2.2.1 对数的运算性质(2)
高中数学第二章基本初等函数(ⅰ)2.2对数函数2.2.1对数与对数运算第2课时对数的运算
第2课时(kèshí) 对数的运算
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学习目标：1.理解对数的运算性质．(重点)2.能用换底公式将一般对数转化成自 然对数或常用对数．(难点)3.会运用运算性质进行一些简单的化简与证明．(易 混点)
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2 lg 9·lg
34＝14.]
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【导学号：37102274】
3．设 10a＝2，lg 3＝b，则 log26＝( )
b A.a
a＋b B. a
C．ab
D．a＋b
B [∵10a＝2，∴lg 2＝a，
∴log26＝llgg
62＝lg
2＋lg lg 2
3＝a＋a b.]
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[规律方法] 1.在化简带有对数的表达式时，若对数的底不同，需利用换底公式. 2.常用的公式有：logab·logba＝1，loganbm＝mn logab，logab＝log1ba等.
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[跟踪训练]
2．求值：
(1)log23·log35·log516； (2)(log32＋log92)(log43＋log83)．
[解]
(1)原式＝llgg
3 lg 2·lg
53·llgg156＝llgg126＝4llgg22＝4.
(2)原式＝llgg
23＋llgg
2lg 9lg
34＋llgg
3 8
＝llgg
23＋2llgg232llgg32＋3llgg32＝32llgg
对数的运算性1
a
m n m
，
m+ n
(m, n ∈ R)
新疆 王新敞 奎屯
新疆 王新敞 奎屯
新疆 王新敞 奎屯
a m−n = a (a ≠ 0, m, n ∈ R) n a m n mn (a ) = a (m, n ∈ R) (ab) = a ⋅ b (n ∈ R)
世纪30年代 例3 20世纪 年代，克里特制定了一种表明 世纪 年代，克里特制定了一种表明 地震能量大小的尺度， 地震能量大小的尺度，就是使用测震仪衡量地 震能量的等级，地震能量越大， 震能量的等级，地震能量越大，测震仪记录的 地震曲线的振幅就越大， 地震曲线的振幅就越大，这就是我们常说的里 氏震级M，其计算公式为M=lgA-lgA0，其中， 氏震级 ，其计算公式为 ，其中， A是被测地震的最大振幅，A0是“标准地震” 是被测地震的最大振幅， 是 标准地震” 是被测地震的最大振幅 的振幅（ 的振幅（使用标准地震振幅是为了修正测震仪 距实际震中的距离造成的偏差）。 距实际震中的距离造成的偏差）。 级地震给人的震感已比较明显,试计算 （2）5级地震给人的震感已比较明显 试计算 ） 级地震给人的震感已比较明显 7.6级地震的最大振幅是 级地震的最大振幅的 级地震的最大振幅是5级地震的最大振幅的 级地震的最大振幅是 多少倍? (精确到 精确到1) 多少倍 精确到
1 （3） log 5 3 + log 5 3
1 = log 5 (3 × ) = log 5 1 = 0 3 5 = log 3 = log 3 3−1 = −1 （4） log 3 5 − log 3 15 15
例3．已知 的式子表示 （1） ） （2） ）
，用
（3） ）
2.2.1对数的概念与基本性质(对数方程解法)PPT
(5) log5 1
（6） 5
log5 7
N
例3、求下列各式中 x的值 （ 1 ） log2 (log4 x) 0 (2) log3 (lg x) 1
思考3： log5 log4 log2 x 0
小结：多重对数，运算由外及内进行
拓展思考：解方程 9 63 7 0
x x
作业：书本P64页，T1,T2,T3,T4 作业本，P41，T1，T2，T6，8
x
(2)3 81
x x
(3)2 3
对数的概念与基本性质
1、通过学习理解对数的概念 2、掌握对数的基本性质 3、会解简单的对数方程
新知探究
1、对数的概念 2、解读定义，归纳性质
3、指数式与对数式之间的转化
例1、将下列指数式与对数 式进行互化
(1)5 625
2
1 4
1 3
(2)10 100 (3)e 16
2
a
(4)64
1 4
(5) log3 9 2 (6) logx y z
4、解简单对数方程
例2、求下列各式中 x的值 结论： 2 （ 1 ） log64 x 第一步：变形等号左边仅留对数 3 第二步：将对数式化为指数式 (2) logx 8 6 (3) lg100 x (4) ln e x
4
( 2) 2
6
1 64
1 (3) 5.73 3
m
(4) log1 16 4
2
2
(5) lg 0.01 2
(6) ln 10 2.303
3 9能化成对数式吗？ 思考 1 ：
结论：指数式的底数可以是全体实数，对数式的底数 只能大于0且不等于1.
2.2.1对数与对数运算重难点题型(举一反三)(解析版)
2.2.1对数与对数运算重难点题型【举一反三系列】【知识点1 对数的概念与基本性质】2.常用对数和自然对数(1)常用对数：通常我们将以10为底的对数叫做常用对数，并把N 10log 记为N lg .(2)自然对数：在科学技术中常使用以无理数e ＝2.71828…为底数的对数，以e 为底的对数称为自然对数，并把N e log 记为N ln . 3.对数与指数的关系当0>a ,且1≠a 时，N x N a a xlog =⇔=.4.对数的基本性质(1)负数和零没有对数，即0>N ； (2)01log =a )1,0(≠>a a 且； (3))1,0(1log ≠>=a a a a 且． 【知识点2 对数的运算性质】 1.2.abb c c a log log log =(a ＞0，且a ≠1；c ＞0，且c ≠1；b ＞0)． 3.知识拓展(1)可用换底公式证明以下结论： ①a b b a log 1log =；②1log log log =⋅⋅a c b c b a ；③b b a na n log log =；④b nm b a m a n log log =；⑤b b a alog log 1-=.(2)对换底公式的理解：换底公式真神奇，换成新底可任意，原底加底变分母，真数加底变分子．【考点1 对数有意义条件】【例1】（2019秋•马山县期中）对数式log （a ﹣2）（5﹣a ）中实数a 的取值范围是（ ） A ．（﹣∞，5） B ．（2，5）C ．（2，3）∪（3，5）D ．（2，+∞）【分析】对数式有意义的条件是：真数为正数，底为正数且不为1，联立得到不等式组，解出即可． 【答案】解：要使对数式b ＝log （a ﹣2）（5﹣a ）有意义，则，解得a∈（2，3）∪（3，5），故选：C．【点睛】本题主要考查了对数式有意义的条件，即真数为正数，底为正数且不为1，属于基础题．【变式1-1】（2019秋•龙岩期末）若对数式log（t﹣2）3有意义，则实数t的取值范围是（）A．[2，+∞）B．（2，3）∪（3，+∞）C．（﹣∞，2）D．（2，+∞）【分析】根据对数式log（t﹣2）3的定义，底数大于0且不等于1，列出不等式组，求出解集即可．【答案】解：要使对数式log（t﹣2）3有意义，须；解得t＞2且t≠3，∴实数t的取值范围是（2，3）∪（3，+∞）．故选：B．【点睛】本题考查了对数定义的应用问题，是基础题目．【变式1-2】在M＝log（x﹣3）（x+1）中，要使式子有意义，x的取值范围为（）A．（﹣∞，3]B．（3，4）∪（4，+∞）C．（4，+∞）D．（3，4）【分析】由对数的定义可得，由此解得x的范围．【答案】解：由函数的解析式可得，解得3＜x＜4，或x＞4．故选：B．【点睛】本题主要考查对数的定义，属于基础题．【变式1-3】若对数ln（x2﹣5x+6）存在，则x的取值范围为．【分析】由已知利用对数的概念可得x2﹣5x+6＞0，解不等式即可得解．【答案】解：∵对数ln（x2﹣5x+6）存在，∴x2﹣5x+6＞0，∴解得：3＜x或x＜2，即x的取值范围为：（﹣∞，2）∪（3，+∞）．故答案为：（﹣∞，2）∪（3，+∞）．【点睛】本题考查对数函数的定义域的求法，是基础题．解题时要认真审题，仔细解答．【考点2 对数式与指数式的互化】【例2】（2019秋•巴彦淖尔校级期中）将下列指数形式化成对数形式，对数形式化成指数形式．①54＝625②（）m＝5.73③ln10＝2.303④lg0.01＝﹣2⑤log216＝4．【分析】利用对数的定义进行指对互化．【答案】解：①log5625＝4，② 5.73＝m，③e2.303＝10，④10﹣2＝0.01，⑤24＝16．【点睛】本题考查了指对互化，是基础题．【变式2-1】将下列指数式化为对数式，对数式化为指数式：（1）102＝100；（2）lna＝b；（3）73＝343；（4）log6＝﹣2．【分析】根据对数的定义进行转化．【答案】解：（1）lg100＝2，（2）e b＝a，（3）log7343＝3；（4）6﹣2＝．【点睛】本题考查了对数的定义，属于基础题．【变式2-2】将下列指数式与对数式互化：（1）log216＝4（2）27＝﹣3（3）43＝64（4）﹣2＝16．【分析】根据指数式a x＝N等价于对数式x＝log a N，可将指数式与对数式互化．【答案】解：（1）log216＝4可化为：24＝16；（2）27＝﹣3可化为：；（3）43＝64可化为：log464＝3；（4）﹣2＝16可化为：．【点睛】本题考查的知识点是指数式与对数式的互化，熟练掌握指数式a x＝N等价于对数式x＝log a N，是解答的关键．【变式2-3】将下列指数式化为对数式，对数式化为指数式．（1）3﹣2＝；（2）9＝﹣2；（3）1g0.001＝﹣3．【分析】直接利用指数式与对数式的互化，写出结果即可．【答案】解：（1）3﹣2＝；可得﹣2＝1og3．（2）9＝﹣2；（）﹣2＝9．（3）1g0.001＝﹣3.0.001＝10﹣3．【点睛】本题考查指数式与对数式的互化，考查计算能力．【考点3 解对数方程】【例3】求下列各式中x的值：（1）log4x＝﹣，求x；（2）已知log2（log3x）＝1，求x．【分析】（1）根据对数和指数之间的关系即可将log232＝5化成指数式；（2）根据对数和指数之间的关系即可将3﹣3＝化成对数式；（3）根据对数的运算法则即可求x；（4）根据对数的运算法则和性质即可求x．【答案】解：（1）∵log232＝5，∴25＝32（2）∵3﹣3＝，∴log3＝﹣3；（3）∵log4x＝﹣，∴x＝＝＝2﹣3＝；（4）∵log2（log3x）＝1，∴log3x＝2，即x＝32＝9．【点睛】本题主要考查指数式和对数式的化简，根据指数和对数的关系是解决本题的关键．【变式3-1】求下列各式中x的值：（1）log x27＝；（2）4x＝5×3x．【分析】（1）根据log x27＝，可得＝，进而得到x＝9，（2）根据4x＝5×3x，可得，化为对数式可得答案．【答案】解：（1）∵log x27＝，∴＝27＝33＝，故x＝9，（2）∵4x＝5×3x．∴，∴x＝【点睛】本题考查的知识点是指数式与对数式的互化，熟练掌握a x＝N⇔log a N＝x（a＞0，且a≠1，N ＞0）是解答的关键．【变式3-2】先将下列式子改写指数式，再求各式中x的值．①log2x＝﹣②log x3＝﹣．【分析】化对数式为指数式，然后利用有理指数幂的运算性质化简求值．【答案】解：①由log2x＝﹣，得＝＝；②由log x3＝﹣，得，即．【点睛】本题考查对数式化指数式，考查了有理指数幂的运算性质，是基础的计算题．【变式3-3】将下列对数式化为指数式求x值：（1）log x27＝；（2）log2x＝﹣；（3）log5（log2x）＝0；（4）；（5）x＝16．【分析】利用指数式与对数的互化：a b＝N⇔log a N＝B（a＞0，a≠1，）、对数的性质log a1＝0及log a a ＝1、指数的性质即可得出．【答案】解：（1）∵，∴，∴x＝＝32＝9；（2），∴＝＝；（3）∵log5（log2x）＝0，∴log2x＝1，∴x＝2；（4）∵，∴，化为33x＝3﹣2，∴3x＝﹣2，得到；（5）∵，∴，∴2﹣x＝24，解得x＝﹣4．【点睛】熟练掌握指数式与对数的互化：a b＝N⇔log a N＝B（a＞0，a≠1，）、对数的性质、指数的性质是解题的关键．【考点4 对数运算性质的化简求值】【例4】（2019春•东莞市期末）计算（1）2﹣（）+lg+（）lg1（2）lg52+lg8+lg5lg20+（lg2）2【分析】（1）进行分数指数幂和对数的运算即可；（2）进行对数的运算即可．【答案】解：（1）原式＝；（2）原式＝2lg5+2lg2+lg5（2lg2+lg5）+（lg2）2＝2+（lg2+lg5）2＝3．【点睛】考查分数指数幂和对数的运算，完全平方公式的运用．【变式4-1】（2019•西湖区校级模拟）计算：（1）；（2）．【分析】（1）进行对数的运算即可；（2）进行指数式和根式的运算即可．【答案】解：（1）原式＝；（2）原式＝．【点睛】考查对数的运算性质，以及指数式和根式的运算．【变式4-2】（2019春•大武口区校级月考）（1）（）0+（）+（）；（2）【分析】（1）进行分数指数幂的运算即可；（2）进行对数的运算即可．【答案】解：（1）原式＝；（2）原式＝．【点睛】考查分数指数幂和对数的运算，以及对数的定义．【变式4-3】（2019春•禅城区期中）（1）化简：（2a b）（﹣6a b）÷（﹣3a b）；（2）求值：2（lg）2+lg2•lg5+．【分析】（1）由指数幂的运算得：原式＝4a b＝4a，（2）由对数的运算得：原式＝2（lg2）2+lg2（1﹣lg2）+（1﹣lg2）＝1．得解【答案】解：（1）（2a b）（﹣6a b）÷（﹣3a b）＝4a b＝4a，（2）2（lg）2+lg2•lg5+＝2（lg2）2+lg2（1﹣lg2）+（1﹣lg2）＝1．【点睛】本题考查了对数的运算及指数幂的运算，属简单题．【考点5 利用换底公式化简求值】【例5】（2019秋•中江县校级期中）利用对数的换底公式化简下列各式：（1）log a c•log c a；（2）log23•log34•log45•log52；（3）（log43+log83）（log32+log92）．【分析】根据换底公式，把对数换为以10为底的对数，进行计算即可．【答案】解：（1）log a c•log c a＝•＝1；（2）log23•log34•log45•log52＝•••＝1；（3）（log43+log83）（log32+log92）＝（+）（+）＝（+）（+）＝•＝．【点睛】本题考查了对数的计算问题，也考查了换底公式的灵活应用问题，是基础题目．【变式5-1】利用对数的换底公式化简下列各式：（log43+log83）（log32+log92）【分析】利用对数性质、运算法则、换底公式直接求解．【答案】解：（log43+log83）（log32+log92）＝（log6427+log649）（log94+log92）＝log64243•log98＝＝＝．【点睛】本题考查对数值的求法，考查对数性质、运算法则、换底公式等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题．【变式5-2】利用对数的换底公式化简下列各式：（1）log43+log83（2）log45+log92．【分析】（1）利用对数的换底公式展开后通分计算；（2）直接利用对数的换底公式进行化简．【答案】解：（1）log43+log83＝＝；（2）log45+log92＝＝．【点睛】本题考查对数的换底公式，是基础的会考题型．【变式5-3】（2019秋•西秀区校级期中）利用换底公式求log225•log34•log59的值．【分析】利用对数的运算法则和对数的换底公式即可得出．【答案】解：原式＝＝2log25•2log32•2log53＝8log25•log32•log53＝＝8．【点睛】本题考查了对数的运算法则和对数的换底公式，属于基础题．【考点6 用已知对数表示其他对数】【例6】已知log189＝a，18b＝5，用a、b表示log645．【分析】根据换底公式，化简计算即可得到答案．【答案】解：log189＝a，18b＝5，∴b＝log185，∴log645＝＝＝＝【点睛】本题考查了对数的运算性质，以及换底公式，属于基础题【变式6-1】（1）已知log310＝a，log625＝b，试用a，b表示log445．（2）已知log627＝a，试用a表示log1816．【分析】（1）先用换底公式用a表示lg3，再用换底公式化简log625＝b，把lg3代入求出lg2，再化简log445，把lg3、lg2的表达式代入即可用a，b表示log445．（2）先用换底公式化简log1816，由条件求出lg3，再把它代入化简后的log1816 的式子．【答案】解：（1）∵log310＝a，∴a＝，∵log625＝b＝＝＝，∴lg2＝，∴log445＝＝＝＝＝．（2）∵log627＝a＝＝，∴lg3＝，∴log1816＝＝＝＝．【点睛】本题考查换底公式及对数运算性质，体现解方程的思想，属于基础题．【变式6-2】（1）已知log147＝a，log145＝b，用a、b表示log3528．（2）已知log189＝a，18b＝5，用a、b表示log3645．【分析】根据换底公式，化简计算即可得到答案．【答案】解：（1）log147＝a，log145＝b，∴log3528＝＝＝＝，（2）∵log189＝a，18b＝5，∴log185＝b，∴log3645＝＝＝＝，【点睛】本题考查了对数的运算性质，以及换底公式，属于基础题．【变式6-3】．已知lg2＝a，lg3＝b，用a，b表示下列各式的值．（1）lg12；（2）log224；（3）log34；（4）lg．【分析】利用对数的换底公式与对数的运算法则即可得出．【答案】解：∵lg2＝a，lg3＝b，∴（1）lg12＝2lg2+lg3＝2a+b；（2）log224＝+log23＝3+；（3）log34＝＝；（4）＝lg3﹣3lg2＝b﹣3a．【点睛】本题考查了对数的换底公式与对数的运算法则，属于基础题．【考点7 与对数有关的条件求值问题】【例7】（2018秋•龙凤区校级月考）（1）已知lgx+lg（4y）＝2lg（x﹣3y），求x﹣y的值；（2）已知lg2＝a，lg3＝b，试用a，b表示log830．【分析】（1）由lgx+lg（4y）＝2lg（x﹣3y），推导出＝9，再由x﹣y＝＝，能求出结果．（2）log830＝＝，由此能求出结果．【答案】解：（1）∵lgx+lg（4y）＝2lg（x﹣3y），∴，解得＝9，∴x﹣y＝＝＝4．（2）∵lg2＝a，lg3＝b，∴log830＝＝＝．【点睛】本题考查对数式化简求值，考查对数性质、运算法则等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．【变式7-1】（2019秋•江阴市期中）已知lgx+lgy＝2lg（x﹣y），求．【分析】由题意可得x＞0，y＞0，x﹣y＞0，xy＝（x﹣y）2，从而解得＝，从而解得．【答案】解：∵lgx+lgy＝2lg（x﹣y），∴x＞0，y＞0，x﹣y＞0，xy＝（x﹣y）2，∴x2﹣3xy+y2＝0，即（）2﹣3+1＝0，故＝，故＝（）＝（3+）﹣2．【点睛】本题考查了对数的化简与运算，同时考查了整体思想的应用，属于基础题．【变式7-2】已知lg（x+2y）+lg（x﹣y）＝lg2+lgx+lgy，求log8的值．【分析】由已知条件推导出，由此能求出log8的值．【答案】解：∵lg（x+2y）+lg（x﹣y）＝lg2+lgx+lgy，∴，整理，得，解得或＝﹣1（舍），∴log8＝log82＝＝．∴log8的值为．【点睛】本题考查对数值的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意对数的性质和运算法则的合理运用．【变式7-3】已知2lg＝lgx+lgy，求．【分析】根据对数的运算法则进行化简即可．【答案】解：由得x＞y＞0，即＞1，则由2lg＝lgx+lgy，得lg（）2＝lgxy，即（）2＝xy，即（x﹣y）2＝4xy，即x2﹣2xy+y2＝4xy，即x2﹣6xy+y2＝0，即（）2﹣6（）+1＝0，则＝＝3+2或＝3﹣2（舍），则＝（3+2）＝（3﹣2）﹣1＝﹣1【点睛】本题主要考查对数的基本运算，根据对数的运算法则是解决本题的关键．【考点8 对数的综合应用】【例8】设x、y、z均为正数，且3x＝4y＝6z（1）试求x，y，z之间的关系；（2）求使2x＝py成立，且与p最近的正整数（即求与P的差的绝对值最小的正整数）；（3）试比较3x、4y、6z的大小．【分析】（1）令3x＝4y＝6z＝k，利用指对数互化求出x、y、z，由对数的运算性质求出、、，由对数的运算性质化简与，即可得到关系值；（2）由换底公式求出P，由对数函数的性质判断P的取值范围，找出与它最接近的2个整数，利用对数的运算性质化简P与这2个整数的差，即可得到答案；（3）由（1）得3x、4y、6z，由于3个数都是正数，利用对数、指数的运算性质化简它们的倒数的差，从而得到这3个数大小关系．【答案】解：（1）令3x＝4y＝6z＝k，由x、y、z均为正数得k＞1，则x＝log3k，y＝log4k，z＝log6k，∴，，，∵＝，且，∴；（2）∵2x＝py，∴p＝＝＝＝＝2＝log316，∴2＜log316＜3，即2＜p＜3，∵p﹣2＝log316﹣2＝，3﹣p＝3﹣log316＝，∵﹣＝0，∴，即＞，∴与p的差最小的整数是3；（3）由（1）得，3x＝3log3k，4y＝4log4k、6z＝6log6k，又x、y、z∈R+，∴k＞1，＝﹣＝＝＞0，∴，则3x＜4y，同理可求＝＞0，则4y＜6z，综上可知，3x＜4y＜6z．【点睛】本题考查了对数的运算法则、换底公式、指数式与对数式的互化，考查了推理能力，化简、计算能力，属于中档题．【变式8-1】设a，b，c是直角三角形的三边长，其中c为斜边，且c≠1，求证：log（c+b）a+log（c﹣b）a＝2loga•log（c﹣b）a．（c+b）【分析】依题意，利用对数换底公式log（c+b）a＝，log（c﹣b）a＝证明左端＝右端即可．【答案】证明：由勾股定理得a2+b2＝c2．log（c+b）a+log（c﹣b）a＝+＝＝＝＝2log（c+b）a•log（c﹣b）a．∴原等式成立．【点睛】本题考查对数换底公与对数运算性质的应用，考查正向思维与逆向思维的综合应用，考查推理证明与运算能力，属于中档题．【变式8-2】（2018秋•渝中区校级期中）令P＝80.25×+（）﹣（﹣2018）0，Q＝2log32﹣log3 +log38．（1）分别求P和Q．（2）若2a＝5b＝m，且，求m．【分析】（1）利用指数与对数运算性质可得P，Q．（2）2a＝5b＝m，且＝2，利用对数换底公式可得a＝，b＝，代入解出即可得出．【答案】解：（1）P＝×+﹣1＝2+﹣1＝．Q＝＝log39＝2．（2）2a＝5b＝m，且＝2，∴a＝，b＝，∴＝2，可得lgm＝，∴m＝．【点睛】本题考查了指数与对数运算性质、非常的解法，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．【变式8-3】已知2y•log y4﹣2y﹣1＝0，•log5x＝﹣1，问是否存在一个正整数P，使P＝．【分析】由2y•log y4﹣2y﹣1＝2y•log y4﹣＝0可求y，再由•log5x＝﹣1求出x即可．【答案】解：∵2y•log y4﹣2y﹣1＝2y•log y4﹣＝0，∴y＝16；∵•log5x＝﹣1，∴，解得，x＝；故P＝＝＝3．【点睛】本题考查了指数函数与对数函数的应用及方程的解法，属于基础题．。
优化课堂2016秋数学人教A版必修1课件：2.2.1第2课时 对数的运算
(2)原式＝log232＋log242＝5＋4＝9.
(3)
原
式
＝
log5(5×7)
－
2(log57
－
log53)
＋
log57
－
log5
9 5
＝
log55＋log57－2log57＋2log53＋log57－2log53＋log55＝2log55
＝2.
(4)原式＝2lg 5＋2lg 2＋(1－lg 2)(1＋lg 2)＋(lg 2)2＝2(lg 5
栏目 导引
第二十七页，编辑于星期日：六点 三十分。
第二章 基本初等函数（I）
3．方程 log3(x2－10)＝1＋log3x 的解是___x_＝__5__．
解析：原方程可化为 log3(x2－10)＝log3(3x)， 所以 x2－10＝3x， 解得 x＝－2，或 x＝5.经检验知 x＝5.
4．用 lg x，lg y，lg z 表示下列各式：
(1)lg(xyz); (2)lgxzy2；
(3)lgxyz3；
x (4)lgy2z.
栏目 导引
第二十八页，编辑于星期日：六点 三十分。
第二章 基本初等函数（I）
解：(1)lg(xyz)＝lg x＋lg y＋lg z； (2)lgxzy2＝lg(xy2)－lg z＝lg x＋2lg y－lg z； (3)lgxyz3＝lg(xy3)－lg z ＝lg x＋3lg y－12lg z； (4)lgy2xz＝lg x－lg(y2z) ＝12lg x－2lg y－lg z.
第二章 基本初等函数（I）
探究点三 对数的综合应用 2015 年我国国民生产总值为 a 亿元，如果平均每 年增长 8%，估计约经过多少年后国民生产总值是 2015 年的 2 倍？(lg 2≈0.301 0，lg 1.08≈0.033 4，精确到 1 年)栏目 导引第七页，编辑于星期日：六点 三十分。
对数的运算
m log b 性质（3）的变型： log n b a a n loga b logb c logc d loga d
m
loga b logb a 1
1 log a b logb a
五、新课：讲解范例
1 log3 4log4 2log2 m log2 4, 求m
解（2） log a
x
2 3
y z
log a ( x y ) log a z
2
1 2 1 3
1 2
1 3
loga x 2 loga y loga z
1 1 2 log a x log a y log a z 2 3
三、新课：讲解范例
7 例3计算： （1）lg 14 2 lg lg 7 lg 18 3 解： 7 lg 14 2 lg lg 7 lg 18 3 14 7 7 2 lg14 lg( ) lg 7 lg18 lg 7 3 ( ) 2 18 3 lg1 0 逆用性质
x 变型:2lg x 2 y lg x lg y, 求 y
五、课堂小结:对数的运算性质
如果 a > 0，a 1，M > 0， N > 0 有： loga MN loga M loga N ⑴
说明: 1) 简易语言表达:”积的对数=对数的和”……
2) 顺向、逆向运用公式 3)注意
(2)lg2 2 lg5lg 20
lg5(2lg 2 lg5) lg 2
2
lg 2 lg 5 lg10 1
2
2
对数乘除运算：真数化为最简
lg 2 lg 3 lg 10 3 lg1.8
对数运算性质
概念
（让学生探究，讨论）
让学生多角度思考，探究，教
如果 a ＞ 0 且 a ≠1 ，M ＞0，N ＞ 0 ，那
形成 么：
师点拨．
（1 ） log a MN log a M log a N
M （2 ） log a
N
log a M
log a N
=lg x+2lg y－lg z；
xy 3 （ 3 ） lg
z
=lg （ xy3）－ lg z
=lg x+lg y3－ 1 lg z 2 1
=lg x+3lg y－ lg z； 2
（ 4 ） lg
x y2z
=lg x －lg （y2z） = 1 lg x－ lg y2－ lg z
2 1 = lg x－ 2lg y－ lg z. 2
lg 1.2
例 2 解（1 ） log 2(4 7 25) log 2 47 log 2 25 14 5 19
（ 2 ） lg 5 100
2
lg10 5 2 5
例 3 （ 1 ）解法一： lg14 － 2lg 7 +lg7 － lg18
3 =lg（ 2 ×7 ）－ 2（lg7 － lg3 ）
+lg7 － lg （ 3 2×2 ）
z log a xy log a z
提高运算能力．
log a x log a y log a z x2 y
（ 2 ） log a 3 z loga x2 y loga 3 z loga x2 loga y loga 3 z
,.
= 2log a x 1 log a z 3
1 log a y
2.2.1对数与对数运算
2.2.1对数与对数运算一.对数的概念:1.对数的概念：一般地，如果 ()1,0≠>a a a 的x 次幂等于N ,就是a x =N ，那么数 X 叫做以a 为底 N 的对数，记作X=log a N ,其中a 叫做对数的底数，N 叫做真数．例如：1642= ⇔ 216log 4=； 100102=⇔2100log 10=；2421= ⇔212log 4=； 01.0102=-⇔201.0log 10-=． 2．对数的性质：（1)是不是所有的实数都有对数？X=log a N 中的N 可以取哪些值？负数与零没有对数（∵在指数式中 N ＞ 0 ）(2)根据对数的定义以及对数与指数的关系，=1log a ？ =a a log ？⑶对数恒等式如果把 a x =N 中的 X 写成 N a log , 则有 N a N a =log ．⑷常用对数：我们通常将以10为底的对数叫做常用对数．为了简便,N 的常用对数N 10log 简记作lgN ．例如：5log 10简记作lg5； 5.3log 10简记作lg3.5.⑸自然对数：在科学技术中常常使用以无理数e=2.71828……为底的对数，以e 为底的对数叫自然对数，为了简便，N 的自然对数N e log 简记作lnN ．例如：3log e 简记作ln3； 10log e 简记作ln10．（6）底数的取值范围),1()1,0(+∞ ；真数的取值范围),0(+∞．二．对数的运算：1.基本性质：如果 a ＞ 0，a ≠ 1，N ＞0，则（1）N a N a =log（2）log a a b =b2.对数的运算性质：如果 a ＞ 0，a ≠ 1，M ＞ 0， N ＞ 0 那么：)()()(3R)M(n nlog M log 2N log M log N M log 1N log M log (MN)log a n a a a a a a a ∈=-=+= 证明：①设a log M =p , a log N =q ． 由对数的定义可以得：M =p a ，N =qa ．∴MN = p a q a =q p a + ∴a log MN =p +q ， 即证得a log MN =a log M + a log N ．②设a log M =p ，a log N =q ． 由对数的定义可以得M =p a ，N =q a ． ∴q p q p a aa N M -== ∴q p N M a -=log 即证得N M N M a a a log log log -=． ③设a log M =P 由对数定义可以得M =p a ,∴n M ＝np a ∴a log n M =np ， 即证得a log n M =n a log M ． 例：计算：(1);50lg 2lg )5(lg 2⋅+ (2) ;25log 20lg 100+(3) .18lg 7lg 37lg 214lg -+- 注意：①简易语言表达：“积的对数 = 对数的和”……②有时逆向运用公式：如110log 2log 5log 101010==+． ③真数的取值范围必须是),0(+∞： )5(log )3(log )5)(3(log 222-+-=-- 是不成立的． ④对公式容易错误记忆，要特别注意： N M MN a a a log log )(log ⋅≠，N M N M a a a log log )(log ±≠±三．对数的换底公式：1.对数换底公式： a N N m m a log log log =( a ＞0 ,a ≠ 1 ，m ＞0 ,m ≠ 1,N ＞0)． 2.两个常用的推论:①1log log =⋅a b b a ， 1log log log =⋅⋅a c b c b a ．② b mn b a n a m log log =（a ,b ＞0且均不为1）． 四．例题讲解：例1 ，已知a =9log 18，518=b .45log 36求 练：1. 已知 a =3log 2， b =7log 3, 用 a , b 表示56log 42． 解：因为2log 3 = a ，则2log 13=a , 又∵3log 7 = b , ∴1312log 7log 2log 37log 42log 56log 56 log 33333342+++=++⋅+==b ab ab . 2. 求值.25log 20lg 100+例2．设16log log 8log 4log 4843=⋅⋅m ，求m 的值．。
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小案例—哪个是你
忙忙叨叨，起早贪黑， 上课认真，笔记认真， 小A 就是成绩不咋地……
好像天天在玩， 上课没事儿还调皮气老师， 笔记有时让人看不懂， 但一考试就挺好…… 小B
目 录/contents
1. 什么是学习力 2. 高效学习模型 3. 超级记忆法 4. 费曼学习法
人教版七年级上册Unit4 Where‘s my backpack？
超级记忆法-记忆 方法
TIP1：在使用场景记忆法时，我们可以多使用自己熟悉的场景（如日常自己的 卧 室、平时上课的教室等等），这样记忆起来更加轻松； TIP2：在场景中记忆时，可以适当采用一些顺序，比如上面例子中从上到下、 从 左到右、从远到近等顺序记忆会比杂乱无序乱记效果更好。
费曼学习法-实操
第四步 循环强化
（四） 循 环 强 化
1.循环加强需要在前面三个步骤已完不断回顾加强，直至复述效果满意；
3.如果复述结果已经满意，尝试运用更简单精炼的语言概括。
（不断地提炼，会培养你提炼知识精华的能力哦~）
硬背“在复合句中，修饰某一名词或代词的从句叫做定语从句”这个概念。
3.这个步骤可以使用思维导图或流程图，可以更好加深自己的理解哦~
费曼学习法-实操
第三步 没有任何参考的情况下，仅靠大脑，复述你所获得的主要内容
（三） 仅 靠 大 脑 复 述
1.与上一步不同的是，这一步不能有任何参考， 合上你的书本、笔记等，看看此时你的大脑里还剩下了什么； 2.仅凭记忆，如果可以复述很多，说明掌握状况还可以； 3.如果一合上书，就连关系词有哪些都想不起来了， 说明还 没有掌握，需要继续回顾。
例3 20世纪30年代，克里特制定了一种表明 地震能量大小的尺度，就是使用测震仪衡量地 震能量的等级，地震能量越大，测震仪记录的 地震曲线的振幅就越大，这就是我们常说的里 氏震级M，其计算公式为M=lgA-lgA0，其中， A是被测地震的最大振幅，A0是“标准地震” 的振幅（使用标准地震振幅是为了修正测震仪 距实际震中的距离造成的偏差）。
Know--X分类法
费曼学习法-实操
第二步 根据参考，复述你所获得的主要内容
（二） 根 据 参 考 复 述
1.参照教材、辅导书或笔记复述主要内容； 2.复述并不是照着读出来或死记硬背，而是用自己的话去理解 ，想象如果你要把
这个讲给别人听，你会怎样讲。 就像你按照前面的步骤对定于从句的理解是“定语部分是个从句”，就没必要死记
1第一遍知道大概说了什么就行；
2第二遍知道哪块是重点；
3第三遍可以做出一些判断。
高效学习逻辑 思维
事实知识（know--what）：知道是什么的知识， 主要叙述事实方面的知识； 原理知识（know--why）：知道为什么的知识， 主 要是自然原理和规律方面的知识； 技能知识（know--how）：知道怎么做的知识， 主要是对某些事物的技能和能力； 人力知识（know--who）：知道是谁的知识， 主 要是谁知道以及谁知道如何做某些事的能力；
TIP3：另外，还有研究表明，记忆在我们的睡眠过程中也并未停止，我们的大 脑 会归纳、整理、编码、储存我们刚接收的信息。所以，睡前的这段时间可是 非常 宝贵的，不要全部用来玩手机哦~ TIP4：早晨起床后，由于不受前摄抑制的影响，我们可以记忆一些新的内容或 者 复习一下昨晚的内容，那么会让你记忆犹新。
费曼学习法-实操
第五步 反思总结
（五） 反 思 总 结
1.反思你前面哪个步骤停留时间最长； 2.总结是什么原因造成的 （是之前相关知识基础不牢固 还是这次的某个概念自己理解错了）；
如何利用规律实现更好记忆呢？
超级记忆法-记忆 规律
第四个记忆周期是 1天 第五个记忆周期是 2天 第六个记忆周期是 4 天 第七个记忆周期是 7天 第八个记忆周期是15天 这五个记忆周期属于长期记忆的范畴。 所以我们可以选择这样的时间进行记忆的巩固，可以记得更扎实。
如何利用规律实现更好记忆呢？
超级记忆法--场 景法
N
log m N log m a
( a > 0 ,a 1 ，m > 0 ,m 1,N>0)
如何证明呢?
两个推论: 设 a, b > 0且均不为1,则
1) loga b logb a 1
2)
log am
bn
n m
log a
b
你能证明吗?
例题与练习
例1、计算：
1) log8 9 log27 32
例题与练习
例1用 log a x ，log a y ，log a z 表示下
列各式：
xy
(1)loga
; z
x2 y (2) log a 3 z
例2、计算（1）log 2 (47 25 )
(2) lg 5 100
(3) lg14 2 lg 7 lg 7 lg18 3
对数换底公式
log a
故事记忆法小妙招
费曼学习法
费曼学习法-简介
理查德·菲利普斯·费曼 （Richard Phillips Feynman）
费曼学习法出自著名物理学家费曼，他曾获的 1965年诺贝尔 物理学奖，费曼不仅是一名杰出的 物理学家，并且是一位伟 大的教育家，他能用很 简单的语言解释很复杂的概念，让其 他人能够快 速理解，实际上，他在学习新东西的时候，也会 不断的研究思考，直到研究的概念能被自己直观 轻松的理解， 这也是这个学习法命名的由来！
什么是学习力
什么是学习力-你遇到这些问 题了吗
一看就懂 一 做就错
看得懂，但不 会做
总是 比别人 学得慢
总是 比别人学得差 不会举一反三
什么是学习力含义
学习知识的能力 （学习新知识 速度、质量等）
管理知识的能力 （利用现有知识 解决问题）
长久坚持的能力 （自律性等）
什么是学习力-常见错误学 习方式
（图片来自网络）
费曼学习法--实操步
1 骤 获取并理解
2 根据参考复述
费
3 仅靠大脑复述
曼
4 循环强化
学
5 反思总结
习
6 实践检验
法
费曼学习法-实操
第一步 获取并理解你要学习的内容
（一） 理 解 并 获 取
1.知识获取并非多多益善，少而精效果反而可能更好，建议入门时选择一个概念或 知识点尝试就好，熟练使用后，再逐渐增加，但也不建议一次性数量过多（根据自 己实际情况，参考学霸的建议进行筛选）； 2.注意用心体会“理解”的含义。很多同学由于学习内容多，时间紧迫，所以更 加急于求成，匆匆扫一眼书本，就以为理解了，结果一合上书就什么都不记得了。 想要理解，建议至少把书翻三遍。
5(3)(4)、9, 11
补充：1．求值：
(log 2 5 log 4 0.2)(log 5 2 log 25 0.5)
2．若 log 3 4 log 4 8 log 8 m log 4 2 ,求m
3．若log 8 3 = p , log 3 5 = q , 用p,q表示 lg 5
【学习力-学习方法】
2) 51log0.2 3
3) log4 3 log9 2 log 1 4 32
2
例2．已知 log2 3 a, log3 7 b 用a, b 表示 log42 56
例3 20世纪30年代，克里特制定了一种表明 地震能量大小的尺度，就是使用测震仪衡量地
震能量的等级，地震能量越大，测震仪记录的
如何利用规律实现更好记忆呢？
超级记忆法-记忆 规律
记忆中
选择恰当的记忆数量
魔力之七：美国心理学家约翰·米勒曾对短时记忆的广 度进行过比较精准的测定：通常情况下一个人的记忆 广度为7±2项内容。
超级记忆法-记忆 规律
TIP1：我们可以选择恰当的记忆数量——7组之内！ TIP2：很多我们觉得比较容易背的古诗词，大多不超过七个字，很大程度上也 是因 为在“魔力之七”范围内的缘故。我们可以把要记忆的内容拆解组合控制 在7组之 内（每一组不代表只有一个字哦，这7组中的每一组容量可适当加大）。 TIP3：比 如我们记忆一个手机号码18820568803，如果一个一组的记忆，我 们就要记11组，而如果我们拆解一下，按照188-2056-8803，我们就只需要 记忆3 组就可以了，记忆效率也会大大提高。
地震曲线的振幅就越大，这就是我们常说的里 氏震级M，其计算公式为: M=lgA-lgA0，其中，A是被测地震的最大振幅， A0是“标准地震”的振幅 （使用标准地震振 幅是为了修正测震仪距实际震中的距离造成的 偏差）。 （1）假设在一次地震中，一个距离震中100千 米的测震仪记录的地震最大振幅是20，此时标 准地震的振幅是0.001，计算这次地震的震级 （精确到0.1）。
身体记忆法小妙招
超级记忆法--故 事法
• 鲁迅本名：周树人 • 主要作品：《阿Q正传》、、 《药》、
• 《狂人日记》、《呐喊》、 《孔乙己》
• 《故乡》、《社戏》、《祝 福》。
（图片来自网络）
超级记忆法-记忆 方法
TIP1：NPC代入，把自己想成其中的人物，会让自己的记忆过程更加有趣 （比如你穿越回去，成为了岳飞的母亲，你会在什么背景下怀着怎样的心情在 背 上刺下“精忠报国”四个字）； TIP2：越夸张越搞笑，越有助于刺激我们的大脑，帮助我们记忆，所以不妨在 编 故事时，让自己脑洞大开，尝试夸张怪诞些~
（2）5级地震给人的震感已比较明显,试计算 7.6级地震的最大振幅是5级地震的最大振幅的 多少倍? (精确到1)
例3 生物机体内碳14的半衰期为 5730年,湖南长沙马王堆汉墓 女尸出土时碳14的残余量约 占原始含量的76.7%,试推算 马王堆汉墓的年代.
作业：书上P74---3(5)(6)、4(3)(4)、
2.2.1 对数的运算性质 (2)