2021版新高考数学一轮复习讲义：第二章第二讲 函数的定义域、值域 (含解析)

第二讲 函数的定义域、值域

ZHI SHI SHU LI SHUANG JI ZI CE 知识梳理·双基自测

知识梳理

知识点一 函数的定义域 函数y ＝f (x )的定义域

1．求定义域的步骤：

(1)写出使函数式有意义的不等式(组)； (2)解不等式(组)；

(3)写出函数定义域．(注意用区间或集合的形式写出) 2．求函数定义域的主要依据 (1)整式函数的定义域为R . (2)分式函数中分母不等于0.

(3)偶次根式函数被开方式大于或等于0. (4)一次函数、二次函数的定义域均为R . (5)函数f (x )＝x 0的定义域为{x |x ≠0}. (6)指数函数的定义域为R . (7)对数函数的定义域为(0，＋∞). 知识点二 函数的值域 基本初等函数的值域： 1．y ＝kx ＋b (k ≠0)的值域是R . 2．y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)的值域是：当a >0时，值域为{y |y ≥4ac －b 2

4a

}；当a <0时，值域为

{y |y ≤4ac －b 2

4a

}.

3．y ＝k

x

(k ≠0)的值域是{y |y ≠0}.

4．y ＝a x (a >0且a ≠1)的值域是(0，＋∞).

5．y ＝log a x (a >0且a ≠1)的值域是R .

重要结论

1．定义域是一个集合，要用集合或区间表示，若用区间表示，不能用“或”连接，而应该用并集符号“∪”连接．

2．分段函数的定义域等于各段函数的定义域的并集，其值域等于各段函数的值域的并集. 3．函数f (x )与f (x ＋a )(a 为常数a ≠0)的值域相同．

双基自测

题组一 走出误区

1．(多选题)下列结论正确的是( CD )

A ．若两个函数的定义域与值域相同，则这两个函数相等

B ．函数y ＝

x

x －1

定义域为x >1 C ．函数y ＝f (x )定义域为[－1,2]，则y ＝f (x )＋f (－x )定义域为[－1,1] D ．函数y ＝log 2(x 2＋x ＋a )的值域为R ，则a 的取值范围为(－∞，1

4]

题组二 走进教材

2．(必修1P 17例1改编)函数f (x )＝2x －1＋1

x －2

的定义域为( C ) A ．[0,2)

B ．(2，＋∞)

C ．[0,2)∪(2，＋∞)

D ．(－∞，2)∪(2，＋∞)

[解析] 使函数有意义满足⎩

⎪⎨⎪⎧

2x －1≥0

x －2≠0，解得x ≥0且x ≠2，故选C ．

3．(必修1P 32T5改编)函数f (x )的图象如图，则其最大值、最小值分别为( B )

A ．f (32)，f (－3

2)

B ．f (0)，f (32)

C ．f (－3

2)，f (0)

D ．f (0)，f (3)

4．(必修1P 39BT1改编)已知函数f (x )＝x ＋9x ，x ∈[2,4]的值域为[6，13

2].

[解析] 当x ＝3时取得最小值6，当x ＝2取得最大值132，值域为[6，132

]． 题组三 考题再现

5．(2018·江苏，5分)函数f (x )＝log 2x －1的定义域为[2，＋∞).

[解析] 要使函数f (x )有意义，则log 2x －1≥0，即x ≥2.则函数f (x )的定义域是[2，＋∞)． 6．(2016·北京，5分)函数f (x )＝

x

x －1

(x ≥2)的最大值为2. [解析] 解法一：(分离常数法)f (x )＝x x －1＝x －1＋1x －1＝1＋1x －1，∴x ≥2，∴x －1≥1,0<

1

x －1≤1，∴1＋1x －1∈(1,2]，故当x ＝2时，函数f (x )＝x

x －1

取得最大值2.

解法二：(反解法)令y ＝x x －1，∴xy －y ＝x ，∴x ＝y y －1.∵x ≥2，∴y y －1≥2，∴y y －1－2＝

2－y y －1≥0，解得1

解法三：(导数法)∵f (x )＝x

x －1，∴f ′(x )＝x －1－x (x －1)2＝－1(x －1)2

<0，∴函数f (x )在[2，＋∞)上单

调递减，故当x ＝2时，函数f (x )＝

x

x －1

取得最大值2.

KAO DIAN TU PO HU DONG TAN JIU 考点突破·互动探究

考点一 求函数的定义域——多维探究

角度1 求具体函数的定义域

例1 (1)(2015·湖北，5分)函数f (x )＝4－|x |＋lg x 2－5x ＋6

x －3的定义域为( C )

A ．(2,3)

B ．(2,4]

C ．(2,3)∪(3,4]

D ．(－1,3)∪(3,6]

(2)(2020·衡中调研卷)函数y ＝

1log 0.5(x －2)

＋(2x －5)0的定义域为(2，52)∪(5

2，3).

[解析] (1)依题意知，⎩

⎪⎨⎪

⎧

4－|x |≥0，x 2

－5x ＋6

x －3>0，

即⎩

⎪⎨⎪⎧

－4≤x ≤4，

x >2且x ≠3.即函数的定义域为(2,3)∪(3,4]． (2)使函数有意义满足⎩

⎪⎨⎪⎧

log 0.5(x －2)>02x －5≠0，解得2

，3)．

角度2 求抽象函数的定义域

例2 已知函数f (x )的定义域为(－1,0)，则函数f (2x ＋1)的定义域为( B ) A ．(－1,1) B ．(－1，－1

2)

C ．(－1,0)

D ．(1

2

，1)

[分析] 求抽象函数定义域的关键，f 后面括号内部分取值范围相同．

[解析] 由函数f (x )的定义域为(－1,0)，则使函数f (2x ＋1)有意义，需满足－1<2x ＋1<0，解得－1

2

)．

[引申1]若将本例中f (x )与f (2x ＋1)互换，结果如何？

[解析] f (2x ＋1)的定义域为(－1,0)，即－1

[解析] ∵y ＝f (2x －1)定义域为[0,1]．

∴－1≤2x －1≤1，要使y ＝f (2x ＋1)有意义应满足－1≤2x ＋1≤1，解得－1≤x ≤0， 因此y ＝f (2x ＋1)定义域为[－1,0]．

名师点拨 ☞

函数定义域的求解策略

(1)已知函数解析式：构造使解析式有意义的不等式(组)求解． (2)实际问题：由实际意义及使解析式有意义构成的不等式(组)求解． (3)抽象函数：

①若已知函数f (x )的定义域为[a ，b ]，其复合函数f (g (x ))的定义域由不等式a ≤g (x )≤b 求