中考数学压轴题专题角含半角模型

专题15 角含半角模型

破题策略

1． 等腰直角三角形角含半角

如图，在△ABC 中，AB ＝AC ，∠BAC ＝90°，点D ，E 在BC 上且∠DAE ＝45° （1） △BAE ∽△ADE ∽△CDA

（2）BD 2＋CE 2＝DE 2

．

45°

E

A B

C

D

证明（1）易得∠ADC ＝∠B ＋∠BAD ＝∠EAB ， 所以△BAE ∽△ADE ∽△CD A ．

（2）方法一（旋转法）：如图1，将△ABD 绕点A 逆时针旋转90°得到△ACF ，连结EF ．

45°

F

E

A B

C

D

则∠EAF ＝∠EAD ＝45°，AF ＝AD ， 所以△ADE ∽△FAE （ SAS ）． 所以DE ＝ EF ．

而CF ＝BD ，∠FCE ＝∠FCA ＋∠ACE ＝90°，

所以BD 2＋ CE 2＝CF 2＋CE 2＝EF 2＝DE 2

．

方法二（翻折法）：如图2，作点B 关于AD 的对称点F ，连结AF ，DF ，EF ．

45°

E

A B

C

D

因为∠BAD ＋∠EAC ＝∠DAF ＋∠EAF ， 又因为∠BAD ＝∠DAF ，

则∠FAE ＝∠CAE ，AF ＝AB ＝AC ， 所以△FAE ∽△CAE （SAS ）． 所以EF ＝ E C ．

而DF ＝BD ， ∠DFE ＝∠AFD ＋ ∠AFE ＝90°，

所以BD 2＋ EC 2＝ FD 2＋ EF 2＝ DE 2

． 【拓展】①如图，在△ ABC 中，AB ＝AC ，∠BAC ＝90°，点D 在BC 上，点E 在BC 的

延长线上，且∠DAE ＝45°，则BD 2＋CE 2＝DE 2

．

E

D

可以通过旋转、翻折的方法来证明，如图：

E

A

D

F

E

A

D

②将等腰直角三角形变成任意的等腰三角形：如图，在△ABC 中，AB ＝AC ，点D ，E 在

BC 上，且∠DAE ＝1

2

∠BAC ，则以BD ，DE ，EC 为三边长的三角形有一个内角度数为180°

－∠BA C ．

B

可以通过旋转、翻折的方法将BD ，DE ，EC 转移到一个三角形中，如图：

B

C

E

B

D

2． 正方形角含半角

如图1，在正方形ABCD 中，点E ，F 分别在边BC ，CD 上，∠EAF ＝45°，连结EF ，则：

45°

图1

F A

B

C

D E

图2

G

F E A B D

C

45°

图3

H F E

A

B

D

C

（1）EF ＝BE ＋DF;

（2）如图2，过点A 作AG ⊥EF 于点G ，则AG ＝AD ;

（3）如图3，连结BD 交AE 于点H ，连结FH ． 则FH ⊥AE ．

（1）如图4，将△ABE 绕点A 逆时针旋转90°得到△ADI 证明．

图4

I

F E

A

B D

C

则∠IAF ＝∠EAF ＝45°，AI ＝AE ， 所以△AEF ∽△AIF （SAS ），

所以EF ＝IF ＝DI ＋DF ＝BE ＋DF ．

（2）因为△AEF ∽△AIF ，AG ⊥EF ，AD ⊥IF ， 所以AG ＝A D ．

（3）由∠HAF ＝∠HDF ＝45°可得A ，D ，F ，H 四点共圆， 从而∠AHF ＝180°－∠ADF ＝90°， 即FH ⊥AE ．

【拓展】①如图，在正方形ABCD 中，点E ，F 分别在边CB ，DC 的延长线上，∠EAF ＝45°，连结EF ，则EF ＝DF －BE ．

F B

C E

可以通过旋转的方法来证明.如图:

E

B

C D

A

F G

②如图，在一组邻边相等、对角互补的四边形ABCD 中，AB =AD ，∠BAD +∠C =180 °，点E ，F 分别在BC 、CD 上，∠EAF =

1

2

∠BAD ，连结EF ，则EF=BE+DF. A

B

F

D

C

E

可以通过旋转的方法来证明.如图:

A

B

F

D

C

E G

例题讲解

例1 如图1，点E 、F 分别在正方形ABCD 的边BC 、CD 上，∠EAF ＝45°.

（1） 试判断BE 、EF 、FD 之间的数量关系.

（2） 如图2，在四边形ABCD 中，∠BAD ≠90°，AB ＝AD ．∠B ＋∠D ＝180°，点E 、

F 分别在BC 、CD 上，则当∠EAF 与∠BAD 满足 关系时，仍

有EF ＝BE ＋FD .

（3）如图3．在某公园的同一水平面上，四条通道围成四边形ABCD .已知AB ＝AD ＝80m ，∠B ＝60°，∠ADC ＝120°，∠BAD ＝150°，道路BC ，CD 上分别有景点 E ，F ，且AE ⊥AD ．DF ＝40（3－1）m ．现要在E 、F 之间修一条笔直的道路，求

这条道路EF 的长．（2＝1.413＝1.73）