奥数题之数论专题：综合拼数感

综合拼数感

【例1】

从Tom和Jerry说起。

【例2】

从(2007年第十二届“华杯赛”总决赛)圆周上放置有3000枚棋子，按顺时针方向依次编号为1，2，3，…，2999，3000。首先取走3号棋子，然后按顺时针方向，每隔2枚棋子就取走1枚棋子，…，直到1号棋子被取走为止。问：此时，

⑴圆周上还有多少枚棋子？

⑵在圆周上剩下的棋子中，从编号最小的一枚棋子按顺时针方向开始数，第181枚棋子的编号是多少？

【例3】(第四届“华杯赛”总决赛)

小华玩某种游戏，每局可随意玩若干次，每次的得分是8、a、0这三个自然数中的一个，每局各次的得分的总和叫做这一局的总积分。小华曾得到过这样的总积分：103、104、105、106、107、108、109、110，又知道他不可能得到“83分”这个总积分。问a是多少？

【例4】

有4个互不相同的3位数，他们的首位数字相同，并且他们的和能被他们中的3个数分别整除，请写出这四个数。

测试题

1．请你将1、2、3、……、2006这2006个数重新排成一列，使得：第1个数能被第2个数整除，前2个数的和能被第3个数整除，前3个数的和能被第4个数整除，……，前2004个数的和能被第2005个数整除，前2005个数的和能被最后一个数整除。

2．华罗庚爷爷在一首诗文中勉励青少年：“猛攻苦战是第一，熟练生成百巧来，勤能补拙是良训，一分辛劳一分才。”现在将诗文中不同的汉字对应不同的自然数，相同的汉字对应相同的自然数，并且不同汉字所对应的自然数可以排列成一串连续的自然数。如果这28个自然数的平均值是23，问“分”字对应的自然数的最大可能值是多少？

答案：

1．

【分析】

考虑重新排列后的最后一个数，因为12200620071003+++=⨯，所以最后一个数能整除20071003

⨯，如果令最后一个数是1003，则前2005个数的和是20061003

⨯．此时可以令第2005个数是2006，则前2005个数的和是20061002⨯。以此类推，可以令第2004个数是1002，第2003个数是2005，第2002个数是1001，第2001个数是2004，……，第4个数是2，第3个数是1005，第2个数是1，第1个数是1004。

所以，重新排列后的顺序是1004，1，1005，2，1006，3，……，2005，1002，2006，1003。

2．

【分析】

(法1)这28个数的总和为2328644⨯=。这28个汉字共有24个不同的汉字。设这串连续自然数的起始的数是m ，不同汉字所对应的自然数依次是：

m ，1m +，…，23m +；

设其中“分”字对应的自然数是()m x +，“是”字对应()m a +，“一”字对应()m b +，诗文中“分”、“是”各出现2次，“一”出现3次，其它汉字各出现1次。则有：

()()232426442

m m m x m a m b ++⨯++++++= ()282762644m a b x ++++=

()283682m x a b =--+

()36827228x a b m x +-++=

因为23x ≤，21001a b +≥++=，所以

()36827228

x a b m x +-++= 3682723135.328

+⨯-≤≈， 所以()m x +最大可能为35。

取12m =，23x =，9a =，0b =(或5a =，2b =或1a =，4b =)，得到满足条件的解，所以其中“分”对应的自然数最大可能是35。

(法2)得到()283682m x a b =--+后可以这样处理该不定方程，首先求m 的最值，

显然()3682x a b --+最多能取到()3682120365--+⨯=，最少能取到

()3682122223279--+⨯=，即2793652828

m ≤≤，由于m 是整数，所以1013m ≤≤，这时可以分类讨论，按照13m =，12m =……依次分析，显然当13m =时24x a b ++=，m x +最多能取到13316+=，(此时1a =，0b =)，而当12m =时232x a b ++=，此时x 能取到最大值23，那么m x +也就能取得到231235+=，当12m <时，显然不可能取到更大的值。所以()m x +的最大值为35。