陕西中考数学十年压轴题汇总
2024陕西中考数学二轮专题训练 题型二 小几何压轴题 (含答案)
2024陕西中考数学二轮专题训练题型二小几何压轴题类型一与线段有关的问题1.如图，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，∠B ＝30°，AB ＝8.若点E 、F 是BC 边上的两个动点，以EF 为边的等边△EFP 的顶点P 在△ABC 内部或边上，则等边△EFP 的周长的最大值为________．第1题图2.如图，在Rt △ABC 中，∠ABC ＝90°，AB ＝3，BC ＝4，点D 、E 分别在AB 、BC 上，且以DE 为直径的圆与AC 相切，则DE 的最小值为________．第2题图3.如图，在菱形ABCD 中，AB ＝AC ＝10,对角线AC 、BD 相交于点O ，点M 在线段AC上，且AM ＝3，点P 为线段BD 上的一个动点，则MP ＋12PB 的最小值是__________．第3题图4.如图，在四边形ABCD 中，AB ＝6，AD ＝BC ＝3，E 为AB 边的中点，且∠CED ＝120°，则边DC 长度的最大值为________．第4题图5.如图，在四边形ABCD 中，AB ＝9，∠A ＋∠B ＝90°，以CD 为斜边向内作等腰直角△CDE ，使得直角顶点E 在AB 边上，若AE ＝2BE ，则AD ＋CB 的值为________．第5题图6.如图，在菱形ABCD中，AB＝12，∠B＝60°，AE⊥CD于点E，点F为AB上一点，且AB，P为AE上一点，连接PC、PD、PF，则PC与PD之间的数量关系为________，AF＝13PC＋PF的最小值为________．第6题图类型二与面积有关的问题1.如图，在等边△ABC内部有一个半径为2的动圆，则动圆不能覆盖的面积为________.第1题图2.如图，已知四边形ABCD内接于半圆O，AB为半圆O的直径，AB＝8，CD＝4，点E 是CD的中点，连接AE、BE，则△ABE面积的最大值为________．第2题图3.如图，已知AB是⊙O的直径，AB＝10，点P是⊙O上一点，连接AP、BP，OE⊥AP于点E，OF⊥BP于点F，则四边形OEPF面积的最大值为________．第3题图4.如图，在▱ABCD中，E、F是AD边上的两点，且AE＝DF＝14AD.点G为BC边上一点，连接EG交BF于点H.若EG平分四边形ABCD的面积，BH＝6，则BF的长为________．第4题图5.如图，在四边形ABCD中，∠ABC＝90°，AB＝2，BC＝23，点E、F分别是AD、CD 的中点，若四边形ABCD的面积为43，则△BEF的面积为________．第5题图6.如图，在菱形ABCD中，∠B＝60°，点E、F分别在BC、CD边上，且∠EAF＝60°，连接EF.若AB＝4，则△CEF面积的最大值为________．第6题图类型三与角度有关的问题1.如图，在正方形ABCD中，AC与BD相交于点O，点P是正方形边上或对角线上一点，若∠BPC＝60°，则满足条件的点P的个数为________．第1题图2.如图，在矩形ABCD中，AB＝4，BC＝10，若要在该矩形中作出一个面积最大的△BPC，且使∠BPC＝90°，则点P到点A的距离为________．第2题图3.如图，在4×4的正方形网格中，四边形ABCD的顶点都在格点上，则tan∠ACD的值为________.第3题图4.如图，在四边形ABCD中，AB＝AD＝2，∠BAD＝∠BCD＝90°，连接A C.若AC＝6，则∠ABC的大小为________．第4题图5.如图，在正方形ABCD中，AB＝8，点E是AD边上一点，连接BE、CE，过点B作BF⊥CE 于点F，当∠EBF最小时，AE的长为________，BF的长为________．第5题图参考答案类型一与线段有关的问题1.632.125【解析】如解图，设切点为P ，连接BP ，过点B 作BH ⊥AC 于点H ，由垂线段最短可知BP ≥BH ，∵DE 是该圆的直径，∴DE ≥BP ≥BH ，即DE 的最小值为BH 的长．∵S △ABC＝12AB ·BC ＝12AC ·BH ，AC ＝AB 2＋BC 2＝5，∴BH ＝AB ·BC AC ＝125.即DE 的最小值为125.第2题解图3.732【解析】如解图，过点P 作PQ ⊥BC 于点Q ，过点M 作MN ⊥BC 于点N .∵四边形ABCD 是菱形，∴AB ＝BC .∵AB ＝AC ＝10，∴△ABC 是等边三角形，∴∠ABC ＝∠ACB＝60°，∴∠OBC ＝30°，∴PQ ＝12BP ，∴MP ＋12PB ＝MP ＋PQ .由两点之间线段最短可知，当M 、P 、Q 三点共线，即点Q 与点N 重合时，MP ＋PQ 取得最小值，最小值为MN 的长．∵AM ＝3，∴CM ＝AC －AM ＝7.∵∠ACB ＝60°，∴MN ＝32CM ＝732，∴MP ＋12PB 的最小值为732.第3题解图4.9【解析】如解图，分别作点A 关于DE 的对称点A ′，点B 关于CE 的对称点B ′，连接A ′D ，A ′E ，B ′C ，B ′E ，A ′B ′，则A ′D ＝AD ＝3，A ′E ＝AE ＝3，B ′C ＝BC ＝3，B ′E ＝BE ＝3，∠A ′ED ＝∠AED ，∠B ′EC ＝∠BEC ，∵∠CED ＝120°，∴∠AED ＋∠BEC ＝180°－∠CED ＝60°，∴∠A ′ED ＋∠B ′EC ＝60°，∴∠A ′EB ′＝∠DEC －(∠A ′ED ＋∠B ′EC )＝60°.∵A ′E ＝B ′E ＝3，∴△A ′EB ′是等边三角形，∴A ′B ′＝A ′E ＝3.由两点之间线段最短可得DC ≤A ′D ＋A ′B ′＋B ′C ＝9，∴DC 长度的最大值为9.第4题解图5.35【解析】∵AB ＝9，AE ＝2BE ，∴AE ＝6，BE ＝3.∵ED ＝EC ，∠DEC ＝90°，∴如解图，将△ECB 绕点E 逆时针旋转90°得到△EDF ，∴EF ＝EB ＝3，DF ＝BC ，∠EDF ＝∠ECB .∵∠A ＋∠B ＝90°，∠EDC ＝∠ECD ＝45°，∴∠ADE ＋∠ECB ＝180°，∴∠ADE ＋∠EDF ＝180°，∴A 、D 、F 三点共线，∴AD ＋CB ＝AD ＋DF ＝AF .在Rt △AEF 中，AF ＝AE 2＋EF 2＝35，∴AD ＋CB 的值为3 5.第5题解图6.PC ＝PD ，413【解析】如解图，连接AC ，FD ，∵四边形ABCD 为菱形，∠B ＝60°，∴△ADC 为等边三角形．∵AE ⊥CD ，∴点C 关于PE 的对称点为点D ，∴PC ＝PD ，∴PC ＋PF ＝PD ＋PF ≥FD ，∴当F ，P ，D 三点共线时，PC ＋PF 的值最小，最小值为FD 的长．过点F 作FH ⊥DA 交DA 的延长线于点H ，∵∠B ＝60°，∴∠HAF ＝60°.∵AB ＝12，AF ＝13AB ，∴AF ＝4，∴AH ＝2，FH ＝23，∴DH ＝14.在Rt △DHF 中，FD ＝FH 2＋DH 2＝（23）2＋142＝413，∴PC ＋PF 的最小值为413.第6题解图类型二与面积有关的问题1.123－4π【解析】如解图，图中阴影部分面积即为动圆不能覆盖的面积，由题意知⊙O 与AC ，AB 两边相切，切点分别为点E ，F ，连接OE ，OF ，AO ，则∠EAO ＝∠FAO ＝30°，∠EOF ＝120°，∴在Rt △AOE 中，AE ＝3OE ＝23，∴S △AOE ＝12×2×23＝2 3.∵S 扇形EOF ＝120π×22360＝4π3，∴动圆不能覆盖的面积＝3(2×23－4π3)＝123－4π.第1题解图2.83【解析】如解图，连接OC 、OE ，∵点E 为CD 的中点，∴CE ＝12CD ＝2，OE ⊥CD .∵OC ＝12AB ＝4，∴OE ＝OC 2－CE 2＝2 3.过点E 作EH ⊥AB 于点H ，则S △ABE ＝12AB ·EH ＝4EH .∵EH ≤OE ，∴当EH ＝OE ，即当OE ⊥AB 时，△ABE 的面积最大，最大值为8 3.第2题解图3.252【解析】如解图，连接OP ，过点P 作PH ⊥AB 于点H ，∵AB 是⊙O 的直径，∴∠APB ＝90°.∵OE ⊥AP ，OF ⊥BP ，∴四边形OEPF 为矩形，AE ＝PE ＝12AP ，BF ＝PF ＝12BP ，∴S 四边形OEPF ＝PE ·PF ＝12AP ·12BP ＝14AP ·BP ＝14AB ·PH ＝14×10PH ＝52PH .∴当PH 最大时，四边形OEPF 的面积最大，∵PH ≤OP ，∴当PH ＝OP ，即当OP ⊥AB 时，四边形OEPF 的面积最大，此时PH ＝OP ＝12AB ＝5，S 四边形OEPF 最大＝52PH 最大＝252，即四边形OEPF 面积的最大值为252.第3题解图4.10【解析】∵四边形ABCD 为平行四边形，∴AD ＝BC .∵AE ＝DF ＝14AD ，∴EF ＝12AD .∵EG 平分▱ABCD 的面积，∴AE ＝CG ＝14AD .∴BG ＝34AD .∵AD ∥BC ，∴BH FH ＝BG EF ＝32，∴BH BF＝35.∵BH ＝6，∴BF ＝10.5.332【解析】如解图，连接BD ，在△ABC 中，∵∠ABC ＝90°，AB ＝2，BC ＝23，∴S △ABC ＝12×2×23＝2 3.∵四边形ABCD 的面积为43，∴S △ADC ＝2 3.∵E 为AD 的中点，F 为DC 的中点，∴S △ABE ＝S △DBE ，S △CFB ＝S △DFB ，∴S 四边形EBFD ＝S △EBD ＋S △FBD ＝12S 四边形ABCD ＝2 3.∵E 、F 分别为AD 、CD 的中点，∴EF ＝12AC ，EF ∥AC ，∴S △DEF S △DAC ＝(EF AC )2＝(12)2＝14.∵S △DAC ＝23，∴S △DEF ＝14×23＝32，∴S △BEF ＝S 四边形EBFD －S △DEF ＝23－32＝332.第5题解图6.3【解析】∵四边形ABCD 是菱形，且∠EAF ＝∠B ＝60°，∴∠BAC ＝∠ACF ＝∠B ＝60°，AB ＝BC ，∴∠BAE ＋∠EAC ＝∠EAC ＋∠CAF ＝60°，△ABC 是等边三角形，∴∠BAE ＝∠CAF ，AB ＝AC ，∴△ABE ≌△ACF ，∴AE ＝AF ，S △ACF ＝S △ABE ，∴△AEF 是等边三角形，S 四边形AECF ＝S △ABC ，∴S △CEF ＝S △ABC －S △AEF .∵AB ＝4，△ABC 是等边三角形，∴S △ABC ＝34×42＝43，∴当S △AEF 最小时，S △CEF 最大．∵当AE ⊥BC 时，AE ＝4sin60°＝23，S △AEF 最小，∴S △AEF 最小＝34×(23)2＝33，∴S △CEF 最大＝43－33＝3，即△CEF 面积的最大值为3.类型三与角度有关的问题1.4个【解析】如解图，在正方形内部作∠M ＝120°，且BM ＝MC ，以点M 为圆心，BM 为半径画圆，⊙M 与正方形ABCD 各边及对角线的交点即为满足条件的点P ，共4个．第1题解图2.2或8【解析】如解图，∵BC ＝10，∠BPC ＝90°.∴取BC 的中点O ，则OB ＞AB .∴以点O 为圆心，OB 长为半径作半圆O ，半圆O 一定与AD 相交于P 1、P 2两点，连接P 1B 、P 1O 、P 1C .∵∠BPC ＝90°，点P 不能在矩形外，∴△BPC 的顶点P 在BP ︵1或CP ︵2上．显然，当顶点P 在P 1或P 2位置时，△BPC 的面积最大．过点P 1作P 1E ⊥BC ，垂足为E ，则P 1E ＝4，∴OE ＝52－42＝3，∴AP 1＝BE ＝OB －OE ＝5－3＝2.由对称性，得AP 2＝8；综上所述，点P 到点A 的距离为2或8.第2题解图3.13【解析】如解图，连接BD 交AC 于点O ，设每个小正方形的边长为1，由勾股定理可知：AC ＝32＋32＝32，BD ＝12＋12＝2，AB ＝BC ＝CD ＝AD ＝22＋12＝5，∴四边形ABCD 为菱形，∴AC ⊥BD ，在Rt △OCD 中，tan ∠OCD ＝OD OC ＝12BD 12AC ＝12×212×32＝13，∴tan ∠ACD ＝13.第3题解图4.60°【解析】如解图，将△ADC 绕点A 顺时针旋转90°，使得AD 与AB 重合，得到△ABE ，则∠ABE ＝∠ADC ，∠DAC ＝∠EAB ，AC ＝AE .∵∠BAD ＝∠BCD ＝90°，∴∠ADC ＋∠ABC ＝180°，∠EAC ＝∠BAD ＝90°，∴∠ABE ＋∠ABC ＝180°，∴C 、B 、E 三点共线．过点A 作AF ⊥CE 于点F ，在Rt △ACE 中，∵AE ＝AC ＝6，∴∠E ＝45°，∴AF ＝ 3.在Rt △ABF 中，∵AB ＝2，AF＝3，∴∠ABC ＝60°.第4题解图5.4，1655【解析】在Rt △BEF 中，要求∠EBF 最小时，BF 的长，即求∠BEF 最大时，BF 的长．如解图，过点B 、C 作⊙O ，与AD 相切于点E ，此时∠BEF 最大．连接EO 并延长，交BC 于点G ，则EG 垂直平分BC ，∴AE ＝12AD ＝4，CG ＝12BC ＝4，∴CE ＝42＋82＝45，∴12×8×8＝12×45×BF ，解得BF ＝1655.第5题解图。
中考数学复习---二次函数中三角形存在性问题压轴题练习(含答案解析)
中考数学复习---二次函数中三角形存在性问题压轴题练习（含答案解析）一．相似三角形的存在性1．（2022•陕西）已知抛物线y＝ax2+bx﹣4经过点A（﹣2，0），B（4，0），与y 轴的交点为C．（1）求该抛物线的函数表达式；（2）若点P是该抛物线上一点，且位于其对称轴l的右侧，过点P分别作l，x 轴的垂线，垂足分别为M，N，连接MN．若△PMN和△OBC相似，求点P的坐标．【解答】解：（1）把A（﹣2，0），B（4，0）代入y＝ax2+bx﹣4得：，解得，∴抛物线的函数表达式为y＝x2﹣x﹣4；（2）如图：∵y＝x2﹣x﹣4＝（x﹣1）2﹣，∴抛物线y＝x2﹣x﹣4的对称轴是直线x＝1，在y＝x2﹣x﹣4中，令x＝0得y＝﹣4，∴C（0，﹣4），∴OB＝OC＝4，∴△BOC是等腰直角三角形，∵△PMN和△OBC相似，∴△PMN是等腰直角三角形，∵PM⊥直线x＝1，PN⊥x轴，∴∠MPN＝90°，PM＝PN，设P（m，m2﹣m﹣4），∴|m﹣1|＝|m2﹣m﹣4|，∴m﹣1＝m2﹣m﹣4或m﹣1＝﹣m2+m+4，解得m＝+2或m＝﹣+2或m＝或m＝﹣，∵点P是该抛物线上一点，且位于其对称轴直线x＝1的右侧，∴P的坐标为（+2，+1）或（，1﹣）．2．（2022•绵阳）如图，抛物线y＝ax2+bx+c交x轴于A（﹣1，0），B两点，交y轴于点C（0，3），顶点D的横坐标为1．（1）求抛物线的解析式；（2）在y轴的负半轴上是否存在点P使∠APB+∠ACB＝180°，若存在，求出点P的坐标，若不存在，请说明理由；（3）过点C作直线l与y轴垂直，与抛物线的另一个交点为E，连接AD，AE，DE，在直线l下方的抛物线上是否存在一点M，过点M作MF⊥l，垂足为F，使以M，F，E三点为顶点的三角形与△ADE相似？若存在，请求出M点的坐标，若不存在，请说明理由．【解答】解：（1）∵顶点D的横坐标为1，∴抛物线的对称轴为直线x＝1，∵A（﹣1，0），∴B（3，0），∴设抛物线的解析式为：y＝a（x+1）（x﹣3），将C（0，3）代入抛物线的解析式，则﹣3a＝3，解得a＝﹣1，∴抛物线的解析式为：y＝﹣（x+1）（x﹣3）＝﹣x2+2x+3．（2）存在，P（0，﹣1），理由如下：∵∠APB+∠ACB＝180°，∴∠CAP+∠CBP＝180°，∴点A，C，B，P四点共圆，如图所示，由（1）知，OB＝OC＝3，∴∠OCB＝∠OBC＝45°，∴∠APC＝∠ABC＝45°，∴△AOP是等腰直角三角形，∴OP＝OA＝1，∴P（0，﹣1）．（3）存在，理由如下：由（1）知抛物线的解析式为：y＝﹣x2+2x+3，∴D（1，4），由抛物线的对称性可知，E（2，3），∵A（﹣1，0），∴AD＝2，DE＝，AE＝3．∴AD2＝DE2+AE2，∴△ADE是直角三角形，且∠AED＝90°，DE：AE＝1：3．∵点M在直线l下方的抛物线上，∴设M（t，﹣t2+2t+3），则t＞2或t＜0．∴EF＝|t﹣2|，MF＝3﹣（﹣t2+2t+3）＝t2﹣2t，若△MEF与△ADE相似，则EF：MF＝1：3或MF：EF＝1：3，∴|t﹣2|：（t2﹣2t）＝1：3或（t2﹣2t）：|t﹣2|＝1：3，解得t＝2（舍）或t＝3或﹣3或（舍）或﹣，∴M的坐标为（3，0）或（﹣3，﹣12）或（﹣，）．综上，存在点M，使以M，F，E三点为顶点的三角形与△ADE相似，此时点M的坐标为（3，0）或（﹣3，﹣12）或（﹣，）．3．（2022•恩施州）在平面直角坐标系中，O为坐标原点，抛物线y＝﹣x2+c与y 轴交于点P（0，4）．（1）直接写出抛物线的解析式．（2）如图，将抛物线y＝﹣x2+c向左平移1个单位长度，记平移后的抛物线顶点为Q，平移后的抛物线与x轴交于A、B两点（点A在点B的右侧），与y轴交于点C．判断以B、C、Q三点为顶点的三角形是否为直角三角形，并说明理由．（3）直线BC与抛物线y＝﹣x2+c交于M、N两点（点N在点M的右侧），请探究在x轴上是否存在点T，使得以B、N、T三点为顶点的三角形与△ABC相似，若存在，请求出点T的坐标；若不存在，请说明理由．（4）若将抛物线y＝﹣x2+c进行适当的平移，当平移后的抛物线与直线BC最多只有一个公共点时，请直接写出抛物线y＝﹣x2+c平移的最短距离并求出此时抛物线的顶点坐标．【解答】解：（1）∵抛物线y＝﹣x2+c与y轴交于点P（0，4），∴c＝4，∴抛物线的解析式为y＝﹣x2+4；（2）△BCQ是直角三角形．理由如下：将抛物线y＝﹣x2+4向左平移1个单位长度，得新抛物线y＝﹣（x+1）2+4，∴平移后的抛物线顶点为Q（﹣1，4），令x＝0，得y＝﹣1+4＝3，∴C（0，3），令y＝0，得﹣（x+1）2+4＝0，解得：x1＝1，x2＝﹣3，∴B（﹣3，0），A（1，0），如图1，连接BQ，CQ，PQ，∵P（0，4），Q（﹣1，4），∴PQ⊥y轴，PQ＝1，∵CP＝4﹣3＝1，∴PQ＝CP，∠CPQ＝90°，∴△CPQ是等腰直角三角形，∴∠PCQ＝45°，∵OB＝OC＝3，∠BOC＝90°，∴△BOC是等腰直角三角形，∴∠BCO＝45°，∴∠BCQ＝180°﹣45°﹣45°＝90°，∴△BCQ是直角三角形．（3）在x轴上存在点T，使得以B、N、T三点为顶点的三角形与△ABC相似．∵△ABC是锐角三角形，∠ABC＝45°，∴以B、N、T三点为顶点的三角形与△ABC相似，必须∠NBT＝∠ABC＝45°，即点T在y轴的右侧，设T（x，0），且x＞0，则BT＝x+3，∵B（﹣3，0），A（1，0），C（0，3），∴∠ABC＝45°，AB＝4，BC＝3，设直线BC的解析式为y＝kx+b，则，解得：，∴直线BC的解析式为y＝x+3，由，解得：，，∴M（﹣，），N（，），∴BN＝×＝，①当△NBT∽△CBA时，则＝，∴＝，解得：x＝，∴T（，0）；②当△NBT∽△ABC时，则＝，∴＝，解得：x＝，∴T（，0）；综上所述，点T的坐标T（，0）或（，0）．（4）抛物线y＝﹣x2+4的顶点为P（0，4），∵直线BC的解析式为y＝x+3，∴直线BC与y轴的夹角为45°，当抛物线沿着垂直直线BC的方向平移到只有1个公共点时，平移距离最小，此时向右和向下平移距离相等，设平移后的抛物线的顶点为P′（t，4﹣t），则平移后的抛物线为y＝﹣（x﹣t）2+4﹣t，由﹣（x﹣t）2+4﹣t＝x+3，整理得：x2+（1﹣2t）x+t2+t﹣1＝0，∵平移后的抛物线与直线BC最多只有一个公共点，∴Δ＝（1﹣2t）2﹣4（t2+t﹣1）＝0，解得：t＝，∴平移后的抛物线的顶点为P′（，），平移的最短距离为．二．直角三角形的存在性4．（2022•广安）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+x+m（a≠0）的图象与x轴交于A、C两点，与y轴交于点B，其中点B坐标为（0，﹣4），点C 坐标为（2，0）．（1）求此抛物线的函数解析式．（2）点D是直线AB下方抛物线上一个动点，连接AD、BD，探究是否存在点D，使得△ABD的面积最大？若存在，请求出点D的坐标；若不存在，请说明理由．（3）点P为该抛物线对称轴上的动点，使得△P AB为直角三角形，请求出点P 的坐标．【解答】解：（1）∵抛物线y＝ax2+x+m（a≠0）的图象经过点B（0，﹣4），点C（2，0），∴，解得，∴抛物线的解析式为y＝x2+x﹣4；（2）存在．理由：如图1中，设D （t ，t 2+t ﹣4），连接OD ．令y ＝0，则x 2+x ﹣4＝0，解得x ＝﹣4或2，∴A （﹣4，0），C （2，0），∵B （0，﹣4），∴OA ＝OB ＝4，∵S △ABD ＝S △AOD +S △OBD ﹣S △AOB ＝×4×（﹣﹣t +4）+×4×（﹣t ）﹣×4×4＝﹣t 2﹣4t ＝﹣（t +2）2+4，∵﹣1＜0，∴t ＝﹣2时，△ABD 的面积最大，最大值为4，此时D （﹣2，﹣4）； （3）如图2中，设抛物线的对称轴交x 轴于点N ，过点B 作BM ⊥抛物线的对称轴于点M ．则N （﹣1.0）．M （﹣1，﹣4）；∵OA＝OB＝4，∠AOB＝90°，∴∠OAB＝∠OBA＝45°，当∠P1AB＝90°时，△ANP1是等腰直角三角形，∴AN＝NP1＝3，∴P1（﹣1，3），当∠ABP2＝90°时，△BMP2是等腰直角三角形，可得P2（﹣1，﹣5），当∠APB＝90°时，设P（﹣1，n），设AB的中点为J，连接PJ，则J（﹣2，﹣2），∴PJ＝AB＝2，∴12+（n+2）2＝（2）2，解得n＝﹣2或﹣﹣2，∴P3（﹣1，﹣2），P4（﹣1，﹣﹣2），综上所述，满足条件的点P的坐标为（﹣1，3）或（﹣1，﹣5）或（﹣1，﹣2）或（﹣1，﹣﹣2）．5．（2022•辽宁）如图，抛物线y＝ax2﹣3x+c与x轴交于A（﹣4，0），B两点，与y轴交于点C（0，4），点D为x轴上方抛物线上的动点，射线OD交直线AC 于点E，将射线OD绕点O逆时针旋转45°得到射线OP，OP交直线AC于点F，连接DF．（1）求抛物线的解析式；（2）当点D在第二象限且＝时，求点D的坐标；（3）当△ODF为直角三角形时，请直接写出点D的坐标．【解答】解：（1）将点A（﹣4，0），C（0，4）代入y＝ax2﹣3x+c，∴，解得，∴y＝﹣x2﹣3x+4；（2）过点D作DG⊥AB交于G，交AC于点H，设直线AC的解析式为y＝kx+b，∴，解得，∴y＝x+4，设D（n，﹣n2﹣3n+4），H（n，n+4），∴DH＝﹣n2﹣4n，∵DH∥OC，∴＝＝，∵OC＝4，∴DH＝3，∴﹣n2﹣4n＝3，解得n＝﹣1或n＝﹣3，∴D（﹣1，6）或（﹣3，4）；（3）设F（t，t+4），当∠FDO＝90°时，过点D作MN⊥y轴交于点N，过点F作FM⊥MN交于点M，∵∠DOF＝45°，∴DF＝DO，∵∠MDF+∠NDO＝90°，∠MDF+∠MFD＝90°，∴∠NDO＝∠MFD，∴△MDF≌△NOD（AAS），∴DM＝ON，MF＝DN，∴DN+ON＝﹣t，DN＝ON+（﹣t﹣4），∴DN＝﹣t﹣2，ON＝2，∴D点纵坐标为2，∴﹣x2﹣3x+4＝2，解得x＝或x＝，∴D点坐标为（，2）或（，2）；当∠DFO＝90°时，过点F作KL⊥x轴交于L点，过点D作DK⊥KL交于点K，∵∠KFD+∠LFO＝90°，∠KFD+∠KDF＝90°，∴∠LFO＝∠KDF，∵DF＝FO，∴△KDF≌△LFO（AAS），∴KD＝FL，KF＝LO，∴KL＝t+4﹣t＝4，∴D点纵坐标为4，∴﹣x2﹣3x+4＝4，解得x＝0或x＝﹣3，∴D（0，4）或（﹣3，4）；综上所述：D点坐标为（，2）或（，2）或（0，4）或（﹣3，4）．三．等腰三角形的存在性6．（2022•百色）已知抛物线经过A（﹣1，0）、B（0，3）、C（3，0）三点，O 为坐标原点，抛物线交正方形OBDC的边BD于点E，点M为射线BD上一动点，连接OM，交BC于点F．（1）求抛物线的表达式；（2）求证：∠BOF＝∠BDF；（3）是否存在点M，使△MDF为等腰三角形？若不存在，请说明理由；若存在，求ME的长．【解答】（1）解：设抛物线的表达式为y＝ax2+bx+c，把A（﹣1，0）、B（0，3）、C（3，0）代入得：，解得，∴抛物线的表达式为：y＝﹣x2+2x+3；（2）证明：∵正方形OBDC，∴∠OBC＝∠DBC，BD＝OB，∵BF＝BF，∴△BOF≌△BDF，∴∠BOF＝∠BDF；（3）解：∵抛物线交正方形OBDC的边BD于点E，∴令y＝3，则3＝﹣x2+2x+3，解得：x1＝0，x2＝2，∴E（2，3），①如图，当M在线段BD的延长线上时，∠BDF为锐角，∴∠FDM为钝角，∵△MDF为等腰三角形，∴DF＝DM，∴∠M＝∠DFM，∴∠BDF＝∠M+∠DFM＝2∠M，∵BM∥OC，∴∠M＝∠MOC，由（2）得∠BOF＝∠BDF，∴∠BDF+∠MOC＝3∠M＝90°，∴∠M＝30°，在Rt△BOM中，BM＝，∴ME＝BM﹣BE＝3﹣2；②如图，当M在线段BD上时，∠DMF为钝角，∵△MDF为等腰三角形，∴MF＝DM，∴∠BDF＝∠MFD，∴∠BMO＝∠BDF+∠MFD＝2∠BDF，由（2）得∠BOF＝∠BDF，∴∠BMO＝2∠BOM，∴∠BOM+∠BMO＝3∠BOM＝90°，∴∠BOM＝30°，在Rt△BOM中，BM＝，∴ME＝BE﹣BM＝2﹣，综上所述，ME的值为：3﹣2或2﹣．7．（2022•山西）综合与探究如图，二次函数y＝﹣x2+x+4的图象与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C．点P是第一象限内二次函数图象上的一个动点，设点P的横坐标为m．过点P作直线PD⊥x轴于点D，作直线BC交PD于点E．（1）求A，B，C三点的坐标，并直接写出直线BC的函数表达式；（2）当△CEP是以PE为底边的等腰三角形时，求点P的坐标；（3）连接AC，过点P作直线l∥AC，交y轴于点F，连接DF．试探究：在点P 运动的过程中，是否存在点P，使得CE＝FD，若存在，请直接写出m的值；若不存在，请说明理由．【解答】解：（1）在y＝﹣x2+x+4中，令x＝0得y＝4，令y＝0得x＝8或x＝﹣2，∴A（﹣2，0），B（8，0），C（0，4），设直线BC解析式为y＝kx+4，将B（8，0）代入得：8k+4＝0，解得k＝﹣，∴直线BC解析式为y＝﹣x+4；（2）过C作CG⊥PD于G，如图：设P（m，﹣m2+m+4），∴PD＝﹣m2+m+4，∵∠COD＝∠PDO＝∠CGD＝90°，∴四边形CODG是矩形，∴DG＝OC＝4，CG＝OD＝m，∴PG＝PD﹣DG＝﹣m2+m+4﹣4＝﹣m2+m，∵CP＝CE，CG⊥PD，∴GE＝PG＝﹣m2+m，∵∠GCE＝∠OBC，∠CGE＝90°＝∠BOC，∴△CGE∽△BOC，∴＝，即＝，解得m＝0（舍去）或m＝4，∴P（4，6）；（3）存在点P，使得CE＝FD，理由如下：过C作CH⊥PD于H，如图：设P（m，﹣m2+m+4），由A（﹣2，0），C（0，4）可得直线AC解析式为y＝2x+4，根据PF∥AC，设直线PF解析式为y＝2x+b，将P（m，﹣m2+m+4）代入得：﹣m2+m+4＝2m+b，∴b＝﹣m2﹣m+4，∴直线PF解析式为y＝2x﹣m2﹣m+4，令x＝0得y＝﹣m2﹣m+4，∴F（0，﹣m2﹣m+4），∴OF＝|﹣m2﹣m+4|，同（2）可得四边形CODH是矩形，∴CH＝OD，∵CE＝FD，∴Rt△CHE≌Rt△DOF（HL），∴∠HCE＝∠FDO，∵∠HCE＝∠CBO，∴∠FDO＝∠CBO，∴tan∠FDO＝tan∠CBO，∴＝，即＝，∴﹣m2﹣m+4＝m或﹣m2﹣m+4＝﹣m，解得m＝2﹣2或m＝﹣2﹣2或m＝4或m＝﹣4，∵P在第一象限，∴m＝2﹣2或m＝4．8．（2022•东营）如图，抛物线y＝ax2+bx﹣3（a≠0）与x轴交于点A（﹣1，0），点B（3，0），与y轴交于点C．（1）求抛物线的表达式；（2）在对称轴上找一点Q，使△ACQ的周长最小，求点Q的坐标；（3）点P是抛物线对称轴上的一点，点M是对称轴左侧抛物线上的一点，当△PMB是以PB为腰的等腰直角三角形时，请直接写出所有点M的坐标．【解答】解：（1）将点A（﹣1，0），点B（3，0）代入y＝ax2+bx﹣3，∴，解得，∴y＝x2﹣2x﹣3；（2）连接CB交对称轴于点Q，∵y＝x2﹣2x﹣3＝（x﹣1）2﹣4，∴抛物线的对称轴为直线x＝1，∵A、B关于对称轴x＝1对称，∴AQ＝BQ，∴AC+AQ+CQ＝AC+CQ+BQ≥AC+BC，当C、B、Q三点共线时，△ACQ的周长最小，∵C（0，﹣3），B（3，0），设直线BC的解析式为y＝kx+b，∴，解得，∴y＝x﹣3，∴Q（1，﹣2）；（3）当∠BPM＝90°时，PM＝PB，∴M点与A点重合，∴M（﹣1，0）；当∠PBM＝90°时，PB＝BM，如图1，当P点在M点上方时，过点B作x轴的垂线GH，过点P作PH⊥GH 交于H，过点M作MG⊥HG交于G，∵∠PBM＝90°，∴∠PBH+∠MBG＝90°，∵∠PBH+∠BPH＝90°，∴∠MBG＝∠BPH，∵BP＝BM，∴△BPH≌△MBG（AAS），∴BH＝MG，PH＝BG＝2，设P（1，t），则M（3﹣t，﹣2），∴﹣2＝（3﹣t）2﹣2（3﹣t）﹣3，解得t＝2+或t＝2﹣，∴M（1﹣，﹣2）或（1+，﹣2），∵M点在对称轴的左侧，∴M点坐标为（1﹣，﹣2）；如图2，当P点在M点下方时，同理可得M（3+t，2），∴2＝（3+t）2﹣2（3+t）﹣3，解得t＝﹣2+（舍）或t＝﹣2﹣，∴M（1﹣，2）；综上所述：M点的坐标为（1﹣，﹣2）或（1﹣，2）或（﹣1，0）．9．（2022•枣庄）如图①，已知抛物线L：y＝x2+bx+c经过点A（0，3），B（1，0），过点A作AC∥x轴交抛物线于点C，∠AOB的平分线交线段AC于点E，点P是抛物线上的一个动点．（1）求抛物线的关系式；（2）若动点P在直线OE下方的抛物线上，连结PE、PO，当△OPE面积最大时，求出P点坐标；（3）将抛物线L向上平移h个单位长度，使平移后所得抛物线的顶点落在△OAE 内（包括△OAE的边界），求h的取值范围；（4）如图②，F是抛物线的对称轴l上的一点，在抛物线上是否存在点P，使△POF成为以点P为直角顶点的等腰直角三角形？若存在，直接写出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由．【解答】解：（1）∵抛物线L：y＝x2+bx+c经过点A（0，3），B（1，0），∴，解得，∴抛物线的解析式为：y＝x2﹣4x+3；（2）如图，过P作PG∥y轴，交OE于点G，设P（m，m2﹣4m+3），∵OE平分∠AOB，∠AOB＝90°，∴∠AOE＝45°，∴△AOE是等腰直角三角形，∴AE＝OA＝3，∴E（3，3），∴直线OE的解析式为：y＝x，∴G（m，m），∴PG＝m﹣（m2﹣4m+3）＝﹣m2+5m﹣3，∴S△OPE ＝S△OPG+S△EPG＝PG•AE＝×3×（﹣m2+5m﹣3）＝﹣（m2﹣5m+3）＝﹣（m﹣）2+，∵﹣＜0，∴当m＝时，△OPE面积最大，此时，P点坐标为（，﹣）；（3）由y＝x2﹣4x+3＝（x﹣2）2﹣1，得抛物线l的对称轴为直线x＝2，顶点为（2，﹣1），抛物线L向上平移h个单位长度后顶点为F（2，﹣1+h）．设直线x＝2交OE于点M，交AE于点N，则E（3，3），∵直线OE的解析式为：y＝x，∴M（2，2），∵点F在△OAE内（包括△OAE的边界），∴2≤﹣1+h≤3，解得3≤h≤4；（4）设P（m，m2﹣4m+3），分四种情况：①当P在对称轴的左边，且在x轴下方时，如图，过P作MN⊥y轴，交y轴于M，交l于N，∴∠OMP＝∠PNF＝90°，∵△OPF是等腰直角三角形，∴OP＝PF，∠OPF＝90°，∴∠OPM+∠NPF＝∠PFN+∠NPF＝90°，∴∠OPM＝∠PFN，∴△OMP≌△PNF（AAS），∴OM＝PN，∵P（m，m2﹣4m+3），则﹣m2+4m﹣3＝2﹣m，解得：m＝（舍）或，∴P的坐标为（，）；②当P在对称轴的左边，且在x轴上方时，同理得：2﹣m＝m2﹣4m+3，解得：m1＝（舍）或m2＝，∴P的坐标为（，）；③当P在对称轴的右边，且在x轴下方时，如图，过P作MN⊥x轴于N，过F作FM⊥MN于M，同理得△ONP≌△PMF，∴PN＝FM，则﹣m2+4m﹣3＝m﹣2，解得：m1＝或m2＝（舍）；P的坐标为（，）；④当P在对称轴的右边，且在x轴上方时，如图，同理得m2﹣4m+3＝m﹣2，解得：m＝或（舍），P的坐标为：（，）；综上所述，点P的坐标是：（，）或（，）或（，）或（，）．方法二：作直线DE：y＝x﹣2，E（1，﹣1）是D点（2，0）绕O点顺时针旋转45°并且OD缩小倍得到，易知直线DE即为对称轴上的点绕O点顺时针旋转45°，且到O点距离缩小倍的轨迹，联立直线DE和抛物线解析式得x2﹣4x+3＝x﹣2，解得x1＝，x2＝，同理可得x3＝或x4＝；综上所述，点P的坐标是：（，）或（，）或（，）或（，）．10．（2023•澄城县一模）如图，抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴交于点A（﹣1，0）、B，与y轴交于点C（0，3），直线l是抛物线的对称轴．（1）求抛物线的函数解析式；（2）在对称轴l上是否存在点M，使△MAC为等腰三角形，若存在，求出所有符合条件的点M的坐标；若不存在，请说明理由．【解答】解：（1）把点A（﹣1，0）、点C（0，3）分别代入y＝﹣x2+bx+c，得．解得．故该抛物线解析式为：y＝﹣x2+2x+3；（2）由（1）知，该抛物线解析式为：y＝﹣x2+2x+3．则该抛物线的对称轴为直线x＝﹣＝1．故设M（1，m）．∵A（﹣1，0）、点C（0，3），∴AC2＝10，AM2＝4+m2，CM2＝1+（m﹣3）2．①若AC＝AM时，10＝4+m2，解得m＝±．∴点M的坐标为（1，）或（1，﹣）；②若AC＝CM时，10＝1+（m﹣3）2，解得m＝0或m＝6，∴点M的坐标为（1，0）或（1，6）．当点M的坐标为（1，6）时，点A、C、M共线，∴点M的坐标为（1，0）；③当AM＝CM时，4+m2＝1+（m﹣3）2，解得m＝1，∴点M的坐标为（1，1）．综上所述，符合条件的点M的坐标为（1，）或（1，﹣）或（1，0）或（1，1）．11．（2023•碑林区校级一模）二次函数y＝ax2+bx+2的图象交x轴于A（﹣1，0），B（4，0）两点，交y轴于点C，动点M从点A出发，以每秒2个单位长度的速度沿AB方向运动，过点M作MN⊥x轴交直线BC于点N，交抛物线于点D，连接AC，设运动的时间为t秒．（1）求二次函数y＝ax2+bx+2的表达式；（2）在直线MN上存在一点P，当△PBC是以∠BPC为直角的等腰直角三角形时，求此时点D的坐标．【解答】解：（1）将点（﹣1，0），B（4，0）代入y＝ax2+bx+2，∴a＝﹣，b＝，∴y＝﹣x2+x+2；（2）∵BM＝5﹣2t，∴M（2t﹣1，0），设P（2t﹣1，m），∵PC2＝（2t﹣1）2+（m﹣2）2，PB2＝（2t﹣5）2+m2，∵PB＝PC，∴（2t﹣1）2+（m﹣2）2＝（2t﹣5）2+m2，∴m＝4t﹣5，∴P（2t﹣1，4t﹣5），∵PC⊥PB，∴×＝﹣1，∴t＝1或t＝2，∴M（1，0）或M（3，0），∴D（1，3）或D（3，2）．12．（2023•东洲区模拟）抛物线y＝ax2+bx+3经过A（﹣1，0），B（3，0）两点，与y轴正半轴交于点C．（1）求此抛物线解析式；（2）如图①，连接BC，点P为抛物线第一象限上一点，设点P的横坐标为m，△PBC的面积为S，求S与m的函数关系式，并求S最大时P点坐标；（3）如图②，连接AC，在抛物线的对称轴上是否存在点M，使△MAC为等腰三角形？若存在，请直接写出符合条件的点M的坐标；若不存在，请说明理由．【解答】解：（1）∵抛物线y＝ax2+bx+3经过A（﹣1，0），B（3，0）两点，∴，解得：，∴抛物线解析式为y＝﹣x2+2x+3；（2）点P作PF⊥x轴于点F，交BC于点E，设BC直线解析式为：y＝kx+b，∵B（3，0），C（0，3），∴，解得，∴y＝﹣x+3，由题意可知P（m，﹣m2+2m+3），E（m，﹣m+3），S＝S△PBE+S△PCE，S＝PE•OB＝（﹣m2+2m+3+m﹣3）×3，，∵，∴当时，S有最大值，此时P点坐标为；（3）存在，M1（1，0），，，M4（1，1），①当AC＝AM时，如图，设对称轴l与AB交于点E，则，∵AM2＝AE2+EM2，∴，解得：，∴M点的坐标为或，②当AC＝MC时，则OC为AM的垂直平分线．因此M与E重合，因此，M点的坐标为（1，0），③当AM＝CM时，如图，设M点的坐标为（1，n），则AM2＝22+n2＝4+n2，CM2＝12+（3﹣n）2，∴4+n2＝12+（3﹣n）2，解得：n＝1，∴M点的坐标为（1，1），综上可知，潢足条件的M点共四个，其坐标为M1（1，0），，，M4（1，1）．13．（2023•三亚一模）如图，抛物线y＝ax2+3x+c（a≠0）与x轴交于点A（﹣2，0）和点B，与y轴交于点C（0，8），顶点为D，连接AC，CD，DB，直线BC 与抛物线的对称轴l交于点E．（1）求抛物线的解析式和直线BC的解析式；（2）求四边形ABDC的面积；（3）P是第一象限内抛物线上的动点，连接PB，PC，当S△PBC ＝S△ABC时，求点P的坐标；（4）在抛物线的对称轴l上是否存在点M，使得△BEM为等腰三角形？若存在，请直接写出点M的坐标；若不存在，请说明理由．【解答】解：（1）∵抛物线y＝ax2+3x+c（a≠0）过点A（﹣2，0）和C（0，8），∴，解得，∴抛物线的解析式为y＝﹣x2+3x+8．令y＝0，得．解得x1＝﹣2，x2＝8．∴点B的坐标为（8，0）．设直线BC的解析式为y＝kx+b．把点B（8，0），C（0，8）分别代入y＝kx+b，得，解得，∴直线BC的解析式为y＝﹣x+8．（2）如图1，设抛物线的对称轴l与x轴交于点H．∵抛物线的解析式为，∴顶点D的坐标为．∴S四边形ABDC ＝S△AOC+S梯形OCDH+S△BDH＝＝＝70．（3）∵．∴．如图2，过点P作PG⊥x轴，交x轴于点G，交BC于点F．设点．∵点F在直线BC上，∴F（t，﹣t+8）．∴．∴．∴．解得t1＝2，t2＝6．∴点P的坐标为（2，12）或P（6，8）．（4）存在．∵△BEM为等腰三角形，∴BM＝EM或BE＝BM或BE＝EM，设M（3，m），∵B（8，0），E（3，5），∴BE＝＝5，EM＝|m﹣5|，BM＝＝，当BM＝EM时，＝|m﹣5|，∴m2+25＝（m﹣5）2，解得：m＝0，∴M（3，0）；当BE＝BM时，5＝，∴m2+25＝50，解得：m＝﹣5或m＝5（舍去），∴M（3，﹣5）；当BE＝EM时，5＝|m﹣5|，解得：m＝5+5或m＝5﹣5，∴M（3，5+5）或（3，5﹣5），综上所述，点M的坐标为（3，0）或（3，﹣5）或（3，5+5）或（3，5﹣5）．14．（2023•南海区一模）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx﹣3（a ＞0）与x轴交于A（﹣1，0）、B（3，0）两点，与y轴交于点C．（1）求抛物线的解析式；（2）点P为直线BC下方抛物线上的一动点，PM⊥BC于点M，PN∥y轴交BC 于点N．求线段PM的最大值和此时点P的坐标；（3）点E为x轴上一动点，点Q为抛物线上一动点，是否存在以CQ为斜边的等腰直角三角形CEQ？若存在，请直接写出点E的坐标；若不存在，请说明理由．【解答】解：（1）将A（﹣1，0），B（3，0）代入函数y＝ax2+bx﹣3（a＞0）中，得，解得，∴解析式为y＝x2﹣2x﹣3，故抛物线解析式为y＝x2﹣2x﹣3；（2）当x＝0时，y＝3，∴C（0，﹣3），∵B（3，0），∴∠OCB＝∠OBC＝45°，∵PN∥y轴，∴∠MNP＝45°，∵PM⊥BC，∴PM＝PN，则当PN最大时，PM也最大，设BC的解析式为y＝mx+n，∴，解得，∴BC解析式为y＝x﹣3，设P（x，x2﹣2x﹣3），N（x，x﹣3），∴PN＝x﹣3﹣（x2﹣2x﹣3）＝﹣（x﹣）2+，当x＝时，PN最大，则PM＝PN＝×＝，∴P（，），故PM最大值为，P点坐标为（，﹣）；（3）存在，点E的坐标为（﹣5，0），（，0），（0，0），（，0）．∵CEQ是以CQ为斜边的等腰直角三角形，∴设Q（x，x2﹣2x﹣3），①如图，过点E作x轴的垂线l，再分别过点C和点Q作垂线l的垂线，分别交于点M和点N，∵∠CEQ＝90°，∴∠QEM+∠CEN＝90°，∵∠QEM+∠MQE＝90°，∴∠EQM＝∠CEN，∵∠CNE＝∠QME＝90°，EC＝EQ，∴△EMQ≌△CNE（AAS），∴CN＝EM＝x2﹣2x﹣3，MQ＝EN＝3，∴|x Q|+MQ＝CN，﹣x+3＝x2﹣2x﹣3，解得x＝﹣2，x＝3（舍去），∴OE＝CM＝2+3＝5，E（﹣5，0），②如图，过点E作x轴的垂线l，再分别过点C和点Q作垂线l的垂线，分别交于点M和点N，同理：△EMC≌△QNE（AAS），CM＝EN＝x2﹣2x﹣3，NQ＝EM＝3，∴﹣x+x2﹣2x﹣3＝3，解得x＝，x＝（舍去），∴OE＝CM＝，E（，0），③如图，点E和点O重合，点Q和点B重合，此时E（0，0），④如图，过点E作x轴的垂线l，再分别过点C和点Q作垂线l的垂线，分别交于点M和点N，同理：△EMC≌△QNE（AAS），CM＝EN＝x2﹣2x﹣3，NQ＝EM＝3，∴x+3＝x2﹣2x﹣3，解得x＝，x＝（舍去），∴OE＝CM＝，E（，0），综上所述，点E的坐标为（﹣5，0），（，0），（0，0），（，0）41。
陕西省中考数学 专题聚焦四 压轴题课件
的坐标为(6，4)，如图1，
连接BA′交对称轴于点P，连接AP，AB，此时△PAB的周长最
小．设直线BA′的解析式为y＝kx＋b，把A′(6，4)，B(1，0)代入得
04＝＝k6＋k＋b，b， 解得 kb＝＝45－，45，∵点P的横坐标为3，∴y＝
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2．(2015·酒泉)如图，在直角坐标系中，抛物线经过点A(0，4) ，B(1，0)，C(5，0)，其对称轴与x轴相交于点M.
(1)求抛物线的解析式和对称轴； (2)在抛物线的对称轴上是否存在一点P，使△PAB的周长最小 ？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由； (3)连接AC，在直线AC的下方的抛物线上，是否存在一点N， 使△NAC的面积最大？若存在，请求出点N的坐标；若不存在， 请说明理由．
专题四 压轴题
中考数学压轴题，它考察的是学生对所学知识的综合应用， 具有一定的难度．一般情况下，命题设置有三个问题，问题情境 涉及人们在日常生活中的方方面面．第一个问题比较简单，后面 的问题往往要用到第一个问题的方法或结论．纵览各地中考数学 压轴题，我们发现大致有：面积最值问题、线段最值问题，探究 存在性问题等．只要我们认真审题，充分利用命题所给的条件， 完成中考数学压轴题，我们应该具有百分百的自信心．
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x＋4，把x＝t代入得：y
＝－45t＋4，则G(t，－45t＋4)，此时：NG＝－45t＋4－(45t2－254t＋4)＝－45t2
＋4t，∵AD＋CF＝CO＝5，∴S△ACN＝S△ANG＋S△CGN＝
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OF×NG＋
1 2
NG×
CF＝
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NG·OC＝
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×(－
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t2＋4t)×5＝－2t2＋10t＝－2(t－
陕西近10年中考数学真题及副题整理专题
陕西近10年中考数学真题及副题整理专题陕西近7年中考数学真题及副题选择题⼀、选择题（共14⼩题，每⼩题3分，计30分.每⼩题只有⼀个选项是符合题意的） 1. 计算：（-3)0=（）(2019)A. 1B.0 C 3 D.13-1、下列四个实数中，最⼤的是（）（2019副） A. 2 B.3 C. 0 D. ﹣11. －78的相反数是（）(2018)A ．－87 B. 87 C ．－78 D. 781. －711的倒数是( )(2018副)A.711 B. －711 C. 117 D. －1171、计算：(－12)2－1＝( )（2017）A. －54B. －14C. －34 D. 01. 计算： 3－2＝（）（2017副）A. －19B. 19C. －6D. －161. 计算：(－1A. －1B. 1C. 4D. －41.计算：(－3)×(－13)＝（）（2016副）A.－1B.1C.－9D.9 1. 计算：(－23)0＝( )（2015）A. 1B. －32C. 0D. 231.下列四个实数中，最⼤的是（）（2015副） A.0 B.3 C.2 D.－1 1. 计算：(－3)2＝（）（2014副）A. －6B. 6C. －9D. 9 1. 4的算术平⽅根是( )（2014）A. －2B. 2C. －12D. 121.－23的倒数是（）（2013副）A.－32B.32C.－233-D.52. 如图，是由两个正⽅体组成的⼏何体，则该⼏何体的俯视图为（）(2019)2.下列图形中，经过折叠可以得到四棱柱的是 ( )(2018副)2. 如图，是⼀个⼏何体的表⾯展开图，则该⼏何体是( )2018)A. 正⽅体B. 长⽅体C. 三棱柱D. 四棱锥2.如图的⼏何体是由⼀平⾯将⼀圆柱体截去⼀部分后所得，则该⼏何体的俯视图是（）（2017副）2. 如图所⽰的⼏何体是由⼀个长⽅体和⼀个圆柱体组成的，则它的主视图是( )（2017）2.如图，下⾯的⼏何体由两个⼤⼩相同的正⽅体和⼀个圆柱体组成，则它的左视图是（）（2016副）2. 如图，下⾯的⼏何体由三个⼤⼩相同的⼩⽴⽅块组成，则它的左视图是( )（2016）2、如图是⼀枚古钱币的⽰意图，它的左视图是（）（2015副）2. 如图是⼀个螺母的⽰意图，它的俯视图是()（2015）2、如图，下⾯⼏何体是由⼀个圆柱被经过上下底⾯圆⼼的平⾯截得的，则它的左视图是（）（2014副）2、下图是⼀个正⽅体被截去⼀个直三棱柱得到的⼏何体，则该⼏何体的左视图是() （2014）2、如图，将直⾓三⾓形绕其⼀条直⾓边所在直线l旋转⼀周，得到的⼏何体是（）（2013副）2、如图，下⾯的⼏何体是由⼀个圆柱和⼀个长⽅体组成的，则它的俯视图是（）（2013）3.如图，OC是∠AOB的平分线，l P OB，若∠1=52o，则∠2的度数为（）（2019）A.52oB.54oC.64oD.69o3. 如图，直线a∥b，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC⊥b，垂⾜为A，则图中与∠1互余的⾓有（）（2018副）A．2个B．3个C．4个D．5个3. 如图，若l1∥l2，l3∥l4，则图中与∠1互补的⾓有()（2018）A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个（）（2017副）A. 30°B. 38°C. 52°D. 72°3. 如图，直线a∥b，Rt△ABC的直⾓顶点B落在直线a上．若∠1＝25°，则∠2的⼤⼩为()（2017）A. 55°B. 75°C. 65°D. 85°3..如图，AB∥CD.若∠1＝40°，∠2＝65°，则∠CAD＝（）（2016副）A.50°B.65°C.75°D.85°3.如图，AB∥CD，AE平分∠CAB交CD于点E.若∠C＝50°，则∠AED＝()（2016）A. 65°B. 115°C. 125°D. 130°3、如图，AB∥CD，直线EF交直线AB、CD于点E、F，FH 平分∠CFE.若∠EFD＝70°，则∠EHF的度数为（）（2015副）A.35°B.55°C.65°D.70°3、. 如图，AB∥CD，直线EF分别交直线AB、CD于点E、F.若∠1＝46°30′，则∠2的度数为()（2015）A. 43°30′D. 153°30′3. 如图，∠B＝40°，∠ACD＝108°.若B、C、D三点在⼀条直线上，则∠A的⼤⼩是（）（2014副）(第4题图)A. 148°B. 78°C. 68°D. 50°3. ⼩军旅⾏箱的密码是⼀个六位数，由于他忘记了密码的末位数字，则⼩军能⼀次打开该旅⾏箱的概率是()（2014）A. 110 B.19 C.16 D.153、.如图，AB∥CD，AE平分∠CAB交CD于点E.若∠C＝50°，则∠AED的⼤⼩为（）（2013副）(第4题图)A.55°B.105°C.65°D.115°3.如图，AB∥CD，∠CED=90°，∠AEC=35°，则∠D的⼤⼩为（）（2013）A.65°B.55°C.45°D.35°4.若正⽐例函数y=-2x的图象经过点（a-1，4），则a的值为（）A.-1B.0C.1D.24. 若正⽐例函数y＝kx的图象经过第⼆、四象限，且过点A(2m，12B．－2 C．－1 D．14. 如图，在矩形AOBC中，A(－2，0)，B(0，1)．若正⽐例函数y ＝kx的图象经过点C，则k的值为()A. －12 B.12 C. －2 D. 24. 若正⽐例函数y＝kx(k≠0)的图象经过点(2，1－k)，则k的值为A. 1B. －13 C. －1 D.134. 若⼀个正⽐例函数的图象经过A(3，－6)，B(m，－4)两点，则m的值为()A. 2B. 8C. －2D. －84.设点A(－3，a)，B(b，12)在同⼀个正⽐例函数的图象上，则ab的值为（）A.－23 B.－32 C.－6 D.322x图象上的任意⼀点，则下列等式⼀定成⽴的是()A. 2a＋3b＝0B. 2a－3b＝0C.3a－2b＝0D. 3a＋2b＝04..对于正⽐例函数y＝－3x，当⾃变量x的值增加1时，函数y的值增加（）A.－3B.3C.－13 D.135. 设正⽐例函数y＝mx的图象经过点A(m，4)，且y的值随x值的增⼤⽽减⼩，则m＝()A. 2B. －2C. 4D. －43. 若正⽐例函数y＝2x的图象经过点A(m，3m＋1)，则m的值为（）A. 1B. －1C.25 D. －254.若点A(－2，m)在正⽐例函数y＝－12x的图象上，则m的值是14 B. －14 C. 1 D. －14..若⼀个正⽐例函数的图象经过点(－3，2)，则这个图象⼀定也经过点（）A.(2，－3)B.(32，－1) C.(－1，1) D.(2，－2)4.如果⼀个正⽐例函数的图象经过不同．．象限的两点A(2,m),B(n,3)，那么⼀定有（）A.m＞0,n＞0B.m＞0,n＜0C.m＜0,n＞0D.m＜0,n＜05.下列计算正确的是（）A.222236a a a=g B.2242(36a b a b-=）C.222--a b a b=（） D.222-2A．a2＋a3＝a5B．2x2·(－13xy)＝－23x3yC．(a－b)(－a－b)＝a2－b2D．(－2x2y)3＝－6x6y35. 下列计算正确的是()A. a2·a2＝2a4B. (－a2)3＝－a6C. 3a2－6a2＝3a2D. (a－2)2＝a2－45. 化简：a＋1－a2a＋1，结果正确的是A. 2a＋1B. 1C.1a＋1D.2a＋1a＋15. 化简：yxyyxx+A. 1B.2222yxyx-+C.yxyx+-D. x2＋y23.计算：(－2x2y)3＝A.－8x6y3B.8x6y3C.－6x6y3D.6x5y35. 下列计算正确的是()A. x2＋3x2＝4x4B. x2y·2x3＝2x6yC. (6x3y2)÷(3x)＝2x2D. (－3x)2＝9x25.下列计算正确的是（）A.a2＋a3＝a5D.6a2b÷(－2ab)＝－3a5. 下列计算正确的是()A. a2·a3＝a6B. (－2ab)2＝4a2b2C. (a2)3＝a5D. 3a3b2÷a2b2＝3ab5. ⼀天上午，张⼤伯家销售了10箱西红柿，销售的情况如下表：箱数 1 2 3 4各箱的售价80 87 85 86则这10箱西红柿售价的中位数和众数分别是（）A. 85和86B. 85.5和86C. 86和86D. 86.5和865. 某区10名学⽣参加市级汉字听写⼤赛，他们得分情况如下表：⼈数342 1分数80859095那么这10名学⽣所得分数的平均数和众数分别是() A. 85和82.5 B. 85.5和85 C. 85和85 D. 85.5和805.若a≠0，则下列运算正确的是（）A.a3－a2＝aB.a3·a2＝a6C.a3＋a2＝a5D.a3÷a2＝a5.我省某市五⽉份第⼆周连续七天的空⽓质量指数分别为：111，96，47，68，70，77，105，则这七天空⽓质量指数的平均数是（）A.71.8 B.77 C.82 D.95.76.如图，在△ABC中，∠B=30°，∠C=45°，AD平分∠BAC交BC于点D，DE⊥AB，垂⾜为E.若DE=1，则BC的长为( )A.2+2B.2+3C.2+3D.36. 如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝65°，CD⊥AB，垂⾜为D，E是BC的中点，连接ED，则∠DEC的度数是A．25°B．30°C．40°D．50°6. 如图，在△ABC中，AC＝8，∠ABC＝60°，∠C＝45°，AD⊥BC，垂⾜为D，∠ABC的平分线交AD于点E，则AE的长为()A.43 2 B. 2 2 C.83 2 D. 3 26. 如图，在△ABC中，∠A＝60°，∠B＝45°.若边AC的垂直平分线DE交边AB于点D，交边AC于点E，连接CD，则∠DCB＝A. 15°B. 20°C. 25°D. 30°6. 如图，将两个⼤⼩、形状完全相同的△ABC和△A′B′C′拼在⼀起，其中点A′与点A重合，点C′落在边AB上，连接B′C.若∠ACB＝∠AC′B′＝90°，AC＝BC＝3，则B′C的长为()A. 3 3B. 6C. 3 2D. 216.如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝20，AC＝15，△ABC的⾼AD与⾓平分线CF交于点E，则AFDE的值为（）A.35 B.34C.12 D.236. 如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝8，BC＝6.若DE是△ABC 的中位线，延长DE交△ABC的外⾓∠ACM的平分线于点F，则线段DF的长为()A. 7B. 8C. 9D. 106.如图，点P是△ABC内⼀点，且P A＝PB＝PC，则点P是（）A.△ABC三条中线的交点B.△ABC三条⾼线的交点C.△ABC三条⾓平分线的交点D.△ABC三边垂直平分线的交点6. 如图，在△ABC中，∠A＝36°，AB＝AC，BD是△ABC的⾓平分线．若在边AB上截取BE＝BC，连接DE，则图中等腰三⾓形共有()A. 2个B. 3个C. 4个D. 5个6. 不等式组≤-+13252xx＞的最⼩整数解是（）A. －3B. －2C. 0D. 16. 把不等式组x＋2>13－x≥0的解集表⽰在数轴上，正确的是()7.在平⾯直⾓坐标系中，将函数 y =3x 的图象向上平移 6个单位长度，则平移后的图象与x 轴交点的坐标为 ( ) A.(2，0) B.(-2，0) C.(6，0) D.(-6，0) 7.将直线y＝32x －1沿x 轴向左平移4个单位，则平移后的直线与y 轴交点的坐标是A ．(0，5)B ．(0，3)C ．(0，－5)D ．(0，－7)7. 若直线l 1经过点(0，4)，l 2经过点(3，2)，且l 1与l 2关于x 轴对称，则l 1与l 2的交点坐标为( ) A. (－2，0) B. (2，0) C. (－6，0) D. (6，0)7. 设⼀次函数y ＝kx ＋b (k ≠0)的图象经过点(1，－3)，且y 的值随x 的值增⼤⽽增⼤，则该⼀次函数的图象⼀定不．．．经过A. 第⼀象限B. 第⼆象限C. 第三象限D. 第四象限7. 如图，已知直线l 1：y ＝－2x ＋4与直线l 2：y ＝kx ＋b (k ≠0)在第⼀象限交于点M .若直线l 2与x 轴的交点为A (－2，0)，则k 的取值范围是( )A. －2B. －2C. 0D. 07.已知两个⼀次函数y ＝3x ＋b 1和y ＝－3x ＋b 2. 若b 1＜b 2＜0，则它们图象的交点在（）A.第⼀象限B.第⼆象限C.第三象限D.第四象限 7. 已知⼀次函数y ＝kx ＋5和y ＝k′x ＋7.假设k ＞0且k ′＜0，则这两个⼀次函数图象的交点在( )A. 第⼀象限B. 第⼆象限C. 第三象限D. 第四象限已知⼀次函数y ＝kx ＋b 的图象经过点(1，2)，且y 的值随x 值的增⼤⽽减⼩，则下列判断正确的是（） A.k>0，b >0 B.k >0，b <0C.k <0，b >0D.k <0，b <07. 在平⾯直⾓坐标系中，将直线l 1：y ＝－2x －2平移后，得到直线l 2：y ＝－2x ＋4，则下列平移作法正确的是( ) A. 将l 1向右平移3个单位长度 B. 将l 1向右平移6个单位长度 C. 将l 1向上平移2个单位长度 D. 将l 1向上平移4个单位长度7. ⽤配⽅法解⼀元⼆次⽅程2x 2－3x ＝1，下列配⽅正确的是（ A. (x －34)2＝1716 B. (x －12)2＝1716C. (x －32)2＝1516D. (x －316)2＝1387. 若x ＝－2是关于x 的⼀元⼆次⽅程x 2－52ax ＋a 2＝0的⼀个根，则a 的值为( )A. 1或4B. －1或－4C. －1或4D. 1或－48.如果点A (m ，n )、B (m ＋1，n ＋2)均在⼀次函数y ＝kx.＋b (k ≠0)的图象上，那么k 的值为（）A.2B.1C.－1D.－2 7.根据下表中⼀次函数的⾃变量x 与函数y 的对应值，可得p 的值为（）A.1B.－1C.3D.－38.如图，在矩形 ABCD 中，AB =3，BC =6.若点 E ?F 分别在 AB ?CD 上，且 BE = 2AE ，DF =2FC ，G ?H 分别是 AC 的三等分点，则四边形 EHFG 的⾯积为（） A.1 B.32 C.2 D.48. 如图，在菱形ABCD 中，AC ＝2，BD ＝4，点E 、F 、G 、H 分别在AB 、BC 、CD 和DA 上，且EF ∥AC .若四边形EFGH 是正⽅形，则EF 的长为 A. 23 B ．1 C. 43D ．28. 如图，在菱形ABCD 中，点E 、F 、G 、H 分别是边AB 、BC 、CD 和DA 的中点，连接EF 、FG 、GH 和HE .若EH ＝2EF ，则下列结论正确的是( )A. AB ＝2EFB. AB ＝2EFC. AB ＝3EFD. AB ＝5EF8. 如图，在正⽅形ABCD 中，AB ＝2.若以CD 边为底边向其形外作等腰直⾓△DCE ，连接BE ，则BE 的长为 A. 5 B. 2 2 C.10 D. 2 38. 如图，在矩形ABCD 中，AB ＝2，BC ＝3.若点E 是边CD 的中点，连接AE ，过点B 作BF ⊥AE 交AE 于点F ，则BF 的长为( ) A.3102 B. 3105 C. 105 D. 3558..如图，△ABC 和△DBC 均为等腰三⾓形，∠A ＝60°，∠D ＝90°，AB ＝12.若点E 、F 、G 、H 分别为边AB 、AC 、CD 、BD 的中点，则四边形EFGH 的⾯积为（）A.9(3＋1)B.12(3＋1)C.18(3＋1)D.36(3＋1)8.在?ABCD中，AB＝10，BC＝14，E、F分别为边BC、AD 上的点．若四边形AECF为正⽅形，则AE的长为()A. 7B. 4或10C. 5或9D. 6或88.如图，在矩形ABCD中，AB＝3，BC＝4.若过点C作CE⊥BD，垂⾜为E，则BE的长为（）(第9题图)A. 2B. 3C. 95 D.1658. 如图，在菱形ABCD中，AB＝5，对⾓线AC＝6.若过点A 作AE⊥BC，垂⾜为E，则AE的长为()第9题图A. 4B. 125 C.245 D. 58.如图，在矩形ABCD中，AB＝3.4，BC＝5，以BC为直径作半圆O，点P是半圆O上的⼀点.若PB＝4，则点P到AD 的距离为（）A.45 B.1 C.65 D.858.如图，在矩形ABCD中，AD=2AB，点M，N分别在边AD、BC 上，连接BM、DN，若四边形MBND是菱形，则AMMD等于（）A.38B.23C.35D.459.如图，AB是⊙O的直径，EF?EB是⊙O的弦，且EF=EB，EF与AB交于点C，连接OF.若∠AOF=40°，则∠F的度数是（）A.25oB.35oC.40oD.55o9. 如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，AD＝BC.若∠BAC ＝45°，∠B＝75°，则下列等式成⽴的是A．AB＝2CD B．AB＝3CD C．AB＝32CD D．AB＝2CD9. 如图，△ABC是⊙O的内接三⾓形，AB＝AC，∠BCA＝65°，作CD∥AB，并与⊙O相交于点D，连接BD，则∠DBC的⼤⼩为()A. 15°B. 35°C. 25°D. 45°9. 如图，矩形ABCD内接于⊙O，点P是AD︵上⼀点，连接PB、PC.若AD＝2AB，则sin∠BPC的值为A.55 B.255 C.32 D.35109. 如图，△ABC是⊙O的内接三⾓形，∠C＝30°，⊙O的半径为5.若点P是⊙O上的⼀点，在△ABP中，PB＝AB，则P A的长为()A. 5B.532 C. 5 2 D. 5 39.如图，在⊙O中，弦AB垂直平分半径OC，垂⾜为D.若点P是⊙O上异于点A、B的任意⼀点，则∠APB＝（）A.30°或60°B.60°或150°C.30°或150°D.60°或120°9. 如图，⊙O的半径为4，△ABC是⊙O的内接三⾓形，连接OB、OC.若∠BAC与∠BOC互补，则弦BC的长为()A. 3 3B. 4 3C. 5 3D. 6 311.已知实数1-2，0，16，3，π，25，34，其中为⽆理数的是_________.11．－27的⽴⽅根是__________．11. ⽐较⼤⼩：3________10(填“>”、“<”或“＝”)11. 如图，数轴上的A 、B 两点所表⽰的数分别为a 、b ，则a ＋b ________0(填“＞”，“＝”或“＜”).11. 在实数－5，－3，0，π，6中，最⼤的⼀个数是________．11.不等式－2x ＋1＞－5的最⼤整数解是________. 11. 不等式－12x ＋3＜0的解集是________．11.－8的⽴⽅根是______.11. 因式分解：m (x －y )＋n (x －y )＝________．11.在5，－1，227，π这四个数中，⽆理数有________个.11.计算：(－2)3+(3－1)0= .12.若正六边形的边长为3，则其较长的⼀条对⾓线长为__________.12．如图，在正六边形ABCDEF 中，连接DA 、DF ，则DFDA 的值为__________ .12. 如图，在正五边形ABCDE 中，AC 与BE 相交于点F ，则∠AFE 的度数为________．12. 请从以下两个⼩题中任选⼀个．．．．作答，若多选，则按第⼀题计分.A. 如图，⽹格上的⼩正⽅形边长均为1，△ABC 和△DEF 的顶点都在格点上．若△DEF 是由△ABC 向右平移a 个单位，再向下平移b 个单位得到的，则ba的值为________．12. （节选）如图，在△ABC 中，BD 和CE 是△ABC 的两条⾓平分线．若∠A ＝52°，则∠1＋∠2的度数为________．12. 如图，五边形ABCDE 的对⾓线共有________条. 12. （节选）⼀个正多边形的⼀个外⾓为45°，则这个正多边形的边数是________．12.请从以下两个⼩题中任选⼀个．．．．作答，若多选，则按第⼀题计分. A.⼀个n 边形的内⾓和为900°，则n ＝______.B.如图，⼀⼭坡的坡长AB ＝400⽶，铅直⾼度BC ＝150⽶，则坡⾓∠A 的⼤⼩为______.(⽤科学计算器计算，结果精确到1°)12. （节选）正⼋边形⼀个内⾓的度数为________． 12. 正五边形⼀个内⾓的度数是________.13.如图，D 是矩形 AOBC 的对称中⼼，A (0，4)，B (6，0).若⼀个反⽐例函数的图象经过点 D ，交 AC 于点 M ，则点 M 的坐标为_________.13．若⼀个反⽐例函数的图象与直线y ＝－2x ＋6的⼀个交点为A (m ，－4)，则这个反⽐例函数的表达式是__________．13. 若⼀个反⽐例函数的图象经过点A (m ，m )和B (2m ，－1)，则这个反⽐例函数的表达式为________．13. 已知A ，B 两点分别在反⽐例函数y ＝3mx (m ≠0)和y ＝2m －5x (m ≠52)的图象上．若点A 与点B 关于x 轴对称，则m 的值为________．13.如图，在x 轴上⽅，平⾏于x 轴的直线与反⽐例函数y ＝xk 1和y ＝xk 2的图象分别交于A 、B 两点，连接OA 、OB .若△AOB 的⾯积为6，则k 1－k 2＝________.13. 已知⼀次函数y ＝2x ＋4的图象分别交x 轴、y 轴于A 、B 两点．若这个⼀次函数的图象与⼀个反⽐例函数的图象在第⼀象限交于点C ，且AB ＝2BC ，则这个反⽐例函数的表达式为________13.在平⾯直⾓坐标系中，反⽐例函数y ＝xk的图象位于第⼆、四象限，且经过点(1，k 2－2)，则k 的值为______.13. 如图，在平⾯直⾓坐标系中，过点M (－3，2)分别作x 轴、y 轴的垂线与反⽐例函数y ＝4x 的图象交于A 、B 两点，则四边形MAOB 的⾯积为________．15.计算：-231-2-27+1-3-2?（）16.化简：22-2822-4-2a a a a a a a++÷+（）.15.计算：(－12)－1＋|2－5|＋2×(－8) .16. 解⽅程：3233--=+-x xx x .15. (本题满分5分)计算：(－3)×(－6)＋|2－1|＋(5－2π)0.16. (本题满分5分)化简：(a ＋1a －1－aa ＋1)÷3a ＋1a 2＋a .15. 计算：18－(π－5)0＋|22－3|.16. 解分式⽅程：2x －1x ＋2＝2－3x －2.15. (本题满分5分)计算：(－2)×6＋|3－2|－(12)－1.16. (本题满分5分)解⽅程：3233+--+x x x ＝1.15.)计算： (－3)2＋|2－5|－20.16.化简：（937222--+a a a —34++a a ）÷33-+a a .15. (本题满分5分)计算：12－|1－3|＋(7＋π)0.16. (本题满分5分)化简：(x －5＋91)3162--÷+x x x15.计算： 8×3－2×|－5|＋(－13)－2.16.(本题满分5分)解分式⽅程： 23+x ＋2＝22-x x .15. (本题满分5分)计算：3×(－6)＋|－22|＋(12)－3.16. (本题满分5分)解分式⽅程：x －2x ＋3－3x －3＝1.17.(本题满分 5分)如图，在△ABC 中，AB =AC ，AD 是 BC 边上的⾼，请⽤尺规作图法，求作△ABC 的外接圆.(保留作图痕迹，不写作法) 17. (本题满分5分)如图，已知：在正⽅形ABCD 中，M 是BC 边上⼀定点，连接AM .请⽤尺规作图法，在AM 上求作⼀点P ，使△DP A ∽△ABM .(不写作法，保留作图痕迹)17. (本题满分5分)如图，在△ABC中，AD是BC边上的⾼．请⽤尺规作图法在⾼AD上求作⼀点P，使得点P到AB的距离等于PD的长．(保留作图痕迹，不写作法)17. (本题满分5分)如图，在钝⾓△ABC中，过钝⾓顶点B作BD⊥BC交AC于点D.请⽤尺规作图法在BC边上求作⼀点P，使得点P到AC的距离等于BP的长．(保留作图痕迹，不写作法)第17题图17.(本题满分5分)如图，已知锐⾓△ABC，点D是AB边上的⼀定点，请⽤尺规在AC边上求作⼀点E，使△ADE与△ABC相似.(作出符合题意的⼀个点即可，保留作图痕迹，不写作法.)（第17题图）17. (本题满分5分)如图，已知△ABC，∠BAC＝90°，请⽤尺规过点A作⼀条直线，使其将△ABC分成两个相似的三⾓形．(保留作图痕迹，不写作法)第17题图17.(本题满分5分)如图，请⽤尺规在△ABC的边BC上找⼀点D，使得点D到边AB、AC的距离相等.(保留作图痕迹，不写作法)17. (本题满分5分)如图，已知△ABC，请⽤尺规过点A作⼀条直线，使其将△ABC分成⾯积相等的两部分．(保留作图痕迹，不写作法)18.(本题满分5分)如图，点A?E?F?B在直线l上，AE=BF，AC∥BD，且AC=B D.求证：CF=DE .第18题图18. (本题满分5分)如图，在△ABC中，AB＝AC，O是边BC的中点，延长BA到点D，使AD＝AB，延长CA到点E，使AE＝AC，连接OD，OE，求证：∠BOE＝∠COD .18. (本题满分5分)如图，AB∥CD，E、F分别为AB、CD上的点，且EC∥BF，连接AD，分别与EC、BF相交于点G、H，若AB＝CD.求证：AG＝DH.18. (本题满分5分)如图，AB∥CD，E、F分别为AB、CD上的点，且EC∥BF，连接AD，分别与EC、BF相交于点G、H，若AB＝CD.求证：AG＝DH.18. (本题满分7分)如图，在正⽅形ABCD中，E、F分别为边AD和CD上的点，且AE＝CF，连接AF、CE交于点G. 求证：AG ＝CG .18. (本题满分7分)如图，在?ABCD中，延长BA到点E，延长DC到点F，使AE＝CF，连接EF交AD边于点G，交BC边于点H.求证：DG＝BH . 18.(本题满分7分)如图，在菱形ABCD中，点E是边AD上⼀点，延长AB⾄点F，使BF＝AE，连接BE、CF.求证：BE＝CF .18. (本题满分7分)如图，在?ABCD中，连接BD，在BD的延长线上取⼀点E，在DB的延长线上取⼀点F，使BF＝DE，连接AF、CE.求证：AF∥CE .18.(本题满分7分)如图，在△ABC中，AB＝AC. D是边BC延长线上的⼀点，连接AD，过点A、D分别作AE∥BD、DE∥AB，AE、DE交于点E，连接CE.求证：AD＝CE.18. (本题满分7分)如图，在△ABC中，AB＝AC.作AD⊥AB交BC的延长线于点D，作AE∥BD、CE⊥AC，且AE、CE相交于点E.求证：AD＝CE.第19题图。
陕西中考数学填空题压轴2023
陕西中考数学填空题压轴2023数学是中学阶段考试中的重中之重，尤其是在陕西中考中，数学填空题一直是考生们最为头疼的一部分。
因此，2023年的陕西中考数学填空题必然是备受关注的焦点。
下面我将给大家分享一道陕西中考数学填空题压轴题，并且带着大家一起解题探究。
题目：已知直线k过点A(2,1)，且k的斜率为-2/3。
点B在k上，且点B关于点A对称。
若线段AB的长为5个单位长度，则点B的坐标为________。
解题思路：首先，我们来分析题意。
题目给出了直线k过点A(2,1)，且斜率为-2/3。
由直线的斜率可以推断出直线的方程为y=(−2/3)x+b，其中b 为直线的截距。
将点A(2,1)代入直线的方程，可以求出b的值。
将x = 2，y = 1代入方程：1 = (-2/3) × 2 + b解得b = 7/3所以，直线k的方程为y = (-2/3)x + 7/3。
接下来，题目告诉我们点B在直线k上，且点B关于点A对称。
这意味着点A、B、和k上的另一点C构成一个等腰三角形。
由于线段AB的长度为5，且点A和点B关于点C对称，所以线段AC的长度也为5。
设点C的坐标为(x，y)。
根据点对称的性质可知，点C的坐标为(x，y) = (4，-2)。
由于斜率为-2/3，我们可以根据直线斜率的定义来求直线上两点之间的距离。
由于AC和BC的长度相等，我们可以使用勾股定理来求得点B的坐标。
根据勾股定理，有AC^2 = AB^2 + BC^2代入AC和AB的长度，可以得到5^2 = AB^2 + BC^2化简得25 = AB^2 + (y - 1)^2 (由于点A的坐标为(2,1))将点C的坐标代入，得25 = AB^2 + (-2 - 1)^2化简后得25 = AB^2 + 9移项得AB^2 = 25 - 9AB^2 = 16取正平方根，得AB = 4所以，点B与点A的距离为4个单位长度。
将点B与点C的横坐标相加，除以2可以得到点B的横坐标。
2020陕西中考数学压轴题猜押
：（母题）如图，在正方形ABCD 中，点P 在对角线BD 上，点E 在AB 边上，.若PA+PE=6,求EC 的最大值.变式1：如图，在正方形ABCD 中，点P 在对角线BD 上，点E 在AB 边上，且AB=3BE.若PA+PE=6,则求AB 的最大值为.变式2：如图，在正方形ABCD 中，点P 在对角线BD 上，点E 在AB 边上，且AB=3BE.若PA+PE=6,则正方形ABCD 面积的最大值为.对应练习1：如图，在菱形ABCD 中，∠BAD=120°，点E 为线段AB 的中点，点P 在线段BD上，且PE+PA=3,那么边长AB 的最大值为.对应练习2：如图，在等腰直角三角形ABC 中，点D 是BC 边的中点，E 是AB 边上一动点，若EC+ED=5，求AC 的最大值对应练习3：在△ABC 中，∠BAC=30°，在AC 、AB 上各取一点M 、N ，且BM+MN=3，求AB 的最大值.对应练习4：在△ABC 中，AB=2，在AC 、AB 上各取一点M 、N ，且BM+MN=3，求∠A 的最大值.对应练习5：如图，在锐角△ABC 中，AB=24，∠BAC=45°，∠BAC 的角平分线交BC 于点D.M 、N 分别是AD 和AB 上的动点，求BM+MN 的最小值.对应练习6：如图，在锐角△ABC 中，∠BAC=45°，∠BAC 的角平分线交BC 于点D ，M 、N 分别是AD 和AB 上的动点，BM+MN=4求AB 最大值.（母题）如图，∠AOB=30°，∠AOB 内有一定点P ，且OP=6,在OA 上有一点Q ，OB 上有一点R.若△PQR周长最小，则最小周长是多少？变式如图，∠AOB=30°，∠AOB 内有一定点P ，在OA 上有一点Q ，OB 上有一点R.若△PQR 周长为102，求OP 的最大值.如图点P 为正△ABC 内一点，PA+PB+PC=6，求正△ABC 面积的最大值.对应练习如图点P 为等腰直角△ABC 内一点，PA+PB+PC=2+6，求AB 的最大值.胡不归的逆向思考（母题）如图，菱形ABCD 中，AB=3,∠D=120°,E 是对角线AC 上的任意一点，则BE+21CE 的最小值是变式：如图，菱形ABCD 中，∠D=120°,E 是对角线AC 上的任意一点，则BE+21CE=32,求AB的最大值..（母题）如图，在△ABC 中，AB=AC=10，tanA=3,CD ⊥AB 于点D，点E 是线段CD 上的动点，则BE+1010CE 的最小值变式：如图，在△ABC 中，BE+1010CE=310，tanA=3,CD ⊥AB 于点D，点E 是线段CD 上的动点，求CD 的最大值。
中考数学压轴题十大题型(含详细答案)
数学综压轴题是为考察考生综合运用知识的能力而设计的，集中体现知识的综合性和方法的综合性，多数为函数型综合题和几何型综合题。
函数型综合题：是给定直角坐标系和几何图形，先求函数的解析式，再进行图形的研究，求点的坐标或研究图形的某些性质。
求已知函数的解析式主要方法是待定系数法，关键是求点的坐标，而求点的坐标基本方法是几何法（图形法）和代数法（解析法）。
几何型综合题：是先给定几何图形，根据已知条件进行计算，然后有动点（或动线段）运动，对应产生线段、面积等的变化，求对应的（未知）函数的解析式，求函数的自变量的取值范围，最后根据所求的函数关系进行探索研究。
一般有：在什么条件下图形是等腰三角形、直角三角形，四边形是平行四边形、菱形、梯形等，或探索两个三角形满足什么条件相似等，或探究线段之间的数量、位置关系等，或探索面积之间满足一定关系时求x 的值等，或直线（圆）与圆的相切时求自变量的值等。
求未知函数解析式的关键是列出包含自变量和因变量之间的等量关系（即列出含有x、y 的方程），变形写成y＝f（x）的形式。
找等量关系的途径在初中主要有利用勾股定理、平行线截得比例线段、三角形相似、面积相等方法。
求函数的自变量的取值范围主要是寻找图形的特殊位置（极端位置）和根据解析式求解。
而最后的探索问题千变万化，但少不了对图形的分析和研究，用几何和代数的方法求出x的值。
解中考压轴题技能：中考压轴题大多是以坐标系为桥梁，运用数形结合思想，通过建立点与数即坐标之间的对应关系，一方面可用代数方法研究几何图形的性质，另一方面又可借助几何直观，得到某些代数问题的解答。
关键是掌握几种常用的数学思想方法。
一是运用函数与方程思想。
以直线或抛物线知识为载体，列（解）方程或方程组求其解析式、研究其性质。
二是运用分类讨论的思想。
对问题的条件或结论的多变性进行考察和探究。
三是运用转化的数学的思想。
由已知向未知，由复杂向简单的转换。
中考压轴题它是对考生综合能力的一个全面考察，所涉及的知识面广，所使用的数学思想方法也较全面。
中考数学压轴题100题精选及答案(全)
（1）求点 的坐标（用 表示）；
（2）求抛物线的解析式；
（3）设点 为抛物线上点 至点 之间的一动点，连结 并延长交 于点 ，连结 并延长交 于点 ，试证明： 为定值．
【008】如图所示，在直角梯形ABCD中，∠ABC=90°，AD∥BC，AB=BC，E是AB的中点，CE⊥BD。
（1） 求证：BE=AD；
（2）求证：AC是线段ED的垂直平分线；
（3）△DBC是等腰三角形吗？并说明理由。
【009】一次函数 的图象分别与 轴、 轴交于点 ，与反比例函数 的图象相交于点 ．过点 分别作 轴， 轴，垂足分别为 ；过点 分别作 轴， 轴，垂足分别为 与 交于点 ，连接 ．
（1）求证：梯形 是等腰梯形；
（2）动点 、 分别在线段 和 上运动，且 保持不变．设 求 与 的函数关系式；
（3）在（2）中：①当动点 、 运动到何处时，以点 、 和点 、 、 、 中的两个点为顶点的四边形是平行四边形？并指出符合条件的平行四边形的个数；②当 取最小值时，判断 的形状，并说明理由．
（3）在该二次函数的图象上是否存在点D，使四边形ABCD为直角梯形？若存在，求出点D的坐标；若不存在，请说明理由。
【007】如图1，在平面直角坐标系中，点O是坐标原点，四边形ABCO是菱形，点A的坐标为（－3，4），
点C在x轴的正半轴上，直线AC交y轴于点M，AB边交y轴于点H．
（1）求直线AC的解析式；
【020】如图甲，在△ABC中，∠ACB为锐角，点D为射线BC上一动点，连结AD，以AD为一边且在AD的右侧作正方形ADEF。
07年——11年陕西中考压轴题解析
07年——11年陕西中考压轴题解析07年压轴题．（本题满分12分）如图，O e 的半径均为R ．（1）请在图①中画出弦AB CD ，，使图①为轴对称图形而不是．．中心对称图形；请在图②中画出弦AB CD ，，使图②仍为中心对称图形；（2）如图③，在O e 中，(02)AB CD m m R ==<<，且AB 与CD 交于点E ，夹角为锐角α．求四边形ACBD 面积（用含m α，的式子表示）； （3）若线段AB CD ，是O e 的两条弦，且AB CD ==，你认为在以点A B C D，，，为顶点的四边形中，是否存在面积最大的四边形？请利用图④说明理由．25．解：（1）答案不唯一，如图①、②（只要满足题意，画对一个图形给2分，画对两个给3分）··················································································································· 3分 （2）过点A B ，分别作CD 的垂线，垂足分别为M N ，．11sin 22ACD S CD AM CD AE α==△∵···，11sin 22BCD S CD BN CD BE α==△···． ····························································· 5分ACD BCD ACBD S S S =+△△四边形∴11sin sin 22CD AE CD BE αα=+····1()sin 2CD AE BE α=+·· （第25题图①） （第25题图②） （第25题图③） （第25题图④） （第25题答案图①） （第25题答案图②）（第25题答案图③）1sin 2CD AB α=·· 21sin 2m α=． ································· 7分（3）存在．分两种情况说明如下： ·································································· 8分 ①当AB 与CD 相交时， 由（2）及AB CD ==知21sin sin 2ACBD S AB CD R αα==四边形··． ·················· 9分 ②当AB 与CD 不相交时，如图④AB CD ==∵，OC OD OA OB R ====，90AOB COD ∠=∠=∴°，而Rt Rt AOB OCD AOD BOC ABCD S S S S S =+++△△△△四边形2AODBOC R S S =++△△． ··············································································· 10分延长BO 交O e 于点E ，连接EC ，则132390∠+∠=∠+∠=°．12∠=∠∴．AOD COE ∴△≌△．AOD OCE S S =△△∴．AOD BOC OCE BOC BCE S S S S S +=+=△△△△△∴．过点C 作CH BE ⊥，垂足为H ， 则12BCE S BE CH R CH ==△··． ∴当CH R =时，BCE S △取最大值2R ．···························································· 11分 综合①、②可知，当1290∠=∠=°，即四边形ABCD的正方形时， 2222ABCD S R R R =+=四边形为最大值． ···························································· 12分 08年压轴题、（本题满分12分）某县社会主义新农村建设办公室，为了解决该县甲、乙两村和一所中学长期存在的饮水困难问题，想在这三个地方的其中一处建一所供水站，由供水站直接铺设管道到另外两处。
陕西中考数学压轴题2023
陕西中考数学压轴题2023陕西中考数学压轴题2023是每年都备受关注的一项考试内容，它对于考生来说具有重要的指导意义和备考价值。
通过对该题目的分析和解答，我们可以了解到中考数学试题的难度和要求，对于提高数学成绩和顺利通过中考有着重要的帮助。
下面将从题目背景、题目要求和解题思路等方面对陕西中考数学压轴题2023进行详细的阐述和分析。
题目背景：今年的陕西中考数学压轴题重点突出了几何学的知识点。
该题目涉及到了平行线的性质和相关定理，以及与平行线有关的角的性质。
这些知识点是中考数学试题中常见的内容，对于学生来说具有一定的基础性。
通过解答该题目，可以检验学生对于这些知识点的掌握和应用能力。
题目要求：题目要求考生根据所给的图形，计算出相关角度的数值，并填写在对应的位置上。
要求考生熟练运用平行线的性质和相关定理，准确地进行计算。
同时，要求考生注意解题过程的合理性，保证解题思路的清晰和正确性。
解题思路：在解答陕西中考数学压轴题2023时，我们可以采取以下步骤来解答。
第一步，观察图形并分析题目所给的条件。
通过观察图形，我们可以看到有多组平行线和相关角度，同时还有一些已知条件的数值。
第二步，根据已知条件和相关性质写出等式。
根据题目给定的条件，我们可以运用平行线及其相关定理，写出相关角度之间的等式。
这些等式将成为解题的关键。
第三步，根据等式解方程，计算出所求的角度数值。
根据前面所得到的等式，我们可以设立方程，并进行求解，最终得到所求角度的数值。
第四步，检查解答结果的合理性。
在得到解答结果后，我们需要对结果进行检查，确保计算过程和答案的准确性。
同时，我们还需要根据题目的要求，确认是否填写到正确的位置上。
从解题步骤中我们可以看出，陕西中考数学压轴题2023注重的是对平行线和角度性质的理解和应用能力。
通过这道题目的解答，考生可以加深对于平行线及其相关定理的理解，提高解决几何问题的能力。
总结：陕西中考数学压轴题2023围绕平行线和角度性质展开，要求考生能够准确地应用相关知识和定理，进行解题。
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陕西中考数学十年压轴题
汇总
The document was prepared on January 2, 2021
25．（本题满分12分）
已知：直线a∥b，P、Q是直线a上的两点，M、N是直线b上两点。
（1）如图①，线段PM、QN夹在平行直线a和b之间，四边形PMNQ为等腰梯形，其两腰PM＝QN。
请你参照图①，在图②中画出异于图①的一种图形，使夹在平行直线a
和b之间的两条线段相等。
（2）我们继续探究，发现用两条平行直线a、b去截一些我们学过的图形，会有两条“曲线段相等”（曲线上两点和它们之间的部分叫做“曲线段”。
把经过全等变换后能重合的两条曲线段叫做“曲线段相等”）。
请你在图③中画出一种图形，使夹在平行直线a和b之间的两条曲线段相等。
（3）如图④，若梯形PMNQ是一块绿化地，梯形的上底PQ＝m，下底MN＝n，且m＜n。
现计划把价格不同的两种花草
种植在S
1、S
2
、S
3
、S
4
四块地里，使得价
格相同的花草不相邻。
为了节省费用，园艺师应选择哪两块地种植价格较便宜的花草？请说明理由。
25．（本题满分12分）
王师傅有两块板材边角料，其中一
块是边长为60cm的正方形板子；另
一块是上底为30cm，下底为
120cm，高为60cm的直角梯形板子（如图①），王师傅想将这两块板子裁成两块全等的矩形板材。
他将两块板子叠放在一起，使梯形的两个直角顶点分别与正方形的两个顶点重合，
两块板子的重叠部分为五边形ABCDE
围成的区域（如图②），由于受材料
纹理的限制，要求裁出的矩形要以点
B为一个顶点。
（1）求FC的长；
（2）利用图②求出矩形顶点B所对的顶
．．．．点
．
到BC边的距离)
(cm
x为多少时，矩形的面积最大最大面积时多少
（3）若想使裁出的矩形为正方形，试求出面积最大的正方形的边长。
25．（本题满分12分）
如图，O的半径均为R．
（1）请在图①中画出弦AB CD
，，使图①为轴对称图形而不是
．．
中心对称图形；
请在图②中画出弦AB CD
，，使图②仍
为中心对称图形；
（2）如图③，在O
中，
(02
)
AB CD m m R
==<<
，且AB与CD交于点
E，夹角为锐角
α．求四边形ACBD
面积（用含mα
，的
式子表示）；
（3）若线段AB CD
，是O的两条弦，且AB CD
==，你认为在以点
A B C D
，，，为顶点的四边形中，是否存
在面积最大的
四边形？请利
用图④说明理
由．
P Q
M N
a
b
第25题图①
a
b 第25题图②
a
b
第25题图③
P Q
M N
a
b
第25题图④
S
1
S
2
S
3S4
n
m
（第25题图①）（第25题
某县社会主义新农村建设办公室，为了解决该县甲、乙两村和一所中学长期存在的饮水困难问题，想在这三个地方的其中一处建一所供水站，由供水站直接铺设管道到另外两处。
如图，甲、乙两村坐落在夹角为30°的两条公路的AB段和CD段（村子和公路的宽均不计），点M表示这所中学。
点B在点M的北偏西30°的3km 处，点A在点M的正西方向，点D在点M 的南偏西60°的23km处。
为使供水站铺设到另两处的管道长度之和最短，现有如下三种方案：
方案一：供水站建在点M处，请你求出铺设到甲村某处和乙村某处的管道长度之和的最小值；
方案二：供水站建在乙村（线段CD 某处），甲村要求管道铺设到A处，请你在图①中，画出铺设到点A和点M处的管道长度之和最小的线路图，并求其最小值；
方案三：供水站建在甲村（线段AB 某处），请你在图②中，画出铺设到乙村某处和点M处的管道长度之和最小的线路图，并求其最小值。
综上，你认为把供水站建在何处，所需铺设的管道最短？
25．（本题满分12分）
问题探究
（1）请在图①的正方形ABCD内，画出
使90
APB
∠=°的一个
．．
点P，并说明理
由．
（2）请在图②的正方形
ABCD内（含
边），画出使60
APB
∠=°的所有
．．
的点
P，并说明理由．
问题解决
（3）如图③，现在一块矩形钢板
43
ABCD AB BC
==
，，．工人师傅想用
它裁出两块全等的、面积最大的APB
△
和CP D'
△钢板，且
60
APB CP D'
∠=∠=°．请你在图③中画
出符合要求的点P和P'，并求出APB
△
的面积（结果保留根号）．
25.（本题满分12分）
问题探究(1)请你在图①中做一条
．．
直
线，使它将矩形ABCD分成面积相等的两
部分；
（2）如图②点M是矩形ABCD
内一点，请你在图②中过点M作一条直
线，使它将矩形ABCD分成面积相等的两
部分。
问题解决
（1）如图③，在平面直角坐标系
中，直角梯形OBCD是某市将
要筹建的高新技术开发区用地
示意图，其中DC∥
OB,OB=6,CD=4开发区综合服
务管理委员会（其占地面积
不计）设在点P（4,2）处。
为了方便驻区单位准备过点P
修一条笔直的道路（路宽不
计），并且是这条路所在的直
线l将直角梯形OBCD分成面
积相等的了部分，你认为直线
l是否存在？若存在求出直线
O
D C
B
A
①
D
A
③
D C
B
A
②
（第25题
图）
如图①、在矩形ABCD 中，将矩形折叠，使B 落在边AD （含端点）上，落点记为E ，这时折痕与边BC 或者边CD （含端点）交于F,然后展开铺平，则以B 、E 、F 为顶点的三角形△BEF 称为矩形ABCD 的“折痕三角形”
（1）由“折痕三角形”的定义可知，矩形ABCD 的任意一个“折痕△BEF ”是一个_________三角形
(2)如图②、甲在矩形ABCD,当它的“折痕△BEF ”的顶点E 位于AD 的中点时，画出这个“折痕△BEF ”，并求出点F 的坐标；
（3）、如图③，在矩形ABCD 中， AB=2,BC=4,该矩形是否存在面积最大的“折痕△BEF ”
若存在，说明理由，并求出此时点E 的坐标若不存在，为什么
25.（本题满分12分） 问题探究
（1） 请在图①中作出两条直线，使它
们将圆面四等分； （2） 如图②，M 是正方形ABCD 内一定
点，请在图②中作出两条直线
（要求其中一条直线必须过点
M ），使它们将正方形ABCD 的面
积四等分，并说明理由.
问题解决
（3）如图③，在四边形ABCD 中，AB ∥
CD ，AB+CD=BC ，点P 是AD 的中点.如果
AB=a ，CD=b ，且b ＞a ，那么在边BC 上
是否存在一点Q ，使PQ 所在直线将四边
形ABCD 的面积分成相等的两部分？若存
在，求出BQ 的长；若不存在，说明理由.
25.（本题满分12分） 问题探究
（1）如图①，在矩形ABCD 中，AB=3，BC=4.如果BC 边上存在点P ，使△APD 为
等腰三角形，那么请画出满足条件的一．
个．
等腰△APD ，并求出此时BP 的长； （2）如图②，在△ABC 中，∠ABC=60°，BC=12，AD 是BC 边上的高，E 、F 分别为边AB 、AC 的中点.当AD=6时，BC 边上存在一点Q ，使∠EQF=90°，求此时BQ 的长； 问题解决
（3）有一山庄，它的平面图为如图③的五边形ABCDE ，山庄保卫人员想在线段CD 上选一点M 安监控装置，用来监视边AB.现只要使∠AMB 大约为60°，就可以让监控装置的效果达到最佳.已知∠A=∠E=∠D=90°，AB=270m ，
AE=400m,ED=285m ，CD=340m.问在线段CD 上是否存在点M ，使∠AMB=60°若存在，请求出符合条件的DM 的长；若不存在，请说明理由.
图① 图② 图③ 25．（本题满分12分）
如图，正三角形ABC 的边长为3． （1）如图①，正方形EFPN 的顶点
E F 、在边AB 上，顶点N 在边AC
上．在正三角形ABC 及其内部，以A 为
位似中心，作正方形EFPN 的位似正方
形''''EFPN ，且使正方形''''EFPN 的面积最
大（不要求写作法）；
（2）求（1）中作出的正方形''''EFPN 的
边长；
（3）如图②，在正三角形ABC 中放入正
方形DEMN 和正方形EFPH ，使得
DE EF 、在边AB 上，点P N 、分别在边
CB CA 、上，求这两个正方形面积和的最
大值及最小值，并说明理由．
（第25题图） ① ② ③。