高二数学单元练习题
高二数学同步单元练习(必修2) 专题03 空间几何体的表面积与体积(B卷) Word版含解析
希望可以帮到您（测试时间：120分钟满分：150分）第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知圆柱与圆锥的底面积相等,高也相等,它们的体积分别为V1和V2,则V1∶V2=()A.1∶3B.1∶1C.2∶1D.3∶1解析:V1∶V2=(Sh)∶=3∶1.答案:D2.将一正方体截去四个角后,得到一个四面体,这个四面体的体积是原正方体体积的()A. B. C. D.答案:B3.若一个圆台的正视图如图所示,则其侧面积等于()A.6B.6πC.3πD.6π解析:圆台的两底面半径分别是1,2,高为2,则母线长为,则其侧面积等于π(1+2)×=3π.答案:C4.(2015福建高考)某几何体的三视图如图所示,则该几何体的表面积等于()A. 8+2B.11+2C.14+2D.15答案:B5.若一个圆柱的侧面展开图是一个正方形,则这个圆柱的全面积与侧面积的比是()A. B. C. D.解析:设正方形的边长为a,圆柱的底面圆的半径为r,则2πr=a,r=,所以圆柱的底面积为,侧面积为a2,全面积与侧面积的比是.答案:D6.一个正方体内接于表面积为4π的球,则正方体的表面积等于()A.4B.8C.8D.8解析:设正方体棱长为x,球半径为R,则S球=4πR2=4π,∴R=1.又∵正方体内接于球,∴x=2R=2,∴x=,∴S正=6x2=6×=8.答案:B7.有一个球与棱长为a的正方体的12条棱都相切,则这个球的体积应为()A.a3B.a3C.a3D.a3解析:由题意可知正方体的面对角线是球的直径,设球的半径为r,则r=a,故V=a3.答案:C8.平面α截球O的球面所得圆的半径为1,球心O到平面α的距离为,则此球的体积为()A.πB.4πC.4πD.6π解析:9.下图是一个几何体的三视图,根据图中数据,可得该几何体的表面积是()A.9πB.10πC.11πD.12π答案:D10.用与球心距离为1的平面去截球,所得截面面积为π,则球的体积为()A. B. C.8π D.解析:设球的半径为R,截面圆的半径为r,所得截面圆的半径为r=1,因此球的半径R=,球的体积为πR3=.答案:D11.(2015安徽高考)一个四面体的三视图如图所示,则该四面体的表面积是()A.1+B.1+2C.2+D.2解析:由三视图可得该四面体的直观图如图所示,平面ABD⊥平面BCD,△ABD与△BCD为全等的等腰直角三角形,AB=AD=BC=CD=.取BD的中点O,连接AO,CO,则AO⊥CO,AO=CO=1.由勾股定理得AC=,因此△ABC与△ACD为全等的正三角形,由三角形面积公式得S△ABC=S△ACD=,S△ABD=S△BCD=1,所以四面体的表面积为2+.答案:C12.(2016浙江嘉兴一中高二期中)如图,某几何体的正视图与侧视图都是边长为1的正方形,且体积为.则该几何体的俯视图可以是()答案:C第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（本大题共4小题，每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.半径为2的半圆卷成一个圆锥,则它的体积为.解析:由题意可知该圆锥的侧面展开图为半圆,如图,设圆锥底面半径为r,高为h,则解得故它的体积为×π×12×.答案:14.一个圆柱和一个圆锥的轴截面分别是边长为a的正方形和正三角形,则它们的表面积之比为.解析:S柱=2×π+2π··a=πa2,S锥=π+π··a=πa2.∴S柱∶S锥=2∶1.答案:2∶115.如图,已知底面半径为r的圆柱被一个平面所截,剩下部分母线长的最大值为a,最小值为b,那么圆柱被截后剩下部分的体积是.16.如图,球O的半径为5,一个内接圆台的两底面半径分别为3和4(球心O在圆台的两底面之间),则圆台的体积为.解析:作经过球心的截面(如图),O1A=3,O2B=4,OA=OB=5,则OO1=4,OO2=3,O1O2=7,V=(32++42)×7=.答案:三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17.如图,在底面半径为2,母线长为4的圆锥中内接一个高为的圆柱,求圆柱的表面积.解:∴,即,∴r=1.S底=2πr2=2π,S侧=2πr·h=2π.∴S=S底+S侧=2π+2π=(2+2)π.18.已知正三棱锥V-ABC的正视图、俯视图如图所示,其中VA=4,AC=2,求该三棱锥的表面积.解:由正视图与俯视图可得正三棱锥的直观图如图所示,故三棱锥V-ABC的表面积为3S△VBC+S△ABC=3+3=3().19.已知正四棱锥底面正方形的边长为4 cm,高与斜高的夹角为30°,求正四棱锥的侧面积和表面积.解:如图,正四棱锥的高PO,斜高PE,底面边心距OE组成Rt△POE.∵OE=2 cm,∠OPE=30°,∴PE=2OE=4 cm.因此S侧=4×PE×BC=4××4×4=32(cm2),S表面积=S侧+S底=32+16=48(cm2).20.三棱柱ABC-A1B1C1中,侧棱垂直于底面,且各顶点都在同一球面上.若AB=AC=AA1=2,∠BAC=120°,求此球的表面积.解:设球心为O,球半径为R,△ABC外接圆的圆心为M,21.据说阿基米德死后,敌军将领给他建了一块墓碑,在墓碑上刻了一个图案(如图),图案中球的直径与圆柱底面的直径和圆柱的高相等,圆锥的顶点为圆柱上底面的圆心,圆锥的底面是圆柱的下底面.试计算出图形中圆锥、球、圆柱的体积比.解:设圆柱的底面半径为r,高为h,则V圆柱=πr2h,由题意,圆锥的底面半径为r,高为h,∴V圆锥=πr2h.球的半径为r,∴V球=πr3.又h=2r,∴V圆锥∶V球∶V圆柱=∶(πr2h)=∶(2πr3)=1∶2∶3.22.在四棱锥S-ABCD中,底面ABCD是边长为3的正方形,且各侧棱长均为2.求该四棱锥外接球的表面积.解:。
高二下数学第一章导数及其应用单元检测(含答案)
阶段质量检测：导数及其应用(时间： 120分钟 满分：150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．以正弦曲线y ＝sin x 上一点P 为切点的切线为直线l ，则直线l 的倾斜角的范围是( ) A.⎣⎡⎦⎤0，π4∪⎣⎡⎭⎫3π4，π B ．[0，π) C.⎣⎡⎦⎤π4，3π4 D.⎣⎡⎦⎤0，π4∪⎝⎛⎦⎤π2，3π4 2．函数f (x )＝x ＋2cos x 在⎣⎡⎦⎤0， π2上的极大值点为( ) A ．0 B.π6 C.π3 D.π23．函数f (x )的定义域为开区间(a ，b )，导函数f ′(x )在(a ，b )内的图象如图所示，则函数f (x )在开区间(a ，b )内有极小值点( )A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个 4．若函数()ln f x x a x=+不是单调函数,则实数a 的取值范围是（ ）．A ．[)0,+∞B ．(],0-∞C ．(),0-∞D ．()0,+∞5．若e x ≥k ＋x 在R 上恒成立，则实数k 的取值范围为( ) A ．(－∞，1] B ．[1，＋∞) C ．(－∞，－1] D ．[－1，＋∞)6．若函数f (x )＝x 33－a 2x 2＋x ＋1在区间⎝⎛⎭⎫13，4上有极值点，则实数a 的取值范围是( ) A.⎝⎛⎭⎫2，103 B.⎣⎡⎭⎫2，103 C.⎝⎛⎭⎫103，174 D.⎝⎛⎭⎫2，174 7．函数f (x )＝13ax 3＋12ax 2－2ax ＋1的图象经过四个象限，则实数a 的取值范围是( )A.⎝⎛⎭⎫－310，67B.⎝⎛⎭⎫－85，－316C.⎝⎛⎭⎫－83，－116D.⎝⎛⎭⎫－∞，－310∪⎝⎛⎭⎫67，＋∞ 8.已知函数f (x )的导函数f ′(x )＝a (x －b )2＋c 的图象如图所示，则函数f (x )的图象可能是( )9．某产品的销售收入y 1(万元)是产量x (千台)的函数：y 1＝17x 2，生产成本y 2(万元)是产量x (千台)的函数：y 2＝2x 3－x 2(x ＞0)，为使利润最大，应生产( ) A ．6千台 B ．7千台 C ．8千台D ．9千台10．.已知f (x )是定义在区间(0，＋∞)内的函数，其导函数为f ′(x )，且不等式xf ′(x )<2f (x )恒成立，则( )A.4f (1)<f (2)B.4f (1)>f (2)C.f (1)<4f (2)D.f (1)>4f ′(2)11．已知y ＝f (x )是定义在R 上的奇函数，且当x <0时不等式f (x )＋xf ′(x )<0成立，若a ＝30.3 ·f (30.3)，b ＝log π3·f (log π3)，c ＝log 319·f ⎝ ⎛⎭⎪⎫log 319，则a ，b ，c 的大小关系是( )A.a >b >cB.c >b >aC.a >c >bD.c >a >b12．若函数f (x )＝sin xx ，且0<x 1<x 2<1，设a ＝21sin x x ，12sin b x x =，则a ，b 的大小关系是( )A ．a >bB ．a <bC ．a ＝bD ．a ，b 的大小不能确定二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，满分20分．把答案填在题中的横线上) 13．若f (x )＝13x 3－f ′(1)x 2＋x ＋5，则f ′(1)＝________.14．若函数f (x )＝12x 2＋(a －1)x －a ln x 存在唯一的极值，且此极值不小于1，则实数a 的取值范围为________．15．若函数f (x )＝4xx 2＋1在区间(m,2m ＋1)上单调递增，则实数m 的取值范围是__________．16．已知函数f (x )满足f (x )＝f (π－x )，且当x ∈⎝⎛⎭⎫－π2，π2时，f (x )＝x ＋sin x ，设a ＝f (1)，b ＝f (2)，c ＝f (3)，则a ，b ，c 的大小关系是________．三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)17． (本小题满分12分)若函数y ＝f (x )在x ＝x 0处取得极大值或极小值，则称x 0为函数y ＝f (x )的极值点．已知a ，b 是实数，1和－1是函数f (x )＝x 3＋ax 2＋bx 的两个极值点． (1)求a 和b 的值；(2)设函数g (x )的导函数g ′(x )＝f (x )＋2，求g (x )的极值点．18． (2021·百师联盟考试)设函数f (x )＝ln x ＋ax(a 为常数).(2)不等式f(x)≥1在x∈(0，1]上恒成立，求实数a的取值范围.19．(本小题满分12分)某个体户计划经销A，B两种商品，据调查统计，当投资额为x(x≥0)万元时，在经销A，B商品中所获得的收益分别为f(x)万元与g(x)万元，其中f(x)＝a(x－1)＋2，g(x)＝6ln(x＋b)(a＞0，b＞0)．已知投资额为零时收益为零．(1)求a，b的值；(2)如果该个体户准备投入5万元经销这两种商品，请你帮他制定一个资金投入方案，使他能获得最大利润．20．(本小题满分12分) (2020·全国Ⅰ卷)已知函数f(x)＝e x＋ax2－x.(1)当a＝1时，讨论f(x)的单调性；(2)当x≥0时，f(x)≥12x3＋1，求a的取值范围.21．(本小题满分12分)已知函数f(x)＝ln x＋ax＋1(a∈R).(2)若函数f (x )的图象与x 轴相切，求证：对于任意互不相等的正实数x 1，x 2，都有f （x 2）－f （x 1）x 2－x 1<1x 1＋1x 2.22． (本小题满分12分) 已知函数f (x )＝x 2－m ln x ，h (x )＝x 2－x ＋a . (1)当a ＝0时，f (x )≥h (x )在(1，＋∞)上恒成立，求实数m 的取值范围；(2)当m ＝2时，若函数k (x )＝f (x )－h (x )在区间(1,3)上恰有两个不同零点，求实数a 的取值范围．参考答案1.【解析】选A y ′＝cos x ，∵cos x ∈[－1,1]，∴切线的斜率范围是[－1,1]，∴倾斜角的范围是⎣⎡⎦⎤0，π4∪⎣⎡⎭⎫3π4，π. 2.答案：B3.【解析】选A 设极值点依次为x 1，x 2，x 3且a ＜x 1＜x 2＜x 3＜b ，则f (x )在(a ，x 1)，(x 2，x 3)上递增，在(x 1，x 2)，(x 3，b )上递减，因此，x 1，x 3是极大值点，只有x 2是极小值点．4.【答案】C【解析】由题意知0x >,()1af x x'=+,要使函数()ln f x x a x =+不是单调函数,则需方程10ax+=在0x >上有解,即x a =-,所以0a <,故选C ． 5.解析：选A 由e x ≥k ＋x ，得k ≤e x －x . 令f (x )＝e x －x ，∴f ′(x )＝e x －1. 当f ′(x )<0时，解得x <0，当f ′(x )>0时，解得x >0.∴f (x )在(－∞，0)上是减函数，在(0，＋∞)上是增函数．∴f (x )min ＝f (0)＝1. ∴实数k 的取值范围为(－∞，1]．故选A.6.解析：选D 因为f (x )＝x 33－a 2x 2＋x ＋1，所以f ′(x )＝x 2－ax ＋1.函数f (x )＝x 33－a 2x 2＋x ＋1在区间⎝⎛⎭⎫13，4上有极值点可化为f ′(x )＝x 2－ax ＋1＝0在区间⎝⎛⎭⎫13，4上有解， 即a ＝x ＋1x 在区间⎝⎛⎭⎫13，4上有解，设t (x )＝x ＋1x ，则t ′(x )＝1－1x 2， 令t ′(x )>0，得1<x <4，令t ′(x )<0，得13<x <1.所以t (x )在(1,4)上单调递增，在⎝⎛⎭⎫13，1上单调递减．所以t (x )min ＝t (1)＝2，又t ⎝⎛⎭⎫13＝103，t (4)＝174，所以a ∈⎝⎛⎭⎫2，174. 7.【解析】选D f ′(x )＝ax 2＋ax －2a ＝a (x ＋2)(x －1)，要使函数f (x )的图象经过四个象限，则f (－2)f (1)<0，即⎝⎛⎭⎫103a ＋1⎝⎛⎭⎫－76a ＋1<0，解得a <－310或a >67. 故选D. 8.【解析】选D 由导函数图象可知，当x <0时，函数f (x )递减，排除A 、B ；当0<x <x 1时，f ′(x )>0，函数f (x )递增．因此，当x ＝0时，f (x )取得极小值，故选D.9.【解析】选A 设利润为y ，则y ＝y 1－y 2＝17x 2－(2x 3－x 2)＝18x 2－2x 3，y ′＝36x －6x 2，令y ′＝0得x ＝6或x ＝0(舍)，f (x )在(0,6)上是增函数，在(6，＋∞)上是减函数，∴x ＝6时y 取得最大值．10.答案 B【解析】设函数g (x )＝f （x ）x 2(x >0)，则g ′(x )＝x 2f ′（x ）－2xf （x ）x 4＝xf ′（x ）－2f （x ）x 3<0，所以函数g (x )在(0，＋∞)上为减函数，因此g (1)>g (2)， 即f （1）12>f （2）22，所以4f (1)>f (2). 11.答案 D【解析】 设g (x )＝xf (x )，则g ′(x )＝f (x )＋xf ′(x )，又当x <0时，f (x )＋xf ′(x )<0，∴x <0时，g ′(x )<0，g (x )在(－∞，0)上单调递减.由y ＝f (x )在R 上为奇函数， 知g (x )在R 上为偶函数，∴g (x )在(0，＋∞)上是增函数， ∴c ＝g ⎝ ⎛⎭⎪⎫log 319＝g (－2)＝g (2)，又0<log π3<1<30.3<3<2， ∴g (log π3)<g (30.3)<g (2)，即b <a <c .12.【解析】选A f ′(x )＝x cos x －sin xx 2，令g (x )＝x cos x －sin x ，则g ′(x )＝－x sin x ＋cos x－cos x ＝－x sin x .∵0<x <1，∴g ′(x )<0，即函数g (x )在(0,1)上是减函数，得g (x )<g (0)＝0，故f ′(x )<0，函数f (x )在(0,1)上是减函数，由0<x 1<x 2<1得12211212sin sin ,sin sin x x x x x x x x >∴>,a >b ，故选A. 13.【解析】f ′(x )＝x 2－2f ′(1)x ＋1，令x ＝1，得f ′(1)＝23. 答案：2314.【解析】 对函数求导得f ′(x )＝x －1＋a ⎝⎛⎭⎫1－1x ＝(x ＋a )(x －1)x ，x >0，因为函数存在唯一的极值，所以导函数存在唯一的零点，且零点大于0，故x ＝1是唯一的极值点，此时－a ≤0，且f (1)＝－12＋a ≥1，所以a ≥32.答案 ⎣⎡⎭⎫32，＋∞ 15.【解析】f ′(x )＝4－4x 2(x 2＋1)2，令f ′(x )＞0，得－1＜x ＜1，即函数f (x )的增区间为(－1,1)．又f (x )在(m,2m ＋1)上单调递增，所以⎩⎪⎨⎪⎧m ≥－1，m ＜2m ＋1，2m ＋1≤1.解得－1＜m ≤0.答案：(－1,0]16.【解析】f (2)＝f (π－2)，f (3)＝f (π－3)，因为f ′(x )＝1＋cos x≥0，故f (x )在⎝⎛⎭⎫－π2，π2上是增函数，∵π2>π－2>1>π－3>0，∴f (π－2)>f (1)>f (π－3)，即c <a <b .答案：c <a <b17.【解析】(1)由题设知f ′(x )＝3x 2＋2ax ＋b ，且f ′(－1)＝3－2a ＋b ＝0，f ′(1)＝3＋2a ＋b ＝0，解得a ＝0，b ＝－3.(2)由(1)知f (x )＝x 3－3x .因为f (x )＋2＝(x －1)2(x ＋2)，所以g ′(x )＝0的根为x 1＝x 2＝1，x 3＝－2，于是函数g (x )的极值点只可能是1或－2.当x ＜－2时，g ′(x )＜0；当－2＜x ＜1时， g ′(x )＞0，故－2是g (x )的极值点．当－2＜x ＜1或x ＞1时，g ′(x )＞0， 故1不是g (x )的极值点．所以g (x )的极值点为－2. 18.【解析】 (1)函数f (x )的定义域为(0，＋∞)，f ′(x )＝－a x 2＋1x ＝x －ax 2，当a ≤0时，又x >0，∴x －a >0，∴f ′(x )>0， ∴f (x )在定义域(0，＋∞)上单调递增；当a >0时，若x >a ，则f ′(x )>0，∴f (x )单调递增； 若0<x <a ，则f ′(x )<0，∴f (x )单调递减.综上可知：当a ≤0时，f (x )在(0，＋∞)上是增函数；当a >0时，f (x )在区间(0，a )上是减函数，在区间(a ，＋∞)上是增函数. (2)f (x )≥1⇔a x ＋ln x ≥1⇔ax ≥－ln x ＋1⇔a ≥ －x ln x ＋x 对任意x ∈(0，1]恒成立. 令g (x )＝－x ln x ＋x ，x ∈(0，1].则g ′(x )＝－ln x －x ·1x ＋1＝－ln x ≥0，x ∈(0，1]， ∴g (x )在(0，1]上单调递增，∴g (x )max ＝g (1)＝1， ∴a ≥1，故a 的取值范围为[1，＋∞).19.【解析】(1)由投资额为零时收益为零，可知f (0)＝－a ＋2＝0，g (0)＝6ln b ＝0， 解得a ＝2，b ＝1.(2)由(1)可得f (x )＝2x ，g (x )＝6ln(x ＋1)．设投入经销B 商品的资金为x 万元(0＜x ≤5)， 则投入经销A 商品的资金为(5－x )万元，设所获得的收益为S (x )万元， 则S (x )＝2(5－x )＋6ln(x ＋1)＝6ln(x ＋1)－2x ＋10(0＜x ≤5)．S ′(x )＝6x ＋1－2，令S ′(x )＝0，得x ＝2.当0＜x ＜2时，S ′(x )＞0，函数S (x )单调递增；当2＜x ≤5时，S ′(x )＜0，函数S (x )单调递减．所以当x ＝2时，函数S (x )取得最大值， S (x )max ＝S (2)＝6ln 3＋6≈12.6万元．所以，当投入经销A 商品3万元，B 商品2万元时， 他可获得最大收益，收益的最大值约为12.6万元．20.解 (1)当a ＝1时，f (x )＝e x ＋x 2－x ，x ∈R ，f ′(x )＝e x ＋2x －1.故当x ∈(－∞，0)时，f ′(x )<0； 当x ∈(0，＋∞)时，f ′(x )>0.所以f (x )在(－∞，0)单调递减，在(0，＋∞)单调递增. (2)由f (x )≥12x 3＋1得，e x ＋ax 2－x ≥12x 3＋1，其中x ≥0， ①当x ＝0时，不等式为1≥1，显然成立，此时a ∈R .②当x >0时，分离参数a ，得a ≥－e x －12x 3－x －1x 2，记g (x )＝－e x －12x 3－x －1x 2，g ′(x )＝－（x －2）⎝ ⎛⎭⎪⎫e x －12x 2－x －1x 3.令h (x )＝e x－12x 2－x －1(x >0)， 则h ′(x )＝e x －x －1，令H (x )＝e x －x －1，H ′(x )＝e x －1>0，故h ′(x )在(0，＋∞)上是增函数，因此h ′(x )>h ′(0)＝0，故函数h (x )在(0，＋∞)上递增，∴h (x )>h (0)＝0，即e x －12x 2－x －1>0恒成立，故当x ∈(0，2)时，g ′(x )>0，g (x )单调递增；当x ∈(2，＋∞)时，g ′(x )<0，g (x )单调递减.因此，g (x )max ＝g (2)＝7－e 24，综上可得，实数a 的取值范围是⎣⎢⎡⎭⎪⎫7－e 24，＋∞. 21.【解析】(1) 函数f (x )的定义域为(0，＋∞)，f ′(x )＝1x ＋a ＝ax ＋1x .当a ≥0时，f ′(x )>0，f (x )在(0，＋∞)上单调递增； 当a <0时，由f ′(x )＝0，得x ＝－1a .若x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，－1a ，f ′(x )>0，f (x )单调递增；若x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－1a ，＋∞，f ′(x )<0，f (x )单调递减.综上所述：当a ≥0时，f (x )在(0，＋∞)上单调递增；当a <0时，f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，－1a 单调递增，在⎝ ⎛⎭⎪⎫－1a ，＋∞上单调递减.(2)证明 由(1)知，当a ≥0时，f (x )在(0，＋∞)上单调递增，不满足条件. 所以a <0，此时f (x )的极大值为f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－1a ＝－ln(－a )，由已知得－ln(－a )＝0，故a ＝－1，此时f (x )＝ln x －x ＋1.不妨设0<x 1<x 2，则f （x 2）－f （x 1）x 2－x 1<1x 1＋1x 2等价于ln x 2x 1<x 2x 1－x 1x 2＋x 2－x 1，即证：ln x 2x 1－x 2x 1＋x 1x 2<x 2－x 1.令g (x )＝ln x －x ＋1x (x >1)，则g ′(x )＝1x －1－1x 2＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122＋34x 2<0，故g (x )在(1，＋∞)单调递减，所以g (x )<g (1)＝0<x 2－x 1.所以对于任意互不相等的正实数x 1，x 2， 都有f （x 2）－f （x 1）x 2－x 1<1x 1＋1x 2成立.22.【解析】(1)由f (x )≥h (x )，得m ≤xln x 在(1，＋∞)上恒成立．令g (x )＝xln x ，则g ′(x )＝ln x －1(ln x )2，当x ∈(1，e)时，g ′(x )＜0；当x ∈(e ，＋∞)时，g ′(x )＞0，所以g (x )在(1，e)上递减，在(e ，＋∞)上递增． 故当x ＝e 时，g (x )的最小值为g (e)＝e.所以m ≤e.即m 的取值范围是(－∞，e]． (2)由已知可得k (x )＝x －2ln x －a .函数k (x )在(1,3)上恰有两个不同零点，相当于函数φ(x )＝x －2ln x 与直线y ＝a 有两个不同的交点．φ′(x )＝1－2x ＝x －2x ，当x ∈(1,2)时，φ′(x )＜0，φ(x )递减，当x ∈(2,3)时，φ′(x )＞0，φ(x )递增．又φ(1)＝1，φ(2)＝2－2ln 2，φ(3)＝3－2ln 3，要使直线y ＝a 与函数φ(x )＝x －2ln x 有两个交点，则2－2ln 2＜a ＜3－2ln 3.即实数a 的取值范围是(2－2ln 2,3－2ln 3)．。
高二数学第一单元练习题
高二数学第一单元练习题一、选择题1. 设函数 f(x) = 2x^2 - 3x + 1，求其在区间[0,2]上的最大值和最小值。
2. 已知函数 f(x) = x^3 - 3x + 2，求其在点 x = 1 处的切线方程。
3. 已知直线 L1 过点 A(2,1) 和点 B(4,5)，直线 L2 过点 C(-1,3) 和点D(1,7)，判断直线 L1 和直线 L2 是否平行。
4. 若函数y = ax + b (a ≠ 0) 与 x 轴交于点 A，与 y 轴交于点 B，则直线 AB 的斜率为多少？5. 已知等腰梯形 ABCD，AB ∥ DC，AB = 3DC，AD 和 BC 的交点为 E，求证：DE ∥ AB。
二、解答题1. 某校学生会在自习课期间举行一次幸运抽奖活动，共有10名学生参与。
现在把他们的名字按顺序编号为1到10号，再随机抽取两位幸运学生。
求两位幸运学生的编号和为奇数的概率。
2. 已知一个三角形 ABC，其内角 A 的度数为 80°，边 AC 的长度为5cm，边 BC 的长度为 7cm。
求边 AB 的长度。
3. 现有一艘渔船以等速航行，从 A 码头开出，走直线经过 C 码头到达 B 码头。
测得 AB 的距离为 10km，航行速度为 20km/h。
如果渔船从 C 码头出发，以相同的速度航行，走直线到达 B 码头，则渔船离开 C 码头多久后可以到达 B 码头？4. 现有一个扇形的中心角为 120°，半径为 10cm。
求扇形的面积。
5. 解方程 2x^2 - 3x + 1 = 0，并用图像表示根的位置。
总结：通过以上练习题的解答，我们对高二数学第一单元的内容有了更深入的了解。
这些题目涵盖了函数求值、导数与切线、直线的性质、图形的几何关系和方程的求解等知识点。
希望同学们在解答这些练习题的过程中，能够掌握相关的概念和解题方法，提高数学运算能力和问题解决能力。
高二数学导数单元练习题
高二数学导数单元练习题一．选择题1.设函数f(x)在x=2处可导，且f ′(2)=1，则 =( ) A. 1 B. 2 C 1/2 D 1/42.物体运动的方程为s =41t 4-3，则t =5的瞬时速度为( )y =x 2-1与y =1-x 3在x =x 0处的切线互相垂直，则x 0等于( )A.63636363C.32 D.32或0 4.已知直线 y=x+1 与曲线y=ln(x+a)相切，则a 的值为( ) A.1 B.2 C.-1 D.－25．函数y ＝sin(π4－x )的导数为( )A ．－cos(π4＋x )B ．cos(π4－x ) C ．－sin(π4－x )D ．－sin(x ＋π4)6.设函数则（ ）A.在（－∞,＋∞）单调增加B.在（－∞,＋∞）单调减少C.在（－1,1）单调减少,其余区间单调增加D.在（－1,1）单调增加,其余区间单调减少 7.函数f (x )=x (1-x 2)在［0,1］上的最大值为( ) A.932 B.922 C.923D.83 8.已知函数f (x )的导数为f ′(x )=4x 3-4x ,且图象过点(2,3)，当函数f (x )取得极大值-5时，x 的值应为( )B.0 D.±1 9．若f (x )＝－12x 2＋b ln(x ＋2)在(－1，＋∞)上是减函数，则b 的取值范围是( )A ．[－1，＋∞)B ．(－1，＋∞)C ．(－∞，－1]D ．(－∞，－1)10．一质点做直线运动,由始点起经过t s 后的距离为s =41t 4- 4t 3 + 16t 2, 则速度为零的时刻是 （ ） A.4s 末 B.8s 末 C.0s 与8s 末 D.0s,4s,8s 末 11.函数y =x 2co sx 的导数为 （ ） A . y ′=2x co sx －x 2s i nx B . y ′=2x co sx +x 2s i nx C. y ′=x 2co sx －2xs i nx D. y ′=x co sx －x 2s i nx3()34f x x x =-，[0,1]x ∈，求函数的递减区间 （ ）A.⎪⎭⎫ ⎝⎛-∞-21,B. ⎝⎛⎥⎦⎤-1,21 C.)⎢⎣⎡21,0 D.⎪⎭⎫ ⎝⎛+∞,21 121. 若函数32()1f x x x mx =+++是R 上的单调函数，则实数m 的取值范围是（ ） A. 1(,)3+∞ B. 1(,)3-∞ C. 1[,)3+∞ D. 1(,]3-∞13．函数)0,4(2cos π在点x y =处的切线方程是 （ ）A ．024=++πy xB ．024=+-πy xC ．024=--πy xD ．024=-+πy x14. 设函数()f x 是R 上以5为周期的可导偶函数，则曲线()y f x =在5x =处的切线的斜率为（ ） Ａ．15-Ｂ．0Ｃ．15Ｄ．515. 3(21)y x 在0x 处的导数是 ( ) A 、 0 B 、 1 C 、 3 D 、 616. 一个物体的运动方程为21s t t 其中S 的单位是米，t 的单位是秒，那么物体在3秒末的瞬时速度是 ( ) A 、 7米/秒 B 、6米/秒 C 、 5米/秒 D 、 8米/秒 17..曲线y =2x 3－3x 2共有___ _个极值.1 18. 函数443yx x 在区间[ －2,3 ]上的最小值为 ( ) A 、 72 B 、 36 C 、 12 D 、0 19. 曲线3()2f x x x在0p 处的切线平行于直线41yx ，则0p 点的坐标为A 、( 1 , 0 )B 、( 2 , 8 ) ( )C 、( 1 , 0 )和(－1, －4)D 、( 2 , 8 )和 (－1, －4) 20. 函数323922yx x x x 有 ( )A 、极大值5，极小值－27B 、极大值5，极小值－11C 、极大值5，无极小值D 、极小值－27，无极大值 21、已知函数f(x)在x=1处的导数为1，则xf x f x 2)1()1(lim-+→=( )A ．2B ．1C ．21 D ．41 22、函数)1()1(2-+=x x y 在1=x 处的导数等于( )A ．1B ．2C ．3D ．423、与直线042=+-y x 的平行的抛物线2x y =的切线方程是( ) A ．032=+-y x B ．032=--y xC ．012=+-y xD ．012=--y x24、函数13)(3+-=x x x f 在闭区间[-3，0]上的最大值、最小值分别是( )A ．1，-1B ．1，-17C ．3，-17D ．9，-1925、曲线1323+-=x x y 在点（1，－1）处的切线方程为( b )A ．43-=x yB ．23+-=x yC ．34+-=x yD ．54-=x y26、函数13)(23+-=x x x f 是减函数的区间为( d ’ )A ．),2(+∞B ．)2,(-∞C ．)0,(-∞D ．（0，2）27、函数54)(3++=x x x f 的图象在1=x 处的切线与圆5022=+y x 的位置关系是( b ) A 相切 B. 相交但不过圆心 C. 过圆心 D. 相离 28、函数,93)(23-++=x ax x x f 已知3)(-=x x f 在时取得极值，则a =( )A ．2B ．3C ．4D ．529、设)(x f '是函数)(x f 的导函数，)(x f y '=的图象如右图所示，则)(x f y =的图象最有可能的是( )二、填空题 30. 函数3255y x x x 的单调区间是___________________________;31 2f xx x c 在x = 2处有极大值，则常数c 的值为_________;32 垂直于直线 2x －6y +1 = 0且与曲线3231yx x 相切的直线方程一般形式为_____________________________1033. 若xex f 1)(-=，则0(12)(1)limt f t f t→--= ___________.34. 已知函数2)(23-=+++=x c bx ax x x f 在处取得极值，并且它的图象与直线33+-=x y 在点（1，0）处相切，则函数)(x f 的表达式为 __ __。
高二数学单元练习(算法)
高二数学单元练习（算法）一、选择题1.我国古代数学发展一直处于世界领先水平，特别是宋、元时期的“算法”，其中可以同欧几里德辗转相除法相媲美的是 （ ） A ．割圆术 B ．更相减损术 C ．秦九韶算法 D ．孙子乘余定理2.学习算法，一方面了解我国古代数学家的杰出成就，另一方面，通过算法设计，利用计算机能做许多我们用笔和纸不敢做的有很大计算量的问题，通常我们可以利用的基本算法算法语句是 （ ） A ．输出语句 B ．赋值语句 C ．条件语句 D ．循环语句3.下列程序框中，出口可以有两个流向的是 （ ）A ．起止框B ．输入输出框C ．处理框D ．判断框4.下列给出的赋值语句中正确的是 （ ）A ．3←AB ．M ← —MC ．B ←A ←2D ．x+y ←05.A=15,A=-A+5,最后A 的值为 （ ） A ．-10 B ．20 C ．15 D ．无意义6.此算法的功能是 （ ） A ．a ，b ，c 中最大值 ．a ，b，c 中最小值 ．将a ，b ，c 由小到大排序 ．将a ，b ，c 由大到小排序7.下列伪代码的输出结果是 （ ） A ．1，1 B ．2，1 C ．1，2 D ．2，28.所给是一个算法的伪代码.如果输入的x 的值是20，则输出的y 的值是 （ ）A ．100B ．50C ．25D ．1509.所给算法输出的结果是 （ ）A ．1+3+5+…+2005B ．1×3×5×…×2005C ．求方程1×3×5×…×n=2005中的n 值D ．满足1×3×5×…×n ＞2005的最小整数n10.给出以下四个问题,①输入一个数x ,输出它的相反数.②求面积为6的正方形的周长. ③求三个数a,b,c 中的最大数.④求函数⎩⎨⎧<+≥-=021)(x x x x x f 的函数值. 其中不需要用条件语句来描述其算法的有 ( ) A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 11.阅读下面的两个伪代码对甲乙两程序和输出结果判断正确的是 （ ） A ．程序不同，结果不同B ．程序不同，结果相同C ．程序相同，结果不同D ．程序相同，结果相同12.在上题条件下，假定能将甲、乙两程序“定格”在i=500，即能输出i=500 时一个S 值，则输出结果S （ ） A．甲大乙小 B ．甲乙相同 C ．甲小乙大 D ．不能判断13.下列程序执行后输出的结果是 （ ） A.20 B. 7 C. 6 D. 514.如果以下程序运行后输出的结果是315，那么在程序中While 后面的条件应为（ ）A. 5>iB. 5≥iC. 5<iD. 5≤i 二、填空题 15.下图给出的是计算201614121+⋅⋅⋅+++的值的一个程序框图，其中判断框内应填入的条件是 .16.下边的程序框图（如图所示），能判断任意输入的数x 的奇偶性，其中判断框内的条件是 .17.用秦九韶算法计算多项式1876543)(23456++++++=x x x x x x x f 当4.0=x 时的值时,需要做乘法和加法的次数共 次. 18.读程序，完成下面各题(1)输出结果是 . (2)输出结果是 .三、解答题19.已知函数⎪⎩⎪⎨⎧≥-<≤-<=10113101121x x x x x xy ,输入x 的值,计算y 的值.画出流程图，并写出伪代码.j ←1 s ←0While s ≤10 s ←s+j j ←j+1 End While Print j 第18题（2）x ←1 y ←2 z ←3x ←yy ←z z ←xPrint x, y,z 第18题（1）20.将下列问题的算法用伪代码中的“for ”语句表示（写在下面的框中），并画出流程图.21.设计算法求100991431321211⨯+⋅⋅⋅+⨯+⨯+⨯的值.要求画出程序框图，写出用基本语句编写的程序.答案：1～14 BDDBA BBDDB BCBB15.i ＞10（或n ＞20） 16.M=0 17. 12次 18. (1)2，3，2 (2) 6 19.Read xIf x<1 then y ←xElse If x<10 then y ←2x-1Elsey ←3x-11 End If Print y 20. 21S=0 K=1While k<=99 s=s+1/k(k+1) k=k+1 end while PRINT s END(第21题程序)。
高二数学单元练习题
梯度训练 基 础 强 化 1．某班有男生26人，女生24人，从中选一位同学为数学课代表，则不同选法的个数是( ) A．50 B．26 C．24 D．616 解析 由分类计数原理知，共有26＋24＝50. 答案 A 2．从A地到B地要经过C地和D地，从A地到C地有3条路，从C地到D地有2条路，从D地到B地有4条路，则从A地到B地不同走法的种数是( ) A．3＋2＋4＝9 B．1 C．3×2×4＝24 D．1＋1＋1＝3 解析 由乘法计数原理知，共有3×2×4＝24(种)． 答案 C
3．已知集合A＝{x|－2≤x≤10，x∈Z}，m，n∈A，方程x2m＋y2n＝1表示焦点在x轴上的椭圆，则这样的椭圆共有( ) A．45个 B．55个 C．78个 D．91个 解析 m，n只能取1,2,3，…，10，且m>n，按m取10,9,8，…，3,2可分为9类，共有9＋8＋7＋…＋1＝45(个)． 答案 A 4．从集合A＝{0,1,2,3,4}中任取三个数作为二次函数y＝ax2＋bx＋c的系数a，b，c，则可构成不同的二次函数的个数是( ) A．48 B．59 C．60 D．100 解析 由题意知，a≠0，a可取1,2,3,4中任意一个．有4种取法．同理b有4种取法，c有3种取法．由分步计数原理知，共有4×4×3＝48. 答案 A 5．在两条异面直线a，b上分别有5个点和8个点，则这13个点可以确定不同的平面个数为( ) A．40 B．16 C．13 D．10 解析 直线a上的5个点，每一点都能与直线b确定一个平面．因此，直线a上的5个点分别与直线b可以确定5个平面．因为直线a与b是异面直线，所以这5个平面是不同的平面．同理直线b上的8个点与直线a分别确定8个不同的平面．这样，经过这13个点可以确定5＋8＝13(个)不同的平面． 答案 C 6．5名高中毕业生报考三所重点院校，每人限报且只报一所院校，则不同的报名方法有( ) A．35种 B．53种 C．60种 D．10种 解析 每一名高中毕业生都有3种选择，因此共有3×3×3×3×3＝35(种)． 答案 A 能 力 提 升 7．电子计算机的输入纸带每排有8个穿孔位置，每个穿孔位置可穿孔或不穿孔，则每排最多可产生________种不同的信息． 解析 由题意知，每个穿孔都有2个信息，因此8个穿孔共有28种不同的信息． 答案 256 8．若集合A1、A2满足A1∪A2＝A，则称(A1，A2)为集合A的一种分拆，规定：当且仅当A1＝A2时，(A1，A2)与(A2，A1)为A的同一种分拆，则集合B＝{1,2}的所有不同的分拆种数是( ) A．4 B．6 C．8 D．9 解析 由于元素个数比较少，可采用列举法．当A1＝∅时，A2＝{1,2}；当A1＝{1}时，A2＝{2}或{1,2}；当A1＝{2}时，A2＝{1}或{1,2}；当A1＝{1,2}时，A2＝∅或{1}或{2}或{1,2}．共9种． 答案 D 考 试 高 手 9．如图，表示小明家与学校之间的所有街道，小明去学校时，为了走最短的路，从家走路的方向总是朝东或朝南，则小明总共有几条不同的路可走( )
【高中数学】新人教A版高二单元素养测评卷（一）A[第四章](练习题)
新人教A版高二单元素养测评卷（一）A[第四章](1212)1.数列−12，2，−92，8，−252，…的一个通项公式可以是（）A.a n=(−1)n n22B.a n=(−1)n+1n22C.a n=n22D.a n=−nn+12.数列｛a n｝的前n项和为S n，若S n=2n−1(n∈N∗)，则a2020的值为（）A.2B.3C.2020D.40393.设等差数列｛a n｝的前n项和为S n，已知S11=55，则a6=（）A.6B.5C.4D.34.数列｛a n｝是公差为d(d∈N∗)，首项为1的等差数列，若81是该数列中的一项，则公差d不可能是（）A.5B.4C.3D.25.若｛a n｝是等比数列，其公比是q，且−a5，a4，a6成等差数列，则q等于（）A.1或2B.1或−2C.−1或2D.−1或−26.一个等比数列的前n项和为45，前2n项和为60，则前3n项和为（）A.65B.73C.85D.1087.大衍数列来源于我国的《乾坤谱》，主要用于解释中国传统文化中的太极衍生原理.其前8项依次是0，2，4，8，12，18，24，32，则此数列的第16项为（）A.98 B.112 C.128 D.162f(x)对于数列｛a n｝，a1=4，a n=f(a n−1)，n=2，3，4，…，则a2019的值是（）A.1B.2C.5D.49.在数列｛a n｝中，a1=1，a2=2，当n⩾2时，其前n项和S n满足S n+1+S n−1=2(S n+1)，则（）A.a7=13B.a8=14C.S7=43D.S8=5610.等差数列｛a n｝的前n项和为S n，若a1>0，公差d≠0，则下列说法中正确的是（）A.若S5=S9，则S14=0B.若S5=S9，则S7是S n的最大值C.若S6>S7，则S7>S8D.若S6>S7，则S5>S611.已知数列｛a n｝是各项都为正数的等比数列，且2a3+3a7=√6，则a5的值可能是（）A.2B.4C.85D.8312.下列关于等差数列的说法中正确的是（）A.若a，b，c成等差数列，则a2，b2，c2一定成等差数列B.若a，b，c成等差数列，则2a，2b，2c可能成等差数列C.若a，b，c成等差数列，则ka+2，kb+2，kc+2一定成等差数列D.若a，b，c成等差数列，则1a ，1b，1c可能成等差数列.13.已知a n=(2−a)n+a，若数列｛a n｝是递增数列，则实数a的取值范围是.14.若数列｛a n｝满足a3=15，a n−a n+1=2a n·a n+1，n∈N∗，则数列｛a n｝的通项公式为a n=.15.在等差数列{a n}中，|a3|=|a9|，公差d<0，若S m=0，则m=，使前n项和S n取得最大值的正整数n的值是.16.记S n为数列｛a n｝的前n项和，若S n=2a n+1，则S6=.17.已知等差数列｛a n｝的各项均为正数,其公差为1,a2·a4=5a3−1.(1)求数列｛a n｝的通项公式;(2)设b n=2a n−2+2n−1，求b1+b2+⋯+b10.18.已知数列｛a n｝是首项a1=14，公比q=14的等比数列，设b n+2=3log14a n(n∈N∗)，数列｛c n｝满足c n=a n·b n.(1)求证：｛b n｝是等差数列；(2)求数列｛c n｝的前n项和S n.19.在公差不为零的等差数列｛a n｝中，S2=16，且a1,a4,a5成等比数列.(1)求数列｛a n｝的通项公式；(2)求数列｛|a n|｝的前n项和T n.20.已知数列{a n}满足a n+2+a n=2a n+1(n∈N∗)，数列{b n}满足b n+1bn=a n+1−a n(n∈N∗)，且a1=b1，a3=5，a5+a7=22.(1)求数列{a n}和{b n}的通项公式；(2)令C n=a n b n，n∈N∗，求数列{C n}的前n项和S n.21.数列｛a n｝满足a1=1，12an+1=12a n+1(n∈N∗).(1)求证：数列{1a n}是等差数列；(2)若a1a2+a2a3+⋯+a n a n+1>1633，求n的取值范围.22.已知数列{a n}的各项均为正数，S n是数列{a n}的前n项的和，对任意的n∈N∗都有2S n=3a n2+a n−2.数列{b n}的各项都是正整数，b1=1，b2=4，且数列a b1,a b2，a b3,…,a bn是等比数列.(1)证明：数列{a n}是等差数列；(2)求数列{b n}的通项公式b n；(3)求满足S nb n+2<14的最小正整数n.参考答案1.【答案】:A【解析】:因为奇数项为负数，偶数项为正数，所以第n项的符号为(−1)n，排除选项B，C，D.将每一项都转化为分母为2的分数时，分子可用n2表示，故其通项公式可以是a n=(−1)n n22.故选 A.2.【答案】:A【解析】:a2020=S2020−S2019=2，故选A.3.【答案】:B【解析】:∵等差数列｛a n｝的前n项和为S n，S11=55，∴S11=11(a1+a11)2=11a6=55，解得a6=5.故选B.4.【答案】:C【解析】:设81是数列｛a n｝的第k项，k∈N∗，则1+(k−1)×d=81，∴k−1=80d，则80是d的整数倍，故d不可能为3，故选C.5.【答案】:C【解析】:依题意有2a4=a6−a5，即2a4=a4q2−a4q，因为a4≠0，所以q2−q−2=0，即(q−2)(q＋1)=0，解得q=−1或q=2.故选 C.6.【答案】:A【解析】:由等比数列的性质得S n,S2n−S n,S3n−S2n成等比数列.∵等比数列的前n项和为45，前2n项和为60，∴45，60−45，S3n−60成等比数列，∴(60−45)2=45(S3n−60)，解得S3n=65.故选A.7.【答案】:C【解析】:奇数项依次为12−12，32−12，52−12，…，偶数项依次为222，422，622，…，依此规律可知，第16项为1622=128，故选C.8.【答案】:C【解析】:由条件得a2=f(a1)=f(4)=1，a3=f(a2)=f(1)=5，a4=f(a3)=f(5)=2，a5= f(a4)=f(2)=4，a6=f(a5)=f(4)=1，…，则数列｛a n｝是4，1，5，2，4，1，…，是以4为周期的周期数列，则a2019=a2016+3=a3=5，故选 C.9.【答案】:B；C【解析】:由S n+1+S n−1=2(S n+1)，得a n+1−a n=2(n⩾2)，又因为a2−a1=1，所以数列｛a n｝从第二项起为等差数列，且公差d=2，故a7=a2+5d=2+5×2=12，a8= a2+6d=2+6×2=14，所以选项A错误，选项B正确. S7=a1+6×(a2+a7)2=1+6×(2+12)2=43，S8=a1+7×(a2+a8)2=1+7×(2+14)2=57，所以选项C正确，选项D错误.故选BC.10.【答案】:A；B；C【解析】:对于A，有S9−S5=a6+a7+a8+a9=2(a7+a8)=0，则a7+a8=0，所以S14=14(a1+a14)2=14(a7+a8)2=0，A正确；对于B，有a7+a8=0，又a1>0，所以a7>0,a8<0，所以S7是S n的最大的值，B正确；对于C，有a7=S7−S6<0，又a1>0，所以d<0，则a8=S8−S7<0，所以S7>S8，C正确；对于D，有a7=S7−S6<0，而a6的符号无法确定，故S5>S6不一定正确，D错误. 故选ABC.11.【答案】:A；B；D【解析】:依题意得a3>0，a7>0，a5>0，所以√6=2a3+3a7⩾2√2a3·3a7=√6√a5解得a5⩾2，当且仅当a3=2√63，a7=√6时等号成立.故选ABD.12.【答案】:B；C；D【解析】:对于A，取a=1，b=2，c=3，可得a2=1，b2=4，c2=9，显然a2，b2，c2不成等差数列，故A错误；对于B，取a=b=c，可得2a=2b=2c，故B正确；对于C，∵a，b，c成等差数列，∴a+c=2b，∴(ka+2)+(kc+2)=k(a+c)+4=2(kb+2)，即ka+2，kb+2，kc+2成等差数列，故C正确；对于D，取a=b=c≠0，可得1a=1 b =1c，故D正确.故选BCD.13.【答案】:(−∞,2)【解析】:若数列｛a n｝是递增数列，则2−a>0，即a<2，故实数a的取值范围为(−∞,2).14.【答案】:12n−1【解析】:∵a n−a n+1=2a n·a n+1，∴1a n+1−1a n=2，∴数列{1a n}是公差为2的等差数列，又1a3=5，∴1a n=1a3+2(n−3)=2n−1，∴a n=12n−1．15.【答案】:11；5或6【解析】:由题知a1+2d=−a1−8d，解得a1=−5d，又S m=ma1+m(m−1)2d=0，∴−5md+m(m−1)2d=0，解得m=11或m=0(舍去). ∴S n=na1+n(n−1)2d=d2(n−112)2−1218d，∴使前n项和S n取得最大值的正整数n的值是5或6.16.【答案】:−63【解析】:方法一：令n=1，得S1=a1=2a1+1，所以a1=−1，又由S n=2a n+1=2(S n−S n−1)+1(n⩾2)，得S n=2S n−1−1(n⩾2)，即S n−1=2(S n−1−1)(n⩾2)，所以数列｛S n−1｝是以S1−1=−2为首项，2为公比的等比数列，所以S6−1=(−2)×25=−64，则S6=−63.方法二：令n=1，得S1=a1=2a1+1，所以a1=−1.由S n =2a n +1①，得S n−1=2a n−1+1(n ⩾2)②， ①-②得a n =2a n −2a n−1(n ⩾2)， 即a n =2a n−1(n ⩾2)，所以｛a n ｝是以a 1=−1为首项，2为公比的等比数列， 于是S 6=(−1)×(1−26)1−2=−63.17(1)【答案】由a 2·a 4=5a 3−1，得(a 1+1)(a 1+3)=5(a 1+2)−1，即a 12−a 1−6=0，解得a 1=−2(舍去)或a 1=3,∴a n =3+(n −1)=n +2.(2)【答案】易知b n =2n +2n −1,∴b 1+b 2+⋯+b 10=(21+22+⋯+210)+(1+3+⋯+19)=2×(1−210)1−2+10×(1+19)2=2 146.18(1)【答案】由题意知a n =(14)n(n ∈N ∗)， ∴b n =3log 14(14)n−2=3n −2，∴b n+1−b n =3(n +1)−2−(3n −2) =3，∴数列｛b n ｝是首项为1，公差为3的等差数列. 【解析】:由题意知，b n+1−b n =3log 14a n+1−3log 14a n =3log 14a n+1a n=3log 14q =3，所以数列{b n }是首项b 1=1，公差d =3的等差数列．(2)【答案】由(1)知，a n =(14)n ,b n =3n −2(n ∈N ∗)， ∴c n =(3n −2)×(14)n(n ∈N ∗)，∴S n =1×14+4×(14)2+7×(14)3+⋯+(3n −5)×(14)n−1+(3n −2)×(14)n，则14S n =1×(14)2+4×(14)3+7×(14)4+⋯+(3n −5)×(14)n+(3n −2)×(14)n+1，两式相减得34S n =14+3×[(14)2+(14)3+⋯+(14)n]−(3n −2)×(14)n+1=12−(3n +2)×(14)n+1.∴S n =23−12n+83×(14)n+1(n ∈N ∗).【解析】:由题设条件知，S n =1×14+4×(14)2+7×(14)3+(3n −5)×(14)n−1+(3n −2)×(14)n ，运用错位相减法可求出数列{c n }的前n 项和S n ．19(1)【答案】设数列｛a n ｝的公差为d(d ≠0)，则由题意得{2a 1+d =16,(a 1+3d)2=a 1(a 1+4d), 解得{a 1=9,d =−2.所以等差数列｛a n ｝的通项公式为a n =11−2n(n ∈N ∗)．(2)【答案】当n ⩽5时，T n =|a 1|＋|a 2|＋…＋|a n |=a 1＋a 2＋…＋a n =S n =−n 2＋10n . 当n ⩾6时，T n =|a 1|＋|a 2|＋…＋|a n |=a 1＋a 2＋…＋a 5−a 6−a 7−⋯−a n =2S 5−S n =2×(−52＋10×5)−(−n 2＋10n)=n 2−10n ＋50，故T n ={−n 2+10n ，n ⩽5,n 2−10n +50，n ⩾6.20(1)【答案】由数列{a n }满足a n+2+a n =2a n+1(n ∈N ∗)， 可得{a n }是等差数列，设其公差为d ， 由数列{b n }满足b n+1b n=a n+1−a n =d ， 可得{b n }是等比数列，其公比为d .由题意知{a 3=a 1+2d =5，a 5+a 7=2a 6=2a 1+10d =22，解得{a 1=1，d =2，所以a n =2n −1.又b 1=a 1=1，d =2，所以b n =2n−1. (2)【答案】C n =a n b n =(2n −1)·2n−1， 则S n =1×1+3×2+5×22+⋯+(2n −1)·2n−1，2S n =1×2+3×22+5×23+⋯+(2n −1)·2n ，两式相减，得−S n =1+2×(2+22+⋯+2n−1)−(2n −1)·2n =1+2×2(1−2n−1)1−2−(2n −1)·2n =−3+(3−2n)·2n ，故S n =3+(2n −3)·2n . 21(1)【答案】证明：由12a n+1=12a n +1 可得1a n+1=1a n +2， 所以数列{1a n }是等差数列.(2)【答案】易知数列{1a n }的首项为1，公差为2，∴1a n =1a 1+(n −1)×2=2n −1, ∴a n =12n −1.∵a n a n+1=1(2n−1)(2n+1)=12×(12n−1−12n+1)，∴a1a2+a2a3+⋯+a n a n+1=12×(11−13+13−15+⋯+12n−1−12n+1)=12×(1−12n+1)=n2n+1，令n2n+1>1633，解得n>16，所以n的取值范围为｛n|n>16,n∈N∗｝22(1)【答案】当n=1时，2a1=3a12+a1−2，即3a12−a1−2=0，即(3a1+2)(a1−1)=0，由a1>0得a1=1.当n⩾2时，由2S n=3a n2+a n−2，得2S n−1=3a n−12+a n−1−2，两式相减，得2a n=3a n2+ a n−3a n−12−a n−1，所以3(a n−a n−1)(a n+a n−1)=a n+a n−1，由a n>0知a n+a n−1>0，所以a n−a n−1=13.所以数列｛a n｝是首项为1，公差为13的等差数列.(2)【答案】由(1)得a n=1+13(n−1)=13n+23，则a b1=a1=1,a b2=a4=2，所以数列a bn 是首项为1，公比为2的等比数列，所以a bn=2n−1，又a bn=13b n+23，所以13b n+23=2n−1，即b n=3×2n−1−2.(3)【答案】S n=n(a1+a n)2=16(n2+5n)，所以S nb n+2=n2+5n63×2n−1=n2+5n9×2n.设f(n)=S nb n+2=n2+5n9×2n，则f(n+1)f(n)=(n+1)2+5(n+1)9×2n+1n2+5n9×2n=n2+7n+62n2+10n.令f(n+1)f(n)>1，得n2+7n+62n2+10n>1,即n2+3n−6<0，由n∈N∗，得n=1，所以f(1)<f(2)>f(3)>f(4)>⋯>f(n)>⋯.因为f(1)=S1b1+2=618=13>14，f(2)=S2b2+2=1436=718>14，f(3)=S3b3+2=2472=13>14，f(4)=S4b4+2=36 144=14，f(5)=S5b5+2=50288=25144<14，所以当n≥5时，f(n)<14，所以满足S nb n+2<14的最小正整数n=5.。
2024年高二数学单元速记——随机变量及其分布(压轴题专练)(解析版)
随机变量及其分布（压轴题专练）
A．事件A发生的概率
C．事件B不发生条件下事件A发生的概率
【答案】A
P A B和(P
【分析】理解条件概率()
【详解】由题意可得，题图所示的涂色部分的面积为：
P
的整数，离散型随机变量X
天每天上班路上在甲路口遇到红灯个数之和为
，
1,
进行等量代换，
=
【答案】5
9
11
2
⎛
⋅
⎝
【分析】根据全概率公式对
确答案.
【详解】记点Q移动n次后仍在底面在正方体中，每一个顶点有
(1)由频率分布直方图可以认为，该物流公司每日的可配送货物量布，经计算μ近似为2100,σ近似为150．①利用该正态分布，求(87.8124.4)P T ≤≤；
②试利用该正态分布，估计该物流公司2000数）．
(2)该物流公司负责人根据每日的可配送货物量为装卸员工制定了两种不同的工作奖励方案．
元；方案二：利用正态分布获取相关概率，采用抽奖的方式奖励员工，其中每日的可配送货物量
时只有一次抽奖机会，每次抽奖的奖金及对应的
已知
个坑要补播种概率最大，即满足不等式组
户，则
利用该指标制定一个检测标准，需要确定临界值a ，将该指标小于定为阴性．此检测标准的漏诊率是将患病者判定为阴性的概率，记为性的概率，记为()q a ．假设数据在组内均匀分布，用频率估计概率．
(1)当临界值20a =时，求漏诊率()p a 和误诊率()q a ；
(2)从指标在区间[20,25]样本中随机抽取2人，
记随机变量X (3)在该地患病者占全部人口的5%的情况下，
记()f a 为该地诊断结果不符合真实情况的概率．
0.68。
高二数学必修五单元测试03不等式(A卷)(解析版).doc
班级_________ 姓名_____________ 学号____________ 分数 ___________ 《必修五单元测试三不等式》测试卷（A卷）（测试时间：120分钟满分：150分）第I卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分•在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.在不等式x + 2y-1>0表示的平面区域内的点是（）A. （1,-1）B. （0,1）C. （1,0）D. （-2,0）【答案】B【解析】试题分析：・・・1+2><（_1）_1〈0；0+2><1_1血1 + 2><0-1 = 0；-2 + 2><0-1<0,二可知点（0丄）在不等式x+2y-l >0表示的平面区域內.故B正确.2.已知集合A = [xeN\x2-5x + 4<0], B = {x\x2-4 = o],下列结论成立的是（）A. Be A B_. A\J B = A C. Ar\B = A D. AcB = {2}【答案】D【解析】由已知得A = {123,4}, B = {-2,2},则AcB = {2},故选D.x>l3.区域｛y>\构成的儿何图形的面积是（）x+y<3A. 2B. 1C. 一D.-4 2【答案】D【解析】画出不等式组表示的区域如图，结合图形对知区域三角形的面积是S=-xlxl=l,应选答案D.2 24.[2018届河南省中原名校高三上学期第一次质】若a<b<0,则下列不等关系屮，不能成立的是1 ] ] ] 1 1A. ->-B. -------------------- >-C. a3 <b3D. a2 > b2a b a~b a【答案】B【解析]Va<b<0,.\a<a - b<0由y =丄在（一a,0）上单调递减知：一-— < 丄x a~b a因此B不成立.故选：B.5.不等式乞二L>0的解集是（）x + 3A. _,+8B. （4,+00）、2（J 、C. （-00, -3）U（4, +oo）D. （-00,-3）u —,+oo【答案】D【解析】分式不等式可转换为二次不等式：（2兀一1）（兀+3）>0,（\ \据此可得不等式的解集为：（-00,-3）u -,+a）>本题选择D选项.6.已知关于兀的不等式x2-4x>m对任意XG（O,1]恒成立，则有（）A. m <一3B. m >—3C. —3 < m < 0D. m > ~4【答案】A【解析1 vx2-4x> w对任意xe[O3l]恒成立，令/（x）=x2-4x s xe[0a l], v f（x）的对称轴为x = 2 ,二/ （x）在[0 J]单调递减，二当* 1时取到最小值为-3 ,:.实数w的取值范围是w<-3,故选A.X>1x + y<47.【2018届四川省南充市高三零诊】若实数俎y满足lx-2y-lS0 ,贝ljz = 2x + y的最大值为（）A. 2B. 5C. 7D. 8【答案】C【解析】作出可行域：学@科网rf]Z = 2x +儿可得：y=- 2x + z,平行移动丿=-2兀+ z,由图象可知当直线经过点A时，直线的纵截距最大, 即z最大；易得A（3, 1）,带入目标惭数z = 2咒+儿得：z = 2x3 + l = 7,即z = 2兀+ y的最大值为7故选：C.8.已知/（兀）=0?+加，且满足：15/（1）53,-1</（-1）<1,则/（2）的取值范围是（）A. [0,12] B. [2,10] C. [0,10] D. [2,12]【答案】B【解析】・・・/（兀）=血2+加且15/（1）53, -1</（-1）<1, ：.\<a + b<3, -\<a-b<\,JV+V =4 x— 3/（2）= 4a + 2b,令4d + " = x（Q+b） + y（a—b）,可得｛7-,解得｛—,即x-y=2 y=l4a + 2/? = 3（Q+b）+（o—b）, ・・・353（d+b）59, 253（a+b）+（d—b）510,则/（2）的取值范围是[2,10],故选B.F — r — 69.不等式一<0的解集为（）兀—1A. {兀|兀（一2或»1}B. {兀| 兀<一2或vxv3}C. {兀|-2v兀〈1或x〉3}D. {%|-2VJVV1或lcxv3}【答案】B【解析】不等式即：（〒）（节2）<0（-1）转化为高次不等式：（x-3）（x+2）（x-l）<0利用数轴穿根法解得x < —2或1 v尢v 3 ,本题选择B选项.点睛：解不等式的基本思路是等价转化，分式不等式整式化，使要求解的不等式转化为一元一次不等式或一元二次不等式，进而获得解决.10.若a，bER且必>0,则下列不等式中，恒成立的是（）11 2 b a9 9.—— +「> ~严= —d—二2A. a + b > 2ab g a + b > Q a b ^Jab D. Q b'【答案】D【解析】对于选项A,当a = b时不成立；对于选项巧当a<0.b<0或a = b > 0时不成立；对于选项C, 当aV0,b<0时不成立：对于选项D,因为ab>0,所以;>0^>0,由基本不等式有恒成立, 故选D.y>0尤-y + 1 二011.[2018届广东省茂名市五大联盟学校高三9月】设绘y满足约束条件U + y-3<0,贝ijz = x-3y的最大值为（）A. 3B. -5C. 1D. -1【答案】Ax - y +1 > 0 y = _x —z —z画出不等•式组k + 表示的区域如图，则问题转化为求动直线 3 B 在y 上的截距B 的最小值 1 1的问题，结合图形可知：当动直线一孑经过点P （3,0）^, z nlax = 3-3x0 = 3,应选答案A .12. [2018届云南省师范大学附属中学高三月考一】若直线ax + by-2 = Q （d>0』>0）始终平分圆第II 卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填•在答题纸上）13.【2018届江苏省泰州屮学高三上学期开学】已知点PU ，y ）满足<-XI y>>-+ y Xy z ~~ _贝I 」X 的最大值为 __________【解析】画出满足条件的半面区域，如图示：由z【答案】D【解析】x 2+y 2-2x-2y = 2 的周长,则眾的最小值为（3-2^2 43-2^2 ~2-D.【解析】直线平分圆周，则直线过圆心（1」），所以有G + b = 2,-!- +丄二丄(d + b) — 2ci b 2、)"(1 1)• -I 2G b )b = y[2a 时取“二”），故选 D.y咒表示过平面区域的点Qy）与（°，°）的直线的斜率,显然直线过力仃，3)时，z取得最大值，x故答案为：3.14. [2018届河南省中原名校高三上学期第一次联考】某学生计划用不超过50元钱购买单价分别为6元、7元的软皮和硬皮两种笔记本，根据需要软皮笔记本至少买3本，硬皮笔记本至少买2本，则不同的选购方式共有. _________ 种.【答案】7.(6x + 7y < 50% > 3沖2【解析】根据题意，设买x本软皮笔记本，y本硬皮笔记本，则有I ,32y <——当x=3时，7 ,可取的值.为2、3、4；26y < —当x=4时，7,可取的值为2、3；20y <——当x=5时，一7,可取的值为2；14y <——当X二6时，7,可取的值为2；共7种不同的选购方式；故答案为：7.15.若不等式x2-ax-b< 0的解集为何2VXV3},则不等式bx2-ax-l>0的解集为_____________________【答案】【解析】.••不等式x2-ax-b<0的解集为{x|2<x<3})・・・2,3是一元二次方程x2-ax-b = 0的两个实数根,2 +3 = a[2 x 3 =- b ,解得。
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梯度训练
基 础 强 化
1．四张卡片上分别标有数字“2”，“0”，“0”，“9”，其中9可当6
用，则由这四张卡片组成不同的四位数的个数为( )
A．6 B．12
C．18 D．24
解析 当首位数是2时，再从后三位中选一位填9.9又可当6用，
因此有2C13个．同理当首位是9时，也有2C13个，所以共可排成2C13＋
2C13＝12个四位数．
答案 B
2．某城市的汽车牌照号码由2个英文字母后接4个数字组成，
其中4个数字互不相同的牌照号码共有( )
A．(C126)2·104个 B．A226·104个
C．(C126)2·A410 D．A226·A410个
解析 两个英文字母可以重复，所以应有C126·C126种选法，而后面
4个数字不重复，所以有A410种选法．故不同的车牌号码共有(C126)2·A410.
答案 C
3．某公司新招聘8名员工，平均分配给下属的甲、乙两个部门，
其中两名英语翻译人员不能分在同一部门，另外3名电脑编程人员也
不能全分在同一部门，则不同的分配方案共有( )
A．36种 B．48种
C．24种 D．108种
解析 两名英语翻译人员有两种分法，3名电脑编程人员有C13A
2
2
种分法．其他3名员工分组有C13种分法，当前两种人员确定部门后，
由于每部门均4人，所以其他人员只有一种分法．综上知，共有C12C
1
3
A22C13＝36(种)．
答案 A
4．从集合{1,2,3，„，11}中任取两个元素作为椭圆方程x2m2＋y2n2＝
1中的m和n，则能组成落在矩形区域B＝{(x，y)||x|<11，且|y|<9}内
的椭圆个数为( )
A．43 B．72
C．86 D．90
解析 要使椭圆落在矩形区域B内，则有m<11，n<9，且m≠n，
∴所求椭圆个数为C110·C18－8＝72.
答案 B
5．把n个正整数全排列后得到的数叫“再生数”，“再生数”
中最大的叫做最大再生数，最小的叫最小再生数，求1,2,4,6这四个
数的再生数的个数以及其中最大再生数和最小再生数．
解 1,2,4,6这四个数的再生数的个数就是4个数的全排列数，共
有4！＝24个，其中最大再生数是6421，最小再生数是1246.
6．某医院有内科医生12名，外科医生8个，现要选派5名参加
赈灾医疗队，
(1)某内科医生必须参加，某外科医生不能参加，有几种选法？
(2)至少有1名内科医生和至少有1名外科医生参加有几种选
法？
解 (1)只需从其他18人中选4人即可，共有C418＝3060(种)．
(2)方法1(直接法)：至少一名内科医生一名外科医生的选法分四
类：
一内四外；二内三外；三内二外；四内一外．
∴共有C112C48＋C212C38＋C312C28＋C412C18＝14656(种)．
方法2(间接法)：从总数中减去5名医生都是内科医生和都是外
科医生的选法．故选法为C520－C512－C58＝14656(种)．
能 力 提 升
7．有n个球队参加单循环足球赛，其中两个队各比赛了三场就
退出了比赛，这两队之间未进行比赛，这样到比赛结束共赛了34场，
那么n＝________.
解析 从n个球队中任选两个球队有C2n种选法，因此比赛C2n场，
而两个球队不与其他(n－2)个球队比赛，减少了2(n－2)场，这两队之
间未进行比赛，又减少1场，又两队各比赛了3场，需加6场，故可
得方程
C2n－2(n－2)－1＋6＝34.解得n＝10.
答案 10
8．在100,101,102，„，999这些数中，各位数字按严格递增(如
“145”)或严格递减(如“321”)顺序排列的数的个数是________个．把符
合条件的所有数按从小到大的顺序排列，则321是第________个
数．(用数字作答)
解析 不含0的三位数有2C39个，含0的三位数中，0只能作为
个位数有C29个，所以满足条件的三位数共有2C39＋C29＝204(个)．
百位为1的数有C28＝28个，百位是2的数有C27＋1＝22(个)，百
位是3的数从小到大排列为310,320,321，„，则321是第53个数．
答案 204 53
9．将甲、乙、丙、丁四名学生分到三个不同的班，每个班至少
分到一名学生，且甲、乙两名学生不能分到同一个班，则不同分法的
种数为( )
A．18 B．24
C．30 D．36
解析 由四名学生分到三个班，每个班至少分到一名学生可知，
有一个班有2个人，另外两个班各1人，故共有C24A33种不同分法，
其中甲、乙两名学生分到同一个班有A33种不同分法，所以满足题意
的不同分法为C24A33－A33＝30(种)．
答案 C
10．甲、乙两人从4门课程中各选修2门，则甲、乙所选的课程
中至少有1门不相同的选法共有( )
A．6种 B．12种
C．30种 D．36种
解析 甲、乙两人从4门课程中各选修2门的选法共有C24×C24＝
36(种)，而甲、乙所选的课程中全部相同的选法共有C24＝6(种)，所以
甲、乙所选的课程中至少有1门不相同的选法共有36－6＝30(种)，
选C.
答案 C
考 试 高 手
11．地面上有A，B，C，D四个科研机构在接收嫦娥卫星发回的
某类信息，它们两两之间可以互相接发信息，由于功率限制，卫星只
能随机地向其中一个科研机构发送信息，每个科研机构都不能够同时
向两个或两个以上的科研机构发送信息．某月四个机构之间发送了三
次信息后，都获得了卫星发回的同一条信息，那么是A接到该信息后
互相联系的方式共有( )
A．16种 B．17种
C．34种 D．48种
解析 可以分类求解．
第一类：A直接发送给B，C，D三处，有C33＝1(种)；
第二类：A直接发送给B，C，D中的两处，再由其中一处通知
第四处，有C23C12＝6(种)；
第三类：A直接发送给B，C，D中的一处，再由该处通知另两
处，有C13(C12＋1)＝9(种)．
∴共有1＋6＋9＝16(种)不同的联系方式．
答案 A