2009年江苏高考数学第16题别解
2009年高考江苏卷第18题别解与推广
于是 ，问题 简化 为 找 两 点 Ｐ ，与 Ｐ。 得 四 ，使
边 形 Ｐ ｃ Ｐｚ ２ 为正 方形 ． Ｃ
・
６ ・
中学数 学 月 刊
ｒｎ ， ｒ ｎ
２ ０ 年 第 ９期 ０９
，
方 法 ｌ 设 直线 Ｃ Ｐ 的斜 率为 ｋ ， 因为直线
ＣＣ １ ２的斜率 为 ， 由 Ｐ ｃ ｃ 则 ， ＝ ４ 。 ５ ，得
（ 一６ 一０则直线 ｚ的方程为Ｙ 一 ） ， —ｂ 一÷（
一口 ），即 ＋ ｋ ｙ一 （ 口＋ ｋ ｂ）一 ０ ．
分 别作 Ｃ Ｑ 上 Ｎ ２ ２ Ｍｓ ， ，Ｃ 上 垂足 分别 Ｑ Ｎ２
为 ＱｌＱ ，则 Ｒｔ ，２ ＡＰ１ ＣＱ Ｒ Ｐ Ｃ Ｑ ，所 以 ｔ ２２
到达 Ｐ Ｍ １ ， 圆 Ｃ 相交 于 点 Ｍ １ Ｎ 此 时 Ｚ Ｎ， 与 。 ， ， 。
Ｐｌ
二 兰
√１＋ ｋ
厶
， 从而ｋ ４＋ ） ． 一 （ ｋ ７一０ 即ｋ ２
图２
０ ｋ一一 ， 以直线 ｚ 或 所 的方 程 为 Ｙ一 ０ ７ 或 ｚ＋
２ ｙ 一 ２ — ０ ４ ８ ．
圆Ｃ ： １（ ＋ ３ （ ） ＋ 一 １ 。 ４和 圆 Ｃ ：ｚ一 ４ 。 ）一 ２（ ）
＋ （ 一 ５ 一 ４ ） ．
！ ＝墼二 二！ 二 ！ ； ±壁二！± ２１ 一 璺 ．
、
因 为 ｋ有 无 穷多 个 ， 以 所
ｆ ４＋ ｂ一 ２— ０ ｆ ， ａ— ｂ＋ ８ — ０，
圆心 到直 线 １ 。的距离 相 等 ，即
课本 、 意 改革 、 中求 进 的 特色 ， 得 了很 好 的 锐 稳 取 效果 ． 理科 学生 来 讲 ， 析几 何 试题 出现在 填空 对 解
2009年全国高考江苏数学试题
绝密★启用前2009年普通高等学校招生全国统一考试（江苏卷）数学Ⅰ参考公式：样本数据12,,,n x x x 的方差221111(),nniii i s x x x x nn===-=∑∑其中一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分。
请把答案填写在答题卡相应的位．．．．．．．置上．．. 1.若复数12429,69z i z i =+=+，其中i 是虚数单位，则复数12()z z i -的实部为★. 【答案】20- 【解析】略2.已知向量a 和向量b 的夹角为30，||2,||3==a b ，则向量a 和向量b 的数量积= a b ★ .【答案】3 【解析】32332=⋅⋅= a b 。
3.函数32()15336f x x x x =--+的单调减区间为 ★ . 【答案】(1,11)-【解析】2()330333(11)(1)f x x x x x '=--=-+，由(11)(1)0x x -+<得单调减区间为(1,11)-。
4.函数s i n ()(y A x A ωϕωϕ=+为常数，注 意 事 项考生在答题前请认真阅读本注意事项及各题答题要求1.本试卷共4页，包含填空题（第1题——第14题）、解答题（第15题——第20题）。
本卷满分160分，考试时间为120分钟。
考试结束后，请将本卷和答题卡一并交回。
2.答题前，请您务必将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置。
3.请认真核对监考员在答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与您本人是否相符。
4.请在答题卡上按照晤顺序在对应的答题区域内作答，在其他位置作答一律无效。
作答必须用0.5毫米黑色墨水的签字笔。
请注意字体工整，笔迹清楚。
5.如需作图，须用2B 铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗。
6.请保持答题卡卡面清洁，不要折叠、破损。
11 π-2π-π-O xy0,0)A ω>>在闭区间[,0]π-上的图象如图所示，则ω= ★ .【答案】3 【解析】32T π=，23T π=，所以3ω=，5.现有5根竹竿，它们的长度（单位：m ）分别为2.5，2.6，2.7，2.8，2.9，若从中一次随机抽取2根竹竿，则它们的长度恰好相差0.3m 的概率为 ★ . 【答案】0.2 【解析】略6.某校甲、乙两个班级各有5名编号为1，2，3，4，5的学生进行投篮练习，每人投10次，投中的次数如下表：学生 1号 2号 3号 4号 5号 甲班 6 7 7 8 7 乙班67679 则以上两组数据的方差中较小的一个为2s = ★ . 【答案】25【解析】略7.右图是一个算法的流程图，最后输出的W = ★ . 【答案】22 【解析】略8.在平面上，若两个正三角形的边长的比为1：2，则它们的面积比为1：4，类似地，在空间，若两个正四面体的棱长的比为1：2，则它们的体积比为 ★ . 【答案】1：8 【解析】略9.在平面直角坐标系xoy 中，点P 在曲线3:103C y x x =-+上，且在第二象限内，已知曲线C 在点P 处的切线的斜率为2，则点P 的坐标为 ★ . 【答案】(2,15)- 【解析】略 10.已知512a -=，函数()xf x a =，若实数,m n 满足()()f m f n >，则,m n 的大开始0S ← 1T ← 2S T S ←-10S ≥2T T ←+W S T ←+输出W 结束YN小关系为 ★ . 【答案】m n < 【解析】略11.已知集合{}2|lo g 2A x x =≤，(,)B a =-∞，若A B ⊆则实数a 的取值范围是(,)c +∞，其中c =★ .【答案】4【解析】由2log 2x ≤得04x <≤，(0,4]A =；由A B ⊆知4a >，所以c =4。
【精品文档】2009年江苏高考数学试卷
【精品文档】2009年江苏高考数学试卷2009年普通高等学校招生全国统一考试(江苏卷)数学?注意事项考生在答题前请认真阅读本注意事项及各题答题要求1.本试卷共4页，包含填空题(第1题——第14题)、解答题(第15题——第20题)。
本卷满分160分，考试时间为120分钟。
考试结束后，请将本卷和答题卡一并交回。
2.答题前，请您务必将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置。
3.请认真核对监考员在答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与您本人是否相符。
4.请在答题卡上按照晤顺序在对应的答题区域内作答，在其他位置作答一律无效。
作答必须用0.5毫米黑色墨水的签字笔。
请注意字体工整，笔迹清楚。
5.如需作图，须用2B铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗。
6.请保持答题卡卡面清洁，不要折叠、破损。
参考公式:nn1122sxxxx,,,其中(),xxx,,,的方差样本数据,,ii12nnn,,11ii一、填空题:本大题共14小题，每小题5分，共70分。
请把答案填写在答题卡相应的位置上. (((((((((izizi,，,，429,691.若复数，其中是虚数单位，则复数12y ()zzi,的实部为 . 121b||2,||3ab,,302.已知向量和向量的夹角为，，则向量a1 O x ,2,,, ,,bab,和向量的数量积 . a33 32fxxxx()15336,,,，3.函数的单调减区间为 .yAxA,，sin()(,,A,,0,0)[,0],,,,,,,4.函数为常数，在闭区间上的图象如,,图所示，则 .5.现有5根竹竿，它们的长度(单位:m)分别为2.5，2.6，2.7，2.8，2.9，若从中一次随机抽取2根竹竿，则它们的长度恰好相差0.3m的概率为 .6.某校甲、乙两个班级各有5名编号为1，2，3，4，5的学生进行投篮练习，每人投10次，投中的次数如下表:学生 1号 2号 3号 4号 5号甲班 6 7 7 8 7乙班 6 7 6 7 92s,则以上两组数据的方差中较小的一个为 .S 数学?试卷第 1 页 (共 7 页)7.右图是一个算法的流程图，最后输出的开始 W, .S,08.在平面上，若两个正三角形的边长的比为1:2，则它们的面积比为1:4，类似地，在空间，若两个T,1 正四面体的棱长的比为1:2，则它们的体积比为 . 2STS,, TT,，2xoy9.在平面直角坐标系中，点P在曲线3Cyxx:103,,，上，且在第二象限内，已知S,10 N 曲线C在点P处的切线的斜率为2，则点P的坐标为 . YWST,，51, xa,fxa(),10.已知，函数，若实数2Wmn,mn,fmfn()(),满足，则的大小关系输出为 .结束 Axx,,|log211.已知集合，,,2Ba,,,(,)c,(,)c，,AB,，若则实数的取值范围是，其中 . a,,12.设和为不重合的两个平面，给出下列命题:,,,,(1)若内的两条相交直线分别平行于内的两条直线，则平行于;,,,ll(2)若外一条直线与内的一条直线平行，则和平行;,,,,ll,(3)设和相交于直线，若内有一条直线垂直于，则和垂直;,,ll(4)直线与垂直的充分必要条件是与内的两条直线垂直. 上面命题中，真命题的序号 (写出所有真命题的序号). (((22xyxoyAABB,,,13(如图，在平面直角坐标系中，为椭圆的，,,,1(0)ab121222abFABBF四个顶点，为其右焦点，直线与直线121yT MOT相交于点T，线段与椭圆的交点恰为线段B2 M OT的中点，则该椭圆的离心率为 .O AAx 1 2S 数学?试卷第 2 页 (共 7 页)q||1q,ab14(设是公比为的等比数列，，令若数列有ban,，,1(1,2,),,,,nnnn 6q,,,53,23,19,37,82连续四项在集合中，则 . ,,二、解答题:本大题共6小题，共计90分，请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明或演算步骤.15((本小题满分14分)abc,,,,(4cos,sin),(sin,4cos),(cos,4sin),,,,,,设向量bc,2tan()，,,(1)若与垂直，求的值; a||bc，(2)求的最大值;tantan16,,,b(3)若，求证:?. a16((本小题满分14分)DABCABC,E,FAB,ACBC如图，在直三棱柱中，分别是的中点，点在上，1111111ADBC, 11EF平面ABC求证:(1)?平面平面AFDBBCC,(2) 111S 数学?试卷第 3 页 (共 7 页)17((本小题满分14分)2222aaaaa,S，,，,7设是公差不为零的等差数列，为其前项和，满足Sn,,nn23457a(1)求数列的通项公式及前项和S; n,,nnaamm，1ma(2)试求所有的正整数，使得为数列中的项. ,,nam，218((本小题满分16分)22xoyCxy:(3)(1)4，，,,在平面直角坐标系中，已知圆和圆 122Cxy:(4)(5)4,，,, 2lA(4,0)l23(1)若直线C过点，且被圆截得的弦长为，求直线的方程; 1ll和(2)设P为平面上的点，满足:存在过点P的无穷多对互相垂的直线，它们分别与12CClClC圆和圆相交，且直线被圆截得的弦长与直线被圆截得的弦长相等，试求121122所有满足条件的点P的坐标.y .. 1O 1 x19.(本小题满分16分)按照某学者的理论，假设一个人生产某产品单件成本为元，如果他卖出该产品的单amm价为元，则他的满意度为;如果他买进该产品的单价为元，则他的满意度为nma，nhh.如果一个人对两种交易(卖出或买进)的满意度分别为和，则他对这两种交易的12na，S 数学?试卷第 4 页 (共 7 页)hh综合满意度为. 12现假设甲生产A、B两种产品的单件成本分别为12元和5元，乙生产A、B两种产品的单件成本分别为3元和20元，设产品A、B的单价分别为m元和m元，甲买进A与ABhh卖出B的综合满意度为，乙卖出A与买进B的综合满意度为. 甲乙3hhhh(1) 求和关于、的表达式;当时，求证:=; mmmm,甲乙甲乙ABAB53(2) 设，当m、m分别为多少时，甲、乙两人的综合满意度均最大,最大的mm,ABAB5综合满意度为多少,hh,，试问能否适当选取、的值，使得和(3) 记(2)中最大的综合满意度为hmm 甲00ABhh,同时成立，但等号不同时成立,试说明理由. 乙020((本小题满分16分)2fxxxaxa()2()||,，,,设为实数，函数. af(0)1,(1) 若，求的取值范围; afx()(2) 求的最小值;hxfxxa()(),(,),,，,hx()1,(3) 设函数，直接写出(不需给出演算步骤)不等式的((((解集.S 数学?试卷第 5 页 (共 7 页)2009年普通高等学校招生全国统一考试(江苏卷)数学?(附加题)注意事项考生在答题前请认真阅读本注意事项及各题答题要求:1(本试卷共2页，均为非选择题(第21题,第23题)。
2009年江苏考试数学真题-推荐下载
【解析】 考查利用导数判断函数的单调性。
f (x) 3x2 30x 33 3(x 11)(x 1) ， 由 (x 11)(x 1) 0 得单调减区间为 (1,11) 。亦
可填写闭区间或半开半闭区间。
4.函数 y Asin(x ) （ A,, 为常数， A 0, 0 ）在闭区间[ , 0]上的图象如图所示，则 = ▲ .
参考公式：
样本数据 x1, x2 ,, xn 的方差 s2
1 n
n
i1
( xi
一、填空题：本大题共 14 小题，每小题 5 分，共 70 分。请把答案填写在答题卡相应的位置
上.
1.若复数 z1 4 29i, z2 6 9i, 其中 i 是虚数单位，则复数 (z1 z2 )i 的实部为 ▲ 。
7
7
第二象限内，已知曲线 C 在点 P 处的切线的斜率为 2，则点 P 的坐标为 ▲ . 【解析】 考查导数的几何意义和计算能力。
y 3x2 10 2 x 2 ，又点 P 在第二象限内， x 2 点 P 的坐标为（-2，15）
10.已知 a
关系为 ▲ .
5
2
1
，函数
【解析】考查复数的减法、乘法运算，以及实部的概念。 -20
2.已知向量 a 和向量 b 的夹角为 30o ，| a | 2,| b | 3 ，则向量 a 和向量 b 的数量积 a b = ▲。
【解析】 考查数量积的运算。
3.函数 f (x) x3 15x2 33x 6 的单调减区间为 ▲ .
中c= ▲ .
【解析】 考查集合的子集的概念及利用对数的性质解不等式。
由 log2 x 2 得 0 x 4 ， A (0, 4]；由 A B 知 a 4 ，所以 c 4。
江苏省2009届高考信息题三
江苏省2009届高考信息题三（数学）第一卷 文理必做题（共160分，时间120分钟）一、填空题（每小题5分，共70分）1、已知集合A={}|0x x x Z ≤≤∈，集合B={}|2,x x a a A =∈，则A ∩B= 2、已知函数()y f x =是一个以6为最小正周期的奇函数，则f (3)=3、等比数列{}n a 的前n 项和为S n ，已知S 1、2S 2、3S 3成等差数列，则{}n a 的公比为 。
4、已知实数m 、n 满足11mni i=-+（其中i 是虚数单位），则双曲线mx 2-ny 2=1的离心率为 。
5、向量满足b a b a a 与,23||,1||=-=的夹角为60°，则=|| 。
6、过原点的直线与圆22430x y x +++=相切，若切点在第二象限，则该直线的方程是 。
7、某同学设计算法解决“求关于,,x y z 的不定方程组325372=+⎧⎪=+⎨⎪=+⎩m x m y m z 的正整数解” 的问题，他编写的伪代码程序如下，请在横线上填写适当的伪代码语句使算法程序完整。
()()()2,32 ,53,72←≠≠≠或或m While Mod m Mod m Mod m____________________P r i n tE n d W h i l e m8、某种商品的进货规则是：若进货不超过50件，则每件b 元，若超过50件，则每件为)30(-b 元. 现进货不超过50件，共花了a 元，若多进11件，则花费仍是a 元.设每件进货价都是整数元，则a 等于 。
9、过抛物线2y x =的焦点F 的直线m 的倾斜角4πθ≥，m 交抛物线于A 、B 两点，且A 点在x 轴上方，则FA 的取值范围是 。
10、下面四个命题中正确命题的序号是 ：①“直线a ∥直线b ”的充要条件是“a 平行于b 所在的平面”；②“直线l ⊥平面α内所有直线”的充要条件是“l ⊥平面α”； ③“直线a 、b 为异面直线”的充分不必要条件是“直线a 、b 不相交”；④“平面α∥平面β”的必要不充分条件是“α内存在不共线三点到β的距离相等”；11、已知非负实数x 、y 同时满足2x +y -4≤0,x +y -1≥0,则z =x 2+y 2+y 的最小值是 。
专题19 导数的综合应用-十年高考(2009-)之高三数学分项与解读(江苏专版)
【考情概览】年份题号考点难度层次考查内容，方式，模型等2018 19 导数的综合应用困难极值2017 20 导数的综合应用困难证不等式、极值2016 19 导数的综合应用困难恒成立，零点2015 19 导数的综合应用困难单调性、零点2014 19 导数的综合应用困难恒成立，比较大小2013 20 导数的综合应用困难零点、单调性2012 18 导数的综合应用困难零点、极值2011 19 导数的综合应用困难单调性、最值2010 20 导数的综合应用困难单调区间、取值范围2009【命题规律】含有参数的函数导数试题，主要有两个方面：一是根据给出的某些条件求出这些参数值，基本思想方法为方程的思想；二是在确定参数的范围（或取值）使得函数具有某些性质，基本解题思想是函数与方程的思想、分类讨论的思想.含有参数的函数导数试题是高考考查函数方程思想、分类讨论思想的主要题型之一.这类试题在考查题型上，通常以解答题的形式出现，难度中等.【真题展示】1. 【2010江苏，20】设f(x)是定义在区间(1，＋∞)上的函数，其导函数为f′(x)．如果存在实数a和函数h(x)，其中h(x)对任意的x∈(1，＋∞)都有h(x)＞0，使得f′(x)＝h(x)(x2－ax＋1)，则称函数f(x)具有性质P(a)．(1)设函数f(x)＝ln x＋21bx++(x＞1)，其中b为实数．①求证：函数f(x)具有性质P(b)；②求函数f(x)的单调区间．(2)已知函数g(x)具有性质P(2)，给定x1，x2∈(1，＋∞)，x1＜x2，设m为实数，α＝mx1＋(1－m)x2，β＝(1－m)x1＋mx2，且α＞1，β＞1，若|g(α)－g(β)|＜|g(x1)－g(x2)|，求m的取值范围．【答案】(1) ①详见解析，②在区间(1，x2)上单调递减，在区间(x2，＋∞)上单调递增．(2) (0,1)．【解析】解：(1)①由f(x)＝ln x＋21bx++，得f′(x)＝221(1)x bxx x++－.所以当x∈(1，x2)时，f′(x)＜0；当x∈(x2，＋∞)时，f′(x)＞0；当x＝x2时，f′(x)＝0.从而函数f(x)在区间(1，x2)上单调递减，在区间(x2，＋∞)上单调递增．综上所述，当b≤2时，函数f(x)的单调增区间为(1，＋∞)；当b＞2时，函数f(x)的单调减区间为(124b b+－)，单调增区间为24b b+－(2)由题设知，g(x)的导函数g′(x)＝h(x)(x2－2x＋1)，其中函数h(x)＞0对于任意的x∈(1，＋∞)都成立．所以，当x＞1时，g′(x)＝h(x)(x－1)2＞0.从而g(x)在区间(1，＋∞)上单调递增．①当m∈(0,1)时，有α＝mx1＋(1－m)x2＞mx1＋(1－m)x1＝x1，α＜mx2＋(1－m)x2＝x2，得α∈(x1，x2)，同理可得β∈(x1，x2)，所以由g(x)的单调性知g(α)，g(β)∈(g(x1)，g(x2))，从而有|g(α)－g(β)|＜|g(x1)－g(x2)|，符合题设．②当m≤0时，α＝mx1＋(1－m)x2≥mx2＋(1－m)x2＝x2，β＝(1－m)x1＋mx2≤(1－m)x1＋mx1＝x1，于是由α＞1，β＞1及g(x)的单调性知g(β)≤g(x1)＜g(x2)≤g(α)，所以|g(α)－g(β)|≥|g(x1)－g(x2)|，与题设不符．③当m≥1时，同理可得α≤x1，β≥x2，进而得|g(α)－g(β)|≥|g(x1)－g(x2)|，与题设不符．因此，综合①②③得所求的m的取值范围为(0,1)．2. 【2011江苏，19】已知a，b是实数，函数f(x)＝x3＋ax，g(x)＝x2＋bx，f′(x)和g′(x)分别是f(x)和g(x)的导函数．若f′(x)g′(x)≥0在区间I上恒成立，则称f(x)和g(x)在区间I上单调性一致．(1)设a＞0，若f(x)和g(x)在区间[－1，＋∞)上单调性一致，求b的取值范围；(2)设a＜0且a≠B．若f(x)和g(x)在以a，b为端点的开区间上单调性一致，求|a－b|的最大值．【答案】(1) [2，＋∞)， (2) 13.3【2012江苏，18】若函数y＝f(x)在x＝x0处取得极大值或极小值，则称x0为函数y＝f(x)的极值点．已知a，b是实数，1和－1是函数f(x)＝x3＋ax2＋bx的两个极值点．(1)求a和b的值；(2)设函数g(x)的导函数g′(x)＝f(x)＋2，求g(x)的极值点；(3)设h(x)＝f(f(x))－c，其中c∈[－2,2]，求函数y＝h(x)的零点个数．【答案】(1) a＝0，b＝－3. (2) －2. (3) 9．【解析】解：(1)由题设知f′(x)＝3x2＋2ax＋b，且f′(－1)＝3－2a＋b＝0，f′(1)＝3＋2a＋b＝0，解得a＝0，b＝－3.(2)由(1)知f(x)＝x3－3x.因为f(x)＋2＝(x－1)2(x＋2)，所以g′(x)＝0的根为x1＝x2＝1，x3＝－2，于是函数g(x)的极值点只可能是1或－2.当x＜－2时，g′(x)＜0；当－2＜x＜1时，g′(x)＞0，故－2是g(x)的极值点．当－2＜x＜1或x＞1时，g′(x)＞0，故1不是g(x)的极值点．所以g(x)的极值点为－2.(3)令f(x)＝t，则h(x)＝f(t)－c.先讨论关于x的方程f(x)＝d根的情况，d∈[－2,2]．当|d|＝2时，由(2)可知，f(x)＝－2的两个不同的根为1和－2，注意到f(x)是奇函数，所以f(x)＝2的两个不同的根为－1和2.4 【2013江苏，20】设函数f(x)＝ln x－ax，g(x)＝e x－ax，其中a为实数．(1)若f(x)在(1，＋∞)上是单调减函数，且g(x)在(1，＋∞)上有最小值，求a的取值范围；(2)若g(x)在(－1，＋∞)上是单调增函数，试求f(x)的零点个数，并证明你的结论．【答案】(1) (e，＋∞)．(2) 当a≤0或a＝e－1时，f(x)的零点个数为1，当 0＜a＜e－1时，f(x)的零点个数为2.【解析】解：(1)令f′(x)＝11axax x--=＜0，考虑到f(x)的定义域为(0，＋∞)，故a＞0，进而解得x＞a－1，即f(x)在(a－1，＋∞)上是单调减函数．同理，f(x)在(0，a－1)上是单调增函数．由于f(x)在(1，＋∞)上是单调减函数，故(1，＋∞)⊆(a－1，＋∞)，从而a－1≤1，即a≥1.令g′(x)＝e x－a＝0，得x＝ln a．当x＜ln a时，g′(x)＜0；当x＞ln a时，g′(x)＞0.又g(x)在(1，＋∞)上有最小值，所以ln a＞1，即a ＞e.综上，有a∈(e，＋∞)．(2)当a≤0时，g(x)必为单调增函数；当a＞0时，令g′(x)＝e x－a＞0，解得a＜e x，即x＞ln a.因为g(x)在(－1，＋∞)上是单调增函数，类似(1)有ln a≤－1，即0＜a≤e－1.结合上述两种情况，有a≤e－1.①当a＝0时，由f(1)＝0以及f′(x)＝1x＞0，得f(x)存在唯一的零点；②当a ＜0时，由于f (e a )＝a －a e a ＝a (1－e a )＜0，f (1)＝－a ＞0，且函数f (x )在[e a,1]上的图象不间断，所以f (x )在(e a,1)上存在零点． 另外，当x ＞0时，f ′(x )＝1x－a ＞0，故f (x )在(0，＋∞)上是单调增函数，所以f (x )只有一个零点． ③当0＜a ≤e －1时，令f ′(x )＝1x－a ＝0，解得x ＝a －1.当0＜x ＜a －1时，f ′(x )＞0，当x ＞a －1时，f ′(x )＜0，所以，x ＝a －1是f (x )的最大值点，且最大值为f (a －1)＝－ln a －1. 当－ln a －1＝0，即a ＝e －1时，f (x )有一个零点x ＝e. 当－ln a －1＞0，即0＜a ＜e －1时，f (x )有两个零点．实际上，对于0＜a ＜e －1，由于f (e －1)＝－1－a e －1＜0，f (a －1)＞0，且函数f (x )在[e －1，a －1]上的图象不间断，所以f (x )在(e －1，a －1)上存在零点． 另外，当x ∈(0，a －1)时，f ′(x )＝1x－a ＞0，故f (x )在(0，a －1)上是单调增函数，所以f (x )在(0，a －1)上只有一个零点．下面考虑f (x )在(a －1，＋∞)上的情况．先证f (ea －1)＝a (a －2－ea －1)＜0.为此，我们要证明：当x ＞e 时，e x＞x 2.设h (x )＝e x－x 2，则h ′(x )＝e x－2x ，再设l (x )＝h ′(x )＝e x－2x ，则l ′(x )＝e x－2.当x ＞1时，l ′(x )＝e x－2＞e －2＞0，所以l (x )＝h ′(x )在(1，＋∞)上是单调增函数．故当x ＞2时，h ′(x )＝e x－2x ＞h ′(2)＝e 2－4＞0，从而h (x )在(2，＋∞)上是单调增函数，进而当x ＞e 时，h (x )＝e x －x 2＞h (e)＝e e －e 2＞0.即当x ＞e 时，e x ＞x 2.当0＜a ＜e －1，即a －1＞e 时，f (ea －1)＝a －1－a ea －1＝a (a －2－ea －1)＜0，又f (a －1)＞0，且函数f (x )在[a －1，ea－1]上的图象不间断，所以f (x )在(a －1，ea －1)上存在零点．又当x ＞a －1时，f ′(x )＝1x－a ＜0，故f (x )在(a －1，＋∞)上是单调减函数，所以f (x )在(a －1，＋∞)上只有一个零点．综合①，②，③，当a ≤0或a ＝e －1时，f (x )的零点个数为1， 当 0＜a ＜e －1时，f (x )的零点个数为2. 5. 【2014江苏，19】已知函数()xxf x e e -=+，其中e 是自然对数的底数.（1）证明：()f x 是R 上的偶函数； （2）若关于x 的不等式()1xmf x em -≤+-在(0,)+∞上恒成立，求实数m 的取值范围；（3）已知正数a 满足：存在0(1,)x ∈+∞，使得3000()(3)f x a x x <-+成立，试比较1a e -与1e a -的大小，并证明你的结论.【答案】（1）证明见解析；（2）13m ≤-；（3）当11()2e a e e+<<时，11a e e a --<，当a e =时，11a e e a --=，当a e >时，11a e ea -->．【解析】（1）证明：函数()f x 定义域为R ，∵()()xx f x e e f x --=+=，∴()f x 是偶函数．（2）由()1xmf x em -≤+-得(()1)1x m f x e --≤-，由于当0x >时，1x e >，因此()2x x f x e e -=+>，即()110f x ->>，所以11()11x x x x e e m f x e e -----≤=-+-211x x x e e e -=+-，令211x x xe y e e -=+-，设1x t e =-，则0t <，21(1)11t t t y t t -+==+-，∵0t <，∴12t t+≤-（1t =-时等号成立），即1213y ≤--=-，103y -≤<，所以13m ≤-．6. 【2015高考江苏，19】（本小题满分16分） 已知函数),()(23R b a b ax x x f ∈++=. （1）试讨论)(x f 的单调性；（2）若a c b -=（实数c 是a 与无关的常数），当函数)(x f 有三个不同的零点时，a 的取值范围恰好是),23()23,1()3,(+∞--∞ ，求c 的值.【答案】（1）当0a =时， ()f x 在(),-∞+∞上单调递增；当0a >时， ()f x 在2,3a ⎛⎫-∞-⎪⎝⎭，()0,+∞上单调递增，在2,03a ⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递减；当0a <时， ()f x 在(),0-∞，2,3a ⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭上单调递增，在20,3a ⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递减．（2） 1.c =【解析】（1）()232f x x ax '=+，令()0f x '=，解得10x =，223ax =-． 当0a =时，因为()230f x x '=>（0x ≠），所以函数()f x 在(),-∞+∞上单调递增；当0a >时，()2,0,3a x ⎛⎫∈-∞-+∞ ⎪⎝⎭时，()0f x '>，2,03a x ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭时，()0f x '<，所以函数()f x 在2,3a ⎛⎫-∞-⎪⎝⎭，()0,+∞上单调递增，在2,03a ⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递减；当0a <时，()2,0,3a x ⎛⎫∈-∞-+∞ ⎪⎝⎭时，()0f x '>，20,3a x ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭时，()0f x '<，所以函数()f x 在(),0-∞，2,3a ⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭上单调递增，在20,3a ⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递减．（2）由（1）知，函数()f x 的两个极值为()0f b =，324327a f ab ⎛⎫-=+ ⎪⎝⎭，则函数()f x 有三个 零点等价于()32400327a f f b a b ⎛⎫⎛⎫⋅-=+< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，从而304027a a b >⎧⎪⎨-<<⎪⎩或304027a b a <⎧⎪⎨<<-⎪⎩． 又b c a =-，所以当0a >时，34027a a c -+>或当0a <时，34027a a c -+<． 设()3427g a a a c =-+，因为函数()f x 有三个零点时，a 的取值范围恰好是 ()33,31,,22⎛⎫⎛⎫-∞-+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则在(),3-∞-上()0g a <，且在331,,22⎛⎫⎛⎫+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭上()0g a >均恒成立， 从而()310g c -=-≤，且3102g c ⎛⎫=-≥⎪⎝⎭，因此1c =． 此时，()()()3221111f x x ax a x x a x a ⎡⎤=++-=++-+-⎣⎦，因函数有三个零点，则()2110x a x a +-+-=有两个异于1-的不等实根，所以()()22141230a a a a ∆=---=+->，且()()21110a a ---+-≠， 解得()33,31,,22a ⎛⎫⎛⎫∈-∞-+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭． 综上1c =．【考点定位】利用导数求函数单调性、极值、函数零点7【2016江苏，理19】已知函数()(0,0,1,1)xxf x a b a b a b =+>>≠≠.（1）设12,2a b ==.①求方程()f x =2的根；②若对任意x ∈R ，不等式(2)()6f x mf x ≥-恒成立，求实数m 的最大值；（2）若01,1a b <<＞，函数()()2g x f x =-有且只有1个零点，求ab 的值. 【答案】（1）①0 ②4 （2）1 【解析】试题解析：（1）因为12,2a b ==，所以()22x xf x -=+.而2(())444()2()4()()()f x f x f x f x f x f x +=+≥⋅=，且2((0))44(0)f f +=， 所以4m ≤，故实数m 的最大值为4.若00x >，同理可得，在02x 和log 2a 之间存在()g x 的非0的零点，矛盾. 因此，00x =. 于是ln 1ln ab-=，故ln ln 0a b +=，所以1ab =. 【考点】指数函数、基本不等式、利用导数研究函数单调性及零点【名师点睛】对于函数零点个数问题，可利用函数的值域或最值，结合函数的单调性、草图等确定其中参数的范围．从图象的最高点、最低点，分析函数的最值、极值；从图象的对称性，分析函数的奇偶性；从图象的走向趋势，分析函数的单调性、周期性等．但需注意探求与论证之间区别，论证是充要关系，要充分利用零点存在定理及函数单调性严格说明函数零点个数.8.【2017江苏，20】已知函数32()1(0,)f x x ax bx a b =+++>∈R 有极值,且导函数()f x '的极值点是()f x 的零点.（极值点是指函数取极值时对应的自变量的值） （1）求b 关于a 的函数关系式，并写出定义域； （2）证明：23b a >;（3）若()f x ,()f x '这两个函数的所有极值之和不小于72-，求a 的取值范围.【答案】（1）3a >（2）见解析（3）36a <≤【解析】试题分析：（1）先求导函数极值3a x =-再代入原函数得33()1032793a a a ab f -=-+-+=，化简可得2239a b a=+，根据极值存在条件可得3a >（2）构造差函数2233(3)9a y a a a =+->，利用导数研究差函数单调性，为单调递增，所以(3)0y y >>（3）关键先求证()f x 的两个极值之和为零，利用韦达定理代入化简即得，再研究导函数极值不小于72-，构造差函数213()=9h a a a -+，利用导数研究其函数单调性，()h a 在(3,)+∞上单调递减.而7(6)=2h -，故得a 的取值范围.试题解析：解：（1）由32()1f x x ax bx =+++，得222()323()33a a f x x axb x b '=++=++-.x1(,)x -∞1x12(,)x x2x2(,)x +∞()f x '+ 0 – 0 + ()f x极大值极小值故()f x 的极值点是12,x x .（3）由（1）知，()f x 的极值点是12,x x ，且1223x x a +=-，22212469a b x x -+=.从而323212111222()()11f x f x x ax bx x ax bx +=+++++++2222121122121212(32)(32)()()23333x x x ax b x ax b a x x b x x =++++++++++ 346420279a ab ab -=-+=记()f x ，()f x '所有极值之和为()h a ，因为()f x '的极值为221339a b a a -=-+，所以213()=9h a a a -+，3a >. 因为223()=09h a a a '--<，于是()h a 在(3,)+∞上单调递减. 因为7(6)=2h -，于是()(6)h a h ≥，故6a ≤.因此a 的取值范围为(36]，.【考点】利用导数研究函数单调性、极值及零点【名师点睛】涉及函数的零点问题、方程解的个数问题、函数图像交点个数问题，一般先通过导数研究函数的单调性、最大值、最小值、变化趋势等，再借助函数的大致图象判断零点、方程根、交点的情况，归根到底还是研究函数的性质，如单调性、极值，然后通过数形结合的思想找到解题的思路.9.【2018江苏，理19】记(),()f x g x ''分别为函数(),()f x g x 的导函数．若存在0x ∈R ，满足00()()f x g x =且00()()f x g x ''=，则称0x 为函数()f x 与()g x 的一个“S 点”． （1）证明：函数()f x x =与2()22g x x x =+-不存在“S 点”； （2）若函数2()1f x ax =-与()ln g x x =存在“S 点”，求实数a 的值；（3）已知函数2()f x x a =-+，e ()xb g x x=．对任意0a >，判断是否存在0b >，使函数()f x 与()g x 在区间(0,)+∞内存在“S 点”，并说明理由．【答案】（1）证明见解析（2）a 的值为（3）对任意a >0，存在b >0，使函数f （x ）与g （x ）在区间（0，+∞）内存在“S 点”．【解析】解： （1）函数f （x ）=x ，g （x ）=x 2+2x -2，则f ′（x ）=1，g ′（x ）=2x +2．由f （x ）=g （x ）且f ′（x ）= g ′（x ），得 222122x x x x ⎧=+-⎨=+⎩，此方程组无解， 因此，f （x ）与g （x ）不存在“S ”点． （2）函数21f x ax =-（），()ln g x x =， 则12f x ax g x x'='=（），（）． 设x 0为f （x ）与g （x ）的“S ”点，由f （x 0）与g （x 0）且f ′（x 0）与g ′（x 0），得200001ln 12ax x ax x ⎧-=⎪⎨=⎪⎩，即200201ln 21ax x ax ⎧-=⎪⎨=⎪⎩，（*）此时，0x 满足方程组（**），即0x 是函数f （x ）与g （x ）在区间（0，1）内的一个“S 点”． 因此，对任意a >0，存在b >0，使函数f （x ）与g （x ）在区间（0，+∞）内存在“S 点”． 【方法技巧】涉及函数的零点问题、方程解的个数问题、函数图像交点个数问题，一般先通过导数研究函数的单调性、最大值、最小值、变化趋势等，再借助函数的大致图象判断零点、方程根、交点的情况，归根到底还是研究函数的性质，如单调性、极值，然后通过数形结合的思想找到解题的思路.【对症下药】1.研究函数单调区间，实质研究函数极值问题.分类讨论思想常用于含有参数的函数的极值问题，大体上可分为两类，一类是定区间而极值点含参数，另一类是不定区间（区间含参数）极值点固定，这两类都是根据极值点是否在区间内加以讨论，讨论时以是否使得导函数变号为标准，做到不重不漏.2.求可导函数单调区间时首先坚持定义域优先原则，必须先确定函数的定义域，尤其注意定义区间不连续的情况，此时单调区间按断点自然分类；其次，先研究定义区间上导函数无零点或零点落在定义区间端点上的情况，此时导函数符号不变，单调性唯一；对于导函数的零点在定义区间内的情形，最好列表分析导函数符号变化规律，得出相应单调区间.3.讨论函数的单调性其实质就是讨论不等式的解集的情况.大多数情况下，这类问题可以归结为一个含有参数的一元二次不等式的解集的讨论，在能够通过因式分解求出不等式对应方程的根时依据根的大小进行分类讨论，在不能通过因式分解求出根的情况时根据不等式对应方程的判别式进行分类讨论.讨论函数的单调性是在函数的定义域内进行的，千万不要忽视了定义域的限制.4.含参数的函数的极值(最值)问题常在以下情况下需要分类讨论： (1)导数为零时自变量的大小不确定需要讨论；(2)导数为零的自变量是否在给定的区间内不确定需要讨论； (3)端点处的函数值和极值大小不确定需要讨论；(4)参数的取值范围不同导致函数在所给区间上的单调性的变化不确定需要讨论. 5.求可导函数单调区间的一般步骤(1)确定函数)(x f 的定义域(定义域优先)； (2)求导函数()f x '；(3)在函数)(x f 的定义域内求不等式()0f x '>或()0f x '<的解集．(4)由()0f x '>（()0f x '<）的解集确定函数)(x f 的单调增(减)区间．若遇不等式中带有参数时，可分类讨论求得单调区间．6．由函数)(x f 在(,)a b 上的单调性，求参数范围问题，可转化为()0f x '≥ (或()0f x '≤)恒成立问题，要注意“＝”是否可以取到．7. 求函数最值时，不可想当然地认为极值点就是最值点，要通过认真比较才能下结论；另外注意函数最值是个“整体”概念，而极值是个“局部”概念．8. 函数、导数解答题中贯穿始终的是数学思想方法，在含有参数的试题中，分类与整合思想是必要的，由于是函数问题，所以函数思想、数形结合思想也是必要的，把不等式问题转化为函数最值问题、把方程的根转化为函数零点问题等，转化与化归思想也起着同样的作用，解决函数、导数的解答题要充分注意数学思想方法的应用.9. 导数及其应用通常围绕四个点进行命题．第一个点是围绕导数的几何意义展开，设计求曲线的切线方程，根据切线方程求参数值等问题，这类试题在考查导数的几何意义的同时也考查导数的运算、函数等知识，试题的难度不大；第二个点是围绕利用导数研究函数的单调性、极值(最值)展开，设计求函数的单调区间、极值、最值，已知单调区间求参数或者参数范围等问题，在考查导数研究函数性质的同时考查分类与整合思想、化归与转化思想等数学思想方法；第三个点是围绕导数研究不等式、方程展开，涉及不等式的证明、不等式的恒成立、讨论方程根等问题，主要考查通过转化使用导数研究函数性质并把函数性质用来分析不等式和方程等问题的能力，该点和第二个点一般是解答题中的两个设问，考查的核心是导数研究函数性质的方法和函数性质的应用；第四个点是围数性质并把函数性质用来分析不等式和方程等问题的能力，该点和第二个点一般是解答题中的两个设问，考查的核心是导数研究函数性质的方法和函数性质的应用． 10. 函数的单调性问题与导数的关系（1）函数的单调性与导数的关系：设函数()y f x =在某个区间内可导，若()0f x '>，则()f x 为增函数；若/()0f x <，则()f x 为减函数. （2）用导数函数求单调区间方法求单调区间问题，先求函数的定义域，在求导函数，解导数大于0的不等式，得到区间为增区间，解导数小于0得到的区间为减区间，注意单调区间一定要写出区间形式，不用描述法集合或不等式表示，且增（减）区间有多个，一定要分开写，用逗号分开，不能写成并集形式，要说明增（减）区间是谁，若题中含参数注意分类讨论；(3) 已知在某个区间上的单调性求参数问题先求导函数，将其转化为导函数在这个区间上大于（增函数）（小于（减函数））0恒成立问题，通过函数方法或参变分离求出参数范围，注意要验证参数取等号时，函数是否满足题中条件，若满足把取等号的情况加上，否则不加.（4）注意区分函数在某个区间上是增（减）函数与函数的增（减）区间是某各区间的区别，函数在某个区间上是增（减）函数中的区间可以是该函数增(减)区间的子集. 11.函数的极值与导数 （1）函数极值的概念设函数()y f x =在0x 附近有定义，若对0x 附近的所有点，都有0()()f x f x <，则称0()f x 是函数()f x 的一个极大值，记作y 极大值=0()f x ；设函数()y f x =在0x 附近有定义，若对0x 附近的所有点，都有0()()f x f x >，则称0()f x 是函数()f x 的一个极小值，记作y 极小值=0()f x .注意：极值是研究函数在某一点附近的性质，使局部性质;极值可有多个值，且极大值不定大于极小值;极值点不能在函数端点处取. （2）函数极值与导数的关系当函数()y f x =在0x 处连续时，若在0x 附近的左侧/()0f x >，右侧/()0f x <，那么0()f x 是极大值；若在0x 附近的左侧/()0f x <，右侧/()0f x >，那么0()f x 是极小值.注意：①在导数为0的点不一定是极值点，如函数3y x =，导数为/23y x =，在0x =处导数为0，但不是极值点；②极值点导数不定为0，如函数||y x =在0x =的左侧是减函数，右侧是增函数，在0x =处取极小值，但在0x =处的左导数0(0)(0)lim x x x -∆→-+∆--∆=-1，有导数0(0)(0)lim x x x+∆→+∆-∆=1，在0x =处的导数不存在.（3）函数的极值问题①求函数的极值，先求导函数，令导函数为0，求出导函数为0点，方程的根和导数不存在的点，再用导数判定这些点两侧的函数的单调性，若左增由减，则在这一点取值极大值，若左减右增，则在这一点取极小值，要说明在哪一点去极大（小）值；②已知极值求参数，先求导，则利用可导函数在极值点的导数为0，列出关于参数方程，求出参数，注意可导函数在某一点去极值是导函数在这一点为0的必要不充分条件，故需将参数代入检验在给点的是否去极值；③已知三次多项式函数有极值求参数范围问题，求导数，导函数对应的一元二次方程有解，判别式大于0，求出参数的范围. 12.最值问题 （1）最值的概念对函数()y f x =有函数值0()f x 使对定义域内任意x ，都有()f x ≤0()f x （()f x ≥0()f x ）则称0()f x 是函数()y f x =的最大（小）值.注意：①若函数存在最大（小）值，则值唯一；最大值可以在端点处取；若函数的最大值、最小值都存在，则最大值一定大于最小值.②最大值不一定是极大值，若函数是单峰函数，则极大（小）值就是最大（小）值. （2）函数最问题①对求函数在某一闭区间上，先用导数求出极值点的值和区间端点的值，最大者为最大值，最小者为最小值，对求函数定义域上最值问题或值域，先利用导数研究函数的单调性和极值，从而弄清函数的图像，结合函数图像求出极值；②对已知最值或不等式恒成立求参数范围问题，通过参变分离转化为不等式()f x ≤（≥）()g a （x 是自变量，a 是参数）恒成立问题，()g a ≥max ()f x （≤min ()f x ），转化为求函数的最值问题，注意函数最值与极值的区别与联系.【考题预测】1．【江苏省南通市2018届高三最后一卷 --- 备用题数学试题】已知函数，其中.（1）当时，求函数在处的切线方程； （2）若函数存在两个极值点，求的取值范围；（3）若不等式对任意的实数恒成立，求实数的取值范围.【答案】(1) .(2).(3) .详解：（1）当时，，故，且，故所以函数在处的切线方程为（2）由，可得因为函数存在两个极值点，所以是方程的两个正根，即的两个正根为所以，即所以②若，（i）若，即，则，在上单调赠所以当时，，故符合题意；（ii）若，即，令，得（舍去），，当时，，在上单调减；当时，，在上单调递增，所以存在，使得，与题意矛盾，所以不符题意.③若，令，得当时，，在上单调增；当时，，在上单调减.首先证明：所以，则所以当时，对任意的都成立所以当时，即，与题意矛盾，故不符题意，综上所述，实数的取值范围是.点睛：本题是以导数的运用为背景的函数综合题，主要考查了函数思想，化归思想，抽象概括能力，综合分析问题和解决问题的能力，属于较难题，近来高考在逐年加大对导数问题的考查力度，不仅题型在变化，而且问题的难度、深度与广度也在不断加大，本部分的要求一定有三个层次：第一层次主要考查求导公式，求导法则与导数的几何意义；第二层次是导数的简单应用，包括求函数的单调区间、极值、最值等；第三层次是综合考查，包括解决应用问题，将导数内容和传统内容中有关不等式甚至数列及函数单调性有机结合，设计综合题.2．【江苏省扬州树人学校2018届高三模拟考试（四）数学试题】已知函数，（其中为参数）．（1）若对任意，不等式恒成立，求实数的取值范围；（2）当时，求函数的单调区间；（3）求函数的极值．【答案】(1) .(2) 的单调增区间为，单调减区间为．(3) 时，，无极小值；当时，，无极大值；当时，，，．∴对任意，恒成立．又，∴当时，单调递增；当时，单调递减．故，∴．当变化时，的变化情况如下表：由上表可得的单调增区间为，单调减区间为．（3）由题意得（），由（1）知，又，故．易证时，，故，又，在上递增且连续，所以在上有唯一零点，且，故在上递减，在上递增，在上递减，在上递增，所以，，．综上得：点睛：（1）解决恒成立问题时，常用的方法是分离参数，将参数分离后转化为求具体函数的最值的问题处理．（2）函数的单调性是解决问题的基础和工具，在讨论函数的单调性时，若函数解析式中含有参数，则解题时要根据参数的不同取值情况进行分类讨论．3．【江苏省南京师大附中2018届高三高考考前模拟考试数学试题】已知函数f(x)＝lnx－ax＋a，a∈R．（1）若a＝1，求函数f(x)的极值；（2）若函数f(x)有两个零点，求a的范围；（3）对于曲线y＝f(x)上的两个不同的点P(x1，f(x1))，Q(x2，f(x2))，记直线PQ的斜率为k，若y＝f(x)的导函数为f ′(x)，证明：f ′()＜k．【答案】（1）见解析（2）（3）见解析【解析】分析：（1）求极值可先求导分析函数的单调区间从而确定极值点求极值；（2）由（1）可知当a≤0时，f(x)在(0，＋∞)上单调增，不可能有两个零点；故只需讨论当a＞0时的零点情况，当a＞0时，函数有极大值，令（x＞0），求导分析单调性结合零点定理进行证明即可；（3）由斜率计算公式得，而，将看成一个整体构造函数（），分析其最大值即可. 解：（1），，（2）由（1）可知当a≤0时，f(x)在(0，＋∞)上单调增，不可能有两个零点；当a＞0时，函数有极大值，令（x＞0），，，，在(0，1)上单调递减；，，在(1，＋∞)上单调递增，函数有最小值．要使若函数有两个零点时，必须满足，下面证明时，函数有两个零点．因为，所以下面证明还有另一个零点．①当时，，，（3）证明：，，又，，不妨设0＜x2＜x1， t＝，则t＞1，则．令（），则，因此h(t)在(1，＋∞)上单调递减，所以h(t)＜h(1)＝0.又0＜x2＜x1，所以x1－x2＞0，所以f ′()－k＜0，即f ′()＜k．点睛：考查导数在函数的应用、零点定理、导数证明不等式，对复杂函数的正确求导和灵活转化为熟悉的语言理解是解导数难题的关键，属于难题.4．【江苏省南京市2018届高三第三次模拟考试数学试题】已知函数，记为的导函数．（1）若的极大值为，求实数的值；（2）若函数，求在上取到最大值时的值；（3）若关于的不等式在上有解，求满足条件的正整数的集合．【答案】（1）；（2）时，；时，；（3）.【解析】分析：（1）利用导数求函数的极大值，再解方程f (x)极大值＝0得到a的值. (2)利用导数求函数的单调区间，再求函数的最大值. (3) 设h (x)＝f(x)－f ′(x)＝2x3－3(a＋2)x2＋6ax＋3a－2，先把问题转化为h (x)≥0在有解，再研究函数h(x)的图像性质分析出正整数a的集合.详解：（1）因为f (x)＝2x3－3ax2＋3a－2（a＞0），所以f'(x)＝6x2－6ax＝6x(x－a)．令f'(x)＝0，得x＝0或a．当x∈(－∞，0)时，f'(x)＞0，f (x)单调递增；所以g′(x)在(0，1)上存在唯一零点x0＝．当x∈(0，x0)时，g′(x)＞0，g (x)单调递增，当x∈(x0，1)时，g′(x)＜0，g (x)单调递减，则g (x)取得最大值时x的值为x0＝．综上，当0＜a≤2时，g (x)取得最大值时x的值为1；当a＞2时，g (x)取得最大值时x的值为．（3）设h (x)＝f (x)－f ′(x)＝2x3－3(a＋2)x2＋6ax＋3a－2，则h (x)≥0在有解．h′(x)＝6[x2－(a＋2)x＋a]＝6，因为h′(x)在上单调递减，因为h′(x)＜h′()＝－a2＜0，点睛：（1）本题主要考查利用导数求极值、最值和利用导数研究不等式有解问题，意在考查学生对这些基础知识的掌握能力和逻辑分析推理能力运算能力.(2)本题的难点在解不等式h()≥0，即a3－3a2－6a＋4≤0．这里由于是高次不等式解答不了，所以要构造函数t(a)＝a3－3a2－6a＋4（a＞0），通过函数的图像性质得到不等式的解.这是一种解题技巧.5．【江苏省苏锡常镇四市2017-2018学年度高三教学情况调研（二）数学试题】已知函数R．（1）若，①当时，求函数的极值（用表示）；②若有三个相异零点，问是否存在实数使得这三个零点成等差数列？若存在，试求出的值；若不存在，请说明理由；（2）函数图象上点处的切线与的图象相交于另一点，在点处的切线为，直线的斜率分别为，且，求满足的关系式．【答案】(1) ①的极大值为，的极小值为.②存在这样实数满足条件.(2) .因此，的极大值为，的极小值为.② 当时，，此时不存在三个相异零点；当时，与①同理可得的极小值为，的极大值为.要使有三个不同零点，则必须有，即.不妨设的三个零点为，且，则，，①，②，③（2）设A（m，f(m)）,B(n，f(n))，则，，又，由此可得，化简得，因此，，所以，，所以.点睛：(1)本题有两个难点，一个是得到，要通过计算化简得到，这个计算化简比较复杂，一个是求出，这个计算也比较复杂.(2)本题主要考查利用导数求极值、导数的几何意义及利用导数研究函数的零点问题，意在考查学生的导数基础知识的掌握能力及分析推理转化的能力，同时考查计算能力.6．【江苏省2018年高考冲刺预测卷一数学】已知，，.（Ⅰ）求；（Ⅱ）求单调区间；（Ⅲ）若不等式在上恒成立，求实数的取值范围.【答案】（Ⅰ）.（Ⅱ）见解析.（Ⅲ）.【解析】试题分析：求导，算出的值，即可求出 (2)表示出，当时，，令，得或，令，得，所以在。
2009江苏高考数学试卷
2009年普通高等学校招生全国统一考试（江苏卷） 1.若复数乙4 29i, Z2 6 9i，其中i是虚数单位，则复数（乙Z2）i的实部 为
学生 1号 2号 3号 4号 5号 甲班 6 7 7 8 7 乙班 6 7 6 7 9
、填空题：本大题共 14小题，每小题 5分，共70分。请把答案填写在答题卡相应的位
2.已知向量a和向量b的夹角为30°， |a| 2,|b|驚3，则向量a和向量b的数量积
3. 函数 f（x） x3 15x2 33x 6
的单调
减区间为 . 4. 函数y Asin（ x ）（A,,为常数， A 0, 0）在闭区间［,0］上的图象如
图所示，贝U . 高考资源网 5. 现有5根竹竿，它们的长度（单位： 它们的长度恰好相差的概率为 . 6. 某校甲、乙两个班级各有 5名编号为 投中的次数如下表： 高考资源网
m分别为， 考资源网 1 , 2, 3, 4,
,,,,若从中一次随机抽取 2根竹竿，则
5的学生进行投篮练习，每人投 10次, 11.已知集合 A x|log2x 2 , B ( ,a)，若A B则实数a
的取值范围是
(c,)，其中c . 高考资源网
12.设和为不重合的两个平面，给出下列命题： 高考资源网 (1 )若 内的两条相交直线分别平行于 内的两条直线，则 平行于 ；高考资源网 (2) 若 外一条直线l与 内的一条直线平行，则|和 平行；高考资源网 (3) 设 和 相交于直线l，若 内有一条直线垂直于I，则 和 垂直；高考资源网
(4) 直线l与 垂直的充分必要条件是I与 内的两条直线垂直.高考资源网 上面命题中，真命题 的序号 . (写出所有真命题的序号).高考资源网 x2 13•如图，在平面直角坐标系 xoy中，为椭圆二
则以上两组数据的方差中较小的一个为 s2 .
7.右图是一个算法的流程图， 最后输出的 W . 考资源网 8.在平面上，若两个正三角形的连长的比为 1 : 2，则它 们的面积比为1 : 4，类似地，在宣传部，若两个正四面 体的棱长的比为1： 2，则它们的体积比为高考资源网 9.在平面直角坐标系 xoy中，点 P在曲
高考数学全国名校试题分项汇编(江苏特刊)：专题16 附加部分(第02期)(含答案解析)
解答 1. 【淮安、宿迁、连云港、徐州苏北四市2016届高三第二次调研】[选修4—1：几何证明选讲]（本小题满分10分） 如图，PAQ是直角，圆O与射线AP相切于点T，与射线AQ相交于两点,BC．求证：BT平分OBA．
【答案】详见解析
2. 【淮安、宿迁、连云港、徐州苏北四市2016届高三第二次调研】[选修4—2：矩阵与变换]（本小题满分10分）
已知矩阵1214A，求矩阵A的特征值和特征向量．
【答案】属于特征值12的一个特征向量121属于特征值23的一个特征向量211
【解析】
试题分析：由特征多项式为2125614f+=0解得两个特征值12，
23.再代入得对应特征方程组，因此属于特征值12的一个特征向量121，属于特
征值23的一个特征向量211． 试题解析：矩阵A的特征多项式为2125614f+， ……………2分 由0f，解得12，23. …………………………………………4分 当12时，特征方程组为20,20,xyxy
故属于特征值12的一个特征向量121；………………………………7分
当23时，特征方程组为220,0,xyxy
故属于特征值23的一个特征向量211． …………………………10分 3. 【淮安、宿迁、连云港、徐州苏北四市2016届高三第二次调研】[选修4—4：坐标系与参数方程]（本小题满分10分）
在极坐标系中，圆C的极坐标方程为28sin()1303，已知33(1,),(3,)22AB，P为圆C上一点，求PAB面积的最小值．
【答案】3
【解析】 试题分析：利用222,cos,sinxyxy将极坐标33(1,),(3,)22AB及极坐标方程28sin()1303化为直角坐标及直角坐标方程(0,1),(0,3)AB，22(23)(2)3xy，从而直线AB方程为y轴，P到直线AB距离的最小值为
2009年高考江苏卷第18题的探源、别解与推广
４ ．考题 推广 如果 两个 圆 的半径 不相 等呢 ？将原 题 改为 ：
变 式 １在平面直角坐标系 ｘ ｙ中，已知 圆 Ｏ ｃ ： ＋ ）＋ 一）＝１ 圆 ｃ ： 一 ）＋ ５ ＝ ， （ ３ （ １ 和 （ ４ （ 一 ） ４
设 Ｐ 为 平 面 上 的 点 ，满 足 ：存在 过
那 么 ， 有没 有其他 点 符合 要求 呢？ 由上 面 还 的证 明过 程 ， 知要 符合 条件 的必 须要 同 时满足 可 在 以 ＣＣ 为 直 径 的 圆 Ｃ和 线 段 Ｃｃ 的 中 垂 线 ， Ｉ２ １
上， 而直线 与 圆相 交只 有两个 公 共点 ． 题得 证 ！ 命
所 △ １ ～ 以 Ｃ４ △
的半径 都是 １ ｌ２ ，Ｄｏ ＝４ 过动 点 Ｐ分 别作 圆 Ｄ 、 ２ 圆 （ ） ２的 切 线 ，Ⅳ Ｐ
别称 为 内分点 、外分 点 ，以 Ｐ Ｑ为直径 作 圆 ，这
圆就是 所求 的轨迹 （ 圆也 称为 阿波罗尼 圆） 该 ．
３ 考题别解 ． 如果我们借助于几何画板 ， 我们发现 ： 作出 以 Ｇ 为直 径 的圆 Ｃ ，作 出 线段 Ｇ 的中垂 线
线交于 Ｄ ， ２ 可知 △ ＣＤ ，△ ２ 为直角三角 ．ｌ １ Ｃ
系 式 是
心．
形 ，又 因 为
专题17 函数应用题-十年高考(2009-)之高三数学分项与解读(江苏专版)
【考情概览】年份 题号 考点 难度层次 考查内容，方式，模型等 2018 17 一般 导数求最值 2017 18 困难 解三角形 2016 17 一般 导数求最值2015 17 一般 函数解析式、导数求最值 2014 2013 18 困难 解三角形 20122011 17 简单 导数求最值 2010200919函数应用题困难函数解析式、基本不等式求最值【命题规律】1. 根据待定系数法、几何公式、解三角形确定函数解析式2. 利用导数、基本不等式或解三角形求最值或范围.【真题展示】1【2009江苏，19】按照某学者的理论，假设一个人生产某产品单件成本为a 元，如果他卖出该产品的单价为m 元，则他的满意度为mm a+；如果他买进该产品的单价为n 元，则他的满意度为n n a+.如果一个人对两种交易(卖出或买进)的满意度分别为1h 和2h 12h h 现假设甲生产A 、B 两种产品的单件成本分别为12元和5元，乙生产A 、B 两种产品的单件成本分别为3元和20元，设产品A 、B 的单价分别为A m 元和B m 元，甲买进A 与卖出B 的综合满意度为h 甲，乙卖出A 与买进B 的综合满意度为h 乙(1)求h 甲和h 乙关于A m 、B m 的表达式；当35A B m m =时，求证：h 甲=h 乙；(2)设35A Bm m =，当A m 、B m 分别为多少时，甲、乙两人的综合满意度均最大？最大的综合满意度为多少？(3)记(2)中最大的综合满意度为0h ，试问能否适当选取A m 、B m 的值，使得0h h ≥甲和0h h ≥乙同时成立，但等号不同时成立？试说明理由.【答案】(1)详见解析；(2) 20,12BA m m ==时，甲乙两人同时取到最大的综合满意度为105(3) 不能故当1120B m =即20,12B A m m ==时， 10（3）由（2）知：0h 10 由010=1255A B A B m m h h m m ⋅≥=++甲得：12552A B A B m m m m ++⋅≤，所以不能否适当选取A m 、B m 的值，使得0h h ≥甲和0h h ≥乙同时成立，但等号不同时成立. 2【2015江苏高考，17】（本小题满分14分）某山区外围有两条相互垂直的直线型公路，为进一步改善山区的交通现状，计划修建一条连接两条公路的山区边界的直线型公路，记两条相互垂直的公路为12l l ，，山区边界曲线为C ，计划修建的公路为l ，如图所示，M ，N 为C 的两个端点，测得点M 到12l l ，的距离分别为5千米和40千米，点N 到12l l ，的距离分别为20千米和2.5千米，以12l l ，所在的直线分别为x ，y 轴，建立平面直角坐标系xOy ，假设曲线C 符合函数2ay x b=+（其中a ，b 为常数）模型.（1）求a ，b 的值；（2）设公路l 与曲线C 相切于P 点，P 的横坐标为t . ①请写出公路l 长度的函数解析式()f t ，并写出其定义域； ②当t 为何值时，公路l 的长度最短？求出最短长度.【答案】（1）1000,0;a b ==（2）①6249109(),4f t t t ⨯=+定义域为[5,20]，②min 102,()153t f t ==千米 【解析】（1）由题意知，点M ，N 的坐标分别为()5,40，()20,2.5．将其分别代入2ay x b =+，得4025 2.5400ab a b⎧=⎪⎪+⎨⎪=⎪+⎩，解得10000a b =⎧⎨=⎩．答：当102t =l 的长度最短，最短长度为3 【考点定位】利用导数求函数最值，导数几何意义3【2011江苏，17】请你设计一个包装盒．如图所示，ABCD 是边长为60 cm 的正方形硬纸片，切去阴影部分所示的四个全等的等腰直角三角形，再沿虚线折起，使得A ，B ，C ，D 四个点重合于图中的点P ，正好形成一个正四棱柱形状的包装盒． E ，F 在AB 上，是被切去的一个等腰直角三角形斜边的两个端点．设AE ＝FB ＝x (cm)．(1)某广告商要求包装盒的侧面积S (cm 2)最大，试问x 应取何值？(2)某厂商要求包装盒的容积V (cm 3)最大，试问x 应取何值？并求出此时包装盒的高与底面边长的比值． 【答案】(1) 15 ，(2) x ＝20时，包装盒的高与底面边长的比值为12.4【2016江苏，17】现需要设计一个仓库，它由上下两部分组成，上部分的形状是正四棱锥1111P A B C D -，下部分的形状是正四棱柱1111ABCD A B C D -(如图所示)，并要求正四棱柱的高1OO 是正四棱锥的高1PO 的4倍. （1）若16m,2m,AB PO ==则仓库的容积是多少？（2）若正四棱锥的侧棱长为6m ，则当1PO 为多少时，仓库的容积最大？（第17题）【答案】（1）312（2）123PO = 【解析】因为在Rt △11PO B 中，2221111O B PO PB +=，所以222362a h +=），即()22236.a h =- 于是仓库的容积()()22231132643606333V V V a h a h a h h h h =+=⋅+⋅==-<<柱锥， 从而()()2226'36326123V h h =-=-. 令'0V =，得23h =或23h =-. 当03h <<0V'> ，V 是单调增函数； 当236h <<时，0V'<，V 是单调减函数. 故23h =V 取得极大值，也是最大值.因此，当123PO =m 时，仓库的容积最大.【考点】函数的概念、导数的应用、棱柱和棱锥的体积【名师点睛】对应用题的训练，一般从读题、审题、剖析题目、寻找切入点等方面进行强化，注重培养将文字语言转化为数学语言的能力，强化构建数学模型的几种方法.而江苏高考的应用题往往需结合导数知识解决相应的最值问题，因此掌握利用导数求最值方法是一项基本要求，需熟练掌握.5【2013江苏，18】如图，游客从某旅游景区的景点A 处下山至C 处有两种路径．一种是从A 沿直线步行到C ，另一种是先从A 沿索道乘缆车到B ，然后从B 沿直线步行到C .现有甲、乙两位游客从A 处下山，甲沿AC 匀速步行，速度为50 m/min ，在甲出发2 min 后，乙从A 乘缆车到B ，在B 处停留1 min 后，再从B 匀速步行到C .假设缆车匀速直线运动的速度为130 m/min ，山路AC 长为1 260 m ，经测量，cos A ＝1213，cos C ＝35. (1)求索道AB 的长；(2)问乙出发多少分钟后，乙在缆车上与甲的距离最短？(3)为使两位游客在C 处互相等待的时间不超过3分钟，乙步行的速度应控制在什么范围内？ 【答案】(1) 1 040 m ，(2) 3537t =，(3) 1250625,4314⎡⎤⎢⎥⎣⎦．(3)由正弦定理sin sin BC AC A B=，得BC ＝12605sin 63sin 1365AC A B ⨯=⨯＝500(m)． 乙从B 出发时，甲已走了50×(2＋8＋1)＝550(m)，还需走710 m 才能到达C.设乙步行的速度为v m/min ，由题意得5007103350v -≤-≤，解得12506254314v ≤≤，所以为使两位游客在C 处互相等待的时间不超过3 min ，乙步行的速度应控制在1250625,4314⎡⎤⎢⎥⎣⎦(单位：m/min)范围内． 6【2017江苏，18】如图,水平放置的正四棱柱形玻璃容器Ⅰ和正四棱台形玻璃容器Ⅱ的高均为32cm,容器Ⅰ的底面对角线AC 的长为7容器Ⅱ的两底面对角线EG ,11E G 的长分别为14cm 和62cm. 分别在容器Ⅰ和容器Ⅱ中注入水,水深均为12cm. 现有一根玻璃棒l ,其长度为40cm.（容器厚度、玻璃棒粗细均忽略不计） （1）将l 放在容器Ⅰ中,l 的一端置于点A 处,另一端置于侧棱1CC 上,求l 没入水中部分的长度； （2）将l 放在容器Ⅱ中,l 的一端置于点E 处，另一端置于侧棱1GG 上，求l 没入水中部分的长度.【答案】（1）16（2）20记AM 与水面的焦点为1P ,过1P 作P 1Q 1⊥AC , Q 1为垂足， 则P 1Q 1⊥平面ABCD ，故P 1Q 1=12， 从而AP 1=1116sin P MACQ ∠.答：玻璃棒l 没入水中部分的长度为16cm.( 如果将“没入水中部分冶理解为“水面以上部分冶，则结果为24cm)EP 2=2220sin P NEGQ ∠.答:玻璃棒l 没入水中部分的长度为20cm.(如果将“没入水中部分冶理解为“水面以上部分冶，则结果为20cm) 【考点】正余弦定理【名师点睛】解三角形问题，多为边和角的求值问题，这就需要根据正、余弦定理结合已知条件灵活转化边和角之间的关系，从而达到解决问题的目的.其基本步骤是：第一步：定条件，即确定三角形中的已知和所求，在图形中标出来，然后确定转化的方向.第二步：定工具，即根据条件和所求合理选择转化的工具，实施边角之间的互化.第三步：求结果.7【2018江苏，理17】某农场有一块农田，如图所示，它的边界由圆O的一段圆弧MPN（P为此圆弧的中点）和线段MN构成．已知圆O的半径为40米，点P到MN的距离为50米．先规划在此农田上修建两个温室大棚，△，要求,A B均在线段MN上，,C D均在圆弧大棚Ⅰ内的地块形状为矩形ABCD，大棚Ⅱ内的地块形状为CDP上．设OC与MN所成的角为θ．△的面积，并确定sinθ的取值范围；（1）用θ分别表示矩形ABCD和CDP（2）若大棚Ⅰ内种植甲种蔬菜，大棚Ⅱ内种植乙种蔬菜，且甲、乙两种蔬菜的单位面积年产值之比为4:3．求当θ为何值时，能使甲、乙两种蔬菜的年总产值最大．分析：（1）先根据条件求矩形长与宽，三角形的底与高，再根据矩形面积公式以及三角形面积公式得结果，最后根据实际意义确定sinθ的取值范围；（2）根据条件列函数关系式，利用导数求极值点，再根据单调性确定函数最值取法.详解：解：解：（1）连结PO并延长交MN于H，则PH⊥MN，所以OH=10．设甲的单位面积的年产值为4k ，乙的单位面积的年产值为3k （k >0）， 则年总产值为4k ×800（4sin θcos θ+cos θ）+3k ×1600（cos θ–sin θcos θ） =8000k （sin θcos θ+cos θ），θ∈[θ0，π2）． 设f （θ）= sin θcos θ+cos θ，θ∈[θ0，π2）， 则222()cos sin sin (2sin sin 1)(2sin 1)(sin 1)f θθθθθθθθ=--=-+-=--+′． 令()=0f θ′，得θ=π6， 当θ∈（θ0，π6）时，()>0f θ′，所以f （θ）为增函数； 当θ∈（π6，π2）时，()<0f θ′，所以f （θ）为减函数， 因此，当θ=π6时，f （θ）取到最大值．答：当θ=π6时，能使甲、乙两种蔬菜的年总产值最大．点睛：解决实际应用题的步骤一般有两步：一是将实际问题转化为数学问题；二是利用数学内部的知识解决问题.【对症下药】1根据待定系数法、几何公式、解三角形确定函数解析式2利用导数、基本不等式或解三角形求最值或范围.【考题预测】1．【江苏省苏州市2018届高三调研测试（三）数学试题】某“”型水渠南北向宽为，东西向宽为，其俯视图如图所示．假设水渠内的水面始终保持水平位置.(1)过点的一条直线与水渠的内壁交于两点，且与水渠的一边的夹角为（为锐角），将线段的长度表示为的函数；(2)若从南面漂来一根长度为的笔直的竹竿（粗细不计），竹竿始终浮于水平面内，且不发生形变，问：这根竹竿能否从拐角处一直漂向东西向的水渠（不会卡住）？试说明理由．【答案】（1）（2）能点睛：（1）函数模型应用不当，是常见的解题错误．所以，要正确理解题意，选择适当的函数模型．（2）要特别关注实际问题的自变量的取值范围，合理确定函数的定义域．（3）注意问题反馈．在解决函数模型后，必须验证这个数学结果对实际问题的合理性．2．【江苏省海门中学2018届高三5月考试（最后一卷）数学试题】将一个半径为3dm，圆心角为的扇形铁皮焊接成一个容积为V(dm3)的圆锥形无盖容器(忽略损耗).(1)求V关于的函数关系式(2)当为何值时，V取得最大值(3)容积最大的圆锥形容器能否完全盖住桌面上一个半径为0.5dm的球?请说明理由.【答案】(1)(2)(3) 能完全盖住桌面上一个半径为0.5dm的球.理由见解析.【解析】分析：（1）由题意结合几何关系可得体积表达式为(2) 令换元之后利用导函数研究函数的性质可得时，（3）由题意可得圆锥轴截面三角形内切圆半径，则能完全盖住桌面上一个半径为0.5dm的球. 详解：（1），所以能完全盖住桌面上一个半径为0.5dm 的球.点睛：求实际问题中的最大值或最小值时，一般是先设自变量、因变量，建立函数关系式，并确定其定义域，利用求函数的最值的方法求解，注意结果应与实际情况相结合．用导数求解实际问题中的最大(小)值时，如果函数在开区间内只有一个极值点，那么依据实际意义，该极值点也就是最值点.3．【江苏省南京师范大学附属中学、天一、海门、淮阴四校2018届高三联考数学调研测试试题】如图，某大型水上乐园内有一块矩形场地,120ABCD AB =米， 80AD =米，以,AD BC 为直径的半圆1O 和半圆2O （半圆在矩形ABCD 内部）为两个半圆形水上主题乐园， ,,BC CD DA 都建有围墙，游客只能从线段AB 处进出该主题乐园.为了进一步提高经济效益，水上乐园管理部门决定沿着AE FB 、修建不锈钢护栏，沿着线段EF 修建该主题乐园大门并设置检票口，其中,E F 分别为,AD BC 上的动点， //EF AB ，且线段EF 与线段AB 在圆心1O 和2O 连线的同侧.已知弧线部分的修建费用为200元/米，直线部门的平均修建费用为400元/米.（1）若80EF =米，则检票等候区域（其中阴影部分）面积为多少平方米？ （2）试确定点E 的位置，使得修建费用最低. 【答案】（1）8004800200033π--；（2）当1AO E ∠为3π时，修建费用最低. 【解析】试题分析：（1）如图,设直线EF 与矩形ABCD 交于,M N 两点，连12,O E O F ，则20ME =米， 1203O M =米．梯形12O O FE 的面积为()112080203200032⨯+⨯=平方米， 矩形12AO O B 的面积为120404800⨯=平方米， 由16AO E π∠=，得扇形1O AE 和扇形2O FB 的面积均为14001600263ππ⨯⨯=平方米， 故阴影部分面积为8004800200033π-平方米．θ0,3π⎛⎫⎪⎝⎭ 3π ,32ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭()f θ' -+()f θ极小值由上表可得当3πθ=时，即13AO E π∠=， ()fθ有极小值，也为最小值．故当1AO E ∠为3π时，修建费用最低． 4．【江苏省南通市2018届高三上学期第一次调研测试数学试题】如图，某小区中央广场由两部分组成，一部分是边长为80cm 的正方形ABCD ，另一部分是以AD 为直径的半圆，其圆心为O .规划修建的3条直道AD ， PB ， PC 将广场分割为6个区域：Ⅰ、Ⅲ、Ⅴ为绿化区域（图中阴影部分），Ⅱ、Ⅳ、Ⅵ为休闲区域，其中点P 在半圆弧上， AD 分别与PB ， PC 相交于点E ， F .（道路宽度忽略不计）（1）若PB 经过圆心，求点P 到AD 的距离； （2）设POD θ∠=， 0,2πθ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭. ①试用θ表示EF 的长度；②当sin θ为何值时，绿化区域面积之和最大. 【答案】（1）165m （2）①最小值为()2640021m -②当sin 222θ=-时，绿化区域Ⅰ、Ⅲ、Ⅴ的面积之和最大（2）①由题意，得()40cos ,40sin P θθ. 直线PB 的方程为()sin 28040cos 1y x θθ++=++，令0y =，得设sin 2t θ+=，则23t <<，()212160026400t S S t-++=.816004t t ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭()1600284≥ ()640021=.当且仅当22t =，即sin 222θ=时“=”成立. 所以，休闲区域Ⅱ、Ⅳ、Ⅵ的面积12S S +的最小值为)2640021m .答：当sin 222θ=时，绿化区域Ⅰ、Ⅲ、Ⅴ的面积之和最大.5．【河南省中原名校（即豫南九校）2017-2018学年高一上学期第二次联考数学试题】如图，在半径为20cm 的半圆形（O 为圆心）铝皮上截取一块矩形材料ABCD ，其中,A B 在直径上，点,C D 在圆周上.（1）设AD x =，将矩形ABCD 的面积y 表示成x 的函数，并写出其定义域； （2）怎样截取，才能使矩形材料ABCD 的面积最大？并求出最大面积.【答案】(1)y=2x 2400x -，x ∈（0，20）.(2)截取AD=102时，才能使矩形材料ABCD 的面积最大，最大面积为2400cm .6．【江苏省兴化市楚水实验学校、黄桥中学、口岸中学三校2018届高三12月联考数学试题】如图，有一块半圆形空地，开发商计划建一个矩形游泳池ABCD 及其矩形附属设施EFGH ，并将剩余空地进行绿化，园林局要求绿化面积应最大化.其中半圆的圆心为O ，半径为R ，矩形的一边AB 在直径上，点C D G H 、、、在圆周上，E F 、在边CD 上，且3BOG π∠=，设BOC θ∠=.（1）记游泳池及其附属设施的占地面积为()fθ，求()f θ的表达式；（2）当cos θ为何值时，能符合园林局的要求？【答案】（1）()232sin cos sin ,0,23f R πθθθθθ⎛⎫⎛⎫=-+∈ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭;(2) 133cos θ+= 【解析】试题分析：（1）由已知分别用θ表示两个矩形的长和宽， 2,sin 2HG R EH R R θ==-可得f （θ）ABCD EFGH S S =+的表达式；（2）要符合园林局的要求，只要f （θ）最小，求导()()224cos cos 2f R θθθ=--'，利用导数法分析当()00,θθ∈时， ()0f θ'<， ()f θ是单调减函数，当0,3πθθ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时， ()0f θ'>， ()f θ是单调增函数，所以当0θθ=时， ()fθ取得最小值即可得答案．由（1知， ()()()222222cos 2sin cos 4cos cos 2f R R θθθθθθ=--=--' 令()0f θ'=，即24cos cos 2=0θθ--，解得133cos 8θ=或133cos 8θ=（舍去）， 令00133cos 0,83πθθ⎛⎫=∈ ⎪⎝⎭当()00,θθ∈时， ()0f θ'<， ()f θ是单调减函数，当0,3πθθ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0f θ'>， ()f θ是单调增函数，所以当0θθ=时， ()fθ取得最小值.答：当θ满足133cosθ+=时，符合园林局要求.7．【江苏省无锡市2018届高三第一学期期末检测数学试卷】如图，点为某沿海城市的高速公路出入口，直线为海岸线，，，是以为圆心，半径为的圆弧型小路.该市拟修建一条从通往海岸的观光专线，其中为上异于的一点，与平行，设.（1）证明：观光专线的总长度随的增大而减小；（2）已知新建道路的单位成本是翻新道路的单位成本的2倍.当取何值时，观光专线的修建总成本最低？请说明理由.【答案】（1）见解析;（2）.又，所以观光专线的总长度，，因为当时，，答：当时，观光专线的修建总成本最低.【点睛】在一定条件下“成本最低”、“用料最省”、“面积最大”、“效率最高“等问题，在生产、生活中经常遇到，在数学上这类问题往往归结为求函数的最值问题.除了常见的求最值的方法外，还可用求导法求函数的最值，但无论采取何种方法都必须在函数的定义域内进行.8．【江苏省镇江市2018届高三上学期期末统考数学试题】如图，准备在墙上钉一个支架，支架由两直杆AC 与BD 焊接而成，焊接点D 把杆AC 分成,AD CD 两段，其中两固定点,A B 间距离为1米， AB 与杆AC 的夹角为60︒，杆AC 长为1米，若制作AD 段的成本为/a 元米，制作CD 段的成本是2/a 元米，制作杆BD 成本是4/a 元米.设ADB α∠=，则制作整个支架的总成本记为S 元.（1）求S关于α的函数表达式，并求出α的取值范围；（2）问AD段多长时，S最小？【答案】（1）433cos3S2aα⎛⎫-=+⎪⎪⎝⎭，2,33ππα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭（2）当55AD+=时S最小∴当1cos4α=时，S最小，此时15sinα=，3cos1552ADα+=+=答：（1）S 关于α的函数表达式为433cos 32sin 2S a αα⎛⎫-=+⎪⎪⎝⎭，且2,33ππα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭； （2）当5510AD +=时S 最小. 点睛：求实际问题中的最大值或最小值时，一般是先设自变量、因变量，建立函数关系式，并确定其定义域，利用求函数的最值的方法求解，注意结果应与实际情况相结合．用导数求解实际问题中的最大(小)值时，如果函数在开区间内只有一个极值点，那么依据实际意义，该极值点也就是最值点.9．【江苏省启东中学2018届高三上学期第二次月考数学试题】园林管理处拟在公园某区域规划建设一半径为r 米，圆心角为θ（弧度）的扇形观景水池，其中()0,2θπ∈， O 为扇形AOB 的圆心，同时紧贴水池周边(即： OA OB 、和θ所对的圆弧)建设一圈理想的无宽度步道.要求总预算费用不超过24万元，水池造价为每平方米400元，步道造价为每米1000元.(1)若总费用恰好为24万元，则当r 和θ分别为多少时，可使得水池面积最大，并求出最大面积； (2)若要求步道长为105米，则可设计出的水池最大面积是多少？【答案】（1）20r =，2θ=，面积最大值为400平方米.（2）水池的最大面积为337.5平方米.【解析】试题分析：（1）先根据总费用确定r 和θ关系，再根据扇形面积公式得关于r 函数，利用导数或基本不等式求最值（2）先根据步道长确定r 和θ关系，再根据扇形面积公式得关于r 二次函数 ，根据对称轴与定义区间位置关系求最值试题解析：解(1)法1：弧长AB 为r θ，扇形AOB 面积为212S r θ=， 则()2140010002240000.2r r r θθ⨯++=即()2521200.r r r θθ++=所以2120010.5rr r θ-=+ 22211120010225r S r r r r θ-==⨯⨯+ ()()()()62562565055650525400.55r r r r ⎡⎤=-++≤-⨯+⨯=⎢⎥++⎢⎥⎣⎦当且仅当6255,205r r r +==+即时取等号，此时()20,2θπ=∈ 答： 20r =，2θ=，面积最大值为400平方米.法2：利用基本不等式.()222252522102r r r r r r r r θθθθθθ++≥+⨯⨯=+所以45r =， 13θ=时，水池的最大面积为337.5平方米. 答： r 的取值范围为105452r ≤<，且当45r =， 13θ=，水池的最大面积为337.5平方米.10．【江苏省邗江中学2017-2018学年高二下学期期中考试数学（文）试题】日前，扬州下达了2018年城市建设和环境提升重点工程项目计划，其中将对一块以O 为圆心，R （R 为常数，单位：米）为半径的半圆形荒地进行治理改造，如图所示，△OBD 区域用于儿童乐园出租，弓形BCD 区域（阴影部分）种植草坪，其余区域用于种植观赏植物．已知种植草坪和观赏植物的成本分别是每平方米5元和55元，儿童乐园出租的利润是每平方米95元． （1）设∠BOD=θ（单位：弧度），用θ表示弓形BCD 的面积S 弓=f （θ）；（2）如果市规划局邀请你规划这块土地，如何设计∠BOD 的大小才能使总利润最大？并求出该最大值．【答案】(1)见解析;(2)当园林公司把扇形的圆心角设计成时，总利润取最大值R2（50π）.【解析】分析：根据弓形的面积等于扇形的面积减去三角形的面积，即可求解弓形的面积；（2）由题意列出函数的关系式，利用导数判断函数的单调性，即可求解最大值．点睛：本题考查了导数在实际问题中的应用，解答中涉及到利用导数研究函数的单调性、利用导数研究函数的最值等问题，试题属于中档试题，其中正确读懂题意，列出函数关系式是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的的能力．。