对数式及运算性质
对数
(1) y = log
0.3
( x − 2) − 3
(2,+∞)上递减
(2) y = log 3 ( x − 2 ) + 5
(3) y = log (4) y = log 0 .3 0 .3 2) (3 + 2 x − x
(2,+∞)上递增
(−1,1)上递减 (1,3)上递增
(3,+∞)上递减 1 (−∞,− )上递增 2
问题2：对数函数的图象有几种情况？ 问题2 对数函数的图象有几种情况？
5
(a＞ (a＞1)
y y=ax y=x 1 y=logax
(0＜a＜1)
y = ax y
y=x
·
O 1
·
1 x
·
O1
·
x y=logax
（二）对数函数的图象和性质：
6
a ＞1
y
0 ＜a ＜1
y=logax (a＞1 ) ＞ y
右侧总是底大图低. 当a>1 和0<a<1时，在x=1右侧总是底大图低. ， x=1右侧总是底大图低
动态演示 图象分析
18
谢谢指导！
1. log23
log23.5
同底对数式比较 大小的步骤 步骤： 大小的步骤： 1、判断底数a的范围 判断底数a
解：∵y= log2x 中底数 2>1
∴ y= log2x在(0,+∞)上 是增函数 ∵ 3<3.5 ∴ log23 < log23.5
log0.20.7
练习4.已知下列不等式，比较正数m,n的大小 练习4.已知下列不等式，比较正数m,n的大小 （1）若log3m < log3n 则 m
对数及其运算性质
x
loga1=0 logaa=1 logaa =b a 3.对数的运算性质:
b
loga N
=N
log a(MN)=log a M+log a N
loga(M N )=loga M-loga N n loga(M )=nloga M(n ∈R)
-1
换底公式及推论:
1.换 公 : 底 式 2.推论:
log c b loga b= log c a
思考：
在复习提问3：log264=6,log24=2的基 础上增加log464=3，你还有何猜想？你 能证明它吗？由它还能得出什么结论？
2
2
对数与对数运算(三 对数与对数运算 三)
复习提问: 1.对数式与指数式的互化:
a = N ⇔ x = loga N(a > 0, a ≠ 1, N > 0) 2.对数的基本性质:
例6：科学研究表明，宇宙射线在大气中能够产生 ：科学研究表明， 放射性碳14。 的衰变极有规律， 放射性碳 。碳14的衰变极有规律，其精确性可以 的衰变极有规律 称为自然界的“标准时钟” 称为自然界的“标准时钟”。动植物在生长过程中衰 变的碳14，可以通过与大气的相互作用得到补充， 变的碳 ，可以通过与大气的相互作用得到补充， 所以活着的动植物每无组织中的碳14含量不变 含量不变。 所以活着的动植物每无组织中的碳 含量不变。死 亡后的动植物，停止了与外界环境的相互作用， 亡后的动植物，停止了与外界环境的相互作用，机 体中原有的碳１４按确定的规律衰减， １４按确定的规律衰减 体中原有的碳１４按确定的规律衰减，我们已经知 道其“半衰期” ５７３０年 道其“半衰期”为５７３０年。 湖南长沙马王堆汉墓女尸出土时碳１４ １４的残余 湖南长沙马王堆汉墓女尸出土时碳１４的残余 量约占原始含量的７６ ％，试推算马王堆古墓的 ７６.７ 量约占原始含量的７６ ７％，试推算马王堆古墓的 年代。 年代。
对数的运算与对数函数
1.对数的概念如果 ,那么数b 叫做以a 为底N 的对数，记作 ，其中a 叫做对数的 ，N 叫做对数的 。
即指数式与对数式的互化：log ba aN b N =⇔=2.常用对数：通常将以10为底的对数10log N 叫做常用对数，记作lg N 。
自然对数：通常将以无理数 2.71828e =⋅⋅⋅为底的对数叫做自然对数，记作ln N 。
3．对数的运算性质：如果0a >，且1,0,0a M N ≠>>，那么：⑴log ()log log a a a M N M N ⋅=+；（积的对数等于对数的和） 推广1212log (...)log log ...log a k a a a k N N N N N N ⋅=+++ ⑵log log log aa a MM N N=-；（商的对数等于对数的差） ⑶log log (R)a a M M ααα=∈，则log a = 。
⑷log a N a N =2．换底公式：log log log a b a NN b=（,0,,1,0a b a b N >≠>） 换底公式的意义：把以一个数为底的对数换成以另一个大于0且不等于1的数为底的对数，以达到计算、化简或证明的目的． 推广：⑴1log log a b b a=⑵log log log log a b c a b c d d =， ⑶1log log n a a M M n =，则log na m M = 。
特别地：log log 1a b b a =知识要点对数运算与对数函数【例1】 求下列各式中x 的取值范围。
（1）2log (5)x +（2）1log (10)x x --【例2】 将下列指数式化为对数式，对数式化为指数式。
（1） 1642= （2） 9132=- （3） 481log 3=（4） 6125log -=a （5）lg0.0013=-； （6）ln100=4.606【例3】 计算（1）lg 4lg 25+ （2）22log 24log 6-（3）531log ()3（4） 001.0lg （5）e1ln （6）1lg【巩固1】3log =2log =(2log (2= 21log 52+=【巩固2】）. A. 1 B. －1 C. 2 D. －2【巩固3】计算2(lg5)lg 2lg50+⋅＝ .知识要点【例4】 （1）（2 。
对数与对数函数
2.已知 1<a<b<a2, 比较 logab, logba, loga a , logb a , 1 的大小. b b 2 a a 2 解: 由 1<a<b<a 可知: loga b <0, logb b <0, logab>1. ∴0<logba<1. ∵ 0>log a a>log a b, ∴logaa <logb a . b b b b 2> 1 log b= 1 , 又 logba= 1 log a 2 b 2 2 b 1 a ∴ logab>logba> 2 >logb b >loga a . b 3.已知 logm4>logn4, 比较 m, n 的大小. 解: 由已知 logm4>logn4, 可分情况讨论如下: ①当 m>1, 0<n<1 时, logm4>0, logn4<0, 原不等式成立. ∴m>1>n>0; ②当 m>1, n>1 时, 由 logm4>logn4>0 得: log4m<log4n. ∴n>m>1; ③当 0<m<1, 0<n<1 时, 由 0>logm4>logn4 得: log4m<log4n. ∴0<m<n<1. 综上所述: m, n 的大小是 m>1>n>0 或 n>m>1 或 0<m<n<1.
对数与对数函数
一、对数
如果 a(a>0, a1)的 b 次幂等于 N, 即 ab=N, 那么数 b 叫做 以 a 为底 N 的对数, 记作 logaN=b, 其中 a 叫做对数的底数, N 叫做真数, 式子 logaN 叫做对数式. 常用对数: (lgN), 自然对数: (lnN).
对数的含义与运算
对数含义与运算一、 知识综述1．对数定义：一般地，如果a （10≠>a a 且）的b 次幂等于N , 就是N a b =，那么数 b 叫做a 为底 N 的对数，记作 b N a =log ，a 叫做对数的 ，N 叫做 。
即ba N =， log a Nb =aNb指数式N a b = 底数 幂 指数 对数式b N a =log对数的底数真数对数例如：对数式与指数式的互换2416= 210100= 1242= 2100.01-=2．基本性质：若0a >且1a ≠，0N >，则（1）log 10a =，log 1a a =；（2）log a Na N =.3．介绍两种特殊的对数： ①常用对数：以10作底 10log N 写成lg N ②自然对数：以e 作底为无理数，e = 2.71828…… ， log e N 写成ln N ．4.对数的运算性质：如果 a > 0 ， a ≠ 1， M > 0 ，N > 0， 那么（1）log ()log log a a a MN M N =+；（2）log log -log aa a M M N N=；（3）log log ()na a M n M n R =∈． 5.换底公式：log log log m a m NN a=( a > 0 , a ≠ 1 ；0,1m m >≠)说明：两个较为常用的推论：（1）log log 1a b b a ⨯= ； （2）log log m na a nb b m= （a 、0b >且均不为1）． 二、例题讲解例一：（1）计算： 9log 27， 345log 625．（2）求 x 的值：①33log 4x =-； ②()2221log 3211x x x ⎛⎫ ⎪⎝⎭-+-=．（3）求底数：①3log 35x =-， ②7log 28x =．例二： 例5．求下列各式的值：（1）()752log 42⨯； （2）5lg 100 ．例三： 计算： （1）lg14-21g 18lg 7lg 37-+； （2）9lg 243lg ； （3）2.1lg 10lg 38lg 27lg -+．三、课堂练习 一、填空题1.计算：log2.56.25＋lg1001＋ln e ＋3log 122+= . 2．若10x=3,10y=4，则102x-y=__________；为表示、用7512log y x ．3．（log 43+log 83）（log 32+log 92）－log 421329log 255+=__________ ．4．若log (21)1x +=-, 则x = ． 5．已知()xf e x =，则f(5)等于 ． 6．如果732log [log (log )]0x =，那么12x -等于________________.7.25)a (log 5-（a ≠0）化简得结果是_____________________．8.已知 ab=M (a>0, b>0, M ≠1), 且logM b=x ，则logM a=________________．9.设(){}1,,lg A y xy =, {}0,,B x y =,且A =B ，则x = ；y =10. 计算：()()5log 22323-+二、选择题11．3log 9log 28的值是 （ ）A ．32 B ．1 C ．23 D ．212．若log 2)](log [log log )](log [log log )](log [log 55153313221z y x ===0，则x 、y 、z 的大小关系是（ ）A ．z ＜x ＜yB ．x ＜y ＜zC ．y ＜z ＜xD ．z ＜y ＜x 13．已知x =2+1,则lo g 4(x 3－x －6)等于（ ）A.23 B.45 C.0D.21 14．已知lg2=a ，lg3=b ，则15lg 12lg 等于（ ）A ．ba ba +++12B ．ba ba +++12C ．ba ba +-+12D ．ba ba +-+1215．已知2 lg(x －2y )=lg x ＋lg y ，则yx 的值为（ ）A ．1B ．4C ．1或4D ．4 或-116．若log a b ·log 3a=5，则b 等于（ ）A ．a 3B ．a 5C ．35D ．5317． 已知ab>0，下面四个等式中，正确命题的个数为 （ ） ①lg （ab ）=lga+lgb ②lgb a =lga －lgb ③bab a lg )lg(212= ④lg （ab ）=10log 1abA ．0B ．1C ．2D ．318．若f （ln x ）=3x +4，则f （x ）的表达式为 （ ）A 3ln xB 3ln x +4C 3e x +4D 3e x三、解答题19. （1）已知32a=，用a 表示33log 4log 6-；（2）已知3log 2a =，35b=，用a 、b 表示 30log 3．20.已知：lg （x －1）+lg （x －2）=lg2，求x 的值21. 已知18log 9,185,ba ==用a,b 表示 36log 4522. 15．（14分）已知函数2()(lg 2)lg f x x a x b =+++满足(1)2f -=-，且对一切实数x ，都有f (x)≥2x 成立，求实数a 、b 的值.课后练习1．下列指数式与对数式互化中错误的一组是 A ． 01e =与ln10= B ．13182-=与811log 23=- C ． 3log 92=与1293= D ．7log 71=与177=2．若b ≠1，则 loga b 等于（ ）。
对数的性质与运算
对数的性质与运算对数是数学中常用的一种运算工具，它在科学、工程和计算机等领域被广泛应用。
对数有许多独特的性质和运算规则，下面将对这些内容进行介绍。
一、对数的定义对数可以理解为指数的逆运算。
设 a 和 x 是正数，且a ≠ 1，那么以a 为底的 x 的对数表示为logₐx，满足 a 的 x 次幂等于 x，即a^logₐx = x。
其中，a 称为底数，x 称为真数。
二、对数的性质1. logₐ1 = 0：任何数以自身为底数的对数均为 0。
2. logₐa = 1：任何数以自身为底数的对数均为 1。
3. logₐ(a × b) = logₐa + logₐb：两个正数的乘积的对数等于各自对数之和。
4. logₐ(a / b) = logₐa - logₐb：两个正数的商的对数等于被除数的对数减去除数的对数。
5. logₐaⁿ = n × logₐa：一个数的 n 次幂的对数等于该数的对数乘以 n。
6. logₐa = 1 / logₐa：等式左右两边互为倒数。
三、对数的运算1. 对数的乘法：logₐ(a × b) = logₐa + logₐb。
对数的乘法规则表明，两个正数的乘积的对数等于各自对数之和。
例如：log₂2 + log₂3 = log₂(2 × 3) = log₂6。
2. 对数的除法：logₐ(a / b) = logₐa - logₐb。
对数的除法规则表明，两个正数的商的对数等于被除数的对数减去除数的对数。
例如：log₃8 - log₃2 = log₃(8 / 2) = log₃4。
3. 对数的幂：logₐaⁿ = n × logₐa。
对数的幂规则表明，一个数的n 次幂的对数等于该数的对数乘以n。
例如：log₄(2³) = 3 × log₄2。
4. 对数的换底公式：logₐb = logₓb / logₓa。
换底公式是用于将对数的底数从一个给定的底数转换为另一个给定的底数。
对数函数及其性质
对数函数及其性质对数函数是初等函数中的一种，也是数学中非常重要的一种函数。
在我们学习对数函数之前，我们需要先了解指数函数。
指数函数，即 $f(x)=a^x$，其中 $a$ 为常数，$a>0$，$a≠1$，$x$ 为自变量。
当 $a>1$ 时，指数函数呈现增长趋势；当$0<a<1$ 时，指数函数逐渐减小。
然而，当我们需要解决 $a^x=c$（其中 $c$ 为定值）时，往往难以直接求解。
这时，我们就可以用到对数函数。
对数函数的定义为：设 $a>0$ 且$a≠1$，$y=\log_{a}{x}$，当且仅当 $a^y=x$。
对数函数是指数函数的反函数。
对于对数函数，我们可以发现以下性质:1. 对数函数的底数 $a$ 必须为正实数且不能等于1。
2. 对数函数的定义域为正实数集哦 $(0,+\infty)$；3. 对数函数所得的值域为实数集$(−\infty,+\infty)$；4. 对数函数有一个特殊的点 $(1,0)$，即底数为 $1$ 时，对数函数为 $0$。
那么，我们何时需要使用对数函数呢？下面是一些例子：1. 求解以指数形式表示的方程式，例如 $2^x=16$。
转化成对数形式:$\log_{2}{16}=x$。
2. 用于度量某些指标的倍增，例如声高的分贝计算，经过计算后得到的值可以用对数函数来表示。
对于对数函数，我们还可以进一步了解到对数函数的两个重要性质：性质一：对数函数的对数运算法则设 $a>0$，且$a≠1$。
则有：$\log_{a}{MN}=\log_{a}{M}+\log_{a}{N}$$\log_{a}{\frac{M}{N}}=\log_{a}{M}-\log_{a}{N}$$\log_{a}{M^p}=p\log_{a}{M}$推导过程：$\log_{a}{MN} = y$，即 $a^y=MN$,则 $a^y=MN=a^{log_{a}{M}}\cdota^{log_{a}{N}}=a^{log_{a}{M}+log_{a}{N}}$,所以 $y=log_{a}{MN}=log_{a}{M}+log_{a}{N}$。
对数的运算性质及换底公式
8 2 ( ) 4 9 log3 ( ) 3
(3) lg 100 lg 10
100 lg ( ) 10
归纳猜想： M log a ( ) log a M log a N N （a 0且a 1, M , N 0）
3.计算观察： 3 (1) log 2 (2 )
1 1 （2） 3 36, 求 2 m n
m n
【变式训练】
1 (1) log 3 7 log 2 9 log 49 x log 1 , 求x 4 2
(2) log18 9 a,18 5, 用a, b表示log36 45.
b
总结：
• 1.对数的运算性质
• 2.换底公式
(2) log5 125
(4) log 1 27 log 1 9
3 3
(3) log 2 (2 4 )
3 5
【变式训练】求下列各式的值
(1)3 log 7 2 log 7 9 2 log 7 (
2 2
3 2 2
)
(2)(lg 2) (lg 5) 2 lg 5 lg 2
log 2 (4 8)
log3 (3 9)
(3) lg 10 lg 100
lg (10 100 )
归纳猜想： log a (M N) log a M log a N （a 0且a 1, M , N 0）
2.计算观察：
(1) log 2 8 log 2 4
M (2)log a ( ) log a M log a N N
（a 0且a 1, M , N 0）
(3)log a ( M ) n log a M