2020届上海市普陀区高考一模数学试题
上海2020高三数学一模分类汇编-平面向量、复数(详答版)
2020年一模汇编——平面向量一、填空题 【徐汇2】 向量(3,4)a =在向量(1,0)b =方向上的投影为【答案】3【解析】向量a →在向量b →方向上的投影为3cos 31a ba ba a a bbθ→→→→→→→→→⋅⋅=⨯===⨯【闵行5】在△ABC 中，已知AB a =，BC b =，G 为△ABC 的重心，用向量a 、b 表示向量AG =【答案】2133a b + 【解析】因为G 为△ABC 的重心，设BC 边中线为AD ，交BC 于D 点，则()222121333233AG AD AB BD AB BC a b ⎛⎫==+=+=+ ⎪⎝⎭ 【长宁，嘉定，金山6】己知向量⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=23,21AB ,⎪⎪⎭⎫⎝⎛=21,23AC ,则BAC ∠= 【答案】6π【解析】向量的夹角公式23cos 222221212121=+⋅++=y x y x y y x x θ，6πθ=∴【静安7】如图，在平行四边形ABCD 中，2AB =，1AD =,则AC BD ⋅的值为_____.【答案】-3【解析】()()14-3AC BD AB AD AD AB ⋅=+-=-=【松江7】已知向量()1,2a →=，(),3b m →=-，若向量2a b b →→→⎛⎫- ⎪⎝⎭∥，则实数m =【答案】32-【解析】()212,8a b m →→-=-，又2a b b →→→⎛⎫- ⎪⎝⎭∥，()()12380m m ∴---=，解得：32m =-【长宁，嘉定，金山10】已知非零向量..a b c 两两不平行，且()(),+c ab c b a +，设c=,,,+2y=xa yb x y R +∈则x【答案】-3【解析】由题意得()()1;b c ma b xa yb y b m x a +=⇒++=+=-即1y =-，()()=1a c na a xa yb x a n y b +⇒++⇒+=-；即1x =- 23x y ∴+=-【虹口10】如图所示，两块斜边长均等于2的直角三角板拼在一起，则OD AB ⋅= 【答案】1-【解析】以O 为坐标原点OA 为x 轴OB 为y 轴建立直角坐标系，可得(0,0)(1,0)(0,1)()01O A B OD AB OA AD AB OA AB AD AB AB AD AD AB OD AB OA AB →→→→→→→→→→→→→→→==+⊥∴=∴==-、、【普陀11】设P 是边长为22的正六边形123456A A A A A A 的边上的任意一点，长度为4的线段MN 是该正六边形外接圆的一条动弦，则PM PN 的取值范围为____________. 【答案】646,882⎡⎤-+⎣⎦【解析】构建平面直角坐标系，取MN 中点C ，∴()()PM PN PC CM PC CN ⋅=+⋅+2224PC CM PC =-=-，max ||22222PC OC =+=+，min ||62PC OB OC =-=-，∴2[1046,1282]PC ∈-+，即[646,882]PM PN ⋅∈-+，另外，本题也可利用参数方程转化为三角函数求最值问题得思路解题。
上海市2020届高三数学一模考试汇编：平面向量、复数
2020年一模汇编——平面向量一、填空题例1.[20届上海一模徐汇2]向量(3,4)a =在向量(1,0)b =方向上的投影为答案：3例2.[20届上海一模闵行5]在△ABC 中，已知AB a =，BC b =，G 为△ABC 的重心，用向量a 、b 表示向量AG =答案：2133a b + 例3.[20届上海一模长宁，嘉定，金山6]己知向量⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=23,21AB ,⎪⎪⎭⎫⎝⎛=21,23AC ,则BAC ∠=答案：6π例4.[20届上海一模静安7]如图，在平行四边形ABCD 中，2AB =，1AD =,则AC BD ⋅的值为_____.答案：-3例5.[20届上海一模松江7]已知向量()1,2a →=，(),3b m →=-，若向量2a b b →→→⎛⎫- ⎪⎝⎭∥，则实数m =答案：32-例 6.[20届上海一模长宁，嘉定，金山10]已知非零向量..a b c 两两不平行，且()(),+c ab c b a +，设c=,,,+2y=xa yb x y R +∈则x答案：-3例7.[20届上海一模虹口10]如图所示，两块斜边长均等于2的直角三角板拼在一起，则OD AB ⋅= 答案：1-例8.[20届上海一模普陀11]设P 是边长为22的正六边形123456A A A A A A 的边上的任意一点，长度为4的线段MN 是该正六边形外接圆的一条动弦，则PM PN 的取值范围为____________.答案：646,882⎡⎤-+⎣⎦例9.[20届上海一模崇明12]正方形ABCD 的边长为4，O 是正方形ABCD 的中心，过中心O的直线l 与边AB 交于点M ，与边CD 交于点N ，P 为平面上一点，满足2(1)OP OB OC λλ=+-，则PM PN ⋅的最小值为 ．答案：-7例10.[20届上海一模青浦12]已知点P 在双曲线221916x y -=上，点A 满足(1)PA t OP =-（t ∈R ），且60OA OP ⋅=，(0,1)OB =，则||OB OA ⋅的最大值为 答案：8例11.[20届上海一模松江12]记边长为1的正六边形的六个顶点分别为123456,,,,,A A A A A A ,集合(){},,1,2,3,4,5,6,i j Ma a A A i j i j ===≠，在M 中任取两个元素,m n ，则0m n ⋅=的概率____________.答案：851例12.[20届上海一模杨浦12]向量集合{}(,),,S a a x y x y R ==∈，对于任意,S αβ∈，以及任意(0,1)λ∈，都有(1)a S λλβ+-∈，则称S 为“C 类集”。
2020-2021年上海普陀区 第一学期高三数学质量调研 一模解析
（D） x = −4
14.设 x 、y 均为实数，且 x
31 −
4 = 7 ，则在以下各项中 (x, y) 的可能取值只
62 5y
能是（ ）
（A） (2,1)
（B） (2, −1) （C） (−1, 2)
答案： B
解析：化简得直线方程为 2x − y − 5 = 0 ，代入即可
（D） (−1, −2)
设 g(x) = x2 + cx + b ，则 g(x) 在[1, +) 有零点
∴
−
c 2
1
或
−
c 2
1
g(1) 0 0
∴
c b
+
−2 c
或 −1
c −2 c2 4b
∴若 c −2 ，则 b2 + c2 (b + c)2 1 22
若 c −2 ，则 b2 + c2 c2 4
其中正确的是（ ）
（A）①与②均正确
（B）①正确，②不正确
（C）①不正确，②正确 答案： A
（D）①与②均不正确
解析：①当 b = 0,c =1时，方程为 x2 +1 = 0 x = i ，有两共轭虚根
②当 b = −3,c = 2 时，方程为 x2 − 3 | x | +2 = 0 。若 x 为实数，则有解 1, 2 ；若 x 为
故最小值为 9
（ 2 ） 由 题 意 知 直 线 斜 率 为 − 3 ， 故 直 线 l 方 程 为 y = − 3 (x − 5) ， 化 简 得
4
4
3x + 4y −15 = 0
故
do−l =
15 = 3 32 + 42
上海2020高三数学一模分类汇编-集合、命题、不等式
上海2020高三数学一模分类汇编-集合、命题、不等式(详答版)(总10页)--本页仅作为文档封面，使用时请直接删除即可----内页可以根据需求调整合适字体及大小--2020年一模汇编——集合命题与不等式一、填空题【徐汇1】 已知集合{|2}M x x =>，集合{|1}N x x =≤，则M N =【答案】(](),12,-∞+∞【解析】考察集合的并集，易得(](),12,MN =-∞+∞【长宁，嘉定，金山1】已知集合{1,2,3,4,5}A =，{1,3,5,7}B =，则A B = 【答案】{1,3,5}【解析】本题考察了集合的交集 【松江1】已知集合10A x x ，0,1,2B ，则A B .【答案】1,2 【解析】由10Ax x 得到1Ax x ，又因为0,1,2B ，所以1,2A B【黄浦1】设集合{|(1)(2)0}A x x x =+-<，集合{|13}B x x =<<，则A B = 【答案】(1,3)-【解析】由题集合{12}A x =-<<，集合{|13}B x x =<<，所以(1,3)A B =- 【崇明1】已知集合0123{}A =，，，，02{|}B x x =<≤，则A B = ．【答案】{12}，【青浦1】已知集合{1,3,5,9}U =，{1,3,9}A =，{1,9}B =，则()U A B = 【答案】{5}【解析】}9,3,1{=B A ，所以5}{)(=B A C U【解析】B 集合里面的整数为1、2，所以A B ={12}， 【浦东1】若集合{|03}A x x =<<，集合{|2}B x x =<，则A B =____________．【答案】)2,0(【解析】考察集合的运算。
【闵行1】已知集合{3,1,0,1,2}A =--，{|||1}B x x =>，则A B = 【答案】{3,2}-【解析】{|||1}={|11}B x x x x x =>>或＜-{3,2}A B ∴=- 【虹口1】设全集U =R ，若21{|1}x A x x-=>，则UA =【答案】[]10， 【解析】0112>--xx 【崇明2】不等式21x -<的解集是 ． 【答案】13（，）【解析】12＜-x 12-1＜＜-∴x 31＜＜x ∴【普陀3】不等式11x ＞的解集为____________.【答案】()01， 【解析】不等式的性质【虹口3】设x +∈R ，则21x x ++的最小值为 【答案】122-【解析】211x x ++≥+【闵行4】已知01x <<x =【答案】12【解析】已知01x <<，()1122x x +-=，当且仅当112x x =-=时取等12【宝山7】不等式63|2|22-->--x x x x 的解集是 . 【答案】),4(-∞-【解析】63222-->+-x x x x ⇒4->x 【青浦7】设,x y +∈R ，若141x y+=，则x y 的最大值为【答案】116【解析】由基本不等式可得：161414414412=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⨯≤⨯=y x y x y x 【徐汇7】已知x ∈R ，条件2:p x x <，条件1:q a x≥（0a >），若p 是q 的充分不必要条件，则实数a 的取值范围是 【答案】(]0,1【解析】由题求得，()0,1p =，10,q a ⎛⎤= ⎥⎝⎦，因为p 是q 的充分不必要条件，可知p q ⇒，则实数a 的取值范围是(]0,1【奉贤10】根据相关规定，机动车驾驶人血液中的酒精含量大于（等于）20毫克/100毫升的行为属于饮酒驾车，假设饮酒后，血液中的酒精含量为0p 毫克/100毫升，经过x 个小时，酒精含量为p 毫克/100毫升，且满足关系式0rx p p e =⋅（r 为常数），若某人饮酒后血液中的酒精含量为89毫克/100毫升，2小时后，测得其血液中酒精含量降为61毫克/100毫升，则此人饮酒后需经过____________小时方可驾车。
2020届上海市普陀区高三上学期质量调研(一模)数学试题
普陀区2019学年第一学期高三数学质量调研2019.12考生注意:1. 本试卷共4页，21道试题，满分150分. 考试时间120分钟.2. 本考试分试卷和答题纸. 试卷包括试题与答题要求. 作答必须涂（选择题）或写（非选择题）在答题纸上，在试卷上作答一律不得分.3. 答卷前，务必用钢笔或圆珠笔在答题纸正面清楚地填写姓名、准考证号，并将核对后的条码贴在指定位置上，在答题纸反面清楚地填写姓名.一、填空题（本大题共有12题，满分54分）考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对前6题得4分、后6题得5分，否则一律得零分.1．若抛物线2y mx =的焦点坐标为1(,0)2，则实数m 的值为 .2. 132lim 31n nnn +→∞+=+ . 3. 不等式11x>的解集为 . 4. 已知i 为虚数单位，若复数1i 1iz m =++是实数，则实数m 的值为 . 5. 设函数()log (4)a f x x =+（0a >且1a ≠），若其反函数的零点为2，则a =_______. 6. 631(1)(1)x x+-展开式中含2x 项的系数为__________（结果用数值表示）. 7. 各项都不为零的等差数列{}n a （*N n ∈）满足22810230a a a -+=，数列{}n b 是等比数列，且88a b =，则4911b b b = _ .8.设椭圆Γ：()22211x y a a +=>，直线l 过Γ的左顶点A 交y 轴于点P ，交Γ于点Q ，若AOP ∆是等腰三角形（O 为坐标原点），且2PQ QA =u u u r u u u r，则Γ的长轴长等于_________.9. 记,,,,,a b c d e f 为1,2,3,4,5,6的任意一个排列，则()()()a b c d e f +++为偶数的排列的个数共有________.10. 已知函数()()()22+815f x x x ax bx c=+++(),,a b c R ∈是偶函数，若方程21axbx c ++=在区间[]1,2上有解，则实数a 的取值范围是___________.11. 设P是边长为123456A A A A A A 的边上的任意一点，长度为4的线段MN 是该正六边形外接圆的一条动弦，则PM PN ⋅u u u u r u u u r的取值范围为___________.12. 若M 、N 两点分别在函数()y f x =与()y g x =的图像上，且关于直线1x =对称，则称M 、N 是()y f x =与()y g x =的一对“伴点”（M 、N 与N 、M 视为相同的一对）. 已知()())22x f x x ⎧<=≥，()1g x x a =++，若()y f x =与()y g x =存在两对“伴点”，则实数a 的取值范围为 .二、选择题（本大题共有4题，满分20分）每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律得零分.13. “{}1,2m ∈”是“ln 1m <”成立的 ………………………（ ）)A (充分非必要条件 ()B 必要非充分条件()C 充要条件 ()D 既非充分也非必要条件14. 设集合{}1A x x a =-=，{}1,3,B b =-，若A ⊆B ，则对应的实数对(,)a b 有 …（ ） )A (1对 ()B 2对 ()C 3对 ()D 4对15. 已知两个不同平面α，β和三条不重合的直线a ，b ，c ，则下列命题中正确的是 ……（ ）)A (若//a α，b αβ=I ，则//a b()B 若a ，b 在平面α内，且c a ⊥，c b ⊥，则c α⊥()C 若a ，b ，c 是两两互相异面的直线，则只存在有限条直线与a ，b ，c 都相交 ()D 若α，β分别经过两异面直线a ，b ，且c αβ=I ，则c 必与a 或b 相交16. 若直线l ：212x y b a a b +=++经过第一象限内的点11(,)P a b，则ab 的最大值为 ……（ ）)A (76()B 4-()C 5-()D 6-三、解答题（本大题共有5题，满分76分）解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤17.（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分 如图所示的三棱锥P ABC -的三条棱PA ，AB ，AC 两两互相垂直，22AB AC PA ===,点D 在棱AC 上，且=AD AC λu u u r u u u r(0λ>).（1）当1=2λ时，求异面直线PD 与BC 所成角的大小； （2）当三棱锥D PBC -的体积为29时，求λ的值.18.（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分设函数()221xxf x a -=. （1）当4a =-时，解不等式()5f x <；（2）若函数()f x 在区间[)2+∞，上是增函数，求实数a 的取值范围.19.（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分某居民小区为缓解业主停车难的问题，拟对小区内一块扇形空地AOB 进行改建.如图所示，平行四边形OMPN 区域为停车场，其余部分建成绿地，点P 在围墙AB 弧上，点M 和点N 分别在道路OA 和道路OB 上，且=60OA 米，=60AOB ∠︒，设POB θ∠=．（1）求停车场面积S 关于θ的函数关系式，并指出θ的取值范围；CMPA（2）当θ为何值时，停车场面积S 最大，并求出最大值（精确到0.1平方米）.20.（本题满分16分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分6分.已知双曲线Γ：22221(0,0)x y a b a b-=>>的焦距为4，直线:40l x my --=（m R ∈）与Γ交于两个不同的点D 、E ，且0m =时直线l 与Γ的两条渐近线所围成的三角形恰为等边三角形. （1）求双曲线Γ的方程；（2）若坐标原点O 在以线段DE 为直径的圆的内部，求实数m 的取值范围；（3）设A 、B 分别是Γ的左、右两顶点，线段BD 的垂直平分线交直线BD 于点P ，交直线AD 于点Q ，求证：线段PQ 在x 轴上的射影长为定值.21.（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分.数列{}n a 与{}n b 满足1a a =，1n n n b a a +=-，n S 是数列{}n a 的前n 项和（*N n ∈）.（1）设数列{}n b 是首项和公比都为13-的等比数列，且数列{}n a 也是等比数列，求a 的值； （2）设121n n n b b +-=-，若3a =且4n a a ≥对*N n ∈恒成立，求2a 的取值范围；（3）设4a =，2n b =，22n n n S C λ+=（*N n ∈，2λ≥-），若存在整数k ，l ，且1k l >>，使得k l C C =成立，求λ的所有可能值.普陀区2019学年第一学期高三数学质量调研评分标准（参考）三、解答题17.（1）当1=2λ时，AD DC =，取棱AB 的中点E ，连接ED 、EP ， 则//ED BC ，即PDE ∠是异面直线PD 与BC 所成角或其补角，……………… 2分 又PA ，AB ，AC 两两互相垂直，则1PD DE EP ===,即PDE ∆是正三角形，则3PDE π∠=. ………………………… 5分则异面直线PD 与BC 所成角的大小为3π.…………………… 6分（2）因为PA ，AB ，AC 两两互相垂直， 所以AB ⊥平面PAC ,…………… 3分则11112233239D PBC B PDC PDC V V AB S PA DC DC --∆==⋅=⨯⨯⋅==， 即23DC =, …………………………… 7分 又=AD AC λu u u r u u u r （0λ>），2AC =，则23λ=.………………… 8分说明：利用空间向量求解请相应评分.18.（1）当4a =-时，由22541x x -<-得24250x x -+⨯-<，…………………2分令2x t =，则2540t t -+<，即14t <<，…………………4分 即02x <<，则所求的不等式的解为(0,2).……………………6分（2）任取122x x ≤<，因为函数()22xxf x a -=-在区间[)2+∞，上单调递增，所以12()()0f x f x -<在[)2+∞，上恒成立， ………………2分E DCBA P17题图则1122222+20xx x x a a ----<恒成立，即1212122222+02x x x x x x a +--<，()1212221+02x x x x a +⎛⎫-< ⎪⎝⎭，…………………4分 又12x x <，则1222x x<，即122x x a +>-对122x x ≤<恒成立，…………………………6分又12216x x +>，即16a ≥-，则所求的实数a 的取值范围为[16,)-+∞.………………………………8分19.（1）由平行四边形OMPN 得，在OPN ∆中，120ONP ∠=o,60OPN θ∠=-o, 则sin sin sin ON OP PN OPN ONP PON==∠∠∠，即60sin(60)sin120sin ON PNθθ==-o o，即)ON θ=-o，PN θ，……………………………4分则停车场面积sin sin(60)S ON PN ONP θθ=⋅⋅∠=-o，即sin(60)S θθ=-o，其中060θ<<o o .………………………6分（2）由（1）得1sin(60)sin )2S θθθθθ=-=-o，即23600sin cos =1800sin 22S θθθθθ=-+-……………………4分则30)S θ=+-o……………………6分因为060θ<<o o ，所以30230150θ<+<o o o，则23090θ+=o o时，max 11039.2S =-=≈平方米. 故当30θ=o时，停车场最大面积为1039.2平方米. ……………………………8分 说明：（1）中过点P 作OB 的垂线求平行四边形面积，请相应评分.20．（1）当0m =直线:4l x =与C 的两条渐近线围成的三角形恰为等边三角形，由根据双曲线的性质得，2221tan 303b a ==o，又焦距为4，则224a b +=， …………………3分解得a =1b =，则所求双曲线Γ的方程为2213x y -=.……………………………4分（2）设11(,)D x y ，22(,)E x y ，由221340x y x my ⎧-=⎪⎨⎪--=⎩，得22(3)8130m y my -++=，则12283m y y m +=-，122133y y m =-，且2226452(3)12(13)0m m m ∆=--=+>， ………………………………………………………………2分又坐标原点O 在以线段DE 为直径的圆内，则0OD OE ⋅<u u u r u u u r，即12120x x y y +<，即1212(4)(4)0my my y y +++<，即212124()(1)160m y y m y y ++++<，则22221313816033m m m m +-+<--， ……………………………4分 即223503m m -<-，则m <<m <<， 即实数m的取值范围(U . …………………6分 （3）线段PQ 在x 轴上的射影长是p q x x -. 设00(,)D x y ，由（1）得点B ， 又点P 是线段BD的中点，则点0)2y P ， ……………2分 直线BD，直线AD，又BD PQ ⊥，则直线PQ的方程为0000(22y x x y x y -=-，即200000322x x y y x y y -=++，又直线AD的方程为y x =+，联立方程20000322x y y x y y x ⎧-=++⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，消去y化简整理，得2220003)22x y x x x -++=+，又220013x y =-， 代入消去20y，得20002(3)1)(33x x x x x -+=，即1(3x x -=+，则x = 即点Q的横坐标为024x +， ……………5分则p q x x -==故线段PQ 在x 轴上的射影长为定值. ……6分 说明：看作是PQ uuu r 在OB uuur 或(1,0)i =r 方向上投影的绝对值，请相应评分.21.（1） 由条件得1()3n n b =-，*N n ∈，即11()3nn n a a +-=-，………………1分 则2113a a -=-，23211()39a a -=-=，设等比数列{}n a 的公比为q ， 则322113a a q a a -==--，又1(1)3a q -=-，则14a =. …………………………3分当14a =，13q =-时，111()43n n a -=-，*N n ∈， 则111111111111()()()[()]()434334433n n n nn n a a --+-=---=--⨯-=-满足题意，故所求的a 的值为14. ………………………………………4分（2）当2n ≥时，1121n n n b b ---=-， 21221n n n b b ----=-，L ，2121b b -=-，以上1n -个式子相加得，12312222(1)n n n n b b n ----=++++--L ， ………2分又12123b a a a =-=-，则1222(12)(1)32412n n n b n a n a --=--+-=-+--， 即224n n b n a =-+-. 由1210nn n b b +-=->知数列{}n b 是递增数列，………4分又1n n n b a a +=-，要使得4n a a ≥对*N n ∈恒成立，则只需34345400b a a b a a =-≤⎧⎨=-≥⎩，即32421080b a b a =+≤⎧⎨=+≥⎩，则281a -≤≤-. …………………6分（3） 由条件得数列{}n a 是以4为首项，2为公差的等差数列， 则42(1)22n a n n =+-=+，2(422)32n n n S n n ++==+，则223222n n n nS n n C λλ+++==. ………………………………2分则222111(1)3(1)23242222n n n n n n n n n n n C C λλλ++-++++++--+--=-=， 当3n ≥时，224233428282(2)40n n λλλ--+-≤--+-=--≤--⨯-=-<， 即3n ≥时，1n n C C +<，则当3k l >≥时，k l C C <与k l C C =矛盾. ………………………4分又1l >，即2l =时，232522k k k λλ+++=.当5k ≥时，225325352202216k k k λλλ+++⨯++≤=， 又205207207(2)3016216168λλλ++----⨯--=≤=-<， 即当5k ≥，2l =时，232522k k k λλ+++<，与232522k k k λλ+++=矛盾.又2k l >≥，则3k =或4，当3k =时，2233233325222k k k λλλ+++⨯++==，解得1λ=-； 当4k =时，2243243425222k k k λλλ+++⨯++==，解得2λ=-.综上得λ的所有可能值为1-和2-. …………………………………8分。
2020届上海市普陀区高三上学期质量调研(一模)数学试题
普陀区2019学年第一学期高三数学质量调研2019.12考生注意:1. 本试卷共4页，21道试题，满分150分. 考试时间120分钟.2. 本考试分试卷和答题纸. 试卷包括试题与答题要求. 作答必须涂（选择题）或写（非选择题）在答题纸上，在试卷上作答一律不得分.3. 答卷前，务必用钢笔或圆珠笔在答题纸正面清楚地填写姓名、准考证号，并将核对后的条码贴在指定位置上，在答题纸反面清楚地填写姓名.一、填空题（本大题共有12题，满分54分）考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对前6题得4分、后6题得5分，否则一律得零分.1．若抛物线2y mx =的焦点坐标为1(,0)2，则实数m 的值为 .2. 132lim 31n nnn +→∞+=+ . 3. 不等式11x>的解集为 . 4. 已知i 为虚数单位，若复数1i 1iz m =++是实数，则实数m 的值为 . 5. 设函数()log (4)a f x x =+（0a >且1a ≠），若其反函数的零点为2，则a =_______. 6. 631(1)(1)x x+-展开式中含2x 项的系数为__________（结果用数值表示）. 7. 各项都不为零的等差数列{}n a （*N n ∈）满足22810230a a a -+=，数列{}n b 是等比数列，且88a b =，则4911b b b = _ .8.设椭圆Γ：()22211x y a a +=>，直线l 过Γ的左顶点A 交y 轴于点P ，交Γ于点Q ，若AOP ∆是等腰三角形（O 为坐标原点），且2PQ QA =u u u r u u u r，则Γ的长轴长等于_________.9. 记,,,,,a b c d e f 为1,2,3,4,5,6的任意一个排列，则()()()a b c d e f +++为偶数的排列的个数共有________.10. 已知函数()()()22+815f x x x ax bx c=+++(),,a b c R ∈是偶函数，若方程21axbx c ++=在区间[]1,2上有解，则实数a 的取值范围是___________.11. 设P 是边长为123456A A A A A A 的边上的任意一点，长度为4的线段MN 是该正六边形外接圆的一条动弦，则PM PN ⋅u u u u r u u u r的取值范围为___________.12. 若M 、N 两点分别在函数()y f x =与()y g x =的图像上，且关于直线1x =对称，则称M 、N 是()y f x =与()y g x =的一对“伴点”（M 、N 与N 、M 视为相同的一对）. 已知()())22x f x x ⎧<=≥，()1g x x a =++，若()y f x =与()y g x =存在两对“伴点”，则实数a 的取值范围为 .二、选择题（本大题共有4题，满分20分）每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律得零分.13. “{}1,2m ∈”是“ln 1m <”成立的 ………………………（ ）)A (充分非必要条件 ()B 必要非充分条件()C 充要条件 ()D 既非充分也非必要条件14. 设集合{}1A x x a =-=，{}1,3,B b =-，若A ⊆B ，则对应的实数对(,)a b 有 …（ ） )A (1对 ()B 2对 ()C 3对 ()D 4对15. 已知两个不同平面α，β和三条不重合的直线a ，b ，c ，则下列命题中正确的是 ……（ ）)A (若//a α，b αβ=I ，则//a b()B 若a ，b 在平面α内，且c a ⊥，c b ⊥，则c α⊥()C 若a ，b ，c 是两两互相异面的直线，则只存在有限条直线与a ，b ，c 都相交 ()D 若α，β分别经过两异面直线a ，b ，且c αβ=I ，则c 必与a 或b 相交16. 若直线l ：212x y b a a b +=++经过第一象限内的点11(,)P a b，则ab 的最大值为 ……（ ）)A (76()B 4-()C 5-()D 6-三、解答题（本大题共有5题，满分76分）解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤17.（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分 如图所示的三棱锥P ABC -的三条棱PA ，AB ，AC 两两互相垂直，22AB AC PA ===,点D 在棱AC 上，且=AD AC λu u u r u u u r(0λ>).（1）当1=2λ时，求异面直线PD 与BC 所成角的大小； （2）当三棱锥D PBC -的体积为29时，求λ的值.18.（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分设函数()221xxf x a -=. （1）当4a =-时，解不等式()5f x <；（2）若函数()f x 在区间[)2+∞，上是增函数，求实数a 的取值范围.19.（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分某居民小区为缓解业主停车难的问题，拟对小区内一块扇形空地AOB 进行改建.如图所示，平行四边形OMPN 区域为停车场，其余部分建成绿地，点P 在围墙AB 弧上，点M 和点N 分别在道路OA 和道路OB 上，且=60OA 米，=60AOB ∠︒，设POB θ∠=．（1）求停车场面积S 关于θ的函数关系式，并指出θ的取值范围； （2）当θ为何值时，停车场面积S 最大，并求出最大值（精确到0.1平方米）.CMPA20.（本题满分16分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分6分.已知双曲线Γ：22221(0,0)x y a b a b-=>>的焦距为4，直线:40l x my --=（m R ∈）与Γ交于两个不同的点D 、E ，且0m =时直线l 与Γ的两条渐近线所围成的三角形恰为等边三角形. （1）求双曲线Γ的方程；（2）若坐标原点O 在以线段DE 为直径的圆的内部，求实数m 的取值范围；（3）设A 、B 分别是Γ的左、右两顶点，线段BD 的垂直平分线交直线BD 于点P ，交直线AD 于点Q ，求证：线段PQ 在x 轴上的射影长为定值.21.（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分.数列{}n a 与{}n b 满足1a a =，1n n n b a a +=-，n S 是数列{}n a 的前n 项和（*N n ∈）.（1）设数列{}n b 是首项和公比都为13-的等比数列，且数列{}n a 也是等比数列，求a 的值； （2）设121n n n b b +-=-，若3a =且4n a a ≥对*N n ∈恒成立，求2a 的取值范围；（3）设4a =，2n b =，22n n n S C λ+=（*N n ∈，2λ≥-），若存在整数k ，l ，且1k l >>，使得k lC C =成立，求λ的所有可能值.普陀区2019学年第一学期高三数学质量调研评分标准（参考）三、解答题17.（1）当1=2λ时，AD DC =，取棱AB 的中点E ，连接ED 、EP ， 则//ED BC ，即PDE ∠是异面直线PD 与BC 所成角或其补角，……………… 2分 又PA ，AB ，AC 两两互相垂直，则1PD DE EP ===,即PDE ∆是正三角形，则3PDE π∠=. ………………………… 5分则异面直线PD 与BC 所成角的大小为3π.…………………… 6分（2）因为PA ，AB ，AC 两两互相垂直， 所以AB ⊥平面PAC ,…………… 3分则11112233239D PBC B PDC PDC V V AB S PA DC DC --∆==⋅=⨯⨯⋅==， 即23DC =, …………………………… 7分 又=AD AC λu u u r u u u r （0λ>），2AC =，则23λ=.………………… 8分说明：利用空间向量求解请相应评分.18.（1）当4a =-时，由22541x x -<-得24250x x -+⨯-<，…………………2分令2x t =，则2540t t -+<，即14t <<，…………………4分 即02x <<，则所求的不等式的解为(0,2).……………………6分（2）任取122x x ≤<，因为函数()22xxf x a -=-在区间[)2+∞，上单调递增，所以12()()0f x f x -<在[)2+∞，上恒成立， ………………2分E DCBA P17题图则1122222+20xx x x a a ----<恒成立，即1212122222+02x x x x x x a +--<，()1212221+02x x x x a +⎛⎫-< ⎪⎝⎭，…………………4分 又12x x <，则1222x x<，即122x x a +>-对122x x ≤<恒成立，…………………………6分又12216x x +>，即16a ≥-，则所求的实数a 的取值范围为[16,)-+∞.………………………………8分19.（1）由平行四边形OMPN 得，在OPN ∆中，120ONP ∠=o,60OPN θ∠=-o, 则sin sin sin ON OP PN OPN ONP PON==∠∠∠，即60sin(60)sin120sin ON PNθθ==-o o，即)ON θ=-o，PN θ，……………………………4分则停车场面积sin sin(60)S ON PN ONP θθ=⋅⋅∠=-o，即sin(60)S θθ=-o，其中060θ<<o o .………………………6分（2）由（1）得1sin(60)sin )2S θθθθθ=-=-o，即23600sin cos =1800sin 22S θθθθθ=-+-……………………4分则30)S θ=+-o……………………6分因为060θ<<o o ，所以30230150θ<+<o o o，则23090θ+=o o时，max 11039.2S =-=≈平方米. 故当30θ=o时，停车场最大面积为1039.2平方米. ……………………………8分说明：（1）中过点P 作OB 的垂线求平行四边形面积，请相应评分. 20．（1）当0m =直线:4l x =与C 的两条渐近线围成的三角形恰为等边三角形，由根据双曲线的性质得，2221tan 303b a ==o，又焦距为4，则224a b +=， …………………3分解得a =1b =，则所求双曲线Γ的方程为2213x y -=.……………………………4分（2）设11(,)D x y ，22(,)E x y ，由221340x y x my ⎧-=⎪⎨⎪--=⎩，得22(3)8130m y my -++=，则12283m y y m +=-，122133y y m =-，且2226452(3)12(13)0m m m ∆=--=+>， ………………………………………………………………2分又坐标原点O 在以线段DE 为直径的圆内，则0OD OE ⋅<u u u r u u u r，即12120x x y y +<，即1212(4)(4)0my my y y +++<，即212124()(1)160m y y m y y ++++<，则22221313816033m m m m +-+<--， ……………………………4分 即223503m m -<-，则m <<m <<， 即实数m的取值范围(U . …………………6分 （3）线段PQ 在x 轴上的射影长是p q x x -. 设00(,)D x y ，由（1）得点B ， 又点P 是线段BD的中点，则点0)2y P ， ……………2分 直线BD，直线AD，又BD PQ ⊥，则直线PQ的方程为0000(22y x x y x y -=-，即200000322x x y y x y y -=++，又直线AD的方程为y x =+，联立方程20000322x y y x y y x ⎧-=++⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，消去y化简整理，得2220003)22x y x x x -++=+，又220013x y =-， 代入消去20y，得20002(3)1)(33x x x x x -+=，即1(3x x -=+，则x = 即点Q的横坐标为024x +， ……………5分则p q x x -==故线段PQ 在x 轴上的射影长为定值. ……6分 说明：看作是PQ uuu r 在OB uuur 或(1,0)i =r 方向上投影的绝对值，请相应评分.21.（1） 由条件得1()3n n b =-，*N n ∈，即11()3nn n a a +-=-，………………1分 则2113a a -=-，23211()39a a -=-=，设等比数列{}n a 的公比为q ， 则322113a a q a a -==--，又1(1)3a q -=-，则14a =. …………………………3分当14a =，13q =-时，111()43n n a -=-，*N n ∈， 则111111111111()()()[()]()434334433n n n nn n a a --+-=---=--⨯-=-满足题意，故所求的a 的值为14. ………………………………………4分（2）当2n ≥时，1121n n n b b ---=-， 21221n n n b b ----=-，L ，2121b b -=-，以上1n -个式子相加得，12312222(1)n n n n b b n ----=++++--L ， ………2分又12123b a a a =-=-，则1222(12)(1)32412n n n b n a n a --=--+-=-+--， 即224n n b n a =-+-. 由1210nn n b b +-=->知数列{}n b 是递增数列，………4分又1n n n b a a +=-，要使得4n a a ≥对*N n ∈恒成立，则只需34345400b a a b a a =-≤⎧⎨=-≥⎩，即32421080b a b a =+≤⎧⎨=+≥⎩，则281a -≤≤-. …………………6分（3） 由条件得数列{}n a 是以4为首项，2为公差的等差数列， 则42(1)22n a n n =+-=+，2(422)32n n n S n n ++==+，则223222n n n nS n n C λλ+++==. ………………………………2分则222111(1)3(1)23242222n n n n n n n n n n n C C λλλ++-++++++--+--=-=， 当3n ≥时，224233428282(2)40n n λλλ--+-≤--+-=--≤--⨯-=-<， 即3n ≥时，1n n C C +<，则当3k l >≥时，k l C C <与k l C C =矛盾. ………………………4分又1l >，即2l =时，232522k k k λλ+++=.当5k ≥时，225325352202216k k k λλλ+++⨯++≤=， 又205207207(2)3016216168λλλ++----⨯--=≤=-<， 即当5k ≥，2l =时，232522k k k λλ+++<，与232522k k k λλ+++=矛盾.又2k l >≥，则3k =或4，当3k =时，2233233325222k k k λλλ+++⨯++==，解得1λ=-； 当4k =时，2243243425222k k k λλλ+++⨯++==，解得2λ=-.综上得λ的所有可能值为1-和2-. …………………………………8分。
2020届上海普陀区数学一模原卷板
三、解答题
19.
计算： 2sin2 60 − cos 60 tan2 60 − 4 cos 45
20. 如图 9，在 ABC 中，点 D、E、F 分别在边 AB、AC、BC 上，DE//BC，EF//AB，AD:AB=1:3.
（1）当 DE=5 时，求 FC 的长；
（2）设 AD = a,CF = b ，那么 FE = ______， EA = ______（用向量 a,b 表示）.
形，求点 P 的坐标.
25. 如图 13，在梯形 ABCD 中，AD//BC，∠C=90°，AD=2，BC=5，DC=3，点 E 在边 BC 上，tan∠AEC=3，
点 M 是射线 DC 上一个动点（不与点 D、C 重合），联结 BM 交射线 AE 于点 N，设 DM = x, AN = y .
（1）求 BE 的长；
10. 如果抛物线 y = ax2 + 2ax + c 与 x 轴的一个交点的坐标是（1,0），那么与 x 轴的另一个交点的坐标是
____________
11. 将二次函数 y = x2 − 2x + 2 的图像向下平移 m(m>0)个单位后，它的顶点恰好落在 x 轴上，那么 m 的值
等于____________
B. 如果 e 是单位向量，那么 e = 1 C. 如果 b = a ，那么 b = a 或 b = −a
D. x = x + 3 y y+5
D. y = ( x −1)2
D. cot B = 2 2 3
D. 已知非零向量 a ，如果向量 b = −5a ，那么 a // b
5. 如果二次函数 y = ( x − m)2 + n 的图像如图 1 所示，那么一次函数 y = mx + n 的图像经过（ ）
上海2020高三数学一模分类汇编-排列、组合、概率、统计方法(详答版)
2020年一模汇编——排列、组合、概率、统计方法一、填空题【徐汇3】二项式11(31)x -的二项展开式中第3项的二项式系数为________. 【答案】55【解析】二项式11(31)x -的二项展开式中第3项的二项式系数为21155C =【黄浦4】281()x x-的展开式中4x 的系数为_________.【答案】70【解析】由题二项式展开中含4x 的项为()444248170C xx x ⎛⎫⋅-= ⎪⎝⎭，故4x 的系数为70 【宝山4】2019年女排世界杯共有12支参赛球队，赛制采用12支队伍单循环，两两成对厮杀一场定胜负，依次进行，则此次杯赛共有_________场球赛. 【答案】66【解析】单循环66212=C【奉贤5】在522x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭二项展开式中，x 的一次项系数为__________.（用数字作答）【答案】80-【解析】二项式的通项()()5210315522rrr rr r r T Cx C x x --+⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭，令1031,3r r -==，此时x 的一次项系数为()35280rC -=-【普陀6】631(1)(1)x x+-展开式中含2x 项的系数为_________（结果用数值表示）. 【答案】9【解析】二项式的展开项1r n r r r n T C a b -+=，有()()25262565266311-1-9C x C x x x--⋅⋅+⋅⋅=，所以二次项系数为9 【浦东6】在6(x的二项展开式中，常数项为____________． 【答案】15【解析】63622166r r r rrr TC xxC x---+== ，令6302r-=，2r =，所以常数项2615C =【宝山6】在)1()1(35x x +-的展开式中,3x 的系数为_________. 【答案】9-【解析】335532359)(1x x C x C -=+-⋅【奉贤6】若甲、乙两人从6门课程中各选3门，则甲、乙所选修的课程中只有1门相同的选法种数为______________. 【答案】180【解析】122653180C C C ⨯⨯=【杨浦6】已知7(1)ax +二项展开式中的3x 系数为280，则实数a =________.【答案】2【解析】3334735280T C a a =⋅==，所以2a =【长宁，嘉定，金山7】2名女生和3名男生排成一排，则2名女生不相邻的排法共有________种。
2020年上海市各区高考数学一模试卷及答案解析(全集)
上海市普陀区高考数学一模试卷一.填空题（本大题共12题，1-6每题4分，7-12每题5分，共54分）1．（4分）设全集U={1，2，3，4，5}，若集合A={3，4，5}，则∁U A=．2．（4分）若，则=．3．（4分）方程log2（2﹣x）+log2（3﹣x）=log212的解x=．4．（4分）的二项展开式中的常数项的值为．5．（4分）不等式的解集为．6．（4分）函数的值域为．7．（5分）已知i是虚数单位，是复数z的共轭复数，若，则在复平面内所对应的点所在的象限为第象限．8．（5分）若数列{a n}的前n项和（n∈N*），则=．9．（5分）若直线l：x+y=5与曲线C：x2+y2=16交于两点A（x1，y1）、B（x2，y2），则x1y2+x2y1的值为．10．（5分）设a1、a2、a3、a4是1，2，3，4的一个排列，若至少有一个i（i=1，2，3，4）使得a i=i成立，则满足此条件的不同排列的个数为．11．（5分）已知正三角形ABC的边长为，点M是△ABC所在平面内的任一动点，若，则的取值范围为．12．（5分）双曲线绕坐标原点O旋转适当角度可以成为函数f（x）的图象，关于此函数f（x）有如下四个命题：①f（x）是奇函数；②f（x）的图象过点或；③f（x）的值域是；④函数y=f（x）﹣x有两个零点；则其中所有真命题的序号为．二.选择题（本大题共4题，每题5分，共20分）13．（5分）若数列{a n}（n∈N*）是等比数列，则矩阵所表示方程组的解的个数是（）A．0个B．1个C．无数个D．不确定14．（5分）“m＞0”是“函数f（x）=|x（mx+2）|在区间（0，+∞）上为增函数”的（）A．充分非必要条件B．必要非充分条件C．充要条件D．既非充分也非必要条件15．（5分）用长度分别为2、3、5、6、9（单位：cm）的五根木棒连接（只允许连接，不允许折断），组成共顶点的长方体的三条棱，则能够得到的长方体的最大表面积为（）A．258cm2B．414cm2C．416cm2D．418cm216．（5分）定义在R上的函数f（x）满足，且f（x﹣1）=f（x+1），则函数在区间[﹣1，5]上的所有零点之和为（）A．4B．5C．7D．8三.解答题（本大题共5题，共14+14+14+16+18=76分）17．（14分）如图所示的圆锥的体积为，底面直径AB=2，点C是弧的中点，点D是母线PA的中点．（1）求该圆锥的侧面积；（2）求异面直线PB与CD所成角的大小．18．（14分）某快递公司在某市的货物转运中心，拟引进智能机器人分拣系统，以提高分拣效率和降低物流成本，已知购买x台机器人的总成本p（x）=+x+150万元．（1）若使每台机器人的平均成本最低，问应买多少台？（2）现按（1）中的数量购买机器人，需要安排m人将邮件放在机器人上，机器人将邮件送达指定落袋格口完成分拣（如图），经实验知，每台机器人的日平均分拣量q（m）=（单位：件），已知传统人工分拣每人每日的平均分拣量为1200件，问引进机器人后，日平均分拣量达最大值时，用人数量比引进机器人前的用人数量最多可减少百分之几？19．（14分）设函数f（x）=sin（ωx+φ）（ω＞0，），已知角φ的终边经过点，点M（x1，y1）、N（x2，y2）是函数f（x）图象上的任意两点，当|f（x1）﹣f（x2）|=2时，|x1﹣x2|的最小值是．（1）求函数y=f（x）的解析式；（2）已知△ABC面积为，角C所对的边，，求△ABC的周长．20．（16分）设点F1、F2分别是椭圆（t＞0）的左、右焦点，且椭圆C上的点到点F2的距离的最小值为，点M、N是椭圆C上位于x轴上方的两点，且向量与向量平行．（1）求椭圆C的方程；（2）当时，求△F1MN的面积；（3）当时，求直线F2N的方程．21．（18分）设d为等差数列{a n}的公差，数列{b n}的前n项和T n，满足（n∈N*），且d=a5=b2，若实数m∈P k={x|a k﹣2＜x＜a k+3}（k∈N*，k≥3），则称m具有性质P k．（1）请判断b1、b2是否具有性质P6，并说明理由；（2）设S n为数列{a n}的前n项和，若{S n﹣2λa n}是单调递增数列，求证：对任意的k（k∈N*，k≥3），实数λ都不具有性质P k；（3）设H n是数列{T n}的前n项和，若对任意的n∈N*，H2n﹣1都具有性质P k，求所有满足条件的k的值．2018年上海市普陀区高考数学一模试卷参考答案与试题解析一.填空题（本大题共12题，1-6每题4分，7-12每题5分，共54分）1．（4分）设全集U={1，2，3，4，5}，若集合A={3，4，5}，则∁U A={1，2} ．【解答】解：∵全集U={1，2，3，4，5}，集合A={3，4，5}，∴∁U A={1，2}．故答案为：{1，2}．2．（4分）若，则=．【解答】解：，∴=．故答案为：．3．（4分）方程log2（2﹣x）+log2（3﹣x）=log212的解x=﹣1．【解答】解：∵方程log2（2﹣x）+log2（3﹣x）=log212，∴，即，解得x=﹣1．故答案为：﹣1．4．（4分）的二项展开式中的常数项的值为﹣84．【解答】解：二项展开式的通项=，由，得r=3．∴的二项展开式中的常数项为．故答案为：﹣84．5．（4分）不等式的解集为[0，1）∪（1，2] ．【解答】解：由题意得：，解得：0≤x＜1或1＜x≤2，故答案为：[0，1）∪（1，2]．6．（4分）函数的值域为[﹣1，3] ．【解答】解：∵=sinx+cosx+1=2sin（x+）+1，∵sin（x+）∈[﹣1，1]，∴f（x）=2sin（x+）+1∈[﹣1，3]．故答案为：[﹣1，3]．7．（5分）已知i是虚数单位，是复数z的共轭复数，若，则在复平面内所对应的点所在的象限为第一象限．【解答】解：，设z=a+bi，则z×2i﹣（1+i）=0，即（a+bi）×2i﹣1﹣i=0，则2ai﹣2b﹣1﹣i=0，∴﹣2b﹣1+（2a﹣1）i=0，则，则，∴z=﹣i，则=+i，∴则在复平面内所对应的点位于第一象限，故答案为：一．8．（5分）若数列{a n}的前n项和（n∈N*），则=﹣2．【解答】解：数列{a n}的前n项和（n∈N*），可得n=1时，a1=S1=﹣3+2+1=0；当n≥2时，a n=S n﹣S n﹣1=﹣3n2+2n+1+3（n﹣1）2﹣2n+2﹣1=﹣6n+5，则==（﹣2+）=﹣2+0=﹣2．故答案为：﹣2．9．（5分）若直线l：x+y=5与曲线C：x2+y2=16交于两点A（x1，y1）、B（x2，y2），则x1y2+x2y1的值为16．【解答】解：直线l：x+y=5与曲线C：x2+y2=16交于两点A（x1，y1）、B（x2，y2），则：，所以：2x2﹣10x+9=0，则：x1+x2=5，，则：x1y2+x2y1=x1（5﹣x2）+x2（5﹣x1），=5（x1+x2）﹣2x1x2，=25﹣9，=16．故答案为：16．10．（5分）设a1、a2、a3、a4是1，2，3，4的一个排列，若至少有一个i（i=1，2，3，4）使得a i=i成立，则满足此条件的不同排列的个数为15．【解答】解：根据题意，a1、a2、a3、a4是1，2，3，4的一个排列，则所有的排列有A44=24个，假设不存在i（i=1，2，3，4）使得a i=i成立，则a1可以在第2、3、4位置，有3种情况，假设a1在第二个位置，则a1可以在第1、3、4位置，也有3种情况，此时a3、a4只有1种排法，剩余的两个数在其余两个位置，有1种情况，则不存在i（i=1，2，3，4）使得a i=i成立的情况有3×3=9种，则至少有一个i（i=1，2，3，4）使得a i=i成立排列数有24﹣9=15个；故答案为：15．11．（5分）已知正三角形ABC的边长为，点M是△ABC所在平面内的任一动点，若，则的取值范围为[0，6] ．【解答】解：以A点为原点，建立如图所示的平面直角坐标系，则A（0，0），B（，0），C（，），∵，不妨设M（cosθ，sinθ），∴++=（﹣cosθ，﹣sinθ）+（﹣cosθ，﹣sinθ）+（﹣cosθ，﹣sinθ）=（﹣3cosθ，﹣3sinθ），∴|++|2=（﹣3cosθ）2+（﹣3sinθ）2=9（2﹣cosθ﹣sinθ）=18﹣18sin（θ+），∵﹣1≤sin（θ+）≤1，∴0≤18﹣18sin（θ+）≤36，∴的取值范围为[0，6]，故答案为：[0，6]12．（5分）双曲线绕坐标原点O旋转适当角度可以成为函数f（x）的图象，关于此函数f（x）有如下四个命题：①f（x）是奇函数；②f（x）的图象过点或；③f（x）的值域是；④函数y=f（x）﹣x有两个零点；则其中所有真命题的序号为①②．【解答】解：双曲线关于坐标原点对称，可得旋转后得到的函数f（x）的图象关于原点对称，即有f（x）为奇函数，故①对；由双曲线的顶点为（±，0），渐近线方程为y=±x，可得f（x）的图象的渐近线为x=0和y=±x，图象关于直线y=x对称，可得f（x）的图象过点，或，由对称性可得f（x）的图象按逆时针60°旋转位于一三象限；按顺时针旋转60°位于二四象限；故②对；f（x）的图象按逆时针旋转60°位于一三象限，由图象可得顶点为点，或，不是极值点，则f（x）的值域不是；f（x）的图象按顺时针旋转60°位于二四象限，由对称性可得f（x）的值域也不是．故③不对；当f（x）的图象位于一三象限时，f（x）的图象与直线y=x有两个交点，函数y=f（x）﹣x有两个零点；当f（x）的图象位于二四象限时，f（x）的图象与直线y=x没有交点，函数y=f（x）﹣x没有零点．故④错．故答案为：①②．二.选择题（本大题共4题，每题5分，共20分）13．（5分）若数列{a n}（n∈N*）是等比数列，则矩阵所表示方程组的解的个数是（）A．0个B．1个C．无数个D．不确定【解答】解：根据题意，矩阵所表示方程组为，又由数列{a n}（n∈N*）是等比数列，则有===，则方程组的解有无数个；故选：C．14．（5分）“m＞0”是“函数f（x）=|x（mx+2）|在区间（0，+∞）上为增函数”的（）A．充分非必要条件B．必要非充分条件C．充要条件D．既非充分也非必要条件【解答】解：∵m＞0，∴函数f（x）=|x（mx+2）|=|mx2+2x|，∵f（0）=0，∴f（x）在区间（0，+∞）上为增函数”；∵函数f（x）=|x（mx+2）|=|mx2+2x|在区间（0，+∞）上为增函数，f（0）=0，∴m∈R，∴“m＞0”是“函数f（x）=|x（mx+2）|在区间（0，+∞）上为增函数”的充分非必要条件．故选：A．15．（5分）用长度分别为2、3、5、6、9（单位：cm）的五根木棒连接（只允许连接，不允许折断），组成共顶点的长方体的三条棱，则能够得到的长方体的最大表面积为（）A．258cm2B．414cm2C．416cm2D．418cm2【解答】解：设长方体的三条棱分别为a，b，c，则长方体的表面积S=2（ab+bc+ac）≤（a+b）2+（b+c）2+（a+c）2，当且仅当a=b=c时上式“=”成立．由题意可知，a，b，c不可能相等，故考虑当a，b，c三边长最接近时面积最大，此时三边长为8，8，9，用2、6连接，3、5连接各为一条棱，第三条棱为9组成长方体，此时能够得到的长方体的最大表面积为2（8×8+8×9+8×9）=416（cm2）．故选：C．16．（5分）定义在R上的函数f（x）满足，且f（x﹣1）=f（x+1），则函数在区间[﹣1，5]上的所有零点之和为（）A．4B．5C．7D．8【解答】解：∵函数，且f（x﹣1）=f（x+1），函数的周期为2，函数，的零点，就是y=f（x）与y=图象的交点的横坐标，∴y=f（x）关于点（0，3）中心对称，将函数两次向右平移2个单位，得到函数y=f（x）在[﹣1，5]上的图象，每段曲线不包含右端点（如下图），去掉端点后关于（2，3）中心对称．又∵y==3+关于（2，3）中心对称，故方程f（x）=g（x）在区间[﹣1，5]上的根就是函数y=f（x）和y=g（x）的交点横坐标，共有三个交点，自左向右横坐标分别为x1，x2，x3，其中x1和x3关于（2，3）中心对称，∴x1+x3=4，x2=1，故x1+x2+x3=5．故选：B．三.解答题（本大题共5题，共14+14+14+16+18=76分）17．（14分）如图所示的圆锥的体积为，底面直径AB=2，点C是弧的中点，点D是母线PA的中点．（1）求该圆锥的侧面积；（2）求异面直线PB与CD所成角的大小．【解答】解：（1）∵圆锥的体积为，底面直径AB=2，∴，解得PO=，∴PA==2，∴该圆锥的侧面积S=πrl=π×1×2=2π．（2）∵圆锥的体积为，底面直径AB=2，点C是弧的中点，点D是母线PA的中点．∴PO⊥平面ABC，OC⊥AB，∴以O为原点，OC为x轴，OB为y轴，OP为z轴，建立空间直角坐标系，则A（0，﹣1，0），P（0，0，），D（0，﹣，），B（0，1，0），C（1，0，0），=（0，1，﹣），=（﹣1，﹣，），设异面直线PB与CD所成角为θ，则cosθ===，∴θ=．∴异面直线PB与CD所成角为．18．（14分）某快递公司在某市的货物转运中心，拟引进智能机器人分拣系统，以提高分拣效率和降低物流成本，已知购买x台机器人的总成本p（x）=+x+150万元．（1）若使每台机器人的平均成本最低，问应买多少台？（2）现按（1）中的数量购买机器人，需要安排m人将邮件放在机器人上，机器人将邮件送达指定落袋格口完成分拣（如图），经实验知，每台机器人的日平均分拣量q（m）=（单位：件），已知传统人工分拣每人每日的平均分拣量为1200件，问引进机器人后，日平均分拣量达最大值时，用人数量比引进机器人前的用人数量最多可减少百分之几？【解答】解：（1）由总成本p（x）=+x+150万元，可得每台机器人的平均成本y==2．当且仅当，即x=300时，上式等号成立．∴若使每台机器人的平均成本最低，应买300台；（2）引进机器人后，每台机器人的日平均分拣量q（m）=，当1≤m≤30时，300台机器人的日平均分拣量为160m（60﹣m）=﹣160m2+9600m，∴当m=30时，日平均分拣量有最大值144000．当m＞30时，日平均分拣量为480×300=144000．∴300台机器人的日平均分拣量的最大值为144000件．若传统人工分拣144000件，则需要人数为人．∴日平均分拣量达最大值时，用人数量比引进机器人前的用人数量最多可减少=75%．19．（14分）设函数f（x）=sin（ωx+φ）（ω＞0，），已知角φ的终边经过点，点M（x1，y1）、N（x2，y2）是函数f（x）图象上的任意两点，当|f（x1）﹣f（x2）|=2时，|x1﹣x2|的最小值是．（1）求函数y=f（x）的解析式；（2）已知△ABC面积为，角C所对的边，，求△ABC的周长．【解答】解：（1）已知角φ的终边经过点，且，则：φ=﹣，点M（x1，y1）、N（x2，y2）是函数f（x）图象上的任意两点，当|f（x1）﹣f（x2）|=2时，|x1﹣x2|的最小值是．则：T=π，所以：ω=，所以：；（2）由于：=sin（）=，且0＜C＜π，解得：C=，△ABC面积为，所以：，解得：ab=20．由于：c2=a2+b2﹣2abcosC，c=2，所以：20=（a+b）2﹣3ab，解得：a+b=4，所以：．20．（16分）设点F1、F2分别是椭圆（t＞0）的左、右焦点，且椭圆C上的点到点F2的距离的最小值为，点M、N是椭圆C上位于x轴上方的两点，且向量与向量平行．（1）求椭圆C的方程；（2）当时，求△F1MN的面积；（3）当时，求直线F2N的方程．【解答】解：（1）点F1、F2分别是椭圆（t＞0）的左、右焦点，∴a=t，c=t，∵椭圆C上的点到点F2的距离的最小值为，∴a﹣c=t﹣t=2﹣2，解得t=2，∴椭圆的方程为+=1，（2）由（1）可得F1（﹣2，0），F2（2，0），点M、N是椭圆C上位于x轴上方的两点，可设N（2cosθ，2sinθ），∴=（2cosθ+2，2sinθ），=（2cosθ﹣2，2sinθ），∵，∴（2cosθ+2）（2cosθ﹣2）+4sin2θ=0，解得cosθ=0，sinθ=1，∴N（0，2），∴=（﹣2，2），∴k==﹣1，∵向量与向量平行，∴直线F1M的斜率为﹣1，∴直线方程为y=﹣x﹣2，联立方程组，解得x=0，y=﹣2（舍去），或x=﹣，y=，∴M（﹣，），∴|F1M|==，点N到直线直线y=﹣x﹣2的距离为d==2，∴△F1MN的面积=|F1M|•d=××2=，（3）∵向量与向量平行，∴λ=，∴，∴（λ﹣1）||=，即λ＞1，设M（x1，y1），N（x2，y2），∴λ（x1+2）=x2﹣2，y2=λy1，∴x2=λx1+2（λ+1）∵+=1，∴x22+2y22=8，∴[λx1+2（λ+1）]2+2λ2y12=12λ2+8λ+4+4λ（λ+1）x1=8，∴4λ（λ+1）x1=（1﹣3λ）（λ+1），∴x1==﹣3，∴y12=4﹣，∴||2=（x1+2）2+y12=（﹣3+2）2+4﹣=，∴||=，∴（λ﹣1）•=，∴λ2﹣2λ﹣1=0解得λ=2+，或λ=2﹣（舍去）∴x1=﹣3=﹣3=﹣1﹣，∴y12=4﹣=2﹣==，∴y1=，∴k==﹣，∴直线F2N的方程为y﹣0=﹣（x﹣2），即为x+y﹣2=021．（18分）设d为等差数列{a n}的公差，数列{b n}的前n项和T n，满足（n∈N*），且d=a5=b2，若实数m∈P k={x|a k﹣2＜x＜a k+3}（k∈N*，k≥3），则称m具有性质P k．（1）请判断b1、b2是否具有性质P6，并说明理由；（2）设S n为数列{a n}的前n项和，若{S n﹣2λa n}是单调递增数列，求证：对任意的k（k∈N*，k≥3），实数λ都不具有性质P k；（3）设H n是数列{T n}的前n项和，若对任意的n∈N*，H2n﹣1都具有性质P k，求所有满足条件的k的值．【解答】解：（1）（n∈N*），可得n=1时，T1+=﹣b1=﹣T1，解得b1=﹣，T2+=b2=﹣+b2+=b2，T3+=﹣b3=﹣+b2+b3+，即b2+2b3=，T4+=b4=﹣+b2+b3+b4+，即b2+b3=，解得b2=，b3=﹣，同理可得b4=，b5=﹣，b6=，b7=﹣，…，b2n﹣1=﹣，d=a5=b2，可得d=a1+4d=，解得a1=﹣，d=，a n=，P6={x|a4＜x＜a9}（k∈N*，k≥3）={x|0＜x＜}，则b1不具有性质P6，b2具有性质P6；（2）证明：设S n为数列{a n}的前n项和，若{S n﹣2λa n}是单调递增数列，﹣2λa n+1≥S n﹣2λa n，可得S n+1即为≥，化为4λ+6≤2n对n为一切自然数成立，即有4λ+6≤2，可得λ≤﹣1，又P k={x|a k﹣2＜x＜a k+3}（k∈N*，k≥3），且a1=﹣，d＞0，可得P k中的元素大于﹣1，则对任意的k（k∈N*，k≥3），实数λ都不具有性质P k；（3）设H n是数列{T n}的前n项和，若对任意的n∈N*，H2n﹣1都具有性质P k，由于H1=T1=b1=﹣，H3=T1+T2+T3=﹣，H5=T1+T2+T3+T4+T5=﹣，H7=﹣+0﹣=﹣，…，H2n﹣1=H2n﹣3+b2n﹣1，（n≥2），当k=3时，P3={x|a1＜x＜a6}={x|﹣＜x＜}，当k=4时，P4={x|a2＜x＜a7}={x|﹣＜x＜}，当k=5时，P5={x|a3＜x＜a8}={x|﹣＜x＜1}，当k=6时，P3={x|a4＜x＜a9}={x|0＜x＜}，显然k=5，6不成立，故所有满足条件的k的值为3，4．2018年上海市浦东新区高考数学一模试卷一.填空题（本大题共12题，1-6每题4分，7-12每题5分，共54分）1．（4分）集合A={1，2，3，4}，B={1，3，5，7}，则A∩B=．2．（4分）不等式＜1的解集为．3．（4分）已知函数f（x）=2x﹣1的反函数是f﹣1（x），则f﹣1（5）=．4．（4分）已知向量，，则向量在向量的方向上的投影为．5．（4分）已知i是虚数单位，复数z满足，则|z|=．6．（4分）在（2x+1）5的二项展开式中，x3的系数是．7．（5分）某企业生产的12个产品中有10个一等品，2个二等品，现从中抽取4个产品，其中恰好有1个二等品的概率为．8．（5分）已知函数y=f（x）是定义在R上的偶函数，且在[0，+∞）上增函数，若f（a+1）≤f（4），则实数a的取值范围是．9．（5分）已知等比数列前n项和为S n，则使得S n＞2018的n的最小值为．10．（5分）圆锥的底面半径为3，其侧面展开图是一个圆心角为的扇形，则此圆锥的表面积为．11．（5分）已知函数f（x）=sinωx（ω＞0），将f（x）的图象向左平移个单位得到函数g（x）的图象，令h（x）=f（x）+g（x），如果存在实数m，使得对任意的实数x，都有h（m）≤h（x）≤h（m+1）成立，则ω的最小值为．12．（5分）在平面直角坐标系中，O为坐标原点，M、N是双曲线上的两个动点，动点P满足，直线OM与直线ON斜率之积为2，已知平面内存在两定点F1、F2，使得||PF1|﹣|PF2||为定值，则该定值为．二.选择题（本大题共4题，每题5分，共20分）13．（5分）若实数x，y∈R，则命题甲“”是命题乙“”的（）条件．A．充分非必要B．必要非充分C．充要D．既非充分又非必要14．（5分）已知△ABC中，，AB=AC=1，点P是AB边上的动点，点Q是AC边上的动点，则的最小值为（）A．﹣4B．﹣2C．﹣1D．015．（5分）某食品的保鲜时间y（单位：小时）与储存温度x（单位：°C）满足函数关系y=e kx+b（e=2.718…为自然对数的底数，k，b为常数），若该食品在0°C 的保鲜时间是192小时，在22°C的保鲜时间是48小时，则该食品在33°C的保鲜时间是（）小时．A．22B．23C．24D．3316．（5分）关于x的方程x2+arcsin（cosx）+a=0恰有3个实数根x1、x2、x3，则x12+x22+x32=（）A．1B．2C．D．2π2三.解答题（本大题共5题，共14+14+14+16+18=76分）17．（14分）如图，在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB=2，AD=1，A1A=1．（1）求异面直线BC1与CD1所成的角；（2）求三棱锥B﹣D1AC的体积．18．（14分）在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，已知，，且．（1）求C；（2）若c2=7b2，且，求b的值．19．（14分）已知等差数列{a n}的公差为2，其前n项和（n∈N*，p∈R）．（1）求p的值及{a n}的通项公式；（2）在等比数列{b n}中，b2=a1，b3=a2+4，令（k∈N*），求数列{c n}的前n项和T n．20．（16分）已知椭圆（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F1、F2，设点A（0，b），在△AF1F2中，，周长为．（1）求椭圆Γ的方程；（2）设不经过点A的直线l与椭圆Γ相交于B、C两点，若直线AB与AC的斜率之和为﹣1，求证：直线l过定点，并求出该定点的坐标；（3）记第（2）问所求的定点为E，点P为椭圆Γ上的一个动点，试根据△AEP 面积S的不同取值范围，讨论△AEP存在的个数，并说明理由．21．（18分）已知函数f（x）的定义域为D，值域为f（D），即f（D）={y|y=f（x），x∈D}，若f（D）⊆D，则称f（x）在D上封闭．（1）分别判断函数f（x）=2017x+log2017x，在（0，1）上是否封闭，说明理由；（2）函数的定义域为D=[a，b]，且存在反函数y=f﹣1（x），若函数f（x）在D上封闭，且函数f﹣1（x）在f（D）上也封闭，求实数k的取值范围；（3）已知函数f（x）的定义域为D，对任意x，y∈D，若x≠y，有f（x）≠f（y）恒成立，则称f（x）在D上是单射，已知函数f（x）在D上封闭且单射，并且满足f x（D）⊊D，其中f n+1（x）=f（f n（x））（n∈N*），f1（x）=f（x），证明：存在D的真子集，D n⊊D n﹣1⊊…⊊D3⊊D2⊊D1⊊D，使得f（x）在所有D i（i=1，2，3，…，n）上封闭．2018年上海市浦东新区高考数学一模试卷参考答案与试题解析一.填空题（本大题共12题，1-6每题4分，7-12每题5分，共54分）1．（4分）集合A={1，2，3，4}，B={1，3，5，7}，则A∩B={1，3} ．【解答】解：∵集合A={1，2，3，4}，B={1，3，5，7}，∴A∩B={1，3}．故答案为：{1，3}．2．（4分）不等式＜1的解集为（1，+∞）∪（﹣∞，0）．【解答】解：原不等式等价于，即x（x﹣1）＞0，所以不等式的解集为（1，+∞）∪（﹣∞，0）；故答案为：（1，+∞）∪（﹣∞，0）3．（4分）已知函数f（x）=2x﹣1的反函数是f﹣1（x），则f﹣1（5）=3．【解答】解：令f﹣1（5）=a，则f（a）=2a﹣1=5，解得：a=3，故答案为：3．4．（4分）已知向量，，则向量在向量的方向上的投影为﹣1．【解答】解：向量=（1，﹣2），=（3，4），则向量在向量方向上的投影为：||cos＜，＞===﹣1．故答案为：﹣15．（4分）已知i是虚数单位，复数z满足，则|z|=．【解答】解：∵复数z满足，∴z=，化为4z=，即z=，∴|z|==．故答案为：．6．（4分）在（2x+1）5的二项展开式中，x3的系数是80．=C5r（2x）5﹣r，【解答】解：设求的项为T r+1今r=2，∴T3=23C52x3=80x3．∴x3的系数是80．故答案为：807．（5分）某企业生产的12个产品中有10个一等品，2个二等品，现从中抽取4个产品，其中恰好有1个二等品的概率为．【解答】解：某企业生产的12个产品中有10个一等品，2个二等品，现从中抽取4个产品，基本事件总数n==495，其中恰好有1个二等品包含的基本事件个数m==240，∴其中恰好有1个二等品的概率为p===．故答案为：．8．（5分）已知函数y=f（x）是定义在R上的偶函数，且在[0，+∞）上增函数，若f（a+1）≤f（4），则实数a的取值范围是[﹣5，3] ．【解答】解：函数y=f（x）是定义在R上的偶函数，且在[0，+∞）上增函数，可得f（x）=f（|x|），则f（a+1）≤f（4），即为f（|a+1|）≤f（4），可得|a+1|≤4，即﹣4≤a+1≤4，解得﹣5≤a≤3，则实数a的取值范围是[﹣5，3]．故答案为：[﹣5，3]．9．（5分）已知等比数列前n项和为S n，则使得S n＞2018的n的最小值为10．【解答】解：根据题意，等比数列为{a n}，其首项a1=，公比q==3，其前n项和S n==（3n﹣1），若S n＞2018，即3n﹣1＞18×2018又由n∈N*，则n≥10，故答案为：10．10．（5分）圆锥的底面半径为3，其侧面展开图是一个圆心角为的扇形，则此圆锥的表面积为36π．【解答】解：设此圆锥的母线长为l，根据圆锥的侧面展开图扇形的弧长等于圆锥底面周长可得，2π×3=×l，解得l=9，∴此圆锥的表面积为S=πrl+πr2=π×3×9+π×9=36π．故答案为：36π．11．（5分）已知函数f（x）=sinωx（ω＞0），将f（x）的图象向左平移个单位得到函数g（x）的图象，令h（x）=f（x）+g（x），如果存在实数m，使得对任意的实数x，都有h（m）≤h（x）≤h（m+1）成立，则ω的最小值为π．【解答】解：函数f（x）=sinωx（ω＞0），将f（x）的图象向左平移个单位得到函数g（x）=sin（ωx+）=cosωx的图象，令h（x）=f（x）+g（x）=sinωx+cosωx=sin（ωx+），如果存在实数m，使得对任意的实数x，都有h（m）≤h（x）≤h（m+1）成立，∴•≤1，∴ω≥π，则ω的最小值为π，故答案为：π．12．（5分）在平面直角坐标系中，O为坐标原点，M、N是双曲线上的两个动点，动点P满足，直线OM与直线ON斜率之积为2，已知平面内存在两定点F1、F2，使得||PF1|﹣|PF2||为定值，则该定值为2．【解答】解：设动点P（x，y），M（x1，y1）、N（x2，y2），∵直线OM与ON的斜率之积为2，∴•=2，所以2x1x2﹣y1y2=0，①，∵动点P满足，∴（x，y）=（2x1﹣x2，2y1﹣y2），则x=2x1﹣x2，y=2y1﹣y2，∵M、N是双曲线上的点，∴2x12﹣y12=4，2x22﹣y22=4．∴2x2﹣y2=2（2x1﹣x2）2﹣（2y1﹣y2）2=4（2x12﹣y12）﹣（2x22﹣y22）﹣4（2x1x2﹣y1y2）=4×4﹣4﹣4（2x1x2﹣y1y2）=12﹣4（2x1x2﹣y1y2），把①代入上式得：2x2﹣y2=12，即﹣=1，所以点P是双曲线﹣=1上的点，因为即﹣=1的两个焦点为：F1（﹣3，0）、F2（3，0），所以||PF1|﹣|PF2||为定值2．故答案为：2．二.选择题（本大题共4题，每题5分，共20分）13．（5分）若实数x，y∈R，则命题甲“”是命题乙“”的（）条件．A．充分非必要B．必要非充分C．充要D．既非充分又非必要【解答】解：由甲推不出乙，比如x=1，y=7，故不是充分条件，由乙可推出甲，是必要条件，故选：B．14．（5分）已知△ABC中，，AB=AC=1，点P是AB边上的动点，点Q 是AC边上的动点，则的最小值为（）A．﹣4B．﹣2C．﹣1D．0【解答】解：∵△ABC中，，AB=AC=1，以A为原点，以AB所在对的直线为x轴，以AC所在的直线为y轴，建立如图所示的平面直角坐标系，则B（1，0），C（0，1）设P的坐标为（m，0）0≤m≤1，Q的坐标为（0，n），0≤n≤1，∴=（﹣1，n），=（m，﹣1），∴=﹣m﹣n=﹣（m+n）≥﹣2，当且仅当m=n=1时取等号，故的最小值为﹣2，故选：B．15．（5分）某食品的保鲜时间y（单位：小时）与储存温度x（单位：°C）满足函数关系y=e kx+b（e=2.718…为自然对数的底数，k，b为常数），若该食品在0°C 的保鲜时间是192小时，在22°C的保鲜时间是48小时，则该食品在33°C的保鲜时间是（）小时．A．22B．23C．24D．33【解答】解：某食品的保鲜时间y（单位：小时）与储存温度x（单位：°C）满足函数关系y=e kx+b（e=2.718…为自然对数的底数，k，b为常数），该食品在0°C的保鲜时间是192小时，在22°C的保鲜时间是48小时，∴，解得e11k=，∴该食品在33°C的保鲜时间：y=e33k+b=（e11k）3×e b=（）3×192=24（小时）．故选：C．16．（5分）关于x的方程x2+arcsin（cosx）+a=0恰有3个实数根x1、x2、x3，则x12+x22+x32=（）A．1B．2C．D．2π2【解答】解：令f（x）=x2+arcsin（cosx）+a，可得f（﹣x）=（﹣x）2+arcsin（cos（﹣x））+a=f（x），则f（x）为偶函数，∵f（x）=0有三个实数根，∴f（0）=0，即0++a=0，故有a=﹣，关于x的方程即x2+arcsin（cosx）﹣=0，∴x2 =0，且+arcsin（cosx1）﹣=0，x32+arcsin（cosx3）﹣=0，x1=﹣x3，由y=x2和y=﹣arcsin（cosx），当x＞0，且0＜x＜π时，y=﹣arcsin（cosx）=﹣arcsin（sin（﹣x））=﹣（﹣x））=x，则﹣π＜x＜0时，y=﹣arcsin（cosx）=﹣x，由y=x2和y=﹣arcsin（cosx）的图象可得：它们有三个交点，且为（0，0），（﹣1，1），（1，1），则x12+x22+x32=0+1+1=2．故选：B．三.解答题（本大题共5题，共14+14+14+16+18=76分）17．（14分）如图，在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB=2，AD=1，A1A=1．（1）求异面直线BC1与CD1所成的角；（2）求三棱锥B﹣D1AC的体积．【解答】解：（1）∵在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AD1∥BC1，∴∠AD1C是异面直线BC1与CD1所成的角或其补角．（2分）∵AB=2，AD=1，A1A=1．∴在等腰△ACD 1中，∴cos∠CD1A===，…（4分）∴异面直线BC1与CD1所成的角．…（1分）（2）…（4分）==．…（3分）18．（14分）在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，已知，，且．（1）求C；（2）若c2=7b2，且，求b的值．【解答】解：（1）由，∴2ccosC+acosB+bcosA=0，由正弦定理得：2sinCcosC+sinAcosB+sinBcosA=0，∴2sinCcosC+sin（A+B）=0；2sinCcosC+sinC=0；由sinC≠0，∴，∴；（2）由c2=a2+b2﹣2abcosC，∴7b2=a2+b2﹣2abcosC，∴a2+ab﹣6b2=0，∴a=2b；由知，，∴，∴b=2．19．（14分）已知等差数列{a n}的公差为2，其前n项和（n∈N*，p ∈R）．（1）求p的值及{a n}的通项公式；（2）在等比数列{b n}中，b2=a1，b3=a2+4，令（k∈N*），求数列{c n}的前n项和T n．【解答】解：（1）根据题意，等差数列{a n}中，当n≥2时，有a n=S n﹣S n﹣1=pn2+2n﹣[p（n﹣1）2+2（n﹣1）]=2pn﹣p+2，=2p（n+1）﹣p+2，则a n+1∴a n﹣a n=2p=2，+1∴p=1，a n=3+（n﹣1）2=2n+1，（2）∵b2=a1=3，b3=a2+4=9，∴q=3，，当n=2k，k∈N*时，T n=a1+b2+a3+b4+…+a2k﹣1+b2k=（a1+a3+…+a2k﹣1）+（b2+b4+…+b2k）=（3+7+…+4k﹣1）+（3+27+…+32k﹣1）==；当n=2k﹣1，k∈N*时，n+1是偶数，=，∴．20．（16分）已知椭圆（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F1、F2，设点A（0，b），在△AF1F2中，，周长为．（1）求椭圆Γ的方程；（2）设不经过点A的直线l与椭圆Γ相交于B、C两点，若直线AB与AC的斜率之和为﹣1，求证：直线l过定点，并求出该定点的坐标；（3）记第（2）问所求的定点为E，点P为椭圆Γ上的一个动点，试根据△AEP 面积S的不同取值范围，讨论△AEP存在的个数，并说明理由．【解答】（1）解：由，得，∴…①又△AF1F2周长为，∴…②联立①②，解得．∴椭圆方程为；（2）证明：设直线l方程：y=kx+m，交点B（x1，y1），C（x2，y2）由，得（1+4k2）x2+8kmx+4（m2﹣1）=0．，，依题：k AB+k AC=﹣1，即：，∵y1=kx1+m，y2=kx2+m，∴，得，则m=﹣2k﹣1．∴y=kx+m=kx﹣2k﹣1过定点（2，﹣1）；（3）解：l AE：x+y﹣1=0，．设直线l：y=﹣x+t与椭圆相切，由，得．由△=4t2﹣5（t2﹣1）=0，得t=．得两切线到l AE：x+y﹣1=0的距离分别为，∴，．当时，△AEP个数为0个；当时，△AEP个数为1个；当时，△AEP个数为2个；当时，△AEP个数为3个；当时，△AEP个数为4个．21．（18分）已知函数f（x）的定义域为D，值域为f（D），即f（D）={y|y=f（x），x∈D}，若f（D）⊆D，则称f（x）在D上封闭．（1）分别判断函数f（x）=2017x+log2017x，在（0，1）上是否封闭，说明理由；（2）函数的定义域为D=[a，b]，且存在反函数y=f﹣1（x），若函数f（x）在D上封闭，且函数f﹣1（x）在f（D）上也封闭，求实数k的取值范围；（3）已知函数f（x）的定义域为D，对任意x，y∈D，若x≠y，有f（x）≠f（y）恒成立，则称f（x）在D上是单射，已知函数f（x）在D上封闭且单射，并且满足f x（D）⊊D，其中f n+1（x）=f（f n（x））（n∈N*），f1（x）=f（x），证明：存在D的真子集，D n⊊D n﹣1⊊…⊊D3⊊D2⊊D1⊊D，使得f（x）在所有D i（i=1，2，3，…，n）上封闭．【解答】解：（1）因为函数f（x）的定义域为（0，+∞），值域为（﹣∞，+∞），（取一个具体例子也可），所以f（x）在（0，1）上不封闭．…（结论和理由各1分）t=x+1∈（1，2），g（x）在（0，1）上封闭…（结论和理由各1分）（2）函数f（x）在D上封闭，则f（D）⊆D．函数f﹣1（x）在f（D）上封闭，则D⊆f（D），得到：D=f（D）．…（2分）在D=[a，b]单调递增．则f（a）=a，f（b）=b在[﹣1，+∞）两不等实根．，故，解得．另解：在[﹣1，+∞）两不等实根．令k+1=t2﹣t在t∈[0，+∞）有两个不等根，故解得．（3）如果f（D）=D，则f n（D）=D，与题干矛盾．因此f（D）⊊D，取D1=f（D），则D1=f（D），则D1⊊D．接下来证明f（D1）⊊D1，因为f（x）是单射，因此取一个p∈D{D1，则p是唯一的使得f（x）=f（p）的根，换句话说f（p）∉f（D1）．考虑到p∈D\D 1，即，因为f（x）是单射，则f（D1）⊊f（D\{p}）=f（D）\{f（p）}=D1\{f（p）}⊊D1这样就有了f（D1）⊊D1．接着令D n=f（D n），并重复上述论证证明D n+1⊊D n．+12018年上海市闵行区高考数学一模试卷一.填空题（本大题共12题，1-6每题4分，7-12每题5分，共54分）1．（4分）集合P={x|0≤x＜3，x∈Z}，M={x|x2≤9}，则P∩M=．2．（4分）计算=．3．（4分）方程的根是．4．（4分）已知是纯虚数（i是虚数单位），则=．5．（4分）已知直线l的一个法向量是，则l的倾斜角的大小是．6．（4分）从4名男同学和6名女同学中选取3人参加某社团活动，选出的3人中男女同学都有的不同选法种数是（用数字作答）7．（5分）在（1+2x）5的展开式中，x2项系数为（用数字作答）8．（5分）如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，∠ACB=90°，AC=4，BC=3，AB=BB1，则异面直线A1B与B1C1所成角的大小是（结果用反三角函数表示）9．（5分）已知数列{a n}、{b n}满足b n=lna n，n∈N*，其中{b n}是等差数列，且，则b1+b2+…+b1009=．10．（5分）如图，向量与的夹角为120°，，，P是以O为圆心，为半径的弧上的动点，若，则λμ的最大值是．11．（5分）已知F1、F2分别是双曲线（a＞0，b＞0）的左右焦点，过F1且倾斜角为30°的直线交双曲线的右支于P，若PF2⊥F1F2，则该双曲线的渐近线方程是．12．（5分）如图，在折线ABCD中，AB=BC=CD=4，∠ABC=∠BCD=120°，E、F分别是AB、CD的中点，若折线上满足条件的点P至少有4个，则实数k 的取值范围是．二.选择题（本大题共4题，每题5分，共20分）13．（5分）若空间中三条不同的直线l1、l2、l3，满足l1⊥l2，l2∥l3，则下列结论一定正确的是（）A．l1⊥l3B．l1∥l3C．l1、l3既不平行也不垂直D．l1、l3相交且垂直14．（5分）若a＞b＞0，c＜d＜0，则一定有（）A．ad＞bc B．ad＜bc C．ac＞bd D．ac＜bd15．（5分）无穷等差数列{a n}的首项为a1，公差为d，前n项和为S n（n∈N*），则“a1+d＞0”是“{S n}为递增数列”的（）条件．A．充分非必要B．必要非充分C．充要D．既非充分也非必要16．（5分）已知函数（n＜m）的值域是[﹣1，1]，有下列结论：①当n=0时，m∈（0，2]；②当时，；③当时，m∈[1，2]；④当时，m∈（n，2]；其中结论正确的所有的序号是（）A．①②B．③④C．②③D．②④三.解答题（本大题共5题，共14+14+14+16+18=76分）17．（14分）已知函数（其中ω＞0）．（1）若函数f（x）的最小正周期为3π，求ω的值，并求函数f（x）的单调递增区间；（2）若ω=2，0＜α＜π，且，求α的值．18．（14分）如图，已知AB是圆锥SO的底面直径，O是底面圆心，，AB=4，P是母线SA的中点，C是底面圆周上一点，∠AOC=60°．（1）求圆锥的侧面积；（2）求直线PC与底面所成的角的大小．19．（14分）某公司举办捐步公益活动，参与者通过捐赠每天的运动步数获得公司提供的牛奶，再将牛奶捐赠给留守儿童，此活动不但为公益事业作出了较大的贡献，公司还获得了相应的广告效益，据测算，首日参与活动人数为10000人，以后每天人数比前一天都增加15%，30天后捐步人数稳定在第30天的水平，假设此项活动的启动资金为30万元，每位捐步者每天可以使公司收益0.05元（以下人数精确到1人，收益精确到1元）．（1）求活动开始后第5天的捐步人数，及前5天公司的捐步总收益；（2）活动开始第几天以后公司的捐步总收益可以收回启动资金并有盈余？20．（16分）已知椭圆的右焦点是抛物线Γ：y2=2px的焦点，直线l与Γ相交于不同的两点A（x1，y1）、B（x2，y2）．（1）求Γ的方程；（2）若直线l经过点P（2，0），求△OAB的面积的最小值（O为坐标原点）；（3）已知点C（1，2），直线l经过点Q（5，﹣2），D为线段AB的中点，求证：|AB|=2|CD|．21．（18分）对于函数y=f（x）（x∈D），如果存在实数a、b（a≠0，且a=1，b=0不同时成立），使得f（x）=f（ax+b）对x∈D恒成立，则称函数f（x）为“（a，b）映像函数”．（1）判断函数f（x）=x2﹣2是否是“（a，b）映像函数”，如果是，请求出相应的a、b的值，若不是，请说明理由；（2）已知函数y=f（x）是定义在[0，+∞）上的“（2，1）映像函数”，且当x∈[0，1）时，f（x）=2x，求函数y=f（x）（x∈[3，7））的反函数；（3）在（2）的条件下，试构造一个数列{a n}，使得当x∈[a n，a n+1）（n∈N*）时，2x+1∈[a n，a n+2），并求x∈[a n，a n+1）（n∈N*）时，函数y=f（x）的解析+1式，及y=f（x）（x∈[0，+∞））的值域．2018年上海市闵行区高考数学一模试卷参考答案与试题解析一.填空题（本大题共12题，1-6每题4分，7-12每题5分，共54分）1．（4分）集合P={x|0≤x＜3，x∈Z}，M={x|x2≤9}，则P∩M={0，1，2} ．【解答】解：∵集合P={x|0≤x＜3，x∈Z}={0，1，2}，M={x|x2≤9}={x|﹣3≤x≤3}，∴P∩M={0，1，2}．故答案为：{0，1，2}．2．（4分）计算=．【解答】解：===，故答案为：．3．（4分）方程的根是10．【解答】解：∵，即1+lgx﹣3+lgx=0，∴lgx=1，∴x=10．故答案为：10．4．（4分）已知是纯虚数（i是虚数单位），则=．【解答】解：∵是纯虚数，。
上海各区2020届高三一模
大鱼号高考数学研讨群出品《每日一卷》第十一期上海市各区2020届高三12月一模第一部分：嵩明区第二部分：松江区第三部分：虹口区第四部分：杨浦区第五部分：徐汇区第六部分：普陀区第七部分：嘉定区主编：黄玉参与教师：罗彪赵宏君赖庆龙高杨李昌达宋志学第一部分崇明区11.某组委会要从五名志愿者中选派四人分别从事翻译、导游、礼仪、司机四项不同工作，甲不能从事翻译工作，乙不能从事导游工作，其余三人均能从事这四项工作，则不同的选派方案共有种.答案：114解析教师：湖南怀化赵宏君【解析】（1）甲、乙均参加，先从另三名中选两人参加，有23C 种选法，若甲从事导游工作，则选派方案的种数为1333A A ⋅，若甲不从事导游工作，则选派方案的种数为112222A A A ⋅⋅；（2）甲参加乙不参加，选派方案有1333A A ⋅种，乙参加甲不参加，选派方案有1333A A ⋅，所以共有选派方案21311213133332223333=114C A A A A A A A A A ⋅+⋅⋅+⋅+⋅（）种.【点评】先分组后分配；优先考虑受限制的对象；优先考虑受限制的位置.12.正方形ABCD 的边长为4，O 是正方形ABCD 的中心，过中心O 的直线l 与边AB 交于点M ，与边CD 交于点N ，P 为平面上一点，满足2(1)OP OB OC λλ=+-，则PM PN ⋅ 的最小值是.答案：7-解析教师：湖南怀化赵宏君【解析】设(1)OQ OB OC λλ=+-，则点Q 在直线BC 上，点P 在直线EF 上，如图建立坐标系，点O 为MN 的中点，设(0,)N n ，(,3)P a ，则()4,4M n -，(4,1)PM a n =-- ，(,3)PN a n =--，()()2222443223PM PN a a n n a n ⋅=--+-=---- ，其中a R ∈，04n ≤≤，所以当2a =，0n =或4n =时，最小值为7-.【点评】坐标法思路直接单一，易于处理.15.的圆锥中，AB 、CD 是底面圆O 的两条垂直的直径，E 是母线PB 的中点.已知过CD 与E 的平面与圆锥侧面的交线是以E为顶点的的抛物线的一部分，则该抛物线的焦点到大鱼号高考 ８９４圆锥顶点P 的距离等于（）A.12B.1C.4D.2答案：D解析教师：湖南怀化赵宏君【解析】如图，由D 得抛物线方程为22y x =，所以12EF =，FP ==【点评】从空间图形中取出平面图形另行研究.16.若不等式()sin 06x a b x ππ⎛⎫--+≤ ⎪⎝⎭对[]1,1x ∈-恒成立，则a b +的值等于（）A.23B.56C.1D.2答案：B解析教师：湖南怀化赵宏君【解析】15sin 0,666x x ππ⎛⎫⎛⎫+>⇒∈- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，15sin 0[1,(,1]666x x ππ⎛⎫+<⇒∈-- ⎪⎝⎭ 所以，15,066x x a b ⎛⎫∈-⇒--≤ ⎪⎝⎭，15[1,)(,1]066x x a b ∈--⇒--≥ 由函数y x a b =--图象形状知，函数y x a b =--的零点是16-和5611,32a b ⇒==.【点评】两函数值异号转化为零点相同.大鱼号高考 ８９４第二部分松江区1l.若实数,0a b >，满足abc a b c =++，221a b +=，则实数c 的最小值为.解析教师：浙江宁波赖庆龙【解析】解法1：基本不等式+函数法因为()2222a b a b ab +=++，所以()212a b ab +-=，由abc a b c =++，得()()2213a b a b c ab a b ++==-+-，令t a b =+，由于2a b +≤，所以0t <≤a b =时等号成立，所以2222333t c t t t==≥=----.解法2：基本不等式+根的分布法因为()2222a b a b ab +=++，所以()212a b ab +-=，由abc a b c =++，得()1c ab a b -=+，即()()2230c a b a b c +-+-=，令t a b =+，由于2a b +，所以0t <≤，当且仅当a b =时等号成立，所以关于t 的方程2230ct t c --=在(t ∈上有解，因为24120c ∆=+>，且1230t t =-<，所以方程必有一正根和一负根，所以()230c c c ⋅--≥，解得0c -≤≤，所以实数c的最小值为-.【点评】本题是一个多元最值问题，其中c 是参数，解法1通过消元，构建关于a b +的函数，利用函数的单调性求解最小值，这是处理多元问题最基本的解法；解法2，通过消元，构建了关于a b +的方程，因为方程在给定的范围上有解，转化为根的分布问题，而二次方程根的分布问题主要关注开口，判别式，对称轴以及端点函数值的正负，两种方法非常好的反映了方程与函数思想，整体代换思想，以及数形结合思想.多元问题一直是学生的痛点，特别是像本题，三个字母，学生更加头痛，关键是理清谁是主元，谁是参数，能够准确识元用元.12.记边长为1的正六边形的六个顶点分别为123456,,,,,A A A A A A ，集合(){}|,1,2,3,4,5,6,i j M a a A A i j i j ===≠，在M 中任取两个元素,m n ，则0m n ⋅=的概率为______________.解析教师：浙江宁波赖庆龙【解析】如图，集合M 中共有2630A =个元素，任取两个元素有230C 种方法，而正六边形中有3个矩形，每个矩形有24对互相垂直的向量，所以0m n ⋅= 的概率为23024324145C ⨯=.大鱼号高 ９４【点评】本题是一道古典概率问题，根据求解的公式()()()n A P A n ω=知，只需分别求出分子和分母，在处理分子时，可以枚举，也可以找规律，但是不要遗漏向量是有方向的，两条线互相垂直，实质上有四个向量互相垂直.15.已知,b c R ∈，若2x bx c M ++≤对任意的[]0,4x ∈恒成立，则（）A.M 的最小值为1B.M 的最小值为2C.M 的最小值为4D.M 的最小值为8设()2f x x bx c =++，且()()max ,f x M b c =，所以M 的最小值为()min ,M b c .解析教师：浙江宁波赖庆龙【解析】解法1：高度差设()2,g x x y bx c ==--，则函数()f x 的几何意义即为抛物线()2g x x =与直线y bx c =--上取相同自变量时的两点之间的距离，即纵向距离，当两条平行直线恰好将()()204g x x x =≤≤夹紧时，这两条平行直线的纵向距离即为()min ,M b c .如图，作直线OA ，且方程为4y x =，作直线l OA ∥且与曲线()()204g x x x =≤≤切于点()00,B x y ，则有024x =，解得02x =，即直线l 的方程为44y x =-，故当y bx c =--为直线l 与直线OA 的平行线时取到()min ,M b c ，此时()()min 04,22M b c --==，即M 的最小值为2，故选项B 正确.解法2：以值代参+最值的定义+绝对值三角不等式因为()()()()()(),0,,224,,4416M b c f c M b c f b c M b c f b c ≥=≥=++≥=++，所以()()()()()4,02242244164162248M b c f f f c b c b c c b c b c ≥++=++++++≥+++-++=，所以(),2M b c ≥，当且仅当4,2b c =-=时等号成立，即M 的最小值为2，故选项B 正确.解法3：平口单峰函数令()2g x x ax =+，且满足()()04g g =，得4a =-，即()24g x x x =-，那么()()()4f x g x b x c =+++，因为()g x 的图象是平口单峰的（如图所示），那么当40,2b c +==-时(),M b c 取到最小值，且()min ,2M b c =【点评】最大值的最小值是近几年考题中的热点和难点，一是任意存在的理解，二是方法的理解；求解该类问题通常由以上3种解法，另加切比雪夫最佳逼近的方法，其中解法1和解法2都是从高度差这一几何视角着手，各有千秋，而且和曲线的特点由很大的关系；解法2中为什么取0,2,4是一个难点，其次为什么大鱼号高考 ８９４是4倍也是一个难点，这些都需要在平时的解题中理解问题的本质.16.已知集合{}1,2,,10M = ，集合A M ⊆，定义()M A 为A 中元素的最小值，当A 取遍M 的所有非空子集时，对应的()M A 的和记为10S ，则10S =（）A.45B.1012C.2036D.9217解析教师：浙江宁波赖庆龙【解析】在M 的所有非空子集中，元素1为最小元素的非空子集有0129999992C C C C ++++= ；元素2为最小元素的非空子集有0128888882C C C C ++++= ；以此类推，2891011029282221S =⨯+⨯+⨯++⨯+⨯ ，2391010221029282221S =⨯+⨯+⨯++⨯+⨯ 所以11239101022222221010203612S -=+++++-=-=- .故选项C 正确.【点评】本题以集合中的一个新定义问题为背景，考查数列求和的错位相减法，考查学生的分析能力，推理能力以及运算求解了.大鱼号高考 ８９４第三部分虹口区11.如图，1F 、2F 分别使双曲线C :2221x y a -=的左、右焦点，过2F 的直线于双曲线C 的两条渐近线分别交于A 、B 两点，若2F A AB = ，120F B F B ⋅=，则双曲线C 的焦距12||F F 为_____________.答案：3解析教师：黑龙江哈尔滨高杨【解析】由双曲线方程得，1b =，由2F A AB = ，120F B F B ⋅=可得，A 为2F B 的中点，12F B F B ⊥，又O 为12F F 中点，1//OA F B ∴，2OA F B ∴⊥，122BF F AOF ∠=∠，A 、B 分别在两条渐近线上，21AOF BOF ∴∠=∠，由直角12F BF ，可得1OB OF =，121BF F OBF ∴∠=∠，1BF O ∴为等边三角形，1260BF F ∴∠=︒，2||F A 为2(c,0)F 到渐近线by x a=的距离，由点到直线距离公式可得2||b 1F A ==，22BF ∴=，2121243sin 3BF F F BF F ==∠.【点评】本题需要利用双曲线渐近线的对称性，以及直角三角形的几何属性得出1BF O为等边三角形，还大鱼号高考 ８９４用到了双曲线渐近线的一个固定结论：双曲线的焦点到渐近线的距离为虚半轴长b .12.已知函数()f x 的定义域为R ，当(0,2]x ∈时，()(2)f x x x =-，且对任意的x R ∈，均有(2)2()f x f x +=，若不等式15()2f x ≤在(,]x a ∈-∞上恒成立，则实数a 的最大值为____________.答案：274解析教师：黑龙江哈尔滨高杨【解析】由已知可得(0,2]x ∈时的函数图象， 任意的x R ∈均有(2)2()f x f x +=，图象每向右平移2个单位长度，纵坐标变为原来的2倍，可得函数图象如下图所示，当(6,8]x ∈时函数值可取得152，当(6,8]x ∈时()8(6)(8)f x x x =---，令15()8(6)(8)2f x x x =---=，为方便计算，考虑与其图象形状相同的函数()8(1)(1)g x x x =--+，令15()8(1)(1)2g x x x =--+=，解得114x =-，214x =，15()8(6)(8)2f x x x ∴=---=的两根分别为364和174，274a ∴≤【点评】本题运用了一个类周期函数的模型：()()(0,0)f x a f x a λλ+=>>，其图象的特点为：确定好一个“周期”内的图象后，图象每向右平移a 个单位长度，纵坐标变为原来的λ倍.15.已知函数()|2|f x x =+，g()||x x t =+，定义函数()()()()()()()f x f xg x F x g x f x g x ≤⎧=⎨>⎩，若对任意x R ∈，都有()(2)F x x =-成立，则t 的取值为（）A.4- B.2- C.0D.2大鱼号高考 ８９４答案：A解析教师：黑龙江哈尔滨高杨【解析】由已知可得()f x ，g()x 的图象，其中()f x 的顶点为(2,0)-，g()x 的顶点为(t,0)-，由()()()()()()()f x f xg x F x g x f x g x ≤⎧=⎨>⎩，可知()min{()()}F x f x ,g x =，()F x 的图象应由()f x ，g()x 的图象相对位置在下方的部分图象构成，由任意x R ∈，都有()(2)F x F x =-成立，可得()F x 关于1x =对称，由图象可知当g()x 的顶点为(4,0)时满足关于1x =对称，即4t -=，故4t =-选择A 选项.【点评】本题需考查了绝对值函数的图象，以及函数对称性的结论：若对任意x R ∈，都有()()f a x f b x +=-，则()f x 关于2a bx +=对称.16.正四面体ABCD 的体积为1，O 为其中心，正四面体EFGH 与正四面体ABCD 关于点O 对称，则这两个正四面体的公共部分的体积为（）答案：B解析教师：黑龙江哈尔滨高杨【解析】因为正四面体EFGH 与正四面体ABCD 关于点O 对称，所以平面BCD //平面FGH ，连接AE ，则AE 经过中心O ，设AE 交平面FGH 于点P ，交平面BCD 于点Q ，由O 为正四面体EFGH与正四面大鱼号高考 ８９４体ABCD 的中心，可得3AO OQ =，3EO OP =，OP OQ =，所以AP PQ EQ ==，即平面BCD 与平面FGH 的距离为正四面体高的12，则正四面体ABCD 被平面FGH 所截的上方的小三棱锥的体积为正四面体ABCD 的18，由正四面体的对称性可得，公共部分体积等于一个正四面体ABCD 的体积减去4个小三棱锥的体积，故公共部分体积为111482-⨯=【点评】本题主要考查了学生直观想象能力和对正四面体相关结论的掌握，这里运用了正四面体中心的一个结论：正四面体的中心将高线分为3：1两部分，而且被分成的2段，恰好也是该正四面体的外接球和内切球的半径.大鱼号高考 ８９４第四部分杨浦区11.已知函数1()|1|(0)f x x x=->，若关于x 的方程2[()]()230f x mf x m +++=有三个不相等的实数解，则实数m 的取值范围为.答案：34(,]23--解析教师：浙江杭州罗彪【解析】考虑函数及方程复合后相对复杂，考虑用数形结合解决问题，如图，函数()f x 与直线y t =的交点个数情况有3种：①1t ≥或0t =时，只有1个交点；②01t <<时，2个不同交点；③0t <时，没有交点．方程2()230g t t mt m =+++=最多2个不同实根，故所有解只能是21+的形式，即2230t mt m +++=有两不等实根，且其中一个在1(0,1)t ∈中，另一个为20t =或[1,)+∞中．下面考虑：①当20t =时，代入计算可知：32m =-，另一根1312t =>，此时只有2个根，不满足题意；②当21t =时，代入计算：43m =-，另一根11013t <=<，此时有3个根，满足题意；③当21t >时，由根的分布可知：(0)230(1)340g m g m =+>⎧⎨=+<⎩，解得：3423m -<<-，此时有3个根，满足题意；综上所述，3423m -<≤-，故答案为34(,]23--.【点评】此题考查了函数与方程的图象与解的关系，复合函数形式复杂，考虑数形结合，最后化为二次函数根的分布问题，属常规题型.12.向量集合{}|(,),,S a a x y x y R ==∈ ，对于任意的S αβ∈ 、 ，以及任意的(0,1)λ∈，都有(1)S λαλβ+-∈ ，则称S 为“C 类集”．现有四个命题：①若S 为“C 类集”，则集合{}|,M a a S R μμ=∈∈也是“C 类集”；②若S 、T 都是“C 类集”，则集合{}|,M a b a S b T =+∈∈也是“C类集”；大鱼号高考 ８９４③若1A 、2A 都是“C 类集”，则12A A 也是“C 类集”；④若1A 、2A 都是“C 类集”，且交集非空，则12A A 也是“C 类集”．其中正确的命题有.答案：①②④解析教师：浙江杭州罗彪【解析】新定义问题，定义与等和线的性质类似（定比分点），可以将,OA OB αβ==，即起点均为原点O ，终点A 、B ，则(1)λαλβ+-可视为终点在线段AB 上，故可以将“C 类集”视为终点为单元素集、单线段集，或相对封闭的图形集．（1）对①，集合{}|,M a a S R μμ=∈∈为直线或直线之间的图形集，可以视为无穷的线段集，故①正确；（2）对②，以两线段集相加，相当于线段中点构成的集合，实际上是图形集，故②正确；（3）对③，相当于两线段集，但是线段之间的部分不包括，故不满足条件，③错误；（4）对④，相当于两线段交点即单元素集满足条件，或者线段和图形交集为线段集满足条件，或者图形交集仍为图形集满足条件，故④正确．故答案为①②④.【点评】此题系集合新定义问题，实则是考察向量的等和线性质并利用图形思考，开放性较强.15.设1z 、2z 为复数，则下列命题中一定成立的是（）A.如果120z z ->，那么12z z >B.如果12||||z z =，那么12z z =±C.如果12||1z z >，那么12||||z z > D.如果22120z z +=，那么120z z ==答案：C解析教师：浙江杭州罗彪【解析】复数的运算与实数运算是有差异的：①选项A ，复数只有在为实数时能比较大小，但显然取1z 、2z 不是实数，则无法比较大小，如取11z i =+，2z i =，无法比较大小，故A 错误；②12||||z z =代表复平面上对应点到原点距离相等，这样的点轨迹为圆，不只是12z z =±，故B 错误；③模长与乘除法的运算可以调换顺序，即111222||||1||||||z z z z z z =>⇒>，故C 正确；④选项D ，对于复数的平方运算不能保证非负，此处考虑反例即可，1z i =，21z =，也满足条件，故D 错误．综上所述，答案为C .【点评】此题考查了复数的运算，难度不大，注意与实数运算的异同.大鱼号高考 ８９４16.对全集为R 的子集A ，定义函数1()()0()A Rx A f x x A ∈⎧=⎨∈⎩ð 为A 的特征函数，设A 、B 为全集R 的子集，下列结论中错误的是（）A.若A B ⊆，则()()A B f x f x ≤B.()1()R A A f x f x =-ðC.()()()A B A B f x f x f x =⋅ D.()()()A B A B f x f x f x =+ 答案：D解析教师：浙江杭州罗彪【解析】集合相关新定义问题，特征函数实际上是判断元素x 是否在集合A 中，若x A ∈，则为1，否则为0．下面分选项考察：①选项A ，A B ⊆则x A x B ∈⇒∈，故当x A ∈时，()()1A B f x f x ==；当x A ∉时，()0()A B f x f x =≤；综上，A 正确；②选项B ，对x R ∀∈，只能x A ∈或者R x A ∈ð，故()A f x 、()R A f x ð必是一个1，一个0，故()()1R A A f x f x +=ð，B 正确；③选项C ，对于A B ，当且仅当x A B ∈ 时，()A f x 、()B f x 同时为1，其余时候二者必有0，故当x A B ∈ 时，()1()()A B A B f x f x f x ==⋅ ；当x A B ∈ 时，()0()()A B A B f x f x f x ==⋅ ；故C 正确；④选项D ，显然错误，如当x A B ∈ 时，一定有x A ∈、x B ∈、x A B ∈ ，故()12()()A B A B f x f x f x =≠=+ ，故D 错误．综上所述，答案为D .【点评】集合新定义问题，先确定新定义的含义，然后考虑各项内容即可，可以结合Venn 图考虑，当然举反例也是可以的，难度不大.大鱼号高考 ８９４第五部分徐汇区11.已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，对任意的*n N ∈，1(1)32nn n nS a n =-++-且12()()0a p a p --<，则实数p 的取值范围是.答案：311(,)44-解析教师：浙江杭州罗彪【解析】题目中出现常见的通项n a 与前n 项和n S 的关系，可作差求通项：11111(1)321(1)22nn n n n n n n S a n S a n ++++⎧=-++-⎪⎪⎨⎪=-++-⎪⎩，111111(1)(1)12n n n n n n n n a S S a a +++++=-=---+-，考虑分奇偶：①当n 为奇数时，1112n n a +=-；②当n 为偶数时，111211111212(1)32222n n n n n n a a ++++=--=--⨯-=-．代入1,2n =可知：1231144a a =-=，，解不等式可得：31144p -<<，故答案为311(,)44-.【点评】此题考查了数列通项与前n 项和的关系，涉及到(1)n -问题，通常可以采取分奇偶性讨论的策略，求出通项本题迎刃而解；本题第一反应其实是求前两项，但实际上并不能通过直接代入求解，此时应注意回归基础方法.12.已知函数2411()6101x x f x x x x -+>-⎧=⎨++≤-⎩ 关于x 的不等式()220f x mx m ---<的解集为123(,)(,)x x x +∞ ，若1230x x x >，则123x x x ++的取值范围是.答案：)+∞解析教师：浙江杭州罗彪【解析】考虑函数1()y f x =图象与直线222(2)2y mx m x m =++=++的图象，结合解集123(,)(,)x x x +∞ 的形式可知：123x x x <≤，其中12,x x 是12,y y 在二次函数部分（1x ≤-）的交点横坐标，3x 为直线部分的交点横坐标，又1230x x x >，故1230x x x <<<；考虑2(2)2y x m =++过定点(2,2)A -恰好在1()y f x =上，故22x =-．从图象观察函数的交点，要使得30x >，直线222y mx m =++需在图中两条红色虚线之间，即：142m -<<-，此时也一定与二次函数部分有两交点，满足题意．下面考虑具体的值，二次函数部分交点满足：22610(22)(6)2(4)(2)(4)0x x mx m x m x m x x m ++-++=+-+-=+-+=，其中一根是22x =-，故大鱼号高考 ８９４14x m =-；直线部分交点有22(41)(4)210mx m x m x m ++--+=+++=，故3217244m x m m +=-=-+++；则123774(2)(2)4121244x x x m m m m ++=-+-+-+=++-≥++，其中7042m <+<，当4m =-时取得最小值，故答案为)+∞.【点评】此题考查了函数与不等式的图象与解集的关系，属不等式问题的原理应用，实际上通过作图将问题化简为直线和分段函数图象交点的关系，确定参数范围，建立等量关系即可，最后是基本不等式（对勾函数）的问题，综合性较强，但题型还是比较常规.15.若圆221:1C x y +=和圆222:680C x y x y k +---=没有公共点，则实数k 的取值范围是（）A.(9,11)-B.(25,9)--C.(,9)(11,)-∞-+∞D.(25,9)(11,)--+∞ 答案：D解析教师：浙江杭州罗彪【解析】正难则反，考虑两圆有公共点，即；两圆相交、相切的情况，满足：121212||||r r C C r r -≤≤+．实际上，1(0,0)C ，11r =，2(3,4)C，2r =，故首先有25025k k +>⇒>-；12||5C C =，故：151911k -≤+⇒-≤≤．那么两圆没有交点即：9k <-或11k >，当然还需要满足为圆，即25k >-，故259k -<<-或11k >，故答案为D.【点评】此题考查了圆与圆的交点问题，实际上就是圆与圆的位置关系问题，考虑距离关系即可，易错点在没有考虑圆成立的条件，注意这个细节.大鱼号高考 ８９４16.设H 为ABC ∆的垂心，且3450HA HB HC ++=，则cos BHC ∠的值为（）A.B.5C.6D.答案：D解析教师：浙江杭州罗彪【解析】由题中条件特征，采取“奔驰”定理，对垂心有：tan tan tan 0HA A HB B HC C ⋅+⋅+⋅=，可知：tan tan tan 3:4:5A B C =：：，不妨设tan 3A k =，tan 4B k =，tan 5C k =，显然有0k >；考虑三角恒等式tan tan tan tan tan tan A B C A B C ++=⋅⋅，即：334560k k k k ++=，解得：5k =．所求cos BHC ∠，由初中平面几何知识知BHC A π∠=-，cos cos BHC A ∠=-，其中tan 3A k ==cos 14A ==，因此cos cos 14BHC A ∠=-=-，故答案为D .【点评】此题系典型的“奔驰”定理问题，主要需要对课外内容适当的了解，另外，如果对解三角形中常见的恒等式了解更深有助于解题（江苏常考的恒等式），综合性较强.大鱼号高考 ８９４第六部分普陀区11．设P是长为123456A A A A A A 的边上任意一点，长度为4的线段MN 是该正六边形外接圆的一条动弦，PM PN ⋅的取值范围为______答案：[6-+解析教师：湖南长沙李昌达【解析】记MN 的中点为Q ，易知外接圆半径为，2OQ =，由极化恒等式知2224PM PN PQ QMPQ ⋅=-=- ，当点P 在正六边形顶点，且O 、P 、Q 三点共线（O 在中间）时，max 2PQ OP OQ =+=，当点P 在正六边形边的中点，且O 、P 、Q 三点共线（Q在中间）时,min 2PQ OP OQ =-=，因此[6PM PN ⋅∈-+【点评】本题关键在于利用极化恒等式将数量积问题转化为PQ 长度问题，即使题中具有双变量，依然不难发现PQ 的最值情况，属于中档题.12．若M 、N 两点分别在函数()y f x =与()y g x =的图象上，且关于直线1x =对称，称M 、N 是()y f x =与()y g x =的一对“伴点”（M 、N 与N 、M 视为相同的一对），已知2()2x f x x ⎧<⎪=≥，()1g x x a =++，若()y f x =与()y g x =存在两对“伴点”，则实数a 的取值范围.答案：(3-+解析教师：湖南长沙李昌达【解析】()y f x =关于直线1x =对称的函数为(2)y f x =-，问题转化为(2)y f x =-与()y g x =的图象有两个交点，分别作出(2)y f x =-与()y g x =的图象，由图象知其中一个临界状态（图中1()g x）为直线大鱼号高考 ８９４1y x a =++与半圆y =21)1a a =⇒=±⇒=+舍去负号另一临界状态（图中2()g x ）为直线1y x a =--+与半圆y =2=⇒3)3a a =±⇒=-舍去正号【点评】本题属于新定义题型，关键在于将文字语言翻译成数学语言，再将数学语言翻译成图形语言.其中考察了函数的对称性：f (x )与f (2-x )关于直线x =1对称；圆的方程的变式表达：用函数的形式表示半圆；以及直线与圆的位置关系.需要学生有较强的函数作图能力，和分析参数取值时的动态思维能力，具有较强的综合性，是一道中等偏难题.15．已知两个不同的平面α、β和三条不重合的直线a 、b 、c ，下列命题中正确的是（）A .若a ∥α，b αβ= ，则a ∥bB .若a 、b 在平面α内，且c ⊥a ，c ⊥b ，则c ⊥αC .若a 、b 、c 是两互相异面的直线，则只存在有限条直线与a 、b 、c 都相交D .若α、β分别经过两异面直线a 、b ，且c αβ= ，则c 必与a 或b 相交答案：D解析教师：湖南长沙李昌达【解析】A 选项显然错误；B 选项缺少a 、b 相交的条件，错误；C 选项中取a 、b 、c 为长方体的三条异面的边所在直线，过a 做一平面与b 、c 分别相交于B 、C 两点，直线BC 与a 相交于点A ，则直线BC 与a 、b 、c 都相交，而过a 可以做无数个这样的平面，也就存在无数条直线与a 、b 、c 都相交，C 选项错误；D 选项可用反证法，若c 与a 和b 都不相交，因为a 、c 共在面α内，则a c ，同理b c ，因此a b ，与a 、b 异面矛盾，所以原命题成立，D选项正确大鱼号高考 ８９４【点评】本题考察立体几何中点线面的位置关系，其中B 选项考察线面垂直的判定定理，不可缺少面中两直线相交的条件，C 选项中三条异面直线可以放在长方体模型中来考虑，为了找到与三条直线都相交的直线，考虑过其中一条直线a 做一个平面，则只需在这个平面内找到与b 、c 都相交的直线，这条直线自然也会和a 相交（当然要排除与a 平行的情况），在寻找这样的直线过程中，也就发现了这样的直线有无数条，D 选项可以通过排除法确定，也可用反证法严格证明.16、直线l ：212x y b a a b +=++经过第一象限内的点11(,P a b，则ab 的最大值为（）（A ）76（B）4-（C）5-（D）6-答案：B解析教师：湖南长沙李昌达【解析】将点代入直线并整理得22b aab b a a b =+++，令2b a m a b n +=⎧⎨+=⎩得2a n m b m n=-⎧⎨=-⎩因此2()224()4m n n m n mab m n m n--=+=-+≤-【点评】如果待求表达式为分式形式，且分母较为复杂时，可以考虑使用“分母双换元法”，整理后使用基本不等式即可.大鱼号高考 ９４第七部分嘉定区11.已知数列{}n a 满足：11a =，*112{,,,}()n n n a a a a a n N +-∈∈ ，记数列{}n a 的前n 项和为n S ，若对所有满足条件的{}n a ，10S 的最大值为M ，最小值为m ，则M m +=答案：1078解析教师：黑龙江绥棱宋志学【解析】记{}12,,,n n M a a a = ，则{}11a M ={}1=,{}212,a a M =，由21M a a n n ∈-+，所以有212a a a =-无解，或112a a a =-得22=a {}3213,,a a a M =得323a a a =-无解，223a a a =-得43=a 或123a a a =-得33=a 因此有{}3,2,13=M 或{}4,2,13=M 同理可得，{}4,3,2,14=M 或{}5,3,2,14=M {}6,3,2,14=M {}5,4,2,14=M {}6,4,2,14=M {}8,4,2,14=M ，观察可知，满足条件的{}n n a a a M ,,21=中，元素成等差数列时各元素和最小，元素成等比数列时，各元素之和最大.所以，{}10,3,2,110 =M 时，551032110=+++== S m {}932102,2,2,2,1 =M 时，1023222193210=++++== S M 所以，1078m M +=.【点评】本题属于数列找规律问题，较为灵活，难度中等.12.已知函数1()f x x a x =++，若对任意实数a ，关于x 的不等式()f x m ≥在⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈3,21x 上总有解，则实数m 的取值范围为答案：2(,3⎤-∞⎥⎦解析教师：黑龙江绥棱宋志学【解析】解法一存在型问题，用函数最值列不等式求解要使()f x m ≥在1,32x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦上有解，则max ()M f x ≤，因为1,32x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，所以，1102,3x x ⎡⎤+∈⎢⎣⎦。
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普陀区2019学年第一学期高三数学质量调研
一、填空题
1.
若抛物线
2
ymx
的焦点坐标为1(,0)2，则实数m的值为________.
2.
132lim31nnnn
________.
3.
不等式
1
1x
的解集是
4.设i是虚数单位，若11zaii是实数，则实数a
5.设函数()log(4)afxx（0a且1a），若其反函数的零点为2，则a_______
.
6.
6
3
1
(1)(1)xx
展开式中含2x项的系数为__________（结果用数值表示）.
7.
各项都不为零的等差数列
na（*Nn）满足22810230aaa，数列n
b
是等比数列，且88ab，
则4911bbb________.
8.
设椭圆：
2
2
2
11xyaa
，直线l过的左顶点A交y轴于点P，交于点Q，若AOP是等腰三
角形（O为坐标原点），且2PQQAuuuruur，则的长轴长等于_________.
9.
记,,,,,abcdef为1,2,3,4,5,6任意一个排列，则abcdef为偶数的排列的个数共有
________.
10.
已知函数
22
+815fxxxaxbxc
,,abcR
是偶函数，若方程21axbxc在区间
1,2
上有解，则实数a的取值范围是___________.
11.
设P是边长为
22
的正六边形123456AAAAAA的边上的任意一点，长度为4的线段MN是该正六边形外
接圆的一条动弦，则PMPNuuuuruuur的取值范围为___________.
12.
若M、N两点分别在函数yfx与ygx的图像上，且关于直线1x对称，则称M、N是
yfx
与ygx的一对“伴点”（M、N与N、M视为相同的一对）.已知
2
22442xxfxxx
，1gxxa，若yfx与ygx存在两对“伴点”，则实数
a
的取值范围为________.
的
二、选择题
13.
“1,2m”是“ln1m”成立的 （ ）
A. 充分非必要条件 B. 必要非充分条件
C. 充要条件 D. 既非充分也非必要条件
14.
设集合
1Axxa
，1,3,Bb，若A⊆B，则对应的实数对(,)ab有（ ）
A. 1对 B. 2对 C. 3对 D. 4对
15.
已知两个不同平面
，和三条不重合直线a，b，c，则下列命题中正确的是（ ）
A. 若//a，bI，则//ab
B. 若a，b在平面内，且ca，cb，则c
C. 若a，b，c是两两互相异面的直线，则只存在有限条直线与a，b，c都相交
D. 若，分别经过两异面直线a，b，且c，则c必与a或b相交
16.
若直线l：
212xybaab经过第一象限内的点11
(,)P
ab
，则ab的最大值为（ ）
A. 76 B. 422 C. 523 D.
632
三、解答题
17.
如图所示的三棱锥PABC的三条棱PA，AB，AC两两互相垂直，22ABACPA,点D在棱
AC
上，且=ADACuuuruuur(0).
（1）当1=2时，求异面直线PD与BC所成角的大小；
（2）当三棱锥DPBC的体积为29时，求的值.
18.
设函数
22
1xxfxa
.
的
（1）当4a时，解不等式5fx；
（2）若函数fx在区间2+，上是增函数，求实数a的取值范围.
19.
某居民小区为缓解业主停车难的问题，拟对小区内一块扇形空地AOB进行改建.如图所示，平行四边形
OMPN区域为停车场，其余部分建成绿地，点P在围墙AB弧上，点M和点N分别在道路OA和道路OB
上，且=60OA米，=60AOB，设POB．
（1）求停车场面积S关于的函数关系式，并指出的取值范围；
（2）当为何值时，停车场面积S最大，并求出最大值（精确到0.1平方米）.
20.
已知双曲线：
22
22
1(0,0)xyabab
的焦距为4，直线:40lxmy（mR）与交于两个
不同的点D、E，且0m时直线l与的两条渐近线所围成的三角形恰为等边三角形.
（1）求双曲线的方程；
（2）若坐标原点O在以线段DE为直径的圆的内部，求实数m的取值范围；
（3）设A、B分别是左、右两顶点，线段BD的垂直平分线交直线BD于点P，交直线AD于点Q，
求证：线段PQ在x轴上的射影长为定值.
21.
数列
na与nb满足1aa，1nnnbaa，nS是数列n
a
前n项和（*Nn）.
（1）设数列nb是首项和公比都为13的等比数列，且数列na也是等比数列，求a的值；
（2）设121nnnbb，若3a且4naa对*Nn恒成立，求2a的取值范围；
（3）设4a，2nb，22nnnSC（*Nn，2），若存在整数k，l，且1kl，使得
kl
CC
成立，求所有可能值.
的