抽象代数期末考试试卷及答案
抽象代数期末考试试卷及答案
抽象代数试题一、单项选择题(本大题共5小题，每小题3分，共15分)在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。
错选、多选或未选均无分。
1、6阶有限群的任何子群一定不是( )。
A、2阶B、3阶C、4阶D6阶2、设G是群，6有()个兀素，则不能肯定G是交换群。
A 4个B 、5个C 、6个D 、7个3、有限布尔代数的元素的个数一定等于( )。
A、偶数B奇数C、4的倍数D、2的正整数次幕4、下列哪个偏序集构成有界格( )A、(N, ) B 、(乙)C、({2,3,4,6,12},| (整除关系)) D (P(A),)5、设S3= {(1) , (12)，(13)，(23)，(123)，(132)}，那么，在S3 中可以与(123) 交换的所有元素有()A (1)，(123)，(132)B 、12)，(13)，(23)C、⑴，(123) D 、S3中的所有元素二、填空题(本大题共10小题，每空3分，共30 分)请在每小题的空格中填上正确答案。
错填、不填均无分。
1、群的单位元是---- 的，每个元素的逆元素是-------- 的。
2、如果f是A与A间的一一映射，a是A的一个元，贝卩f1fa ----------------------- ,3、区间［1，2］上的运算a b {min a,b}的单位元是 ------- 。
4、可换群G 中|a|=6,|x|=8, 则|ax|= ------------------------------ 。
5、环Z8的零因子有 -------------- 。
&一个子群H的右、左陪集的个数 -------- 。
7、从同构的观点，每个群只能同构于他/它自己的-------- 。
8、无零因子环R中所有非零元的共同的加法阶数称为R的 -------- 。
9、设群G中元素a的阶为m，如果a n e，那么m与n存在整除关系为---- <三、解答题(本大题共3小题，每小题10分，共30分)1、用2种颜色的珠子做成有5 颗珠子项链，问可做出多少种不同的项链？2、S, S是A的子环，贝U Sin s也是子环。
抽象代数考卷
2008年抽象代数期末试卷(周振强)说明：本试卷的R 模，均指R 是交换环的情况．一、设：是R 模同态，（１６分）（１）．证明下述叙述等价：（ａ）f 是单同态．（ｂ）．对任意的R 模K ，以及R 模 ，如果f g f h = ，则有g h =． （２）．对偶地，证明下述叙述等价：（ａ）f 是满同态．（ｂ）对任意的R 模K ，以及R 模 ，如果g f h f = ，则有g h =． （３）．证明：若g f 为满同态，则g 是满同态；若g f 为单同态，则f 是单同态．二、（１８分）（１）．请叙述自由模的定义，并分别举出是自由模与非自由模之例．（２）．设M 是主理想整环R 上自由模，试问：向量空间中扩充基定理是否成立？即M 的基是否可 以由其子模的基扩充而得到？若结论成立，证明之，若不成立，请举反例．（３）．证明：M 是自由R －模的充要条件为M 是其循环子模i M 的内直和，即i i IM M ∈=⊕， 并且每个子模i M 都同构于R ．三、设A ，{}i i I A ∈是R －模，A 是{}i i I A ∈的直和．（２２分）（１）．试写出直和的范性定理并绘出交换图．（２）．试证明：对于范性图中的典范入射i η，皆存在一个(,)i i g Hom A A ∈，使得（a ）i i i A g ηε=， （b ）0,j i g j i η= ≠， （c ）i j A g ηε=∑．（３）．试问：直和A ，是否满足直积的交换图，即对于直和的典范投射族{}i i I π∈，任意的对象B 及 一族同态{}i i I ω∈，其中(,)i i Hom B A ω∈，是否有下图可交换：成立？若成立，不必给出证明，若不成立，请举出反例，反之，设A 是直积，问其是否满足直和范性 图的性质，若结论为真，亦不必证明，若不然，请举一反例说明之．:f M N ,:g h K M,:g h N W四、（２２分）（１）．请叙述正合列的定义，举一短正合列之例．（２）．设： 和 是R －模同态，使得N g f ε =．证明：f 是单同态，g 是满同态，并且有Im ker M f g =⊕成立．（３）．我们将满足（２）中条件的f 称为可裂单同态，g 称为可裂满同态，如果短正合列中f 是可裂单同态，g 是可裂满同态，则称此短正合列为分裂的．试证明：共变(,__)Hom A 函子保持可裂正合列．五、（２２分）设f g 是R －模，若M 除了零模和本身之外没有其他的子模，则称M 为单纯R －模．试证明：（１）．若 是一个R 模同态，则f 不是零同态就是单同态．（２）．若 是一个R 模同态，则g 不是零同态就是满同态．（３）．证明（Schur 引理）(,)R R End A Hom A A =是一个除环．一、 (1)叙述Sylow 的三个定理。
抽象代数考试试题及答案
抽象代数考试试题及答案
在这份3000字的抽象代数考试试题及答案内容中，将为您详细解
析各种抽象代数考试题目，并给出相应的答案，帮助您更好地理解和
掌握这一领域的知识。
第一题：给定一个环R，证明R中每个理想都是主理想。
解答：首先，我们知道一个环中的理想是一个包含于该环的子集，
并且满足加法和乘法封闭性，对于任意r∈R和a，b∈I（I为R的一个
理想），有ra, rb∈I。
要证明R中每个理想都是主理想，即对于任意理想I，存在一个元
素r∈R，使得I = rR。
我们可以取r为I的一个生成元素，即r为使得I = rR的最小生成元素。
第二题：证明一个整数环不一定是唯一分解整环。
解答：反例：考虑整数环Z = {..., -2, -1, 0, 1, 2, ...}，Z并不是唯一
分解整环，因为在Z中存在不满足唯一分解性质的元素。
例如，2可以被分解为2 = (-1)(-2) = 1 * 2，即存在不同的唯一分解形式。
第三题：给定一个域K，证明K[x]（K上的多项式环）是唯一分解
整环。
解答：首先证明K[x]是整环。
然后证明K[x]是主理想整环（PID），意味着K[x]中的每个理想都是主理想。
再进一步证明K[x]是唯一分解
整环（UFD），即K[x]中每个非零元素都可以被分解为不可约元素的
乘积，且这个分解是唯一的。
通过以上试题及解答，我们可以看出在抽象代数领域中，需要深入
理解环、理想、整环、唯一分解整环等概念，并掌握相应的证明方法，才能较好地解决相关问题。
希望以上内容对您有所帮助，祝您学业有成！。
《抽象代数02009》试卷及标准答案
《抽象代数02009》试卷及标准答案
四、简答题(本大题共7小题，每小题5分，共35分)
26、A,{1,2,3}，B,{a,b}写出AXB及BXA的所有元素。
27、找出模5剩余类环的所有可逆元，并指出其逆元。
Z5
28、假定一个环R对加法来说作成一个循环群，证明:R是交换环。
29、证明两个不变子群的交集还是不变子群。
30、简述一个环作成域的条件，并指出域有几个理想。
31、群G中元a,b,若a,b的阶均有限，问ab的阶是否有限,
32、假定H是G的子群，N是G的不变子群，证明:HN是G的子群。
五、证明题(本大题共3小题，第33、34小题各7分，第35小题6分，共20分) 233、证明任意偶数阶的有限群至少有一个元a?e，使(e是群G的单位元)。
a,e
34、设R是偶数环，证明:(4)是R的最大理想，但R/(4)不是一个域。
35、假定[a]是整数模n的一个剩余类，证明:若a同n互素，那么所有[a]中的数都同n 互素。
贵师大抽象代数考试卷
贵州师范大学数学与计算机科学院2006-2007年度第二学期期末考试试卷(A)考试科目名称：近世代数; 班级：2004级本科数学专业。
注：本试题共三个大题，16个小题。
满分100 分。
一、选择题（每小题有4个备选项，仅一项正确的可选。
每小题3分，共15分）1、设实数在有理数域Q上的极小多项式f(x)的次数为n, 则可以用圆规直尺作图作出的条件是( )。
(A) n是2的方幂；(B) n是素数；(C) n是素数的方幂；(D) n>2。
2、设H是群G的正规子群，商群G/H中的元素是( ) 。
(A) H中的元素；(B) G\H中的元素；(C) G关于H的所有右陪集；(D) H的所有共轭g(1Hg。
3、设是环同态, 则同态的核( ) 。
(A) Ker(()={a(S: (b(R, ((b)=a}；(B) Ker(()={a(R: ((a)=a}；(C) Ker(()={a(R: ((a)=1}；(D) Ker(()={a(R: ((a)=0}。
4、下列数中，能用圆规直尺来作出的是( ) 。
(A) ；(B) ；(C) (2；(D) 。
5、设I是交换环R的理想, |R|=81, |I|=3, 下列结论中正确的是( ) 。
(A) R一定是特征为3的域; (B) 商环R/I中有27个元素;(C) R可能是域且I是R的子域，[R : I]=3;商环R/I一定是特征为3的域。
二、简答题（每小题6分，共30分）6、剩余类环Z6是域吗？为什么？7、环R的含有单位元的理想有多少个？为什么？8、300阶群G有7阶元吗? 为什么？9、x3(2是实数(1在有理域上的极小多项式吗？为什么？10、设有限域F含有343个元素，说明Z7是F的素域。
三、解答题11、(7分) 把置换ρ=(1365)(3457)(7215)表示为不相交的轮换的乘积12、(8分) 计算20072007 (mod 5)13、(10分) 设f(x)=x4+x+1(Z2[x],(1) 求Z2[x]中所有一次和二次不可约多项式;(2) 证明: f(x)在Z2[x]中不可约;14、(10分) 设G是群, Z(G)={a(G: (g(G, ga=ag}是G的中心. 证明:(1) Z(G)是G的正规子群;(2) 如果商群是循环群, 则G是交换群。
抽象代数B参考答案
菏泽学院成人高等教育数学与应用数学专业《抽象代数》（本科）试卷 〖B 卷〗参考答案★考试时间共100分钟★一、（正确的打√，错误的打×，每小题3分,共15分）1、√2、√3、×4、×5、×二、填空（每小题3分,共15分）1、abx ac c ++2、-43、6n4、111c b a ---5、1x a b -=三、选择题(每小题3分,共15分)1、D2、D3、D4、A5、A四、（8分)证明：首先，新运算是G 的代数运算；……………………………………………1分其次，结合律成立，,,,a b c G ∀∈有()()()()()()a b c aub c aub uc au buc au b c a b c =====……………………… 3分 再次，设u 原来运算作用下G 中的逆元为1u -，e 为单位元，则1111a u auu ae a u ua u a ----=====，1u -∴是新运算作用下G 中的单位元………………………………………5分 最后，111,a G b u a u ---∀∈∃=，有1111111a b auu a u u u a u ua b a -------====111b u a u ---∴=是新运算作用下a 的逆元……………………………………7分 故G 对新运算),(,G b a aub b a ∈∀= 也作成一个群………………………8分五、（12分）解：(1)((1))(3)1,(2)((2))(4)5,AB A B A AB A B A ======(3)((3))(1)2,(4)((4))(5)4,(5)((5))(2)3AB A B A AB A B A AB A B A =========12345(253)15243AB ⎛⎫∴== ⎪⎝⎭………………………………………………………4分 同理：12345(142)41325BA ⎛⎫== ⎪⎝⎭……………………………………………8分 同理：212345(132)31245A ⎛⎫== ⎪⎝⎭……………………………………………12分六、（9分）证明： x 为环R 的幂零元，*,n N ∴∃∈有0n x =… ……………………………2分于是根据环R 为交换环，有123221221()()()()n n n n n n n n n e e x e x e e x e x ex x e x e x x x x -------=-=-+++++=-+++++ 221()()n n e x x x x e x --=+++++-………………………………………………7分∴221n n e x x x x --+++++是e x -在R 的逆元 即e x -在R 中可逆………………………………………………………………9分七、（8分）解：设b 是G 的单位元，则,a G ∀∈有b a a b a ==，即4a b a ++=，4b ∴=- …4分设c 是2在G 中的逆元，则224c c ==-，即244c ++=-，10c ∴=-， ∴2在G 中的逆元为-10. ………………………………………………………8分八、（18分）证明：首先，由二阶单位矩阵1001E ⎛⎫=∈ ⎪⎝⎭R 知，R 是非空集合………… ……2分其次，22,,a b c d R b a dc ⎛⎫⎛⎫∀∈ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 222(),a b cd a c b d R b a d c b d a c ++⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=∈ ⎪ ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭⎝⎭2222(),2a b c d ac bd bc ad R b a d c bc ad ac bd ++⎛⎫⎛⎫⎛⎫=∈ ⎪⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭⎝⎭∴矩阵的普通加法和乘法是R 的两种代数运算…………………………5分再次，R 对加法作成一个群222,,,a b c d e f R b a dc f e ⎛⎫⎛⎫⎛⎫∀∈ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭由矩阵的加法满足结合律知，R 对加法满足结合律； 易知0000⎛⎫ ⎪⎝⎭是R 的零元；2a b R b a --⎛⎫∈ ⎪--⎝⎭是2a b b a ⎛⎫ ⎪⎝⎭的负元………………7分 再次，R 对乘法满足结合律222,,,a b c d e f A B C R b a dc f e ⎛⎫⎛⎫⎛⎫∀===∈ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭22()2(2)2()2(2)2()()2()(2)(2)2()ac bd ad bc e f e ac bd f ad bc f ac bd e ad bc AB C ad bcac bd f e e ad bc f ac bd e ac bd f ad bc ++++++++⎛⎫⎛⎫⎛⎫== ⎪⎪ ⎪++++++++⎝⎭⎝⎭⎝⎭2)22()()2(2)2()2()2(2)(2)()2()(2)(2)2()2(2)2()()(2)(2)a b ce df fc de A BC b a fc dece df a ce df b fc de a fc de b ce df b ce df a fc de b fc de a ce df e ac bd f ad bc f ac bd e ad bc e ad bc f ac bd e ac bd ++⎛⎫⎛⎫= ⎪⎪++⎝⎭⎝⎭++++++⎛⎫= ⎪++++++⎝⎭++++++=+++++2()f ad bc ⎛⎫ ⎪+⎝⎭()()AB C A BC ∴=…………………………………………………………………11分 最后，乘法对加法满足分配律222,,,22()()2()2()2()()()()2()2()22222222a b c d e f A B C R b a d c f e a b c e d f a c e b d f a d f b c e A B C b a d fc e b c e ad f b ce a df ac bd ad bc ae bf fa be ad bc ac bd fa be b ⎛⎫⎛⎫⎛⎫∀===∈ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭++++++++⎛⎫⎛⎫⎛⎫+== ⎪⎪ ⎪++++++++⎝⎭⎝⎭⎝⎭++++⎛⎫=+ ⎪+++⎝⎭AB AC f ae ⎛⎫=+ ⎪+⎝⎭同理：乘法对加法满足右分配律……………………………………………14分容易验证R对乘法满足交换律，二阶单位阵是R的单位元………………17分综上所述：R对矩阵的普通加法和乘法作成一个有单位元的交换环………18分。
北航2012抽象代数试卷与答案
班号学号姓名成绩《抽象代数》期末考试卷注意事项：1、请大家仔细审题2、千万不能违反考场纪律题目：一、判断题（每小题2分，共20分）(⨯) 1、设* 是集合X上的二元运算，若a∈ X是可约的，则a是可逆的。
(√) 2、任何阶大于1的群没有零元。
(√) 3、任何群都与一个变换群同构。
(√) 4、奇数阶的有限群中必存在偶数个阶为2的元素。
(√) 5、素数阶群必为循环群。
(⨯) 6、x 2 + 5 是GF (7) 上的不可约多项式。
(√) 7、环的理想构成其子环。
(⨯) 8、有补格中任何元素必有唯一的补元。
(⨯) 9、格保序映射必为格同态映射。
(√) 10、设A⊆S，则< P(A)，⊆ > 是格< P (S)，⊆ > 的子格。
二、填空题（10分）1、设〈G，*〉为群，a，b∈G且a的阶为n，则b－1a b的阶为__n______。
2、设〈G，*〉为群且a∈G。
若k∈I且a的阶为n，则a k 的阶为_n/(n,k) _；并且 a k = e 当且仅当__n | k3、域的特征为___0或素数___________ ；有限域的阶必为___素数的幂______。
4、GF（3）上的二次不可约首1多项式有_x2+1,x2+x+2,x2+2x+25、设D 是I+ 上的整除关系，即对任意的a，b∈I+ ，a D b 当且仅当a | b。
对任意a，b∈I+ ，则a * b = __(a, b)__， a ⊕b = __[a, b]__。
三、计算题（40分，每小题8分）1、试求群< N11—{0}，·11 > 的所有子群。
解：所有子群是：<{1}, •11 ><{1, 3, 4, 5, 9}, •11 ><{1, 10}, •11 >< N11—{0}，•11 >2、试求群 < N 7 ，+7 > 的所有自同态。
解：设f 为群 < N 7 ，+7 > 的自同态，则：f(x) = f (1) +7 f (x-1) = f (1) +7 f (1) +7f (x-2) =… = x f (1) mod 73、设有置换：试求 P 2 和Q ︒ P 。
运城学院 抽象代数试题+答案
运城学院 抽象代数试题+答案一、填空题（每空3分，共30分）1、在群G 中元素a 和b 满足条件1）对任意的x ∈G ，有ax=xa=x ；2）存在y ∈G ，使b=yy -1。
则a 、b 的关系为 a=b 。
2、设σ=(1 4 7 3 6)是一个轮换，则σ的逆为 (6 3 7 4 1) 。
3、设群G 中元素a 的阶为m ，如果a n =e ，那么m 与n 间的关系为 n m 。
4、已知群G 中的元素a 的阶等于30，则a 9的阶等于 10 。
5、一个阶大于1，有单位元，无零因子的 交换环 称为整环。
6、规定实数集R 上的运算×为a×b=3ab(等号右边的运算是普通乘法)，则对于结合率和交换率而言，这个运算满足 结合率、交换率 。
7、实数集G 关于乘法·：a · b = a + b + 4是群，那么G 中的单位元是 –4 。
8、H 是群G 的正规子群，商群H G 的单位元为 H 。
9、6阶循环环R={0,e,2e,3e,4e,5e}(e 2=e)的单位群是 {e,5e} 。
10、设a 、b 、c 和x 都是群G 中的元素，且x 2a = bxc -1，acx = xac ，那么x = bc -1a -1 。
二、简答题（每小题10分，共40分）11、设G 是一个群，若对任意的a, b ∈G ，皆有(ab)2 = a 2b 2，证明G 是交换群。
证明：对任意的a, b ∈G ，由(ab)2 = a 2b 2得abab = aabb ，两边同时左乘a -1，右乘b -1得a -1ababb -1 = a -1aabbb -1，即ba = ab ，所以G 是交换群。
......10分12、证明群G 是交换群当且仅当映射1:-→→x x GG ϕ是G 的自同构。
证明：(=>)对任意x ∈G ，有x -1∈G ，且φ(x -1) = (x -1)-1 = x ，所以φ是满射，......2分对任意的x, y ∈G ，若φ(x) = φ(y)，即x -1 = y -1，则x = y ，所以φ是单射，......2分又对任意的x, y ∈G ，φ(xy) = (xy)-1 = y -1x -1 = φ(y)φ(x) = φ(x)φ(y)，所以φ是自同构。
抽象代数试卷
浙江大学2004–2005学年夏季学期《抽象代数》课程期末考试试卷开课学院：理学院，考试形式：闭卷，允许带___________入场考试时间：2005年7月 5日,所需时间： 120 分钟考生姓名： _____学号：专业： ________一 . Mark each of the following true or false（确定对错）(2%×10=20%.)( )1.The dual module of every free module is a free module. 自由模的对偶模是自由模。
( )2. Every group G has a normal subgroup N such that the quotientgroup G/N is a simple group.任何群G都存在正规子群N使得G/N是单群。
( ) 3.Every homomrphic image of a noncommutative ring is anoncommutative ring . 非交环的同态像为非交换环。
( )4. Let R be a ring with identity. Then R is a division ring if and only ifevery unitary module over R is a free module. R 是有单位元的环，它是除环的充分必要条件是其上的所有幺模都是自由模.( ) 5. The characteristic of any simple ring is either infinite or a primenumber.任何单环的特征为无限或是素数.( ) 6. Every set is a proper class. 每个集合都是真正的类.( ) 7. Every submodule of a free module is a free module. 自由模的任何子模还是自由模.( ) 8. Every maximal ideal of every commutative ring with identity is aprime ideal.带有单位元的交换环的任何极大理想是素理想.( ) 9. Every module is a submodule an injective module and ahomomorphic image of a projective module. 任何模都是内射模的子模，也是投射模的同态像.( ) 10. If N is a nonempty subset of a left R module M, then N is asubmodule of M if and only if the following conditions hold: (1) x+y isin N for any element x,y in N; (2) rx is in N for any r in the ring R, andany x in N.假设 N 是左模的非空子集合, 那么N 是子模的充分必要条件是,对N 中的任何两个元素x,y有 x+y 还在 N 中, 对R 任何元素r 和N 的元素x有 rx还在N 中.二. （10%） Prove that there only two distinct groups of order 4（ up to isomorphism）， namely Z4 and Z2⊕Z2证明在同构的意义下，四阶群只有两个，即Z4和 Z2⊕Z2.三.（10%） Let G be a finite group and H a subgroup of G of order n. IfH is the only subgroup of G of order n, then H is normal in G. 假设 H 是G中唯一一个阶等于n的子群, 证明H是G正规子群.四. （10%）Suppose R is a ring with identity. Prove that a unitary projective M R module is flat, i.e., for any left R module exact sequence: 0→L→N→P→0, the following sequence is exact: 0→M⊗R L→M⊗R N→M⊗R P→0 .假如R是有单位元的环，证明任何幺投射模M R是平坦模.五.（10%） A nonzero module M over a ring R is called simple if the only submodule N of M is either 0 or M itself. Prove that the endomorphic ring of any simple module is a division ring.假如非零模 M的子模仅有零子模和自身, 那么称M为单模, 证明单模的自同态环为除环.六（15%） (i)Determine all prime and maximal ideals in the ringF[x]/(f(x)), where F is a field, and f(x) is a polynomial in the ring F[x] with degree n and n>0. F是域, f(x)是环F[x]中的次数大于零的多项式, 确定环F[x]/(f(x))所有素理想和极大理想.(ii) Decompose F[x]/(f(x)) into direct sum of local rings and prove your conclusion. 将F[x]/(f(x)) 分解成局部环的直和, 并证明你的结论.七. （15%）Let Z ×Z ={(n.m)|m,n are integral numbers}. Define (a,b)+(c,d)=(a+c,b+d),(a,b)(c,d)=(ac,ad+bc). Then (1) Z ×Z is a commutative ring.(2) S={(a,0)|a is positive integral number} is amultiplicative set of Z ×Z.(3) S -1 (Z ×Z) is isomorphic to the ring b a a b a ,0⎩⎨⎧⎪⎪⎭⎫⎝⎛ arerational numbers }.假如Z ×Z ={(n.m)|m,n 是整数}, S={(a,0)|a 是正整数}, 证明(1)Z ×Z 关于(a,b)+(c,d)=(a+c,b+d),(a,b)(c,d)=(ac,ad+bc)构成交换环.(2) S 是它的乘法集.(3) S -1(Z ×Z)同构于环b a a b a ,0⎩⎨⎧⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛为有理数}.八.（10%） Describe the snake lemma, and prove the short five lemma using the snake lemma.叙述蛇形引理, 并用它来证明短五引理.Suppose h is a homomorphism from a group G to a group H. Prove that h is an isomorphism if and only if h-1h(X)=X and hh-1(Y)=Y for any subgroup group X of G and any subgroup group Y of H. 假如h 是从群G到群 H的群同态. 证明h是同构的充分必要条件是对G 任何子群 X 有 h-1h(X)=X, 和对 H的任何子群Y有hh-1(Y)=Y.。
抽象代数复习题及答案
《抽象代数》试题及答案 本科一、单项选择题(在每题的四个备选答案中，选出一个正确答案， 并将正确答案的序号填在题干的括号内。
每题3分)1. 设Q 是有理数集，规定f(x)= x +2；g(x)=2x +1,则〔fg 〕(x)等于〔 B 〕A. 221x x ++B. 23x +C. 245x x ++D. 23x x ++2. 设f 是A 到B 的单射，g 是B 到C 的单射，则gf 是A 到C 的 〔 A 〕A. 单射B. 满射C. 双射D. 可逆映射3. 设 S 3 = {〔1〕，〔1 2〕，〔1 3〕，〔2 3〕，〔1 2 3〕，〔1 3 2〕}，则S 3中与元素〔1 32〕不能交换的元的个数是( C )。
A. 1B. 2C. 3D. 44. 在整数环Z 中，可逆元的个数是( B )。
A. 1个B. 2个C. 4个D. 无限个5. 剩余类环Z 10的子环有( B )。
A. 3个B. 4个C. 5个D. 6个 6. 设G 是有限群，a ∈G, 且a 的阶|a|=12, 则G 中元素8a 的阶为( B ) A ． 2 B. 3 C. 6 D. 97．设G 是有限群，对任意a,b ∈G ，以下结论正确的选项是( A ) A. 111)(---=a b ab B. b 的阶不一定整除G 的阶C. G 的单位元不唯一D. G 中消去律不成立8. 设G 是循环群，则以下结论不正确的选项是．．．．．．．( A ) A. G 的商群不是循环群 B. G 的任何子群都是正规子群 C. G 是交换群 D. G 的任何子群都是循环群9. 设集合 A={a,b,c}, 以下A ⨯A 的子集为等价关系的是( C )A. 1R = {(a,a),(a,b),(a,c),(b,b)}B. 2R = {(a,a),(a,b),(b,b),(c,b),(c,c)}C. 3R = {(a,a),(b,b),(c,c),(b,c),(c,b)}D. 4R = {(a,a),(a,b),(b,a),(b,b),(b,c),(c,b)}10. 设f 是A 到B 的满射，g 是B 到C 的满射，则gf 是A 到C 的 〔 B 〕A. 单射B. 满射C. 双射D. 可逆映射11. 设 S 3 = {〔1〕，〔1 2〕，〔1 3〕，〔2 3〕，〔1 2 3〕，〔1 3 2〕}，则S 3中与元素〔1 2〕能交换的元的个数是( B )。
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抽象代数试题一、单项选择题（本大题共5小题，每小题3分，共15分)在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内.错选、多选或未选均无分。
1、6阶有限群的任何子群一定不是（）。
A、2阶B、3 阶C、4 阶D、 6 阶2、设G是群，G有（ )个元素,则不能肯定G是交换群.A、4个B、5个C、6个D、7个3、有限布尔代数的元素的个数一定等于( )。
A、偶数B、奇数C、4的倍数D、2的正整数次幂4、下列哪个偏序集构成有界格（）A、（N，≤）B、（Z，≥）C、（｛2,3，4,6，12},|(整除关系））D、 (P(A)，⊆）5、设S3＝｛（1），(12），（13），(23)，（123)，（132)}，那么，在S3中可以与（123)交换的所有元素有( ）A、（1）,(123)，（132）B、12）,（13）,（23）C、（1）,（123)D、S3中的所有元素二、填空题(本大题共10小题，每空3分，共30分）请在每小题的空格中填上正确答案.错填、不填均无分。
1、群的单位元是---—---—的，每个元素的逆元素是-———--——的。
2、如果f是A与A间的一一映射，a是A的一个元，则()[]=-aff1------———-。
3、区间[1，2]上的运算},{min baba=的单位元是-—-————。
4、可换群G中|a｜=6,|x|=8，则|ax|=———-——-———。
5、环Z8的零因子有———-—-—----—--—-——-————.6、一个子群H的右、左陪集的个数—-—-——-———。
7、从同构的观点，每个群只能同构于他/它自己的—--——--—-。
8、无零因子环R中所有非零元的共同的加法阶数称为R的-——---———-—。
9、设群G 中元素a 的阶为m ，如果e a n=，那么m 与n 存在整除关系为—————-—-.三、解答题（本大题共3小题，每小题10分，共30分)1、用2种颜色的珠子做成有5颗珠子项链，问可做出多少种不同的项链？2、S 1，S 2是A 的子环，则S 1∩S 2也是子环。
S 1+S 2也是子环吗?3、设有置换)1245)(1345(=σ,6)456)(234(S ∈=τ。
1．求στ和στ-1；2．确定置换στ和στ-1的奇偶性.四、证明题(本大题共2小题,第1题10分，第2小题15分，共25分) 1、一个除环R 只有两个理想就是零理想和单位理想。
2、M 为含幺半群，证明b =a —1的充分必要条件是aba =a 和ab 2a =e 。
近世代数模拟试题三 参考答案一、单项选择题（本大题共5小题，每小题3分，共15分）在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。
错选、多选或未选均无分。
1、C ；2、C ；3、D ；4、D;5、A;二、填空题(本大题共10小题,每空3分，共30分）请在每小题的空格中填上正确答案。
错填、不填均无分。
1、唯一、唯一；2、a ；3、2；4、24；5、；6、相等；7、商群；8、特征；9、nm ;三、解答题（本大题共3小题,每小题10分，共30分）1、解 在学群论前我们没有一般的方法，只能用枚举法。
用笔在纸上画一下，用黑白两种珠子,分类进行计算：例如,全白只1种，四白一黑1种，三白二黑2种，…等等,可得总共8种。
2、证 由上题子环的充分必要条件，要证对任意a,b ∈S1∩S2 有a-b, ab ∈S1∩S2：因为S1，S2是A 的子环,故a —b ， ab ∈S1和a-b, ab ∈S2 ， 因而a —b ， ab ∈S1∩S2 ,所以S1∩S2是子环。
S1+S2不一定是子环。
在矩阵环中很容易找到反例：3、解: 1．)56)(1243(=στ,)16524(1=στ-;2．两个都是偶置换。
四、证明题（本大题共2小题，第1题10分，第2小题15分，共25分)1、证明：假定μ是R 的一个理想而μ不是零理想，那么a 0≠∈μ,由理想的定义μ∈=-11a a ,因而R 的任意元μ∈•=1b b这就是说μ=R ，证毕。
2、证 必要性：将b 代入即可得。
充分性：利用结合律作以下运算： ab=ab(ab2a ）=(aba)b2a=ab2a=e, ba=(ab2a ）ba=ab2 (aba)=ab2a=e, 所以b=a —1。
——--—-——-———————————-———--——-—————-—-— 一．判断题(每小题2分，共20分）1。
实数集R 关于数的乘法成群。
（ ） 2. 若H 是群G 的一个非空有限子集，且,a b H ∀∈都有ab H ∈成立，则H 是G 的一个子群. （ ） 3。
循环群一定是交换群. （ ） 4。
素数阶循环群是单群。
( )5。
设G 是有限群,a G ∈，n 是a 的阶，若k a e =，则|n k . （ ）6. 设f 是群G 到群G 的同态映射，H 是G 的子群,则()f H 是G 的子群. （ ）7. 交换群的子群是正规子群。
（ ） 8。
设G 是有限群，H 是G 的子群，则||||G GHH =. （ ） 9. 有限域的特征是合数. （ ） 10。
整数环Z 的全部理想为形如nZ 的理想. （ ） 二．选择题(每小题3分，共15分) 11. 下面的代数系统(),G *中，( ）不是群.A 。
G 为整数集合，*为加法； B. G 为偶数集合,*为加法； C. G 为有理数集合，*为加法; D 。
G 为整数集合，*为乘法。
12。
设H 是G 的子群，且G 有左陪集分类{},,,H aH bH cH 。
如果H 的阶为6，那么G 的阶G =( ）A 。
6；B 。
24；C 。
10;D 。
12。
13。
设()()()()()(){}31,12,13,23,123,132,S =，则3S 中与元()123不能交换的元的个数是A 。
1；B 。
2；C 。
3；D 。
4。
14。
从同构的观点看，循环群有且只有两种，分别是( ）A. G=(a ）与G 的子群； B 。
整数加法群与模n 的剩余类的加法群； C. 变换群与置换群; D 。
有理数加法群与模n 的剩余类的加法群。
15. 整数环Z 中，可逆元的个数是（ )。
A 。
1个B 。
2个C 。
4个 D.无限个 三．填空题（每小题3分，共15分)16. 如果G 是全体非零有理数的集合，对于普通乘法来说作成一个群，则这个群的单位元是 . 17。
n 次对称群n S 的阶是____________.18. 整数加法群Z 关于子群nZ 的陪集为 . 19. 设N 是G 的正规子群，商群NG中的单位元是 。
20. 若R 是交换环， a R ∈则主理想()a =____________。
四．计算题（第21小题8分, 第22小题12分，共20分) 21. 令⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=123456654321ρ, ⎪⎪⎭⎫⎝⎛=465132654321σ， ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=453126654321τ，计算1,ρσσ-.22. 设)}132(),123(),1{(=H 是3次对称群3S 的子群，求H 的所有左陪集和右陪集，并说明H 是否是3S 的正规子群。
五．证明题（每题10分，共30分）23. 设G 是群，H 是G 的子群，证明：a G ∈，则1aHa -也是子群24. 设G 是群，H 是G 的正规子群。
G 关于H 的陪集的集合为{|}GgH g G H=∈，证明：/G H 对于陪集的乘法成为一个群，称为G 对H 的商群.25。
证明：域F 上全体n n ⨯矩阵的集合()n M F 在矩阵的加法和乘法下成为环.一．判断题(每小题2分，共20分） 1—10 ××√√√ √√√×√二．选择题(每小题3分，共15分）11。
D ；12。
B ；13。
C;14。
B ；15. B 。
三．填空题（每小题3分,共15分)16. 1； 17. !n ；18. (){},1,,1nZ nZ nZ n ++-；19. N ；20。
aR .四．计算下列各题(第21小题8分, 第22小题12分，共20分） 21。
解：123456546213ρσ⎛⎫=⎪⎝⎭，4分1123456312645σ-⎛⎫=⎪⎝⎭。
8分22。
解：H 的所有左陪集为 )}132(),123(),1{(=H ， ()12{(12),(13),(23)}H =;4分H 的所有右陪集为)}132(),123(),1{(=H ，()12{(12),(13),(23)}H =. 对3S σ∀∈，有H H σσ=，即H 是正规子群. 12分五．证明题(每题10分,共30分)23。
证明：因为H 是G 的子群，对任意,x y H ∈，有1xy H -∈. 4分由题意,对任意,x y H∈，有1111,axa ay a aHa ----∈,从而()()111111axa ayaaxya aHa ------=∈,即1aHa -也是子群.10分24. 证明：首先GH对于上述乘法是封闭的，且乘法满足结合律。
3分 陪集H eH =是它的单位元，,eHgH egH gH g H ==∀∈。
7分又任意gH ，有11g HgH eH gHg H --==，即1g H -是gH 的逆元。
10分25. 证明:()n M F 关于加法是封闭的，且满足结合律，3分零元是0n n ⨯,对任意()n n n A M F ⨯∈，有()0n n n n n n A A ⨯⨯⨯+-=,即n n A ⨯的负元是n n A ⨯-。
()n M F 关于乘法是封闭的，且满足结合律，单位元是n n E ⨯.8分 乘法关于加法的分配律成立。
10分。