中考数学压轴题专题角含半角模型

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中考数学模型--旋转综合之角含半角模型

旋转综合之角含半角模型初三中考复习在即，在数学中考中，几何变换往往是中考中最令人头痛的题型，其辅助线的添加非常灵活，和其他几何知识的综合性也非常强。

在几何变换中，旋转是最为常见、也是最为重要的变换，本周我们集中讲解旋转综合中常见的模型、题型，这部分是本期内容的第三讲：旋转综合之角含半角模型，希望各位同学能从中收益。

基本图形1、如图所示，在等腰Rt △ABC 中，点 D , E 在斜边上，∠DAE = 45︒ ，将连接 EF ．则△ADE ≌△AFE ， DE 2 = BD 2 + CE 2△ABD 旋转至△ACF ，2、如图所示，在正方形 ABCD 中，点 E , F 分别在边 BC , CD 上，∠EAF = 45︒ ，将△ABE 旋转至△ADG ，则△AEF ≌△AGF ， EF = BE + DF角含半角模型的解题步骤1、找旋转点（含半角的角的顶点），构造旋转；2、证全等；3、利用全等、相似得到边角的关系．例 1 如图，已知等边△ABC 的边长为1 ， D 是△ABC 外一点且∠BDC =120︒ ， BD = CD ， ∠MDN = 60︒ ．求△AMN 的周长．解延长 AC 到 E ，使CE = BM ，连接 DE ．易证所以可得所以从而所以△AMN 周长为△BMD ≌ △CED (SAS).∠BDM = ∠CDE ,DM = DE . ∠NDE = ∠NDM = 60︒, △MDN ≌△EDN (SAS). MN = EN = CN + CE = CN + BM , C △AMN = AB + AC = 2.例 2 如图，正方形 ABCD 的边长为 a ， BM , DN 分别平分正方形的两个外角，且满足 ∠MAN = 45︒ ，连接 MC , NC , MN ．（1）填空：与△ABM相似的三角形是，；（用含a 的代数式表示）（2）求∠MCN 的度数；（3）猜想线段 BM , DN 和 MN 之间的等量关系并证明你的结论．解（1） △NDA ， a 2（2）由（1）可得 BM =AB ，AD ND 所以而易证∠CBM = ∠NDC = 45︒ ，所以则所以 BM = DC . BC ND△BCM ∽△DNC . ∠BCM = ∠DNC .∠MCN = 360︒ - ∠BCD - ∠BCM - ∠DCN= 270︒ - (∠DNC + DCN )= 270︒ - (180︒ - ∠CDN )= 135︒.（3）线段 BM , DN 和 MN 之间的等量关系是 BM 2 + DN 2 = MN 2 ．证明如下：如图，将△ADN 旋转至△ABE ，连接EM ．易得AE = AN ,∠MAE = ∠MAN = 45︒,∠EBM = 90︒.所以则在Rt BME 中，△AME ≌△AMN (SAS).ME =MN.BM 2+BE2=EM 2 ,所以BM 2+DN 2=MN 2.例 3 在平面直角坐标系中，边长为2 的正方形OABC 的两顶点A ,C 分别在y 轴、x 轴的正半轴上，点O 在原点．现将正方形OABC 绕O 点顺时针旋转，当A 点第一次落在直线y =x 上时停止旋转，旋转过程中，AB 边交直线y=x于点M，BC边交x轴于点N，（如图）．设△MBN 的周长为p ，在正方形OABC 旋转的过程中，p 值是否有变化？请证明你的结论．解在旋转正方形OABC 的过程中，p 值无变化．证明如下：延长BA 交y 轴于D 点，则而∠OAD = 90︒=∠OCN ，所以所以易证∠AOD =∠CON = 45︒-∠AOM.△OAD △OCN (ASA). ≌OD =ON ,AD =CN.△OMD ≌△OMN (SAS).所以MN =MD =AM +AD=AD +CN.所以p =MN +BN +BM=AB +BC= 4.旋转变换是中考中非常重要的题型，本节课我们重点讲解了角含半角模型，希望各位同学多加体会、总结，平时遇到类似题目注意应用和练习，下一节我们将重点讲解手拉手模型。

专题相似三角形半角模型(学生版)

专题06相似三角形中的半角模型相似三角形在中考数学几何模块中占据着重要地位。

相似三角形与其它知识点结合以综合题的形式呈现，其变化很多，难度大，是中考的常考题型。

如果大家平时注重解题方法，熟练掌握基本解题模型，再遇到该类问题就信心更足了。

本专题就半角模型进行梳理及对应试题分析，方便掌握。

模型1.半角模型（相似模型）【常见模型及结论】1）半角模型（正方形中的半角相似模型）条件：已知，如图，在正方形ABCD 中，∠EAF 的两边分别交BC 、CD 边于M 、N 两点，且∠EAF ＝45°结论：如图1，△AMN ∽△AFE 且AF AE EF AM AN MN===．（思路提示：∠ANM=∠AEF ，∠AMN=∠AFE ）；图1图2结论：如图2，△MAN ∽△MDA ，△NAM ∽△NBA ；结论：如图3，连接AC ，则△AMB ∽△AFC ，△AND ∽△AEC ．且AF AC AM AB==；图3图4结论：如图4，△BME ∽△AMN ∽△DFN.2）半角模型（特殊三角形中的半角相似模型）（1）含45°半角模型图1图2条件：如图1，已知∠BAC ＝90°，45ABC ACB DAE ∠=∠=∠=︒；结论：①△ABE ∽△DAE ∽△DCA ；②AB AD CD BE AE AC==；③AB AC BE CD ⋅=⋅（2AB BE CD =⋅）（2）含60°半角模型条件：如图1，已知∠BAC ＝120°，60ADE DAE ∠=∠=︒；结论：①△ABD ∽△CAE ∽△CBA ；②AD CE AC BD AE AB==；③AD AE BD CE ⋅=⋅（2DE BD CE =⋅）AC例4．（2023·广东·九年级专题练习）如图，段CD上一点，且1CE=，AB=AE例7．（2023·广东佛山·九年级校考阶段练习）EF与AC交于点G．AC课后专项训练1．（2022春·浙江绍兴·九年级校考阶段练习）如图，在正方形ABCD 中，点E 、F 分别在边BC ，DC 上，AE 、AF分别交BD 于点M 、N ，连接CN 、EN ，且CN =EN ．下列结论：①AN =EN ，AN ⊥EN ；②BE+DF=EF ；③∠DFE =2∠AMN ；④22222EF BM DN =+；⑤图中有4对相似三角形．其中正确结论个数是（）A ．5B ．4C ．3D ．22．如图，在矩形纸片ABCD 中，点E 、F 分别在矩形的边AB 、AD 上，将矩形纸片沿CE 、CF 折叠，点B 落在H 处，点D 落在G 处，点C 、H 、G 恰好在同一直线上，若AB ＝6，AD ＝4，BE ＝2，则DF 的长是（）A ．2B ．74C ．322D ．33．如图，等腰直角三角形,90ABC BAC ∠=︒，D ､E 是BC 上的两点，且BD CE =，过D ､E 分别作DM AB ⊥、EN AC ⊥，垂足分别为M 、N ，DM 、EN 交于点F ，连接AD 、AE ．以下四个结论：①四边形AMFN 是正方形；②ABE ACD △≌△；③222CE BD DE +=；④当45DAE ∠=︒时，2AD DE CD =⋅．其中正确的结论有（）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个分别是正方形的两个外角的平分线，点A．1个B．2个5．（2022·河南安阳·统考一模）如图，在RtADC△绕点A顺时针旋转90︒后，得到△③AE ADBE CD=；④点C转至点B经过的弧长为A．1个B．2个6．（2023·山东·统考一模）如图，在同一平面内，将两个全等的等腰直角三角形顶点，∠BAC=∠AGF=90°，它们的斜边长为别为D、E（点D不与点B重合，点E不与点的三角形；（2）m•n=2；（3）BD2+CE2=DE分别在边A．222+=B．BN DM MN9．如图，已知△PMN是等边三角形，∠APB=120︒．求证：AM·PB=PN·AP10．已知：如图边长为2的正方形ABCD中，∠MAN的两边分别交BC、CD边于M、N两点，且∠MAN＝45°①求证：MN＝BM+DN；②若AM、AN交对角线BD于E、F两点．设BF＝y，DE＝x，求y与x的函数关系式．12．（2023江苏九年级期末）已知正方形ABCD的边长为4，一个以点A为顶点的45°角绕点A旋转，角的两边分别与边BC、DC的延长线交于点E、F，连接EF．设CE=a，CF=b．（1）如图1，当∠EAF被对角线AC平分时，求a、b的值；（2）当△AEF是直角三角形时，求a、b的值；（3）如图3，探索∠EAF绕点A旋转的过程中a、b满足的关系式，并说明理由．分别是14．（2022秋·广东广州·九年级广州市第三中学校考期中）在正方形ABCD中，点E，F分别在边BC，CD上，且∠EAF＝∠CEF＝45°．(1)若点G在边CB的延长线上，且BG＝DF，（如图①），求证：△AEG≌△AEF；(2)若直线EF与AB，AD的延长线分别交于点M，N（如图②），求证：222EF ME NF=+；(3)将正方形改为长与宽不相等的矩形（如图③），∠EAF＝∠CEF＝45°，BE＝4，DF＝1，请你直接写出△CEF的面积．。

2022年中考数学复习专题三半角模型及其例题解析

专题03 半角模型半角模型：是指有公共顶点，锐角等于较大的角的一半，且较大的角的两边相等(不等)，通过旋转，可将角进行等量转化，构造全等（相似）的三角形的几何模型。

主要解法：一、经典之旋转法。

二、创新之翻折法。

三、常规之补短法。

熟练掌握：正方形的10个结论。

学会变通：矩形通过截或补变成正方形。

含60°角的菱形除旋转外，还可以借助对角线，构成等边三角形，利用三边相等，构造全等。

模型总讲:如图，已知在正方形ABCD 中，∠EAF =45°，连接BD 与AM ，AN 分别交于E 、F 两点。

1. BE+DF=EF ；2. △CEF 的周长等于正方形的边长的2倍。

3. S △ABE +S △ADF =S △AEF4. 点A 到MN 的距离等于正方形的边长；即AH=AD5. MN 2=MB 2+DN 2；6. 点A,M,F,D 四点共圆。

点A,B,E,N 四点共圆. 点M,E,F,N四点共圆。

点N,F,C,E,M 五点共圆。

7. 证明△AFM 和△AEN 为等腰直角三角形。

8.MN EF=√229. S △AMF =2S △AEF 10. 5组相似△HMN ∼△DFN(图9) △HMN ∼△BME(图10) △AMN ∼△BNA(图11) △AMN ∼△DMA(图12) △ AMN∽△ AFE证明如下: 结论1(图1)将△ABE 逆时针旋转90°，与△ADE'重合. 则AE=AE', ∠BAE=∠DAE’,易得 ∠EAF=∠E'AF=45° 又∵ AF=AF∴△EAF ≌ △E'AF （SAS ）(图2) ∴EF=E'F=DE'+DF ∴BE+DF=EF(结论1成立) 结论2 由结论1可得:AO HN M EBCD FAE'OEBCD F图1C △CEF =CE+CF+EF= CE+CF+BE+DF=BC+CD=2BC即△CEF 的周长等于正方形的边长的2倍。

初中数学突破中考压轴题几何模型之正方形的半角模型教案、

求证：是正三角形．
例2.如图，分别以的和为一边,在的外侧作正方形和正方形，点是的中点．
求证：点到边的距离等于的一半.
例4．如图,四边形为正方形，，，与相交于 .
求证：．
例6.设是正方形一边上的任一点，，平分．
求证: ．
例７.已知：是边长为1的正方形内的一点，求的最小值.
(1)求证: ;
(２）求证：．
【纵向应用】
6. 在正方形中，．求证:
7．在正方形中， . ，求证：
8. 如图1３,点为正方形对角线上一点, ,
求证：
９.已知:点、分别正方形中和的中点,连接和相交于点，
于点 .
（1）求证：；
(2）如果 ,求的长;
（3）求证：
例1.已知：如图, 是正方形内点， .
3.如图９，已知正方形的面积为35平方厘米, 、分别为边、上的点. 、相交于 ,并且的面积为14平方厘米, 的面积为5平方厘米，那么四边形的面积是____＿＿__．
4．如图，、、三点在同一条直线上, 。分别以
、为边作正方形和正方形 ,连接 ,
。
求证：。
5.如图，是正方形. 是上的一点, 于 , 于 .
年初中数学突破中考压轴题几何模型之正方形的半角模型教案(、)
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正方形角含半角模型升
例1．如图,折叠正方形纸片，先折出折痕 ,再折叠使边与对角线重合,得折痕，使，求 .

【中考数学必备专题】中考模型解题系列之大角夹半角模型(含答案)

【中考数学必备专题】中考模型解题系列之大角夹半角模型一、解答题(共1道，每道100分)1.（2010重庆改编）等边的两边AB、AC所在直线上分别有两点M、N，D为外一点，且,,BD=DC.探究：当M、N分别在直线AB、AC上移动时，BM、NC、MN之间的数量关系及的周长Q与等边的周长L的关系．（I）如图1，当点M、N在边AB、AC上，且DM=DN时，BM、NC、MN之间的数量关系是_____________；此时___________；（II）如图2，点M、N在边AB、AC上，且当DM DN时，猜想（I）问的两个结论还成立吗？写出你的猜想并加以证明；（III）如图3，当M、N分别在边AB、CA的延长线上时，若AN=，则Q=_________（用、L表示）．答案：（1）如图，BM、NC、MN之间的数量关系BM+NC=MN．此时．（2）猜想：结论仍然成立．证明：如图，延长AC至E，使CE=BM，连接DE．∵BD=CD，且∠BDC=120°，∴∠DBC=∠DCB=30°．又△ABC是等边三角形，∴∠MBD=∠NCD=90°．在△MBD与△ECD中：BM=CE、∠MBD=∠ECD、BD=DC∴△MBD≌△ECD（SAS）．∴DM=DE，∠BDM=∠CDE．∴∠EDN=∠BDC-∠MDN=60°．在△MDN与△EDN中：DM=DE、∠MDN=∠EDN、DN=DN∴△MDN≌△EDN（SAS）．∴MN=NE=NC+BM．△AMN的周长Q=AM+AN+MN=AM+AN+（NC+BM）=（AM+BM）+（AN+NC）=AB+AC=2AB．而等边△ABC的周长L=3AB．∴．（3）如图，当M、N分别在AB、CA的延长线上时，若AN=x，则Q=2x+（用x、L表示）．解题思路：（1）观察特征：①大角夹半角：∠BDC=120°，∠MDN=60°；②大角等线段交于一点；思路一：易证三角形MDN为等边三角形，可得MN=2BM=2NC思路二：1.旋转（顺时针旋转△BMD120°，使得BD与DC重合）2.此时可证△NDM≌△NDE即MN=NC+CE=NC+BM从而可得Q=AB+AC；因此Q：L=2：3．（2）观察特征：①大角夹半角：∠BDC=120°，∠MDN=60°；②大角等线段交于一点；解题思路：1.旋转（顺时针旋转△BMD120°，使得BD与DC重合）2.此时可证△NDM≌△NDE即MN=NC+CE=NC+BM从而可得Q=AB+AC；因此Q：L=2：3．（3）类比（2）的解题方法：1.旋转（顺时针旋转△BMD120°，使得BD与DC重合）2.此时可证△NDM≌△NDH详细分析：我们可通过构建全等三角形来实现线段的转换，思路同（2）过D作∠CDH=∠MDB，三角形BDM和CDH中，由（1）中已经得出的∠DCH=∠MBD=90°，我们做的角∠BDM=∠CDH，BD=CD因此两三角形全等（ASA）．那么BM=CH，DM=DH，三角形MDN和NDH中，已知的条件有MD=DH，一条公共边ND，要想证得两三角形全等就需要知道∠MDN=∠HDN，因为∠CDH=∠MDB，因此∠MDH=∠BDC=120°，因为∠MDN=60°，那么∠NDH=120°-60°=60°，因此∠MDN=∠NDH，这样就构成了两三角形全等的条件．三角形MDN和DNH就全等了．那么NM=NH=AN+AC-BM，三角形AMN的周长Q=AN+AM+MN=AN+AB+BM+AN+AC-BM=2AN+2AB．因为AN=x，AB=L，因此三角形AMN的周长Q=2x+L．试题难度：三颗星知识点：旋转的性质。

初中数学经典几何模型07-半角模型在三角形中应用(含答案)

初中数学经典几何模型专题07 半角模型在三角形中应用【专题说明】半角模型应用比较广泛：理解半角模型的定义，掌握正方形背景中半角模型的模型的应用，掌握等腰直角三角形背景中半角模型的应用尤为重要。

【知识总结】过等腰三角形顶点两条射线，使两条射线的夹角为等腰三角形顶角的一半这样的模型称为半角模型。

常见的图形为正方形，正三角形，等腰直角三角形等，解题思路一般是将半角两边的三角形通过旋转到一边合并成新的三角形，从而进行等量代换，然后证明与半角形成的三角形全等，再通过全等的性质得到线段之间的数量关系。

解题技巧：在图1中，△AEB由△AND旋转所得，可得△AEM≌△AMN，∴BM+DN=MN，∠AMB=∠AMN，AB=AH△CMN的周长等于正方形周长的一半在图2中将△ABC旋转至△BEF，易得△BED≌△BCD同理得到边角之间的关系；总之：半角模型（题中出现角度之间的半角关系）利用旋转——证全等——得到相关结论.1.如图，在正方形ABCD中，E、F分别是BC、CD上的点，且∠EAF＝45º，则BE＋DF＝EF.2.如图，在正方形ABCD中，E、F分别是BC、CD上的点，且∠EAF＝45º，则AE平分∠BEF，AF平分∠DF E.3.如图，在正方形ABCD中，E、F分别是BC、CD上的点，且∠EAF＝45º，则.点H，则AH＝AB.5.如图，在正方形ABCD中，E、F分别是BC、CD上的点，且∠EAF＝45º.点M、N，则7.如图，在正方形ABCD中，E、F分别是BC、CD上的点，且∠EAF＝45º，AE、AF分别与BD相交于点M、N，则△BME△DFN△AMN△BAN△DMA△A FE.8.如图，在正方形ABCD中，E、F分别是BC、CD上的点，且∠EAF＝45º，AE、AF分别与BD相交于点M、N点M、N，则.10.如图，在正方形ABCD中，E、F分别是BC、CD上的点，且∠EAF＝45º，AE、AF分别与BD相交于点M、N，则.11.如图，在正方形ABCD中，E、F分别是BC、CD上的点，且∠EAF＝45º，AE、AF分别与BD相交于点M、N，则点M、N，则当BE＝DF时，EF.【基础训练】1、正方形ABCD中，E是CD边上一点.将△ADE绕点A按顺时针方向旋转，使AD、AB重合，得到△ABF，如图1所示，观察可知：与DE相等的线段是______,∠AFB=_______.如图2，正方形ABCD中，P、Q分别是BC、CD边上的点，且∠P AQ=45°，试通过旋转的方式说明：DQ+BP=PQ.2、如图，已知△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC,D,E是BC边上的点，将△ABD绕点A旋转，得到△AC D′，当∠DAE=45°时，求证：DE=D′E；在（1）的条件下，猜想：BD2，DE2，CE2有怎样的数量关系？请写出，并说明理由.3、如图，E、F是正方形ABCD的边AD、CD上的点，连BE、EF、BF，BF平分∠EBC求证：BE=AE+CF4、正方形ABCD中，E,F分别是边BC,CD上的点，且∠EAF=45°，将△ABE绕点A逆时针旋转90°，得到△ADG，求证：EF=BE+DF.5、在等边△ABC的两边AB，AC所在直线上分别有两点M、N，D为△ABC外一点，且∠MDN=60°，∠BDC=120°，BD=DC.探究：当M、N分别在直线AB,AC上移动时，BM, NC,MN之间的数量关系及△AMN的周长Q与等边△ABC的周长L的关系，如图1，△ABC是周长为9的等边三角形，则△AMN的周长Q=_______=_______如图2，当点M,N边AB,AC上，且DM=DN时，BM,NC,MN之间的数量关系是______;QL点M,N在边AB,AC上，且当DM≠DN时，猜想（2）问的两个结论还成立吗？写出你的猜想并加以证明.【巩固提升】1、已知：△AOB和△COD均为等腰直角三角形，∠AOB＝∠COD＝90°．连接AD，BC，点H为BC中点，连接OH．（1）如图1所示，若AB＝8，CD＝2，求OH的长；（2）将△COD绕点O旋转一定的角度到图2所示位置时，线段OH与AD有怎样的数量和位置关系，并证明你的结论．2、（1）问题发现如图1，在△OAB中，OA＝OB，∠AOB＝50°，D是OB上一点，将点D绕点O顺时针旋转50°得到点C，则AC与BD的数量关系是．（2）类比探究如图2，将∠COD绕点O在平面内旋转，（1）中的结论是否成立，并就图2的情形说明理由．（3）拓展延伸∠COD绕点O在平面内旋转，当旋转到OD∥AB时，请直接写出∠BOD度数．3、如图1，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，D、E分别是AB、AC边的中点．将△ABC绕点A顺时针旋转a角（0°＜a＜180°），得到△AB′C′（如图2），连接DB'，EC'．（1）探究DB'与EC'的数量关系，并结合图2给予证明；（2）填空：①当旋转角α的度数为时，则DB'∥AE；②在旋转过程中，当点B'，D，E在一条直线上，且AD＝时，此时EC′的长为．4、如图，△ABC是等腰直角三角形，∠ACB＝90°，D为AC延长线上一点，连接DB，将DB绕点D逆时针旋转90°，得到线段DE，连接AE．（1）如图①，当CD＝AC时，线段AB、AE、AD三者之间的数量关系式是AB+AE＝AD．（2）如图②，当CD≠AC时，（1）中结论是否成立？若成立，请加以证明；若不成立，请说明理由．（3）当点D在射线CA上时，其他条件不变，（1）中结论是否成立？若成立，请说明理由；若不成立，请直接写出线段AB、AE、AD三者之间的数量关系式．5、如图（1），将正方形ABCD与正方形GECF的顶点C重合，当正方形GECF的顶点G在正方形ABCD的对角线AC上时，的值为．如图（2），将正方形CEGF绕点C顺时针方向旋转a角（0°＜a＜45°），猜测AG与BE之间的数量关系，并说明理由．如图（3），将正方形CEGF绕点C顺时针方向旋转a角（45°＜a＜90°）使得B、E、G三点在一条直线上，此时tan∠GAC＝，AG＝6，求△BCE的面积．6、已知，在R t△ACB中，∠ACB＝90°，AC＝BC，D是AB上一点（不与点A．B重合），连接CD，将CD绕点C逆时针旋转90°得到CE，连接BE．（1）如图1，求证：∠EBD＝90°（2）如图2，连接DE与BC相交于点F，G在AC上，连接DG．若AG：CG＝7：5．BD＝2AD，在不添加任何辅助线的情况下，请直接写出图2中所有正切值为的角．7、已知：在△ABC中，∠BAC＝2∠B，AD⊥BC，点D为BC的中点．（1）如图1，求∠B的度数；（2）如图2，点E为AC上一点，连接DE并延长至点F，连接CF，过点C作CH⊥DF，垂足为点H，若DH＝CF+HF，探究∠F与∠FDC之间的数量关系，并加以证明；（3）如图3，在（2）的条件下，在AD上取点P，连接BP，使得∠BPD＝∠F，将线段EF沿着EC折叠并延长交BC于点G，当BP：PD＝12：5，GC﹣PD＝3时，求GC的长．专题07 半角模型在三角形中应用答案【专题说明】半角模型应用比较广泛：理解半角模型的定义，掌握正方形背景中半角模型的模型的应用，掌握等腰直角三角形背景中半角模型的应用尤为重要。

第5讲角含半角模型(解析版)

中考数学几何模型5：角含半角模型TH 名师点睛拨开云雾开门见山角含半角模型，顾名思义即一个角包含着它的一半大小的角。

它主要包含：等腰直角三角形角含半角模型；正方形中角含半角模型两种类型。

解决类似问题的常见办法主要有两种：旋转目标三角形法和翻折目标三角形法。

类型一：等腰直角三角形角含半角模型（1）如图，在△ABC中，AB=AC，∠BAC=90°，点D，E在BC上，且∠DAE=45°，则：BD2+CE2=DE2.图示（1）作法1：将△ABD旋转90°作法2：分别翻折△ABD,△ACE（2）如图，在△ABC中，AB=AC，∠BAC=90°，点D在BC上，点E在BC延长线上，且∠DAE=45°，则：BD2+CE2=DE2.图示（2）（3）如图，将等腰直角三角形变成任意等腰三角形时，亦可以进行两种方法的操作处理..任意等腰三角形类型二：正方形中角含半角模型（1）如图，在正方形ABCD中，点E，F分别在边BC，CD上，∠EAF=45°，连接EF，过点A作AG⊥于EF于点G，则：EF=BE+DF，AG=AD.图示（1）作法：将△ABE绕点A逆时针旋转90°（2）如图，在正方形ABCD中，点E，F分别在边CB，DC的延长线上，∠EAF=45°，连接EF，则：EF=DF-BE.图示（2）作法：将△ABE绕点A逆时针旋转90°（3）如图，将正方形变成一组邻边相等，对角互补的四边形，在四方形ABCD中，AB=AD，∠BAD+∠C=180°，点E，F分别在边BC，CD上，∠EAF=12∠BAD，连接EF，则：EF=BE+DF.图示（3）作法：将△ABE绕点A逆时针旋转∠BAD的大小典题探究启迪思维探究重点例题1. 如图，正方形ABCD的边长为4，点E，F分别在AB，AD上，若CE＝5，且∠ECF＝45°，则CF 的长为4．【解答】解：如图，延长FD到G，使DG＝BE；连接CG、EF；∵四边形ABCD为正方形，在△BCE与△DCG中，，∴△BCE≌△DCG（SAS），∴CG＝CE，∠DCG＝∠BCE，∴∠GCF＝45°，在△GCF与△ECF中，，∴△GCF≌△ECF（SAS），∴GF＝EF，∵CE＝5，CB＝4，∴BE＝3，∴AE＝1，设AF＝x，则DF＝4﹣x，GF＝1+（4﹣x）＝5﹣x，∴EF＝＝，∴（5﹣x）2＝1+x2，∴x＝，即AF＝，∴DF＝4﹣＝，∴CF＝＝＝4，故答案为：4．变式练习>>>1．如图四边形ABCD中，AD∥BC，∠BCD＝90°，AB＝BC+AD，∠DAC＝45°，E为CD上一点，且∠BAE＝45°．若CD＝4，则△ABE的面积为（）A．B．C．D．【解答】解法一：作AF⊥CB交CB的延长线于F，在CF的延长线上取一点G，使得FG＝DE．∵AD∥BC，∴∠BCD+∠ADC＝180°，∴∠ADC＝∠BCD＝∠AFC＝90°，∴四边形ADCF是矩形，∵∠CAD＝45°，∴AD＝CD，∴四边形ADCF是正方形，∴AF＝AD，∠AFG＝∠ADF＝90°，∴△AFG≌△ADE，∴AG＝AE，∠F AG＝∠DAE，∴∠F AG+∠F AB＝∠EAD+∠F AB＝45°＝∠BAE，∴△BAE≌△BAG，∴BE＝BG＝BF+GF＝BF+DE，设BC＝a，则AB＝4+a，BF＝4﹣a，在Rt△ABF中，42+（4﹣a）2＝（4+a）2，解得a＝1，∴BC＝1，BF＝3，设BE＝b，则DE＝b﹣3，CE＝4﹣（b﹣3）＝7﹣b．在Rt△BCE中，12+（7﹣b）2＝b2，解得b＝，∴BG＝BE＝，∴S△ABE＝S△ABG＝××4＝．例题2. 在正方形ABCD中，连接BD．（1）如图1，AE⊥BD于E．直接写出∠BAE的度数．（2）如图1，在（1）的条件下，将△AEB以A旋转中心，沿逆时针方向旋转30°后得到△AB′E′，AB′与BD交于M，AE′的延长线与BD交于N．①依题意补全图1；②用等式表示线段BM、DN和MN之间的数量关系，并证明．（3）如图2，E、F是边BC、CD上的点，△CEF周长是正方形ABCD周长的一半，AE、AF分别与BD 交于M、N，写出判断线段BM、DN、MN之间数量关系的思路．（不必写出完整推理过程）【解答】解：（1）∵BD是正方形ABCD的对角线，∴∠ABD＝∠ADB＝45°，∵AE⊥BD，∴∠ABE＝∠BAE＝45°，（2）①依题意补全图形，如图1所示，②BM、DN和MN之间的数量关系是BM2+MD2＝MN2，将△AND绕点D顺时针旋转90°，得到△AFB，∴∠ADB＝∠FBA，∠BAF＝∠DAN，DN＝BF，AF＝AN，∵在正方形ABCD中，AE⊥BD，∴∠ADB＝∠ABD＝45°，∴∠FBM＝∠FBA+∠ABD＝∠ADB+∠ABD＝90°，在Rt△BFM中，根据勾股定理得，FB2+BM2＝FM2，∵旋转△ANE得到AB1E1，∴∠E1AB1＝45°，∴∠BAB1+∠DAN＝90°﹣45°＝45°，∵∠BAF＝DAN，∴∠BAB1+∠BAF＝45°，∴∠F AM＝45°，∴∠F AM＝∠E1AB1，∵AM＝AM，AF＝AN，∴△AFM≌△ANM，∴FM＝MN，∵FB2+BM2＝FM2，∴DN2+BM2＝MN2，变式练习>>>2. （1）【探索发现】如图1，正方形ABCD中，点M、N分别是边BC、CD上的点，∠MAN＝45°，若将△DAN绕点A顺时针旋转90°到△BAG位置，可得△MAN≌△MAG，若△MCN的周长为6，则正方形ABCD的边长为3．（2）【类比延伸】如图（2），四边形ABCD中，AB＝AD，∠BAD＝120°，∠B+∠D＝180°，点M、N分别在边BC、CD 上的点，∠MAN＝60°，请判断线段BM，DN，MN之间的数量关系，并说明理由．（3）【拓展应用】如图3，四边形ABCD中，AB＝AD＝10，∠ADC＝120°，点M，N分别在边BC，CD上，连接AM，MN，△ABM是等边三角形，AM⊥AD，DN＝5（﹣1），请直接写出MN的长．【解答】解：（1）如图1中，∵△MAN≌△MAG，∴MN＝GM，∵DN＝BG，GM＝BG+BM，∴MN＝BM+DN，∵△CMN的周长为：MN+CM+CN＝6，∴BM+CM+CN+DN＝6，∴BC+CD＝6，∴BC＝CD＝3，故答案为3．（2）如图2中，结论：MN＝NM+DN．延长CB至E，使BE＝DN，连接AE，∵∠ABC+∠D＝180°，∠ABC+∠ABE＝180°，∴∠D＝∠ABE，在△ABE和△ADN中，，∴△ABE≌△ADN，∴AN＝AE，∠DAN＝∠BAE，∵∠BAD＝2∠MAN，∴∠DAN+∠BAM＝∠MAN，∴∠MAN＝∠EAM，在△MAN和△MAE中，，∴△MAN≌△MAE，∴MN＝EM＝BE+BM＝BM+DN，即MN＝BM+DN；（3）解：如图3，把△ABM绕点A逆时针旋转150°至△ADG，连接AN．作NH⊥AD于H，在AH上取一点K，使得∠NKH＝30°在Rt△DHN中，∵∠NDH＝60°DN＝5（﹣1），∴DH＝DN＝，HN＝DH＝，在Rt△KNH中，KN＝2HN＝15﹣5，HK＝HN＝，∴AK＝AH﹣HK＝15﹣5，∴AK＝KN，∴∠KAN＝∠KNA，∵∠NKH＝∠KAN+∠KNA，∴∠NAK＝15°，∴∠MAN＝75°＝∠BAD，由（2）得，MN＝BM+DN＝10+5（﹣1）＝5+5．例题3. 如图，在四边形ABCD中，AB=BC，∠A=∠C=90°，∠B=135°，K，N分别是AB，BC上的点，若△BKN的周长为AB的2倍，求∠KDN的度数.变式练习>>>3. 如图，正方形被两条与边平行的线段EF，GH分割成四个小矩形，P是EF与GH的交点，若矩形PFCH 的面积恰是矩形AGPE面积的2倍，试确定∠HAF的大小并证明你的结论.例题4. 如图，在四边形ABCD中，AB＝AD，BC＝CD，∠ABC＝∠ADC＝90°，∠MAN＝∠BAD．（1）如图1，将∠MAN绕着A点旋转，它的两边分别交边BC、CD于M、N，试判断这一过程中线段BM、DN和MN之间有怎样的数量关系？直接写出结论，不用证明；（2）如图2，将∠MAN绕着A点旋转，它的两边分别交边BC、CD的延长线于M、N，试判断这一过程中线段BM、DN和MN之间有怎样的数量关系？并证明你的结论；（3）如图3，将∠MAN绕着A点旋转，它的两边分别交边BC、CD的反向延长线于M、N，试判断这一过程中线段BM、DN和MN之间有怎样的数量关系？直接写出结论，不用证明．【解答】解：（1）证明：延长MB到G，使BG＝DN，连接AG．∵∠ABG＝∠ABC＝∠ADC＝90°，AB＝AD，∴△ABG≌△ADN．∴AG＝AN，BG＝DN，∠1＝∠4．∴∠1+∠2＝∠4+∠2＝∠MAN＝∠BAD．∴∠GAM＝∠MAN．又AM＝AM，∴△AMG≌△AMN．∴MG＝MN．∵MG＝BM+BG．∴MN＝BM+DN．（2）MN＝BM﹣DN．证明：在BM上截取BG，使BG＝DN，连接AG．∵∠ABC＝∠ADC＝90°，AD＝AB，∴△ADN≌△ABG，∴AN＝AG，∠NAD＝∠GAB，∴∠MAN＝∠NAD+∠BAM＝∠DAB，∴∠MAG＝∠BAD，∴∠MAN＝∠MAG，∴△MAN≌△MAG，∴MN＝MG，∴MN＝BM﹣DN．（3）MN＝DN﹣BM．达标检测领悟提升强化落实1. 请阅读下列材料：问题：正方形ABCD中，M，N分别是直线CB、DC上的动点，∠MAN＝45°，当∠MAN交边CB、DC 于点M、N（如图①）时，线段BM、DN和MN之间有怎样的数量关系？小聪同学的思路是：延长CB至E使BE＝DN，并连接AE，构造全等三角形经过推理使问题得到解决．请你参考小聪同学的思路，探究并解决下列问题：（1）直接写出上面问题中，线段BM，DN和MN之间的数量关系；（2）当∠MAN分别交边CB，DC的延长线于点M/N时（如图②），线段BM，DN和MN之间的又有怎样的数量关系？请写出你的猜想，并加以证明；（3）在图①中，若正方形的边长为16cm，DN＝4cm，请利用（1）中的结论，试求MN的长．【解答】解：（1）BM+DN＝MN；（2）DN﹣BM＝MN．理由如下：如图，在DC上截取DF＝BM，连接AF．∵AB＝AD，∠ABM＝∠ADF＝90°，∴△ABM≌△ADF（SAS）∴AM＝AF，∠MAB＝∠F AD．∴∠MAB+∠BAF＝∠F AD+∠BAF＝90°，即∠MAF＝∠BAD＝90°．又∠MAN＝45°，∴∠NAF＝∠MAN＝45°．∵AN＝AN，∴△MAN≌△F AN．∴MN＝FN，即MN＝DN﹣DF＝DN﹣BM；（3）∵正方形的边长为16，DN＝4，∴CN＝12．根据（1）可知，BM+DN＝MN，设MN＝x，则BM＝x﹣4，∴CM＝16﹣（x﹣4）＝20﹣x．在Rt△CMN中，∵MN2＝CM2+CN2，∴x2＝（20﹣x）2+122．解得x＝13.6．∴MN＝13.6cm．2. （1）如图1，在四边形ABCD中，AB＝AD，∠B＝∠D＝90°，E、F分别是边BC、CD上的点，且∠EAF＝∠BAD．试探究图中线段BE、EF、FD之间的数量关系．（1）小王同学探究此问题的方法是：延长EB到点G，使BG＝DF，连结AG，先证明△ABG≌△ADF，再证明△AEG≌△AEF，可得出结论，他的结论应是EF＝BE+FD．（2）如图2，在四边形ABCD中，AB＝AD，∠B+∠D＝180°，E、F分别是边BC、CD上的点，且∠EAF＝∠BAD，上述结论是否仍然成立，并说明理由．（3）如图3，在四边形ABCD中，AB＝AD，∠B+∠ADC＝180°，E、F分别是边BC、CD延长线上的点，且∠EAF＝∠BAD，（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立，请写出它们之间的数量关系，并证明．【解答】解：（1）由△ABG≌△ADF，△AEG≌△AEF可知，BG＝DF，EF＝EG＝BG+EF＝DF+EF，故答案为EF＝BE+FD.（2）（1）中的结论EF＝BE+FD仍然成立．理由：延长EB到点G，使BG＝DF，连结AG．∵∠ABD+∠D＝180°，∠ABD+∠ABG＝180°，∴∠ABG＝∠D，∴AB＝AD，BG＝DF，∴△ABG≌△ADF，∴∠BAG＝∠DAF，AG＝AF，∵∠EAF＝∠BAD，∴∠BAE+∠DAF＝∠BAD＝∠BAE+∠BAG，∴∠EAG＝∠EAF，∵AE＝AE，AG＝AF，∴△EAG≌△EAF，∴EG＝EF，∵EG＝BG+BE＝DF+BE，∴EF＝BE+DF．3. 小曼和他的同学组成了“爱琢磨”学习小组，有一次，他们碰到这样一道题：“已知正方形ABCD，点E、F、G、H分别在边AB、BC、CD、DA上，若EG⊥FH，则EG＝FH．”为了解决这个问题，经过思考，大家给出了以下两个方案：方案一：过点A作AM∥HF交BC于点M，过点B作BN∥EG交CD于点N；方案二：过点A作AM∥HF交BC于点M，过点A作AN∥EG交CD于点N．…（1）对小曼遇到的问题，请在甲、乙两个方案中任选一个加以证明（如图（1））．（2）如果把条件中的“正方形”改为“长方形”，并设AB＝2，BC＝3（如图（2）），是探究EG、FH之间有怎样的数量关系，并证明你的结论．（3）如果把条件中的“EG⊥FH”改为“EG与FH的夹角为45°”，并假设正方形ABCD的边长为1，FH的长为（如图（3）），试求EG的长度．【解答】解：（1）证明：过点A作AM∥HF交BC于点M，作AN∥EG交CD的延长线于点N，∴AM＝HF，AN＝BC，在正方形ABCD中，AB＝AD，∠ABM＝∠BAD＝∠ADN＝90°∵EG⊥FH，∴∠NAM＝90°，∴∠BAM＝∠DAN，在△ABM和△ADN中，∠BAM＝∠DAN，AB＝AD，∠ABM＝∠ADN∴△ABM≌△ADN∴AM＝AN，即EG＝FH（2）结论：EG：FH＝3：2证明：过点A作AM∥HF交BC于点M，作AN∥EC交CD的延长线于点N，∴AM＝HF，AN＝EC，在长方形ABCD中，BC＝AD，∠ABM＝∠BAD＝∠ADN＝90°，∵EG⊥FH，∴∠NAM＝90°，∴∠BAM＝∠DAN．∴△ABM∽△ADN．，∵AB＝2，BC＝AD＝3，∴．（3）解：过点A作AM∥HF交BC于点M，过点A作AN∥EG交CD于点N，∵．∴在Rt△ABM中，BM＝．将△AND绕点A顺时针旋转90°到△APB．∵EG与FH的夹角为45°，∴∠MAN＝45°，∴∠DAN+∠MAB＝45°，即∠P AM＝∠MAN＝45°，从而△APM≌△ANM，∴PM＝NM．设DN＝x，则NC＝1﹣x，MN＝PM＝．在Rt△CMN中，解得．∴．4. 已知：如图，正方形ABCD的边长为a，BM，DN分别平分正方形的两个外角，且满足∠MAN=45°，连接MC，NC，MN．（1）填空：与△ABM相似的三角形是_________，BM•DN=_________；（用含a的代数式表示）（2）求∠MCN的度数；（3）猜想线段BM，DN和MN之间的等量关系并证明你的结论.。

半角模型的变式

【中考数学专题】半角模型进阶提升，攻克难点效果立显几何是初中数学中非常重要的内容，尤其是近几年中考题更注重考察图形的变换，如平移、旋转、翻折等，一般会在压轴题中出现，几何模型之于几何题目，便是如虎添翼，能够极大的提高几何的解题效率, 掌握常见几何模型将有助于学生理清思路、节省大量时间。

在平时教学过程中，若能抓住基本图形，举一反三，定能引领学生领略到"一图一世界"的风采.本文就中考常见的半角模型及应用特点举例说明如下半角模型剖析旋转半角的特征是相邻等线段所成角含一个二分之一角，通过旋转将另外两个和为二分之一的角拼接在一起，成对称全等。

我们习惯把过等腰三角形顶角的顶点引两条射线，使两条射线的夹角为等腰三角形顶角的一半这样的模型称为半角模型。

常见的图形为正方形，正三角形，等腰直角三角形等，解题思路一般是将半角两边的三角形通过旋转到一边合并形成新的三角形，从而进行等量代换，然后证明与半角形成的三角形全等，再通过全等的性质得出线段之间的数量关系，从而解决问题。

经典考题透视1．（2019秋•南京月考）问题背景："半角问题"（1）如图：在四边形ABCD中，AB＝AD，∠BAD＝120°，∠B＝∠ADC＝90°．E，F分别是BC，CD上的点．且∠EAF＝60°．探究图中线段EF，BE，FD之间的数量关系．小明同学探究此"半角问题"的方法是：延长FD到点G．使DG＝BE．连结AG，先证明△ABE≌△ADG，再证明△AEF≌△AGF，可得出结论，他的结论应是______；（直接写结论，不需证明）探索延伸：当聪明的你遇到下面的问题该如何解决呢？（2）若将（1）中"∠BAD＝120°，∠EAF＝60°"换为∠EAF＝1/2∠BAD．其它条件不变．如图1，试问线段EF、BE、FD具有怎样的数量关系，并证明．（3）如图2，在四边形ABCD中，AB＝AD，∠B+∠D＝180°，E、F分别是边BC、CD上的点，且∠EAF＝1/2∠BAD，请直接写出线段EF、BE、FD它们之间的数量关系．（不需要证明）（4）如图3，在四边形ABCD中，AB＝AD，∠B+∠ADC＝180°，E、F分别是边BC、CD延长线上的点，且∠EAF＝1/2∠BAD，试问线段EF、BE、FD具有怎样的数量关系，并证明．【解析】证明：（1）延长FD到点G．使DG＝BE．连结AG，易证△ABE≌△ADG, ∴AE＝AG，∠BAE＝∠DAG，∵∠BAD＝120°，∠EAF＝60°，∴∠BAE+∠FAD＝∠DAG+∠FAD＝60°，∴∠EAF＝∠FAG＝60°，易证△EAF≌△GAF，∴EF＝FG＝DF+DG，∴EF＝BE+DF；故答案为：EF＝BE+DF；（2）如图1，延长EB到G，使BG＝DF，连接AG．易证△ABG≌△ADF．∴AG＝AF，∠1＝∠2，∴∠1+∠3＝∠2+∠3＝1/2∠BAD＝∠EAF．∴∠GAE＝∠EAF．又AE＝AE，易证△AEG≌△AEF．∴EG＝EF．∵EG＝BE+BG．∴EF＝BE+FD.（3）（1）中的结论EF＝BE+FD仍然成立．理由是：如图2，延长EB到G，使BG＝DF，连接AG．∵∠ABC+∠D＝180°，∠ABG+∠ABC＝180°，∴∠ABG＝∠D，易证△ABG≌△ADF．∴AG＝AF，∠1＝∠2，∴∠1+∠3＝∠2+∠3＝1/2∠BAD＝∠EAF．∴∠GAE＝∠EAF．又AE＝AE，∴△AEG≌△AEF．∴EG＝EF．∵EG＝BE+BG．∴EF＝BE+FD.（4）结论EF＝BE+FD不成立，应当是EF＝BE﹣FD．证明：在BE上截取BG，使BG＝DF，连接AG．∵∠B+∠ADC＝180°，∠ADF+∠ADC＝180°，∴∠B＝∠ADF．易证△ABG≌△ADF．∴∠BAG＝∠DAF，AG＝AF．∴∠BAG+∠EAD＝∠DAF+∠EAD＝∠EAF＝1/2∠BAD．∴∠GAE＝∠EAF．∵AE＝AE，易证△AEG≌△AEF．∴EG＝EF∵EG＝BE﹣BG∴EF＝BE﹣FD．2．已知，如图1，四边形ABCD是正方形，E、F分别在边BC、CD上，且∠EAF＝45°，我们把这种模型称为"半角模型"，在解决"半角模型"问题时，旋转时一种常用的方法．（1）在图1中，连接EF，为了证明结论"EF＝BE+DF"，小明将△ADF绕点A顺时针旋转90°后解答了这个问题，请按小明的思路写出证明过程；（2）如图2，当∠EAF的两边分别与CB、DC的延长线交于点E、F，连接EF，试探究线段EF、BE、DF之间的数量关系，并证明．【解析】（1）证明：由旋转可得GB＝DF，AF＝AG，∠BAG＝∠DAF，∵四边形ABCD为正方形，∴∠BAD＝90°，∵∠EAF＝45°，∴∠BAE+∠DAF＝45°，∴∠BAG+∠BAE＝45°＝∠EAF，易证△AGE≌△AFE，∴GE＝EF，∵GE＝GB+BE＝BE+DF，∴EF＝BE+DF；（2）解：EF＝DF﹣BE，证明如下：如图，把△ABE绕点A逆时针旋转90°到AD，交CD于点G，同（1）可证得△AEF≌△AGF，∴EF＝GF，且DG＝BE，∴EF＝DF﹣DG＝DF﹣BE．3．（2018秋•京口区校级月考）如图1：在四边形ABCD中，AB＝AD，∠BAD＝120°，∠B＝ADC ＝90°，E、F分别是BC，CD上的点，且∠EAF＝60°，探究图中线段BE，EF，FD之间的数量关系．小王同学探究此问题的方法是：延长FD到点G，使DG＝BE，连接AG，先证明△ABE≌△ADG，再证明△AEF≌△AGF，即可得出BE，EF，FD之间的数量关系，他的结论应是______．象上面这样有公共顶点，锐角等于较大角的一半，且组成这个较大角的两边相等的几何模型称为半角模型．拓展如图2，若在四边形ABCD中，AB＝AD，∠B+∠D＝180°，E、F分别是BC，CD上的点，且∠EAF＝1/2∠BAD，则BE，EF，FD之间的数量关系是______．请证明你的结论．实际应用如图3，在某次军事演习中，舰艇甲在指挥中心（O处）北偏西30°的A处，舰艇乙在指挥中心南偏东70°的B处，且两舰艇到指挥中心的距离相等接到行动指令后，舰艇甲向正东方向以60海里/小时的速度前进，舰艇乙沿北偏东50°的方向以80海里小时的速度前进，1.2小时后，指挥中心观测到甲、乙两舰艇分别到达E，F处，且两舰艇之间的夹角为70°，试求此时两舰艇之间的距离是海里（直接写出答案）．图（3）【解析】：如图1，EF＝BE+DF，理由如下：易证△ABE≌△ADG，∴AE＝AG，∠BAE＝∠DAG，∵∠EAF＝1/2∠BAD，∴∠GAF＝∠DAG+∠DAF＝∠BAE+∠DAF＝∠BAD﹣∠EAF＝∠EAF，∴∠EAF＝∠GAF，易证△AEF≌△AGF，∴EF＝FG，∵FG＝DG+DF＝BE+DF，∴EF＝BE+DF；故答案为EF＝BE+DF；如图2，EF＝BE+DF，理由：延长FD到点G．使DG＝BE．连结AG，易证△ABE≌△ADG，∴AE＝AG，∠BAE＝∠DAG，∵∠EAF＝1/2∠BAD，∴∠GAF＝∠DAG+∠DAF＝∠BAE+∠DAF＝∠BAD﹣∠EAF＝∠EAF，∴∠EAF＝∠GAF，易证△AEF≌△AGF，∴EF＝FG，∵FG＝DG+DF＝BE+DF，∴EF＝BE+DF；图3如图3，连接EF，延长AE、BF相交于点C，∵∠AOB＝30°+90°+（90°﹣70°）＝140°，∠EOF＝70°，∴∠EOF＝1/2∠AOB，∵OA＝OB，∠OAC+∠OBC＝（90°﹣30°）+（70°+50°）＝180°，∴符合探索延伸中的条件，∴结论EF＝AE+BF成立，即EF＝1.2×（60+80）＝168（海里）．4.问题：如图（1），点E、F分别在正方形ABCD的边BC、CD上，∠EAF＝45°，试判断BE、EF、FD之间的数量关系．【发现证明】小聪把△ABE绕点A逆时针旋转90°至△ADG，从而发现EF＝BE+FD，请你利用图（1）证明上述结论．【类比引申】如图（2），四边形ABCD中，∠BAD≠90°，AB＝AD，∠B+∠D＝180°，点E、F分别在边BC、CD上，则当∠EAF与∠BAD满足______关系时，仍有EF＝BE+FD．【探究应用】如图（3），在某公园的同一水平面上，四条通道围成四边形ABCD．已知AB＝AD ＝80米，∠B＝60°，∠ADC＝120°，∠BAD＝150°，道路BC、CD上分别有景点E、F，且AE⊥AD，DF＝40（√3﹣1）米，现要在E、F之间修一条笔直道路，求这条道路EF的长（结果取整数，参考数据：√2＝1.41，√3＝1.73）图（3）【解析】【发现证明】证明：如图（1），∵△ADG≌△ABE，∴AG＝AE，∠DAG＝∠BAE，DG＝BE，又∵∠EAF＝45°，即∠DAF+∠BEA＝∠EAF＝45°，∴∠GAF＝∠FAE，易证△AFG≌△AFE．∴GF＝EF．又∵DG＝BE，∴GF＝BE+DF，∴BE+DF＝EF．图（2）【类比引申】∠BAD＝2∠EAF．理由如下：如图（2），延长CB至M，使BM＝DF，连接AM，∵∠ABC+∠D＝180°，∠ABC+∠ABM＝180°，∴∠D＝∠ABM，易证△ABM≌△ADF，∴AF＝AM，∠DAF＝∠BAM，∵∠BAD＝2∠EAF，∴∠DAF+∠BAE＝∠EAF，∴∠EAB+∠BAM＝∠EAM＝∠EAF，易证△FAE≌△MAE，∴EF＝EM＝BE+BM＝BE+DF，即EF＝BE+DF．故答案是：∠BAD＝2∠EAF．【探究应用】如图3，把△ABE绕点A逆时针旋转150°至△ADG，连接AF，过A作AH⊥GD，垂足为H．图（3）∵∠BAD＝150°，∠DAE＝90°，∴∠BAE＝60°．又∵∠B＝60°，∴△ABE是等边三角形，∴BE＝AB＝80米．根据旋转的性质得到：∠ADG＝∠B＝60°，又∵∠ADF＝120°，∴∠GDF＝180°，即点G在CD的延长线上．易得，△ADG≌△ABE，∴AG＝AE，∠DAG＝∠BAE，DG＝BE，又∵AH＝80×√3/2＝40√3，HF＝HD+DF＝40+40（√3﹣1）＝40√3，,故∠HAF＝45°，∴∠DAF＝∠HAF﹣∠HAD＝45°﹣30°＝15°从而∠EAF＝∠EAD﹣∠DAF＝90°﹣15°＝75°又∵∠BAD＝150°＝2×75°＝2∠EAF∴根据上述推论：EF＝BE+DF＝80+40（√3﹣1）≈109（米）即这条道路EF的长约为109米．规律方法总结1.半角模型的基本条件是：①共端点且相等的线段；②共顶点的倍半角；③对角互补。

人教版中考数学压轴题解题模型----几何图形之半角模型(含解析)

几何图形之半角模型主题半角模型教学内容教学目标1.掌握正方形的定义，弄清正方形与平行四边形、菱形、矩形的关系。

2.掌握正方形的性质定理1和性质定理2。

3.正确运用正方形的性质解题。

4.通过四边形的从属关系渗透集合思想。

5.通过理解四种四边形内在联系，培养学生辩证观点。

知识结构正方形的性质因为正方形是特殊的平行四边形，还是特殊的矩形，特殊的菱形，所以它具有这些图形性质的综合，因此正方形有以下性质（由学生和老师一起总结）。

正方形性质定理1：正方形的四个角都是直角，四条边相等。

正方形性质定理2：正方形的两条对角线相等并且互相垂直平分，每一条对角线平分一组对角。

说明：定理2包括了平行四边形，矩形，菱形对角线的性质，一个题设同时有四个结论，这是该定理的特点，在应用时需要哪个结论就用哪个结论，并非把结论写全。

小结：（1）正方形与矩形，菱形，平行四边形的关系如上图（2）正方形的性质：①正方形对边平行。

②正方形四边相等。

③正方形四个角都是直角。

④正方形对角线相等，互相垂直平分，每条对角线平分一组对角。

典型例题精讲例1．如图，折叠正方形纸片ABCD ，先折出折痕BD ，再折叠使AD 边与对角线BD 重合，得折痕DG ，使2AD =，求AG ．【解析】：作GM ⊥BD ，垂足为M ．由题意可知∠ADG=GDM ，则△ADG ≌△MDG ． ∴DM=DA=2． AC=GM 又易知：GM=BM ．而BM=BD-DM=22-2=2（2-1）， ∴AG=BM=2（2-1）．例2 ．如图，P 为正方形ABCD 内一点，10PA PB ==，并且P 点到CD 边的距离也等于10，求正方形ABCD 的面积【解析】：过P 作EF AB ⊥于F 交DC 于E ．设PF x =，则10EF x =+，1(10)2BF x =+．由222PB PF BF =+．可得：222110(10)4x x =++．故6x =．216256ABCD S ==．例 3. 如图，E 、F 分别为正方形ABCD 的边BC 、CD 上的一点，AM EF ⊥，•垂足为M ，AM AB =，则有EF BE DF =+，为什么【解析】：要说明EF=BE+DF ，只需说明BE=EM ，DF=FM 即可，而连结AE 、AF ．只要能说明△ABE ≌△AME ，△ADF ≌△AMF 即可．理由：连结AE 、AF ．由AB=AM ，AB ⊥BC ，AM ⊥EF ，AE 公用， ∴△ABE ≌△AME ． ∴BE=ME ．同理可得，△ADF ≌△AMF ．∴DF=MF ．∴EF=ME+MF=BE+DF ．例4．如下图E 、F 分别在正方形ABCD 的边BC 、CD 上，且45EAF ︒∠=，试说明EF BE DF =+。

中考几何综合压轴题十大模型

中考几何综合压轴题十大模型包括：
1. “12345”模型：适用于和为30度、60度的证明，以及倍长中点的相关证明。

2. “半角”模型：说明上图依次是45°、30°、22.5°、15°及有一个角是30°直角三角形的对称（翻折），翻折成正方形或者等腰直角三角形、等边三角形、对称全等。

3. “角平分线”模型：角平分线定理的应用，以及角平分线+垂线=等腰三角形，角分线+平行线=等腰三角必呈现等的应用。

4. “手拉手”模型：适用于两个等腰三角形，顶角相等，顶点重合的情况，可以证明三角形全等，手的夹角相等，顶点连手的交点得平分。

5. “将军饮马”模型：最短路径问题，适用于解决两点之间距离最短的问题。

6. “中点”模型：中点旋转的模型，可以解决旋转全等问题。

7. “垂直”模型：垂直也可以做为轴进行对称全等。

8. “旋转全等”模型：通过旋转将另外两个和为二分之一的角拼接在一起，成对称全等。

9. “自旋转”模型：遇60度旋60度，造等边三角形；遇90度旋90度，造等腰直角。

10. “共旋转”模型：通过“8”字模型可以证明。

以上就是中考几何综合压轴题的十大模型，希望对你有所帮助。

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1 / 9 专题15 角含半角模型破题策略 1．等腰直角三角形角含半角如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，点D，E在BC上且∠DAE＝45° （1） △BAE∽△ADE∽△CDA （2）BD2＋CE2＝DE2．

45°EABCD 证明（1）易得∠ADC＝∠B＋∠BAD＝∠EAB，所以△BAE∽△ADE∽△CDA．（2）方法一（旋转法）：如图1，将△ABD绕点A逆时针旋转90°得到△ACF，连结EF．

45°FEABCD 则∠EAF＝∠EAD＝45°，AF＝AD，所以△ADE∽△FAE （ SAS ）．所以DE＝ EF．而CF＝BD，∠FCE＝∠FCA＋∠ACE＝90°，所以BD2＋ CE2＝CF2＋CE2＝EF2＝DE2．方法二（翻折法）：如图2，作点B 关于AD 的对称点F，连结AF，DF，EF．

45°

FEABCD 因为∠BAD＋∠EAC＝∠DAF＋∠EAF，又因为∠BAD＝∠DAF，则∠FAE＝∠CAE，AF＝AB＝AC，所以△FAE∽△CAE（SAS）．所以EF＝ EC． 2 / 9

而DF＝BD， ∠DFE＝∠AFD＋ ∠AFE＝90°，所以BD2＋ EC2＝ FD2＋ EF2＝ DE2．【拓展】①如图，在△ ABC 中，AB＝AC，∠BAC＝90°，点D 在BC 上，点E 在BC 的延长线上，且∠DAE＝45°，则BD2＋CE2＝DE2．

BCD

可以通过旋转、翻折的方法来证明，如图：

EFA

BCD

FEABCD

②将等腰直角三角形变成任意的等腰三角形：如图，在△ABC中，AB＝AC，点D，E在BC上，且∠DAE＝12∠BAC，则以BD，DE，EC为三边长的三角形有一个内角度数为180°

－∠BAC．

EBCAD 可以通过旋转、翻折的方法将BD，DE，EC转移到一个三角形中，如图：

FEBCAD FEBCAD 3 / 9

2．正方形角含半角如图1，在正方形ABCD中，点E，F分别在边BC，CD上，∠EAF＝45°，连结EF，则：

45°

图1F

CDE

图2GFEABDC 45°图3HFEABDC （1）EF＝BE＋DF; （2）如图2，过点A作AG⊥EF于点G，则AG＝AD; （3）如图3，连结BD交AE于点H，连结FH．则FH⊥AE．（1）如图4，将△ABE绕点A逆时针旋转90°得到△ADI证明．

图4IF

EAB

DC 则∠IAF＝∠EAF＝45°，AI＝AE，所以△AEF∽△AIF（SAS），所以EF＝IF＝DI＋DF＝BE＋DF．（2）因为△AEF∽△AIF，AG⊥EF，AD⊥IF，所以AG＝AD．（3）由∠HAF＝∠HDF＝45°可得A，D，F，H 四点共圆，从而∠AHF＝180°－∠ADF＝90°，即FH⊥AE．【拓展】①如图，在正方形ABCD中，点E，F分别在边CB，DC 的延长线上，∠EAF＝45°，连结EF，则EF＝DF－BE．

FABCDE

可以通过旋转的方法来证明.如图: 4 / 9

EBCDAFG ②如图，在一组邻边相等、对角互补的四边形ABCD 中，AB=AD，∠BAD+∠C=180 °，

点E，F分别在BC、CD上，∠EAF=12∠BAD，连结EF，则EF=BE+DF.

FDCE

可以通过旋转的方法来证明.如图: AB

FDCEG 例题讲解例1 如图1，点E、F分别在正方形ABCD的边BC、CD上，∠EAF＝45°. （1）试判断BE、EF、FD之间的数量关系. （2）如图2，在四边形ABCD中，∠BAD≠90°，AB＝AD．∠B＋∠D＝180°，点E、F分别在BC、CD上，则当∠EAF 与∠BAD 满足关系时，仍

有EF＝BE＋FD. （3）如图3．在某公园的同一水平面上，四条通道围成四边形ABCD.已知AB＝AD ＝80m，∠B＝60°，∠ADC＝120°，∠BAD＝150°，道路BC，CD上分别有景点

E，F，且AE⊥AD．DF＝40（3－1）m．现要在E、F之间修一条笔直的道路，求

这条道路EF的长．（结果取整数，参考数据：2＝1.41，3＝1.73） 5 / 9

图1FADCBE

图2

ABDCEF图3

解：（1）由“正方形内含半角模型”可得EF＝BE＋FD．（2）∠BAD＝2∠EAF，理由如下：如图4，延长CD至点G，使得DG＝BE．连结AG. 易证△ABE≌△ADG（SAS）. 所以AE＝AG，即EF＝BE＋DF＝DG＋DF＝GF. 从而证得△AEF≌△AGF（ SSS）．

所以∠EAF＝∠GAF＝12∠EAG＝12∠BAD.

图4G

DCE

图5

ABE

（3）如图5，将△ABE绕点A逆时针旋转1 50°至△ADG．连结AF．由题意可得∠BAE＝60° 所以△ABE 和△ADG均为等腰直角三角形. 过点A作 AH⊥DG于点H．则

DH＝12AD＝40m，AH＝32 AD＝403 m.

而DF＝40（3－1）m. 所以∠EAF＝∠GAF＝45°. 可得△EAF≌△GAF（SAS）．

所以EF ＝GF＝80m+40（3－l）m≈109. 2m. 例2如图，正方形ABCD的边长为a，BM、DN分别平分正方形的两个外角，且满足∠MA N＝45°．连结MC、NC、MN．（1）与△ABM相似的三角形是，BMDN＝（用含有a的代数式表示）；（2）求∠MCN的度数； 6 / 9

（3）请你猜想线段BM、DN和MN之间的等量关系，并证明你的结论. NAD

CBM 解：（1）△NDA，2a. （2）由（1）可得BMABADND，所以BMDCBCDN．易证∠CBM＝∠NDC＝45°，所以△BCM∽△DNC．则∠BCM＝∠DNC，所以 ∠MCN =360°一∠BCD一∠BCM一∠DCN ＝270°－（∠DNC+∠DCN）＝270°－（180°－∠DNC）＝135°．

（3） 222BMDNMN，证明如下：如图，将△ADN绕点A顺时针旋转90°，得到△ABE，连结EM. 易得AE＝AN. ∠MAE＝∠MAN＝45°，∠EBM＝90°，所以△A ME≌△AMN.（SAS）. 则ME＝MN．

在Rt△BME中，222BMBEEM

所以222BMDNEM.

ENBC

M 倒3 如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠BCD＝90°，AB＝BC＋AD，∠DAC＝45°，E为CD上一点，且∠BAE＝45°.若CD＝4，求△ABE的面积. 7 / 9

图1BADC

E 解：如图1．过点A作CB的垂线，交CB的延长线于点F.由∠DAC=45°，∠ADC＝90°，可得AD＝CD. 所以四边形ADCF为正方形. 从而AF＝ FC＝4．令BC＝m，则AB＝4＋m，BF＝4－m．在Rt△AFB中，有16＋（4－m）2一（4＋m）2 所以AB＝5，BF＝3．如图2．将△ADE绕点A逆时针旋转90°至△AFG. 易证△AGH≌△AEB．令DE＝n，则CE＝4 －n，BE＝BG＝3＋n

在Rt△BCE中，有1+（4－n）2＝（3＋n）2，解得n＝47.

所以BG＝257. 从而15027ABEABGSSAFBG.

图2FB

ADCEG

进阶训练 1.如图，等边△ABC的边长为1，D是△ABC外一点且∠BDC＝120°，BD＝CD，∠MDN ＝60°，求△AMN的周长．

8 / 9

BCM

△AMN的周长是2 【提示】如图，延长AC至点E，使得CE ＝BM，连结DE .先证△BMD≌△CED，再证△MDN≌△EDN即可.

END

2．如图，在正方形ABCD中，连结BD，E、F是边BC，CD上的点，△CEF的周长是正方形ABCD周长的一半，AE、AF分别与BD交于M、N，试判断线段BM、DN和MN之间的数量关系，并证明．

NMCDFEB

解：BM2＋DN2＝MN2．【提示】由△CEF周长是正方形ABCD周长的一半，想到“正方形角含半角”，从而旋转构

造辅助线解决问题（如图1），证△AEF≌△AGF，得∠MAN＝12∠BAD＝4，然后，再由“等腰直角三角形含半角”（如图2）即可证得．