2014年全国初中数学联赛决赛(初二)试题及答案解析

2014年全国初中数学联合竞赛初二年级试题参考答案

说明：第一试，选择题和填空题只设7分和0分两档；第二试各题，请按照本评分标准规定的评分档次给分.如果考生的解答方法和本解答不同，在评卷时请参照本评分标准划分的档次，给予相应的分数.

第一试

一、选择题：（本题满分42分，每小题7分）

1．若0x >，0y >，且()3(5)x x y y x y +=+，则代数式

23x xy y x xy y

+++-的值为（ B ）

A. 1

B. 2

C. 3

D. 4

2．已知△ABC 中，2AB AC ==，点D 在BC 边的延长线上，4AD =，则B D C D ⋅

＝（ D ）

A ．16

B ．15

C ．13

D ．12 3．已知,x y 为整数，且满足22441111211

()()()3x y x y x y

+

+=--，则x y +的可能的值有 （ C ）

A. 1个

B. 2个

C. 3个

D. 4个

4．用1g 、3g 、6g 、30g 的砝码各一个，在一架没有刻度的天平上称量重物，如果天平

两端均可放置砝码，那么，可以称出的不同克数的重物的种数为 （ C ）

A ．21

B ．20

C ．31

D ．30

5．已知实数,,x y z 满足

1

12()2

x y z x y z -+-+=++，则xyz 的值为

（ A ）

A ．6

B ．4

C ．3

D ．不确定

6．已知△ABC 的三边长分别为2，3，4，M 为三角形内一点，过点M 作三边的平行

线，交各边于D 、E 、F 、G 、P 、Q （如图），如果DE FG PQ x ===，则x ＝ （ D ）

A ．

1813 B ．2013 C ．22

13

D ．2413 二、填空题：（本题满分28分，每小题7分）

1．如果关于x 的方程|3||2||1|x x x a -+---=恰好只有一个解，则实数a ＝

1

-．

2．使得不等式

98

1715

n n k <<+对唯一的整数k 成立的最大正整数n 为 144 ． 3．已知P 为等腰△ABC 内一点，AB BC =，108BPC ∠=︒，D 为AC 的中点，BD 与PC 交于点E ，如果点P 为△ABE 的内心（三角形的三条内角平分线的交点），则

PAC ∠=48︒

．

4．已知n 为正整数，且432261225n n n n ++++为完全平方数，则n ＝ 8 ．

第二试

一、（本题满分20分）设b 为正整数，a 为实数，记22

11

45224

M a ab b a b =-++-+

，在,a b 变动的情况下，求M 可能取得的最小整数值，并求出M 取得最小整数值时,a b 的值．

解

222233

(2)2(2)121(21)(1)44M a b a b b b a b b =-+-+++++

=-++++，………………5分

注意到b 为正整数，所以2

319

(11)44

M ≥++

=，所以M 可能取得的最小整数值为5. …………

…………10分

当

5

M =时，

223(21)(1)54

a b b -++++

=，故

2217

(21)(1)4

a b b -+++=

.…………………15分 因为b 为正整数，所以2(1)b +是整数且不小于4，所以一定有12b +=，且

2

1

(21)4

a b -+=

，所以

1

b =，

12

a =

或

3

2a =

. ……………………20分 二．（本题满分25分）在直角△ABC 中，D 为斜边AB 的中点，E 、F 分别在AC 、

BC 上，90EDF ∠=︒，已知4CE =，2AE =，3

2

BF CF -=，求AB .

解 延长ED 到点M ，使DM ED =，连接MB 、MF .

又因为D 为AB 的中点，所以△

BDM ≌△ADE . …………5分

所以AE BM =，A ABM ∠=∠，所以AC //BM ，

所以18090CBM C ∠=︒-∠=︒，故△BMF 是直角三角

形，

于是有

2

B

M B F M F

+=. ……………………10分

又在直角△CEF 中，有222

CE CF EF +=. 又

由

90EDF ∠=︒

和DM ED =可得

M D B

C

A

E

F

EF MF =， ……………………15分

于是可得2

2

2

2

2

2

CE CF BM BF AE BF +=+=+， 所

以

22

12

BF CF CE AE -=-=，即

()B F C F B F C F

+-=. ……………………20分 又3

2

BF CF -=，所以8BF CF +=，即8BC =. 因

此

2

2

268100

A

B

A

C B C =+=

+=，所以10AB =. ……………………25分

三．（本题满分

25

分）设不全相等的非零实数,,a b c 满足

222

1222bc ac ab

a bc

b a

c c ab

++=+++，求a b c ++的值. 解 由

2221222bc ac ab

a bc

b a

c c ab ++=+++得222

1111222111a b c

bc ac ab

++=+++. 设

2

2a x bc =

，

22b y ac

=

，

22c z ab

=

，则8xyz =，且

111

111

1

x y z ++=+++，…………………10分 通分即得(1)(1)(1)(1)(1)(1)(1)(1)(1)y z x z x y x y z ++++++++=+++， 展

开

后

整

理

得

2xyz x y z =+++，所以

6x y z ++=. …………………15分

即222

2226a b c bc ac ab

++=，所以3333a b c abc ++=，分解因式得 222()[()()()]0a b c a b b c c a ++-+-+-=.

又

,,a b c 不全相等，所以

222()()()0a b b c c a -+-+-≠，故

0a b c ++=. ………………25分