数字信号处理实验指导

实验一 离散时间信号与系统的时域分析（基础验证型）

1.实验目的

（1）熟悉离散时间信号的产生与基本运算。

（2）熟悉离散时间系统的时域特性。

（3）利用卷积方法观察分析系统的时域特性。

2.实验原理

（1）典型离散时间信号

单位样本序列（通常称为离散时间冲激或单位冲激）用[]n δ表示，其定义为

1,0[]0,0n n n δ=⎧=⎨

≠⎩

（1.1） 单位阶跃序列用[]n μ表示，其定义为

1,0[]0,0

n n n μ≥⎧=⎨<⎩ （1.2） 指数序列由 []n x n A α= （1.3）

给定。其中A 和α可以是任意实数或任意复数，表示为

00(),j j e A A e σ

ωφα+==

式（1.3）可改写为 0000()00[]cos()sin()n j n n n x n A e A e n j A e n σωφσσωφωφ++==+++ （1.4） 带有常数振幅的实正弦序列形如

0[]cos()x n A n ωφ=+ （1.5）

其中A ，0ω和φ是实数。在式（1.4）和（1.5）中，参数A ，0ω和φ分别称为正弦序列[]x n 的振幅、角频率和初始相位。002f ωπ=称为频率。

（2）序列的基本运算

长度N 的两个序列[]x n 和[]h n 的乘积，产生长度也为N 的序列[]y n

[][][]y n x n h n =⋅ （1.6）

长度为N 的两个序列[]x n 和[]h n 相加，产生长度也为N 的序列[]y n

[][][]y n x n h n =+ （1.7）

用标量A 与长度为N 的序列[]x n 相乘，得到长度为N 的序列[]y n

[][]y n A x n =⋅ （1.8）

无限长序列[]x n 通过时间反转，可得到无限长序列[]y n

[][]y n x n =- （1.9）

无限长序列[]x n 通过M 延时，可得到无限长序列[]y n

[][]y n x n M =- （1.10）

若M 是一个负数，式（1.10）运算得到序列[]x n 的超前。

长度为N 的序列[]x n ，可被长度为M 的另一个序列[]g n 增补，得到长度为N M +的更长序列[]y n

{}{}{}{}[][],[]y n x n g n = （1.11）

（3）线性卷积

一个线性时不变离散时间系统的响应[]y n 可以用它的单位冲激响应[]h n 和输入信号[]x n 的卷积来表示：

[][][]()()k y n x n n x k h n k ∞

=-∞=*=

-∑ （1.12） []h n 和[]x n 可以是有限长，也可以是无限长。为了计算机绘图观察方便，主要讨论有限长情况若[]h n 和[]x n 的长度分别为N 和M ，则[]y n 的长度为1L N M =+-。式（1.12）所描述的卷积运算就是序列的移位、相乘和相加的过程。

（4）我们主要研究的线性时不变离散时间系统用形如

00[][]N M

k k k k d

y n k p x n k ==-=-∑∑ （1.13） 的线性常系数差分方程来描述。其中，[]x n 和[]y n 分别为系统的输入和输出，k d 和k p 是常数。离散时间系统的结束为max(,)N M ，它表征系统差分方程的阶数。若假定系统是因果的，则式（1.13）可改写为

1000[][][]N

M k k k k d p y n y n k x n k d d ===--+-∑∑ （1.14）

假设00d ≠。

3.实验内容

（1）利用Matlab 产生典型离散时间信号，并绘制其图形。

（2）用差分方程描述的因果线性时不变离散时间系统为

[]0.71[1]0.46[2]0.62[3]0.9[]0.45[1]0.35[2]0.002[3]

y n y n y n y n x n x n x n x n +-----=--+-+- （1.15） 利用Matlab 计算其冲激响应和阶跃响应，画出前40个样本。

（3）若输入信号为

[][]2[1]0.5[3]x n n n n δδδ=+--- （1.16）

利用Matlab 计算式（1.15）所描述的线性时不变离散时间系统的输出响应[]y n ，绘图观察其时域波形。

4.实验报告要求

（1）在实验报告中简述实验目的和实验原理要点。

（2）在实验报告中附上实验过程中记录的各个信号的时域波形，分析所得到的结果图形，说明各个信号的参数变化对其时域特性的影响。

（3）总结实验中的主要结论。

序列[]x n 的z 变换的收敛域ℜ是z 平面内的一个环形区域：

x x R z R -+<< （2.6）

其中0x x R R -+≤<≤∞。

（2）频率响应

若[]h n 表示一个线性时不变离散时间系统的冲激响应，对[]h n 做离散时间傅里叶变换得到其频率响应()j H e ω

，即 ()[]j j n n H e h n e ωω∞-=-∞=

∑ （2.7） 通常()j H e ω是一个周期为2π的ω的一个复函数，可表示为

{}()

()()()arg ()j j j j H e H e e H e ωωθωωθω== （2.8）

()j H e ω称为幅度响应，()θω称为线性时不变离散时间系统的相位响应。

线性时不变离散时间系统的频率响应可以由输出序列[]y n 的傅里叶变换()j Y e ω

与输入序列[]x n 的傅里叶变换()j X e ω相比得到，即 ()()()j j j Y e H e X e ωω

ω= （2.9） 对用形如式（1.14）所示线性常系数差分方程描述的线性时不变系统，频率响应()j H e ω可表示为

00()M j k

k j k N j k

k

k p e H e d e ωωω-=-==∑∑ （2.10） （3）传输函数

线性时不变离散时间系统的冲激响应[]h n 的z 变换()H z ，称为传输函数或系统函数。 由线性时不变离散时间系统的卷积可知，线性时不变离散时间系统的传输函数可以由输出序列[]y n 的z 变换()Y z 与输入序列[]x n 的z 变换()X z 相比得到，即

()()()

Y z H z X z = （2.11）