear,clcsyms x y zfxy=1/2*(x+y)*exp(-x-y)f=subs(fxy,y,z-x)fz=int(f,x,0,z)P107：第20题、设X,Y 是相互独立的随机变量，服从正态分布2(0,)N σ，试验证随机变量Z =2222,0()0,zZ z e z f z others σσ-⎧⎪≥=⎨⎪⎩称Z 服从参数为(0)σσ>的瑞利分布（Rayleigh ）[Matlab 实现](2)syms w r z sigma pifxy=exp(-r^2/2/sigma^2)/2/pi/sigma^2 Fz=int(1,w,0,2*pi)*int(fxy*r,r,0,z)fz=diff(Fz,z)。
二维随机变量的定义、分布函数ppt课件
Y
-1 0
X
1
2
当 1 x 2 且1 y 0 时
F(x, y) P{X x,Y y}
Y
P{ X
1,Y
1}
1 4
1
2
0•
X
-1•
23
Y
-1 0
X
1
2
当 2 x, 且 1 y 0 时 F(x, y) P{X x,Y y}
Y
P{ X 1,Y 1}
P{ X 2,Y 1}
0•
00
1 7e 6 36
二维均匀分布
设二维随机变量(X,Y)的概率密度为
f (x, y)
1 SG
,
0,
( x, y) G; (x, y)G.
其中G是平面上的有界区域，其面积为SG
则称（X,Y)在D上服从均匀分布.
37
例题讲解
38
例1： 设二维随机变量（X,Y)在区域G上服从均匀分
布，其中G是曲线 y=x2 和y=x 所围成的区域，则
1 3
1 i
j i)
19
F ( x , y) = P ( X x , Y y)
F ( 2 , 2) = P ( X 2, Y 2)
P ( X 1, Y 1 )
P ( X 1, Y 2 )
Y X
1
2
3
P( X 2, Y 1) 1 1/3 0
0
P( X 2, Y 2 ) 2 1/6 1/6
x 0, y 0, x y 1; 其他
40
41
42
43
•
x2, y1
-F(x1,y2)
x1
x2
+F(x1,y1)
第三章 离散线性系统随机振动
(3.1－2)
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
• 作用在系统上的激励矢量维数可与响应维数不 相等，并可能与其一阶导数过程有关，此时可 表为
X (t ) = B1 X1 (t ) + B2 X1 (t )
(3.1－3) . 式中Bl与B2为nm矩阵；X1(t)与X1(t)为m维矢 量，表示实际的激励。
• 离散线性系统的运动方程也常表示成一阶方程 组形式，即 Z (t ) = AZ (t ) + F (t ), Z (t0 ) Z0 (3.1－4) • (3.1－4)常称为状态方程，因为，如果引入状 态矢量 Z (t ) = [Y (t ) Y (t )]T (3.1－5) • (3.1－1)可化成(3.1－4)的形式，其中
hn1 (t , ) hn 2 (t , ) hnm (t , )
(3.2－1)
• 式中hjk(t, )表示在时刻在第k个激励处作用单 位脉冲而在t时刻的第j个响应，即hjk(t, )是下 列方程之特解 L h(t, )=BId(t－) (3.2－2) 式中L为与均方微分算子L对应的确定性微分算 子；B为nm矩阵；I为m维单位矩阵；d(t－) 为狄拉克d函数。 基于因果关系，当t<时， h(t, )＝0。当系统为时不变时， h(t, )=h(t－)
• 上述方程中的系数矩阵的元素可以是常数、随 机变量、随时间确定性或随机地变化的量等多 种情形。这里将系数随时间周期性变化或随机 地快变情况放在后面讨论。
• 这里假定系数为常数，或随时间非周期确定性 地变化。
• 离散线性系统的动态特性还可用系统对某种典 型的激励的响应来描述。脉冲响应矩阵与频率 响应矩阵是最常用的两种。 • 此外，时不变线性系统还可用模态(固有频率 与振型)来描述，所有这些描述的理论依据是 叠加原理。 • 脉冲响应矩阵，频率响应矩阵及模态可由给定 的运动方程得到，也可用实验方法直接测量得 到。因此，这些描述方法具有独立的意义。 • 容易证明，各种描述方法是等价的。
二维随机变量
arctan
x 2
π 2
arctan
y 3
（2）由定义知
FX
(x)
F ( x,
)
lim
y
F ( x,y)
lim
y
1 π2
π 2
arctan
x 2
π 2
arctan
y 3
1 π2
π 2
arctan
x 2
π
1 2
1 π
arctan
x 2, ຫໍສະໝຸດ x.同理可得
FY
( y)
1 2
1 π
二维随机变量
1.1二维随机变量及其分布函数
定义 2.14 设 E 是一个随机试验，它的样本空间
为 S {e} ，而 X X (e) ，Y Y (e) 是定义在 S 上的两
个随机变量，称 (X ,Y ) 为定义在 S 上的二维随机变量 或二维随机向量.
注：①一般地，称 n 个随机变量的整体
X (X1, X2, , Xn ) 为 n 维随机变量或 n 维随机向量.
FX (x) P{X x} P{X x, Y } F(x, ), FY ( y) P{Y y} P{X , Y y} F(, y).
边缘分布函数具有一维分布函数的性质，由二维
分布函数可唯一确定边缘分布函数，反之不然.
例 2.22 设 (X ,Y ) 的分布函数为
F ( x,y)
函数.
若将 (X ,Y ) 视为平面上随机点的坐标，则分布函数
y
F(x,y) 在 (x, y) 处的函数 值，就 是随机点 (x, y)
(X ,Y ) 落 在 无 穷 矩 形 域
{(s,t) s x,t y}内的概率.
第三章 二维随机变量及其分布《概率论与数理统计》西南交大峨眉校区
y
( x, y y )
( x x, y y )
( x x, y )
( x, y)
0
x
由联合分布函数 F ( x, y) 的定义可以证明联合分布函数具有以下性质： ①有界性 对任意的 x 和 y ， 0 F ( x, y) 1 ，且
F (, ) P( x , y ) 1 ， F (, ) P( x , y ) 0 ，
定义 4：对任意的 x R, y R ，二元函数
F ( x, y) P( X x, Y y)
称为二维随机变量 ( X , Y ) 的联合分布函数。
y
( x, y )
0
x
P( x X x x, y Y y y) F ( x x, y y) F ( x x, y) F ( x, y y) F ( x, y)
联合概率分布表
Y
X
y1 p11 y2
„
yn
x1 x2
p12
p22
p1n
p2 n
p21
xm
pm1
pm 2
pmn
例: 袋中有 2 只白球与 3 只黑球， 定义下列随机变量
1 第二次取白球 1 第一次取白球 X ；Y 0 第二次取黑球 0 第一次取黑球
求有放回情况下 ( X , Y ) 的联合概率分布表。
解： （1）由
F (, ) P( x , y ) 1
得 A = 1；由
F (, ) P( x , y ) 0
得 B = 0。
- x ì ï 1 2 x 0 （2） FX ( x) = lim F ( x, y ) = ï ； í y? ï x< 0 ï î0
经管类概率论与数理统计第三章多维随机变量及概率分布
3.1二维随机变量的概念3.1.1二维随机变量及其分布函数到现在为止，我们只讨论了一维随机变量及其他布，但有些随机现象用一个随机变量来描述还不够，而需要用几个随机变量来描述。
例如，在打靶时，以靶心为原点建立直角坐标系，命中点的位置是由一对随机变量（X，Y）（两个坐标）来确定的。
又如考察某地区的气候，通常要考察气温X，风力Y，这两个随机变量，记写（X，Y）。
定义3.12个随机变量X，Y组成的整体Z=（X，Y）叫二维随机变量或二维随机向量。
定义3.2（1）二元函数F（x,y）=P（X≤x,Y≤y）叫二维随机变量（X，Y）的联合分布函数，简称分布函数。
记作（X，Y）～F（x,y）。
（2）二维随机变量（X，Y）中，各分量X，Y的分布函数叫二维随机变量（X，Y）的边缘分布函数。
因为X<+∞，Y<+∞即-∞<X<+∞，-∞<Y<+∞，分别表示必然事件，所以有X～F x（x）=P（X≤x）=P（X≤x，Y<+∞）=F（x,+∞）Y～F Y（y）=P（Y≤y）=P（x<+∞，Y≤y）=F（+∞，y）公式可见X，Y的边缘分布可由联合分布函数求得。
3.1.2二维离散型随机变量定义3-3若二维随机变量（X，Y）只取有限多对或可列无穷多对（x i，y j），（i，j=1，2，…），则称（X，Y）为二维离散型随机变量。
设二维随机变量（X，Y）的所有可能取值为（x i，y j）（i，j=1，2，…），（X，Y）在各个可能取值的概率为：P{X=x i,Y=y j}=P ij（i，j=1，2，…），称P{X=x i,Y=y j}=P ij（i，j=1，2，…）为（X，Y）的分布律。
（X，Y）的分布律还可以写成如下列表形式：（X，Y）的分布律具有下列性质：（1）p ij≥0（i，j=1，2，…）；（2）反之，若数集{P ij}（i，j=1，2，…）具有以上两条性质，则它必可作为某二维离散型随机变量的分布律。