(江苏专用)202x版高考数学大一轮复习 第六章 不等式、推理与证明 3 第3讲 基本不等式 文

解析：取 x＝12，则 lgx2＋14＝lg x，故①错；取 x＝32π，则 sin x ＝－1，故②错；取 x＝0，则x2＋1 1＝1，故④错． 答案：③
2．若 a>0，b>0，且 ln(a＋b)＝0，则1a＋1b的最小值是________． 解析：由 a>0，b>0，ln(a＋b)＝0 得aab＋ >>00b， ，＝1，故1a＋1b＝a＋ abb＝ a1b≥a＋21 b2＝1212＝4.当且仅当 a＝b＝12时上式取“＝”．
在运用基本不等式时，要特别注意“拆”“拼”“凑”等技巧，
使其满足基本不等式中“正”“定”“等”的条件．
1．下列不等式一定成立的是________．(填序号) ①lgx2＋14＞lg x(x＞0)； ②sin x＋sin1 x≥2(x≠kπ，k∈Z)； ③x2＋1≥2|x|(x∈R)； ④x2＋1 1＞1(x∈R)．
＝y－3＋y－1 3＋6≥2 （y－3）·y－1 3＋6＝8，
当且仅当 y＝4x＝37时取等号．
(3)因为 a>0，b>0，所以2a＋3b≥2 a6b，
因为
ab≥2
6，所以 ab
ab≥2
6，则 ab 的最小值为 2
6.
【答案】
2 (1) 12
(2)8
(3)2 6
(1)利用基本不等式求函数最值时，注意“一正、二定、三相等， 和定积最大，积定和最小”． (2)在求最值过程中若不能直接使用基本不等式，可以考虑利用 拆项、配凑、常数代换、平方等技巧进行变形，使之能够使用 基本不等式．
第六章 不等式、推理与证明
第 3 讲 基本不等式
1．基本不等式： ab≤a＋2 b (1)基本不等式成立的条件：a_≥___0，b_≥___0. (2)等号成立的条件：当且仅当__a_＝__b___时取等号．
2．算术平均数与几何平均数
设 a>0，b>0，则 a，b 的算术平均数为a＋2 b，几何平均数为 ab， 基本不等式可叙述为：两个正数的算术平均数__不__小__于__它们的
1.(2019·南通市高三调研)若正实数 x，y 满足 x ＋y＝1，则xy＋4y的最小值是________． 解析：因为正实数 x，y 满足 x＋y＝1，所以xy＋4y＝xy＋4（x＋ y y） ＝xy＋4yx＋4≥2 xy·4yx＋4＝8，当且仅当xy＝4yx，即 x＝13，y ＝23时，取“＝”，所以xy＋4y的最小值是 8.
几何平均数．
3．利用基本不等式求最值问题
已知 x>0，y>0，则：
(1)如果积 xy 是定值 p，那么当且仅当 x＝y 时，x＋y 有最小值 是__2___p___．(简记：积定和最小)
(2)如果和 x＋y 是定值 p，那么当且仅当 x＝y 时，xy 有最大值 p2
是__4__．(简记：和定积最大)
答案：8
2．(2019·苏锡常镇四市高三调研)若正数 x，y 满足 15x－y＝22， 则 x3＋y3－x2－y2 的最小值为________． 解析：x3＋y3－x2－y2＝x3＋94x＋y3＋14y－x2－y2－94x－14y≥3x2 ＋y2－x2－y2－94x－14y＝2x2－94x－14y＝2x2＋92－94x－14y－92≥6x －94x－14y－92＝15x4－y－92＝242－92＝1，当且仅当 x＝32，y＝12时 取等号，故 x3＋y3－x2－y2 的最小值为 1.
答案：18
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3．若 x>1，则 x＋x－4 1的最小值为________． 解析：由 x>1，得 x－1>0，则 x＋x－4 1＝x－1＋x－4 1＋1≥4＋1 ＝5. 当且仅当 x－1＝x－4 1，即 x＝3 时等号成立． 答案：5
4．(2017·高考江苏卷)某公司一年购买某种货物 600 吨，每次购 买 x 吨，运费为 6 万元/次，一年的总存储费用为 4x 万元．要 使一年的总运费与总存储费用之和最小，则 x 的值是________． 解析：一年购买60x0次，则总运费与总存储费用之和为60x0×6 ＋4x＝490x0＋x≥8 90x0·x＝240，当且仅当 x＝30 时取等号， 故总运费与总存储费用之和最小时 x 的值是 30. 答案：30
【解析】
(1)3aa＋b b≤2
ab ，当且仅当 3ab
3a＝b
时等号成立，又
9a2＋b2＝1，a>0，b>0，所以当 a＝ 62，b＝ 22时，3aa＋b b取得
最大值 122.
(2)因为实数 x，y 满足 xy＋3x＝30＜x＜12， 所以 x＝y＋3 3∈0，12，
解得 y＞3，
所以3x＋y－1 3＝y＋3＋y－1 3
1．将正数 m 分成两个正数 a 与 b 之和，则 ab 的范围为________． 解析：a＋b＝m≥2 ab， 所以 ab≤m42. 答案：0，m42
2．已知 m>0，n>0，且 mn＝81，则 m＋n 的最小值为________． 解析：因为 m>0，n>0，所以 m＋n≥2 mn＝2 81＝18，当且 仅当 m＝n＝9 时等号成立．
答案：4
3．设 x，y∈R，且 x＋y＝5，则 3x＋3y 的最小值是________．
解析：3x＋3y≥2 3x·3y＝2 3x＋y＝2 35＝18 3，当且仅当 x＝ y＝52时等号成立． 答案：18 3
利用基本不等式求最值 (1)(2019·江苏省重点中学领航高考冲刺卷(九))已知正实 数 a，b 满足 9a2＋b2＝1，则3aa＋b b的最大值为________． (2)(2019·苏北四市高三质量检测)若实数 x，y 满足 xy＋3x＝ 30＜x＜12，则3x＋y－1 3的最小值是________． (3)(2019·苏锡常镇四市高三教学情况调研(一))已知 a>0，b>0， 且2a＋3b＝ ab，则 ab 的最小值是________．
1．必明辨的 4 个易错点 使用基本不等式常见的四大错误 (1)忽视条件“a>0，b>0”导致错解． (2)忽视“＝”成立条件导致错解． (3)忽视需要“ab”或“a＋b”为定值导致错解． (4)连续使用两次等号成立的条件不一致．
2．常用的 4 个结论 几个重要的不等式 a2＋b2≥2ab(a，b∈R)； ba＋ab≥2(a，b 同号)； ab≤a＋2 b2(a，b∈R)； a＋2 b2≤a2＋2 b2(a，b∈R)． 3．必会的 1 种方法