基与维数的几种求法
基与维数的几种求法 Document number：NOCG-YUNOO-BUYTT-UU986-1986UT 线性空间基和维数的求法 方法一 根据线性空间基和维数的定义求空间的基和维数,即：在线性空间V中，如果有n个向量n,,1满足:
(1)n,2,1
线性无关。
(2)V中任一向量总可以由n,,21,
线性表示。
那么称V为n维（有限维）线性空间，n为V的维数，记为dimvn，并称n,,2,1为线性空间V的一组基。
如果在V中可以找到任意多个线性无关的向量，那么就成V为无限维的。 例1 设0VXAX，A为数域P上mn矩阵，X为数域P上n维向
量，求V的维数和一组基。 解 设矩阵A的秩为r，则齐次线性方程组0AX的任一基础解系都是V的基，且V的维数为nr。
例2 数域P上全体形如0aab的二阶方阵，对矩阵的加法及数与矩阵的乘法所组成的线性空间，求此空间的维数和一组基。 解 易证0100,1001为线性空间0,aVabpab
｜的一组线性无
关的向量组，且对V中任一元素0aab有00100+1001aabab
按定义0100,1001为V的一组基，V的维数为2。
方法二 在已知线性空间的维数为n时，任意n个向量组成的线性无关向量组均作成线性空间的基。 例3 假定nRx是一切次数小于n的实系数多项式添上零多项式所形成的
线性空间，证明：211,1,1,,1nxxx构成nRx的基。
证明 考察1121110nnkkxkx
由1nx的系数为0得0nk，并代入上式可得2nx的系数10nk
依此类推便有110nnkkk，
故11,1,,1nxx线性无关 又nRx的维数为n,于是11,1,,1nxx为nRx的基。
方法三 利用定理：数域p上两个有限维线性空间同构的充分必要条件是它们有相同的维数。
例4 设0110A，证明：由实数域上的矩阵A的全体实系数多项式fA组成的空间0110VfAA｜与复数域C作为实数域R上的线性空
间'VabiR｜a,b同构，并非求它们的维数。
证明 V中任一多项式可记为=,,fAaEbAabR，建立'V到V的如下
映射11111111:,abifAaEbAabR
易证是'V到V上的单射，满射即一一映射。
再设222,abi 22,,abRKR，则有
121212121212aabbiaaEbbA
111111kkakbikaEkaAkx
故是'V到V的同构映射，所以V到'V同构
另外，易证'V的一个基为1，i，故'dim2V 'VV
dim2V
方法四 利用以下结论确定空间的基： 设12,,,n与12,,,n是n维线性空间V中两组向量，已知
12,,,n可由12,,,n线性表出：
11112121nnaaa
21212222nnaaa
1122nnnnnnaaa
令111212122212nnnnnn
aaaAaaaaaa
如果12,,,n为V的一组基，那么当且仅当A可逆时，12,,,n也是
V的一组基。 例5 已知231,,,xxx是4px的一组基，证明231,1,1,1xxx也是
4px的一组基。
证明 因为 23111000xxx
23111100xxxx
223111210xxxx
323111331xxxx
且11110123000120001A 所以231,1,1,1xxx也为4px的一组基。
方法五 如果空间V中一向量组与V中一组基等价，则此向量组一定为此空间的一组基。 例6 设2Rx表示次数不超过2的一切实系数一元多项式添上零多项式所
构成的线性空间的一组基，证明22,,1xxxxx为这空间的一组基。
证明 22
12310kxxkxxkx
则12
1233
000kkkkkk
解得3210kkk
于是22,,1xxxxx线性无关，它们皆可由2,,1xx线性表示，因此
22,,1xxxxx与2,,1xx等价，从而2Rx中任意多项式皆可由
22,,1xxxxx线性表示，故22,,1xxxxx为2Rx的基。
方法六 利用下面两个定理： 定理一：对矩阵施行行初等变换和列变换，不改变矩阵列向量间的线性关系。 定理二：任何一个mn矩阵A，总可以通过行初等变换和列变换它为标准
阶梯矩阵：00rIB，其中rI表示r阶单位矩阵。
依据这两个定理，我们可以很方便地求出12VV的一个基，从而确定了维
数。 例7 设112212,,,VLVL是数域F上四维线性空间的子空间，且
12121,2,1,0,1,1,1,1;2,1,0,1,1,1,3,7.求12VV的一个基与
维数。 解 若12rVV，则存在1212,,,xxyyF，使
11221122rxxyy……（1）
即有112211220xxyy……（2）
若1212,,,线性无关，（2）仅当2120xxyy时成立
那么12VV是零子空间，因而没有基，此时维数为0，12VV是直和
若存在不全为零的数1212,,,xxyy使（2）成立，则12VV有可能是非零子空
间 若为非零子空间，由（1）便可得到基向量r。 以1212,,,为列向量作矩阵A，经行初等变换将A化为标准阶梯形矩阵
A。 11211001211101041103001301170000AA
行初等变换
212143 1212435,2,3,4r是12VV的一个基
12dim1VV
同时知，12,是1V的一个基，1dim2V
12,是2V的一个基，2dim2V
1212,,,是12VV的一个基，12dim=3VVA秩 方法七 在线性空间V中任取一向量，将其表成线性空间V一线性无关向量组的线性组合的形式，必要的话需说明向量组是线性无关的。这一线性无关向量组就是我们要找的基。 例8 求112()VL，与212()VL，的交的基和维数。
设12(1,2,1,0)(11,1,1)，，12
(21,0,1)(11,3,7)，
，
解 任取12VV，则11122Vxx，，且21122Vyy，，
1122112xxyy（注：此时α虽然已表成一线性组合的形式，但
它仅仅是在1V、2V中的表示，并非本题所求，即要在空间21VV中将α线性表
出） 11221120xxyy，求1212,,,xxyy 12121212122212
2020300xxyyxxyyxxyxyy
７
解得1212(,,,)(,4,3,)xxyykkkk
1212(4)(3)(5,2,3,4)kkk 故12VV是一维的，基是(5,2,3,4)
易知(5,2,3,4)是非零向量，是线性无关的。
方法八 按维数公式求子空间的交与和的维数和基 维数公式：如果1,2VV是有限维线性空间V的两个子空间，那么
121212dimdimdimdimVVVVVV
向量空间的基与维数
向量空间的基与维数结论1 设，当下述三个条件有两条满足时，{}就是V的一个基.(i)零向量可由唯一地线性表示；(ii)V中每个向量都可由唯一地线性表示；(iii).结论 2 设,都是F上向量空间V的子空间. 若，,则，且.例 1 设和都是数域，且，则是上的向量空间.域F是F上向量空间，基是{1}，.C是R向量空间，{ 1 , i} 是基，.R是有理数域上的无限维向量空间，这是因为对任意的正整数t，是线性无关的，这里.令，则F是一个数域，F是Q上的向量空间.1)1,线性无关：设，. 则(否则，,矛盾)，因此.2) 1,,线性无关：设，，i=1,2,3 . ( 1 ),两端平方得,由于1,线性无关，故假如，则，且，即. 矛盾.因而故假如，则得，这与是无理数相矛盾. 因而将代入(1)，便得这说明1,,线性无关.3) 1,,,线性无关：设，，i=1,2,3,4 . 则有. ( 2 )假如不全为零，则得到“1,,线性相关”的结论，矛盾. 所以与应全为零，将代入(2)得又由1,线性无关得. 这样，我们证得了1,,,线性无关.故{1,,,}是F的一个基..例2 C[a,b]={f(x)|f(x)是定义在[a,b]上的连续实函数}. C[a,b]是R上的向量空间.对任意的正整数n，可证得线性无关：设，使( 3 )取n+1个实数，使a b.由(3)知.即其中而. 用左乘(4)两端，得这说明线性无关.故C[a,b]是R上无限维向量空间.引理设V是F上向量空间，是V的子空间，V，i=1,2,…,s. 试证明证对s作数学归纳.当s=1 时，结论显然成立.设，且对个V的不等于V的子空间结论成立.下考虑V的子空间，，. 由归纳假设知故存在1) 当时，，故；2) 当时，由于，因此显然,,…,.且存在，使（否则，如果,,…,，, ,,使,，所以，即有，这与矛盾）.这样，故例3 设.存在集合, 使S含无穷多个向量，且S中任意n个不同的向量都是V 的一个基.证取V的一个基，令. 对任意从中删去后剩下的个向量生成的V的子空间记为，则由引理知, 故存在令, 中任n个不同的向量线性无关，是V的基.设，有，且中任意n个不同的向量构成V的一个基.对任意，有.这样的子空间共有个. 由引理知存在令. 则||=k+1，且中任意n个不同的向量是V的基.这个过程进行下去，满足条件的无限集S即可找到.另证：设是V的一个基，令令让,,…,F互不相同，则由于其行列式是Vandermonde行列式，即故线性无关，是Ｖ的一个基. Ｓ中含无穷多个向量.例４设是Ｆ上n(>０)维向量空间V的子空间，且i=1,2,3,…,s. 则存在V的一个基，使得该基中每一个向量都不在中.证：对s作数学归纳.当时，取的一个基，，将其扩充为V的一个基. 可证明出线性无关，是V的基，且, i=1,2,…,r,设，且对个V的子空间结论成立. 现考虑V的s个子空间,由归纳假设知存在V的一个基，使1）如果，那么即满足要求;2）如果. 不妨设∈, , 由最多有一个F中的数，使, （否则，如果有两个不同的数, , 使，则，故，矛盾），所以除可能的之外，F 中有非零数，使同理有 F 中非零数，使显然易证线性无关，是V的基，且满足要求.例 5 设W是的由全体形如的向量所生成的子空间, 证明证令(j)是第i行第j列位置元素是1，而其余的个元素全是零的n阶方阵.对, i≠t,对, (j) ∈W.(j)容易验证}是线性无关的（共个向量）故而W中每个矩阵其迹为0. 因此，故引理 设是向量空间V 的子空间，则(i)(ii)例 6 设是F 上向量空间V 的子空间.(i) 证明：(ii)举一个例子，使上述严格不等式成立. 证(i)===(ii) 在中，令1w +2w +3w=（1，0，0）,(-1,0,1)）,而1w ⋂2w =2w ⋂3w =1w ⋂3w ={0}, 1w ⋂2w ⋂3w =={0},此时∑=31dim i i w =2<3=∑=31dim i i w -()∑≤≤≤⋂nj i jiw w 1dim +dim(1w⋂2w ⋂3w ).例7 设A )(F M m s ⨯∈,B )(F M n m ⨯∈.令0w ={α∈n F ∣AB α=10⨯s },1w = {B α∣α∈0w }, 求证1w 是m F 的子空间,且dim 1w =秩B-秩(AB).证 显然10⨯n ∈0w ,故B 10⨯n =10⨯m ∈1w ,即1w ≠∅, ∀1α,2α∈ 0w ,B 1α,B 2α是1w 的任意向量,∀1α,2α∈F,AB(2211ααa a +)= 2211AB AB ααa a +=0,∴2211ααa a +∈ 0w ,∴B(2211ααa a +)∈1w ⇒2211B B ααa a +∈1w ,因而1w 是m F 的子空间 .01当秩B=秩(AB)时,齐次线性方程组AB 1⨯n X =10⨯s 与B 1⨯n X =10⨯m 同解.因此1w ={0},故dim 1w =0=秩B －秩(AB).02以下我们假设秩B>秩(AB).ABX=0与BX=0不是同解的. 0w ≠{0},1w ≠{0}.)1秩B=n.此时0w ≠{0},设{1β，2β，…t β}为0w 的一个基,其中 t=n- 秩(AB) .则有1w =(B 1β，B 2β，…B t β). 设1b B 1β+2b B 2β+…+t b B t β=0,i b ∈F,i=1,2,…t. 则B(1b 1β+2b 2β+…+t b t β)=0,而BY=0只有零解,故1b 1β+2b 2β+…+t b t β=0, 又1β，2β，…t β线性无关.所以i b =0，i=1,2,…n. 这说明{B 1β，B 2β，…B t β}是1w 的一个基.dim 1w =t=n-秩(AB)=秩B-秩(AB).)2秩B<n.令'0w ={γ∈n F B γ=10⨯m }，'0w 是B 1⨯n Y =10⨯m 的解空间，dim '0w =n- 秩B>0.显然'0w ⊆0w .由于我们事先假设了秩B ≠秩(AB),所以'0w ≠0w .设{1β，2β，…P β}是'0w 的一个基. P=n-秩B>0.扩充成0w 的一个基，1β，2β，…P β,1+p β，…,t β, t=n-秩(AB). 而1w =(B 1β，B 2β，…B P β,B 1+p β，…,B t β)= (B 1+p β，…,B t β). 设j j tp j B b β∑+=1=0， j b ∈F, j=p+1,…,t.则B(j j tp j b β∑+=1)=0.即j j tp j b β∑+=1∈'w 故存在1b ,p b b ,...,2∈F ，使j j tp j b β∑+=1=i i pi b β∑=1.i i pi b β∑=1+jjtp j b β)(1∑+=-=0.而1β，2β，…P β,1+p β，…,t β线性无关，所以k b =0，k=1,2,,…,t; 这说明B 1+p β,B 2+p β，…,B t β线性无关,是1w 的一个基. 因此 dim 1w =t-p=[n-秩(AB)]-【n-秩B]= 秩B-秩(AB).例8 设1w ,2w 是向量空间v 的子空间,且dim(1w +2w )=dim(1w ⋂2w )+1 证明,下述两条必有一条成立: (ⅰ) 1w +2w =1w ,1w ⋂2w =2w ; (ⅱ) 1w +2w =2w ,1w ⋂2w =1w .。
线性代数§6.2线性空间的维数、基与坐标
0 0
10,
E 21
0 1
00,
E 22
0 0
10,
设
k1E11
+
k2E12
+
k3E21
+
k4E22
=O
0 0
0 0
,
而
k1E11 +
k2E12 + k3E21 +
k4E22 =
k1 k3
k k
2 4
,
因此, 有
k1=k2=k3=k4=0.
p(x) =(a0, a1, a2, a3, a4)T.
若取另一个基: q0=1, q1=1+x, q2=2x2, q3=x3, q4=x4,
则
p( x)
(a0
a1 )q0
a1q1
1 2 a2q2
a3q3
a4q4 .
因此, p(x)在这个基下的坐标为
p( x)
(a0
a1 ,
a1 ,
间V的维数.
维数为n的线性空间V称为n维线性空间, 记作Vn. 当一个线性空间V中存在任意多个线性无关的向
量时, 就称V是无限维的.
若1, 2, ···, n为Vn的一个基, 则Vn可表示为:
Vn = { = x11+x22+···+xnn | x1, x2, ···, xnR }
生成的子空间的基与维数.
思考题解答
f2(x) = 2x3–3x2+9x–1, f4(x) = 2x3–5x2+7x+5
线性空间,基和维数
§1 集合映射 集合 §2 线性空间的定义 与简单性质 §3 维数基与坐标 维数 §4 基变换与坐标变换 §5 线性子空间 §6 子空间的交与和 §7 子空间的直和 §8 线性空间的同构 小结与习题
§6.3 维数 基与坐标
一、线性空间中向量之间的线性关系 二、线性空间的维数、基与坐标 线性空间的维数、
§6.3 维数 基 坐标
（ 2） 基 在 n 维线性空间 V 中，n 个线性无关的向量
ε 1 , ε 2 ,L , ε n ，称为 V 的一组基； 的一组基
（3）坐标
ε1 , ε 2 ,L, ε n 为线性空间 V 的一组基， ∈ V , α 的一组基， 若 α = a1ε 1 + a2ε 2 + L + anε n , a1 , a2 ,L , an ∈ P
注：任意数域 看成是它自身上的线性空间是一维的， 任意数域P看成是它自身上的线性空间是一维的 看成是它自身上的线性空间是一维的，
就是它的一组基. 数1就是它的一组基 就是它的一组基
§6.3 维数 基 坐标
例5
求数域P上的线性空间 求数域 上的线性空间 P
2×2
的维数和一组基． 的维数和一组基．
解：令 E11 = 1 0 , E12 = 0 1 , E21 = 0 0 , E22 = 0 0 1 0 0 1 0 0 0 0
§6.3 维数 基 坐标
注意： 注意：
的基不是唯一的， 中任意 个 ① n 维线性空间 V的基不是唯一的，V中任意 n个 的基不是唯一的 线性无关的向量都是V的一组基． 线性无关的向量都是 的一组基． 的一组基 任意两组基向量是等价的． ② 任意两组基向量是等价的． 例3（1）证明：线性空间 维的， （ ）证明：线性空间P[x]n是n 维的，且 1，x，x2，…，xn－1 为 P[x]n 的一组基． ， ， 的一组基． ， － （2）证明：1，x－a，(x－a)2，…，(x－a)n－1 ）证明： ， － ， － ， － － 也为P[x]n的一组基． 的一组基． 也为
矩阵论里基与维数
矩阵论里基与维数
矩阵论是数学中的一个重要分支，其中基与维数的概念是至关重要的。
基是指向量空间中的一组线性无关的向量，它们可以用来表示该空间中的任何向量。
而维数则是指向量空间中最小的基中向量的个数。
例如，二维平面上的向量空间可以用两个线性无关的向量作为基，因此其维数为2。
在矩阵论中，我们可以用矩阵来表示向量，从而将向量空间的问题转化为矩阵的性质问题。
对于一个矩阵空间，其基可以是一组矩阵，而维数则是这组矩阵中的矩阵个数。
基与维数的概念在矩阵论中有着广泛的应用。
例如，在求解线性方程组时，我们可以将其转化为矩阵乘法的形式，然后利用矩阵的基和维数来求解方程组的解。
此外，在矩阵的变换和对角化过程中，基与维数也起着重要的作用。
总之，基与维数是矩阵论中不可或缺的概念，它们为我们理解和解决各种矩阵问题提供了重要的思路和方法。
- 1 -。
02 第二节 维数、基与坐标
例6 (E04) 证明维线性空间 与维数组向量空间同构.
证 (1) 中的元素与中的元素形成一一对应关系;
(2) 则有
结论 1. 数域上任意两个维线性空间都同构. 2. 同构的线性空间之间具有反身性、对称性与传递性. 3. 同维数的线性空间必同构.
例4(E02) 所有二阶实矩阵组成的集合对于矩阵的加法和数量乘法, 构成实数域R上的一个线性空间. 试证
,,, 是中的一组基, 并求其中矩阵A在该基下的坐标.
证 先证其线性无关, 由有
即线性无关. 又对于任意二阶实矩阵 有 因此为的一组基. 而矩阵在这组基下的坐标是
例5 (E03) 求子空间的维数，其中 解 易知是由下列向量的全体线性组合所构成的集合：
第二节 基、维数与坐标
分布图示
★ 引言
★ 线性空间的基与维数
★ 生成子空间
★ 例1
★ 坐标
★ 例2
★ 例3 ★ 例4
★ 线性空间的同构
★ 例6
★ 内容小结
★ 课堂练习
★ 习题6-2
★ 例5 ★ 例7
内容要点
一、线性空间的基与维数 我们已知在中，线性无关的向量组最多由个向量组成，而任意个向
量都是线行相关的。现在我们要问：在线性空间中，最多能有多少个线 性无关的向量？
元素有序数组 定义2 设是线性空间的一个基,对于任一元素, 有且仅有一组有序数 使，则称有序数组为元素在基下的坐标, 并记作.
二、线性空间的同构 设是维线性空间的一组基，在这组基下，中的每个向量都有唯一确
定的坐标，而向量的坐标可以看作中的元素，因此向量与它的坐标之间 的对应就是到的一个映射。对于中不同的向量它们的坐标也不同，即对 应于中的不同元素。反过来，由于中的每个元素都有中的向量与之对 应，我们称这样的映射是与的一个一一对应的映射。这个映射的一个重 要特征表现在它保持线性运算（加法和数乘）的关系不变。
向量空间的基、维数与坐标
( 4 )B (1, 1, 2).
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例5 设 a, b 为两个已知的 n 维向量，集合 V x a b , R
第三节 向量空间的基、维数 与坐标
一 二 三 四 向量空间 向量空间的基、维数与坐标 基变换与坐标变换 小结
1 上一页 下一页 返 回
一、向量空间
定义3.18 设 V 是非空 n 维向量的集合，若 V 对于 向量的加法及向量乘数两种运算封闭，则称 V 为一 个向量空间． 说明 集合V 对于加法及乘数两种运算封闭是指
9 上一页 下一页 返 回
R n 空间的一组规范基为
ε1 (1,0,,0) ,ε2 (0,1,,0) , ,εn (0,0,,1)
向量 (a1 , a2 ,..., a n ) 在此规范基下的坐标为
(a1 ,a2 ,...,a n ).
因为
α a1ε1 a2 ε2 ... an εn .
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由行阶梯矩阵知 r ( A) 3, 且 1 , 2 , 3 线性无关, 知其为 R 3 的一组基, 进一步将A变成行最简形：
2 1 0 0 1 1 1 1 A ~ 0 1 2 5 ~ 0 1 0 1 0 0 1 0 0 1 2 2
La1,a2,,am x | x 1a1 2a2
mam 1,2,,m R
向量组 a1 , a 2 , , a m的极大无关组即为 L 的基； a1 , a 2 , , a m的秩即为 L 的维数.
多项式空间的基和维数
多项式空间的基和维数
多项式空间是指由所有次数不超过某个给定值的多项式组成的
向量空间。
在这个向量空间中，存在许多基，它们可以用来表示任何一个多项式。
本文将探讨多项式空间的基和维数的相关知识。
首先，我们需要了解什么是基。
在线性代数中，基是一组向量，它们可以用来表示向量空间中的所有向量。
对于多项式空间，基就是一组多项式，它们可以用来表示多项式空间中的所有多项式。
具体而言，我们可以将多项式按照次数递增的顺序排列，然后选择其中的某些多项式作为基。
一般来说，我们会选择次数最高的多项式作为第一个基，然后选择次数次高的多项式作为第二个基，以此类推。
接下来，我们需要确定多项式空间的维数。
维数是指向量空间中基的数量。
对于多项式空间，我们可以用次数来表示维数。
具体而言，设多项式空间的次数上界为n，则多项式空间的维数为n+1。
这是因为我们需要选择次数分别为0到n的n+1个多项式作为基。
在确定了基和维数之后，我们可以利用基来表示多项式空间中的任何一个多项式。
具体而言，我们可以将一个多项式表示成它在基上的线性组合的形式。
例如，如果我们选取了一组基{1, x, x^2, …, x^n}，那么任何一个次数不超过n的多项式都可以表示成a0*1 + a1*x + a2*x^2 + … + an*x^n的形式，其中a0, a1, a2, …, an为常数。
最后，我们需要注意的是，多项式空间的基并不唯一。
在同一个多项式空间中，可以选择不同的基来表示多项式。
不同的基可能会导致表示同一个多项式时系数的不同，但它们都是合法的表示方法。
维数-基-坐标ppt课件
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若向量组 1, 2 , , s 中每一向量皆可由向量组
1,2 , ,r线性表出， 则称向量组 1, 2 , , s
可由向量组 1,2 , ,r 线性表出.
若两向量组可以互相线性表出，则称这两个向量组 为等价的．
（3）1,2 , ,r V ，若存在不全为零的数 k1, k2 , , kr P，使得 k11 k22 krr 0 则称向量组 1,2 , ,r 线性相关.
就是 Pn 的一组基．称为Pn的标准基.
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注意：
① n维线性空间 V的基不是唯一的，V中任意 n个 线性无关的向量都是V的一组基．
② 任意两组基向量是等价的．
例4（1）证明：线性空间P[x]n是n 维的，且 1，x，x2，…，xn－1 为 P[x]n 的一组基．
（2）证明：1，x－a，(x－a)2，…，(x－a)n－1 也为P[x]n的一组基．
0
0
②
k1 2k2 k3 0
其系数行列式
11 1
1 2 ( 1)( 2 1)( 2 ) 0 1 2
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∴方程组②只有零解： k1 k2 k3 0 故 E, A, A2 线性无关. 又由①知，任意f(A)均可表成 E, A, A2 的线性组合， 所以V为三维线性空间， E, A, A2 就是V 的一组基.
怎样才能便于运算？
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一、线性空间中向量之间的线性关系
1、有关定义
设V 是数域 P 上的一个线性空间
（1）1,2 , ,r V (r 1), k1, k2 , , kr P, 和式
k11 k22 krr
称为向量组1,2 , ,r 的一个线性组合．
维数,基,坐标
引 问题Ⅰ （基的问题） 入 如何把线性空间的全体元素表示出来？
这些元素之间的关系又如何呢？ 即线性空间的构造如何？
问题Ⅱ （坐标问题）
线性空间是抽象的，如何使其元素与具体的东西 —数发生联系,使其能用比较具体的数学式子来表达？
怎样才能便于运算？
线性空间的“元”叫向量，因此把第三章“数组向量”的 线性相关性的相关结论移植到“线性空间的向量”上 来，就是线性空间中向量之间的线性关系。
k1, k2, , kr 使得
k11 k22 krr =0（线性空间的零元，零向量） 则称向量组 1,2, ,r 为线性相关的；
若 k11 k22 krr 0
只有在 k1 k2 kr 0 时才成立，
则称 1,2, ,r 为线性无关的．
例2 求数域P上的线性空间 P22 的维数和一组基．
续解：②
A
a11 a21
a12 a22
试写出A
2 0
6 -8
在此基下的坐标。
a11E11 a12E12 a21E21 a22E22
a11
（E11，E1基2，E21，E22）
a12 a21 a22
1 (1,0,0),2 (0,1,0),3 (0,0,1) 是R3的一组基； 1 (1,1,1),2 (1,1,0),3 (1,0,0)也是R3的一组基．
解：
坐 标 基
坐 标 基
上述例子表明
注意：
① n 维线性空间 V 的基不是唯一的，V中任意 n个 线性无关的向量都是V的一组基．
但是，在不同基下 的坐标一般是不同的．
3. 确定有限维空间基，维数的充分条件
线性空间的基与维数
线性空间的基与维数线性空间是线性代数中的重要概念，它是指具有加法和数乘运算的集合，并满足线性空间的定义和性质。
在线性空间中，基和维数是两个核心概念，它们对于理解线性空间的结构和性质具有重要意义。
一、线性空间的定义和性质线性空间是指满足以下定义和性质的集合：1. 集合中存在加法运算，即对于任意两个元素x和y，存在相应的元素x+y；2. 集合中存在数乘运算，即对于任意元素x和数k，存在相应的元素kx；3. 加法和数乘运算满足封闭性，即对于任意元素x和y，x+y和kx 仍然属于该集合；4. 加法满足结合律和交换律，即对于任意元素x、y和z，(x+y)+z=x+(y+z)和x+y=y+x；5. 加法满足单位元存在性，即存在一个元素0，对于任意元素x，有x+0=x；6. 加法满足逆元存在性，即对于任意元素x，存在相应的元素-y，使得x+(-y)=0；7. 数乘运算满足结合律和分配律，即对于任意元素x和k、l，有k(lx)=(kl)x和(k+l)x=kx+lx；8. 数乘运算满足单位元存在性，即对于任意元素x，有1x=x。
二、在线性空间中，基是指一个线性无关且能生成整个空间的向量组。
即对于线性空间V，存在向量组{v1, v2, ..., vn}，满足以下条件：1. 线性无关性：向量组中的任意有限个向量线性无关，即不存在非零标量c1, c2, ..., cn，使得c1v1 + c2v2 + ... + cnvn = 0；2. 生成性：向量组的线性组合能够生成整个线性空间V，即对于任意向量v∈V，存在标量c1, c2, ..., cn，使得v = c1v1 + c2v2 + ... + cnvn。
线性空间的维数是指基中向量的个数，用n表示。
记作dim(V) = n。
三、线性空间的基与维数的性质线性空间的基与维数具有以下性质：1. 基的个数是唯一的：线性空间V的任意两个基所含向量个数相同；2. 维数的唯一性：线性空间V的维数唯一，与基的选择无关；3. 向量组的性质：线性空间V中的任意向量组若线性无关，则含有的向量个数不超过维数；4. 维数与子空间：线性空间V的任意非零子空间的维数小于等于V的维数；5. 维数与线性变换：线性空间V到线性空间W的线性映射T是满射时，有dim(W) ≤ dim(V)；当T是一一映射时，有dim(W) ≥ dim(V)。