高等数学等价无穷小替换极限的计算

讲义 无穷小 极限的简单计算 【教学目的】 1、理解无穷小与无穷大的概念； 2、掌握无穷小的性质与比较 会用等价无穷小求极限； 3、不同类型的未定式的不同解法。 【教学内容】 1、无穷小与无穷大； 2、无穷小的比较； 3、几个常用的等价无穷小 等价无穷小替换； 4、求极限的方法。 【重点难点】 重点是掌握无穷小的性质与比较 用等价无穷小求极限。 难点是未定式的极限的求法。 【教学设计】首先介绍无穷小和无穷大的概念和性质（30分钟），在理解无穷小与无穷大的概念和性质的基础上,让学生重点掌握用等价无穷小求极限的方法（20分钟）。最后归纳总结求极限的常用方法和技巧（25分钟），课堂练习（15分钟）。

【授课内容】 一、无穷小与无穷大 1.定义 前面我们研究了n数列nx的极限、x（x、x）函数xf的极限、0xx（0xx、0xx）函数()fx的极限这七种趋近方式。下面我们用

x＊表示上述七种的某一种趋近方式，即 ＊000xxxxxxxxxn

定义：当在给定的x＊下，()fx以零为极限，则称()fx是x＊下的无穷小，即0limxfx＊。

例如, ,0sinlim0x

x .0sin时的无穷小是当函数xx

【注意】不能把无穷小与很小的数混淆；零是可以作为无穷小的唯一的数，任何非零常量都不是无穷小。

定义： 当在给定的x＊下，xf无限增大，则称xf是x＊下的无穷大，即xfx＊lim。显然，n时，、、、32nnn都是无穷大量，

【注意】不能把无穷大与很大的数混淆；无穷大是极限不存在的情形之一。无穷小与无穷大是相对的，在不同的极限形式下，同一个函数可能是无穷小也可能是无穷大，如

0limxxe， xxelim ， 所以xe当x时为无穷小，当x 时为无穷大。 2．无穷小与无穷大的关系：在自变量的同一变化过程中，如果xf为无穷大，

则xf1为无穷小；反之，如果xf为无穷小，且0xf，则xf1为无穷大。 小结：无穷大量、无穷小量的概念是反映变量的变化趋势，因此任何常量都不是无穷大量，任何非零常量都不是无穷小，谈及无穷大量、无穷小量之时，首先应给出自变量的变化趋势。

3.无穷小与函数极限的关系: 定理1 0lim()()(),xxxfxAfxAx其中)(x是自变量在同一变化过程0xx（或x）中的无穷小. 证：（必要性）设0lim(),xxfxA令()(),xfxA则有0lim()0,xxx

（充分性）设()(),fxAx其中()x是当0xx时的无穷小，则 【意义】 （1）将一般极限问题转化为特殊极限问题(无穷小); （2）0()(),().fxxfxAx给出了函数在附近的近似表达式误差为 3.无穷小的运算性质 定理2 在同一过程中,有限个无穷小的代数和仍是无穷小. 【注意】无穷多个无穷小的代数和未必是无穷小. 定理3 有界函数与无穷小的乘积是无穷小. 如：01)1(limnnn，01sinlim0xxx，0sin1limx

xx

推论1 在同一过程中,有极限的变量与无穷小的乘积是无穷小.

推论2 常数与无穷小的乘积是无穷小. 推论3 有限个无穷小的乘积也是无穷小. 二、无穷小的比较 例如，2210,,,sin,sinxxxxxx当时都是无穷小，观察各极限：

2201sinlimxxxxxx1sinlim0

.不存在不可比.

极限不同, 反映了趋向于零的“快慢”程度不同. 1．定义: 设,是自变量在同一变化过程中的两个无穷小，且0. 例1 .tan4,0:3的四阶无穷小为时当证明xxxx

证：4

3

0tan4limxxxx3

0)tan(lim4xxx,4

.tan4,03的四阶无穷小为时故当xxxx 例2 .sintan,0的阶数关于求时当xxxx

解30sintanlimxxxx)cos1tan(lim20xxxxx

,21.sintan的三阶无穷小为xxx

2．常用等价无穷小:,0时当x

（1）xsin～x； （2）xarcsin～x； （3）xtan～x； （4）xarctan～x； （5）)1ln(x～x； （6）1xe～x

（7）xcos1～22x （8）1)1(x～x （9）1xa～lnax

用等价无穷小可给出函数的近似表达式: 例如),(sinxoxx).(211cos22xoxx

3．等价无穷小替换 定理：.limlim,lim~,~则存在且设

证：

lim)lim(limlimlim.lim

例3 （1）.cos12tanlim20xxx求； （2）1cos1lim20xexx 解: （1）.2~2tan,21~cos1,02xxxxx时当 故原极限202(2)lim12xxx= 8 （2）原极限=2lim220xxx=2

1

例4 .2sinsintanlim30xxxx求

错解: .~sin,~tan,0xxxxx时当30)2(limxxxx原式=0 正解: ,0时当x,2~2sinxx)cos1(tansintanxxxx,21~3x

故原极限33012lim(2)x

xx.161

【注意】和、差形式一般不能进行等价无穷小替换，只有因子乘积形式才可以进行等价无穷小替换。

例5 .3sin1cos5tanlim0xxxx求

解: ),(5tanxoxx),(33sinxoxx).(21cos122xoxx

原式22015()()2lim3()xxoxxox

xoxxxoxxoxxxox)(

3)(21)(5lim20

.35

三、极限的简单计算 1. 代入法：直接将0xx的0x代入所求极限的函数中去，若0xf存在，即为其极限，例如924231232lim3451xxxxxx；若0xf不存在，我们也能知道属于哪种未定式，便于我们选择不同的方法。例如，39lim23xxx就代不进去了，但我们看出了这是一个00型未定式，我们可以用以下的方法来求解。

2. 分解因式，消去零因子法 例如，63lim39lim323xxxxx。 3. 分子（分母）有理化法 例如，

355125125123535lim51235lim222222xxx

xxxxx

xx

又如，011lim1lim22xxxxxx

4. 化无穷大为无穷小法

例如，2222173373limlim142422xxxxxxxxxx，实际上就是分子分母同时除以2x这个无穷大量。由此不难得出

又如，12111lim21limxxxxxx，（分子分母同除x）。

再如，1153152lim5352limnnnnnnnn，（分子分母同除n5）。 5. 利用无穷小量性质、等价无穷小量替换求极限 例如，0131arctanlim2xxxxx，（无穷小量乘以有界量）。 又如，.3214lim21xxxx求

解：)32(lim21xx

x,0

商的法则不能用

由无穷小与无穷大的关系,得.3214lim21

xx

x

x

再如，等价无穷小量替换求极限的例子见本节例3—例5。

6. 利用两个重要极限求极限（例题参见§例3—例5） 7. 分段函数、复合函数求极限 例如，).(lim,0,10,1)(02xfxxxxxfx求设

解: 两个单侧极限为是函数的分段点,0x

左右极限存在且相等, .1)(lim0xfx故

【启发与讨论】 思考题1：110,sinxyxx当时是无界变量吗？是无穷大吗？

解：),3,2,1,0(221)1(0kkx取

,22)(0kxy .)(,0Mxyk充分大时当无界，