2017-2018学年辽宁省丹东市五校协作体高三数学上联考(理)试卷(附答案)
18届高三下学期五校联盟考试数学(理)试题(附答案)
五校联盟2017－2018学年度第二学期高三联考数 学 试 卷（理科）命题人：五校联盟数学学科命题组 第I 卷（选择题，共60分）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 已知集合}2{2x x y x A -==，}023{2<-+=x x x B .R 表示实数集，则下列结论正确的是（ ）A. B A ⊆B. A C B R ⊆C. B C A R ⊆D. A B C R ⊆2．复数z 满足(1)()i Z i i +=为虚数单位，则在复平面上，复数z 对应的点在（ ） A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限3. 正项等差数列{}n a 的前n 和为n S ，已知0152573=+-+a a a ，则9S =（ ）A. 35B. 36C. 45D. 544. 小明每天上学都需要经过一个有交通信号灯的十字路口．已知十字路口的交通信号灯绿灯亮的时间为40秒，黄灯5秒，红灯45秒．如果小明每天到路口的时间是随机的，则小明上学时到十字路口需要等待的时间不少于20秒的概率是 A ．34 B ．23 C ．12 D ．135. 设0.50.433434(),(),log (log 4),43a b c ===则（ ）A. a b c <<B. a c b <<C. c a b <<D. c b a << 6、一个几何体的三视图如图所示，则这个几何体的体积等于（ ） A. 90 B. 72 C. 68 D.607.执行如图所示的程序框图，若输入5,4,1n A x ===-，则输出的A 的值为（ ） A. -2 B. -1 C. 2 D. 38. 把函数()2sin cos f x x x x =的图象向左平ϕ（0ϕ>）个单位，得到一个偶函数，则ϕ的最小值为（ ） A.3π B. 4π C. 6π D. 12π9.已知抛物线2:4C x y =的焦点为F ，定点A .若射线FA 与抛物线C 相交于点M（点M 在F 、A 中间），与抛物线C 的准线交于点N ，则FMMN=uuu ruuu r ( )A ．14 B ．13 C ．12 D ．2310. 已知ABC ∆中， 2A π∠=， 1AB AC ==，点P 是AB 边上的动点，点Q 是AC 边上的动点，则BQ CP ⋅u u u v u u v的最小值为（ ） A. 4- B. 2- C. 1- D. 011. 函数()1log ,0,12xa f x x a a ⎛⎫=->≠ ⎪⎝⎭.若该函数的两个零点为12,x x ，则（ ）A. 121x x >B. 121x x =C. 121x x <D. 无法判定12. 已知正ABC V 三个顶点都在半径为2的球面上，球心O 到平面ABC 的距离为1，点E 是线段AB 的中点，过点E 作球O 的截面，则截面面积的最小值是（ ） A.74π B. 2π C. 94π D. 3π 第II 卷（非选择题，共90分）本卷包括必考题和选考题两部分. 第13题～第21题为必考题，每个试题考生都必须作答. 第22题～第23题为选考题，考生根据要求作答.二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在题中横线上) 13.在代数式721()x x-的展开式中，一次项的系数是______（用数字作答） 14.设实数,x y 满足2020240x y x y x y --≤⎧⎪+-≥⎨⎪-+≥⎩，则32z x y =+的最小值为 .15.已知椭圆2222111x y a b += 11(0)a b >>与双曲线2222221x y a b -= 22(0,0)a b >> 有公共的左、右焦点12,F F ,它们在第一象限交于点P ,其离心率分别为12,e e ,以12,F F 为直径的圆恰好过点P ,则221211e e += . 16. 对大于或等于2的正整数的幂运算有如下分解方式：222213,3135,41357,=+=++=+++⋅⋅⋅； 333235,37911,413151719=+=++=+++L根据上述分解规律，若2313511,m p =+++⋅⋅⋅+的分解中最小的正整数是43，则m p +=________.三、解答题(本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤) 17．（本题满分12分）已知函数()f x2)cos()cos ()2x x x πππ+⋅-++．(1)求函数()f x 的单调递增区间；(2)已知在△ABC 中，A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若()f A =32，a=2，b+c=4， 求b ，c ． 18．（本题满分12分）如图，在梯形ABCD 中，CD AB //，1===CB DC AD ，60ABC ∠=，四边形ACFE 是矩形，且平面ACFE ⊥平面ABCD .（Ⅰ）求证:BC ⊥平面ACFE ；（Ⅱ）当二面角D BF C --的平面角的余弦值为36,求这个六面体ABCDEF 的体积.19.（本题满分12分）在信息时代的今天，随着手机的发展，“微信”越来越成为人们交流的一种方式，某机构对“使用微信交流”的态度进行调查，随机抽取了100人，他们年龄的频数分布及对“使用微信交流”赞成的人数如下表：（注：年龄单位：岁）（1）若以“年龄45岁为分界点”，由以上统计数据完成下面的2×2列联表，并通过计算判断是否在犯错误的概率不超过0.001的前提下认为“使用微信交流的态度与人的年龄有关”？（2）若从年龄在[55，65），[65，75）的别调查的人中各随机选取两人进行追踪调查，记选中的4人中赞成“使用微信交流”的人数为X ，求随机变量X 的分布列及数学期望． 参考数据：参考公式：K 2=()()()()d b c a d c b a bc ad n ++++-，其中n=a+b+c+d ．20．（本题满分12分）如图,椭圆C ：)0(12222>>=+b a by a x 的左、右焦点分别为21F F 、,椭圆C 上一点与两焦点构成的三角形的周长为6,离心率为21.（Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）过点2F 的直线l 交椭圆C 于B A 、两点,问在x 轴上是否存在定点P ,使得PA PB ⋅uu r uu r为定值？证明你的结论. 21．（本题满分12分） 已知函数()x ae x x f -+=ln 1（Ⅰ）若曲线()x f y =在1=x 处的切线与x 轴平行，求实数a 的值； （Ⅱ）若对任意()+∞∈,0x ，不等式()0f x ≤恒成立，求实数a 的取值范围．请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.作答时请写清题号.22.（本题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程在直角坐标系xoy 中，曲线1C 的参数方程为sin x y θθ⎧=⎪⎨=⎪⎩，（θ为参数），以原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线2C 的极坐标方程为224sin =⎪⎭⎫⎝⎛-πθρ． （1）求曲线C 1的普通方程与曲线C 2的直角坐标方程；（2）设P 为曲线C 1上的动点，求点P 到C 2上点的距离的最小值． 23.（本题满分10分）选修4-5：不等式选讲 设函数212)(--+=x x x f . （Ⅰ）求不等式2)(≥x f 的解集;（Ⅱ）若对于任意R x ∈,不等式t t x f 211)(2->恒成立,求实数t 的取值范围.五校联盟2017－2018学年度第二学期高三联考数学参考答案（理科）第I卷（选择题，共60分）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）12、解：设正的中心为，连结是正的中心，A、B、C三点都在球面上，平面球的半径，球心O到平面ABC的距离为1，得，中，．又为AB的中点，是等边三角形，．过E作球O的截面，当截面与OE垂直时，截面圆的半径最小，当截面与OE垂直时，截面圆的面积有最小值．此时截面圆的半径，可得截面面积为．故选C．第II卷（非选择题，共90分）二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在题中横线上)13.答案：21.14. 答案：4.15. 答案：2.16.答案：13.三、解答题(本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)17、【解析】(1)∵()f x π+x)·cos(π−x)+cos 2(2π+x)，∴()f x −sin x)·(−cos x)+(−sin x)2=sin 2x+1cos 22x -=sin(2x −6π)+12．（3分）由2k π−2π≤2x −6π≤2k π+2π，k ∈Z ， 得k π−6π≤x ≤k π+3π，k ∈Z ，即函数()f x 的单调递增区间是[k π−6π，k π+3π]，k ∈Z ．（6分）(2)由()f A =32得，sin(2A −6π)+12=32，∴sin(2A −6π)=1，∵0<A<π，∴0<2A<2π，−6π<2A −6π<116π，∴2A −6π=2π，∴A=3π，（8分）∵a=2，b+c=4 ①， 根据余弦定理得，4=2b +2c −2bccos A=2b +2c −bc=(b+c)2−3bc=16−3bc ， ∴bc=4 ②，联立①②得，b=c=2．（12分）18.【解析】（Ⅰ）在梯形ABCD 中,∵CD AB //,CB AD =, ∴=∠BAD 60ABC ∠=,∴=∠ADC120=∠BCD ,∵1==DC AD .∴=∠CAD30=∠ACD ,∴90=∠ACB ,∴AC BC ⊥.（4分）∵平面ACFE ⊥平面ABCD ,平面 ACFE 平面ABCD AC =,∴⊥BC 平面ACFE .（Ⅱ）在ADC ∆中,-+=222DC AD AC ADC DC AD ∠⋅cos 23=,∴3=AC .分别以CF CB CA ,,为x 轴,y 轴,z 轴建立平面直角坐标系, 设h CF =,则)0,0,0(C ,)0,0,3(A ,)0,1,0(B ,)0,0,21(D ,),0,0(h F ,则)0,1,21(-=,),1,0(h BF -=,易知平面BCF 的一个法向量为)0,0,1(=m ,设∵平面B D F 的法向量为),,(z y x =,∴⎪⎩⎪⎨⎧=⋅=⋅,0,0BF n BD n 即⎪⎩⎪⎨⎧=+-=-,0,021hz y y x 令1=z ,则h x 2=,h y =,∴平面BDF 的法向量为)1,,2(h h =,∵二面角D BF C --的平面角的余弦值为66, ∴>=<n m ,cos 1522+h h 66=,解得1=h ,即1=CF .（10分） 所以六面体ABCDEF 的体积为：=ABCDEF V ACFE B V -ACFED V -+BC S ACFE ⨯=正方形31D ACFE y S ⨯+正方形3121211311131=⨯⨯+⨯⨯=.（12分） 19.【解析】（1）根据频数分布，填写2×2列联表如下；计算观测值K 2==≈14.512＞10.828，对照临界值表知，在犯错误的概率不超过0.001的前提下认为“使用微信交流的态度与人的年龄有关”； （6分）（2）根据题意，X 所有可能取值有0，1，2，3，P （X=0）=•=，P （X=1）=•+•=，P （X=2）=•+•=，P （X=3）=•=，所以X 的分布列是 X 0123P所以X 的期望值是E （X ）=0×+1×+2×+3×=． （12分）20.【解析】（Ⅰ）由题设得622=+c a ,又21==a c e ,解得1,2==c a ,∴3=b . 故椭圆C 的方程为13422=+y x .（4分） （Ⅱ）)0,1(2F ,当直线l 的斜率存在时,设此时直线l 的方程为)1(-=x k y ,设),(11y x A ,),(22y x B ,把)1(-=x k y 代入椭圆C 的方程13422=+y x ,消去y 并整理得, 01248)43(2222=-+-+k x k x k ,则2221438k k x x +=+,222143124k k x x +-=, 可得)1)(1(21221--=x x k y y ]1)([21212++-=x x x x k 22439kk +-=.设点)0,(n P , 那么),(),(2211y n x y n x -⋅-=⋅2122121)(y y n x x n x x +++-=2223412)85(n k k n ++++-=,若x 轴上存在定点P ,使得PB PA ⋅为定值,则有312485=+n ,解得811=n , 此时,6413542-=+-=⋅n , 当直线l 的斜率不存在时,此时直线l 的方程为1=x ,把1=x 代入椭圆方程13422=+y x 解得23±=y ,此时,)23,1(A ,)23,1(-B , =⋅)23,83()23,83(--⋅-64135-=, 综上,在x 轴上存在定点)0,811(P ,使得PB PA ⋅为定值.（12分） 21.【解析】：Ⅰ，．由于曲线在处的切线与x 轴平行，，解得，（4分）Ⅱ由条件知对任意，不等式恒成立，此命题等价于对任意恒成立令．．令．则．函数在上单调递减．注意到，即是的零点， 而当时，；当时，． 又，所以当时，；当时，． 则当x 变化时，的变化情况如下表：因此，函数在，取得最大值，所以实数． （12分） 22.【解析】：（1）由曲线C 1：，得， ∴曲线C 1的普通方程为：， 由曲线C 2：，展开可得：， 即曲线C 2的直角坐标方程为：x -y +4=0．（4分）（2）由（1）知椭圆C 1与直线C 2无公共点，椭圆上的点到直线x -y -4=0的距离为，∴当时，d 的最小值为．（10分）23.【解析】（Ⅰ）)由题意,⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧≥+<≤---<--=,2,3,221,13,21,3)(x x x x x x x f 当21-<x 时,23≥--x ,解得5-≤x ,∴5-≤x ; 当221<≤-x 时,213≥-x ,解得1≥x ,∴21<≤x ;当2≥x 时, 23≥+x ,解得1-≥x ,∴2≥x ;综上,不等式2)(≥x f 的解集为{}1,5≥-≤x x x 或.（5分） （Ⅱ）当21-<x 时,3)(--=x x f , 25)(->x f ; 当221<≤-x 时,2513)(-≥-=x x f ; 当2≥x 时, 53)(≥+=x x f . 所以25)(min -=x f . 不等式t t x f 211)(2->恒成立等价于min 2)(211x f t t <-,即252112-<-t t , 解得521<<t .（10分）。
2017-2018年辽宁省重点高中协作校高二上学期期末数学试卷(理科)与解析
2017-2018学年辽宁省重点高中协作校高二（上）期末数学试卷（理科）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，满分60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．（5分）双曲线3x2﹣y2=3的渐近线方程是（）A．y=±3x B．y=±x C．y=±x D．y=±x 2．（5分）命题P：“平面内与两个定点的距离的和等于常数的点的集合叫做椭圆”；命题Q：“平面内与两个定点的距离的差的绝对值等于常数的点的集合叫做双曲线”．下列命题中正确的是（）A．命题P B．命题￢Q C．命题P∨Q D．命题￢P∧Q 3．（5分）若0＜a＜b，a+b=1，则a，，2ab中最大的数为（）A．a B．2ab C．D．无法确定4．（5分）对于常数m，n，“mn＞0”是“方程mx2+ny2=1点曲线是椭圆”的（）条件．A．充分不必要B．必要不充分C．充分必要D．既不充分也不必要5．（5分）下列选项错误的是（）A．命题“若x≠1，则x2﹣3x+2≠0”的逆否命题是“若x2﹣3x+2=0，则x=1”；B．“x＞2”是“x2﹣3x+2＞0”的充分不必要条件；C．若命题p：∀x∈R，x2+x+1≠0，则￢p：∃x0∈R，x02+x0+1=0；D．在命题的四种形式中，若原命题为真命题，则否命题为假命题．6．（5分）在各项均为正数的等比数列{a n}中，a2=1，a8=a6+24，则a6的值是（）A．1B．2C．2D．47．（5分）如图，在平行六面体ABCD﹣A1B1C1D1中，M为AC与BD的交点，若=，=，=．则下列向量中与相等的向量是（）A．﹣++B．C．D．﹣﹣+ 8．（5分）已知抛物线y=x2，P是抛物线上一点，F为焦点，一个定点A（3，5），则|PA|+|PF|的最小值为（）A．5B．6C．7D．89．（5分）已知，分别为直线l1，l2点方向向量（l1，l2不重合），，分别为平面α，β的法向量（α，β不重合）则下列说法中：①∥⇔l1∥l2；②⊥⇔l1⊥l2；③∥⇔α∥β④⊥⇔α⊥β，其中正确的有（）个．A．1B．2C．3D．410．（5分）已知椭圆中心在原点，且一个焦点为F（0，3），直线4x+3y﹣13=0与其相交于M、N两点，MN中点的横坐标为1，则此椭圆的方程是（）A．B．C．D．11．（5分）设x，y满足约束条件且z=x+ay的最小值为7，则a=（）A．﹣5B．3C．﹣5或3D．5或﹣312．（5分）函数y=点图象也是双曲线，请根据上述信息解决下列问题：若圆x2+（y﹣1）2=r2与曲线（x﹣1）y=1没有公共点，则半径r的取值范围是（）A．0＜r＜B．0＜r＜C．0D．0二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分）13．（5分）若椭圆的短轴的一个端点与两个焦点是同一个正三角形的顶点，则这个椭圆的离心率为．14．（5分）已知四面体P﹣ABC，∠PAB=∠BAC=∠PAC=60°，||=1，||=2，||=3，则|++|=．15．（5分）已知x＞0，y＞0，x+2xy+2y﹣8=0，则x+2y的最小值是．16．（5分）已知各项均为正数的数列{a n}的前n项和为S n，若S1=1，3S n2﹣2a n+1S n=a n+12，则数列{a n}的通项公式为．三、解答题（本大题共6小题，满分70分，写出必要文字说明和验算步骤）17．（10分）在等差数列{a n}中，a2=6，S4=20（1）求数列{a n}的通项公式；（2）设b n=（n∈N*），T n=b1+b2+，+b n（n∈N*），求T n．18．（12分）如图，已知正方形ABCD﹣A′B′C′D′的棱长为1，E，F，G，H分别是棱AB，CC′，AA′，C′D′的中点．（1）求证：EF∥平面GHD；（2）求直线EF与BD′所成的角．19．（12分）在平面直角坐标系xOy中，直线l与抛物线y2=4x相交于A、B两点．（1）求证：“如果直线l过点T（3，0），那么=﹣3”是真命题；（2）写出（1）中命题的逆命题，判断它是真命题还是假命题，并说明理由．20．（12分）如图，在直角梯形AA1B1B中，∠A1AB=90°，A1B1∥AB，AB=AA1=2A1B1=2．直角梯形AA1C1C通过直角梯形AA1B1B以直线AA1为轴旋转得到，且使得平面AA1C1C⊥平面AA1B1B，M为线段BC的中点，P为线段BB1上的动点．（Ⅰ）求证：AC⊥AB；（Ⅱ）当点P是线段BB1中点时，求二面角P﹣AM﹣B的余弦值；（Ⅲ）是否存在点P，使得直线A1C∥平面AMP？请说明理由．21．（12分）在学习过程中，我们通常遇到相似的问题．（1）已知动点P为圆O：x2+y2=r2外一点，过P引圆O的两条切线PA、PB．A、B为切点，若=0，求动点P的轨迹方程；（2）若动点Q为椭圆M：外一点，过Q引椭圆M的两条切线QC、QD．C、D为切点，若=0，猜想动点Q的轨迹是什么，请给出证明并求出动点Q的轨迹方程．22．（12分）已知抛物线C2：x2=2py（p＞0）的通径长为4，椭圆C1：+=1（a＞b＞0）的离心率为，且过抛物线C2的焦点．（1）求抛物线C2和椭圆C1的方程；（2）过定点M（﹣1，）引直线l交抛物线C2于A，B两点（点A在点B的左侧），分别过A、B作抛物线C2的切线l1，l2，且l1与椭圆C1相交于P，Q两点．记此时两切线l1，l2的交点为点C．①求点C的轨迹方程；②设点D（0，），求△DPQ的面积的最大值，并求出此时点C的坐标．2017-2018学年辽宁省重点高中协作校高二（上）期末数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，满分60分。
辽宁省丹东市五校协作体2023-2024学年高三上学期12月联考数学试题
十、解答题
试卷第 4页，共 5页
22．已知函数 f x ln x 1 ax aR ．
x
(1)若 xf x ax 1 0 恒成立，求 a； (2)若 f x 的两个零点分别为 x1, x2 x1 x2 ，证明： x1x2 2e2 ．
试卷第 5页，共 5页
近似模拟其信号，则下列结论中
正确的是（ ）
A．函数 f (x) 的最小正周期为 π 2
B．函数
f
(x)
的图象关于点
π 6
, 0
对称
C．函数
f
(x)
图象的一条对称轴是
x
2π 3
D．若
f
x1
f
x2 4 ， x1
x2 ，则
x1 x2
的最小值为 π 2
12．已知函数 f x 的定义域为 R, f x 1 是奇函数， g(x) (x 1) f (x), f x , g x 分
试卷第 3页，共 5页
AO
交
BC
于
A1 ，
BO
交
AC
于
B1
，
CO
交
AB
于
C1
，已知
AA1
a
，且
1 b
1 c
1 a
.
(1)求 A 的大小；
(2)若内切圆 O 的半径 r 3 ，求边 a 的长度.
九、问答题 20．如图 1，在梯形 ABCD 中， BC//AD ， AB AD ， AB 4 ， BC 6 ， AD 8 ，线段 AD 的垂直平分线与 AD 交于点 E，与 BC 交于点 F，现将四边形 CDEF 沿 EF 折起，使 C，D 分别到点 G，H 的位置，得到几何体 ABFEHG ，如图 2 所示.
辽宁版2017-2018学年高三上学期第二次月考 数学(理) Word版含答案
2017-2018学年第二次月考数学理试题【辽宁版】第Ⅰ卷(共60分)一．选择题:本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.若集合}0|{≥=x x A ，且B B A = ，则集合B 可能是 A.}2,1{B. }1|{≤x xC.}1,0,1{-D.R2.已知110a b<<，则下列结论错误的是 A.22b a <B.2b a a b +>C.2b ab >D.2lg lg a ab < 3.若不等式08322＜-+kx kx 对一切实数x 都成立，则k 的取值范围为A.)0,3(-B.[)0,3-C.[]0,3-D.]0,3(-4.规定2,a b a b a b R +⊗=+∈ 、，若14k ⊗=，则函数()f x k x =⊗的值域 A.(2,)+∞ B ．),1(+∞ C ．7[,)8+∞ D ．7[,)4+∞ 5.设:p 函数xy 1=在定义域上为减函数；:q ,(0,)a b ∃∈+∞,当1a b +=时,113a b +=，以下说法正确的是A.p ∨q 为真B.p ∧q 为真C.p 真q 假D.p ，q 均假6.某流程图如图所示，现输入如下四个函数，则可以输出的函数是 A ．()xf x x=B ．())ln f x x =C ．()x x x x e e f x e e --+=-D ．|4||3|1)(2x x x x f -++-=7.函数)(x f y =为偶函数，且),0[+∞上单调递减，则)2(2x f y -=的一个单调递增区间为A.]0,(-∞B.),0[+∞C.]2,0[D.),2[+∞ 8.下列正确的个数是①“在三角形ABC 中，若sin sin A B >,则A B >”的否是真； ②:2p x ≠或3y ≠，:5q x y +≠则p 是q 的必要不充分条件； ③“32,10x R x x ∀∈-+≤”的否定是“01,23>+-∈∃x x R x ”. A.0 B.1 C.2 D.39．已知函数()2014sin (01)(),log 1x x f x x x π⎧≤≤⎪=⎨>⎪⎩若c b a 、、互不相等，且)()()(c f b f a f ==，则c b a ++的取值范围是A ．（1，2014）B ．（1，2015）C ．（2，2015）D ．[2，2015]10.下列四个图中,函数10ln 11x y x +=+的图象可能是11.设函数2)(-+=x e x f x ,3ln )(2-+=x x x g .若实数b a ,满足0)(=a f ,0)(=b g ，则 A ．)(0)(b f a g << B ．)(0)(a g b f << C ．)()(0b f a g << D ．0)()(<<a g b f12.已知定义的R 上的偶函数()f x 在),0[+∞上是增函数，不等式)2()1(-≤+x f ax f 对任意1,12x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦恒成立，则实数a 的取值范围是A.[]3,1--B.[]2,0-C.[]5,1--D.[]2,1- 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分13.设420cos =a ,函数,0,()log ,0,x a a x f x x x ⎧<=⎨≥⎩,则211()(log )46f f +的值等于 ．14.实数y x ,满足⎪⎩⎪⎨⎧≤->≤≥,0),1(,1y x a a y x 若目标函数y x z +=的最大值为4，则实数a 的值为.15.已知0lg lg =+b a ，则满足不等式λ≤+++1122b ba a 的实数λ的最小值 是 .16.定义在R 上的函数)(x f 满足16)5()(=++x f x f ，当]4,1(-∈x ,xx x f 2)(2-=，则函数)(x f 的在]2014,0[上的零点个数是 ．三、解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 17．（本小题满分10分）已知幂函数2242()(1)mm f x m x -+=-在(0,)+∞上单调递增，函数()2xg x k =- ．（Ⅰ）求m 的值；（Ⅱ）当[1,2]x ∈时，记()f x ，()g x 的值域分别为集合,A B ，若A B A = ，求实数k 的取值范围.18．（本小题满分12分）已知向量1(cos ,),,cos2),2x x x x =-=∈a b R , 设函数()·f x =a b . (Ⅰ) 求)(x f 的单调递增区间；(Ⅱ) 求)(x f 在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最大值和最小值.20.（本小题满分12分）已知函数()()()22211xf x ax a x a a e ⎡⎤=+-+--⎣⎦(其中R a ∈).（Ⅰ）若0x =为()f x 的极值点,求a 的值； (Ⅱ) 在(Ⅰ)的条件下,解不等式()()21112f x x x x ⎛⎫>-++ ⎪⎝⎭.21.（本小题满分12分）已知0≥a ，函数ax x x f +=2)(.设),(21ax --∞∈，记曲线)(x f y =在点))(,(11x f x M 处的切线为l ，l 与x 轴的交点是),(02x N ，O 为坐标原点.（Ⅰ）证明：ax x x +=12122；（Ⅱ）若对于任意的),(21a x --∞∈，都有169aOM >⋅成立，求a 的取值范围.22.（本小题满分12分）已知函数232()ln()2x f x a x a a =+--，R a ∈且0≠a ． （Ⅰ）讨论函数()f x 的单调性；（Ⅱ）当0a <时，若2212a a x x a a +<<<-，证明:22121()()2f x f x a a x x -<--.参考答案18. (Ⅰ) ()·f x =a b =)62sin(2cos 212sin 232cos 21sin 3cos π-=-=-⋅x x x x x x . ……………4分当226222πππππ+≤-≤-k x k 时，解得36ππππ+≤≤-k x k ，)62sin()(π-=∴x x f 的单调递增区间为)](3,6[Z k k k ∈+-ππππ. ……………8分(Ⅱ)上的图像知，在，由标准函数时，当]65,6-[sin ]65,6-[)62(]2,0[ππππππx y x x =∈-∈. ]1,21[)]2(),6-([)62sin()(-=∈-=πππf f x x f . 所以,f (x) 在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最大值和最小值分别为21,1-. ……………12分19.解:(Ⅰ)p 为真,即)(x f 的定义域是R ,等价于01)1()1(22>+++-x a x a 恒成立,等价于1-=a 或⎩⎨⎧<--+=>-.0)1(4)1(Δ,01222a a a 解得1-≤a 或35>a .∴实数a 的取值范围为-∞(,35(]1 -,)∞+ ……………4分q 为真,即)(x f 的值域是R , 等价于1)1()1(22+++-=x a x a u 的值域),0(∞+⊇,等价于1=a 或⎩⎨⎧≥--+=>-.0)1(4)1(Δ,01222a a a 解得351≤≤a .∴实数a 的取值范围为1[,]35……………8分 (Ⅱ)由(Ⅰ)(Ⅱ)知,p ⌝:]35,1(-∈a ;q :]35,1[∈a .而]35,1[]35,1(≠⊃-,∴p ⌝是q 的必要而不充分的条件 ……………12分20. (Ⅰ)因为()()()22211x f x ax a x a a e ⎡⎤=+-+--⎣⎦()()()()()22222221111x x x f x ax a e ax a x a a e ax a x a e ⎡⎤⎡⎤⎡⎤'∴=+-++-+--=+++⎣⎦⎣⎦⎣⎦因为0x =为()f x 的极值点,所以由()000f ae '==,解得0a =检验,当0a =时,()x f x xe '=,当0x <时,()0f x '<,当0x >时,()0f x '>.所以0x =为()f x 的极值点,故0a =. ……………4分 (Ⅱ) 当0a =时,不等式()()21112f x x x x ⎛⎫>-++ ⎪⎝⎭()()211112x x e x x x ⎛⎫⇔-⋅>-++ ⎪⎝⎭, 整理得()211102x x e x x ⎡⎤⎛⎫--++>⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦, 即2101102x x e x x ->⎧⎪⎨⎛⎫-++> ⎪⎪⎝⎭⎩或2101102x x e x x -<⎧⎪⎨⎛⎫-++< ⎪⎪⎝⎭⎩令()2112xg x e x x ⎛⎫=-++⎪⎝⎭,()()()1x h x g x e x '==-+,()1x h x e '=-, 当0x >时,()10x h x e '=->；当0x <时,()10x h x e '=-<,所以()h x 在(),0-∞单调递减,在(0,)+∞单调递增,所以()()00h x h >=,即()0g x '>, 所以()g x 在R 上单调递增,而()00g =； 故211002xe x x x ⎛⎫-++>⇔>⎪⎝⎭；211002x e x x x ⎛⎫-++<⇔< ⎪⎝⎭, 所以原不等式的解集为{}01x x x <>或. ……………12分( 21. Ⅰ)解：曲线)(x f y =在点)(,(11x f x M 处的切线l 的方程为))(2()(111x x a x x f y -+=-令0=y ，得ax x x +=12122 (4)分(Ⅱ) 169a OM >⋅01698923<--⇔a ax x 在)2,(a x --∞∈上恒成立 设=)(x f 2316989a ax x --， a x x f 893)(2'-= 令0)('=x f ，解得83a x -=，0)('],83,(>--∞∈x f ax 0)('),21,83(<--∈x f a a x 当83ax -=时，)(x f 取极大值 10当832aa -≤-,即23≥a 时，8)2()(3max a a F x F -=-=，满足题设要求；20当832a a -≥-，即230≤≤a ，23max 169)83(43)83()(a a a F x F -=-=，若0)(max <x f ，解得32>a . 综上，实数a 的取值范围为32>a . …………12分 22.解：（1）由题，32()a f x x x a a '=+--2232()x a a x a x a a -++=--22()()x a x a x a a--=--. …………………………………………………2分 令()0f x '>，因为20x a a -->故2()()0x a x a -->.当0a >时，因2a a a +>且22a a a +>所以上不等式的解为2(,)a a ++∞,从而此时函数()f x 在2(,)a a ++∞上单调递增. ……………………4分 当0a <时，因22a a a a <+<所以上不等式的解为2(,)a +∞， 从而此时函数()f x 在2(,)a +∞上单调递增.同理此时()f x 在22(,]a a a +上单调递减. ……………………………6分（2）（方法一）要证原不等式成立，只须证明22121()()()()2a f x f x x x a -<--，只须证明222211()()()()22a a f x a x f x a x --<--.因为2212a a x x a a +<<<-所以原不等式只须证明，函数2()()()2a h x f x a x =--在22(,)x a a a a ∈+-内单调递减. ……………8分由（1）知232()()2a a h x x a x a a '=--+--4322223222a a x a x a x a a-++-=--，因为20x a a -->，我们考察函数432223()222a a g x x a x a =-++-,22,x a a a a ⎡⎤∈+-⎣⎦. 因2222a a a a a ++-=>234a x =对称轴22,a a a a ⎡⎤∈+-⎣⎦， 所以2()()0g x g a a ≤-=. ……………………………10分 从而知()0h x '<在22(,)x a a a a ∈+-上恒成立，所以函数2()()()2a h x f x a x =--在22(,)x a a a a ∈+-内单调递减.从而原成立 ……………………………………………12分（方法二）要证原不等式成立，只须证明22121()()()()2a f x f x x x a -<--，只须证明222211()()()()22a a f x a x f x a x --<--.又2212a a x x a a +<<<-，设()()x a a x f x g ⎪⎪⎭⎫⎝⎛--=22，则欲证原不等式只须证明函数()()x a a x f x g ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=22在22,x a a a a ⎡⎤∈+-⎣⎦内单调递减………………8分由（1）可知()()⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--'='a a x f x g 22⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----+=a a a a x a x 2223⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--++--+--=a a a a a a x a a a x 222232. 因为0<a ，所以232aa x a a a x y --+--=在22,a a a a ⎡⎤+-⎣⎦上为增函数， 所以()()3222222202a a g x g a a a a a a a a a a a a a ⎛⎫''≤-=---+++--= ⎪---⎝⎭. 从而知()0<'x g 在22(,)x a a a a ∈+-上恒成立，所以函数()()x a a x f x g ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=22在22(,)x a a a a ∈+-内单调递减. 从而原成立. …………………12分。
辽宁省丹东市四校协作体2018届上学期高三年级摸底测试(零诊)数学试卷(理科) 推荐
辽宁省丹东市四校协作体2018届上学期高三年级摸底测试（零诊）数学试卷（理科）注意事项：1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，写在本试卷上无效。
3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。
4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
（1）已知集合}1,1{-=M ，},4221|{1Z ∈<<=+x x N x ，则=N M （A ）}1,1{-（B ）}1{-（C ）}1{（D ）∅（2）已知△ABC 内角A 、B 、C 所对的边长分别为c b a 、、，若3=a ，2=b ， 60=∠A ，则=B cos（A ）33 （B ）33± （C ）36 （D ）36± （3）已知四棱锥的俯视图是边长为2的正方形及其对角线（如下图），主视图与左视图都是边长为2的正三角形，则其全面积是（A ）34（B ）344+ （C ）8 （D ）12（4）已知D 是△ABC 所在平面上任意一点，若0)()(=-⋅-，则△ABC 一定是 （A ）直角三角形 （B ）等腰直角三角形 （C ）等腰三角形 （D ）等边三角形（5）若e 是自然对数的底数，则=⎰-322dx e x（A ）11-e（B ）e11-（C ）e -1（D ）1-e（6）右面茎叶图表示的是甲、乙两人在5次综合测评中的成绩，其中一个数字被污损，则乙的平 均成绩超过甲的平均成绩的概率为（A ）101（B ）91（C ）51 （D ）54 （7）已知πθ<<0，71)4tan(=+πθ，那么=+θθcos sin（A ）51-（B ）51（C ）57-（D ）57 （8）设l 、m 是两条不同的直线，α、β是两个不同的平面，给出下列5个命题：①若α⊥m ，m l ⊥，则l α//；②若α⊥m ，β⊂l ，m l //，则βα⊥； ③若αβ//，α⊥l ，β//m ，则m l ⊥； ④若αβ//，α//l ，β⊂m ，则m l //； ⑤若βα⊥，l =βα ，l m ⊥，则β⊥m ． 其中正确命题的个数是 （A ）1 （B ）2（C ）3（D ）4（9）设函数)(x f 是定义在R 上的奇函数，且当0≥x 时，)(x f 单调递减，若数列}{n a 是等差数列，且03<a ，则)()()()()(54321a f a f a f a f a f ++++的值 （A ）恒为正数 （B ）恒为负数 （C ）恒为0 （D ）可正可负（10）已知实数x 、y 满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≤--≥-+≥+-0520402y x y x y x ，若使得目标函数y ax +取最大值时有唯一最优解)3,1(，则实数a 的取值范围是 （A ）)1,2[-- （B ）]2,(--∞ （C ）)1,(--∞（D ）),1()1,(+∞--∞ （11）函数x y x -+=)14(log 2的值域是（A ）),0[+∞（B ）),(+∞-∞ （C ）),1[+∞（D ）),1[]1,(+∞--∞（12）过双曲线)0,0(12222>>=-b a by a x 的左焦点)0,(c F -作圆222a y x =+的切线，切点为E ，延长FE 交抛物线cx y 42=于点P ，若E 为线段FP 的中点，则双曲线的离心率为（A ）5（B ）25 （C ）15+ （D ）215+ 第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分。
2018届高考数学 问题2.7 形形色色的切线问题提分练习
2.7形形色色的切线问题一、考情分析用导数研究曲线的切线问题是导数的重要应用之一,也是高考考查的热点,考查的形式不一,可以是客观题也可以是解答题,内容涉及到曲线切线的倾斜角与斜率,曲线切线方程的确定,两曲线的公切线问题及满足条件的切线条数问题.. 二、经验分享(1) 函数y ＝f (x )在点x 0处的导数的几何意义,就是曲线y ＝f (x )在点P (x 0,f (x 0))处的切线的斜率k ,即k ＝f ′(x 0)．(2)已知切点A (x 0,f (x 0))求斜率k ,即求该点处的导数值：k ＝f ′(x 0)． (2)已知斜率k ,求切点A (x 1,f (x 1)),即解方程f ′(x 1)＝k . (3)若求过点P (x 0,y 0)的切线方程,可设切点为(x 1,y 1),由()()()1101101y f x y y f x x x =⎧⎪⎨'-=-⎪⎩求解即可．(4)函数图象在每一点处的切线斜率的变化情况反映函数图象在相应点处的变化情况,由切线的倾斜程度可以判断出函数图象升降的快慢．(5)求切线方程的方法：一点一方向可确定一条直线,在求切线时可考虑先求出切线的斜率（切点导数）与切点,在利用点斜式写出直线方..(6)在处理切线问题时要注意审清所给已知点是否为切点.“在某点处的切线”意味着该点即为切点,而“过某点的切线”则意味着该点有可能是切点,有可能不是切点.如果该点恰好在曲线上那就需要进行分类讨论了.(7)在解析几何中也学习了求切线的方法,即先设出切线方程,再与二次方程联立利用0∆=求出参数值进而解出切线方程.解析几何中的曲线与函数同在坐标系下,所以两个方法可以互通.若某函数的图像为圆锥曲线,二次曲线的一部分,则在求切线时可用解析的方法求解,例如：y =1,22⎛ ⎝⎭处的切线方程,则可考虑利用圆的切线的求法进行解决.若圆锥曲线可用函数解析式表示,像焦点在y 轴的抛物线,可看作y 关于x 的函数,则在求切线时可利用导数进行快速求解（此方法也为解析几何中处理焦点在y 轴的抛物线切线问题的重要方法） 三、知识拓展1.求曲线切线时,要分清在点P 处的切线与过P 点的切线的区别,前者只有一条,而后者包括了前者．2.曲线的切线与曲线的交点个数不一定只有一个,这和研究直线与二次曲线相切时有差别．3.当曲线y ＝f (x )在点(x 0,f (x 0))处的切线垂直于x 轴时,函数在该点处的导数不存在,切线方程是x ＝x 0；四、题型分析(一) 曲线切线的倾斜角与斜率【例1】．已知函数f (x )＝13x 3－2x 2＋3x (x ∈R)的图象为曲线C .(1)求过曲线C 上任意一点切线斜率的取值范围；(2)若在曲线C 上存在两条相互垂直的切线,求其中一条切线与曲线C 的切点的横坐标的取值范围． 【分析】(1)求出f ′(x )的范围就是切线斜率的范围；(2)由－1≤k ＜0或k ≥1,得－1≤x 2－4x ＋3<0或x 2－4x ＋3≥1,解不等式求范围【点评】求切线的倾斜角与斜率是导数几何意义应用的较简单问题,一般是先求导,把导函数看作切线斜率.【小试牛刀】【2018届福建省福州高三上学期期中】已知函数()22,0{ ,0x x a x f x lnx x ++<=>,其中a 是实数.设()()11,A x f x , ()()22,B x f x 为该函数图象上的两点,且12x x <.（1）若函数()f x 的图象在点,A B 处的切线互相垂直,且20x <,求21x x -的最小值； （2）若函数()f x 的图象在点,A B 处的切线重合,求a 的取值范围. 【答案】（1）1-；（2）()ln21,--+∞【解析】 (1)由导数的几何意义可知,点A 处的切线斜率为()1'f x ,点B 处的切线斜率为()2'f x ,故当A 处的切线与B 处的切线垂直时, ()()12''1f x f x =-,当0x <时,有()'22f x x <+,所以120x x <<,()()1222221x x ++=-,所以1222022x x +<<+,所以()()21211222212x x x x ⎡⎤-=+-+≥=⎣⎦,当且仅当()2122221x x +=-+=,即132x =-, 212x =-时,等号成立,所以21x x -的最小值为1-.（2）当120x x <<或120x x <<时, ()()12''f x f x ≠,所以120x x <<,当10x <时,函数()f x 图象在点A 处的切线方程为()()()21111222y x x a x x x -++=+-,即()21122y x x x a =+-+,当20x >时,函数()f x 图象在点B 处的切线方程为()2221ln y x x x x -=-,即221ln 1y x x x =+-,两处切线重合的充要条件是12221122{ 1x x lnx x a=+-=-+,由12122x x =+及120x x <<,得110x -<<, ()221211ln 1ln 221a x x x x =+-=-+-,记()()2ln 221(10)h x x x x =-+--<<,则()1'201h x x x =-<+,所以()h x 在()1,0-单调递减, ()0ln21h =--, x 趋近于1-时, ()h x 趋近于+∞,所以()()ln21,h x ∈--+∞,所以a 的取值范围是()ln21,--+∞.(二) 求曲线的切线方程【例2】已知函数f (x )＝x 3－4x 2＋5x －4. (1)求曲线f (x )在点(2,f (2))处的切线方程； (2)求经过点A (2,－2)的曲线f (x )的切线方程．【分析】(1)切点已知时求切线方程,求出()2k f '=,用点斜式写出方程；(2) 题目并没有说明A 是否为切点,所以要分A 是否为切点进行分类讨论.当A 是切点时,易于求出切线方程,当A 不是切点时,切点未知,从而先设再求,设切点()00,x y ,切线斜率为k ,三个未知量需用三个条件求解：①()00y f x =,②()'0k f x =,③00AAy y k x x -=-【点评】注意在点A 处的切线与过点A 的切线的区别,前者A 是切点,切线只有1条,或者A 可能是切点,也可能不是,所求切线可能多于1条.【小试牛刀】【2018届辽宁省丹东市五校协作体高三上学期联考】已知函数()()22ln ,f x x a x a R x=+-∈．（Ⅰ）若()f x 在2x =处取极值,求()f x 在点()()1,1f 处的切线方程； （Ⅱ）当0a >时,若()f x 有唯一的零点0x ,求证： 0 1.x > 【答案】（Ⅰ）7100x y +-=；（Ⅱ）见解析.（Ⅱ）由（Ⅰ）知()3222x ax f x x --'= ()0x >,令()322g x x ax =--,则()26g x x a ='-由()0,0a g x '>=,可得x =()g x ∴在⎛ ⎝上单调递减,在⎫+∞⎪⎪⎭上单调递增.又()020g =-<,故当x ⎛∈ ⎝时, ()0g x <； 又()10g a =-<,故()g x 在()1,+∞上有唯一零点,设为1x , 从而可知()f x 在()10,x 上单调递减,在()1,x +∞上单调递增, 因为()f x 有唯一零点0x ,故10x x =且01x > (三)两曲线的公切线【例3】若存在过点(1,0)的直线与曲线3y x =和21594y ax x =+-都相切,则a 等于( ) A.1-或2564- B. 1-或214C. 74-或2564-D. 74-或7【分析】本题两条曲线上的切点均不知道,且曲线21594y ax x =+-含有参数,所以考虑先从常系数的曲线3y x =入手求出切线方程,再考虑在利用切线与曲线21594y ax x =+-求出a 的值.【答案】A【点评】（1）涉及到多个函数公切线的问题时,这条切线是链接多个函数的桥梁.所以可以考虑先从常系数的函数入手,将切线求出来,再考虑切线与其他函数的关系 （2）在利用切线与21594y ax x =+-求a 的过程中,由于曲线21594y ax x =+-为抛物线,所以并没有利用导数的手段处理,而是使用解析几何的方法,切线即联立方程后的0∆=来求解,减少了运算量.通过例7,例8可以体会到导数与解析几何之间的联系：一方面,求有关导数的问题时可以用到解析的思想,而有些在解析中涉及到切线问题时,若曲线可写成函数的形式,那么也可以用导数来进行处理,（尤其是抛物线）【小试牛刀】【2018届四川成都市高三期中】已知曲线21(00)C y px y p =>>：，在点4,2M p ⎛⎫⎪⎝⎭处的切线与曲线121x C y e +=-：也相切,则214ln 2e p p的值是__________.【答案】4【解析】依题意得： y =, y'=, y'| 44px p==,点4,2M p ⎛⎫ ⎪⎝⎭处的切线的方程为：4y 24p x p ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭,即y 14px =+,设切线与曲线121x C y e +=-：的切点为()11m m e +-， 则114{ 114m m pe mpe ++=-=+,解得： 1{4m p =-=,∴2214ln 2ln 42e p e p ==,故答案为：4 (四) 曲线条数的确定【例4】已知函数()323f x x x =-,若过点()1,P t 存在3条直线与曲线()y f x =相切,求t 的取值范围 【分析】由于并不知道3条切线中是否存在以P 为切点的切线,所以考虑先设切点()00,x y ,切线斜率为k ,则满足()3000'2002363y x x k f x x ⎧=-⎪⎨==-⎪⎩ ,所以切线方程为()00y y k x x -=-,即 ()()()3200002363y x x x x x --=--,代入()1,P t 化简可得：3200463t x x =-+-,所以若存在3条切线,则等价于方程3200463t x x =-+-有三个解,即y t =与()32463g x x x =-+-有三个不同交点,数形结合即可解决【解析】设切点坐标()00,x y ,切线斜率为k ,则有：()3000'2002363y x x k f x x ⎧=-⎪⎨==-⎪⎩ ∴ 切线方程为：()()()3200002363y x x x x x --=-- 因为切线过()1,P t ,所以将()1,P t 代入直线方程可得：()()()32000023631t x x x x --=-- ()()()23000063123t x x x x ⇒=--+-233320000000636323463x x x x x x x =--++-=-+-所以问题等价于方程3200463t x x =-+-,令()32463g x x x =-+-即直线y t =与()32463g x x x =-+-有三个不同交点()()'21212121g x x x x x =-+=--令()'0g x >解得01x << 所以()g x 在()(),0,1,-∞+∞单调递减,在()0,1单调递增()()()()11,03g x g g x g ==-==-极大值极小值所以若有三个交点,则()3,1t ∈--所以当()3,1t ∈--时,过点()1,P t 存在3条直线与曲线()y f x =相切.【点评】曲线切线条数的确定通常转化为切点个数的确定,设出切点()(),P t f t ,由已知条件整理出关于t 的方程,可把问题转化为关于t 的方程的实根个数问题.【小试牛刀】【2017届安徽省亳州高三下学期教学质量检测】过点与曲线相切的直线有且只有两条,则实数的取值范围是（ ） A.B.C.D.【答案】B五、迁移运用1．【2018届湖北省荆州中学高三第二次月考】已知函数()f x 是偶函数,当0x >时, ()()21ln f x x x =-,则曲线()y f x =在点()()1,1f --处切线的斜率为（ ） A. -2 B. -1 C. 1 D. 2 【答案】B【解析】试题分析：由于函数()f x 是偶函数,当0x >时, ()()21ln f x x x =-,进而可得当0x <时()()()21ln f x x x =-+-,从而曲线()y f x =在点()()1,1f --处切线的斜率为()11f '-=-,故选B.2．【2018届河南省天一大联考】已知()f x 是定义在R 上的单调函数,满足()1xf f x e ⎡⎤-=⎣⎦,则()f x 在()()0,0f 处的切线方程为（ ）A. 1y x =+B. 1y x =-C. 1y x =-+D. 1y x =--【答案】A【解析】由题意可得()xf x e -为一固定的数,设()xa f x e =-,则有()1f a =.由()xa f x e =-可得()x f x a e =+,当x a =时,有()1a f a a e =+=,解得0a =.∴()x f x e =,∴()x f x e '=.∴()001f e '==,又()001f e ==.∴曲线()f x 在()()0,0f 处的切线方程为y 1x -=,即1y x =+.选A.3．【2018届河南省南阳高中三年级期中】已知12,P P 为曲线:ln C y x =（0x >且1x ≠）上的两点,分别过12,P P 作曲线C 的切线交y 轴于,M N 两点,若120PM P N ⋅=,则MN =（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】B【解析】设切点作标为()()111222,ln ,,ln P x x P x x ,若()12,1,x x ∈+∞,则12111x x ⋅=-,不合题意,若()121211,0,1,1x x x x ⎛⎫⎛⎫∈-⋅-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,不合题意,只有()()120,1,1,x x ∈∈+∞,因为120PM P N ⋅=,所以此时1212111,1x x x x ⎛⎫-⋅=-= ⎪⎝⎭, 1211111,,P Mx k PM x x ==-方程: ()1111ln y x x x x ++=--,令0x =, 11ln M y x =-, 2121P N k x x == , 2P N 方程11111ln y x x x x ⎛⎫-+=- ⎪⎝⎭,令0x =, 11ln N y x =--,2M N MN y y ∴=-=,故选B.4．【2018届广东省阳春高三上学期第三次月考】设点P 为函数()2122f x x ax =+与()()23ln 20g x a x b a =+>图象的公共点,以P 为切点可作直线l 与两曲线都相切,则实数b 的最大值为（ ）A. 3423eB. 3432e C. 2343e D. 2334e【答案】D【解析】设()y f x =与()()0y g x x =>在公共点()00,P x y 处的切线相同,()()23'2,'a f x x a g x x=+=,由题意()()()()0000,''f x g x f x g x ==,即222000001323ln 2,22a x ax a x b x a x +=++=,由2000322a x a x a x +=+=得0x a =或03x a =-（舍去）,即有2221223ln 2b a a a a =+- 2253ln 2a a a =-,令()()2253ln 02h t t t t t =->,则()()'213ln h t t t =-,于是当()13ln 0t t ->,即130t e <<时, ()'0h t >；当()13ln 0t t -<,即13t e >时, ()'0h t <,故()h t 在130,e ⎛⎫⎪⎝⎭为增函数,在13,e ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭为减函数,于是()h t 在()0,+∞的最大值为123332h e e ⎛⎫= ⎪⎝⎭,故b 的最大值为2334e ,故选D.5．【2018届湖北省宜昌高三月考】过点A(2,1)作曲线()33f x x x =-的切线最多有( )A. 3条B. 2条C. 1条D. 0条 【来源】数学（理）试题 【答案】A6．【2018届四川宜宾市高三（上）测试】设函数()()2340f x x ax a =->与()22ln g x a x b =+有公共点,且在公共点处的切线方程相同,则实数b 的最大值为 A.21e B. 212e C. 213e D. 214e 【答案】A【解析】()()2264,,a f x x a g x x=''=-由题意()()()()0000{ f x g x f x g x '==',可得()()200220002641{ 3422a x a x x ax a lnx b -=-=+,由(1)得2200320x ax a --=,解得0x a =或013x a =- (舍去),代入(2)得, 222ln b a a a -=+,构造()()()()222ln 0,4ln 1h x x x x x h x x x =+>=+',则()h x 在10,e⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减,在1,e ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递增,即()b h x -=的最小值为211h e e ⎛⎫=-⎪⎝⎭,所以b 的最大值为21e ,故选A. 7．【2018届内蒙古巴彦淖尔市高三月考】已知函数()1xf x e mx =-+的图像为曲线C ,若曲线C 存在与直线12y x = 垂直的切线,则实数m 的取值范围是 （ ） A. 2m > B. 2m ≤ C. 12m >- D. 12m ≤-【答案】A 【解析】1'x x f x e mx f x e m =-+∴=-（），（）， ∵曲线C 存在与直线12y x =垂直的切线, '2x f x e m ∴=-=-（） 成立, 22x m e ∴=+＞， 故选A8．【2018届齐鲁名校教科研协作体山东、湖北部分重点中学高三第一次调研】已知曲线2x ay e y x +==与恰好存在两条公切线,则实数a 的取值范围是A. [)2ln22,-+∞B. ()2ln2,+∞C. (],2ln22-∞- D. (),2ln22-∞- 【答案】D【解析】设直线(0)y kx b k =+>为它们的公切线,联立2{ y kx by x=+=可得240k b +=①,x a y e +=求导可得x a y e +=,令x a e k +=可得ln x k a =-,所以切点坐标为()ln ,ln k a k k ak b --+,代入x a y e +=可得ln k k k ak b =-+②.联立①②可得2444l n 0k k a k kk ++-=,化简得444ln a k k +=-.令()4ln g k k k =-,()41g k k'=-, ()()()0,0;0,04;0,4g k k g k k g k k ==><'<'' ()g k ∴在()0,4内单调递增,在()4,+∞内单调递减, ()()max 44ln44g k g ==-.有两条公切线, ∴ 444ln a k k +=-方程有两解, 444ln44a ∴+<-2ln22a ∴<-,所以答案为D9.【2017届广西南宁市高三上学期期末考试】已知()11,A x y , ()22,B x y 12()x x >是函数()3f x x x=-图像上的两个不同点.且在,A B 两点处的切线互相平行,则21x x 的取值范围是（ ） A. ()1,1- B. ()1,2- C. ()2.0- D. ()1,0- 【答案】D【解析】由题意, ()()3303(0){x x x x x x f x x x -≥+<=-= , 当0x ≥时, ()2'31f x x =-, 当0x <时,()2'31f x x =+,因为在,A B 两点处的切线互相平行,且12x x >, 所以120,0x x >< (否则根据导数相等得出,A B 两点重合), 所以在点()11,A x y 处切线的斜率为()211'31f x x =- ,在点()22,B x y 处切线的斜率为()222'31f x x =+, 所以22123131x x -=+, 即221212233x x -=表示的曲线为双曲线在第四象限的部分,如图：21x x 表示这个曲线上的点与原点连线的斜率,由图可知21xx 取值范围是()1,0-,故选D.10.【2017届辽宁省沈阳市高三第九次模拟考试】已知函数()xaf x x e =- (0)a >,且()y f x =的图象在0x =处的切线l 与曲x y e =相切,符合情况的切线A. 有0条B. 有1条C. 有2条D. 有3条 【答案】A11.【2017届安徽省蚌埠市3月教学质量检查】已知函数()1xf x x a e ⎛⎫=-⎪⎝⎭,曲线()y f x =上存在两个不同点,使得曲线在这两点处的切线都与y 轴垂直,则实数a 的取值范围是（ ） A. ()2,e -+∞ B. ()2,0e - C. 21,e ⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭ D. 21,0e ⎛⎫- ⎪⎝⎭【答案】D 【解析】曲线()y f x =上存在不同的两点,使得曲线在这两点处的切线都与y 轴垂直,()()'10x f x a x e -∴=+-=有两个不同的解,即得()1x a x e -=-有两个不同的解,设()1x y x e -=-,则()'2,2,'0,2,'0x y x e x y x y -=-∴, ()1x y x e -=-在(),2-∞上递减,在()2,+∞上递增2x ∴=时,函数取得极小值2,e --又因为当2x >时总有()10xy x e -=-<,所以可得数a 的取值范围是21,0e ⎛⎫-⎪⎝⎭,故选D.12.【2018届宁夏银川高三第五次月考】已知a b 、为正实数,直线y x a =-与曲线()ln y x b =+相切,则21a b+的取值范围是___ 【答案】()0,1【解析】设直线y x a =-与曲线()ln y x b =+相切于点()()00,ln x x b +,因为()1f x x b'=+,所以()00011{ln x b x a x b =+-=+,即01{ 1x b a b =-=-,则()()2221141)4111b b b a b b b-+-++==+++（ ()4141b b =++-+,又因为,a b 为正实数,所以01b <<,且()4141y b b=++-+在()0,1内为减函数,所以()401411b b<++-<+,即21a b +的取值范围为()0,1；故填()0,1. 13.【2018届河南省高三12月联考】已知过点()0,1-与曲线()32362a f x x x x =-+-（0x >）相切的直线有且仅有两条,则实数a 的取值范围是__________. 【答案】()2,+∞ 【解析】∵()32362a f x x x x =-+-,∴()2336f x x ax '=-+-.设切点为323,6(0)2a P t t t t t ⎛⎫-+-> ⎪⎝⎭,则有()2336f t t at '=-+-,所以过点P 的切线方程为()()322363362a y t t t t at x t ⎛⎫--+-=-+-- ⎪⎝⎭, 又点()0,1-在切线上,所以()()3223163362a t t t t at t ⎛⎫---+-=-+-- ⎪⎝⎭,整理得3243+2=0t at -, 由题意得方程3243+2=0t at -有两个不等的正实数根.设()3243+2(0)h t t at t =->,则()()212662h t t at t t a =='--,要使()3243+2(0)h t t at t =->的图象与t 轴的正半轴有两个不同的交点,则需0a >.所以函数()h t 在0,2a ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减,在,2a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递增,所以()3min2024a a h t h ⎛⎫==-+< ⎪⎝⎭,解得2a >.即实数a 的取值范围是()2,+∞.答案： ()2,+∞14.已知函数()()()23222,0{ 33,0x a x x f x x a x ax x -+-≤=-++>,若曲线()y f x =在点()(),i i i P x f x ,（ 1,2,3i =,其中123,,x x x 互不相等）处的切线互相平行,则a 的取值范围是__________.【答案】()1,2-【解析】函数()()()()()2232222,022,0{ ,'{ 361,033,0x a x x a x x f x f x x a x a x x a x ax x -+-≤-+-≤=∴=-++>-++>, 曲线()y f x =在点()(),(1,2,3i i i P x f x i =,其中123,,x x x 互不相等）处的切线互相平行,即()'y f x =在点()(),i i i P x f x 处的值相等,画出导函数()'y f x =的图象,如图,当0x ≤时, ()'22222f x x a a =-+-≥-, ∴当0x >时, ()'f x 必须满足, 22{,1210a a a a >-∴-<<+>,故答案为()1,2-.15.【2018届江苏省常州市第一学期月考】设点P 为函数()2122f x x ax =+与()()23ln 20g x a x b a =+>图象的公共点,以P 为切点可作直线l 与两曲线都相切,则实数b 的最大值为___________．【答案】2334e【解析】设点P 坐标为()00,x y ,则有200020012{ 232y x ax y a lnx b=+=+,因为以P 为切点可作直线l 与两曲线都相切,所以()()00k f x g x =='',即20032,a x a x +=0,x a ∴=或03x a =-由(0)a >,故0x a =,此时2052a y =；所以点P 坐标为25,2a a ⎛⎫ ⎪⎝⎭,代入()23l n 2g x a x b =+整理得： ()2253ln 42a a b a h a =-=, ()532ln 3ln 22b a a a a a a a ∴=-+=-',令0b '=,即3ln 0a a a -=,得13a e =,可判断()h a 在130,e ⎛⎫⎪⎝⎭上递增,在13e ,⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭ 上递减,所以当13a e =时有极大值也是最大值, 2211331233533ln 424e e b e e ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭∴=-=,故答案为2334e . 16.已知函数()1lnf x a x b x x ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭（,a b R ∈）,()2g x x =. （1）若1a =,曲线()y f x =在点()()1,1f 处的切线与y 轴垂直,求b 的值；（2）若2b =,试探究函数()f x 与()g x 的图象在其公共点处是否存在公切线.若存在,研究a 值的个数；,若不存在,请说明理由.【解析】（1）当1a =时, ()1ln f x x b x x=--,∴ ()22211'1b x bx f x x x x -+=+-=,依题意得()'120f b =-=,∴ 2b =.（2）假设函数()f x 与()g x 的图象在其公共点()00,x y 处存在公切线,∵2b =,∴ ()12ln f x a x x x ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭,∴ ()222'ax x a f x x -+=, ()'2g x x =,由()()00''f x g x =得20002022ax x a x x -+=,即32000220x ax x a -+-=, ∴()()200120x x a +-=,故02ax =. ∵函数()f x 的定义域为()0,+∞,下面研究满足此等式的a 的值的个数：设2at =,则2a t =,且0t >,方程28ln 82a a -=化为2ln 12t t =-, 分别画出ln y t =和212t y =-的图象,当1t =时, ln 0t =, 211022t -=-<,由函数图象的性质可得ln y t =和212t y =-的图象有且只有两个公共点（且均符合）,∴方程28ln 82a a-=有且只有两个根. 综上,当0a ≤时,函数()f x 与()g x 的图象在其公共点处不存在公切线；当0a >时,函数()f x 与()g x 的图象在其公共点处存在公切线,且符合题意的a 的值有且仅有两个.。
辽宁省丹东市五校协作体2018届高三上学期联考数学(文)试卷 Word版含解析
丹东市五校协作体2018届联考文科数学试卷第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1. 已知集合，则A. B. C. D.【答案】D【解析】由题意得，所以。
选D。
2. 设复数满足，则A. B. C. D.【答案】B【解析】由题意得，所以。
选B。
3. 设是定义在上的奇函数，当时，，则A. B. C. D.【答案】C【解析】∵是定义在上的奇函数，∴。
选C。
4. 已知实数满足约束条件，则的最大值为A. B. C. D.【答案】B【解析】画出不等式组表示的可行域如图所示，由得。
平移直线，由图形可得当直线经过可行域内的点A时，直线在y轴上的截距最大，此时取得最大值。
由，解得，故点A的坐标为（2，-1）。
∴。
选B。
5. 已知数列的通项公式是，前项和为，则数列的前11项和为A. B. C. D.【答案】D【解析】由题意知数列为等差数列，∴。
∴，∴数列的前11项和为。
选D。
6. 向量，，且∥，则A. B. C. D.【答案】C【解析】∵∥，，，∴，∴。
选C。
7. 执行如图所示的程序框图，如果输入的，则输出的属于A. B. C. D.【答案】B【解析】当时，，所以；当时，。
综上可得输出的的范围为。
选B。
8. 《九章算术》中有如下问题：“今有勾八步，股一十五步，问勾中容圆，径几何？”其意：“已知直角三角形两直角边长分别为步和步，问其内切圆的直径为多少步？”现若向此三角形内随机投一粒豆子，则豆子落在其内切圆外的概率是A. B. C. D.【答案】D【解析】由题意可知：直角三角向斜边长为17，由等面积，可得内切圆的半径为：落在内切圆内的概率为，故落在圆外的概率为9. 如图所示，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是三棱锥的三视图，则此三棱锥的体积是A. B. C. D.【答案】A【解析】根据三视图画出几何体直观图为如图所示的三棱锥，其中底面为两直角边分别为2,6的直角三角形，棱锥的高为4。
辽宁省丹东市2018年高三模拟(二)理科数学试题(含答案解析)
辽宁省丹东市2018年高三模拟（二）理科数学试题（含答案解析）本试卷共23题，共150分，共4页。
考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
注意事项：1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区域内。
2．选择题必须使用2B 铅笔填涂；非选择题必须使用0.5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚。
3．请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。
4．作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。
5．保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．若集合{|||3}A x x =∈<N ，2{|20}B x x x =+-≤，则A B =A ．{1}B ．{1,2}C ．{0,1}D ．{0,1,2}2．复数102i 3iz =-+的模||z = A．B． C．D．3．圆心为(2,0)的圆C 与圆224640x y x y ++-+=相外切，则C 的方程为A ．22420x y x +++=B ．22420x y x +-+=C ．2240x y x ++=D ．2240x y x +-=4．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为 A ．3π4+B ．4π4+C ．6π4+D ．8π4+5．已知△ABC 的面积为S ，三个内角A ，B ，C224()S a b c =--，4bc =，则S =A ．2B ．4C 6．我国古代数学著作《九章算术》有如下问题：“今有 人持金出五关，前关二而税一，次关三而税一，次关 四而税一，次关五而税一，次关六而税一，…，”. 源于问题所蕴含的数学思想，设计如图所示程序框图， 运行此程序，输出的i 值为 A ．4B ．5C ．6D ．77．为了考查考生对于“数学知识形成过程”的掌握情况，某高校自主招生考试面试中的一个问题是：写出对数的换底公式，并加以证明．甲、乙、丙三名考生分别写出了不同的答案．公布他们的答案后，三考生之间有如下对话，甲说：“我答错了”；乙说：“我答对了”；丙说：“乙答错了”．评委看了他们的答案，听了他们之间的对话后说：你们三人的答案中只有一人是正确的，你们三人的对话中只有一人说对了．根据以上信息，面试问题答案正确、对话说对了的考生依次为 A ．乙、乙 B ．乙、甲 C ．甲、乙 D ．甲、丙 8．若函数log ,3()28,3a x x f x x x >⎧=⎨-+≤⎩存在最小值，则a 的取值范围为A ．(1,)+∞B．)+∞C．D． 9．设120πx x <<<，若12ππ3sin(2)sin(2)335x x -=-=，则12cos()x x -= A ．35-B ．35C ．45-D ．4510．若点(,2)M x kx -满足不等式组104x x y x y ≥-⎧⎪-≤⎨⎪+≤⎩，则k 的取值范围为A ．(,1][2,)-∞-+∞B ．[1,2]-C ．(,7][2,)-∞-+∞D ．[7,2]-11．设21()cos(1)2f x x x x =-+-，则函数()f x A ．仅有一个极小值 B ．仅有一个极大值 C ．有无数个极值D ．没有极值12．设P 是△ABC 所在平面上的一点，若|2|2AP BP CP --=，则PA PB PA PC ⋅+⋅的最小值为 A ．12B ．1C ．12-D ．1-二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
2017-2018学年辽宁省沈阳市四校协作体高三年级联合考试(理科数学答案)
沈阳四校协作体2018届高三年级联合考试理科数学试题参考答案三、解答题17.解：18.解：（1）∵a n+1=2S n+1，n∈N∗，n≥2时，a n=2S n﹣1+1，可得a n+1﹣a n=2a n，即a n+1=3a n．n=1时，a2=2a1+1=3=3a1，满足上式．∴数列{a n}是等比数列，∴a n=3n﹣1．…………………………………………………………….6分（2）c=log3a2n==2n﹣1．b n===，数列{b n}的前n 项和T n=+++…++=………………………………………………………………………………12分19.解：（1）证明：如图，以A为坐标原点，以AC、AB、AA1所在直线分别为x、y、z轴建系，则A（0，0，0），B（0，1，0），C（2，0，0），D（1，﹣2，0），A1（0，0，2），B1（0，1，2），C1（2，0，2），D1（1，﹣2，2），又∵M、N分别为B1C、D1D的中点，∴M（1，，1），N（1，﹣2，1）．由题可知：=（0，0，1）是平面ABCD的一个法向量，=（0，﹣，0），∵•=0，MN⊄平面ABCD，∴MN∥平面ABCD；……………………………………………………..4分（2）解：由（I）可知：=（1，﹣2，2），=（2，0，0），=（0，1，2），设=（x，y，z）是平面ACD1的法向量，由，得，取z=1，得=（0，1，1），设=（x，y，z）是平面ACB1的法向量，由，得，取z=1，得=（0，﹣2，1），∵cos＜，＞==﹣，∴sin＜，＞==，∴二面角D1﹣AC﹣B1的正弦值为；…………………………………………………….12分20.解：21.解：（1）由题意知2322=-a b a ，可得：b a 2=. 因为抛物线E 的焦点为)21,0(F ，所以21,1==b a ， 所以椭圆C 的方程为1422=+y x …………………………….2分（2）（Ⅰ）设)0)(2,(2>m m m P ，由y x 22=可得y'x =， 所以直线l 的斜率为m ，因此直线l 的方程为)(22m x m m y -=-，即22m mx y -=. 设),(),,(),,(002211y x D y x B y x A ，联立方程222241m y mx x y ⎧=-⎪⎨⎪+=⎩得014)14(4322=-+-+m x m x m ，由0∆>，得520+<<m 且1442321+=+m m x x ， 因此142223210+=+=m m x x x , 将其代入22m mx y -=得)14(2220+-=m m y ，因为m x y 4100-=，所以直线OD 方程为x my 41-=. 联立方程⎪⎩⎪⎨⎧=-=m x x m y 41，得点M 的纵坐标为M 14y =-，即点M 在定直线41-=y 上…………………………………………6分 （Ⅱ）由（Ⅰ）知直线l 方程为22m mx y -=，令0=x 得22m y -=，所以)2,0(2m G -， 又21(,),(0,),22m P m F D ))14(2,142(2223+-+m m m m ， 所以)1(41||2121+==m m m GF S ，)14(8)12(||||2122202++=-⋅=m m m x m PM S ， 所以222221)12()1)(14(2+++=m m m S S ， 令122+=m t ，则211)1)(12(2221++-=+-=t tt t t S S ， 当211=t ，即2=t 时，21S S 取得最大值49，此时22=m ，满足0∆>，所以点P 的坐标为)41,22(，因此12SS 的最大值为49，此时点P 的坐标为)41,22(………………………………………………………………………………………12分22.解： （1）得，由，可得，即.其参数方程为（为参数）……………………………………………5分（2）由已知可得，设.则，所以四边形.当时，四边形的面积取最大. ……………………………………………10分23.解（1）解法一：1m >Q211()1121x m x f x m x m x m x m -++<⎧⎪∴=-≤≤⎨⎪-->⎩，，，······································· 1分作出函数)(x f 的图象……………………………………3分由4)(>x f 的解集为{}40><x x x 或 及函数图象得 ⎩⎨⎧=--⨯=++⨯-41424102m m 得3=m …………………………………………5分解法二：1m >Q211()1121x m x f x m x m x m x m -++<⎧⎪∴=-≤≤⎨⎪-->⎩，，，················································································· 1分① 12+14x x m <⎧⎨-+>⎩ 得1m >Q 得312m -<，32mx -∴< ········································································ 2分 ②得1(5)x m m ≤≤>，不合题意 ···················································· 3分 ③ 得当时，，不符合，舍去 当时， ······················································································ 4分 综上不等式的解集为，······················································· 5分 （2）解法一：由（Ⅰ）得 ···················································································· 6分 有解⎪⎩⎪⎨⎧-<<231m x x ⎩⎨⎧>-≤≤411m mx ⎩⎨⎧>-->412m x m x ⎪⎩⎪⎨⎧+>>25m x m x 5m ≥x m >4x >15m <<52mx +>3522m m x x x ⎧-+⎫<>⎨⎬⎩⎭或302542mm -⎧=⎪⎪∴⎨+⎪=⎪⎩3m ∴=421()213243x x f x x x x -<⎧⎪=≤≤⎨⎪->⎩，，，2)(min =x f 4)(2-+<a a x f即 ························································· 8分····················································································· 9分 实数的取值范围 ············································· 10分 解法二：由绝对值不等式几何意义得 ········································· 6分 有解即 ············································· 8分······································································· 9分 实数的取值范围 ·································· 10分422-+<a a 062>-+a a 0)2)(3(>-+a a 23>-<a a 或a {}23>-<a a a 或2)(≥x f 4)(2-+<a a x f 422-+<a a 062>-+a a 0)2)(3(>-+a a 23>-<a a 或a {}23>-<a a a 或。
辽宁省丹东市2018届高三模拟(二)试题(理)试题及答案解析
辽宁省丹东市2018届高三模拟（二）数学试题（理）一、选择题1. 若集合，，则（）A. B. C. D.2. 复数的模（）A. B. C. D.3. 圆心为的圆与圆相外切，则的方程为（）A.B.C.D.4. 某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（）A. B. C. D.5. 已知△的面积为，三个内角，，的对边分别为，，，若，，则（）A. 2B. 4C.D.6. 我国古代数学著作《九章算术》有如下问题：“今有人持五金出关，前关二而税一，次关三而税一，次关四而税一，次关五而税一，次关六而税一，…，”.源于问题所蕴含的数学思想，设计如图所示程序框图，运行此程序，输出的值为（）A. 4B. 5C. 6D. 77. 为了考查考生对于“数学知识形成过程”的掌握情况，某高校自主招生考试面试中的一个问题是：写出对数的换底公式，并加以证明．甲、乙、丙三名考生分别写出了不同的答案．公布他们的答案后，三考生之间有如下对话，甲说：“我答错了”；乙说：“我答对了”；丙说：“乙答错了”．评委看了他们的答案，听了他们之间的对话后说：你们三人的答案中只有一人是正确的，你们三人的对话中只有一人说对了．根据以上信息，面试问题答案正确、对话说对了的考生依次为（）A. 乙、乙B. 乙、甲C. 甲、乙D. 甲、丙8. 若函数存在最小值，则的取值范围为（）A. B. C. D.9. 设，若，则（）A. B. C. D.A. B.C. D.11. 设，则函数（）A. 仅有一个极小值B. 仅有一个极大值C. 有无数个极值D. 没有极值12. 设是△所在平面上的一点，若，则的最小值为（）A. B. C. D.二、填空题13. 已知某种商品的广告费支出x（单位：万元）与销售额y（单位：万元）之间有如下对应数据：根据上表可得回归方程，计算得，则当投入10万元广告费时，销售额的预报值为_______万元．14. 若，则的值为_______．15. 已知，，是半径为2的球表面上三点，若，，，则三棱锥的体积为_______．16. 双曲线：的右焦点为，左顶点为，以为圆心，为半径的圆与的右支相交于，两点，若△的一个内角为，则的渐近线方程为_______．三、解答题17. 为数列的前项和，已知，．（1）求的通项公式；（2）若数列的前项和满足，求实数的取值范围．18. 近年来，双十一购物狂欢节（简称“双11”）活动已成为中国电子商务行业年度盛事，某网络商家为制定2018年“双11”活动营销策略，调查了2017年“双11”活动期间每位网购客户用于网购时间（单位：小时），发现近似服从正态分布．（1）求的估计值；（2）该商家随机抽取参与2017年“双11”活动的10000名网购客户，这10000名客户在2017年“双11”活动期间，用于网购时间属于区间的客户数为．该商家计划在2018年“双11”活动前对这名客户发送广告，所发广告的费用为每位客户0.05元．（i）求该商家所发广告总费用的平均估计值；（ii）求使取最大值时的整数的值．附：若随机变量服从正态分布，则，，．19. 如图，在四面体中，，．（1）证明：；（2）若，，四面体的体积为2，求二面角的余弦值．20. 已知为椭圆：长轴上的一个动点，过点的直线与交于，两点，点在第一象限，且．（1）若点为的下顶点，求点的坐标；（2）若为坐标原点，当△的面积最大时，求点的坐标．21. 设函数．（1）讨论的单调性；（2）若存在正数，使得当时，，求实数的取值范围．22. 在直角坐标系中，将圆上每一点的横坐标保持不变，纵坐标变为原来的倍，再把所得曲线上每一点向下平移1个单位得到曲线．以为极点，以轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程是．（1）写出的参数方程和的直角坐标方程；（2）设点在上，点在上，求使取最小值时点的直角坐标．23. 设函数，若，．（1）证明：；（2）比较与的大小．【参考答案】一、选择题1. 【答案】C【解析】求解集合，，根据交集的定义求解即可.详解：由集合，，则.故选C.2.【答案】A【解析】由复数的除法运算得，从而求模即可.详解：复数.所以.故选A.3. 【答案】D【解析】由两圆外切得圆心距为半径和从而得解.详解：圆，即.圆心为，半径为3设圆的半径为.由两圆外切知，圆心距为.所以.的方程为，展开得：.故选D.4. 【答案】B【解析】由三视图可知该组合体为个球和半个圆柱，计算各面面积求和即可.详解：由三视图易知，该组合体为：上面是个球，下面是半个圆柱.表面积为：.故选B.5. 【答案】A【解析】由三角形面积公式及余弦定理代入条件可得，从而可得，进而得解. 详解：△的面积中.由，可得.化简得，即.所以，解得或（舍）.所以.所以.故选A.6. 【答案】C【解析】根据循环结构的图中，执行程序得，结合程序结束条件即可得解. 详解：执行程序框图可知，.当时，，此时不成立，结束循环.输出.故选C.7. 【答案】D【解析】分别假设甲乙丙如果做的，判定三个人说对的情况是否满足题意.详解：如果甲做对了，那么甲说的不对，乙说的不对，丙说的对，满足题意；如果乙做对了，那么甲说的对，乙说的也对，不满足题意；如果丙做对了，那么甲说的对，乙说的不对，丙说的也对，不满足题意.故选D.8. 【答案】C【解析】由分段函数在两端上的单调性，结合各段的最值，列不等式关系即可.详解：由函数，由题意可知.当时，，函数必须满足,否则函数无最小值.此时.当时，单调递减，满足.所以，解得.故选C.9. 【答案】B详解：因为，所以由，可得或.因为，所以，即.所以.故选B.10.【答案】A【解析】将不等式组的可行域表示在平面直角坐标系中，进而利用，即，转化为区域内的点和定点连线的斜率即可.详解：如图所示，图中阴影部分为可行域.由点，即，所以.表示可行域内点和点连线的斜率.由图可知，.所以.故选A.11. 【答案】A【解析】求函数导数，令，由，从而得即的单调性，结合，即可得解.详解：，得.设，则.即为增函数，且.所以当,则单调递减；当,则单调递增，且.所以函数仅有一个极小值.故选A.12. 【答案】C【解析】利用向量的加法运算，设的中点为D，可得，利用数量积的运算性质可将原式化简为，为AD中点，从而得解.详解：由，可得.设的中点为D，即.点P是△ABC所在平面上的任意一点，为AD中点.∴.当且仅当，即点与点重合时，有最小值.故选：C.二、填空题13. 【答案】85【解析】由数据计算样本中心,代入回归方程得，将代入求解即可.详解：由上表可知：.得样本中心为：代入回归方程，得.所以回归方程为，将代入可得：.故答案为：85.14.【答案】36【解析】由，利用二项展开的通项公式求解即可.详解：由，可得，上式二项展开的通项为：.令，得.故答案为：36.15.【答案】【解析】由题中条件可得为直角三角形，取BC中点为D，则D为的外心，由面，求解即可.详解：如图所示：中，由正弦定理可得：，解得，由，所以，有.所以为直角三角形.取BC中点为D，则D为的外心.为球心，则有面.三棱锥的体积为.故答案为：.16.【答案】【解析】由题意可得PA⊥PB，又，△APQ的一个内角为60°，即有△PFB为等腰三角形，PF=FA=a+c，运用双曲线的定义和的关系，计算即可得到所求．详解：如图,设左焦点为F1，圆于x轴的另一个交点为B，∵△APQ的一个内角为60°，∴∠P AF=30°,∠PBF=60°⇒PF=AF=a+c，⇒PF1=3a+c，在△PFF1中,由余弦定理可得.⇒，∴.∴的渐近线方程为，即.故答案为：.三、解答题17.解：（1）由，可知．可得，易知，于是．又，得．所以是首项为2，公比为4的等比数列，通项公式为．（2）由可知．于是．不等式可化为．因为，所以，故．因此实数的取值范围为．18.解：（1）因为，，，所以．（2）（i）．依题意，所以．故商家广告总费用的估计值为（元）．（ii）．设最大，则，即，解得．因为，所以使取最大值时的整数．19.（1）证法一：如图，作Rt△斜边上的高，连结．因为，，所以Rt△≌Rt△．可得．所以平面，于是．（2）解：在Rt△中，因为，，所以，，，△的面积．因为平面，四面体的体积，所以，，，所以平面．以，，为，，轴建立空间直角坐标系．则，，，，，，．设是平面的法向量，则，即，可取．设是平面的法向量，则，即，可取．因为，二面角的平面角为钝角，所以二面角的余弦值为（1）证法二：因为，，所以Rt△≌Rt△．可得．设中点为，连结，，则，，所以平面，，于是．（2）解：在Rt△中，因为，，所以△面积为．设到平面距离为，因为四面体的体积，所以．在平面内过作，垂足为，因为，，所以．由点到平面距离定义知平面．因为，所以．因为，，所以，，所以，即二面角的余弦值为．20.解：（1）易知，由可得点的纵坐标为．由点在上，得的横坐标为．从而方程为，令得，点的坐标为．（2）由题意可设，：，与联立，可得，．设，，则．由得，所以，．因为，所以，得．△的面积，当且仅当时等号成立，此时，满足．因为，所以，故点的坐标为．21.解：（1）．当时，，上单调递增．当时，若，则，若，则；所以在单调递增，在上单调递减．（2）若，在内单调递增，当时，，所以，即.设，.若，时，，在单调递增.所以当时，，故存在正数，使得当时，.若，当时，，在单调递减，因为，所以.故不存在正数，使得当时，.若，在单调递减，因为，所以存在，使得当时，，可化为，即.设，.若，则时，，在单调递增，又，所以时，.故不存在正数，使得当时，.当时，当时，，在单调递减，又，所以.故存在，使得当时，.综上，实数的取值范围为．22.解：（1）：为，其参数方程为（为参数）．：，其直角坐标方程为．（2）由（1）可设，由于是直线，所以的最小值，就是到距离的最小值．23.（1）证明：，由得．从而，，．所以．（2）解：．由（1）得，，所以，故．。
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丹东市五校协作体联考理科数学试卷 注意事项： 1．本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分，共23题，共150分，共6页。 2．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，将条形码粘贴在条形码区域。 3．选择题必须使用2B铅笔填涂；非选择题必须使用0.5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚。 4．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号，写在本试卷上无效。回答第Ⅱ卷时，请按照题号顺序在答题卡上各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效。 5．作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。 6．保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。
第Ⅰ卷 一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 （1）已知集合22,1,0,2,3,|1,AByyxxA，则AB元素的个数是（A）2 （B）3 （C）4 （D）5
（2）设复数z满足(1)2izi，则z （A）1i （B）1i （C）1i （D）1i
（3）已知命题“Rx，使041)2(42xax”是假命题，则实数a的取值范围 （A）)0,( （B）4,0 （C），4 （D）)40(， （4）各项为正的等比数列na中，4a与14a的等比中项为22，则27211loglogaa的值为 （A）1 （B）2 （C）3 （D）4
（5）设120182017201812017,log2018,log2017abc 则 （A） cba （B）bca （C）acb （D）abc （6）在《爸爸去哪儿》第二季第四期中，村长给6位“萌娃”布置一项搜寻空投食物的任务。已知：①食物投掷地点有远、近两处；②由于Grace年纪尚小，所以要么不参与该项任务，但此时另需一位小孩在大本营陪同，要么参与搜寻近处投掷点的食物；③所有参与搜寻任务的小孩须被均分成两组，一组去远处，一组去近处，那么不同的搜寻方案有 （A）10种 （B）40种 （C）70种 （D）80种 （7）若1,6a，则函数2xayx在区间2,内单调递增的概率是（ ） （A）15 （B）25 （C） 35 （D） 45 （8）公元263年左右，我国数学家刘徽发现当 圆内接正多边形的边数无限增加时，多边形 面积可无限逼近圆的面积，并创立了“割圆 术”。利用“割圆术”刘徽得到了圆周率精确 到小数点后两位的近似值3.14，这就是著名的 “徽率”。如图是利用刘徽的“割圆术”思想 设计的一个程序框图，则输出n的值为 参考数据：31.732，sin150.2588， sin7.50.1305．
（A）12 （B）24 （C）36 （D）48 （9）如图所示，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画 出的是三棱锥的三视图，则此三棱锥的体积是 （A）8 （B）16 （C）24 （D）48 （10）已知函数lnfxx.若0ab,且fafb,则4ab的取值范围是 （A）4, （B） 4, （C）5, （D）
5,
（11）已知,,ABC是球O的球面上三点，2AB，7AC，60ABC，且三棱锥OABC的体积为52，则球O的表面积为
（A）48 （B）36 （C）16 （D）8 （12）一条动直线l与抛物线C：24xy相交于,AB两点，O为坐标原点，若
2ABAG，则224OAOBOG的最大值为
（A）24 （B） 16 （C）8 （D）16 第Ⅱ卷 本卷包括必考题和选考题两部分。第13～21题为必考题，每个试题考生都必须作答。第22～23题为选考题，考生根据要求作答。 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分。
（13）已知x，y满足2040330xyxyxy则3zxy的最小值为 ．
（14）已知双曲线22221xyab（0,0ab）的一条渐近线被圆22650xyx截得的弦长为2，则该双曲线的离心率为 ． （15）设数列na的前n项和为nS,若31a且12nnnaSS则na的通项公式na ．
（16）如图，设ABC的内角,,ABC所对的边分别为
,,abc，coscossinaCcAbB，且6CAB.
若点D是ABC外一点，2,3DCDA，则当四边 形ABCD面积最大值时，sinD ． 三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 （17）（本小题满分12分）
已知函数21()cos3sin()cos()2fxxxx. （Ⅰ）求函数()fx在[0,]的单调递减区间； （Ⅱ）在锐角ABC中，内角A，B，C，的对边分别为a，b，c，已知()1fA，2a，sinsinbCaA，求ABC的面积. （18）（本小题满分12分） 如图，在四棱锥E-ABCD中，底面ABCD为直角梯形，其中CD∥AB，BC⊥AB，侧面ABE⊥平面ABCD，且AB=AE=BE=2BC=2CD=2，动点F在棱AE上，且EF=λFA. （Ⅰ）试探究λ的值，使CE∥平面BDF，并给予证明； （Ⅱ）当λ=1时，求直线CE与平面BDF所成的角的正弦值.
（19）（本小题满分12分） 某校高三有500名学生，在一次考试的英语成绩服从正态分布2(100,17.5)N，数学成绩的频率分布直方图如下： （Ⅰ）如果成绩大于135的为特别优秀，则本次考试英语、数学特别优秀的大约各多少人？ （Ⅱ）试问本次考试英语和数学的成绩哪个较高，并说明理由. （Ⅲ）如果英语和数学两科都特别优秀的共有6人，从（Ⅰ）中的这些同学中随机抽取3人，设三人中两科都特别优秀的有人，求的分布列和数学期望。 参考公式及数据： 若2~(,)XN，则()0.68Px， (22)0.96Px，(33)0.99Px. （20）（本小题满分12分） 已知椭圆2222:1 (0)xyCabab的左、右焦点分别为1F，2F，上顶点为B，若
12BFF的周长为6，且点1F到直线2BF的距离为b.
（Ⅰ）求椭圆C的方程； （Ⅱ）设12,AA是椭圆C长轴的两个端点，点P是椭圆C上不同于12,AA的任意一点，直线1AP交直线xm于点M，若以MP为直径的圆过点2A，求实数m的值.
（21）（本小题满分12分） 已知函数22()ln,()fxxaxaRx． （Ⅰ）若()fx在2x处取极值，求()fx在点(1,(1))f处的切线方程； （Ⅱ）当0a时，若()fx有唯一的零点0x，求0[].x 注[]x表示不超过x的最大整数，如[0.6]0,[2.1]2,[1.5]2. 参考数据：ln20.693,ln31.099,ln51.609,ln71.946.
请考生在第22～23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分。 （22）（本小题满分10分）选修4—4：坐标系与参数方程 极坐标系的极点为直角坐标系xOy的原点，极轴为x轴的正半轴，两种坐标系中的长度单位相同．已知曲线C的极坐标方程为2sin，[0,2]． （Ⅰ）求曲线C的直角坐标方程； （Ⅱ）在曲线C上求一点D，使它到直线33:32xtlyt（t为参数）的距离最短，写出D点的直角坐标.
（23）（本小题满分10分）选修4—5：不等式选讲 设函数()|||1|fxxmxm．
（Ⅰ）当1m时，求不等式1()2fx的解集； （Ⅱ）若对任意[0,1]m，不等式()fxn的解集为空集，求实数n的取值范围． 丹东市五校协作体联考 理科数学答案与评分参考 一、选择题 1．B 2．A 3．D 4． C 5． D 6． B 7．C 8．B 9．A 10．C 11．C 12．B 二、填空题
13． 0 14．62 15． 3,118,2(53)(83)nnnn 16． 277
三、解答题 17．解（1）由已知得
21()cos3sincos2fxxxx
1cos231sin2222xx
sin(2)6x …………3分
222262kxxkx
63kxxkx又[0,]x
函数()fx在[0,]的单调递减区间为[0,]3和5[,]6. …………6分
（2）由（1）知()sin(2)6fxx 锐角ABC
，
02A 52666A
又()sin(2)16fAA 262A，即3A …………9分