河南大学之云南大学期末考试试卷之第十二讲

北京理工大学系列考试试卷 恭祝各位考生金榜题名！ 3．基变换与坐标变换 设 V是n维线性空间，n,...,,21与n,...,,21是 V的两个基。设







nnnnnnnnnnaaa aaaaaa.........

22112222112212211111



令







nnnnnnaaaaaaaaaA





212222111211

则上式可写为 Ann,...,,,...,,2121

称A是基 n,...,,21到基 n,...,,21的过渡矩阵。称上面两式为基 n,...,,21到基

n,...,,21的基变换公式。 北京理工大学系列考试试卷

恭祝各位考生金榜题名！ 例 已知 3R的一组基

)1,0,1(),0,1,1(),1,2,1(321

求 3R的自然基 321,,到基 321,,的过渡矩阵。 解 因为

3132123211 2 ， 故

A],,[],,[321321 其中

101012111A

是自然基 321,,到基 321,,的过渡矩阵。 性质 (1) 过渡矩阵是唯一确定的; 北京理工大学系列考试试卷 恭祝各位考生金榜题名！ )2( 过渡矩阵是可逆矩阵； )3( 若A是 m,,,21到 m,,,21

的过渡矩阵，则1A是m,,,21

到

m,,,21的过渡矩阵。

定理 设 V是m维线性空间，m,...,,21与m,...,,21是 V的两个基，m,...,,21到 ,,21m..., 的过渡矩阵为 A。任取 V，设

关于基 m,...,,21的坐标为 ),...,,(21mxxx，

关于基,1m,...,2的坐标为 ),...,,(21myyy，则





mmxxxAyyy21121

称上式为基 m,...,,21到基 m,...,,21的坐标变换公式。

例3.2.9 已知 3R的两组基

），，（021 ),1,1,0( ),1,0,1()1,0,0( ),1,1,0( ),1,1,1(321321 北京理工大学系列考试试卷 恭祝各位考生金榜题名！ )1( 求 321,,到 321,,的过渡矩阵；

)2( 求 ），，（0 0 1关于基 321,,的坐标。

解 )1(（法一）设 A为所求过渡矩阵，则 A],,[],,[321321 把ii ,均写成列向量，则 ],,[321是3阶可逆矩阵。于是

],,[],,[3211321A





221111101011210101111011001

1

；

（法二）取 3R的自然基 321,,，易得 P],,[],,[321321，

Q],,[],,[321321，

其中 北京理工大学系列考试试卷

恭祝各位考生金榜题名！ 



011210101 ,111011001QP

∵ 1321321],,[],,[P ∴ QP1321321],,[],,[



 所求过渡矩阵为 QPA1





221111101011210101111011001

1

)2( 设 332211yyy ∵ Q],,[],,[321321

001],,[321 北京理工大学系列考试试卷

恭祝各位考生金榜题名！ ∴ 1220011321Qyyy 即 关于 321，，的坐标为 )1,2,2(。 例3.2.8 已知向量空间 3F的一个基 )0,1,1(),1,0,1(),1,1,0(321 求向量 )3,1,2(关于基 321,,的坐标。 解（法一）令 332211xxx，则







312213132xxxxxx

解得 1,3,0321xxx。所以，关于基 ,1 ,2

3

的坐标为)1 ,3 ,0(。

（法二）取3F的自然基321,,，容易得出 北京理工大学系列考试试卷

恭祝各位考生金榜题名！ 213312321





，

写成矩阵形式有





011101110],,[],,[321321

因此，从基321,,到基321,,的过渡矩阵为





011101110

已知 关于自然基 321,,的坐标为)3,1,2( 所以，根据坐标变换公式，关于基 ,,213的坐标为 北京理工大学系列考试试卷

恭祝各位考生金榜题名！ 

1303120111011101

例 3.4.10 在4][xF中,求自然基到基 32322101,1,1,1xxxgxxgxgg

的过渡矩阵. 已知多项式)(xh关于基3210,,,gggg

的坐标为T)2,8,0,7(,求)(xh关于自然基的坐标.

例 把2R视为建立了直角坐标系Oxy的平面 上全体有向线段的集合，则2R即为平面空间。此 时，2R的自然基 (1,0)，(0,1) 分别对应 x轴和 y轴上两 条起点在原点O方向指向 坐标轴正向、长为1的有 向线段i和j。由于i和j

不共线，且平面上任一有向线段a均可由i和j线性表出，所以i、j构成平面空间的一个基。 北京理工大学系列考试试卷 恭祝各位考生金榜题名！ 把坐标系Oxy逆时针旋转角，得到新坐标

系yxO。在新坐标 轴上也取两条起点 在原点O、方向指向 坐标轴正向、长为1的有向线段i和j，则i、j也构成平面空间的一个基。

不难得到，平面空间的这两个基i、j和i、j之间具有下列关系







cossinsincosjijjii

上式可改写为 

cossinsincos],[],[jiji 北京理工大学系列考试试卷 恭祝各位考生金榜题名！ 这就是从基i、j到基i、j的基变换公式，而



cossinsincos

即为从基i、j到基i、j的过渡矩阵。 任取平面上的一条有向线段a，设 ,jyixajyixa 则由坐标变换公式得

cossinsincosyxyyxx

上式即为平面直角坐标系的转轴公式。 小结：1）重点；2）难点；3）注意点。 作业：1）预习“§3.3” 2）习题：P163 7, 8,13, 48, 50 恭祝各位考生金榜题名！恭祝各位考生金榜题名！恭祝各位考生金榜题名！恭祝各位考生金榜题名！恭祝各位考生金榜题名！恭祝各位考生金榜题名！恭祝各位考生金榜题名！恭祝各位考生金榜题名！恭祝各位考生金榜题名！恭祝各位考生金榜题名！恭祝各位考生金榜题名！恭祝各位考生金榜题名！