北京市2001-2012年中考数学试题分类解析专题4：图形的变换

一、选择题1. （2003年北京市4分）如果圆柱的底面半径为4cm ，底面为5cm ，那么它的侧面积等于【 】A. 220cm πB. 240cm πC. 20cm 2D. 40cm 22. （2004年北京市4分）如果圆锥的底面半径为3cm ，母线长为4cm ，那么它的侧面积等于【 】（A ）24πcm 2 （B ）12πcm 2 （C ）12cm 2 （D ）6πcm 23. （2006年北京市课标4分）将如图所示的圆心角为90的扇形纸片AOB 围成圆锥形纸帽，使扇形的两条半径OA 与OB 重合（接缝粘贴部分忽略不计），则围成的圆锥形纸帽是【 】4. （2007年北京市4分）下图所示是一个三棱柱纸盒，在下面四个图中，只有一个是这个纸盒的展开图，那么这个展开图是【】5. （2008年北京市4分）已知O为圆锥的顶点，M为圆锥底面上一点，点P在OM上．一只蜗牛从P点出发，绕圆锥侧面爬行，回到P点时所爬过的最短路线的痕迹如左图所示．若沿OM将圆锥侧面剪开并展开，所得侧面展开图是【】6. （2009年北京市4分）若下图是某几何体的三视图，则这个几何体是【】7. （2010年北京市4分）美术课上，老师要求同学们将下图所示的白纸只沿虚线裁开，用裁开的纸片和白纸上的阴影部分围成一个立体模型，然后放在桌面上，下列四个示意图中，只有一个．．．．符合上述要求，那么这个示意图是【】8. （2012年北京市4分）下图是某个几何体的三视图，该几何体是【】二、填空题1. （2001年北京市4分）如果圆柱的母线长为3cm，底面半径为2cm，那么这个圆柱的侧面积是▲ cm2．2. （2002年北京市4分）如果圆锥母线长为6cm，底面直径为6cm，那么这个圆锥的侧面积是▲ cm2．3. （2002年北京市4分）一种圆筒状包装的保鲜膜，如图所示，其规格为20cm×60m，经测量这筒保鲜膜的内径Φ1、外径Φ的长分别为3.2cm，4.0cm，则该种保鲜膜的厚度约为▲ cm（π取3.14，结果保留两位有效数字）．4. （2006年北京市大纲4分）如图，圆锥的底面半径为2cm，母线长为4cm，那么它的侧面积等于▲ cm2。

5. （2007年北京市4分）下图是对称中心为点O的正六边形。

如果用一个含30°角的直角三角板的角，借助点O（使角的顶点落在点O处），把这个正六边形的面积n等分，那么n的所有可能的值是▲ 。

6. （2009年北京市4分）如图，正方形纸片ABCD的边长为1，M、N分别是AD、BC边上的点，将纸片的一角沿过点B的直线折叠，使A落在MN上，落点记为A′，折痕交AD于点E，若M、N 分别是AD、BC边的中点，则A′N=▲ ; 若M、N分别是AD、BC边的上距DC最近的n等分点（n2,且n为整数），则A′N=▲ （用含有n的式子表示）7. （2011年北京市4分）若下图是某几何体的表面展开图，则这个几何体是▲ ．8. （2012年北京市4分）在平面直角坐标系xOy中，我们把横、纵坐标都是整数的点叫做整点．已知点A（0，4），点B是x轴正半轴上的整点，记△AOB内部（不包括边界）的整点个数为m．当m=3时，点B的横坐标的所有可能值是▲ ；当点B的横坐标为4n（n为正整数）时，m= （用含n的代数式表示．）三、解答题1. （2004年北京市8分）已知：如图1，∠ACG＝900，AC＝2，点B为CG边上的一个动点，连结AB，将△ACB沿AB边所在的直线翻折得到△ADB，过点D作DF⊥CG于点F．⑴ 当BC时，判断直线FD与以AB为直径的⊙O的位置关系，并加以证明；3⑵ 如图2，点B在CG上向点C运动，直线FD与以AB为直径的⊙O交于D、H两点，连结AH，当∠CAB＝∠BAD＝∠DAH时，求BC的长．∴OD⊥FD。

∴ FD为⊙O的切线。

（2）如图，延长AD交CG于点E，∴四边形ADBC是圆内接四边形。

∴∠FBD=∠l+∠2。

同理∠FDB=∠2+∠3∵∠1=∠2=∠3 ，∴∠FBD=∠FDB。

又∵∠DFB=900，∴∠FBD=∠CAD=450。

∵∠ACE=900，∴EC=AC=2。

设BC=x，可知BD=BC=x。

又∵∠EDB=900x。

x+x=2。

解得－2。

2. （2006年北京市大纲8分）已知：AB是半圆O 的直径，点C在BA的延长线上运动(点C与点A不重合)，以OC为直径的半圆M与半圆O交于点D，∠DCB的平分线与半圆M交于点E。

（1）求证：CD是半圆O的切线(图①)；（2）作EF⊥AB于点F(图②)，猜想EF与已有的哪条线段的一半相等，并加以证明；（3）在上述条件下，过点E作CB的平行线CD于点N，当NA与半圆O相切时(图③)，求∠EOC的正切值。

设OF=x，EF=y，则OA=2y，∵NE∥CB，EF⊥CB，NA切半圆O于点A，∴四边形AFEN是矩形。

∴NE=AF=OA－OF=2y－x。

同（2）证法，得E是OK的中点，∴N是CK的中点。

∴CO=2NE=2（2y－x）。

∴CF=CO－OF=4y－3x。

∵EF⊥AB，CE⊥EO，∴Rt△CEF∽Rt△EOF。

∴EF2=CF•OF，即y2=x（4y－3x）。

解得y3x=或y1x=。

当y3x=时，tan∠EOC=EF y3O F x==。

当y1x=时，点C与点A重合，不符合题意，故舍去。

∴tan∠EOC=3。

【考点】圆周角定理，切线的判定和性质，全等、相似三角形的判定和性质，三角形中位线定理，矩形的3. （2008年北京市4分）已知等边三角形纸片ABC的边长为8，D为AB边上的点，过点D 作DG∥BC交AC于点G．DE⊥BC于点E，过点G作GF⊥BC于点F，把三角形纸片ABC分别沿DG，DE，GF按图1所示方式折叠，点A，B，C分别落在点A′，B′，C′处．若点A′，B′，C′在矩形DEFG内或其边上，且互不重合，此时我们称△A′B′C′（即图中阴影部分）为“重叠三角形”．（1）若把三角形纸片ABC放在等边三角形网格中（图中每个小三角形都是边长为1的等边三角形），点A，B，C，D恰好落在网格图中的格点上．如图2所示，请直接写出此时重叠三角形A′B′C′的面积；（2）实验探究：设AD的长为m，若重叠三角形A′B′C′存在．试用含m的代数式表示重叠三角形A′B′C′的面积，并写出m的取值范围．m的取值范围为8m43≤<。

4. （2008年北京市8分）请阅读下列材料：问题：如图1，在菱形ABCD和菱形BEFG中，点A，B，E在同一条直线上，P是线段DF的中点，连接PG，PC．若∠ABC=∠BEF=60°，探究PG与PC的位置关系及PGPC的值．小聪同学的思路是：延长GP交DC于点H，构造全等三角形，经过推理使问题得到解决．请你参考小聪同学的思路，探究并解决下列问题：（1）写出上面问题中线段PG与PC的位置关系及PGPC的值；（2）将图1中的菱形BEFG绕点B顺时针旋转，使菱形BEFG的对角线BF恰好与菱形ABCD 的边AB在同一条直线上，原问题中的其他条件不变（如图2）．你在（1）中得到的两个结论是否发生变化？写出你的猜想并加以证明；（3）若图1中∠ABC=∠BEF=2α（0°＜α＜90°），将菱形BEFG绕点B顺时针旋转任意角度，原问题中的其他条件不变，请你直接写出PGPC的值（用含α的式子表示）．线上，∵CD∥GF，∠PDH=∠PFG，∠DHP=∠PGF，DP=PF，∴△DPH≌△FGP（AAS）。

∴PH=PG，DH=GF。

5. （2009年北京市8分）在平行四边形ABCD中，过点C作CE⊥CD交AD于点E，将线段EC绕点E逆时针旋转090得到线段EF(如图1)（1）在图1中画图探究：①当P为射线CD上任意一点（P1不与C重合）时，连结EP1绕点E逆时针旋转090得到线段EC1.判断直线FC1与直线CD的位置关系，并加以证明；②当P2为线段DC的延长线上任意一点时，连结EP2,将线段EP2绕点E 逆时针旋转090得到线段EC2.判断直线C1C2与直线CD的位置关系，画出图形并直接写出你的结论.（2）若AD=6，tanB=43，AE=1，在①的条件下，设CP1=x，S11P FC=y，求y与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围.∴△G 1EF≌△P 1EC 。

∴∠G 1FE=∠P 1CE ，∵EC⊥CD，∴∠P 1CE=900。

∴∠G 1FE=900。

∴∠EFH=900。

∴∠FHC=900。

∴FG 1⊥CD。

②按题目要求所画图形见图1，直线G 1G 2与直线CD 的位置关系为互相垂直。

（2）∵四边形ABCD 是平行四边形，∴∠B=∠ADC。

∵AD=6，AE=1，tanB=43，∴DE=5，tan∠EDC=tanB=43。

可得CE=4。

由（1）可得四边形EFCH 为正方形，∴CH=CE=4。

①如图2，当P 1点在线段CH 的延长线上时， ∵FG 1=CP1=x ，P 1H=x －4，∴()P1FG 111x x 41S FG P H 22∆-=⋅⋅=。

∴21y x 2x x 42>=-（）。

②如图3，当P 1点在线段CH 上（不与C 、H 两点重合）时， ∵FG 1=CP 1=x ，P 1H=4－x ， ∴()P1FG 111x 4x 1S FG P H 22∆-=⋅⋅=。

∴21y x 2x 0x 42<<=-+（）。

6. （2010年北京市5分）阅读下列材料：小贝遇到一个有趣的问题：在矩形ABCD 中，AD=8cm ，BA=6cm.现有一动点P 按下列方式在矩形内运动：它从A 点出发，沿着与AB 边夹角为45°的方向作直线运动，每次碰到矩形的一边，就会改变运动方向，沿着与这条边夹角为45°的方向作直线运动，并且它一直按照这种方式不停地运动，即当P 点碰到BC 边，沿着与BC 边夹角为45°的方向作直线运动，当P 点碰到CD 边，再沿着与CD 边夹角为45°的方向作直线运动，…，如图1所示，问P 点第一次与D 点重合前．．．与边相碰几次，P 点第一次与D 点重合时．．．所经过的路径总长是多少. 小贝的思考是这样开始的：如图2，将矩形ABCD 沿直线CD 折叠，得到矩形11A B CD .由轴对称的知识，发现232P P P E =，11P A P E =. 请你参考小贝的思路解决下列问题：（1）P 点第一次与D 点重合前．．．与边相碰_______次；P 点从A 点出发到第一次与D 点重合时．．．所经过的路径的总长是_______cm ；（2）进一步探究：改变矩形ABCD 中AD 、AB 的长，且满足AD>AB ，动点P 从A 点出发，按照阅读材料中动点的运动方式，并满足前后连续两次与边相碰的位置在矩形ABCD 相邻的两边上，若P 点第一次与B 点重合前．．．与边相碰7次，则AB ：AD 的值为______.7. （2010年北京市7分）问题：已知△ABC中，∠BAC=2∠ACB，点D是△ABC内一点，且AD=CD，BD=BA.探究∠DBC与∠ABC度数的比值.请你完成下列探究过程：先将图形特殊化，得出猜想，再对一般情况进行分析并加以证明.（1）当∠BAC=900时，依问题中的条件补全下图.观察图形，AB与AC的数量关系为________________；当推出∠DAC=150时，可进一步推出∠DBC的度数为_________；可得到∠DBC与∠ABC度数的比值为_______________.（2）当∠BAC≠900时，请你画出图形，研究∠DBC与∠ABC度数的比值是否与（1）中的结论相同，写出你的猜想并加以证明.8. （2011年北京市5分）阅读下面材料：小伟遇到这样一个问题，如图1，在梯形ABCD 中，AD∥BC，对角线AC，BD相交于点O．若梯形ABCD的面积为1，试求以AC，BD，AD+BC 的长度为三边长的三角形的面积．小伟是这样思考的：要想解决这个问题，首先应想办法移动这些分散的线段，构造一个三角形，再计算其面积即可．他先后尝试了翻折，旋转，平移的方法，发现通过平移可以解决这个问题．他的方法是过点D作AC的平行线交BC的延长线于点E，得到的△BDE即是以AC，BD，AD+BC的长度为三边长的三角形（如图2）．参考小伟同学的思考问题的方法，解决下列问题：如图3，△ABC的三条中线分别为AD，BE，CF．（1）在图3中利用图形变换画出并指明以AD，BE，CF的长度为三边长的一个三角形（保留画图痕迹）；（2）若△ABC的面积为1，则以AD，BE，CF的长度为三边长的三角形的面积等于34．【答案】解：△BDE的面积等于1。